Download - 7. Izvod Funkcije i Primene
IZVOD FUNKCIJE
Diferencijalni račun
• Problemi tangente i brzine, kao i problemi ekstrema, tj. minimuma i maksimuma postepeno su podsticali nastajanje pojma izvoda. Mnogi matematičari još od antičke Grčke uspevali su da reše neke od ovih problema za pojedinačne slučajeve.
• Tek kada je Dekart definisao metodu koordinata omogućeno je da se krive predstavljaju jednačinama, tako da je stvoren osnovni preduslov za pojavu opšte metode za analitičko rešavanje ovih problema , odnosno za definisanje pojma izvoda.
• Danas, diferencijalni račun, predstavlja nezaobilazno sredstvo u rešavanju mnogih problema savremene nauke i tehnike.
• Problem tangente prvi je rešio nemački matematičar i filozof Lajbnic definišući novu oblast matematike pod nazivom diferencijalni račun.
• U isto vreme Njutn je definisao izvod kao posledicu istrživanja fenomena kretanja.
• To su bile dve idejno i metodolški različite koncepcije koje su dovele do istog rezultata.
• G. Leibniz (1646-1716) I. Newton (1642-1727)
PRIRAŠTAJ FUNKCIJE
• Neka je data funkcija y=f(x) definisana u okolini tačke x.
• Proizvoljnu malu veličinu nazivamo priraštaj argumenta .
Kada se nezavisna promenljiva promeni od x do , tada se vrednost funkcije promeni od do , tj. za veličinu
koja se naziva priraštaj funkcije.
f x x
y f x f x x f x
x x f x
x
IZVOD FUNKCIJE
Ako postoji granična vrednost
tada kažemo da je prvi izvod funkcije u datoj tački x.
Postupak nalaženja izvoda naziva se diferenciranjem. Funkcije koje imaju izvod nazivaju se diferencijabilne funkcije.
0 0
lim limx x
f x x f xyy f x
x x
f x f x
OSNOVNA PRAVILA DIFERENCIRANJA
, .c f x c f x c const
f x g x f x g x
f x g x f x g x f x g x
2
, 0f x f x g x g x f x
g xg x g x
TABLICA OSNOVNIH IZVODA
y f x y f x
1
1. 0
2. ,
13.
21
4. logln1
5. ln
6. ln
7.
8. sin cos
9. cos sin
n n
a
x x
x x
y y
const
x n R nx
xx
xx a
xx
a a a
e e
x x
x x
Primer 1
Naći prvi izvod sledećih funkcija korišćenjem tablice izvoda:
2
1
2
13 3
3
3
) ,
) ,
) ,
) 2 ,
) 3 2 3,
a y x
b y x x
c y x x
d y x
e y x x
Primer 1
Naći prvi izvod sledećih funkcija korišćenjem tablice izvoda:
2 2 1
1 1 11
2 2 2
1 1 21
3 3 3 3
3 2
3 3 2 2
3 3 2
) , 2 2
1 1 1) ,
2 2 2
1 1 1) ,
3 3 3
) 2 , 2 2 3 6
) 3 2 3, 3 2 3 9 2
a y x y x x
b y x x y x xx
c y x x y x xx
d y x y x x x
e y x x y x x x
Primer 2
Naći prvi izvod sledećih funkcija korišćenjem tablice izvoda:
2
2
) ,
) ln ,
) ,1
x
x
a y xe
b y e x
xc y
x
Primer 2
Naći prvi izvod sledećih funkcija korišćenjem tablice izvoda:
2 2 2 2 2 22
2 2 22 2 2 2
) ,
) ln , ln ln ln
1 1 2 1 2 2) ,
1 1 1 1
x x x x x
xx x x x
a y xe y x e x e e xe
eb y e x y e x e x e x
x
x x x x x x x xx xc y y
x x x x
IZVOD SLOŽENE FUNKCIJE
• Složene funkcije su oblika :
12
2
2 6
2
2 1 ,
1,
,
sin 2 ,
sin .
x
y x
y x
y e
y x
y x
IZVOD SLOŽENE FUNKCIJE
Ako je data složena funkcija gde je funkcija
diferencijabilna u tački x , a funkcija diferencijabilna u tački
onda je
F x f g x g x
f u u g x
F x f g x g x
Primer 3Naći izvod sledećih složenih funkcija:
2
332
2
) 3 2
) ,
) 1,
) ln 2 5 ,
x
a y x
b y e
c y x
d y x
Primer 3Naći izvod sledećih složenih funkcija:
2 2 2
332
32 32 322 2 2 2
2
2 2
2 2 2
) 3 2
33 3 2 3 2 33 3 2 4 132 3 2
) , 2
1 2) 1, 1
2 1 2 1 11 2
) ln 2 5 , 2 52 5 2 5
x x x
a y x
y x x x x x x
b y e y e x xe
x xc y x y x
x x x
d y x y xx x
IZVODI VIŠEG REDA
Neka je diferencijabilna funkcija, tj postoji njen izvod .
Ako postoji izvod, funkcije izvoda , on se definiše kao drugi izvod funkcije i
obeležava sa . Na sličan način se definišu
Izvodi višeg reda funkcije definišu se kao:
f x f x
f x 4, ,.........f x f x
0 1, , 0,1,2n nf f f f n
Primer 4Odrediti drugi izvod funkcije
Rešenje:
3 22 4f x x x
23 4
6 4
f x x x
f x x
Primer 5Odrediti drugi izvod funkcije 2xf x e
Primer 5Odrediti drugi izvod funkcije
Rešenje:
2xf x e
2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2 2 2 2
4 2
x x
x x x x
x
f x e x x e
f x x e x e e x e
e x
Primer 6Odrediti drugi izvod funkcije 21f x x
Primer 6Odrediti drugi izvod funkcije
Rešenje:
21f x x
2 2
22 2
2
2 22
22
2
2 2 2
12
2 1 11
1 21 12 1
11
111
1 1 1
xf x x
x x
x x xx x x xxf x
xx
xx
xx x x
Primer 7Odrediti treći izvod funkcije 2 lnf x x x
Primer 7Odrediti treći izvod funkcije
Rešenje:
2 lnf x x x
2 2 2 1ln ln 2 ln 2 ln ,
12 ln 2 ln 1 2ln 2 1 2ln 3,
2.
f x x x x x x x x x x xx
f x x x x x x x xx
f xx
LOPITALOVA TEOREMA
Ako su funkcije i diferencijabilne u nekoj okolini tačke a , pri
čemu je ili i , tada je:
f x g x
lim lim 0x a x a
f x g x
0g a
lim limx a x a
f x f x
g x g x
• Primer 1
0
2
0
0
sinlim
6 2lnlim
lim ln
lim
x
x
x
x
x
x
xx
x
x x
x
01 20 0
0 0
2 2
0 0 0 0 0
2 2
1
limln 1
lim ln lim lln
0 0
sinlim limcos 1
26 2ln 1
lim lim lim 02
1 1ln
lim ln lim lim lim lim 01 1 1
lim limx
xx x
x x
x x x
x x x x x
xx
x xx x x x
x x
xx
x
x xx x x
x x xx x x
x x x
x e e e e e
0im
0 1xx
e
• Primer 2
2
2
30
2
3
20
0
8 5lim
2 6sin
lim
lim
cos 1lim
1 1lim
1
x
x
x
x
x
xx
x x
x xx x
x
e
x
x
x
x e
• Primer 2 2
2
3 20 0 0 0
2 2 2 2
3 2
20 0 0
8 5 2 8 1lim lim
2 6 4 6 2sin 1 cos sin cos 1
lim lim lim lim3 6 6 6
2 4 8lim lim lim lim
3 6 61 sin
cos 1 12 coslim lim lim2 4
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x xx x x x x
x x x
e e e e
x x xx
x xx x
0 0 0
0 0
sin 1 1
4cos
1 1 1 1lim lim lim
1 11
1 1lim lim
2 2
x x
x x xxx x x
x
x x xx x
x
x x
e x e
x e e xex e
e
e e xe x
RAŠĆENJE I OPADANJE FUNKCIJE
Neka je funkcija diferencijabilna na i ako je za
• , funkcija je strogo rastuća,
• , funkcija je strogo opadajuća.
f x ,a b ,x a b
0f x
0f x
Primer 1Ispitati monotonost sledećih funkcija:
3 21) , ) , ) 2 3.a f x x b f x c f x x x
x
Primer 1Ispitati monotonost sledećih funkcija:
Rešenje:
a) Izvod funkcije je . Kako je za
funkcija je stalno rastuća.
b) Izvod funkcije je . Kako je za
funkcija je stalno opadajuća.
c) Izvod funkcije je Kako je za
a, za zaključujemo da funkcija raste za
, a opada za
3 21) , ) , ) 2 3.a f x x b f x c f x x x
x
3f x x 23f x x 0x R f x
1f x
x 2
1f x
x
2 2 3f x x x 2 2.f x x 0f x 1x
0f x 1,x 1,x
,1 .x
0x R f x
EKSTREMNE VREDNOSTI FUNKCIJE
• Funkcija f(x) definisana na (a,b) imaće maksimum u tački ako i samo ako je za svako x koje pripada nekoj okolini te tačke ,
a imaće minimum u tački ako i samo ako je za svako x koje pripada nekoj okolini te tačke .
Minimum i maksimum funkcije se nazivaju ekstremima funkcije.
1 ,x a b 1f x f x
2 ,x a b 2f x f x
ODREĐIVANJE EKSTREMA FUNKCIJE POMOĆU IZVODA
• Ako diferencijabilna funkcija y=f(x) ima u tački ekstrem
(maksimum ili minimum), tada je u toj tački
Iz navedenog uslova sledi da, ako je funkcija diferencijabilna, tada ona može imati ekstremum samo u tačkama u kojima je njen izvod jednak nuli, obratan zaključak ne važi.
Tačke u kojima je nazivaju se stacionarnim tačkama.
1x x 1 0 .f x
1 0 .f x
• Neka je stacionarna tačka funkcije y=f(x) . Ako je:
• Napomena: Predhodna teorema kaže da ako izvodna funkcija menja znak pri prolasku kroz tačku tada funkcija ima ekstrem u toj tački .
1 1 10 0 minf x za x x i f x za x x tada je f x f x
1x
1 1 10 0 maxf x za x x i f x za x x tada je f x f x
1x
• Pri ispitivanju ekstrema funkcije y=f(x) pomoću prvog izvoda određujemo:
2. stacionarne tačke, tj.
3. znak izvoda sa obe strane stacionarnih tačaka.
1. f x
0f x
f x
Primer 2
Odrediti monotonost I ekstreme funkcije
219 5 .
2f x x x
Primer 2
Odrediti ekstreme funkcije
Rešenje:Prvi izvod funkcije jeStacionarnu tačku i mogući ekstrem dobijamo rešavanjem jednačine
Da bi ova vrednost predstavljala ekstrem funkcije mora da u njoj dođe do promene znaka
prvog izvoda. Zaista za Zaključujemo da funkcija u tački x=9 ima minimum koji iznosi
219 5 .
2f x x x
9f x x
9 0 9f x x x
9, 0 9 0x f x i x f x
min 9 5f
ODREĐIVANJE EKSTREMA FUNKCIJE POMOĆU DRUGOG IZVODA
• Predpostavimo da je i da je neprekidna funkcija u nekoj okolini tačke .
• Ako je tada funkcija f(x) ima maksimum u tački
• Ako je tada funkcija f(x) ima minimum u tački
1 0f x f x1x
1 0f x
1 .x 1 0f x
1 .x