Download - 8414 площі фігур
![Page 1: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/1.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Площі фігур
Дидактичний матеріал до уроку геометрії
з досвіду роботи вчителя математики Снов“янської ЗОШ І – ІІ ст
Чернігівського району Чернігівської області
Колько Н.М.
![Page 2: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/2.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011• Геометрія - це наука про властивості фігур
• Геометрія – слово грецьке, означає «землемірство»
![Page 3: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/3.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
З давніх часів обчислювання площ було одним з найважливіших застосувань геометрії. У Стародавньому Єгипті заплави річки Нілу землероби почали обробляти приблизно в п’ятому тисячолітті до н.е. Тоді і виникла потреба в обчисленні площ. На підставі документів, що дійшли до нас, вже у Х Υ – ХΥІ ст. до н.е. єгиптяни вміли вимірювати площі прямокутника, трикутника і трапеції за відомими тепер правилами.
Обчислення площі або поверхні фігури називається « квадратурою», що в перекладі з латинської означає надання квадратної форми. У стародавніх єгиптян квадратура якоїсь фігури зводилася до побудови квадрата, що мав таку саму площу. Звідси зрозуміле походження слова «квадратура».
![Page 4: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/4.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Поняття площі Числове значення якої має
властивості
Якщо фігура розбивається
На частини , що є
простими фігурами
Площа квадрата
Додатна величина
Площа
Мають рівні площі
Дорівнює одиниціТо площа
фігури = сумі площ її частин
проста
Рівні фігури
можна розбити
Скінченну кількість плоских трикутників
Геометрична фігура
Сторона дорівнює одиниці
вимірювання
![Page 5: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/5.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Плоским трикутником
називають скінченну частину площини,
обмежену трикутником
![Page 6: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/6.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Геометричну фігуру називатимемо простою, якщо її можна розбити на скінченну кількість плоских трикутників.
![Page 7: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/7.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Площа – це додатна величина, числове значення якої має такі
властивості:
• рівні фігури мають рівні площі;
• якщо фігура розбивається на частини, що є простими фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площ її частин;
• площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці.
![Page 8: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/8.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
За одиницю вимірювання площ приймають площу квадрата, сторона якого дорівнює одиниці вимірювання відрізків.
![Page 9: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/9.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• 1 мм 2– площа квадрата зі стороною 1 мм
• 1 см 2 – площа квадрата зі стороною 1 см• 1 дм 2– площа квадрата зі стороною 1 дм
• 1 м 2 – площа квадрата зі стороною 1 м
• 1 ар - площа квадрата зі стороною 10 м,
• 1 гектар – площа квадрата зі стороною 100м
![Page 10: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/10.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Квадрат
Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони
S = d2
S = a 2
Площа квадрата дорівнює половині квадрата його діагоналі
![Page 11: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/11.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Прямокутник
Площа прямокутника дорівнює добутку його сусідніх сторін S = a b
Площа прямокутника дорівнює половині квадрата його діагоналі , помноженій на синус кута між ними S = d2 sin φ
![Page 12: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/12.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Паралелограм
S = a hа
S = b hв
Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до неї
S = a b sin αПлоща паралелограма дорівнює добутку його сторін на синус кута між ними
Площа паралелограма дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними
S = d1 d2 sin φ
![Page 13: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/13.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Чотирикутник Площа чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними
S = d1 d2 sin φ
Площа чотирикутника , в який можна вписати коло, дорівнює добутку його півпериметра на радіус вписаного кола
S = p r
Півпериметрр = (a +b + c + d )
Площа чотирикутника, навколо якого можна описати коло, знаходиться за формулою
S = ))()()(( dpcpbpapp −−−−
![Page 14: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/14.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ромб
Площа ромба дорівнює добутку квадрата його сторони на синус кута ромба
S = d1 d2 Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей
S = a hПлоща ромба дорівнює добутку його сторону на висоту
S = а2 sin α
від грецького «ромбос» - бубон ( у стародавні часи цей ударний музичний інструмент мав форму ромба).
![Page 15: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/15.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
S = d1 d2 sin φ
Площа трапеції дорівнює половині добутку її діагоналей на синус кута між ними
S = ( a + b)hПлоща трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту
S = h2Площа рівнобічної трапеції, діагоналі якої перпендикулярні, дорівнює квадрату її висоти
Трапеція
2
1
2
1
![Page 16: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/16.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Трикутник
Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони
S = a hа
S = b hв
S = bсsin αПлоща трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними
Площа трикутника виражається через добуток його сторін та радіус описаного кола
Формула Герона
2
1
![Page 17: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/17.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Трикутник
Площа рівностороннього трикутника виражається через
його сторону
Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів
S = a b
Площа трикутника дорівнює добутку його півпериметра на радіус вписаного кола
S= pr
2
1
![Page 18: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/18.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Герон Александрійський ( мабуть І ст. н.е.) – давньогрецький математик –
енциклопедист, який працював в Александрії. Праці його мали головним чином прикладний характер.
Він був видатним механіком, його навіть називали « Герон – механік». У творах « Пневматика» і
«Механіка» описав автомат для відкривання дверей, автомат для продажу «священної води», пожежний насос тощо. Багато уваги Герон приділяв питанням геодезії і практичному застосуванню геометрії. У
кращій з математичних праць «Метрика», він виклав практичні правила для обчислення площ та об’ємів
геометричних фігур, які застосовували давньогрецькі, римські та середньовічні землеміри і
техніки.
![Page 19: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/19.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Формула Герона красива, симетрична, зручна, легко запам’ятовується, справжня формула – красуня! Цікава й історія її творення. Називають її ім'ям Герона Олександрійського (Старшого) не зовсім заслужено, бо вперше відкрив і обґрунтував її Архімед. А Герон тільки через чверть тисячоліття після того вмістив її у своїй праці «Метрика». Тому справедливіше було б називати її формулою Архімеда або принаймні Архімеда – Герона. Отже, про формулу Герона можна було б написати цілу поему.
• Формула Герона досить корисна, бо за її допомогою можна розв’язувати багато цікавих і важливих задач. І все таки користуватися нею бажано тільки тоді, коли вона справді доцільна.
![Page 20: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/20.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Задача Знайти площу
трапеції, у якої паралельні сторони 20 см і 60 см, а непаралельні – 13 см і 37 см
А
ВС
D
К N
![Page 21: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/21.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
І спосіб
За формулою Герона S KCD = 240 (см 2) S KCD = KD· CN,
KD = 60 – 20 = 40 (см), CN = 12 (см)
За формулою площі трапеції
S =( 60+20) : 2 · 12 = 480 (см2).
• Відповідь: S = 480 (см2).
![Page 22: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/22.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
ІІ спосіб
З трикутника CKD за теоремою косинусів
CD2 = CK2 + KD2 – 2 CK · KD cos < CKD знайдемо cos < CKD = cos α і sin α.
тоді CN = CK sin α.
CN =12 (см). За формулою
S =( 60+20) : 2 · 12 = 480 (см2).
• Відповідь: S = 480 (см2).
![Page 23: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/23.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
ІІІ спосіб
• Нехай КN = х, тоді ND = 40 – х. Для ∆ CKN і ∆ CND застосуємо теорему
Піфагора і знайдемо CN : CN 2 = 132 – х2, CN2 = 372 – (40 -х)2 . З рівняння 132 – х2 = 372 – (40 -х) 2
х = 5, CN =12 (см) . За формулою S =( 60+20) : 2 · 12 = 480
(см2).• Відповідь: S = 480 (см2).
![Page 24: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/24.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
ІУ спосіб
• Продовжимо АВ і СD до перетину в т. О.
∆АОD ˜ ∆ВОС (за кутами ). Тоді
OD =1,5 · 37 = 55,5 (см), ОА =1,5 ·13 = 19,5 (см). За формулою Герона знайдемо SAOD = 540 (см2).
SABCD = SAOD.
SABCD =480 (см2).
• Відповідь: S = 480 (см2).
9
8
3
1
60
20 ==АД
ВС
![Page 25: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/25.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
А
R
GP
L
BM
C
N
O
D
F
Задача
Один веселий кулінар зробив торт у вигляді правильного шестикутника АВСDFG . Після цього
він перетворив його у круглий торт, з’ївши залишки. Поміркувавши, він вирішив, що попередня форма торта була кращою, і , знову з’ївши залишки, отримав нарешті правильний шестикутник LMNOPR . Яку частину початкового торта з’їв кулінар?
![Page 26: 8414 площі фігур](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052316/55a1c8661a28ab7c758b488c/html5/thumbnails/26.jpg)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Вчитись можна тільки весело.
Щоб перетравити знання, треба поглинати їх з
апетитом!
Анатоль Франс