Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
8.2- Volume de Sólidos de Revolução
Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades a) e b) a seguir é um sólido:
a) A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se interceptam num número finitode arestas que por sua vez, podem se interceptar num número finito de vértices.
b) S é uma região limitada.
Exemplos de sólidos (esfera, cone circular, cubo, cilindro)
8.2.1- Sólidos de Revolução - Método do Disco
Um sólido de revolução se forma da seguinte maneira:
Dada uma região R plana e l uma linha reta que pode tocar ou não em R e que esteja no mesmo plano de R.Girando-se R em torno de l, forma-se uma região chamada de sólido de revolução.
Girando o gráfico de uma função f(x) tem-se:
R
l
Área plana 1
S
l
Sólido gerado pela Rotação.
a b x
y = f(x)
Área plana 2
r=f(x)=yy
Cálculo do elemento de volume
dV = πr2 dxdV = π[f(x)]2 dx
b
141
V = π ∫a
2 dx)]x(f[
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142
Exercícios
1) Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob afunção y = f(x) = x3, no intervalo [1,2].
V=π1
2
7
xdxxdx]x[dx)]x(f[
72
1
62
1
232
1
2 πππ ∫∫∫ === =
−
7
1
7
2 77
π = π7
127=18,143π=56,99(unid vol)
2) Achar o volume gerado pela função f(x) = 22 xa − em [-a, a]
V = πa
a
3
xxadx]xa[dx]xa[dx)]x(f[
32
2
1
22a
a
222a
a
2
−
−=−=−= ∫∫∫
−−
πππ
= π
+−−
−
3
aa
3
aa
33
33 = π
−+− 3
aa
3
aa
33
33 = π
− 3
a2a2
33
= π =
−
3
a2a6
33
3
4 πa3
que é o volume da esfera gerada!!!
1 2 x
y = x3
(1,1)
(2,8)
R
y
Área plana 3
(1,1)
(2,8)
x
r
Elemento de volume
Sólido gerado pela rotação dosemi-círculo
-a a x
yy = 22 xa − = r
Semi-círculo em rotação
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143
Uma região plana pode ser girada em torno do eixo y ao invés do eixo x, e novamente um sólido de revoluçãoserá gerado.
V = ∫πb
a
2 dy)]y(g[ = π ∫b
a
2dyr que é o volume do sólido
Exercícios
1) Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de y, no intervalo [0,4].
V = 0
4
2
yydydy]y[dyrdy)]y(g[
4
0
24
0
2b
a
2b
a
2 ∫∫∫∫ ====πππππ = ππ
802
42
=−
V = 8π = 25,13 unid. de vol.
O Método do Disco pode ser estendido para o Método dos Anéis Circulares. Este método surge quando aárea de revolução é limitada por duas funções f(x) e g(x), tal que f(x) > g(x), para todo x∈[a,b].
Área plana girando em y
R
y
x
b
a
x = g(y)
y
x
dy
r = x = g(y)
dV
Sólido de revolução da área plana em tornode y
Seção plana parábola girando em y
y4
0 2 x
y = x2 x = y
x
y
Sólido gerado pela Parábola de revolução
DiPr
O elemento de volume do anel é dado por:
dV = π [f(x)]2dx - π [g(x)]2dx = π { [f(x)]2 - [g(x)]2} dx
de forma que o volume todo é dado por:
V = { }dx)]x(g[)]x(f[dVb
a
b
a
22∫ ∫ −= π
Note que o vão interno é descontado pela subtração dos dois volumes.
Exercício 1) Calcular, usando o método dos anéis circulares, o volume formado pela rotação da região entre y = x2 e y= x + 2.
SoPo
yy = x +2
f(x)
g(x)
a b x
y
dx
dV
Anel projetado
f(x)
y
x
g(x)
Sólido gerado pela revolução Área plana em revolução
(2,4)y
(-1,1)
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144
l: Faço f(x) = x + 2 e g(x) = x2 (pois f(x) > g(x))ntos de Intersecção: f(x) = g(x) → x2 = x + 2, isto é:
x
Sólido de revolução
Área entre parábola e reta em revolução.
R
x
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145
x2 - x - 2 = 0 (x' = -1 e x'' = 2) e (y' = 1 e y'' = 4)
V = [ ] [ ]∫∫ ∫−−
−++=−+=2
1
42b
a
2
1
222 )x()4x4x(dx)x()2x(dV ππ
== ∫−
−++2
1
42 dx]x4x4x[π = =−
−++
1
2
5
xx4
2
x4
3
x 523
π
=
−−−+−+
−−
−++
5
)1()1(4)1(2
3
)1(
5
22.42.2
3
2 52
352
3
π
=
+−−−
−+=
+−+−−
−++
5
12
3
1
5
3216
3
8
5
142
3
1
5
3288
3
8 ππ
logo V = 5
72π = 45,2389 (unid. de vol.)
Se a revolução for em torno do eixo y, como por exemplo para as funções x = F(y) e x = G(y), tem-se:dV = π { [F(y)]2 - [G(y)]2} dyde forma que o volume todo é dado por:
V = { }dy)]y(G[)]y(F[dVb
a
b
a
22∫ ∫ −= π
As vezes, o sólido de revolução é gerado em torno de um eixo externo que pode ser paralelo a "x" ou a "y". Ométodo dos anéis circulares, pode ser aplicado, desde que se identifique o raio do giro.
x
x=g(y)
x=f(y)
y
Área entre curvas, emrevolução
x
dV
dy
y
Sólido gerado pela área em revolução
ππππ5
72
15
216
15
32
15
184
15
3305
15
9624040==
−−
=
+−−
−
−+
=
DP
ExercíciosAchar o volume do sólido gerado pela revolução da região R em torno do eixo x = 6. R é limitada pelosgráficos de y2 = 4x e x = 4.
S
T
O
V
V
=
=
y2 = 4x
(4,4)
(-4,4)
Rx
dydV
(6 – y2/4 )
26
x=y2/4
Parabolóide gerado pela rotação
6
6 - 4
y2
Parábola girando em torno de um eixoexterno
isciplina de Cálculo Diferencial e Integral Irof. Salete Souza de Oliveira Buffoni
146
ol: Para isolarmos x fazemos: y2 = 4x → x = 4
y2
ambém temos: se x = 4 → y2 = 4.4 → y2 = 16→ y = ± 4
bs: rE = raio externo = 6 - 4
y2
e rI = raio interno = 2
= ( )dyrrdV4y
4y
4
4
2I
2E∫ ∫
=
−= −
−= π
= dy24
y6
4
4
2
22
∫−
−
−π = dy4
16
yy336
4
4
42∫
−
−+−π = dy32y3
16
y4
4
24
∫−
+−π
π 4
4y32y
80
y 35
−
+− = π
−+−−
−−
×+− )4(32)4(
80
)4(4324
80
4 35
35
π
−−
5
384
5
384 = π
5
768 = 153,6π = 482,548 (unid. vol.)
DiPr
2) Dados os gráficos y = x3 e x = 2, determine o volume da região, para o caso da área plana girar em y.
DeSeF(G(
V=
Ma58
En
8.2
y
x
y=x3
x=2
0 2x
y
dy
x
2
dV
Curva do 3o grau girando em y
sciplina de Cálculo Diferencial e Integral Iof. Salete Souza de Oliveira Buffoni
147
y = x3 → x = y1/3
jam:y) = 2 r E = 2 (raio externo)y) = y1/3 r I = x = y1/3 (raio interno)
dyy48
0
23
1
∫
−π = dyy4
8
0
32
∫
−π = π
0
8
35
yy4
35
− = π 0
35
88.4
35
−
− = π
− 358
5
332
s363 63 233 23 233 53 2.828)2(888888 ====== =8.4 = 32
tão V = π
− 358
5
332 = π
×− 32
5
332 = π
5
64 = 12,8π = 40,212 (unid. vol.)
.2- Método do Invólucro Cilíndrico
Este método usa cascas cilíndricas ao invés de discos.
Casca cilíndrica gerada
x
h
Cilindro
xdx
dV
Casca cilíndrica
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148
2πx = comprimento da cascaV = πx2h
dV = 2πhxdx → V = 2π ∫ xhdx
Se a área plana de revolução estiver limitada pelas funções y = f(x) e y = g(x), no intervalo a ≤ x ≤ b,conforme mostra a figura:
h
Obs: temos: h = f - g
V = 2π dx])x(g)x(f[xb
a∫ −
Exercícios1) Calcular o volume de revolução em torno de y limitado por y = x3/2, y = 1, em x∈[1,3]
Sejam f(x) = x3/2 e g(x) = 1
V = 2π =−∫ dx])x(g)x(f[xb
a
2π dx]1x[x3
1
23∫ − = 2π1
3
2
x
2/7
x2dx]xx[
22/73
1
25
−=−∫ π =
dx
y=f(x)
y=g(x)
a b x
y
Área plana entre curvas, emRevolução e em torno de y
y
dx
dV
x
x
Sólido gerado pela área em revolução.
h = y-y0 = x3/2 -1y=x3/2
0 1 dx 3 x
Área girando em y
x
y
Casca cilídrica que gerao volume elementar
y(3,33/2)
Disciplina de CáProf. Salete Souz
= 2π =
−
14
60
14
3108 2π(9,075825) = 18,1516π = 57,025 (unid vol.)
2) Use o método das cascas cilíndricas para calcular o volume gerado pela rotação da área R em torno de y = -
2. R é limitada pelos gráficos de y = x , y = 1 e x = 4.
Se y = x → x
Para y = 1 → x =Para x = 4 → y =
r = y - (-2) = y +h = 4 - x = 4 - y2
dV = 2π r h dy →
V = 2π y[2
1
3∫ −−
V = 2π
−−
4
24
V = 2π −−
3
14
V = 2π −−
3
14
V = π6
67= 35,0
−−
−=
−−
−=
−−
−=
14
3
14
6331082
2
1
7
2
2
9327.
7
22
2
1
2/7
1
2
3
2/7
32
22/722/7
πππ
y
0 1 x
2
y
1
-2
Área planTorn
h = 4 - x
lculo Diferencial e Integral Ia de Oliveira Buffoni
149
= y2
1 2
2
dV = 2π(y + 2)(4 - y2)dy = 2π(4y - y3 + 8 - 2y2)
dy]8y4y2 2 ++ = 2π1
2y8y2
3
y2
4
y 234
++−−
++−−−
++ 1.81.2
3
1.2
4
12.82.2
3
2.2 234
23
++−−−
++ 823
2
4
1168
6=
++−=
−−++++ 10
4
1
3
14282
3
2
4
1168
6 π =2π
++−
12
120356= π
6
67
81 (unid. vol.)
r
dy
y= x
x 4
a girando emo do eixo y=-2
y
-2
Sólido gerado
x
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
150
3) Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y = x2, x = 2 e o eixox.
.v.u5
.32V
5
xV
dxxV
dx)x(V
2
0
5
2
0
4
2
0
22
π
π
π
π
=
=
=
=
∫
∫
4) Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y2 = 2.x, eixo x e x= 2.
( )
.v.u4V
xV
xdx2V
dxx2V
2
0
2
2
0
22
0
π
π
π
π
=
=
=
=
∫
∫
5) Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da área limitada pelas curvas y2 = 2x e y= x.
2
x = 2
y = x2
x
y
x2y ±=
x
x = 2
x2y2 =y
02
x2y =
x2y 2 =
y = xy
x
Disciplina de Cálculo DifereProf. Salete Souza de Olivei
- Pontos de interseção - Volume
8.3- Comprimento de Arco
Seja y = f (x) contínua e
y Li
∆yi
P1
a ∆x
2
i
ii
2i
2ii
2i
2i
2i
1x
yL
xyL
xyL
∆∆
∆∆
∆∆
+
=
+=
+=
Seja x = f (y) y =
= x2y 2 222
y
b
ncial e Integral Ira Buffoni
s de Curvas
derivável em [a, b].
P2
y = f (x)
b x
i
ix∆⋅ ∑
∑
=∞→
=
+
=
⋅+
≅
n
1i
2
i
i
n
n
1ii
2
i
i
1x
ylimL
x1x
yL
∆∆
∆∆∆
∫ ⋅+
=b
a
2
dx1dx
dyL
a e y = b.
==
=−
=
2x
0x
0x2x
xy2
L
151
⋅ ix∆
( )
( )
.v.u3
4V
3
84V
3
x
2
x2V
dxxx2V
dxxx2V
2
0
32
2
0
2
0
π
π
π
π
π
=
−=
−=
−=
−=
∫
∫
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152
∫ ⋅+
=
b
a
2
dy1dy
dxL
Exercícios
1) Determinar o comprimento do arco da curva 3
2
x)x(f = entre os pontos P1 (8, 4) e P2 (27, 9).
dx1dx
dyL
27
8
2
⋅+
= ∫
3
2
xy =•
3
13
1
x.3
2x
3
2
dx
dy==•
−
3
2
2
x.9
4
dx
dy=
•
3
2
3
2
3
2
2
x9
x941
x.9
41
dx
dy +=+=+
•
3
1
2
1
3
2
2
x3
x94
1dx
dy −⋅
+
=+
•
−=
⋅
+=
⋅⋅⋅
+⋅= ∫
−
2
3
2
3
27
8
2
3
3
2
27
8
3
12
1
3
2
408527
1L
3
2x.94
18
1L
dx6xx.943
1
6
1L
2) Calcular o comprimento de uma circunferência de raio r.
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
153
dx1dx
dyL
r
0
2
1 ⋅+
= ∫
( )2
122 xry −=•
( ) ( )( )2
122
2
122
xr
xx2xr
2
1
dx
dy
−
−=−⋅−=•
−
22
22
xr
x
dx
dy
−=
•
22
2
22
222
22
22
xr
r
xr
xrx1
xr
x1
dx
dy
−=
−
−+=+
−=+
•
22
2
xr
r1
dx
dy
−=+
•
∫ ∫ =−
=−
=r
0
r
0
r
02222
1 r
xarcsen.r
xr
dxrdx
xr
rL
2
r0
2rL1
ππ=
−=
2
r4L.4L 1
π==
r..2L π=
8.4- Área de Superfície de RevoluçãoSeja y = f (x) contínua e derivável em [a, b].
22
22
222
xry
xry
ryx
−=
−±=
=+
-r
-r
r
r
x
y
1
22
L.4L
xry
rxaté0x
=−=
==
0
r
x
y
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154
y = f (x)
x
y
Liyi = f (xi)
baxi
i
2
i
iii
ii
x1x
y)x(f2S
L)x(f2Si
∆∆∆
π
π
⋅+
=
=
∑=∞→
⋅+
=
n
1i
2
i
ii
ndx1
x
y)x(f2limS ∆
∆∆
π
∫ ⋅+
=a
b
2
dx1dx
dy)x(f2S π ou ( )∫ ⋅+=
b
a
2 dx1)x`(fy2S π → Superfície gerada pela revolução
do eixo x.
Seja x = f (y).
a
bx = f (y)
xi = f (yi)
Li
x
y
yi
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155
∫ ⋅+
=
b
a
2
dy1dy
dxx2S π → Superfície gerada pela revolução em torno do eixo y.
Exercícios
1) Determinar a área da superfície obtida pela revolução da curva xy = , entre x = 1 e x = 4 em torno do
eixo x.
∫ ⋅+
=
4
1
2
dx1dx
dyy2S π
x2
x41
x4
x411
dx
dy
x4
x411
x4
11
dx
dy
x4
1
dx
dy
x.2
1x
2
1
dx
dy
xxy
2
2
2
2
12
1
2
1
+=
+=+
•
+=+=+
•
=
•
==•
==•
−
−
( )
( )
−=
⋅+=
+=
⋅+
=
∫
∫
2
3
2
3
4
1
2
3
4
1
2
1
4
1
5176
S
3
2x41
4S
dx.4.x414
S
dxx
x41.x
2
2S
π
π
π
π