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6. Himmelsmechanik
. . . ist die astronomische Disziplin, die sich mit der Bewegung derHimmelskorper befasst.
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6.1. Probleme der Himmelsmechanik6.1. Probleme der Himmelsmechanik
M1
M2
M3
MN
Das N-Korper-Problem:
N Punktmassen im leeren Raum
Wechselwirkung entsprechend Newton’schemGravitationsgesetzoft sehr gute Naherung, da(i) Entfernungen viel großer als Ausdehnung
(ii) Ausdehnung meist nahezu kugelformig
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
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6.1. Probleme der Himmelsmechanik6.1. Probleme der Himmelsmechanik
M1
M2
M3
MN
Das N-Korper-Problem:
N Punktmassen im leeren Raum
Wechselwirkung entsprechend Newton’schemGravitationsgesetz
oft sehr gute Naherung, da(i) Entfernungen viel großer als Ausdehnung
(ii) Ausdehnung meist nahezu kugelformig
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6.1. Probleme der Himmelsmechanik6.1. Probleme der Himmelsmechanik
M1
M2
M3
MN
Das N-Korper-Problem:
N Punktmassen im leeren Raum
Wechselwirkung entsprechend Newton’schemGravitationsgesetzoft sehr gute Naherung, da(i) Entfernungen viel großer als Ausdehnung
(ii) Ausdehnung meist nahezu kugelformig
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6.1. Probleme der Himmelsmechanik6.1. Probleme der Himmelsmechanik
M1
M2
M3
MN
Das N-Korper-Problem:
N Punktmassen im leeren Raum
Wechselwirkung entsprechend Newton’schemGravitationsgesetzoft sehr gute Naherung, da(i) Entfernungen viel großer als Ausdehnung
(ii) Ausdehnung meist nahezu kugelformig
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6.1. Probleme der Himmelsmechanik6.1. Probleme der Himmelsmechanik
Beispiele fur weitere Probleme:
Verallgemeinerung des N-Korper-Problems auf Bewegung und Rotationausgedehnter, nichtspharischer Korper (u. a. Prazessions- undNutationstheorie)
Bewegung eines ausgedehnten Korpers in nichtgleichformigemGravitationsfeld (u. a. Gezeitentheorie)
Bewegung kunstlicher Himmelskorper mit Triebwerk (Astrodynamik)
Bewegung in starken Gravitationsfelder (z. B. nahe Neutronensternen)oder Untersuchung mit sehr hoher Genauigkeit (z. B.Navigationssatelliten): Allgemeine Relativitatstheorie (relativistischeHimmelsmechanik)
Heute nur das wichtigste: das Zwei-Korper-Problem.
Wer mehr wissen mochte: Vorlesung”Celestial Mechanics“,
von Prof. Krivov (fast) jedes Jahr im Wintersemester gehalten.
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6.1. Probleme der Himmelsmechanik6.1. Probleme der Himmelsmechanik
Beispiele fur weitere Probleme:
Verallgemeinerung des N-Korper-Problems auf Bewegung und Rotationausgedehnter, nichtspharischer Korper (u. a. Prazessions- undNutationstheorie)
Bewegung eines ausgedehnten Korpers in nichtgleichformigemGravitationsfeld (u. a. Gezeitentheorie)
Bewegung kunstlicher Himmelskorper mit Triebwerk (Astrodynamik)
Bewegung in starken Gravitationsfelder (z. B. nahe Neutronensternen)oder Untersuchung mit sehr hoher Genauigkeit (z. B.Navigationssatelliten): Allgemeine Relativitatstheorie (relativistischeHimmelsmechanik)
Heute nur das wichtigste: das Zwei-Korper-Problem.
Wer mehr wissen mochte: Vorlesung”Celestial Mechanics“,
von Prof. Krivov (fast) jedes Jahr im Wintersemester gehalten.
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6.1. Probleme der Himmelsmechanik6.1. Probleme der Himmelsmechanik
Beispiele fur weitere Probleme:
Verallgemeinerung des N-Korper-Problems auf Bewegung und Rotationausgedehnter, nichtspharischer Korper (u. a. Prazessions- undNutationstheorie)
Bewegung eines ausgedehnten Korpers in nichtgleichformigemGravitationsfeld (u. a. Gezeitentheorie)
Bewegung kunstlicher Himmelskorper mit Triebwerk (Astrodynamik)
Bewegung in starken Gravitationsfelder (z. B. nahe Neutronensternen)oder Untersuchung mit sehr hoher Genauigkeit (z. B.Navigationssatelliten): Allgemeine Relativitatstheorie (relativistischeHimmelsmechanik)
Heute nur das wichtigste: das Zwei-Korper-Problem.
Wer mehr wissen mochte: Vorlesung”Celestial Mechanics“,
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6.2. Bewegungsgleichung6.2. Bewegungsgleichung
M1
M2
O
r1r2
r
M1 . . .”Sonne“
M2 . . .”Planet“
O . . . Ursprungr = r2 − r1
r ≡ |r|v ≡ r
Laut Gravitationsgesetz wirkt auf die Sonne
F1︷ ︸︸ ︷M1r1 =
GM1M2
r3 r (1)
und auf den Planeten entsprechend
F2︷ ︸︸ ︷M2r2 = −GM1M2
r3 r (2)
Nach Kurzen und Subtraktion (2)–(1) ergibt sich:
r = −G(M1 + M2)
r3 r
≡ −µrr3 ,
(3)
wobei µ ≡ G(M1 + M2) definiert wurde.Gesuchte Losung: r(t).Problem: Gleichungssystem ist 6. Ordnung.⇒Wir suchen 6 Bewegungskonstanten (Integrale).
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6.2. Bewegungsgleichung6.2. Bewegungsgleichung
M1
M2
O
r1r2
r
M1 . . .”Sonne“
M2 . . .”Planet“
O . . . Ursprung
r = r2 − r1
r ≡ |r|v ≡ r
Laut Gravitationsgesetz wirkt auf die Sonne
F1︷ ︸︸ ︷M1r1 =
GM1M2
r3 r (1)
und auf den Planeten entsprechend
F2︷ ︸︸ ︷M2r2 = −GM1M2
r3 r (2)
Nach Kurzen und Subtraktion (2)–(1) ergibt sich:
r = −G(M1 + M2)
r3 r
≡ −µrr3 ,
(3)
wobei µ ≡ G(M1 + M2) definiert wurde.Gesuchte Losung: r(t).Problem: Gleichungssystem ist 6. Ordnung.⇒Wir suchen 6 Bewegungskonstanten (Integrale).
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6.2. Bewegungsgleichung6.2. Bewegungsgleichung
M1
M2
O
r1r2
r
M1 . . .”Sonne“
M2 . . .”Planet“
O . . . Ursprungr = r2 − r1
r ≡ |r|v ≡ r
Laut Gravitationsgesetz wirkt auf die Sonne
F1︷ ︸︸ ︷M1r1 =
GM1M2
r3 r (1)
und auf den Planeten entsprechend
F2︷ ︸︸ ︷M2r2 = −GM1M2
r3 r (2)
Nach Kurzen und Subtraktion (2)–(1) ergibt sich:
r = −G(M1 + M2)
r3 r
≡ −µrr3 ,
(3)
wobei µ ≡ G(M1 + M2) definiert wurde.Gesuchte Losung: r(t).Problem: Gleichungssystem ist 6. Ordnung.⇒Wir suchen 6 Bewegungskonstanten (Integrale).
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6.2. Bewegungsgleichung6.2. Bewegungsgleichung
M1
M2
O
r1r2
r
M1 . . .”Sonne“
M2 . . .”Planet“
O . . . Ursprungr = r2 − r1
r ≡ |r|v ≡ r
Laut Gravitationsgesetz wirkt auf die Sonne
F1︷ ︸︸ ︷M1r1 =
GM1M2
r3 r (1)
und auf den Planeten entsprechend
F2︷ ︸︸ ︷M2r2 = −GM1M2
r3 r (2)
Nach Kurzen und Subtraktion (2)–(1) ergibt sich:
r = −G(M1 + M2)
r3 r
≡ −µrr3 ,
(3)
wobei µ ≡ G(M1 + M2) definiert wurde.Gesuchte Losung: r(t).Problem: Gleichungssystem ist 6. Ordnung.⇒Wir suchen 6 Bewegungskonstanten (Integrale).
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6.2. Bewegungsgleichung6.2. Bewegungsgleichung
M1
M2
O
r1r2
r
M1 . . .”Sonne“
M2 . . .”Planet“
O . . . Ursprungr = r2 − r1
r ≡ |r|v ≡ r
Laut Gravitationsgesetz wirkt auf die Sonne
F1︷ ︸︸ ︷M1r1 =
GM1M2
r3 r (1)
und auf den Planeten entsprechend
F2︷ ︸︸ ︷M2r2 = −GM1M2
r3 r (2)
Nach Kurzen und Subtraktion (2)–(1) ergibt sich:
r = −G(M1 + M2)
r3 r
≡ −µrr3 ,
(3)
wobei µ ≡ G(M1 + M2) definiert wurde.Gesuchte Losung: r(t).Problem: Gleichungssystem ist 6. Ordnung.⇒Wir suchen 6 Bewegungskonstanten (Integrale).
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6.2. Bewegungsgleichung6.2. Bewegungsgleichung
M1
M2
O
r1r2
r
M1 . . .”Sonne“
M2 . . .”Planet“
O . . . Ursprungr = r2 − r1
r ≡ |r|v ≡ r
Laut Gravitationsgesetz wirkt auf die Sonne
F1︷ ︸︸ ︷M1r1 =
GM1M2
r3 r (1)
und auf den Planeten entsprechend
F2︷ ︸︸ ︷M2r2 = −GM1M2
r3 r (2)
Nach Kurzen und Subtraktion (2)–(1) ergibt sich:
r = −G(M1 + M2)
r3 r
≡ −µrr3 ,
(3)
wobei µ ≡ G(M1 + M2) definiert wurde.Gesuchte Losung: r(t).Problem: Gleichungssystem ist 6. Ordnung.⇒Wir suchen 6 Bewegungskonstanten (Integrale).
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6.2. Bewegungsgleichung6.2. Bewegungsgleichung
M1
M2
O
r1r2
r
M1 . . .”Sonne“
M2 . . .”Planet“
O . . . Ursprungr = r2 − r1
r ≡ |r|v ≡ r
Laut Gravitationsgesetz wirkt auf die Sonne
F1︷ ︸︸ ︷M1r1 =
GM1M2
r3 r (1)
und auf den Planeten entsprechend
F2︷ ︸︸ ︷M2r2 = −GM1M2
r3 r (2)
Nach Kurzen und Subtraktion (2)–(1) ergibt sich:
r = −G(M1 + M2)
r3 r
≡ −µrr3 ,
(3)
wobei µ ≡ G(M1 + M2) definiert wurde.Gesuchte Losung: r(t).Problem: Gleichungssystem ist 6. Ordnung.⇒Wir suchen 6 Bewegungskonstanten (Integrale).
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6.2. Bewegungsgleichung6.2. Bewegungsgleichung
M1
M2
O
r1r2
r
M1 . . .”Sonne“
M2 . . .”Planet“
O . . . Ursprungr = r2 − r1
r ≡ |r|v ≡ r
Laut Gravitationsgesetz wirkt auf die Sonne
F1︷ ︸︸ ︷M1r1 =
GM1M2
r3 r (1)
und auf den Planeten entsprechend
F2︷ ︸︸ ︷M2r2 = −GM1M2
r3 r (2)
Nach Kurzen und Subtraktion (2)–(1) ergibt sich:
r = −G(M1 + M2)
r3 r ≡ −µrr3 , (3)
wobei µ ≡ G(M1 + M2) definiert wurde.
Gesuchte Losung: r(t).Problem: Gleichungssystem ist 6. Ordnung.⇒Wir suchen 6 Bewegungskonstanten (Integrale).
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6.2. Bewegungsgleichung6.2. Bewegungsgleichung
M1
M2
O
r1r2
r
M1 . . .”Sonne“
M2 . . .”Planet“
O . . . Ursprungr = r2 − r1
r ≡ |r|v ≡ r
Laut Gravitationsgesetz wirkt auf die Sonne
F1︷ ︸︸ ︷M1r1 =
GM1M2
r3 r (1)
und auf den Planeten entsprechend
F2︷ ︸︸ ︷M2r2 = −GM1M2
r3 r (2)
Nach Kurzen und Subtraktion (2)–(1) ergibt sich:
r = −G(M1 + M2)
r3 r ≡ −µrr3 , (3)
wobei µ ≡ G(M1 + M2) definiert wurde.Gesuchte Losung: r(t).Problem: Gleichungssystem ist 6. Ordnung.⇒Wir suchen 6 Bewegungskonstanten (Integrale).
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6.3. Drehimpulsintegral6.3. Drehimpulsintegral
Vektorprodukt r× (3) ergibt:
r× r = −µr× rr3 = 0.
Aber es gilt auch
ddt
(r× r) = r× r + r× r
= 0
und somit (nach Integration)
r× r ≡ c, c = const.
Diese Konstante ist der reduzierte (ohne M2) Drehimpulsvektor des Planeten(im Bezug auf den Stern).
Einerseits ist c ⊥ r (und c ⊥ r), andererseits gilt c = const, sodass dieBewegung in einer Ebene (senkrecht zu c) bleibt.
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6.3. Drehimpulsintegral6.3. Drehimpulsintegral
Vektorprodukt r× (3) ergibt:
r× r = −µr× rr3 = 0.
Aber es gilt auch
ddt
(r× r) = r× r + r× r
= 0
und somit (nach Integration)
r× r ≡ c, c = const.
Diese Konstante ist der reduzierte (ohne M2) Drehimpulsvektor des Planeten(im Bezug auf den Stern).
Einerseits ist c ⊥ r (und c ⊥ r), andererseits gilt c = const, sodass dieBewegung in einer Ebene (senkrecht zu c) bleibt.
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6.3. Drehimpulsintegral6.3. Drehimpulsintegral
Vektorprodukt r× (3) ergibt:
r× r = −µr× rr3 = 0.
Aber es gilt auch
ddt
(r× r) =r× r + r× r
= 0
und somit (nach Integration)
r× r ≡ c, c = const.
Diese Konstante ist der reduzierte (ohne M2) Drehimpulsvektor des Planeten(im Bezug auf den Stern).
Einerseits ist c ⊥ r (und c ⊥ r), andererseits gilt c = const, sodass dieBewegung in einer Ebene (senkrecht zu c) bleibt.
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6.3. Drehimpulsintegral6.3. Drehimpulsintegral
Vektorprodukt r× (3) ergibt:
r× r = −µr× rr3 = 0.
Aber es gilt auch
ddt
(r× r) =r× r +r× r
= 0
und somit (nach Integration)
r× r ≡ c, c = const.
Diese Konstante ist der reduzierte (ohne M2) Drehimpulsvektor des Planeten(im Bezug auf den Stern).
Einerseits ist c ⊥ r (und c ⊥ r), andererseits gilt c = const, sodass dieBewegung in einer Ebene (senkrecht zu c) bleibt.
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6.3. Drehimpulsintegral6.3. Drehimpulsintegral
Vektorprodukt r× (3) ergibt:
r× r = −µr× rr3 = 0.
Aber es gilt auch
ddt
(r× r) =r× r +r× r = 0
und somit (nach Integration)
r× r ≡ c, c = const.
Diese Konstante ist der reduzierte (ohne M2) Drehimpulsvektor des Planeten(im Bezug auf den Stern).
Einerseits ist c ⊥ r (und c ⊥ r), andererseits gilt c = const, sodass dieBewegung in einer Ebene (senkrecht zu c) bleibt.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
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6.3. Drehimpulsintegral6.3. Drehimpulsintegral
Vektorprodukt r× (3) ergibt:
r× r = −µr× rr3 = 0.
Aber es gilt auch
ddt
(r× r) =r× r +r× r = 0
und somit (nach Integration)
r× r ≡ c, c = const.
Diese Konstante ist der reduzierte (ohne M2) Drehimpulsvektor des Planeten(im Bezug auf den Stern).
Einerseits ist c ⊥ r (und c ⊥ r), andererseits gilt c = const, sodass dieBewegung in einer Ebene (senkrecht zu c) bleibt.
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6.4. Energieintegral6.4. Energieintegral
Skalarprodukt r · (3) oder v · (3) ergibt:
v · v = −µv · rr3 .
Die linke Seite ist eine zeitliche Ableitung:
v · v =ddt
(v · v2
)
=ddt
(v2
2
).
Die rechte Seite auch:
−µv · rr3 = −µ r · r
r3
= −µ rr2 =
ddt
(µr
).
Daraus ergibt sich
ddt
(v2
2
)=
ddt
(µr
)
bzw.ddt
(v2
2− µ
r
)= 0
oder (nach Integration uber t)
v2
2− µ
r=
h2, h = const.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
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6.4. Energieintegral6.4. Energieintegral
Skalarprodukt r · (3) oder v · (3) ergibt:
v · v = −µv · rr3 .
Die linke Seite ist eine zeitliche Ableitung:
v · v =ddt
(v · v2
)
=ddt
(v2
2
).
Die rechte Seite auch:
−µv · rr3 = −µ r · r
r3
= −µ rr2 =
ddt
(µr
).
Daraus ergibt sich
ddt
(v2
2
)=
ddt
(µr
)
bzw.ddt
(v2
2− µ
r
)= 0
oder (nach Integration uber t)
v2
2− µ
r=
h2, h = const.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 26: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/26.jpg)
6.4. Energieintegral6.4. Energieintegral
Skalarprodukt r · (3) oder v · (3) ergibt:
v · v = −µv · rr3 .
Die linke Seite ist eine zeitliche Ableitung:
v · v =ddt
(v · v2
)=
ddt
(v2
2
).
Die rechte Seite auch:
−µv · rr3 = −µ r · r
r3
= −µ rr2 =
ddt
(µr
).
Daraus ergibt sich
ddt
(v2
2
)=
ddt
(µr
)
bzw.ddt
(v2
2− µ
r
)= 0
oder (nach Integration uber t)
v2
2− µ
r=
h2, h = const.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
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6.4. Energieintegral6.4. Energieintegral
Skalarprodukt r · (3) oder v · (3) ergibt:
v · v = −µv · rr3 .
Die linke Seite ist eine zeitliche Ableitung:
v · v =ddt
(v · v2
)=
ddt
(v2
2
).
Die rechte Seite auch:
−µv · rr3 = −µ r · r
r3
= −µ rr2 =
ddt
(µr
).
Daraus ergibt sich
ddt
(v2
2
)=
ddt
(µr
)
bzw.ddt
(v2
2− µ
r
)= 0
oder (nach Integration uber t)
v2
2− µ
r=
h2, h = const.
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6.4. Energieintegral6.4. Energieintegral
Skalarprodukt r · (3) oder v · (3) ergibt:
v · v = −µv · rr3 .
Die linke Seite ist eine zeitliche Ableitung:
v · v =ddt
(v · v2
)=
ddt
(v2
2
).
Die rechte Seite auch:
−µv · rr3 = −µ r · r
r3 = −µ rr2
=ddt
(µr
).
Daraus ergibt sich
ddt
(v2
2
)=
ddt
(µr
)
bzw.ddt
(v2
2− µ
r
)= 0
oder (nach Integration uber t)
v2
2− µ
r=
h2, h = const.
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![Page 29: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/29.jpg)
6.4. Energieintegral6.4. Energieintegral
Skalarprodukt r · (3) oder v · (3) ergibt:
v · v = −µv · rr3 .
Die linke Seite ist eine zeitliche Ableitung:
v · v =ddt
(v · v2
)=
ddt
(v2
2
).
Die rechte Seite auch:
−µv · rr3 = −µ r · r
r3 = −µ rr2 =
ddt
(µr
).
Daraus ergibt sich
ddt
(v2
2
)=
ddt
(µr
)
bzw.ddt
(v2
2− µ
r
)= 0
oder (nach Integration uber t)
v2
2− µ
r=
h2, h = const.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 30: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/30.jpg)
6.4. Energieintegral6.4. Energieintegral
Skalarprodukt r · (3) oder v · (3) ergibt:
v · v = −µv · rr3 .
Die linke Seite ist eine zeitliche Ableitung:
v · v =ddt
(v · v2
)=
ddt
(v2
2
).
Die rechte Seite auch:
−µv · rr3 = −µ r · r
r3 = −µ rr2 =
ddt
(µr
).
Daraus ergibt sich
ddt
(v2
2
)=
ddt
(µr
)
bzw.ddt
(v2
2− µ
r
)= 0
oder (nach Integration uber t)
v2
2− µ
r=
h2, h = const.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 31: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/31.jpg)
6.4. Energieintegral6.4. Energieintegral
Skalarprodukt r · (3) oder v · (3) ergibt:
v · v = −µv · rr3 .
Die linke Seite ist eine zeitliche Ableitung:
v · v =ddt
(v · v2
)=
ddt
(v2
2
).
Die rechte Seite auch:
−µv · rr3 = −µ r · r
r3 = −µ rr2 =
ddt
(µr
).
Daraus ergibt sich
ddt
(v2
2
)=
ddt
(µr
)bzw.
ddt
(v2
2− µ
r
)= 0
oder (nach Integration uber t)
v2
2− µ
r=
h2, h = const.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 32: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/32.jpg)
6.4. Energieintegral6.4. Energieintegral
Skalarprodukt r · (3) oder v · (3) ergibt:
v · v = −µv · rr3 .
Die linke Seite ist eine zeitliche Ableitung:
v · v =ddt
(v · v2
)=
ddt
(v2
2
).
Die rechte Seite auch:
−µv · rr3 = −µ r · r
r3 = −µ rr2 =
ddt
(µr
).
Daraus ergibt sich
ddt
(v2
2
)=
ddt
(µr
)bzw.
ddt
(v2
2− µ
r
)= 0
oder (nach Integration uber t)
v2
2− µ
r=
h2, h = const.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 33: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/33.jpg)
6.4. Energieintegral6.4. Energieintegral
v2
2− µ
r=
h2, h = const
Links stehen reduzierte (ohne M2) kinetische und potenzielle Energie.
”h“ ist die Energiekonstante.
h < 0: Bewegung raumlich beschrankt, da r→∞ nicht moglich.
h ≥ 0: Bewegung ins Unendliche moglich.
Bisher 4 Integrale gefunden. . .
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 34: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/34.jpg)
6.4. Energieintegral6.4. Energieintegral
v2
2− µ
r=
h2, h = const
Links stehen reduzierte (ohne M2) kinetische und potenzielle Energie.
”h“ ist die Energiekonstante.
h < 0: Bewegung raumlich beschrankt, da r→∞ nicht moglich.
h ≥ 0: Bewegung ins Unendliche moglich.
Bisher 4 Integrale gefunden. . .
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
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6.4. Energieintegral6.4. Energieintegral
v2
2− µ
r=
h2, h = const
Links stehen reduzierte (ohne M2) kinetische und potenzielle Energie.
”h“ ist die Energiekonstante.
h < 0: Bewegung raumlich beschrankt, da r→∞ nicht moglich.
h ≥ 0: Bewegung ins Unendliche moglich.
Bisher 4 Integrale gefunden. . .
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 36: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/36.jpg)
6.4. Energieintegral6.4. Energieintegral
v2
2− µ
r=
h2, h = const
Links stehen reduzierte (ohne M2) kinetische und potenzielle Energie.
”h“ ist die Energiekonstante.
h < 0: Bewegung raumlich beschrankt, da r→∞ nicht moglich.
h ≥ 0: Bewegung ins Unendliche moglich.
Bisher 4 Integrale gefunden. . .
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 37: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/37.jpg)
6.5. Laplace-Integral6.5. Laplace-Integral
Vektorprodukt c× (3):
c× r = (r× r)×(−µr
r3
)
=µ
r3 [r× (r× r)]
oder, da a× (b× c) = b · (a · c)− c · (a · b),
c× r =µ
r3 [r · (r · r)− r · (r · r)]
=µ
r3
[rrr− rr2] =
µrrr2 −
µrr
=ddt
(−µr
r
).
Wegen c = const gilt aber auch
c× r =ddt
(c× r)
und somit
c× r + µrr
= const ≡ −µe.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 38: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/38.jpg)
6.5. Laplace-Integral6.5. Laplace-Integral
Vektorprodukt c× (3):
c× r = (r× r)×(−µr
r3
)=µ
r3 [r× (r× r)]
oder, da a× (b× c) = b · (a · c)− c · (a · b),
c× r =µ
r3 [r · (r · r)− r · (r · r)]
=µ
r3
[rrr− rr2] =
µrrr2 −
µrr
=ddt
(−µr
r
).
Wegen c = const gilt aber auch
c× r =ddt
(c× r)
und somit
c× r + µrr
= const ≡ −µe.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 39: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/39.jpg)
6.5. Laplace-Integral6.5. Laplace-Integral
Vektorprodukt c× (3):
c× r = (r× r)×(−µr
r3
)=µ
r3 [r× (r× r)]
oder, da a× (b× c) = b · (a · c)− c · (a · b),
c× r =µ
r3 [r · (r · r)− r · (r · r)]
=µ
r3
[rrr− rr2] =
µrrr2 −
µrr
=ddt
(−µr
r
).
Wegen c = const gilt aber auch
c× r =ddt
(c× r)
und somit
c× r + µrr
= const ≡ −µe.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 40: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/40.jpg)
6.5. Laplace-Integral6.5. Laplace-Integral
Vektorprodukt c× (3):
c× r = (r× r)×(−µr
r3
)=µ
r3 [r× (r× r)]
oder, da a× (b× c) = b · (a · c)− c · (a · b),
c× r =µ
r3 [r · (r · r)− r · (r · r)] =µ
r3
[rrr− rr2]
=µrrr2 −
µrr
=ddt
(−µr
r
).
Wegen c = const gilt aber auch
c× r =ddt
(c× r)
und somit
c× r + µrr
= const ≡ −µe.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 41: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/41.jpg)
6.5. Laplace-Integral6.5. Laplace-Integral
Vektorprodukt c× (3):
c× r = (r× r)×(−µr
r3
)=µ
r3 [r× (r× r)]
oder, da a× (b× c) = b · (a · c)− c · (a · b),
c× r =µ
r3 [r · (r · r)− r · (r · r)] =µ
r3
[rrr− rr2] =
µrrr2 −
µrr
=ddt
(−µr
r
).
Wegen c = const gilt aber auch
c× r =ddt
(c× r)
und somit
c× r + µrr
= const ≡ −µe.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 42: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/42.jpg)
6.5. Laplace-Integral6.5. Laplace-Integral
Vektorprodukt c× (3):
c× r = (r× r)×(−µr
r3
)=µ
r3 [r× (r× r)]
oder, da a× (b× c) = b · (a · c)− c · (a · b),
c× r =µ
r3 [r · (r · r)− r · (r · r)] =µ
r3
[rrr− rr2] =
µrrr2 −
µrr
=ddt
(−µr
r
).
Wegen c = const gilt aber auch
c× r =ddt
(c× r)
und somit
c× r + µrr
= const ≡ −µe.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 43: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/43.jpg)
6.5. Laplace-Integral6.5. Laplace-Integral
Vektorprodukt c× (3):
c× r = (r× r)×(−µr
r3
)=µ
r3 [r× (r× r)]
oder, da a× (b× c) = b · (a · c)− c · (a · b),
c× r =µ
r3 [r · (r · r)− r · (r · r)] =µ
r3
[rrr− rr2] =
µrrr2 −
µrr
=ddt
(−µr
r
).
Wegen c = const gilt aber auch
c× r =ddt
(c× r)
und somit
c× r + µrr
= const ≡ −µe.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 44: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/44.jpg)
6.5. Laplace-Integral6.5. Laplace-Integral
Vektorprodukt c× (3):
c× r = (r× r)×(−µr
r3
)=µ
r3 [r× (r× r)]
oder, da a× (b× c) = b · (a · c)− c · (a · b),
c× r =µ
r3 [r · (r · r)− r · (r · r)] =µ
r3
[rrr− rr2] =
µrrr2 −
µrr
=ddt
(−µr
r
).
Wegen c = const gilt aber auch
c× r =ddt
(c× r)
und somit
c× r + µrr
= const ≡ −µe.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 45: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/45.jpg)
6.5. Laplace-Integral6.5. Laplace-Integral
c× r + µrr
= const ≡ −µe. (4)
Dies ist das Laplace-Integral und e ist der Laplace-Vektor.
Haben wir jetzt 7 Integrationskonstanten?
Nein! Der Laplace-Vektor ist nicht ganz unabhangig von den vorigenIntegralen:
c · e = 0
und
µ2(e2 − 1) = hc2 (c = |c| und e = |e|).
Es sind also bisher 5 Konstanten. Die sechste ist die Position entlang der Bahnzu einem fixen Zeitpunkt.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 46: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/46.jpg)
6.5. Laplace-Integral6.5. Laplace-Integral
c× r + µrr
= const ≡ −µe. (4)
Dies ist das Laplace-Integral und e ist der Laplace-Vektor.
Haben wir jetzt 7 Integrationskonstanten?
Nein! Der Laplace-Vektor ist nicht ganz unabhangig von den vorigenIntegralen:
c · e = 0
und
µ2(e2 − 1) = hc2 (c = |c| und e = |e|).
Es sind also bisher 5 Konstanten. Die sechste ist die Position entlang der Bahnzu einem fixen Zeitpunkt.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 47: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/47.jpg)
6.5. Laplace-Integral6.5. Laplace-Integral
c× r + µrr
= const ≡ −µe. (4)
Dies ist das Laplace-Integral und e ist der Laplace-Vektor.
Haben wir jetzt 7 Integrationskonstanten?
Nein! Der Laplace-Vektor ist nicht ganz unabhangig von den vorigenIntegralen:
c · e = 0
und
µ2(e2 − 1) = hc2 (c = |c| und e = |e|).
Es sind also bisher 5 Konstanten. Die sechste ist die Position entlang der Bahnzu einem fixen Zeitpunkt.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 48: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/48.jpg)
6.6. Geometrie der Bahnen6.6. Geometrie der Bahnen
M1
M2
r
eθ
Wir nutzen e als Bezugsrichtung, und es folgt:
r · e = re cos θ. (5)
Andererseits gilt wegen (4) auch:
r · e = −r ·[
c× rµ
+rr
]
=r · (r× c)
µ− r =
(r× r) · cµ
− r
=c2
µ− r.
Nach Gleichsetzen von (6) und (5) ergibt sich diebekannte Gleichung fur Kegelschnitte in Polarkoor-dinaten:
r(θ) =c2/µ
1 + e cos θ.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 49: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/49.jpg)
6.6. Geometrie der Bahnen6.6. Geometrie der Bahnen
M1
M2
r
eθ
Wir nutzen e als Bezugsrichtung, und es folgt:
r · e = re cos θ. (5)
Andererseits gilt wegen (4) auch:
r · e = −r ·[
c× rµ
+rr
]
=r · (r× c)
µ− r =
(r× r) · cµ
− r
=c2
µ− r.
Nach Gleichsetzen von (6) und (5) ergibt sich diebekannte Gleichung fur Kegelschnitte in Polarkoor-dinaten:
r(θ) =c2/µ
1 + e cos θ.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 50: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/50.jpg)
6.6. Geometrie der Bahnen6.6. Geometrie der Bahnen
M1
M2
r
eθ
Wir nutzen e als Bezugsrichtung, und es folgt:
r · e = re cos θ. (5)
Andererseits gilt wegen (4) auch:
r · e = −r ·[
c× rµ
+rr
]
=r · (r× c)
µ− r =
(r× r) · cµ
− r
=c2
µ− r.
Nach Gleichsetzen von (6) und (5) ergibt sich diebekannte Gleichung fur Kegelschnitte in Polarkoor-dinaten:
r(θ) =c2/µ
1 + e cos θ.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 51: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/51.jpg)
6.6. Geometrie der Bahnen6.6. Geometrie der Bahnen
M1
M2
r
eθ
Wir nutzen e als Bezugsrichtung, und es folgt:
r · e = re cos θ. (5)
Andererseits gilt wegen (4) auch:
r · e = −r ·[
c× rµ
+rr
]=
r · (r× c)
µ− r
=(r× r) · c
µ− r
=c2
µ− r.
Nach Gleichsetzen von (6) und (5) ergibt sich diebekannte Gleichung fur Kegelschnitte in Polarkoor-dinaten:
r(θ) =c2/µ
1 + e cos θ.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 52: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/52.jpg)
6.6. Geometrie der Bahnen6.6. Geometrie der Bahnen
M1
M2
r
eθ
Wir nutzen e als Bezugsrichtung, und es folgt:
r · e = re cos θ. (5)
Andererseits gilt wegen (4) auch:
r · e = −r ·[
c× rµ
+rr
]=
r · (r× c)
µ− r =
(r× r) · cµ
− r
=c2
µ− r.
Nach Gleichsetzen von (6) und (5) ergibt sich diebekannte Gleichung fur Kegelschnitte in Polarkoor-dinaten:
r(θ) =c2/µ
1 + e cos θ.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 53: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/53.jpg)
6.6. Geometrie der Bahnen6.6. Geometrie der Bahnen
M1
M2
r
eθ
Wir nutzen e als Bezugsrichtung, und es folgt:
r · e = re cos θ. (5)
Andererseits gilt wegen (4) auch:
r · e = −r ·[
c× rµ
+rr
]=
r · (r× c)
µ− r =
(r× r) · cµ
− r
=c2
µ− r. (6)
Nach Gleichsetzen von (6) und (5) ergibt sich diebekannte Gleichung fur Kegelschnitte in Polarkoor-dinaten:
r(θ) =c2/µ
1 + e cos θ.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 54: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/54.jpg)
6.6. Geometrie der Bahnen6.6. Geometrie der Bahnen
M1
M2
r
eθ
Wir nutzen e als Bezugsrichtung, und es folgt:
r · e = re cos θ. (5)
Andererseits gilt wegen (4) auch:
r · e = −r ·[
c× rµ
+rr
]=
r · (r× c)
µ− r =
(r× r) · cµ
− r
=c2
µ− r. (6)
Nach Gleichsetzen von (6) und (5) ergibt sich diebekannte Gleichung fur Kegelschnitte in Polarkoor-dinaten:
r(θ) =c2/µ
1 + e cos θ.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 55: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/55.jpg)
6.6. Geometrie der Bahnen6.6. Geometrie der Bahnen
e
M2
θr
M1
b
a a e
r(θ) =c2/µ
1 + e cos θ
e zeigt z. sonnennachsten Pkt. (Perihel)e = |e| . . . (numerische) Exzentrizitat
0 ≤ e < 1: Ellipsee = 1: Parabele > 1: Hyperbel
a . . . große Halbachse
b . . . kleine Halbachse = a√
1− e2
I. Drehimpulskonstante: c =√µa(1− e2), weil
rmin = a(1−e) ≡ q, rmax = a(1+e) ≡ Q
, und somit r(θ) =a(1− e2)
1 + e cos θ.
II. Energiekonstante (ohne Ableitung): h = −µ/a und somit
v2 = µ
(2r− 1
a
).
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 56: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/56.jpg)
6.6. Geometrie der Bahnen6.6. Geometrie der Bahnen
e
M2
θr
M1
b
a a e
r(θ) =c2/µ
1 + e cos θ
e zeigt z. sonnennachsten Pkt. (Perihel)e = |e| . . . (numerische) Exzentrizitat
0 ≤ e < 1: Ellipsee = 1: Parabele > 1: Hyperbel
a . . . große Halbachse
b . . . kleine Halbachse = a√
1− e2
I. Drehimpulskonstante: c =√µa(1− e2), weil
rmin = a(1−e) ≡ q, rmax = a(1+e) ≡ Q
, und somit r(θ) =a(1− e2)
1 + e cos θ.
II. Energiekonstante (ohne Ableitung): h = −µ/a und somit
v2 = µ
(2r− 1
a
).
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 57: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/57.jpg)
6.6. Geometrie der Bahnen6.6. Geometrie der Bahnen
e
M2
θr
M1
b
a
a e
r(θ) =c2/µ
1 + e cos θ
e zeigt z. sonnennachsten Pkt. (Perihel)e = |e| . . . (numerische) Exzentrizitat
0 ≤ e < 1: Ellipsee = 1: Parabele > 1: Hyperbel
a . . . große Halbachse
b . . . kleine Halbachse = a√
1− e2
I. Drehimpulskonstante: c =√µa(1− e2), weil
rmin = a(1−e) ≡ q, rmax = a(1+e) ≡ Q
, und somit r(θ) =a(1− e2)
1 + e cos θ.
II. Energiekonstante (ohne Ableitung): h = −µ/a und somit
v2 = µ
(2r− 1
a
).
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
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6.6. Geometrie der Bahnen6.6. Geometrie der Bahnen
e
M2
θr
M1
b
a
a e
r(θ) =c2/µ
1 + e cos θ
e zeigt z. sonnennachsten Pkt. (Perihel)e = |e| . . . (numerische) Exzentrizitat
0 ≤ e < 1: Ellipsee = 1: Parabele > 1: Hyperbel
a . . . große Halbachse
b . . . kleine Halbachse = a√
1− e2
I. Drehimpulskonstante: c =√µa(1− e2), weil
rmin = a(1−e) ≡ q, rmax = a(1+e) ≡ Q
, und somit r(θ) =a(1− e2)
1 + e cos θ.
II. Energiekonstante (ohne Ableitung): h = −µ/a und somit
v2 = µ
(2r− 1
a
).
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
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6.6. Geometrie der Bahnen6.6. Geometrie der Bahnen
e
M2
θr
M1
b
a a e
r(θ) =c2/µ
1 + e cos θ
e zeigt z. sonnennachsten Pkt. (Perihel)e = |e| . . . (numerische) Exzentrizitat
0 ≤ e < 1: Ellipsee = 1: Parabele > 1: Hyperbel
a . . . große Halbachse
b . . . kleine Halbachse = a√
1− e2
I. Drehimpulskonstante: c =√µa(1− e2), weil
rmin = a(1−e) ≡ q, rmax = a(1+e) ≡ Q
, und somit r(θ) =a(1− e2)
1 + e cos θ.
II. Energiekonstante (ohne Ableitung): h = −µ/a und somit
v2 = µ
(2r− 1
a
).
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6.6. Geometrie der Bahnen6.6. Geometrie der Bahnen
e
M2
θr
M1
b
a a e
r(θ) =c2/µ
1 + e cos θ
e zeigt z. sonnennachsten Pkt. (Perihel)e = |e| . . . (numerische) Exzentrizitat
0 ≤ e < 1: Ellipsee = 1: Parabele > 1: Hyperbel
a . . . große Halbachse
b . . . kleine Halbachse = a√
1− e2
I. Drehimpulskonstante: c =√µa(1− e2), weil
rmin = a(1−e) ≡ q, rmax = a(1+e) ≡ Q, und somit r(θ) =a(1− e2)
1 + e cos θ.
II. Energiekonstante (ohne Ableitung): h = −µ/a und somit
v2 = µ
(2r− 1
a
).
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6.6. Geometrie der Bahnen6.6. Geometrie der Bahnen
e
M2
θr
M1
b
a a e
r(θ) =c2/µ
1 + e cos θ
e zeigt z. sonnennachsten Pkt. (Perihel)e = |e| . . . (numerische) Exzentrizitat
0 ≤ e < 1: Ellipsee = 1: Parabele > 1: Hyperbel
a . . . große Halbachse
b . . . kleine Halbachse = a√
1− e2
I. Drehimpulskonstante: c =√µa(1− e2), weil
rmin = a(1−e) ≡ q, rmax = a(1+e) ≡ Q, und somit r(θ) =a(1− e2)
1 + e cos θ.
II. Energiekonstante (ohne Ableitung): h = −µ/a und somit
v2 = µ
(2r− 1
a
).
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
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6.7. Kepler’sche Gesetze6.7. Kepler’sche Gesetze
I. Das erste Kepler’sche Gesetz . . . haben wir bereits bewiesen:
Die Bahn eines Planeten ist eine Ellipse mit der Sonne in einem Brennpunkt.
II. Das zweite Kepler’sche Gesetz:
M1 M2
r + dr
r
dS dr
= v dt
dS = 12 |r× dr|
= 12 |r× (v dt)| = 1
2 c dt.
Der Radiusvektor eines Planeten uberstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flachen.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
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6.7. Kepler’sche Gesetze6.7. Kepler’sche Gesetze
I. Das erste Kepler’sche Gesetz . . . haben wir bereits bewiesen:
Die Bahn eines Planeten ist eine Ellipse mit der Sonne in einem Brennpunkt.
II. Das zweite Kepler’sche Gesetz:
M1 M2
r + dr
r
dS dr
= v dtdS = 1
2 |r× dr|
= 12 |r× (v dt)| = 1
2 c dt.
Der Radiusvektor eines Planeten uberstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flachen.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
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6.7. Kepler’sche Gesetze6.7. Kepler’sche Gesetze
I. Das erste Kepler’sche Gesetz . . . haben wir bereits bewiesen:
Die Bahn eines Planeten ist eine Ellipse mit der Sonne in einem Brennpunkt.
II. Das zweite Kepler’sche Gesetz:
M1 M2
r + dr
r
dS dr
= v dt
dS = 12 |r× dr|
= 12 |r× (v dt)| = 1
2 c dt.
Der Radiusvektor eines Planeten uberstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flachen.
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6.7. Kepler’sche Gesetze6.7. Kepler’sche Gesetze
I. Das erste Kepler’sche Gesetz . . . haben wir bereits bewiesen:
Die Bahn eines Planeten ist eine Ellipse mit der Sonne in einem Brennpunkt.
II. Das zweite Kepler’sche Gesetz:
M1 M2
r + dr
r
dS dr = v dtdS = 1
2 |r× dr| = 12 |r× (v dt)|
= 12 c dt.
Der Radiusvektor eines Planeten uberstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flachen.
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6.7. Kepler’sche Gesetze6.7. Kepler’sche Gesetze
I. Das erste Kepler’sche Gesetz . . . haben wir bereits bewiesen:
Die Bahn eines Planeten ist eine Ellipse mit der Sonne in einem Brennpunkt.
II. Das zweite Kepler’sche Gesetz:
M1 M2
r + dr
r
dS dr = v dtdS = 1
2 |r× dr| = 12 |r× (v dt)| = 1
2 c dt.
Der Radiusvektor eines Planeten uberstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flachen.
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6.7. Kepler’sche Gesetze6.7. Kepler’sche Gesetze
I. Das erste Kepler’sche Gesetz . . . haben wir bereits bewiesen:
Die Bahn eines Planeten ist eine Ellipse mit der Sonne in einem Brennpunkt.
II. Das zweite Kepler’sche Gesetz:
M1 M2
r + dr
r
dS dr = v dtdS = 1
2 |r× dr| = 12 |r× (v dt)| = 1
2 c dt.
Der Radiusvektor eines Planeten uberstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flachen.
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6.7. Kepler’sche Gesetze6.7. Kepler’sche Gesetze
III. Das dritte Kepler’sche Gesetz:
Integration von dS uber eine volle Umlaufperiode P:
S = 12
P∫0
c dt
= 12 cP = 1
2
√µa(1− e2)P.
Andererseits gilt fur die Flache einer Ellipse
S = πab = πa2√
1− e2.
Nach Gleichsetzen, Quadrieren und Umformen folgt
P2
a3 =4π2
µ
=4π2
G(M1 + M2)≈ 4π2
GM1(→ fur alle Planeten gleich).
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die drittenPotenzen ihrer großen Halbachsen.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
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6.7. Kepler’sche Gesetze6.7. Kepler’sche Gesetze
III. Das dritte Kepler’sche Gesetz:
Integration von dS uber eine volle Umlaufperiode P:
S = 12
P∫0
c dt = 12 cP
= 12
√µa(1− e2)P.
Andererseits gilt fur die Flache einer Ellipse
S = πab = πa2√
1− e2.
Nach Gleichsetzen, Quadrieren und Umformen folgt
P2
a3 =4π2
µ
=4π2
G(M1 + M2)≈ 4π2
GM1(→ fur alle Planeten gleich).
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die drittenPotenzen ihrer großen Halbachsen.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
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6.7. Kepler’sche Gesetze6.7. Kepler’sche Gesetze
III. Das dritte Kepler’sche Gesetz:
Integration von dS uber eine volle Umlaufperiode P:
S = 12
P∫0
c dt = 12 cP = 1
2
√µa(1− e2)P.
Andererseits gilt fur die Flache einer Ellipse
S = πab = πa2√
1− e2.
Nach Gleichsetzen, Quadrieren und Umformen folgt
P2
a3 =4π2
µ
=4π2
G(M1 + M2)≈ 4π2
GM1(→ fur alle Planeten gleich).
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die drittenPotenzen ihrer großen Halbachsen.
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6.7. Kepler’sche Gesetze6.7. Kepler’sche Gesetze
III. Das dritte Kepler’sche Gesetz:
Integration von dS uber eine volle Umlaufperiode P:
S = 12
P∫0
c dt = 12 cP = 1
2
√µa(1− e2)P.
Andererseits gilt fur die Flache einer Ellipse
S = πab = πa2√
1− e2.
Nach Gleichsetzen, Quadrieren und Umformen folgt
P2
a3 =4π2
µ
=4π2
G(M1 + M2)≈ 4π2
GM1(→ fur alle Planeten gleich).
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die drittenPotenzen ihrer großen Halbachsen.
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6.7. Kepler’sche Gesetze6.7. Kepler’sche Gesetze
III. Das dritte Kepler’sche Gesetz:
Integration von dS uber eine volle Umlaufperiode P:
S = 12
P∫0
c dt = 12 cP = 1
2
√µa(1− e2)P.
Andererseits gilt fur die Flache einer Ellipse
S = πab = πa2√
1− e2.
Nach Gleichsetzen, Quadrieren und Umformen folgt
P2
a3 =4π2
µ
=4π2
G(M1 + M2)≈ 4π2
GM1(→ fur alle Planeten gleich).
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die drittenPotenzen ihrer großen Halbachsen.
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6.7. Kepler’sche Gesetze6.7. Kepler’sche Gesetze
III. Das dritte Kepler’sche Gesetz:
Integration von dS uber eine volle Umlaufperiode P:
S = 12
P∫0
c dt = 12 cP = 1
2
√µa(1− e2)P.
Andererseits gilt fur die Flache einer Ellipse
S = πab = πa2√
1− e2.
Nach Gleichsetzen, Quadrieren und Umformen folgt
P2
a3 =4π2
µ=
4π2
G(M1 + M2)
≈ 4π2
GM1(→ fur alle Planeten gleich).
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die drittenPotenzen ihrer großen Halbachsen.
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![Page 74: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/74.jpg)
6.7. Kepler’sche Gesetze6.7. Kepler’sche Gesetze
III. Das dritte Kepler’sche Gesetz:
Integration von dS uber eine volle Umlaufperiode P:
S = 12
P∫0
c dt = 12 cP = 1
2
√µa(1− e2)P.
Andererseits gilt fur die Flache einer Ellipse
S = πab = πa2√
1− e2.
Nach Gleichsetzen, Quadrieren und Umformen folgt
P2
a3 =4π2
µ=
4π2
G(M1 + M2)≈ 4π2
GM1
(→ fur alle Planeten gleich).
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die drittenPotenzen ihrer großen Halbachsen.
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6.7. Kepler’sche Gesetze6.7. Kepler’sche Gesetze
III. Das dritte Kepler’sche Gesetz:
Integration von dS uber eine volle Umlaufperiode P:
S = 12
P∫0
c dt = 12 cP = 1
2
√µa(1− e2)P.
Andererseits gilt fur die Flache einer Ellipse
S = πab = πa2√
1− e2.
Nach Gleichsetzen, Quadrieren und Umformen folgt
P2
a3 =4π2
µ=
4π2
G(M1 + M2)≈ 4π2
GM1(→ fur alle Planeten gleich).
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die drittenPotenzen ihrer großen Halbachsen.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
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6.7. Kepler’sche Gesetze6.7. Kepler’sche Gesetze
III. Das dritte Kepler’sche Gesetz:
Integration von dS uber eine volle Umlaufperiode P:
S = 12
P∫0
c dt = 12 cP = 1
2
√µa(1− e2)P.
Andererseits gilt fur die Flache einer Ellipse
S = πab = πa2√
1− e2.
Nach Gleichsetzen, Quadrieren und Umformen folgt
P2
a3 =4π2
µ=
4π2
G(M1 + M2)≈ 4π2
GM1(→ fur alle Planeten gleich).
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die drittenPotenzen ihrer großen Halbachsen.
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
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6.8. Bahnelemente6.8. Bahnelemente
Die 6 Bewegungsintegrale entsprechen 6 Konstanten, die die Bewegungvollstandig beschreiben.
(c, h, e) und (r, r) sind unanschaulich.
Daher definiert man die Bahn uber 6”Bahnelemente“:
i . . . InklinationΩ . . . Lange des aufsteigenden Knotensω . . . Argument des Perizentrumsa . . . große Halbachsee . . . ExzentrizitatT . . . Perizentrumszeit
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6.8. Bahnelemente6.8. Bahnelemente
Die 6 Bewegungsintegrale entsprechen 6 Konstanten, die die Bewegungvollstandig beschreiben.
(c, h, e) und (r, r) sind unanschaulich.
Daher definiert man die Bahn uber 6”Bahnelemente“:
i . . . InklinationΩ . . . Lange des aufsteigenden Knotensω . . . Argument des Perizentrumsa . . . große Halbachsee . . . ExzentrizitatT . . . Perizentrumszeit
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![Page 79: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/79.jpg)
6.8. Bahnelemente6.8. Bahnelemente
Die 6 Bewegungsintegrale entsprechen 6 Konstanten, die die Bewegungvollstandig beschreiben.
(c, h, e) und (r, r) sind unanschaulich.
Daher definiert man die Bahn uber 6”Bahnelemente“:
i . . . InklinationΩ . . . Lange des aufsteigenden Knotensω . . . Argument des Perizentrumsa . . . große Halbachsee . . . ExzentrizitatT . . . Perizentrumszeit
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6.8. Bahnelemente6.8. Bahnelemente
Die 6 Bewegungsintegrale entsprechen 6 Konstanten, die die Bewegungvollstandig beschreiben.
(c, h, e) und (r, r) sind unanschaulich.
Daher definiert man die Bahn uber 6”Bahnelemente“:
i . . . Inklination
Ω . . . Lange des aufsteigenden Knotensω . . . Argument des Perizentrumsa . . . große Halbachsee . . . ExzentrizitatT . . . Perizentrumszeit
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 81: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/81.jpg)
6.8. Bahnelemente6.8. Bahnelemente
Die 6 Bewegungsintegrale entsprechen 6 Konstanten, die die Bewegungvollstandig beschreiben.
(c, h, e) und (r, r) sind unanschaulich.
Daher definiert man die Bahn uber 6”Bahnelemente“:
i . . . InklinationΩ . . . Lange des aufsteigenden Knotens
ω . . . Argument des Perizentrumsa . . . große Halbachsee . . . ExzentrizitatT . . . Perizentrumszeit
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 82: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/82.jpg)
6.8. Bahnelemente6.8. Bahnelemente
Die 6 Bewegungsintegrale entsprechen 6 Konstanten, die die Bewegungvollstandig beschreiben.
(c, h, e) und (r, r) sind unanschaulich.
Daher definiert man die Bahn uber 6”Bahnelemente“:
i . . . InklinationΩ . . . Lange des aufsteigenden Knotensω . . . Argument des Perizentrums
a . . . große Halbachsee . . . ExzentrizitatT . . . Perizentrumszeit
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 83: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/83.jpg)
6.8. Bahnelemente6.8. Bahnelemente
Die 6 Bewegungsintegrale entsprechen 6 Konstanten, die die Bewegungvollstandig beschreiben.
(c, h, e) und (r, r) sind unanschaulich.
Daher definiert man die Bahn uber 6”Bahnelemente“:
i . . . InklinationΩ . . . Lange des aufsteigenden Knotensω . . . Argument des Perizentrumsa . . . große Halbachse
e . . . ExzentrizitatT . . . Perizentrumszeit
Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik
![Page 84: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/84.jpg)
6.8. Bahnelemente6.8. Bahnelemente
Die 6 Bewegungsintegrale entsprechen 6 Konstanten, die die Bewegungvollstandig beschreiben.
(c, h, e) und (r, r) sind unanschaulich.
Daher definiert man die Bahn uber 6”Bahnelemente“:
i . . . InklinationΩ . . . Lange des aufsteigenden Knotensω . . . Argument des Perizentrumsa . . . große Halbachsee . . . Exzentrizitat
T . . . Perizentrumszeit
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![Page 85: 6. Himmelsmechanik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071518/613c55c5d5ddbd1b6607b10a/html5/thumbnails/85.jpg)
6.8. Bahnelemente6.8. Bahnelemente
Die 6 Bewegungsintegrale entsprechen 6 Konstanten, die die Bewegungvollstandig beschreiben.
(c, h, e) und (r, r) sind unanschaulich.
Daher definiert man die Bahn uber 6”Bahnelemente“:
i . . . InklinationΩ . . . Lange des aufsteigenden Knotensω . . . Argument des Perizentrumsa . . . große Halbachsee . . . ExzentrizitatT . . . Perizentrumszeit
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