Download - 61253196-Teori-kebarangkalian
Teori kebarangkalian
Teori kebarangkalian adalah cabang matematik berkenaan dengan analisis
fenomena rawak.Tujuan utama teori kebarangkalian ialah pembolehubah rawak, proses
stokastik, dan peristiwa: peniskalaan matematik peristiwa tak-berketentuan atau kuantiti
yang diukur yang mungkin merupakan kejadian tunggal atau berkembang mengikut
masa tampaknya secara rawak. Walapun satu lambungan syiling atau balingan dadu
merupakan satu kejadian rawak, jika diulang banyak kali satu urutan peristiwa rawak
akan menunjukkan pola statistik tertentu, yang boleh dikaji dan diramal. Dua hasil
matematik berperwakilan yang menerangkan pola seperti ini ialah hukum bilangan
besar dan teorem had memusat.
Sebagai asas matematik untuk statistik, teori kebarangkalian amat penting untuk
banyak aktiviti manusia yang melibatkan analisis kuantitatif set data yang besar. Teknik
teori kebarangkalian turut boleh digunakan dalam penerangan suatu sistem kompleks di
mana hanyak sebahagian keadaannya diketahui, seperti dalam mekanik statistik. Satu
penemuan besar dalam fizik abad ke-20 ialah sifat berkebarangkalian fenomena fizik
pada skala atom, yang diterangkan dalam mekanik kuantum
DEFINISI KEBERANGKALIAN
Peluang sesuatu berlaku
Himpunan satu atau lebih kesudahan yang
mungkin terhasil selepas ujikaji
Aktiviti/proses menghasilkan
sesuatu peristiwa
Hasilan ujikaji/ruang sampel
Pengiraan Kebarangkalian
Kebarangkalian, P boleh dikira berdasarkan:
P(Peristiwa A) = Bil. Peristiwa A yg mungkin ÷ Bil. Populasi.
Contoh: Aktiviti melambung duit siling yang adil dan merekodkan keputusannya.
Keputusan yang mungkin atau populasi ={K,E}
Jika kita takrifkan Peristiwa A sebagai mendaptkan kepala iaitu
Peristiwa A={K}, maka Peristiwa A adalah subset kepada populasi
Dan P({K})=n({K})/n({K,E})=1/2=0.5.
Contoh:
Sebuah kotak dibahagi 2, Petak A dan B dengan lubang yang menghubungkan antara
keduanya. Petak A mengandungi 100 ekor lalat, dan 5 daripadanya yg dipilih secara
rambang dan diwarnakan.
Kita berminat kepada peristiwa lalat berwarna adalah yg pertama memasuki Petak B.
Maka P (Lalat Pertama Memasuki Petak B adalah Lalat Berwarna)
= Bil. Lalat Berwarna ÷ Bil. Semua Lalat
= 5/100
=0.05 atau 5 %
Kita katakan terdapat 5% kemungkinan (atau kebarangkalian) yg lalat pertama
memasuki petak B adalah lalat berwarna.
, dan 0 ≤ P (E) ≤ 1.
KONSEP KEBERANGKALIAN
Uji kaji
Uji kaji - Satu proses yang apabila dilaksanakan menghasilkan satu dan hanya
satu keputusan yang diperolehi daripada cerapan
Contoh : Ujikaji melambung dadu dan ujikaji melambung sekeping duit syiling.
Ruang sampel
Ruang sampel - Set semua kesudahan yang mungkin bagi suatu eksperimen .
KONSEP KEBERANGKALIAN
Ruang sampel
Keberangkalian bersyaratPeristiwa tak
saling ekslusif
Uji kaji
Perisiwa saling eksklusif
Keberangkalian klasik
Keberangkalian kekerapan relatif
Peristiwa merdeka
Contoh ruang sampel yang ada :
Himpunan
Gambar rajah Venn
Jadual kontigensi
Gambar rajah pokok
1. Contoh himpunan:
Ujikaji melambung dadu
S = {1,2,3,4,5,6}
2. Contoh venn diagram:
Ujikaji kelahiran bayi
S = {lelaki, perempuan}
S
3. Contoh gambar rajah pokok:
Ujikaji kelahiran bayi
S = {lelaki, perempuan}
Lelaki
S
Perempuan
LelakiPerempuan
Keberangkalian kekerapan relatif
Keberangkalian kekerapan relatif – ujikaji yang dijalankan berulang kali dan
bilangan peristiwa A akan berlaku.
P (A) =
Semakin banyak ujikaji dijalankan, anggaran akan menghampiri kebarangkalian
yang sebenarnya.
Peristiwa saling ekslusif dan tak saling eksklusif
Peristiwa saling ekslusif – Peristiwa A dan B saling eksklusif jika mereka tidak
berlaku serentak.
Sekiranya dua peristiwa adalah saling eksklusif maka kebarangkalian salah satu
daripadanya berlaku ialah:
A B = dan n ( A U B ) = 0 serta P (A B) = 0
P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B )
Peristiwa saling tak eksklusif – Peristiwa A dan B tidak saling eksklusif jika
mereka berlaku serentak.
Sekiranya peristiwa-peristiwa tersebut adalah tidak saling eksklusif maka
P ( A ) 0 dan P ( B ) 0
P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) – P (A B )
Sebagai contoh ,peristiwa mendapat mangsa jenayah yang dilakukan oleh orang
luar dan peristiwa mendapat mangsa jenayah yg dilakukan oleh saudara/rapat
adalah peristiwa saling eksklusif. Ini kerana dlm kedua-dua peristiwa penjenayah
tidak mungkin orang luar dan saudara/rapat dengan mangsa pada masa yg sama.
Contoh:
Katakan komputer memilih secara rawak digit terakhir bagi satu nombor telefon (8
digit). Dapatkan kebarangkalian digit tersebut adalah
a) nombor 8 atau 9
b) nombor ganjil atau kurang drp 4..
Penyelesaian (a)
A = peristiwa mendapat nombor 8
B = peristiwa mendapat nombor 9
Adakah peristiwa A dan B saling eksklusif?
Ya, saling eksklusif. Dengan itu P (8 Ç 9) = 0
Petua penambahan:
P (A È B) = P (A) + P (B) – P (A Ç B)
Penyelesaian (b)
A = peristiwa mendapat nombor ganjil
B = peristiwa nombor kurang drp 4
Adakah peristiwa A dan B saling eksklusif?
Tidak saling eksklusif.
Petua penambahan:
P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB)
Keberangkalian bersyarat
Keberangkalian bersyarat – Kebarangkalian sesuatu peristiwa A akan berlaku
jika peristiwa B telah berlaku dan dinyatakan
dalam bentuk simbol P(A|B)
Pengetahuan/maklumat tambahan yang memberi kesan kepada kesudahan ujikaji
Kebarangkalian bersyarat bermaksud kebarangkalian bagi sesuatu peristiwa
berlaku, iaitu diberi bahawa peristiwa lain sudah berlaku.
P(A l B) - kebarangkalian peristiwa A berlaku diberi bahawa peristiwa B sudah
berlaku.
P = atau P =
Peristiwa
Peristiwa - Satu himpunan atau lebih kesudahan-kesudahan bagi satu ujikaji
Ada dua jenis peristiwa iaitu peristiwa mudah dan peristiwa kompoun (majmuk).
Peristiwa mudah hanya terdiri daripada satu dan hanya satu kesudahan. Peristiwa
mudah dilabelkan sebagai E1, E2 dan seterusnya. Jika E adalah satu peristiwa
mudah , maka 0 ≤ P ( E ) ≤ 1.
Contoh 1:
Katakan kita memilih secara rawak 2 biji guli daripada sebuah uncang. Cerap sama
ada guli yg terpilih setiap kali pilihan adalah biru atau merah.
Andaikan b = biru dan m = merah.
- Menggunakan gambar rajah Venn
S
- Menggunakan gambar rajah Pokok
Maka, S = {bb, bm, mb, mm}.
Dari itu, Peristiwa mudah bagi ujikaji ini adalah,
E1 = (bb), E2 = (bm), E3 = (mb) dan E4 = (mm)
Sesuatu peristiwa dikatakan peristiwa majmuk apabila peristiwa itu mengandungi
lebih daripada satu unsur daripada ruang sampel.
Keberangkalian klasik
Mengira kebarangkalian bagi suatu peristiwa ujikaji di mana ke semua kesudahan
adalah sama.
Katakan suatu ujikaji mempunyai n peristiwa mudah yang berbeza, di mana setiap
peristiwa mempunyai peluang yang sama untuk berlaku.
P (A) = bilangan peristiwa A akan berlaku bilangan kesudahan (n)
Contoh 2:
bbmmmbbm
Satu uncang mengandungi 1 biji guli biru dan 1 biji guli merah. Pilih secara rawak
dua biji guli (dengan pulangan). Biarkan A adalah peristiwa sekurang-kurangnya 1
biji guli biru terpilih.
S = {bb, bm, mb, mm} dan A = {bm, mb, bb}.
P (A) =
Peristiwa merdeka
Dua peristiwa A dan B dikatakan merdeka jika keberangkalian sesuatu peristiwa
berlaku tidak mempengaruhi keberangkalian peristiwa lain yang berlaku.
Secara amnya , dua peristiwa A dan B adalah merdeka atau tidak bersandar jika
P (A) = P (A | B) dan P (B) = P (B | A)
Daripada P (A | B) = , kita memperolehi P (A P (A) P (B)
Jika P (A | B) = P (A), iaitu A dan B adalah tidak bersandar atau merdeka.
Contoh :
Sebiji dadu dilemparkan 4 kali. Cari keberangkalian mendapat 5 bagi setiap lemparan.
Penyelesaian
Katakan A ialah peristiwa ‘ mendapat 5 pada lemparan pertama ‘
Katakan B ialah peristiwa ‘ mendapat 5 pada lemparan kedua ‘
Katakan C ialah peristiwa ‘ mendapat 5 pada lemparan ketiga ‘
Katakan D ialah peristiwa ‘ mendapat 5 pada lemparan keempat ‘
Peristiwa A, B , C , dan D semuanya tak bersandar ,maka
P (A B C D) = P (A) P (B) P (C) P (D)
=
=
Ringkasan Kebarangkalian
Peristiwa Kebarangkalian
A
bukan A
A atau B
A dan B
A bersyarat B
CONTOH KEBERANGKALIAN DALAM KEHIDUPAN SEHARIAN
CONTOH 1:
Empat orang pergi memancing.mereka dibenarkan memancing untuk satu jam sahaja.
Setiap orang tidak dibenarkan menangkap lebih daripada seekor ikan. Keberangkalian
setiap orang menangkap seekor ikan ialah . jika mereka memancing bersama –
bersama , apakah keberangkalian mereka menangkap
a) Tepat 2 ekor ikan?
b) Tepat 3 ekor ikan ?
c) 2 atau 3 ekor ikan?
d) Sekurang-kurangnya 2 ekor ikan?
Penyelesaian
Katakan ‘1100’ bermaksud pemancing pertama da kedua masing- masing menangkap
seekor ikan dan pemancing ketiga dan keempat tidak menangkap sebarang ikan dan ‘1’
bermaksud menangkap seekor ikan.
a) Kita ingin mencari keberangkalian bagi peristiwa A dengan
A = {1100, 1010 , 1001 ,0110 , 0101 ,0011 }
P (A) = 6.
=
b) Kita ingin mencari keberangkalian bagi peristiwa B , dengan
B = {1110, 1101 , 1011 , 0111}
P (B) = 4 .
=
c) Katakan C = Peristiwa menangkap 2 atau 3 ekor ikan
= A U B
P (C) = P (A U B)
= P (A) + P (B)
= +
=
=
d) Katakan D ialah peristiwa ‘menangkap sekurang-kurangnya 2 ekor ikan’ maka
D = A U B U {1111} dan
P (D) = P (A U B U ({|1111|})
= P (A) + P (B ) + P ({1111}) [ P ({|1111|} ) = = ]
= + +
=
=
=
CONTOH 2:
Sebuah syarikat menggunakan 3 mesin A, B, C untuk membuat kompenan elektronik .
mesin A menghasilkan 40 % daripada jumlah output syarikat itu; mesin B menghasilkan
50 % daripada jumlah output syarikat itu dan mesin C menghasilkan 10% daripada
jumlah output syarikat itu. Peratusan kompenan cacat yang dihasilkan oleh mesin A, B,
dan C adalah masing- masing 2%, 3%, dan 1%. Suatu kompenan dipilih secara rawak
daripada jumlah output syarikat itu.
a) Apakah keberangkalian kompenan itu rosak?
b) Apakah keberangkalian kompenan itu dihasilkan oleh mesin A , diberi
kompenan itu rosak?
c) Apakah keberangkalian kompenan itu dihasilkan oleh mesin A, diberi
kompenan itu tidak rosak?
d) Apakah keberangkalian kompenan itu dihasilkan oleh mesin B , diberi
kompenan itu rosak?
Penyelesaian :
Katakan R mewakili peristiwa ‘kompenan itu rosak’. Kita mula dengan melukis gambar
rajah pokok seperti berikut:
0.02 R P (A R) = 0.008
A
0.4 0.98 R’ P (A R’) = 0.392
0.03 R P (B R) = 0.015
Mula 0.5 B
0.97 R’ P (B R’) = 0.485
0.1 0.01 R P (C R) = 0.001
C
0.99 R’ P (C R’) = 0.099
a) P (R) = P (A B) + P(B R) + P(C R)
= (0.4) (0.02) + (0.05) (0.03) + (0.1) (0.01)
= 0.008 + 0.015 + 0.001
= 0.024
b) P (A | R) =
=
=
c) P (A | R’) =
=
=
=
d) P (B | R’) =
=
=
=
CONTOH 3
Dua orang sahabat yang mengambil kereta api metro untuk pergi ke tempat kerja dari
stesen yang sama tiba ke stesen secara rawak antara 7:00 dan 7:20 pagi. Mereka
sanggup menunggu selama lima minit yang lain selepas mereka memilih sama ada
mengambil kereta api secara bersama atau bersendirian. Apakah keberangkalian untuk
mereka berjumpa di stesen?
Penyelesaian
Dalam kordinat sistem Cartesian (s, t), segiempat sama bagi sisi 20 (minit) mewakili
keseluruhan keberangkalian bagi dua orang sahabat yang tiba pada pagi hari di stesen
kereta api metro.
Kawasan A yang kelabu itu terhad pada dua garisan lurus t = s + 5 dan t = s - 5
maka di dalam A , | s- t | 5 , diikuti dua sahabat yang akan berjumpa jika ditetapkan
ketibaan mereka s dan t berada pada kawasan A. Keberangkalian untuk peristiwa ini
terjadi diberi oleh nisbah bagi luas kawasan A ke luas kawasan segi empat sama:
[400 - (15× + 15× )] / 400 =
=
CONTOH 4
Seorang doktor dipanggil untuk merawat seorang budak yang sakit. Doktor itu
mempunyai maklumat utama iaitu 90% daripada budak sakit yang ada di kawasan
kejiranan itu menghidapi seleselma , manakala 10% sakit batuk. Biarkan F berdiri untuk
peristiwa ‘ budak sakit selesema ‘ dan M untuk peristiwa ‘budak sakit batuk’.
Andaikan F U M = 0, iaitu tiada penyakit lain kawasan kejiranan itu.
Simptom yang paling ketara bagi penyakit batuk ialah tekak berasa gatal (peristiwa ini
diwakili oleh R) P (R | M) = 0.95. Walaubagaimanapun, selesema juga ada simptom
yang sama dengan batuk, maka P (R | F) = 0.08.
Apabila memantau keadaan budak tersebut , doktor itu mendapati budak itu
mempunyai tekak yang gatal. Apakah keberangkalian budak itu menghidap batuk?
Penyelesaian
P (M | R) =
=
= 0.57
CONTOH 5
Dalam suatu kajian , ahli pakar fizik pernah ditanya tentang keganjilan yang ada pada
barah payu dara yang mungkin berada dalam diri wanita yang pada mulanya
mempunyai risiko 1% untuk mendapat barah tersebut tetapi berakhir dengan keputusan
mammogram positif ( mammogram mengklasifiksikan secara tepat sekitar 80%dari
tumor kanser dan 90% dari tumor permulaan.) 95 daripada 100 ahli fizik menjangkakan
keberangkalian mendapat barah tersebut adalah sekitar 75%. Adakah anda setuju?
Penyelesaian
Pengenalan peristiwa
P – keputusan mammogram yang positif
B – permulaan tumor
M – tumor yang kritikal
Formula Bayes bagi kes ini ialah;
P ( M | P ) =
=
0.075
75%
.