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Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 1
Prof. Alberto Guadagnini Dipartimento di Ingegneria Idraulica, Ambientale e del Rilevamento (DIIAR) Politecnico di Milano, Piazza Leonardo da Vinci, 32, 20133 Milano- Italy
CCOONNDDOOTTTTEE IINN PPRREESSSSIIOONNEE
Note del Corso di Meccanica dei Fluidi Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica - Facolt di Milano Bovisa
A.A. 1999 / 2000
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Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 2
2
CORRENTI IN PRESSIONE -MOTO UNIFORME
condotto cilindrico
J = f ( grandezze della corrente )
grandezze geometriche : ( area forma scabrezza ) grandezze cinematiche : Q , V grandezze fisiche : m , r , (e ) Hp: condotto cilindrico circolare moto uniforme sulla traiett. media V = cost J = cost lungo le traiettorie ( unica cadente ) t lineare lungo il raggio (da dimostrare)
v cost t, p = cost in sezioni trasversali diverse
p = idrost. (traiett. rettilinee)
comprimibilit
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Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 3
3
Come dimostrazione precedente
JR = gt
rr
CA
R
==
pp
2
2
rJr
=2
gt
00 r
r= tt
MOTO LAMINARE ( = REGOLARE = VISCOSO ) Distribuzione della velocit Traiettorie nel moto laminare traiettoria moto medio Eq. globale per cilindretto ( sopra )
0IMMdAnv
G 21A
*0i =+-+
m-+p++p
dAnvdA
nvdA
nvTR
AAA i
-=-
-=-=
000
mmm ,
essendo 00
=
dAnv
iA
poich 0=nv
(moto uniforme)
A0 = sup. laterale del cilindretto Ai0 = sup. di base (ingresso e uscita)
__ P0*
__ P1
__ M1
__ P2
__ M2 _
R _ G
r r0 _
n
Variazione lineare di t
TR -=
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Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 4
4
+=0A
dAnu
T m MODULO DI T
simmetriapertru
nu
cos=
-=
0AA
AdrdudA
drdudA
r)r(uT
00
m-=m-=
m-=
===
-=
JLrJALJWT
Lrdrdu
T
t2
2
pggg
pm
Jrdrdu
-=m
g2
fluido perfetto : m = 0 , J = 0 , .det00
indrdu
== ipotesi inaccettabile qualsiasi u=u(r) andrebbe bene !
_ R
_ T
_ v
_ n
L At
A0
cos ridotta leq. di Navier nel caso di moto laminare
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 5
5
Jrdrdu
-=m
g2
trJ
drrJur
cos42
2
0
+
-=
-= mg
mg
=
==
020
u
Drr
tDJ
cos44
02
+
-=m
g
-
= 22
44r
DJu
mg
44
2DJuMAX
=
mg
drrrDJ
drrudAuQ
DD
Atrasv
-
=== 2
0
222
0 422
mgp
p
( 2rA = p drrdA = p2 )
V
umax
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 6
6
4
128D
JQ
=
mgp
FORMULA DI POISEUILLE (ottenuta sperimentalmente) Valida se valida lHp. di Newton: u = 0 alla parete
MAXuDJ
AQ
V =
==21
321 2
mg
4D
cA
R ==
2
21
RJ
V =m
g
MOTO PIANO
analogamente 2
31
RJ
V =m
g
PER SEZIONE DI FORMA QUALUNQUE
2RJ
V
=m
ga
h y (v/r) = 0 t = 0
(potrebbe essere una sup. libera) L b
coeff. di forma
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 7
7
MOTO TURBOLENTO
di trasporto moto di agitazione (turbolenza) metodo Euleriano ( punto fisso )
@=T
m pertdtvTv
0
cos1
Tt >
secondo oreT
( )tzyxfvm ,,,=
'vvv m +=
( ) 011'00
' =-=-== mT
mm
T
m vvdtvvTdtv
Tv analogamente nF , p , r
_ v _
v _ vm
Componente dagitazione
P
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 8
8
per FUNZIONI :
F=A
n dAp nmnn ', F+F=F
( ) =F+F=PT A
nmnm dAdtT
'1
,
( ) =F+F= dtTdA Tnmn
A
'1
,
F=F+F=T A
mnn
AA
mn dAdtT
dAdA ,, '1
dAA
mnm F=P , Sostituire ad una ( )gF la media ( )mm gFF = vale solo se lespressione lineare NON per M
( ) ( ) =++== T T A
nmnmA
nm dAvvvvdtTdAvvdt
TM ',
'11 rr
{ } +++=A T T
nT
mnT
nmmnm dtvvdtvvdtvvdtvvTdA ',
'
, ''1
r
( ) +=A
mnA
mnmm dAvvdAvvM''
, rr
essendo campo fisso =
= 0 = 0
0
incompr.
= 0
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 9
9
essendo
( ) =T
nmn dtvvTvv '''
1'
Eq. di Navier ( fluido incompr. ) :
+r+
m-+A
m,nmA
m
Am dAvvdAn
vdAnpG
( ) =
-+W
m
Amn dWt
vdAvv 0'' rr
='M scambio di quantit di moto per turbolenza
m m
masse uguali ma v
quindi scambi di qt di moto appiattimento diagr. v
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 10
10
Sforzi tangenziali viscosi e turbolenti
Per lunif. (media ) : ( ) tvv mn cos'' = in succ.
sezioni trasversali 021 =- mm MM (comprendono anche 'M )
( ) =A
mn dAvvM''' r solo su Alat.
per simmetria ( ) tvv mn cos'' = su Alat
( )'n''' vv,uv -= Eq. di Navier
+r+
m-+
Am,nm
A
m
Am dAvvdAn
vdAnpG
( ) 0'' =
-+ dWt
vdAvv
W
m
Amn rr
=.
,laterA
mmn dAvvr
vn,m = 0 per moto permanente nullo su sup. laterale ma non sulle sez. trasversali (dove per vn,m sono uguali e contrari)
moto perman.
Moto uniforme
11 P+M 22 P+- M
'v0P
r x
u
v = -vn
M1 -M2
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 11
11
( ) 12sen zzL -= a
( ) 0'', =++
-+ A
mnA A
mnmm
Am dAvvdAvvdAn
vdAnpG rrm
( )
( ) 02
2
''
21
2122
=-
++-+-
-
m
m
vuLr
Lrdrdu
pprL
zzLr
rp
pmppg
( )mm vuLrLrdrdu
JLr ''2 22 r
--= ppmpg
( )
+-= mm vudr
duLrT ''2 rmp
( )mm vudrdu '' +-= rmt
Jr 2
g
L
z1
z2
z = 0
a
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 12
12
Moto laminare t (m) Moto puramente turbolento t(r) + scabrezza Moto turbolento di transizione t(m,r) + scabrezza aderente alla parete c : SUBSTRATO LIMITE VISCOSO
r (u v)m -m (dum/dr)
t
v = 0 ; tturb = 0
t turb , tvisc = 0 per simmetria
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 13
13
( )mm vudrdu
Jr ''2
+-== rmgt
( ) tdrvudrrJdrrd
ud rm
rrm cos''
2 000++-= m
rm
g
( ) tdrvurJur
mm cos''4 02 ++-= m
rm
g
=
=
2
0D
r
um ( ) -
-
=2
''22
44
D
rmm drvur
DJu
mr
mg
come moto laminare
= 0 per r = D/2 per r 0 , cresce
r
um ( ) drvuuD
rm
2/
''r
APPIATTITO confermato sperimentalmente
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 14
14
RICERCHE
( ) ( )mm vuoppurevu '''' r
1. Sperimentali 2. Teoriche
Prandtl: come per teoria cinetica dei gas percorso di mescolamento turbolento Hp.
Altre ipotesi di altri AA conducono a risultati anchessi soddisfacenti
conserva: la sua individualit la sua q.ta di moto
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 15
15
Analisi dimensionale A) Moto uniforme
( )rmt ,,,,0 VSDf=
( )rmat ,,,,,0 VSRf= forma Moto unif. laminare
( )
=
.,,10 speriment
controlloVDf mt
S coperto da pellicola aderente parete r non vi sono scambi di quantit di moto
D , V , m grandezze fondamentali
gba mt = VDk0
[ ] [ ] [ ] [ ]2120 --- LTFTLVLDLF mt
gggbba --- = 22 LTFTLLLF
FTL
==+-
-=-+
1
022
ggb
gba
11
1
==
-=
gb
a
condotto circolare
condotto di forma qualunque
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 16
16
DVk = mt 0
20 44 DV
kJJD
==gm
gt
( )832 2 == kteoricoDV
Jgm
DV
=m
t 80 BASTA 1 PROVA : noti m , V , D , J k B) Moto unif. puramente turbolento Hp. 0= soppureDs
( )rt ,,20 VDf=
gba rlt = VD10
[ ] [ ] [ ] [ ]2241 --- LFTLFTLVLD tr
gggbba --- = 242 TLFTLLLF
==-
-=-+
102
24
gbg
gba
===
120
gba
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 17
17
210 V= rlt
- basterebbe 1 sola prova per l1
- se c S
=
DS
11ll : basta 1 serie di prove
JD
=40
gt
DV
gDVJ
21
21 44 =
= l
grl
20
1 V=
rt
l - n indice di resistenza
- resistenza ridotta DARCY WEISBACH
lesperimentaformulaDg
VDg
VJ
=
=
28
2
2
1
2
ll
[ ]18 ll =
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 18
18
Numero di Reynolds
mr
m
rlt
t DVt
DV
k
V
LAM
PURTURB =
= cos
21
.0
..0
n puro n puro
mr DV
=Re indice del grado di turbolenza
2000Re @$ C valore critico ( stato critico )
122
01 Re64Re
648888 -==
=
==
DV
VVm
rrt
ll
TURBOLENTO LAMINARE
64/Re
log l
log Re Rec = 2000
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 19
19
TUBI LISCI ( moto uniforme in zona di transizione )
S = 0 ( )t r m0 3= f D V, , ,
mr
= V DRe
( )t r0 4= f D V, , , Re
( ) 210 Re V= rlt occorre 1 serie di esperienze Blasius (Re Rec < 10
5 e oltre )
l = -0 316 0 25, Re .
JVg D g V D
VD
tVD
=
=
= l mr
2 0 25
0 25 0 25 0 25
2 175
125203162.
cos.
. . .
.
.
Prandtl V.Karman
12
2 51l l
= -
log.
Re
dipende dal fluido
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 20
20
" tipo di moto
J k VD
m nm
n= + = 3
Hp. se ( )iamonb omRe -= al
JVg D
tVD
b
b= =
-
+l2 2
12cos
312 =++-=+ bbnm c.v.d.
64/Re
log l
log Re
0,316 Re-0,25
2000 4000
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 21
21
Lespressione di Prandtl-V.Karman
12
2 51l l
= -
log.
Re
deriva da : - Hp. percorso di mescolamento turbolento (Prandtl) - Hp. similitudine dei diagrammi di velocit in tubi lisci Si introduce
8
2
10* lrrl
rt
=
== VV
u
d
l=
115 8.Re
D
velocit di attrito
um
y
d
substrato limite viscoso
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 22
22
Moto uniforme TUBI SCABRI per definire S non basta una lunghezza Nikuradse (1930) l = cost MOTO PURAMENTE TURBOLENTO Prandtl-V.Krmn per tubi scabri
-=
Dd
71.31
log21l
d
log Re
log l Re *70 = (u*d)/n di attrito
d/D
d per Re
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 23
23
Moto unif. TUBI SCABRI REALI ABACO DI MOODY Le asperit escono gradualmente dallo strato limite viscoso COLEBROOK e WHITE
+
-=
De
ll 71.31
Re51.2
log21
va bene nella zona turb. di transizione perch si raccorda con tubi lisci ( [e /(3,71 D)]
trascurabile rispetto a [2,51/(Re l)]), ma vale anche per il moto puramente
turbolento ([2,51/(Re l )] trascurabile rispetto a [e /(3,71 D)] )
MA l implicito
log l Re *=70
log Re
turb. di transiz.
e/d
puram. turbol. laminare
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 24
24
VERIFICA 1. Dati : Q , D , e ? J Re Moody l J MOODY 2. Dati : J , D , e ? V , Q
JDgD
VJDg
=
= 22
ReRem
rl
COLEBR. l l
JDgV
=
2 Q
PROGETTO Dati : Q , J , e ? D
2
25
2
42
2
=
=p
llJg
QD
JgV
D
MOODY :
52
2'
2'
11
1 216
Re,p
lle
=Jg
QD
DD
noto
ecc.
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 25
25
Formule esplicite ( Colebrook ) 1. Cozzo
( )2
091.0
91.02
71.31.5
log8
021.0-
+-=DQ
Dg enpl
l < 4 % ma normalmente + piccoli 2. Citrini
=
+@
+=
-
2
2
71.3log41
Re
81
Re
41
el
el
ell
D
DD
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 26
26
FORMULE PRATICHE (Empiriche) 1. Pi antica COUPLET (Versailles)
tV
JD cos2
= e assoluta ?! 2. PRONY
Vba
VJD +=
2
3. DARCY
Db
aV
JD+=
2
- moto puramente turbolento
- scabrezza relativa
DDb e
- tubi in ghisa - a e b doppi dopo esercizio
5
2
DQ
J = b
mmDDb
a 5001 +=b
Moto pur. turbolento
Moto turb. di transizione
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 27
27
4. CHEZY
RCV
J
= 22
scabrezzadiecofficientg
Cl
=8
C non n puro Per un assegnato tubo si ha che : C = cost () l = cost moto
pur. turb. C ( l) non dipende dal fluido
- Bazin
R
Cg
+=
1
87 indice di scabrezza
- Kutter
Rm
C+
=1
100
- Strickler = e,61
cRcC
34
2
2
Rc
VJ
=
- Manning c
n1
=
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 28
28
5. CONTESSINI
condotte in acciaio ab DQ
J2
= b = 0.0012 a = 5.26 tubi nuovi b = 0.0020 a = 5.44 tubi usati
UTILE PER DIMENSIONAMENTO 6. MONOMIE
275.1 = bDQ
aJ cb
valgono solo per il fluido sperimentato
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 29
29
PERDITE DI CARICO LOCALIZZATE - linee carichi totali e piezometriche sono solo "linee di raccordo"
- Come moto puram. turbol. g
VnH
=D2
2
n = cost [ n = n(Re) solo per ( V basse ) Re bassi ]
D
gm
V12/2g
V22/2g
D'H DH Y'
Y'' d
gH VV
2
2
2
2
1-
+=D d
ggg
d-
D= m
'''' YYHH --D=D
convenzionalmente continue
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 30
30
Brusco allargamento Hp. 1. Resistenza delle pareti trascurabile: v variabile come verso, tronco breve 2. Arbitraria: p idrostatica sulla corona circolare Proiezione delleq. globale nella direzione del moto :
( )
=
+=+-+
22
222112111
VAQ
VQApVQAApAp rr
( ) ( )2122122 VVVAppA -=- r > 0 perch V2 < V1 piezometrica aumenta
V12/2g V2
2/2g
p1/g p2/g
V1 V2
DH
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 31
31
Se condotta inclinata :
+>
+ 1
12
2 zp
zp
gg
( )
-=-
@@=
++-
++=D
21212
21
21
22
22
2
21
11
1
1
22
VVVpp
zz
gVp
zg
VpzH
r
aa
ag
ag
( )21222221 2221 VVVVV
gH -+-
=D
( )g
H VV2
2
21-
=D
Hp.1 significa : t = 0 fluido perfetto
La perdita DH perdita di energia meccanica (cinetica)
UTILE: g
V
2
2
a .Va in agitazione che si dissipa solo con
lintervento di m
formula di BORDA
altezza cinetica della velocit perduta
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 32
32
Perdita di sbocco
( ) ( ) ( )a
=-=
-=D
gV
gV
gVVH
220
2
21
21
221
divergentenelperditag
VH +
=D2
22a
DH = a V2/2g
V
V1 V2
DH D1H = a V22/2g perdita piccola
D1H
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 33
33
Perdita di imbocco
Esperienza : CC = 0.61 Cv = 0.98
HHH 21 D+D=D ( ) tvCt VCVanatorricelliV =
CCCCCCC C
VVVACVAVA ===
( ) =@-
=
-
=
-
=D
11
21
1222 2
22
2
222
1v
vC
v
CCt
CC
gV
CgV
gV
gV
H
( ) =-=2
2
12 v
C Cg
V
gV
CC
gV
c
v
@-
=
21.01
2
2
2
22
( ) ( )
gV
Cg
V
VCV
gBORDA
gVV
H
C
C
C
@
-
=
=
-
=
-
=D
24.01
12
21
2
222
22
2
gV
gV
gV
H
=
+
=D2
5.02
4.02
1.0222
2,8 V2/2g
pc/g
Vc2/2g
V Vc
D1H D2H
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 34
34
21 HHH D+D=D
gV
H
=D2
5.02
Piezometrica (da linea CT)
ggCgVVV
c
c
27.2
21
2
22
2
2
== Piezometrica (da pelo libero)
g
V
gVH C
=
+D
28.2
2
22
1
Se da calcolo g
*apX >
g
*apX = e CC sez. di controllo
( )HtrascurophgV aC 1*
max 2 D
+=
g
( )OHpermpa 2*
33.10=g
h
X C
C
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 35
35
H2O ( )33.102max += hgACQ C
in realt mpp va 20.033.10
**
-@-g
( )13.102max +@ hgACQ C Altra perdita dimbocco
5.0min @=CC
gV
CC
gV
HC
v
=
-
=D
216.0
12
2
2
22
1
gV
CgV
HC
=
-
=D
21
12
222
2
gVH
=D2
16.12
DH
V2/2g
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 36
36
Perdita per brusco restringimento
Se g
VH
DD
=D2
5.022
2
2
1
Se gV
HDD
AA
=D
==
23.022
22
2
1
2
1
gV
nH
=D2
22
Convergenti
V1 V2 D1 D2
NO
flesso
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 37
37
DIVERGENTI Gibson
( ) ( )gVV
mH
-=D
2
221a
m = MIN per a = 6 m = MAX = 1.2 per a = 65 Escande : creando depressioni elimina il distacco di vena e diminuisce DH.
V1 V2 MEGLIO V1 V2
a
dipende dalle perdite continue
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 38
38
STROZZAMENTI Cambiamenti di direzione
( ) 2221
122
-
=
-
=DC
C
CmgV
gVV
H
AAm 1=
gV
HJLJLY
+D++=2
2
21
+
-
+
= 11
12
22
CCmDL
gV
Y l
A
A1 Ac
Regola la portata
aperta
m V
L1 L2
L
Y JmL
Vm2/2g
DH
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 39
39
ESEMPIO
D?
n, d, l
d D1 L1
D3 L3
gm
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 40
40
CONDOTTE IN DEPRESSIONE
YLJg
V=+
2
2
RDgJ VV
cl
2
22
2==
Y
pa*/g
pa*/g
V2/2g
LCT
LPz
LCT A LPz A
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 41
41
NO !
V2/2g
LCT A LPz A
pa*/g
pa*/g
Depressione assoluta
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 42
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FLUIDO PERFETTO
Caso 1 Se in tutti i punti della condotta verificata la relazione:
gg
*
app
il moto REGOLARE e la situazione quella rappresentata in figura.
A V2/2g
pA/g
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 43
43
Caso 2 Se in almeno un punto della condotta risulta:
gg
*
app >
le condizioni di funzionamento cambiano
MOTO A CANALETTA
- da valle depressione max = - pa*/g
- poi parallela al tubo
- fra A e B V2/2g sezione
A B
pa*/g
VA2/2g
VA2/2g
V2/2g
DH
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 44
44
=+
++=+R
VJLJ
gVp
Zp
Z MMa
A 2
2max'
2max
**
2 cgg
*2
2max
2max*
2Z
RV
Lg
VZZ A
+
+=c
= 0
Pa*/g
Pa*/g
Pa*/g JL
V2/2g
Vx2/2g
DH
V2/2g ZA
ZM
ZB
Z*
M
LCT A
LPz A
moto a canaletta
-
Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 45
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Depressione
( ) ( )mpZZg
VLJ
P aMA
M 872
*2
--
+=gg
P JL
V2/2g pM/g
ZA
M
ZA-ZM