1
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn
Departamentul de Învăţământ laDistanţă şi Formare Continuă
Facultatea de Ştiinte Economice
Coordonator de disciplină:Lect. univ. dr. Doina-Constanta Mihai
2
2008-2009
Suport de curs – învăţământ la distanţăManagement, Anul I, Semestrul I
Prezentul curs este protejat potrivit legii dreptului de autor și orice folosire altadecât în scopuri personale este interzisă de lege sub sancțiune penală
ISBN 973-98725-6-5
UVTMATEMATICI APLICATE IN
ECONOMIE I
3
SEMNIFICAŢIA PICTOGRAMELOR
F= INFORMAŢII DE REFERINŢĂ/CUVINTE CHEIE
= TEST DE AUTOEVALUARE
= BIBLIOGRAFIE
= TEMĂ DE REFLECŢIE
= TIMPUL NECESAR PENTRU STUDIUL UNUI CAPITOLSAU SECŢIUNE
= INFORMA II SUPLIMENTARE PUTE I GĂSI PE PAGINAWEB A U.V.T. LA ADRESA www.didfc.valahia.ro SAUwww.id.valahia.ro .
4
Tematica cursului
1. Capitolul I. Dobânda simplă.
2. Capitolul II. Dobânda compusă.
3. Capitolul III. Plăţi eşalonate (Rente).
4. Capitolul IV. Operaţiuni de scont.
5. Capitolul V. Rambursarea împrumuturilor.
5
CAPITOLUL IDOBÂNDA SIMPLĂ
1. Cuprins2. Obiectiv general3. Obiective operaţionale4. Timpul necesar studiului capitolului5. Dezvoltarea temei6. Bibliografie selectivă7. Temă de reflecţie8. Modele de teste9. Răspunsuri şi comentarii la teste
Cuprins
� Noţiunile de dobândă, dobândă simplă, operaţiuni financiareechivalente în regim de dobândă simplă.
� Tehnica rezolvări problemelor cu operaţiuni financiare înregim de dobândă simplă.
� Obiectiv general: Dobândirea de cunoştinţe privind conceptulde dobândă simplă, a operaţiunilor financiare echivalente în regim dedobândă simplă.
� Obiective operaţionale: Însuşirea tehnicii şi a etapelor derezolvare a diverselor probleme cu operaţiuni financiare în regim dedobândă simplă.
= 2 ore
6
CAPITOLUL IDOBÂNDA SIMPLĂ
1. Noţiunea de dobândă, definiţia dobânzii simple.
1.1. Definirea noţiunii de dobândă simplă. Noţiunea de bază cu care se
operează în calculele financiare este noţiunea de dobândă.
Definiţia 1: Dobânda simplă este dobânda calculată asupra aceleiaşi sume de
bani pe toata durata unui plasament.
Dobânda produsă pe un an de zile, de o unitate monetară se numeşte dobândă
unitară şi se notează cu „i”.
Dobânda produsă pe un an de zile de o sută de unităţi monetare se numeşte
procent anual şi se notează cu „p”. Evident:
ip ×=100
Daca notam: S0 , suma iniţială, suma depusă sau împrumutată, cu t , timpul
estimat în ani, D , dobânda simplă produsă de S0 pe perioada „t”, atunci dobânda
simpla este direct proporţionala cu: suma iniţiala S0 , procentul anual p si durata
plasamentului t.
Propoziţie: Dobânda simplă ce revine sumei S0 , pe perioada „t” cu procentul
anual „p” este egală cu:
D = S0 i t
D = S0100
p t
Observaţii: 1. Dobânda simplă este o funcţie de trei variabile: suma iniţială
„S0”, durata plasamentului „t” şi dobânda unitara „i”.
2. Durata plasamentului este estimată în ani.
1 an bancar = 360 zile ; 1 zi =360
1 ani; t = n zile = n360
1 ani;
t = n luni = n121 =
12n ani; t = 1 semestru =
21 ani; t = 1 trimestru =
41 ani.
1. 2. Valoarea actuală şi finală
Dacă S0 este suma depusă iniţială, dobânda, D = S0 i t, va fi dobânda adusă de
această sumă pe durata „t” cu dobânda unitară „i”.
FDefiniţia
dobânzii simple
FElementele
dobânziisimple
7
Definiţia 2. Suma S = S0 + D se numeşte suma finală sau valoarea finală, adică
suma disponibilă peste „t” ani.
Sf = S0 + S0 i t
Sf = S0 (t + i t).
Definiţia 3. Suma iniţială S0 se numeşte valoarea actuală.
S0 = it+1Sf .
1. 3. Operaţiuni financiare echivalente în regim de dobândă simplă
a. Scadenţa comunăObservaţie: Durata „t” a unui plasament se mai numeşte şi scadenţă.
Fie 1S , 2S , ….. nS mai multe sume iniţiale plasate pe duratele 1t , 2t , ….. nt ,
respectiv, cu dobânzile unitare respective 1i , 2i , ….. ni , putem descrie aceste
operaţiuni financiare prin matricea A.
A =÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
n
n
n
iiitttSSS
.....
..........
21
21
21
În practica bancară apare necesitatea înlocuirii acestor plasamente cu unul
singur în care se cunoaşte suma iniţiala plasată S şi dobânda unitară „i”, şi se doreşte
să se afle scadenţa plasamentului (durata plasamentului) astfel încât dobânda să fie
aceiaşi cu cea a plasamentelor descrise de matricea A.
B =÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
itS
Definiţia 4. Se numeşte scadenţa comună înlocuitoare, durata t a
plasamentului S din matricea B, care înlocuieşte plasamentele descrise de matricea A,
astfel încât dobânda totală lui A să fie egală cu dobânda produsă de B. În acest caz
operaţiunile descrise de A şi B se numesc operaţiuni echivalente în dobândă simplă.
A » B Û D (A) = D (B) (1)
nnn tiStiStiS +++ ....222111 = S i t (2)
Noţiunea de bază cu care se operează în calculele financiare este noţiunea dedobândă.
FOperaţiuni
echivalente înregim de
dobândă simplă
8
Noţiunea de bază cu care se operează în calculele financiare este noţiunea dedobândă.
Din relaţia (2) obţinem ca scadenţa comună înlocuitoare este egala cu:
iS
tiSt
n
kkkkå
== 1
b. Suma comuna înlocuitoare
Definiţia 5: Suma comună înlocuitoare se numeşte suma S a plasamentului B
descris mai sus care înlocuieşte plasamentele descrise de matricea A cu condiţia că
dobânda totala lui A este egală cu dobânda produsă de B .
Relaţia (1) şi (2) sunt adevărate dar necunoscută este S, suma plasamentului B,
iar i, t sunt cunoscute . Cunoaştem de asemenea plasamentele descrise de A. Din (2) ,
obţinem ca suma comuna înlocuitoare este egala cu:
it
tisS
n
kkkkå
== 1 .
c. Procent comun înlocuitor
Definiţia 6: Se numeşte procent comun înlocuitor, procentul „p” (p = 100 i) al
plasamentului B care înlocuieşte plasamentele din A cu condiţia (1), cele două
plasamente A si B sa fie echivalente in regim de dobânda simpla .
D (A) = D (B)
În acest caz suma S şi scadenţa t sunt cunoscute.
St
tiSi
n
ikkkkå
==
Exemplul:Un creditor studiază faptul că, la un moment dat, poate plasa la 3
posibili debitori, în regim de dobândă simplă, anumite sume după cum urmează:
- către primul suma de 1000 u.m. pentru 2 luni cu procentul de 5 %;
- către al doilea suma de 2000 u.m. pentru 100 zile cu procentul de 6 %;
- către al treilea suma de 5000 u.m. pentru 10 săptămâni cu procentul de 8
%. Apare între timp un alt posibil debitor, neavând alte obligaţii şi nefiind interesat
decât de dobânda obţinută vrea să ştie:
FAplicaţie
9
a) ce sumă ar trebui să-i plaseze pe termen de 3 luni cu procentul anual de 4
% pentru a avea aceeaşi dobândă.
b) cu ce procent ar trebui să-i plaseze suma de 5000 u.m. pe timp de un
trimestru pentru a avea aceiaşi dobândă.
c) pe ce durată ar trebui să-i plaseze suma de 4000 u.m. cu un procent de 10
% pentru a avea aceeaşi dobândă.
Rezolvare:
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
%8%6%5101002
500020001000saptamanizileluniA
)()(,%10
4500)
)()(,15000
)
)()(,%4
3)
BDADtBc
BDADp
trimestruBb
BDADluniS
Ba
=÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
=÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
=÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
a)umSS
S
527710077,52;1
1009
1006
250
1001
9100
6200
650
1004
123
1008
3607105000
1006
3601002000
1005
1221000
=×=×÷øö
çèæ +=
++=
××=×
++
b) i××=41500077,52 , 042,0
125077,52
==i , %2,4100 == ip
c) 77,52)( =AD ,100104500)( ××= tBD ,
zilezilet 4312,42360177.0450
77.52==×== .
În unele situaţii se doreşte înlocuirea plasamentelor A cu alte plasamente
descrise de matricea C unde C este :
10
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
n
n
iiitttSSS
C
21
21
d. Sumă medie înlocuitoare
Definiţia 7: Suma S din matricea de mai sus C care înlocuieşte plasamentele din
matricea A cu condiţia ca dobânda simplă a celor 2 operaţii financiare A şi C sa fie
aceeaşi, se numeşte sumă medie înlocuitoare.
D(A) = D(C)
å
å
=
==
+++=+++
n
kkk
n
kkkk
nnnnn
ti
tiSS
tititiStiStiStiS
1
1
2211222111 ).....(.....
e. Scadenţa medie înlocuitoare
Definiţie 8: Se defineşte analog ca mai sus, cele n plasamente din A vor fi
înlocuite prin „n” plasamente descrise de o matrice D de felul următor:
å
å
=
==
=÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
n
kkk
n
kkkk
n
n
iS
tiSt
DDADiiittt
SSSD
1
14
21
21
)()(,...............
Scadenta t, obţinuta astfel, se numeşte scadenta medie înlocuitoare.
f. Procent mediu înlocuitor
Definiţia 9: Plasamentele lui A vor fi înlocuite cu plasamentele lui E, unde E
va arăta ca mai jos:
FValori medii în
operaţiuniechivalente în
regim dedobândă simplă
11
å
å
=
==
=÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
=
n
kkk
n
kkkk
n
n
tS
tiSi
EDADiiitttSSS
E
1
1
21
21
),()(,..........
Procentul p = 100i, unde i este dat mai sus, se numeşte procent mediu înlocuitor.
Observaţie: Din punct de vedere matematic, aşa cum spune şi numele, suma
medie înlocuitoare, scadenţa medie înlocuitoare şi procentul mediu înlocuitor sunt
nişte valori medii ponderate.
1. Care este dobânda simplă aferentă plasării unei sume de 10.000 u.m. pe o durata
de 72 zile cu un procent de 8%, dar dacă este de 10%.
Rezolvare: a) S0 = 10.000 u.m., t = 72 zile; p = 8%
D = S0 i t =36072
100800010 = 160 u.m.
b) Care este valoarea finala?
Sf = Si + D = 10.160 u.m.
2. Se constituie un depozit la bancă pe o durată de două luni cu un procent de 12% .
a) Care este dobânda simplă aferentă ?
b) Care este valoarea finală ?
Rezolvare: S0 = 2.000.000 u.m., t = două luni = 60 zile,
t = 60 / 360 = 1/6 ani =0,1666667 ani, p = 12% Þ i = 0,12.
a) D = S0 i t = 2.000.000 x 0,12 x 0,1666667 = 40.000 u.m.
b) Sf = S0 + D = 2.000.000 + 40.000 = 2.040.000 u.m.
3. Să se calculeze procentul mediu de depunere pentru, următoarele operaţiuni
financiare, echivalente in dobânda simpla:
5.000 u.m. cu 4% pe timp de 45 zile;
10.000 u.m. cu 5% pe timp de 60 zile;
50.000 u.m. cu 2% pet imp de 100 zile.
Rezolvare : Avem: p =å
å
=
=n
kkk
n
kkkk
tS
tpS
1
1
FAplicatii
12
=++++
=
=×+×+×
××+××+××=
5000000600000225000100000003000000900000
100500006010000455000100250000605100004545000
= %38,25825000
13900000= .
4. Se plasează la 26 aprilie 2004 până la sfârşitul lunii septembrie 2004 suma de
60000 u.m. , cu procentul anual de 6%. Care este valoarea finală a acestui plasament?
Rezolvare: S0 = 60000 u.m., p = 6%, St = ?
Durata plasamentului este : aprilie: 4 zile; mai: 31 zile; iunie: 30 zile; iulie: 31 zile;
august: 31 zile; septembrie: 30zile, t = 157 zile
Sf = S0 + D
D = S0 x t360 x p = 60000 x 157/360 x 6 /100= 1570 u.m.
Sf = 60000 + 1570 Sf = 61670 u.m.
5. Se plasează la 15 iunie 2004 pana la sfârşitul lunii noiembrie 2004, suma de 50.000
u.m., cu rata anuala de 7 %. Care este valoarea finala a acestui plasament?
Rezolvare:
Durata plasamentului este:
Iunie 30 – 15 = 15 zile
Iulie 31 zile
August 31 zile
Septembrie 30 zile
Octombrie 31 zile
Noiembrie 30 zile
168 zile
1663100
736016850000 =××=D um, 51633163350000 =+=fS um.
6. Să se determine scadenta unei sume de 15.000 u.m. care produce o dobândă egală
cu suma dobânzilor produse de:
32.000 u.m., pe timp de 142 zile;
57.000 u.m., pe timp de 121 zile;
68.000 u.m., pe timp de 165 zile.
Rezolvare:
13
T=144zile.
7.Sa se calculeze procentul mediu de plasament al sumelor:
17.000 u.m., pe timp de 95 zile, cu 3%;
11.000 u.m., pe timp de 67 zile, cu 2%;
30.000 u.m., pe timp de 170 zile, cu 5%;
14500 u.m., pe timp de 145 zile, cu 4,5%.
Rezolvare:
%.3,4145145001703000067110009517000
5,4145145005170300002671100039517000=
×+×+×+×××+××+××+××
=p
8. Se plasează la 20 mai 2003 pana la sfârşitul lunii septembrie suma de 60.000 u.m.,
cu rata anuala de 10 %. Care este valoarea finala a acestui plasament?
Rezolvare:
Durata plasamentului este:
Mai 31-20 = 11 zile
Iunie 30 zile
Iulie 31 zile
August 31 zile
Septembrie 30 zile
133 zile
221610010
36013360000 =××=D um, 62216221660000 =+=fS um.
9. Să se determine procentul mediu de plasament al sumelor:
22.000 u.m., pe timp de 76 zile, cu 5%;
35.000 u.m., pe timp de 110 zile, cu 4 %;
27.000 u.m., pe timp de 125 zile, cu 3 %.
Rezolvare: %8,3889700033885000
1252700011035000762200031252700041103500057622000
==×+×+×
××+××+××=p
144157000
22661000680005700032000
165680001215700014232000==
++×+×+×
=T
14
10. Să se determine suma care în 142 zile produce o dobândă egala cu suma
dobânzilor produse de:
17.500 u.m., pe timp de 147 zile;
12.000 u.m., pe timp de 92 zile;
10.000 u.m., pe timp de 124 zile.
Rezolvare:
11. Să se determine scadenţa sumei de 40.000 (u.m.) care produce o dobândă gală cu
suma dobânzilor produse de 5.200 u.m. pe timp de 61 zile, 1.000 pentru 63 zile, 4.700
u.m. pe timp de 91 zile.
Rezolvare:
Bt
A =÷÷ø
öççè
æ»÷÷
ø
öççè
æ=
40000916361
470010005200
DS(A)=DS(B),
40000914700631000615200 ×+×+×
=t
t = 20,1975 zile = 21 zile.
12. Să se calculeze procentul mediu de plasament al sumelor:
a) 17.000 u.m., pe timp de 95 zile, cu 3%;
b)11.000 u.m., pe timp de 67 zile, cu 2%;
c)30.000 u.m., pe timp de 170 zile, cu 5%;
d)14.500 u.m., pe timp de 145 zile, cu 4,5%;
.23,34623142
4916500142
12410000921200014717500 umS ==×+×+×
=
15
Rezolvare:
13. Un creditor studiază faptul ca, la un moment dat poate plasa la 3 posibili debitori
în regim de dobândă simplă anumite sume după cum urmează:
către primul suma de 1000 UM pentru 2 luni cu procentul de 5 %;
către al doilea suma de 2000 UM pentru 100 zile cu procentul de 6 %;
câtre al treilea suma de 5000 UM pentru 10 săptămâni cu procentul de 8 %.
Apare între timp un alt posibil debitor neavând alte obligaţii şi nefiind interesat decât
de dobânda obţinută vrea să ştie:
ce sumă ar trebui să-i plaseze pe termen de 3 luni cu procentul anual de 4 % pentru a
avea aceeaşi dobândă.
cu ce procent ar trebui să-i plaseze suma de 5000 UM pe timp de un trimestru pentru
a avea aceiaşi dobândă.
pe ce durată ar trebui să-i plaseze suma de 4000 UM cu un procent de 10 % pentru a
avea aceeaşi dobândă.
BsaptamanizileluniA »÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
%8%6%5101002
500020001000
)()(,%4
3) BDADluniS
Ba =÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
%0432,095545000041280250
100)210250051000007370001615000(94612502550000014740004845000
36014514500
36017030000
3606711000
3609517000
1005,4
36014514500
1005
36017030000
1002
3606711000
1003
3609517000
%5,4%5%2%31451706795
14500300001100017000
==+++
+++=
=+++
+××+××+××=
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
i
zilezilezilezileA
16
,15000
)÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
ptrimestruBb
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
%10
4500) tBc .
a) D(A) = D(B):
UMS
S
S
527710077,52
1100
5100
6250
10010
9100
6200
650
1004
123
1008
3607105000
1006
3601002000
1005
1221000
=×=
×÷øö
çèæ +=
++=
××=×
++
b) i××=41500077,52 ,
042,01250
77,52==i , %2,4100 == ip
c)10010450077,52)( ×××= tAD ,
zilezilet 4312,42360177.0450
77.52==×==
14. Ce sumă trebuie să depunem azi, cu procentul de 5% pentru ca peste 30 de zile să
putem ridica 20.000 u.m ?
Rezolvare:
S0 = ? , p = 5%, t = 30 zile, Sf = 20.000 u.m, S0 = ?
itS
S f
+=
10
3603005,01
200000
×+=S
S0 = 19.991,6um
15. Un capital de 1000 000 u.m. este plasat intr-un cont cu rata anuală de 9%. Care va
fi capitalul disponibil peste 20 zile? Dar peste 3 luni? Dar peste un an?
Rezolvare:
Avem: S0 = 1000 000 u.m.
p = 9%
Daca durata plasamentului este t360 = 20 zile, avem:
50036000
209100000036000
0 =××
==ptS
D um
17
iar suma capitalizată după 20 zile va fi:
Sf = S0 + D = 100 500 um.
Daca durata plasamentului este t = 3 luni, avem:
225012000
3910000001200
0 =××
==ptS
D ,
iar valoarea finală:
Sf = 100 000 + 2 250 = 102 250 u.m.
Peste 1 an, dobânda obţinută va fi:
9000191000100
0 =××==ptS
D
iar suma finală:
Sf = 109 000 u.m.
16. Ce sumă trebuie să depunem azi cu procentul 3%. Pentru ca peste 300 zile să
putem ridica 10 000 u.m.?
Rezolvare: Avem: 10,9756025,1
10000
3600030031
10000
360001
0 ==´
+=
´+
= tpS
S f u.m.
17. Determinaţi valoarea totala a dobânzii si valoarea finala la sfârşitul unei perioade
de investiţii daca se investeşte 1000 u.m. cu procentul de 10% timp de 3 ani. Dar
timp de 9 luni?
Rezolvare
Va = 1000 u.m., i = 0,10, t = 3 ani, Vf = Va(1 + i · t), Vf = 1000(1+0,1 · 3)
Vf = 1000 · 1,3, Vf = 1300 u.m.
Va = 1000 u.m., i = 0,10, t =129 , Vf = Va(1 + i · t),
)1291,01(1000 ×+=fV
Vf = 1075 u.m.
18.O persoana depune la banca o suma de 150 000 000 lei ştiind ca procentul este de
20,70 % pe an. Ce suma i s-ar cuveni după o luna, după trei luni, dar după un an de la
depunere?
Rezolvare
18
D =Sopt, t1= 30 zile,
D1 = 150000000 (20,70/100) x (30/360) = 93150000 000 /36000 =2587 500 lei
t2 = 3/12 = 1/4
D2 = 150000000 x (20,70/100) x 1/4= 310500 000 /4 = 7762 500 lei
t3 = 12/12, D3 = 150000000 x (20,70/100) x 1= 31050 000 lei
Sf = So + D, S f1= So + D1, S f1 = 150 000 000 + 2587500 = 152 587 500 lei
S f2= So + D2, S f1 = 150 000 000 + 7762500 = 15762500 lei
S f3 = So + D3, S f3 = 150 000 000 +31050 000 = 181 050 000 lei
BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ
I. Tratate şi monografii.
1. PURCARU, I., Matematici financiare, Editura Economică, Bucuresti,
1992.
2. POPESCU O., BAZ D., BEGANU G., FILIP A., ş.a. Matematici
aplicate in economie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1999.
.
TEST DE AUTOEVALUARE
1. Care este dobânda simplă rezultată în urma plasării unei sume de 2400 um, pe timp
de 60 de zile cu procentul de 8% ? Ce sumă finală rezultă în urma acestui plasament?
19
TEMĂ DE REFLECŢIE
Ce valoare poate avea suma medie înlocuitoare în funcţie de valorile
sumelor plasate iniţial, în cadrul unei operaţiuni financiare echivalente în regim
de dobândă compusă? Dar procentul mediu înlocuitor, respectiv scadenţa
medie înlocuitoare?
MODELE DE ÎNTREBĂRI
Întrebările vor fi tip grilă, cu cel puţin un răspuns fiecare întrebare.
1. Suma pe care o va ridica o persoană care a depus 75 000EU pe timp de 150
zile cu procentul anual de 5% este:
a) 76 000EU, b) 78 561EU, c)75 156,25EU.
2) În câte zile suma de 5 000EU va deveni 5 200 EU cu procentul anual de 4%.
a) 320zile, b) 500zile, c) 360zile.
RĂSPUNSURI LA ÎNTREBĂRI
1. c.
2. c.
20
CAPITOLUL IIDOBÂNDA COMPUSĂ
1. Cuprins2. Obiectiv general3. Obiective operaţionale4. Timpul necesar studiului capitolului5. Dezvoltarea temei6. Bibliografie selectivă7. Temă de reflecţie8. Modele de teste9. Răspunsuri şi comentarii la teste
Cuprins
� Conceptul de dobândă compusă, elementele dobânziicompuse, operaţiuni echivalente în regim de dobândă compusă
� Tehnica rezolvării problemelor în care apar operaţiuni înregim de dobândă compusă.
� Obiectiv general: Dobândirea de cunoştinţe privind conceptulde dobândă compusă, a operaţiunilor financiare echivalente în regim dedobândă compusă.
� Obiective operaţionale: Însuşirea tehnicii şi a etapelor derezolvare a problemelor în care apar operaţiuni echivalente în regim dedobândă compusă.
= 2 ore
21
CAPITOLUL II
DOBÂNDA COMPUSĂ
2. Definiţia noţiunii de dobândă compusă.
În operaţiunile financiare în regim de dobândă compusă se consideră o
anumită unitate de timp ca o unitate etalon, calculul dobânzii compuse se face ţinând
seama de unitatea de timp etalon.
În operaţiile pe termen lung unitatea de timp folosită este anul.
Definiţia 10: Vom spune că o sumă de bani este plasată cu dobânda compusă
când la sfârşitul primei perioade, (unitate etalon), dobânda simplă a acestei perioade
este adăugată la sumă pentru a produce la rândul ei dobândă în perioada următoare şi
aşa mai departe.
2.1. Formula de fructificare în regim de dobândă compusă.
a) Presupunem că timpul „t” este un număr întreg de perioade. Vom nota:
S0 , suma iniţiala depusa la începutul perioadei;
p = 100i, procentul anual de depunere,
t= n numărul de perioade (ani),de unităţi etalon de timp
Sf = suma finala rezultata in urma acestui plasament.
Nr.ani
Suma laînceputul
anului
Dobânda produsă întimpul anului Suma la sfârşitul anului
1 an 0S anSD 10 ×= )1(000 iSiSSS f +=+=
2 ani )1(0 iS + aniiSD 1)1(0 ×++=2
00
00
)1()1)(1(
)1()1(
iSiiS
iiSiSS f
+=++
=+++=
…..
n ani 10 )1( -+ niS niSD )1(0 +=
n
nnf
iS
iiSiSS
)1(
)1()1(
0
10
10
+=
=+++= --
Suma finală este:
,)1(0n
f iSS +=
FDefiniţiadobânziicompuse
FElementele
dobânziicompuse
22
sau mai general: ( ) tf
tf uSSiSS 00 ,1 =+= , unde ut, se numeşte factor de
fructificare, u = 1 + i, şi valorile sale sunt calculate pentru diferite procente si diferite
perioade de timp în tabele financiare.
Dobânda calculata in regim de dobânda compusa este data de diferenţa dintre suma
finala si suma iniţiala:
[ ]1)1()1(
0
00
0
-+=
-+=
-=
t
t
f
iSDSiSD
SSD
Suma iniţiala S0 , calculata in funcţie de suma finala Sf , scadenta t , si
procentul anul, p = 100 i , se numeşte valoare actuala a sumei Sf sau , nf
uS
S =0 ,
unde nn v
u=
1 se numeşte factor de actualizare , şi , la fel ca factorul de fructificare
un , este calculat în tabele financiare.
( )nf
i
SS
+=
10
Exemplu: Ce sumă ar trebui să depunem acum pentru a primi peste 5 ani ,
1000u.m., cu o rată a dobânzii de 6%?
Rezolvare: Datele problemei sunt 1000=fS um, 5=t ani, %6=p
( )nf
i
SS
+=
10 ,( )50 06,01
1000+
=S , 38,7470 =S um.
b) Formula de fructificare în regim de dobândă compusă când timpul nu este
un nr. întreg de perioadă. Dacă 10 <<+=hkunde
hknt
Atunci suma finală va fi:
1) Soluţia raţională:
)1()1(0 ihkiSS n
f ++=
2) Soluţia comercială:
thkn
f iSiSS )1()1( 00 +=+=+
FAplicaţie
FAplicaţie
23
După „n” perioade (ani) suma finala este nf iSS )1(0 += , în perioada (anul) 1+n ,
dobânda simpla revenita acestei sume estehkiiSD n ××+= )1(0 .
După timpul, hknt += suma finala va fi :
)1()1()1()1( 000 ihkiSihkiSiSS nnn
f ×++=+++= ,
astfel am obţinut soluţia raţionala pentru calculul dobânzii compuse când timpul nu
este un număr întreg de perioade.
Soluţia comerciala este aceea in care suma finala este calculata cu aceeaşi
formula folosita in cazul in care timpul t este exprimat printr-un număr întreg de ani.
Exemplu: Să se calculeze folosind dobânda compusă, valoarea finală a sumei
de 100.000 u.m plasată timp de 3 ani şi şase luni cu procentul anual de 6% .
Rezolvare: Datele problemei sunt:
S0 = 100.000 u.m., t =3 ani şi 6 luni, p = 6% , i = 6/100
a) Soluţia raţională
)1()1(0 ihkiSS nf ×++= = 100.000 (1+6/100)3(1+6/100 6/12)=120.801 um.
a) Soluţia comercială
fS = S0 (1+i) n+ k / p = 100.000 (1+6/100)3 + 6 / 12 = 122.600 um.
c) Sa presupunem acum ca suma iniţiala 0S este plasa timp de n ani cu
procentele anuale diferite, p1 =100 i1 in primul an , p2 = 100 i2 in anul al doilea,
s.a.m.d., nn ip ×=100 , in cel de-al n-lea an, atunci suma finala calculata va fi data de :
( )( ) ( )nf iiiSS +++= 1....11 210 .
Exemplu: Să se determine suma finală rezultată în urma plasării sumei de 500 um pe
timp de 3 ani cu procentele de 4%, 5% şi respectiv 7%?
Rezolvare: Datele problemei sunt:
5000 =S um, 3=t ani, %,41 =p %,52 =p %.73 =p
Se va aplica formula de calcul a sumei finale, in care avem procente diferite.
( )( )( ) ( )( )( ) 22,58407,0105,0104,01500111 3210 =+++×=+++= iiiSS f um.
FAplicaţie
FAplicaţie
24
2.1. Procente proporţionale procente echivalente.
Definiţia 11: Fie p1 , procentul anual, corespunzător perioadei de depunere t1 si
p2, procentul anual corespunzător perioadei de depunere t2, procentul p1 este
proporţional cu p2 dacă:
2
1
2
1
tt
pp
= .
Exemplu: fie 1p = 6 %, 1t = 1 an, atunci p2 = 6/12% este procentul
proporţional cu p1, corespunzător lui t2 = 1 luna.
Definiţia 12: Procentul ps = 100 i2 corespunzător unui semestru este
echivalent cu procentul anula pa = 100i dacă produc aceiaşi sumă finală in regim de
dobânda compusa, adică:
)1()1( 22 ii +=+
Dacă pk = 100 ki este procentul corespunzător unei fracţiuni „k” a
anului (adică 1 an = k fracţiuni) pk este echivalent cu procentul anual
p=100 i, dacă ( ) ii kk +=+ 11 ,
11,11 -+=+=+ nk
kk iiii .
2.1. Operaţiuni financiare echivalente în valoare actuală în regim de
dobândă compusă.
În concluzie elementele de bază în dobânda compusă sunt:t
f iSS )1(0 += , formulă de fructificare a sumei S0.
tf
iS
S)1(0 +
= , factorul vi=
+11 şi t
t vi
=+ )1(1 (factor de actualizare )
tf vSS ×=0 valoarea actuală a lui fS .
Fie plasamentele descrise de matricea A:
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
n
n
n
iiitttSSS
A...............
21
21
21
,
FElementele
dobânziicompuse
FProcenteledobânziicompuse
25
unde sumele iS sunt sumele finale ce rezultă în urma unor plasamente, cu scadentele
it , cu procentele anuale ii , i = 1,2,…,n şi matricea B formată de 1 sau mai multe
plasamente de felul celei din A.
Operaţiunile financiare A şi B se numesc echivalente în valoarea actuală in
regim de dobândă compusă dacă valoarea actuală a lui A este egala cu valoarea
actuală a lui B.
VA(A) = VA(B)
a. Suma comună înlocuitoare, este suma S finala ce rezulta în urma unui
plasament descris de matricea B,
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
itS
B
unde „t” şi „i”, si elementele lui A, sunt cunoscute, astfel încât VA(A) =VA(B).
Daca A este echivalentă cu B în valoare actuală în regim de dobândă compusă
atunci:
ttn
ntt i
Si
Si
Si
Sn )1()1(
.....)1()1( 21
2
2
1
1
+=
+++
++
+,
şi:
tn
kkt
k
k ii
SS )1()1(1
+úû
ùêë
é+
= å=
×
b. Scadenţa comună înlocuitoare este durata de plasare „t” din matricea B
(descrisă mai sus) astfel încât VA(A) = VA(B) , elementele S, i sunt cunoscute;
)()1(
)1(
1
AVAS
iS
Si n
kkt
k
k
t =
+
=+
å=
×
t lg(1+i) = lg S – lg (VA(A))
)1lg())(lg(lg
iAVASt
+-
=
c. Procent comun înlocuitor este procentul din matricea B (de mai sus) astfel
încât VA(A) = VA(B) ; din relaţiile de mai sus se obţine:
26
tAVASi )(lglg)1lg( -
=+
d. Suma medie înlocuitoare. În acest caz operaţiunile descrise de matricea A
sunt înlocuite de o matrice C în care avem aceeaşi sumă finală de plasare şi scadenţele
şi procentele anuale sunt aceleaşi din A.
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
n
n
iiitttSSS
C...............
21
21
Suma finală S din matricea C se numeşte sumă medie înlocuitoare a
plasamentelor din A echivalente cu C, in valoare actuala, in regim de dobânda
compusa, daca VA(A) = VA(C) :
úû
ùêë
é+
+++
++
=+
+++
++ nn t
nttt
n
ntt iii
Si
Si
Si
S)1(
1......)1(
1)1(
1)1(
......)1()1( 2121
212
2
1
1
å
å
=
=
+
+= n
kt
k
n
kt
k
k
k
k
i
iS
S
1
1
)1(1
)1(
e. Scadenta medie înlocuitoare este scadenta t din matricea D care va fi
echivalentă cu A în valoare actuala .
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
n
n
iiittt
SSSD
.................
21
21
,
„t” satisface ecuaţia
tn
ntt
n
ntt t
Si
Si
Si
Si
Sn )1(
......)1()1(
......)1()1( 1
1
2
2
1
121 +
+++
=+
+++
++
Þ
f. Procentul mediu înlocuitor este procentul din matricea E echivalentă cu A,
în regim de dobânda compusă , în valoare actuală.
FValori medii în
operaţiuniechivalente în
valoare actualain regim de
dobândăcompusă
27
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
=iiitttSSS
E n
n
.....
..........
21
21
Procentul mediu înlocuitor satisface ecuaţia:
nn tn
tttn
ntt i
Si
Si
Si
Si
Si
S)1(
......)1()1()1(
......)1()1( 2121
21
2
2
1
1
+++
++
+=
+++
++
+
Observaţie: Dacă 0S este plasată în regim de dobândă compusă, „n” ani cu
procentele niii ,......,, 21 , atunci suma finală: )1)......(1)(1)(1( 3210 nf iiiiSS ++++= şi
valoarea actuală:)1)....(1)(1( 21
0n
f
iiiS
S+++
= .
Exemple rezolvate: 1. Ce devine suma de 10.000 u.m. plasata pe timp de 10
ani cu procentul anual de 3,5 % ?
Rezolvare:
S10 = 10.000 x 1,035 10 = 10.000 x 1,41059876
S10 = 14105,9876 u.m.
2. Să se determine ce suma trebuie depusa cu procentul anual de 5 % pentru a incasa
peste 4 ani suma de 600 000 u.m.
Rezolvare :
p = 5%, t = 4 ani, Sf = 600 000 u.m., S0 = ?, Sf = S0 (1 + i)t = S0 ut unde u =
1+i , deci
( )2,493621
05,10006000
1 40 ==+
= tf
i
SS u.m.
3. Să se calculeze folosind dobânda compusă, valoarea finală a sumei de 100.000
um plasată timp de 3 ani şi şase luni cu procentul anual de 6% .
Rezolvare:
S0 = 100.000 u.m., t =3 ani şi 6 luni, p = 6% , i = 6/100
a) Soluţia raţională
28
Sf = S0 (1+i) n (1+ik/h) = 100.000 (1+6/100)3 (1+6/100 6/12) = 120.801
u.m.
a) Soluţia comercială
Sf = S0 (1+i) n+k / p = 100.000 (1+6/100)3 +6 / 12 = 122.600 u.m.
4. Care este valoarea finala a sumei de 35 000 u.m. plasata cu dobânda compusa
timp de 5 ani si 3 luni, cu rata anuala de 7 %.
Rezolvare: S0 = 35 000 um,t = 5ani si 3 luni, t=5+0,25=5,25 ani,
p = 7%, i = 0,07,
a) Soluţia comerciala:
Sf = S0 (1+i) t = 25,507,135000 × = 49 926,70 u.m.
b) Soluţia raţionala:
( ) ( ) ( )05,007,0107,13500011 40 ×+×=÷
øö
çèæ ×++=
hkiiSS n
f =49 948,37 u.m.
5. Ce suma ridica o persoana peste 6 ani cu dobânda compusa daca depune
azi 110.000 u.m. cu procentul de 3% ? Care este dobânda obţinută?
Rezolvare:
t=6 ani, S0=110.000, p=3%, Sf=?, D=?, Sf=S0(1+i)t
Sf=110.000(1+0,03)6=131.345 u.m.
D=Sf - S0=21.345 u.m.
6. Câţi bani ar trebui să depunem acum pentru a primi peste 5 ani , 1000 u.m.,
cu o rată a dobânzii de 6%?
Rezolvare:
Sf = Sa(1+i)n, 1000 u.m. = Sa(1+i)5, 1000 u.m. = Sa(1+0,06)5,
1000 u.m. = Sa · 1,338
Sa =338,1
1000 u.m.
Sa = 747,38u.m.
29
7. Care este valoarea finala a unei investiţii de 15000 u.m. peste 4 ani, la o
rata a dobânzii compuse semestriale de 9,5%?
Rezolvare:
Sa = 15000 u.m.
i = 0475,02095,0
=
n = t · m → n = 8
Sf = Sa (1+i)n
Sf = 15000 (1 + 0,0475)8
Sf = 21741,915 u.m.
8. O suma de 200 000 u.m. plasata in regim de dobânda simpla cu un anumit
procent si un anumit t, a condus la o D = 54 000 u.m. Aceeaşi suma plasata in regim
de D compusa cu p = 4%, pe acelaşi număr de ani a condus la o D = 84 662.40 u.m.
Sa se determine durata de plasare a celor doua operaţiuni, precum si procentul
anual al primei operaţiuni.
Rezolvare:
DS : S0 =200 000 u.m. DC: S0 = 200 000 u.m.
D = 54 000 u.m. D = 84 662.40 u.m.
t1 = ?, p2 = 4%, p1 = ?
t1 = t2 = ?
]104,1[200000]1)1[(0 -=-+= ttiSDC
%31800054000,9
10020000054000,
9423312,1)04.1(
423312,1100000
2,142331200000
4,284662)04,1(,)04,1(2000004,284662
200000)04,1(2000004,84662],1)04,1[(20000040,84662
0 ====
=Û=
====
-=-=
ppitSD
t
s
t
tt
tt
30
BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ
I. Tratate şi monografii.
1. PURCARU, I., Matematici financiare, Editura Economică, Bucuresti,
1992.
2. POPESCU O., BAZ D., BEGANU G., FILIP A., ş.a. Matematici
aplicate in economie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1999.
.
TEST DE AUTOEVALUARE
1. Aflaţi valoarea finală a sumei de 1000um, plasată în regim de dobândă
compusă, pe timp de 4 ani cu procentele de 4%, 3%, 5% şi respectiv 2%?
În medie care este procentul de depunere?
TEMĂ DE REFLECŢIE
Care plasament este mai avantajos pentru perioade de timp mai mici de
un an, în regim de dobândă simplă sau compusă ?
Dar pentru perioade mai lungi de un an ?
31
MODELE DE ÎNTREBĂRI
Întrebările vor fi tip grilă, cu cel puţin un răspuns fiecare întrebare.
1. ) Ce sumă de bani ar trebui să depunem acum pentru a primi peste 2 ani sumade 600 EU, cu procentul anual de 5%.
a) 544,21769 EU, b) 400EU, c) 500EU.
2) Care este valoarea finală a unei investiţii de 30 000EU peste 4 ani cu unprocent anual de 8,5%.
a ) 41 500EU, b) 41 575,761EU, c) 50 000EU.3) Să se calculeze valoarea finală a unei sume de 50 000u.m. peste 2 ani şi 4 luni
cu procentul de 6.
a) 70 000u.m.; 51 000(1,06) 27
, b) 78 090,20; 50 000(1,06) 37
c) 72 000; 73 000.
RĂSPUNSURI LA ÎNTREBĂRI
1 a.2 b.3 b.
32
CAPITOLUL IIIPLĂŢI EŞALONATE (RENTE)
1. Cuprins2. Obiectiv general3. Obiective operaţionale4. Timpul necesar studiului capitolului5. Dezvoltarea temei6. Bibliografie selectivă7. Temă de reflecţie8. Modele de teste9. Răspunsuri şi comentarii la teste
Cuprins
� Notiunea plati esalonate, tipuri de plati, valoarea actuala sivaloarea finala.
� Tehnica rezolvarii problemelor cu plati esalonate.
� Obiectiv general: Dobândirea de cunoştinţe privindprincipalul aspect al folosirii noţiunilor de plati esalonate, de clasificare adiferitelor tipuri de plati.
� Obiective operaţionale: Însuşirea tehnicii şi a etapelor derezolvare a problemelor in care apar platile esalonate.
= 4 ore
33
CAPITOLUL IIIPLATI ESALONATE, RENTE
1. Noţiunea si clasificarea platilor esalonate.
3.1. Generalitati. Înţelegem prin plăţi eşalonate sume de bani plătite la
intervale (perioade) de timp egale.
Perioada poate fi anul, semestrul, trimestrul, luna si in acest caz plăţile se vor
numi anuităţi, semestrialităţi, trimestrialităţi, mensualităţi, respectiv.
Plăţile eşalonate pot fi făcute cu scopul :
- fie în vederea constituirii unor sume şi se numesc plăţi eşalonate de
plasament sau fructificarea;
- fie în vederea rambursării unei datorii, acestea sunt plăţi de amortizare sau
rambursare.
Plăţile eşalonate pot fi făcute:
- la începutul perioadei şi se numesc anticipate;
- la sfârşitul perioadei şi se numesc posticipate;
De asemenea plăţile eşalonate mai pot fi :
- limitate ( temporale), numărul de plăţi este finit, fixat prin contract.
- perpetue, numărul plăţilor este nelimitat;
- viagere - numărul plăţilor depinde de viaţa unei persoane.
Mai pot fi:
- imediate - când încep în perioada imediată semnării contractului;
- amânate - când au loc după un număr de ani de la semnarea contractului.
În fine, plăţile eşalonate pot fi constante sau variabile după cum sumele
depuse periodic sunt constante sau nu.
3. 2. Anuităţi sau plăţi eşalonate anuale
1. Anuităţi imediate limitate posticipate: durata contractului este de n ani (limitate), şi
plăţile au loc în perioada imediată semnării contractului la sfârşitul fiecărui an.
FClasificarea
platiloresalonate
FPlati anuale(anuitati)
FPlati esalonate
anticipate,posticipate
34
Considerând că operaţiunea este în regim de dobândă compusă, suma finală a
tuturor plăţilor, care este suma sumelor finale pentru fiecare plată, va fi:
]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
]( ) ( ) n
n
j
n
jkkj
Pn
nnnP
n
TiTS
TiiiTiiiTS
+úû
ùêë
é+=
+++××+×+++××+×+=
å Õ-
= +=
1
1 1
432321
1
...1...111...11
Dacă procentele sunt constante, adică i1 = i2 = … = in=i , avem:
]( ) ( ) ( )
]( ) ( )[ ] n
n
j
jnj
Pn
nnnP
n
TiTS
TiTiTS
++=
+++++=
å-
=
-
--
1
1
22
11
1
...11
Dacă atât anuităţile cât şi procentele sunt constante, adică T1 = T2 = …=Tn, şi
i1 = = i2 =… =in atunci vom obţine:
] iuTTTuTuTuTiTiTS
nnnnnP
n1..........)1()1( 2121)( -
=++++=+++++= ----
Am folosit suma unei progresii geometrice, cu primul termen b1 şi raţia q:
qqb
qqbqbqbqbb
nnn
--
=--
=++++ -
11
11..... 11
11
2111
Ca urmare valoarea finala a acestor anuităţi este:
] iuTS
nP
n1)( -
=
Analog vom calcula şi valoarea actuală a tuturor plăţilor, ca fiind suma
valorilor actuale pentru fiecare plată:
0 1 2 n-1 nValoarea actuală
])( p
nAValoarea finală
])(P
nS
T1 T2 Tn-1 Tn
1i 2i … in
35
]( )
( )( ) ( )( ) ( )
]( ) ,
11
1...111...
111
11
1 11 1
21212
11
å Õå Õ= == =
úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
é+
=
+××++++
+++
+=
n
j
n
kkj
n
j
j
k kj
Pn
nn
Pn
vTi
TA
iiiT
iiT
iTA
unde nki
vk
k ,1,1
1=
+= .
Dacă procentele sunt constante, adică i1 = i2 = … = in=i , avem:
]( )
( )( )åå
==
=úû
ùêë
é
+=
n
j
jj
n
jjj
Pn vT
iTA
11 11
unde v = 1/(1+i).
Dacă atât anuităţile cât şi procentele sunt constante, adică T1 = T2 = …=Tn, şi
i1 = i2 =… =in atunci vom obţine:
] ( ) ( ) ( )
] ivTA
iii
ivvv
iunde
vvTvTvTvTv
iT
iT
iT
iTA
nP
n
nn
nP
n
-=
=+
×+
=-
×=+
--
=+++=+
+++
++
++
=
1
,111
11
1,1
11
1.....1
.....111
)(
232
)(
Observaţie: Pentru T = 1, din relaţiile de mai sus, obţinem suma finală,
respectiv valoarea actuală a unui şir de anuităţi posticipate de 1 u.m. (le vom nota cu
sn şi an):
iva
ius
n
n
n
n-
=-
=1,1
rezultă :
] nP
n sTS ×=)( , ] nP
n aTA ×=)( .
Aşadar sn şi an acţionează ca nişte factori de acumulare (fructificare) şi,
respectiv, de actualizare (există tabele cu aceste mărimi pentru procedurile manuale
de calcul).
36
2. Anuităţi imediate limitate anticipate: durata contractului este de n ani
(limitată), şi plăţile au loc în perioada imediată semnării contractului la începutul
fiecărui an. Avem următoarea schemă de plăţi:
Deoarece fiecare plată are loc, cu un an mai devreme (la începutul fiecărui an)
faţă de cazul în care plăţile sunt posticipate, suma finală şi valoare actuală a acestor
plăţi vor fi diferite doar printr-un factor u, faţa de cazul posticipat.
]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
]( ) ( )å Õ
= =úû
ùêë
é+=
++++××+×+++××+×+=
n
j
n
jkkj
An
nnnnA
n
iTS
iTiiiTiiiTS
1
322211
1
1...1...111...11
Pentru valoarea actuală avem suma:
] å Õ=
-
= +×+=
n
j
j
k kj
An i
TTA2
1
11
)(
11
Dacă procentele sunt constante, adică i1 = i2 = … = in=i , avem
]( ) ( ) ( ) ( )
]( ) ( )[ ]å
=
+-
-
+=
++++++=n
j
jnj
An
nnnA
n
iTS
iTiTiTS
1
1
121
1
1...11
Dacă atât anuităţile cât şi procentele sunt constante, adică T1 = T2 = …=Tn, şi
i1 = i2 =… =in atunci vom obţine:
0 1 2 n-1 nValoarea actuală
]( )AnA
T2 T3 TnT1
1i 2i … in
Valoarea finală]
)(PnS
37
] ( )
iuuT
TuTuTuTuiTiTiTSn
nnnnAn
1
.....1.....)1()1( 211)(
-××=
=++++=++++++= --
Cu notaţiile de mai sus pentru factorii sn şi an obţinem formulele:
]( )
nA
n suTS ××=
]
]( )
nA
n
nn
nA
n
auTA
ivi
iviv
vTv
vTi
Ti
Ti
TTA
××=
=+
=--
=--
=+
+++
++
+= - 11,1
11
)1(......
)1(1 12)(
3. Anuităţi imediate nelimitate posticipate: durata contractului este nelimitată,
şi plăţile au loc în perioada imediată semnării contractului la sfârşitul fiecărui an.
Avem următoarea schemă de plăţi:
În cazul plăţilor nelimitate, valoarea finală nu poate fi evaluată, vom evalua
numai valoarea actuală care ar putea reprezenta plata unor pensii.
]( )
]( )
¥®¥®¥ ==n
Pnn
P AA limlim å Õ= =
úû
ùêë
é+
n
j
j
k kj i
T1 1 1
1
Seria este convergentă dacă, conform criteriului de convergenţă al raportului,
pentru serii cu termeni pozitivi, avem:
( ) 11
lim1
1 <+× +
+
¥®kk
k
k iTT
0 1 2 n-1 nValoarea actuală
]( )PA¥
T1 T2 Tn-1 Tn
1i 2i … in …
38
Dacă anuităţile sunt egale, atunci condiţia de convergenţă este îndeplinită
indiferent dacă plăţile sunt efectuate cu procente anuale egale sau nu, deoarece
1/(1+ik+1)<1.
Dacă atât anuităţile cât şi procentele sunt constante, adică T1 = T2 = …=Tn, şi
i1 = i2 =… =in atunci vom obţine:
] å åå¥
=
¥
=
¥
=¥ ==
+=+
+++
++
+=
1 112
)(
)1(.......
)1(.....
)1(1 k k
k
k
kkn
P vTTvi
Ti
Ti
Ti
TA
0 < v =i+1
1 < 1, seria geometrică este convergentă şi suma ei este:
÷÷ø
öççè
æ-
==+
+=
-= åå
¥
=
¥
= qqq
iii
ivvv
n
n
k
k
1,11
11
1 11
] iTA p =¥
)( .
4. Anuităţi imediate nelimitate anticipate: durata contractului este nelimitată,
şi plăţile au loc în perioada imediată semnării contractului la începutul fiecărui an.
Avem următoarea schemă de plăţi:
0 1 2 n-1 nValoarea actuală
]( )AA¥
T2 T3 Tn Tn+1
1i 2i … in …
T1
39
Deoarece ¥®n , ca şi în cazul posticipat, valoarea finală a plăţilor este
nemărginită, deci se pune problema calculării numai a valorii actuale a acestor plăţi.
]( )
]( ) ( )å Õ
=
-
=
-
¥®¥®¥ +×+==n
j
j
kkjn
Ann
A iTTAA2
1
1
11 1limlim
iar dacă anuităţile şi procentele sunt egale atunci avem:
] ivT
vTvT
iT
iT
iT
iTTA
k
k
kkn
A =-
==+
=++
+++
++
+= åå¥
=
¥
=¥ 1
1)1(
1......)1(
......)1(1 00
2)(
5. Anuităţi amânate limitate posticipate: durata contractului este de n ani
(limitate), şi plăţile au loc după un număr de r ani de la data semnării contractului
(amânate), la sfârşitul fiecărui an (posticipate).
Suma finală a acestor plăţi este:
]( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) nnn
nrrrnrrrPrn
TiTiiiTiiiTS
++++
++××++++××++=
-
++++++
1...
1...111...11
1
432321
]( ) ( ) n
n
rj
n
jkkj
Prn TiTS +ú
û
ùêë
é+= å Õ
-
+= +=
1
1 11
Dacă atât anuităţile cât şi procentele sunt constante, adică T1 = T2 = …=Tn, şi
i1 = i2 =… =in atunci vom obţine:
0 1 r n-1 n
]( )P
rnA
ir+1
Tr+1 Tn-1 Tn
1i … in…r+1
]( )P
rnS
] iuTA A 1)( ××=¥
40
]
] iuTTTuTuS
iuTS
rnrnrnP
rn
rnPrn
1......
1
21)(
)(
-×=+++=
-×=
-----
-
pentru valoarea actuală a acestor plăţi, însumăm:
]( )
]( ) å Õ
+= =
+++++
úû
ùêë
é×=
××××++×××××+××××=
n
rj
j
kkj
Prn
nnrrrrrPrn
vTA
vvvTvvvvTvvvTA
1 1
21212121211 .............
Dacă atât anuităţile cât şi procentele sunt constante, adică T1 = T2 = …=Tn, şi
i1 = i2 =… =in atunci vom obţine:
]
i
ii
Ti
Ti
TA
rn
rnirPrn
+-
÷øö
çèæ+
-
+=
+++
+=
-
++
111
111
)1()1(.....
)1( 1)( .
După efectuarea unor calcule elementare:
]
] rn
rnPrnf
rnr
rnrP
rn
sTi
uTS
avTivvTA
-
-
-
-
×=-
×=
××=-
××=
1
1
)(
)(
6. Anuităţi amânate limitate anticipate: durata contractului este de n ani
(limitate), şi plăţile au loc după un număr de r ani de la data semnării contractului
(amânate), la începutul fiecărui an (anticipate).
FValoareaactuala si
valoarea finalain cazul platilor
amanatelimitate
posticipate
41
Suma finală a plăţilor:
]( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )nn
nrrrnrrrArn
iTiiiTiiiTS
+++
++××++++××++= ++++++
1...1...111...11 322211
]( ) ( )å Õ
+= =úû
ùêë
é+=
n
rj
n
jkkj
Arn iTS
11
iar valoarea lor actuală:
]( )
]( ) å Õ
+=
-
=
-+++
úû
ùêë
é×=
××××++××××+××××=
n
rj
j
kkj
Arn
nnrrrrArn
vTA
vvvTvvvTvvvTA
1
1
1
1211212211 .............
Dacă atât anuităţile cât şi procentele sunt constante, adică T1 = T2 = …=Tn, şi
i1 = i2 =… =in atunci vom obţine:
0 1 r n-1 n
]( )A
rnA
ir+1
Tr+2 Tn
1i … in…r+1
]( )A
rnS
Tr+1
42
]
]
]
]
]( )
rnrA
rn
rn
rnArn
rnrnrnA
rn
rnrA
rn
rnr
rnr
rn
rnrrArn
avuTA
suTi
uuTS
iiiTiTiTiTS
ivTvA
ivTv
ivvTv
i
ii
Ti
Ti
Ti
TA
-
-
-
----
--
--
-
-
-+
×××=
××=-
××=
-+-+
+=+++-+-=
-=
-=
-=
=
÷÷÷÷÷
ø
ö
ççççç
è
æ
+-
÷øö
çèæ+
-
+=
+++
++
+=
,1
111)1()1()1(......)1()1(
1,11
111
111
)1()1(.......
)1()1(
)(
1)(
1)(1
11)(
7. Anuităţi amânate nelimitate(perpetue) posticipate: plăţile se desfăşoară pe
o perioadă nelimitată ( ¥®n ), şi plăţile au loc după un număr de r ani de la data
semnării contractului (amânate), la sfârşitul fiecărui an (posticipate).
În cazul plăţilor nelimitate, valoarea finală nu poate fi evaluată, vom evalua
numai valoarea actuală care ar putea reprezenta plata unor pensii.
]( )
]( )
¥®¥®¥ ==n
Prnn
Pr AA limlim å Õ
+= =úû
ùêë
é×
n
rj
j
kkj vT
1 1
Seria este convergentă dacă, conform criteriului de convergenţă al raportului,
pentru serii cu termeni pozitivi, avem:
( ) 11
lim1
1 <+× +
+
¥®kk
k
k iTT
Dacă anuităţile sunt egale, atunci condiţia de convergenţă este îndeplinită
indiferent dacă plăţile sunt efectuate cu procente anuale egale sau nu, deoarece
1/(1+ik+1)<1.
FValoareaactuala si
valoarea finalain cazul platilor
amanatelimitate
anticipate
43
Dacă atât anuităţile cât şi procentele sunt constante, adică T1 = T2 = …=Tn, şi
i1 = i2 =… =in atunci vom obţine:
] ( ) iTvvTTv
iT
iT
iTA r
k k
rk
k
rkkrrr
P ×===+
=++
++
= å åå¥
=
¥
=
+¥
=
++++¥
1 1121
)(
)1(.....
)1(1
] iTvA rP
r ×=¥)( ,
8. Anuităţi amânate nelimitate(perpetue) anticipate: plăţile se desfăşoară pe o
perioadă nelimitată ( ¥®n ), şi primele plăţile încep după un număr de r ani de la
data semnării contractului (amânate), la începutul fiecărui an (anticipate).
Urmând un raţionament analog celui de mai sus vom obţine valoarea actuală
a acestor plăţi:
] iTuvA rA
r ××=¥)( .
1. Achitarea unei datorii a fost stabilită pentru o durată de 5 ani cu plată anuală
anticipată. Valoarea unei anuităţi este de 10.000 u.m şi procentul anual de 5%.
Care este valoarea acumulată la sfârşitul ultimului an de plată şi care este valoarea
acestei datorii?
Rezolvare:
Plăţi anticipate, imediate, limitate
T = 10.000 u.m, p = 5%, i = 0,05, u = 1,05, n = 5 ani
S )( An =
iuuT
n 1-×× = 58.002 u.m.
A )( An =
ivuT
n-××1 = 45.483 u.m.
FProblemerezolvate
44
2. La achiziţionarea unei case s-a plătiţi un avans de 200.000 u.m. si s-a
convenit ca apoi timp de 20 ani sa se achite la fiecare sfârşit de an cate o suma de
10.000 u.m. cu un procent anual de 5%. La ce preţ a fost negociata casa si care este
valoarea ei finala peste 20 de ani.
Rezolvare :
Plaţi eşalonate, posticipate, imediate, limitate
n = 20, T = 10.000, S0 = 200.000 u.m., p = 5% i = 0,05
Preţ = S0 + A )(Pn = S0 + T
iv n-1 = = 324.622,1044 u.m. valoarea actuala a
casei
S0 (1 + i)n + S )(Pn = S0(1 + i)n + T
iu n 1- = 200.000 x 1,0520 + 10.000
05,0105,1 20 - =
= 530659,502 + 330659,542 = 861319,084 u.m. valoarea casei după 20 ani
3. O banca acorda un credit de 100 milioane u.m. pe timp de 5 ani, cu
procentul de 10%, urmând ca exact la 5 ani sa se facă rambursarea după una din
variantele:
a) Integral, suma împrumutată plus, dobânzile aferente
b) prin 5 anuitatea constante si cu procent anual constant de 6%
Sa se determine suma rambursata la punctul a) si apoi ratele anuale de la b).
Rezolvare:
Plati esalonate, immediate, limitate, anticipate.
S0=100.000.000, n=5 ani, p=10% => i=0,1, Sf=S0(1+i)n
Sf=100.000.000 x (1,1)5=100.000.000 x 1,61051=161.051.000
45
St= An(A)=T
viv n
×-1 , T= n
f
v
vi S-
××
1=
7472,0106,1116105100006,0
-
××=36.160.862.
4. Să se calculeze valoarea actuală a unui şir de 10 unităţi a 20 000 u.m.
plasate posticipat cu 6%.
Rezolvare:
Plati esalonate posticipate, limitate, immediate.
Avem: T = 20 00, n = 10, i = 0,06
74,201,14706,006,11200001 12
1212 =-
=Þ-
×=-
AivTA
n
(u.m.)
6. Plasând 3 ani consecutiv la finele fiecărui an, sumele 2.000 u.m., 8.000
u.m. si 12.000 u.m., cu un procent anual unic p = 10%, care este valoarea finala si
valoarea actuala a plasamentelor?
Rezolvare: Plati esalonate immediate, limitate, posticipate.( ) 23220120001,180001,12000 23 =+×+×=PS um
32)(
3 1,112000
1,18000
1,12000
++=PA = 17.446um.
46
BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ
I. Tratate şi monografii.
1. BURLACU V., CENUSA GH., Matematici financiare si actuariale, Ed. Teora,Bcuresti, 2000.2. CENUŞĂ GH., RAISCHI C., BAZ D., TOMA M, BURLACU V., SĂCUIUI., MIRCEA I., Matematici pentru economişti, Ed. Cison, Bucureşti, 2000.
TEST DE AUTOEVALUARE
1. Un cetatean participa anual, la sfarsitul fiecarui an, timp de 25 de ani cu suma de
1000um, la un fond de investitii privat in vederea acumularii unui fond privat de
pensie. Daca presupunem ca rata dobanzii este constanta si egala cu 3,5%, pe toata
durata plasamentului, care este valoarea fondului acumulat dupa 25 de ani si ce
pensie privata va putea primi tot restul vietii, cu procentul anual de 2,2%, la inceputul
fiecarui an de viata?
47
TEMĂ DE REFLECŢIE
Daca doua persoane investesc aceeasi suma de bani, cu acelasi procent anual,
pe o peorioada de 10 ani, una prin anuitati anticipate iar cea de-a doua prin anuitati
posticipate, care persoana va acumula o suma mai mare de bani, prima sau a doua?
MODELE DE ÎNTREBĂRI
Întrebările vor fi tip grilă, cu cel puţin un răspuns fiecare întrebare.
1) Timp de 12 ani se plasează câte o sumă de 100 000u.m. cu procentul anual
5%. Care este valoare finală şi valoarea actuală a acestui plasament?
a)1 591 600u.m.; 886 326u.m., b)1 491 600u.m.; 900 320u.m.,
c)1 200 000u.m., 850 000u.m..
48
2) Dacă 3 ani la rând, la sfârşitul anului se plasează sumele: 2000 u.m., 3000u.m.,
5000u.m. cu procentele 5, 7, 10% care este valoarea fondului acumulat şi care
este valoarea actuală la începutul primului an de plată.
a) 10 654u.m., 9 508,45u.m., b) 11 000u.m., 9 600u.m.,
c)12 000u.m., 8 000u.m..
R: 1 a), 2 a),
RĂSPUNSURI LA ÎNTREBĂRI
1. a.
2. a.
49
CAPITOLUL IVOPERATINI DE SCONT
1. Cuprins2. Obiectiv general3. Obiective operaţionale4. Timpul necesar studiului capitolului5. Dezvoltarea temei6. Bibliografie selectivă7. Temă de reflecţie8. Modele de teste9. Răspunsuri şi comentarii la teste
Cuprins
� Descrierea operatiunilor de scontar, definirea scontul simplusi scontului compus
� Tehnica de rezolvare aproblemelor de scont.
� Obiectiv general: Dobândirea de cunoştinţe privindoperatiunile de scontare, clasificare tipurilor de scont.
� Obiective operaţionale: Însuşirea tehnicii şi a etapelor derezolvare a problemelor de scont.
= 3 ore
CAPITOLUL IVOPERATIUNI DE SCONT
1. Noţiunea si tipurile de scont.
4.1. Definirea noţiunii de scont. Operaţiuni de scont – cumpărarea de către unele
bănci a unor poliţe (chitanţe, scrisori de schimb) înainte de scadenţa acestoraFOperatiunea de
scont
50
percepând o anumită taxă pentru astfel de servicii făcută deţinătorilor acestor
documente financiare.
0S suma plasată pe durata T cu procentul anual „p” devine „K”.
0S - valoare iniţială a operaţiuni sau preţ de cumpărare sau valoarea de
emisiune.
Procent anual – procent de emisiune al poliţiei Suma 1K se numeşte valoarea
finală la scontare sau curs al poliţei acesteia.
Suma K se numeşte valoarea finală a operaţiuni sau valoarea nominală a
scadenţei.
q – procent anual sau procent de scont al poliţei;aK - valoarea actuală a poliţei la momentul vânzării sau valoarea scontată
sau capital scontat.
Definiţie: Diferenţa dintre K (capital nominal) şi aK (capital scontat) se
numeşte taxă de scont sau scont.aKKS -= - taxă de scont
Scontul simplu. Dacă dobânda aferentă capitalului scontat aK pentru a obţine
capitalul nominal K este evaluată ca dobânda simplă, atunci spunem că avem o
operaţiune de scont simplu şi se va nota SS.
SS – scont simplu;
SS = K - aK , DS = itS0 , SS = jtK 0 , K = SSK a + , K = jtKK aa +
jtKKjtKK aa
+=Þ+=
1)1(
jtKK
jtKKKKjtKjt
KjtSSRKjtSSCjtjt
KjtSS
a
aa
-=
-==++
==»++
=
1
)1(,,1
,,11,1
FValoarea
actuala saucapital scontat
FTaxa de scont,
scontul
FCapital nominal
sau valoareafinala lascadenta
51
SSR SSC
)1(1
1
jtKKjt
KK
jtKSSRjt
KjtSSR
a
a
a
+=
+=
=
+=
jtKK
jtKKjtjtKSSC
KjtSSC
a
a
a
-=
-=
-=
=
1
)1(1
Exemplu: O poliţă cumpărată în urmă cu 5 luni cu un anumit preţ şi evaluată
azi cu procentul anual p=8% valorează 100000 UM, când posesorul doreşte să o
sconteze şi să o vândă.
Scadenţa ei este de 10 luni de la cumpărare. În aceste condiţii se cere scontul
simplu raţional şi scontul simplu comercial corespunzător cu procentul iniţial şi
procentul q = 10% precum şi valoarea scontată în fiecare caz.
Rezolvare:
=1T 5 luni; P = 8 %; 1000001 =K , T = 10 luni, SSR = ?, SSC = ?
1)q = P = 8 %; 2)q = 10 %
UMK
iTSK
iTKS
TiSitSSK
KK
a
a
79,103225151619,96774
1210
1008119,96774
)1(
19,9677431
30100000
300310
100000
1215
10081
1000001
)1(
0
1
10
10001
2
1
==÷øö
çèæ +=
+=
×==
+=
+=
++=+=
FScont simplu
rational si scontsimplu
comercial
52
85,344030179,103225
864,3329
3031
30179,103225
125
10081
125
100879,103225
1
===
==+
=
=+
=
KjtSSR
SSR
pqjt
KjtSSR
74,9978485,344079,103225
93,9989586,332979,103225
=-=-=
=-=-=
SSCKKSSRKK
a
a
.
Dacă dobânda aferentă capitalului actual scontat 0K pentru a obţine capitalul
scontat K este evaluat ca dobândă compusă spunem că avem o operaţiune de scont
compus al cărui rezultat se notează SC.
[ ]
1)1(
1)1(,)1(
,1
)1
11(,1)1(
)1(11,
)1(
,)1(
,)1(,)1(
1
0
-+=
-+=-+=
=+
=+
-=+»+
úû
ùêë
é+
-=+
-=
=-
=+=+=
-
ta
taaa
t
tt
tatat
f
jSCK
jKSCKjK
SCjt
Kjtjt
KSSCjtj
jKSC
jKK
SCj
KKjKKiSS
SCR SCC=SSR
[ ]
ta
ta
ta
t
jKKj
KK
jKSCR
jjKSCR
)1()1(
1)1(
)1(1
+=
+=
-+=
úû
ùêë
é+
-=
)1(1
1
jtKKjt
KK
jtKSCCjt
KjtSCC
a
a
a
+=
+=
=
+=F
Scont compusrational sis cont
compuscomercial
53
IV.2. Exemple rezolvate. 1. La data de 01.05.2001 a fost cumpărată sau
emisă o poliţă în valoare ( sau la preţul ) de S0 = 10000 u.m., scadentă 5 ani mai
târziu şi evaluată cu procentul anual de 8 % . Din motive diverse, posesorul poliţei se
prezintă la scontare cu 2 ani înainte de scadenţă. În aceste condiţii se cer:
a)valoarea nominală a poliţei K la scadenţă;
b)valoarea finală a poliţei la momentul scontării;
c)valoarea scontată a poliţei Ka aplicând pe rând ambele sconturi simple cu
fiecare din procentele anuale q1= 8% şi q2 = 10%.
Rezolvare:
S0 = 10000 u.m., T = 5 ani, p = 8 %, q = 8 %
a) Deoarece T = 5 ani , evaluată cu dobânda compusă, poliţa conduce la
un capital nominal ( ) ( )50 08,1100001 ×=+×= TiSK = 14693,28 u.m.
b) Pentru t = 2 ani şi q = 8 % capitalul scontat este :
K /(1+jt) =14693,28 /( 208,01 ×+ )= 12666,62 cu SSR sau SSC
Ka= K (1 – jt ) = 14693,28 ( 208,01 ×- ) = 12342,355 cu SSC
K ( 1 + j )-t = 14693,28 : 1,08-2 = 12597,118 cu SCR
3. O poliţă cumpărată în urmă cu 5 luni cu un anumit preţ şi evaluată azi cu
procentul anual p=8% valorează 100000 UM, când posesorul doreşte să o sconteze şi
să o vândă. Scadenţa ei este de 10 luni de la cumpărare.
În aceste condiţii se cere scontul simplu raţional şi scontul simplu comercial
corespunzător cu procentul iniţial şi procentul q = 10% precum şi valoarea scontată în
fiecare caz.
Rezolvare:
=1T 5 luni, p = 8 %, 1000001 =K , T= 10 luni, SSR = ?, SSC = ?
1) q = p = 8 %
2) q = 10 %,
Se cer ?,, 121 =KKK aa
)1( 10001 TiSitSSK ×+=+=
54
umKiTSK
umiT
KS
79,103225151619,96774
1210
1008119,96774),1(
19,9677431
30100000
300310
100000
1215
10081
1000001
0
1
10
==÷øö
çèæ +=+=
=×
==+
=+
=
85,344030179,103225
864,3329
3031
30179,103225
125
10081
125
100879,103225
,,1
===
==+
==+
=
KjtSSR
SSRpqjt
KjtSSR
74,9978485,344079,10322593,9989586,332979,103225
=-=-=
=-=-=
SSCKKSSRKK
a
a
.
4. Pe 01.03.2005 a fost cumpărată (emisa) o poliţă în valoare de S0=12.000
u.m. scadentă 10 luni mai târziu cu procentul de 10%. Din motive diverse posesorul
poliţei se prezintă la scontare cu 3 luni înainte de scadenţă.
În aceste condiţii se cere:
a) valoarea nominala a poliţei K la scadenţă
b) valoarea finala a poliţei la momentul scontării (cursul poliţei K1 )
c) valoarea scontata Ka, aplicând pe rând cele 3 tipuri de sconturi (q=8%)
Rezolvare:
S0=12.000, p=10%, T=10 luni, T1=7 luni, t=3 luni.
a) K=S0+S0iT=S0(1+iT)=12.000(1+0,1 1210 )=13.000
b) K1=S0(1+iT1)=12.000(1+0,1 127 )=12.796
c) Ka = K(1-jt)=1.300(1-0,08 123 )=12.740 SSC
jtK+1
=12303,01
300.1×+
=12.903.225 u.m. SSR
5. O bancă a emis obligaţiuni cu termen de 6 luni şi cu o dobânda de 21 %.
Daca se cumpăra obligaţiuni in valoare de 200 000 u.m., peste 6 luni ce valoare finală
vor avea ? Dacă vor fi vândute după 3 luni de la cumpărare, care este taxa de scont ,
55
şi care este suma pe care o va primi posesorul obligaţiunilor? Să se aplice pe rând
toate cele trei tipuri de scont, cu acelaşi procent de scont de 21 %.
Rezolvare:
S0 = 200 000 u.m., T = 6 luni =1/2 ani=0,5ani, p = 21%, i=0,21, t = 3 luni = 3/12 ani
t= 0,25 ani
( ) 5,021,020000010 ××=+= iTSK um=221000um
K = 221000 um
Taxa de scont: SSR = SCC = Kjt / (1+jt)
SSR ( ) 7,1102325.021,0125,021,0221000 =×+×××= um
Ka = K– SSR, Ka = 221 000 – 11 023,7 = 20 9976,3 um
SSC = Kjt, SSC = 5,1160225,021,0221000 =×× um
Ka = K – SSC, Ka = 221 000 – 11 602,5 = 209 397,5 um
SCR = K( 1- 1/ (1+j)t )
SCR = 221 000 (1-1/ (1+0,21)0.25 )= 10 284,76 u.m.
Ka = K – SCR, Ka = 221 000 – 10 284,76 = 210 715,24 u.m.
BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ
I. Tratate şi monografii.
1. BURLACU V., CENUSA GH., Matematici financiare si actuariale, Ed. Teora,
Bcuresti, 2000.
2. CENUŞĂ GH., RAISCHI C., BAZ D., TOMA M, BURLACU V., SĂCUIU I.,
MIRCEA I., Matematici pentru economişti, Ed. Cison, Bucureşti, 2000.
TEST DE AUTOEVALUARE
56
1. O polita a fost emisa cu valoarea de 2000um si este scadenta 4 ani mai tarziu.
Procentul de emisiune al politei este de 8%. Care este capitalul nominal al politei sau
valoarea politei la scadenta ? Daca polita este scontata cu 2 ani mai devreme cu
procentul de scont de 9% cat va primi posesorul politei si ce taxa de scont va incasa
banca care face acest serviciu?
TEMĂ DE REFLECŢIE
Care dintre tipurile de scont este mai avantajos pentru client? Dar
pentru banca de scont?
MODELE DE ÎNTREBĂRI
Întrebările vor fi tip grilă, cu cel puţin un răspuns fiecare întrebare.
1) Valoarea unei poliţe, la data cumpărării ei, este de 20000 =S u.m. şi scadenţa
peste 6 luni cu un procent anual de 10. Se cere suma pe care o primeşte
posesorul la scadenţă.
a) 100 000u.m., b) 210 000u.m., c) 105 000u.m..
2. Acum doi ani un cetatean a cumparat o polita cu pretul de 2560um, cu
procentul de emisiune de 7% si scadenta peste 4 ani de la data emiterii ei. Cat
primeste cetateanul daca o vinde unei banci ce ii va aplica un procent de 6% pe
perioada scontata si un scont simplu comercial?
a) 3300,08um, b) 2500,02um, c)2952,96um
RĂSPUNSURI LA ÎNTREBĂRI
1. c.
2. c.
57
CAPITOLUL VRAMBURSAREA IMPRUMUTURILOR
1. Cuprins2. Obiectiv general3. Obiective operaţionale4. Timpul necesar studiului capitolului5. Dezvoltarea temei6. Bibliografie selectivă7. Temă de reflecţie8. Modele de teste9. Răspunsuri şi comentarii la teste
Cuprins
� Notiunea de rambursare a unui imprumut, tipuri derambursare.
� Intocmirea tabelului de rambursare.
� Obiectiv general: Dobândirea de cunoştinţe privindoperatiunea de rambursare a unui imprumut.
� Obiective operaţionale: Însuşirea tehnicii de intocmire a unuitabel de rambursare.
= 3 ore
58
CAPITOLUL VRAMBURSAREA IMPRUMUTURILOR
1. Noţiunea, tipurile de rambursare a imprumuturilor.
5.1. Definirea noţiunii rambursare. Prin operatiunea financiara de rambursare a
unui imprumut intelegem efectuarea unor plati esalonate pe o perioada limitata cu un
anume procent anual stabilite printr-un contract intre cei doi parteneri, la data
obtinerii imprumutului.
Notăm cu: V0 valoarea împrumutului (suma împrumutată), n numărul de ani în care
se rambursează împrumutul,
T1, T2, …Tn anuităţile succesive (ratele plătite) pentru rambursarea împrumutului,
Q1, Q2, …Qn amortismentele succesive (sunt părţi ale ratelor) si parti ale sumei
imprumutate 0V ,
p = 100i procentul anual aferent împrumutului şi Vj valoarea datoriei (suma rămasă
de rambursat) la finele anului j.
FElemntele unui
imprumt
59
Evident avem relaţiile:
V0 = Q1 + Q2 + …+ Qn , Vn-1 = Qn , Vn = 0
Pentru a pune în evidenţă elementele din rambursarea unui împrumut se
întocmeşte un tabel de tipul următor:
Nr.
peri-
oade
Datoria la
începutul
perioadei
Vj-1
Dobânda
aferentă
datoriei
dj
Amortis-
mentul
Qj
Anuitatea
Tj = Qj + dj
Datoria
rămasă
Vj=Vj-1-Qj
Datoria
achitată
Sj
1 V0 d1 = V0 i Q1 T1=Q1 + d1 V1 = V0-Q1 S1=Q1
2 V1 d2=V1i Q2 T2 = Q2 +d2 V2=V1-Q2 S2=S1+Q2
… … … … … … …
N Vn-1 dn=Vn-1i Qn Tn=Qn+dn Vn=Vn-1-Qn= 0 Sn=V0
Calculăm diferenţa dintre două anuităţi succesive şi obţinem:
( )( ) jjjjj
jjjjjJjjjj
QiQQiQQVViQQViQViQTT
×+-=×--=
=-×--=×--×+=-
++
-+-++
111
11111
Cazul I: Dacă anuităţile sunt constante (T1 = T2 = …Tn-1 = Tn) obţinem:
( ) jj QiQ ×+=+ 11 , nj ,1=
adică amortismentele sunt în progresie geometrică crescătoare cu raţia
u =1+ i.
( )
11
...1
,
0110
121
,10
11
-×=Û
-×=
++++==
×=
-
=
-
å
n
n
n
njj
jj
uiVQ
iuQV
uuuQQV
uQQ
FRambursarea
prinamortismente in
progresiegeometrica
60
Cazul II. Dacă amortismentele sunt egale Q1 = Q2 =…=Qn = V0/n, vom
obţine:
( ) 1,1,,/1 0101 -=-=-=-=+-=- ++ nj
nViTTniViQQiQTT jjjj
anuităţile (ratele) formează o progresie aritmetică descrescătoare de raţie
niV0- .
Evident, avem şi o relaţie între suma împrumutată şi anuităţi datorată faptului
că împrumutul reprezintă valoarea actuală a amortismentelor. Deci:
ivvTvTvTV n
n +=×++×+×=
11,...2
210
5.2. Exemple de operatiuni de rambursare a unui imprumut.
1. Să se întocmească tabelul de amortizare în cazul unui împrumut de 40.000um
cu o dobânda de 24 %, daca rambursarea se face în 4 ani prin amortismente egale.
Rezolvare:
Anii
Suma la
începutul
anului
Dobânda Amortisment Anuitatea
Suma
ramasa de
plata
1 40000 9600 10000 19600 30000
2 30000 7200 10000 17200 20000
3 20000 4800 10000 14800 10000
4 10000 2400 10000 12400 0
FRambursare
prinamortismente
egale
17200100007200,200001000030000720024,030000,300001000040000
,960024,040000,10000440000
222202
12101
111014321
=+=+==-=-==×===-=-=
+==×=======
QdTQVViVdQVV
dQTiVdQQQQ
61
2. Să se întocmească tabelul de amortizare în cazul unui împrumut de 50.000
u.m. cu 15 % dobânda, daca rambursarea se face in 5 ani cu amortismente egale.
Rezolvare :
,300001000040000
,16000100006000,60001001540000
400001000050000,17500100007500
75001001550000,10000
550000
212
2222
101111
154321
=-=-=
=+=+==×=
=-=-==+=+=
=×=======
QVV
QdTd
QVVQdT
dQQQQQ
Anii
Suma la
inceputul
anului
Dobanda Amortisment Anuitate
Suma
ramasa de
plata
1 50000 7500 10000 17500 40000
2 40000 6000 10000 16000 30000
3 30000 4500 10000 14500 20000
4 20000 3000 10000 13000 10000
5 10000 1500 10000 11500 0
62
3. Să se întocmească tabelul de amortizare a împrumutului de 100.000 u.m. cu
dobândă d 8%, pe timp de 4 ani.
Rezolvare: Avem plăţi constante şi utilizam urmatoarele formule:
V0 = Q1 · ( un – 1 ) / i, Q1 = V0 · i / ( un – 1 ) , u = 1 + i, i = p/100
d1 = V0·i => d1=100000·(8/100) =8000
Q1 = (V0 · i) / ( un - 1), u = 1+i, i = p/100 => u=1+8/100, u=1,08
Q1=8000 / ( 1,084 – 1), Q1= 22192,08
T1 = Q1 + d1 = 22192,08 + 8000 = 30192,08
V1=V0-Q1 = 100000-22192,08 =77807,92
d2=V1·i = 77807,92 · 0,08 = 6224,63
Q2=Q1 (1+ i) = 22192,08 · 1,08 = 23967,
T2=Q2 + d2 = 23967,45+6224,634 =
V2=V1-Q2 = 77807,92-23967,45 =53840,47
d3=V2 · i = 53840,47 · 0,08 = 4307,238
Q3=Q2 · (1+ i) = 23967,45 · 1,08 =25884,84
T3=Q3 + d3 = 25884,84 + 4307,238 =
V3=V2-Q3 = 53840,47-25884,84=27955,63
d4=V3 · i = 27955,63 · 0,08=2236,45
Q4=Q3 · (1+i) = 25884,84 · 1,08=27955,63
T4=Q4 + d4 = 27955,63 + 2236,45 =
V4=V3-Q4 = 27955,63-27955,63
V4=0
Nr.
Crt
Suma datorata
la inceputul
anului
Dobanda Amortisment Anuitatea
Suma la
sfarsitul
anului
1 V0 = 100.000 d1=8000 Q1=22192,08 T1=30192,08 V1=77807,92
2 V1=77807,92 d2=6224,634 Q2=23967,45 T2=17742,81 V2=53840,47
3 V2=53840,47 d3=4307,238 Q3=25884,84 T3=21577,06 V3=27955,63
4 V3=27955,63 d4=2236,45 Q4=27955,63 T4=25719,18 V4=0
63
4. Să se întocmească tabelul de amortizare a împrumutului de 100000 u.m. cu
dobânda de 3%, pe timp de 4 ani prin plăti constante.
Rezolvare:
Mo-
ment
Suma
datorata la
începutul
anului
Dobânda Amortisment Anuitate
Suma
datorata la
sfârşit an
1. V0=100000 d1=3000 Q1=23902,7 T1=26902,7 V1=76097,29
2. V1=76097,29 d2=2282,91 Q2=24619,78 T2=26902,7 V2=51477,51
3. V2=51477,51 d3=1544,33 Q3=25358,37 T3=26902,7 V3=26119,14
4. V3=26119,14 d4=783,57 Q4=26119,14 T4=26902,7 V4=0
64
5. Sa se întocmească tabelul de amortizare a împrumutului de 200.000 u.m. cu
dobânda de 4% pe timp de 5 ani prin amortismente egale.
Rezolvare:
6. O bancă de stat acordă unei societăţi comerciale un credit de 1 000 000 u.m.
care urmează a fi rambursat în 6 ani, cu procentul 6%, prin anuităţi constante. Care
sunt valorile primului şi ultimului amortisment? Dar al anuităţii?
Rezolvare:
Avem: V0 = 1 000 000 u.m;. n = 6 ani; i = 0,06
Din101 -
×= nuiVQ rezultă: 63,143362
106,106,00001000 61 =-
×=Q u.m.
Din 11
-×= pp uQQ rezultă: ( )56 1 iQQ += , adică
558,191851338226,16,14336206,16,143362 56 =×=×=Q u.m.
Pentru anuitate, folosind formula : nviVT-
×=10 , obţinem:
63,20336206,1106.01000000 6 =
-×=
-T u.m.
Nr.
ani
Suma
datorata la
începutul
anului
Dobânda Amortism. Anuitate
Suma
datorata la
sf. anului
1 V0 = 200.000 d1 = 8000 Q1 = 40.000 T1 = 48.000 V1 = 160.000
2 V1 = 160.000 d2 = 6400 Q2 = 40.000 T2 = 46.000 V2 = 120.000
3 V2 = 120.000 d3 = 4800 Q3 = 40.000 T3 = 44.800 V3 = 80.000
4 V3 = 80.000 d4 = 3200 Q4 = 40.000 T4 = 43.200 V4 = 40.000
5 V4 = 40.000 d5 = 1600 Q5 = 40.000 T5 = 41.500 V5 = 0
65
7.Sa se întocmească tabelul de amortizare în cazul unui împrumut de 36 000
u.m., cu dobânda de 10%, daca rambursarea se face în 6 ani cu amortismente egale.
Rezolvare:
Nr.ani
Datoria laînceputde an
Dobânda Amortizarea AnuitateaDatoria
lasfârşitulanului
1 36 000 3 600 6 000 9 600 30 000
2 30 000 3 000 6 000 9 000 24 000
3 24 000 2 400 6 000 8 400 18 000
4 18 000 1 800 6 000 7 800 12 000
5 12 000 1 200 6 000 7 200 6 000
6 6 000 600 6 000 6 600 0
66
BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ
I. Tratate şi monografii.
1. PURCARU, I., Matematici financiare, Editura Economică, Bucuresti,
1992.
2. POPESCU O., BAZ D., BEGANU G., FILIP A., ş.a. Matematici
aplicate in economie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1999.
TEST DE AUTOEVALUARE
Să se întocmească tabelul de amortizare a împrumutului de 200.000 u.m, cu
dobânda de 4% pe timp de 4 ani, prin plăţi constante si prin amortismente egale.
67
TEMĂ DE REFLECŢIE
Care din cele doua procedee de rambursare a unui imprumut este mai
avantajoasa penru client si care pentru banca ce a acordat creditul ?
In care situatie se plateste o dobanda totala mai mare ?
MODELE DE ÎNTREBĂRI
Întrebările vor fi tip grilă, cu cel puţin un răspuns fiecare întrebare.
1. 2) Pentru rambursarea împrumutului de 200 000u.m. cu procentul de 4% pe
timp de 4 ani, prin plăţi constante, valoarea unei plăţi este de:
a) 52 114 u.m., b) 50 200 u.m., c) 55 114,26 u.m.
2. Care este dobanda totala achitata odata cu rambursarea unui imprumut
prin amortismente egale, de 2000um, pe timp de 5 ani cu procentul de 10%.
A) 650um, b) 600um, c)755,05um
68
RĂSPUNSURI LA ÎNTREBĂRI
1. c.
2. b.