ห น า | ก
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 7 (ค33207) ชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน ซงเปนสวนหนงของหนวยการเรยนรเรอง แคลคลสเบองตน ประกอบดวยแบบฝกทกษะทงหมด 10 เลม ดงน
เลม 1 ลมตของฟงกชน เลม 2 ทฤษฎบทเกยวกบลมตของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน เลม 4 อตราการเปลยนแปลง เลม 5 อนพนธของฟงกชน เลม 6 การหาอนพนธของฟงกชนโดยใชสตร เลม 7 การหาอนพนธของฟงกชนประกอบ เลม 8 ความชนของเสนโคง เลม 9 อนพนธอนดบสง เลม 10 การประยกตของอนพนธ
โดยในแบบฝกทกษะแตละเลม ประกอบดวยผลการเรยนร จดประสงคการเรยนรทครอบคลมทงดานความร ดานทกษะกระบวนการและดานคณลกษณะ ซงกจกรรมของแบบฝกทกษะแตละเลมเสรจสมบรณในตวเอง ผเรยนสามารถใชไดดวยตนเอง
ส าหรบแบบฝกทกษะคณตศาสตร เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน จดท าขนเพอใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 6-8 เรอง ความตอเนองของฟงกชน มจดมงหมายเพอใหนกเรยนสามารถบอกไดวาฟงกชนทก าหนดใหเปนฟงกชนตอเนองหรอไม อกทงยงเปนแนวทางในการปฏรปกระบวนการจดการเรยนรทเนนผเรยนเปนส าคญ สงเสรมผเรยนไดฝกทกษะทางคณตศาสตรและแสวงหาความรดวยตนเอง อนจะท าใหผเรยนเกดความร ความเขาใจในเนอหามากยงขน เกดความคงทน ในการเรยนรและสามารถน าความรทไดรบไปประยกตใชในชวตประจ าวนไดอยางมประสทธภาพ
ผจดท าหวงเปนอยางยงวาแบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมน จะเปนประโยชนตอการจดการเรยนการสอนคณตศาสตร การคนควาหาความรของนกเรยนและเปนประโยชนตอผสนใจ เพอนครและ วงการศกษาตอไป
พนารตน รอดภย
ห น า | ข
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
หนา ค าน า ก สารบญ ข ค าแนะน าในการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบครผสอน ค ค าแนะน าในการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบผเรยน ง ผลการเรยนร จ จดประสงคการเรยนร จ สมรรถนะส าคญของผเรยน จ ล าดบขนตอนการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบผเรยน ฉ สาระส าคญ ช แบบทดสอบกอนเรยน 1 กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน 4 ยงจ าไดไหม 5 ใบความร 3.1 ความตอเนองของฟงกชน 6 แบบฝกทกษะ 3.1 12 ใบความร 3.2 ความตอเนองของฟงกชน (ตอ) 22 แบบฝกทกษะ 3.2 24 ใบความรท 3.3 ความตอเนองบนชวงของฟงกชน 29 แบบฝกทกษะท 3.3 33 แบบทดสอบหลงเรยน 38 กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงเรยน 41 แบบบนทกคะแนนแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน 42 แบบบนทกความกาวหนาของแบบฝกทกษะ 43 บรรณานกรม 44 ภาคผนวก 46 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน 47 เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน 48 เฉลยแบบฝกทกษะ 3.1 49 เฉลยแบบฝกทกษะ 3.2 57 เฉลยแบบฝกทกษะ 3.3 61
ห น า | ค
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
1. ศกษาแผนการจดการเรยนรและการใชแบบฝกทกษะ 2. ศกษาและท าความเขาใจเนอหา จดประสงคการเรยนรและการด าเนนการสอน เพอใหการจดกจกรรมการเรยนรเปนไปตามล าดบขนตอน 3. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยน 4. ด าเนนกจกรรมการเรยนร 5. ใหค าแนะน าและความชวยเหลอนกเรยนเมอมปญหา ตามความเหมาะสมกบความสามารถและศกยภาพของนกเรยนทแตกตางกน 6. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน 7. แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมนใชเวลาในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 3 ชวโมง
ห น า | ง
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
1. ศกษาการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร 2. ศกษาจดประสงคการเรยนร เพอใหทราบวานกเรยนตองรและปฏบตสงใดบางหลงจาก จบบทเรยนแลว 3. ท าแบบทดสอบกอนเรยนเพอตรวจสอบความรเดมในเรองทเรยน จากนนตรวจค าตอบ จากเฉลยในภาคผนวกทายเลมและบนทกคะแนน 4. ศกษาเนอหาและตวอยางใหเขาใจ แลวท าแบบฝกทกษะตามล าดบขนตอน 5. หากไมเขาใจหรอมปญหา นกเรยนสามารถปรกษาและแลกเปลยนองคความร 6. ท าแบบทดสอบหลงเรยนแลวตรวจค าตอบจากเฉลยในภาคผนวกทายเลมและบนทกคะแนนแลวเปรยบเทยบกบคะแนนทดสอบกอนเรยน 7. หากยงมขอสงสยและไมเขาใจใหกลบไปทบทวนบทเรยนจากแบบฝกทกษะอกครง 8. นกเรยนควรซอสตยตอตนเอง โดยไมเปดดเฉลยระหวางศกษาแบบฝกทกษะ เพอนกเรยน จะไดพฒนาการเรยนรของตนเองอยางเตมความสามารถ
ห น า | จ
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
บอกไดวาฟงกชนทก าหนดใหเปนฟงกชนตอเนองหรอไม ดานความร
1. บอกไดวาฟงกชนทก าหนดใหเปนฟงกชนตอเนองท x = a หรอไม 2. เมอก าหนดฟงกชนตอเนองให สามารถหาคาของฟงกชน ณ จดทก าหนดใหได 3. บอกไดวาฟงกชนใด ๆ ตอเนองบนชวงทก าหนดใหหรอไม
ดานทกษะกระบวนการ 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ
ดานคณลกษณะ 1. มความซอสตย สจรต 2. มวนย 3. ใฝเรยนร 4. มงมนในการท างาน
1. ความสามารถในการสอสาร 2. ความสามารถในการคด 3. ความสามารถในการแกปญหา
ห น า | ฉ
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ห น า | ช
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
สาระส าคญ
ถา x alim f(x)
= f(a) และกราฟของฟงกชนไมขาดตอนท x = a
ในลกษณะเชนนเรยกฟงกชน f วาเปนฟงกชนตอเนองท x = a
ให f เปนฟงกชนซงนยามบนชวงเปด (a, b) และ c (a, b) จะ
กลาววา f เปนฟงกชนตอเนองท x = c กตอเมอ
1. f(c) หาคาได
2. x alim f(x)
หาคาได
และ 3. f(c) = x alim f(x)
ห น า | 1
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 7 (ค33207) ชนมธยมศกษาปท 6 เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน ********************************************************************************************* ค าชแจง 1. แบบทดสอบชดนมทงหมด 10 ขอ ใชเวลา 15 นาท 2. ใหนกเรยนท าเครองหมาย X ลงในชองตวเลอกในกระดาษค าตอบทเหนวาถกทสด *********************************************************************************************
1. ถาฟงกชน f ตอเนองท x = c แลว ขอใดถกตอง 1. f(c) หาคาได 2.
x clim f(x)
หาคาได
3. f(c) = x clim f(x)
ก. ขอ 1 และ ขอ 2 ถก ข. ขอ 1 และขอ 3 ถก ค. ขอ 2 และขอ 3 ถก ง. ขอ 1 ขอ 2 และขอ 3 ถก
2. ถา f(x) = 3x – 4 ขอใดถกตอง
ก. f ตอเนองท x = 2 แตไมตอเนองท x = -2 ข. f ตอเนองท x = -2 แตไมตอเนองท x = 2 ค. f ตอเนองท x = 2 และ x = -2 ง. f ไมตอเนองท x = 2 และ x = -2
2x - 1
; x 1x - 1
4 ; x = 1
1. x 1lim f(x)
หาคาได
2. f(1) หาคาได 3. f ตอเนองท x = 1
ก. ขอ 1 และ ขอ 2 ถก ข. ขอ 1 และขอ 3 ถก ค. ขอ 2 และขอ 3 ถก ง. ขอ 1 ขอ 2 และขอ 3 ถก
3. ถา f(x) = ขอความใดกลาวถกตอง
ห น า | 2
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
4. f(x) = 2
x - 1
x + x ตอเนองทจดใด
ก. x = -1 ข. x = 0 ค. x = 1 ง. ถกทงขอ ก และขอ ข
5. f(x) = 2-x
2x + 4 ไมตอเนองทจดใด
ก. x = -2 ข. x = -1 ค. x = 0 ง. x = 2
2x - x
;2x
x 0
k ; x = 0 คา k ทท าให f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (- , ) คอขอใด
ก. 1
-4
ข. 1
-2
ค. 1
4 ง.
1
2
1
3x + 1 ; 0 < x < 1
2 - 5 - x
x - 1 ; x > 1
ก. f ตอเนองท x = 1 แตไมตอเนองท x = 3 ข. f ตอเนองท x = 1 และ x = 3 ค. f ไมตอเนองท x = 1 แตตอเนองท x = 3 ง. f ไมตอเนองท x = 1 และ x = 3
6. ถา f(x) =
7. ถา f(x) = 1 ; x = 1 ขอใดถกตอง
ห น า | 3
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
8. ก าหนดให f(x) = 3
x - 8
x - 2 เมอ x 8 ถา f เปนฟงกชนตอเนองท x = 8
f(8) มคาเทากบขอใด ก. 8 ข. 10 ค. 12 ง. 20
9. ก าหนดให f(x) = x - 3 แลว ฟงกชน f ตอเนองบนชวงใด
ก. (0 , 2] ข. (- , 3) ค. (3 , ) ง. [3 , ) 1 ; x 5
10. ก าหนดให f(x) = แลว ฟงกชน f ตอเนองบนชวงใด 3 ; x = 5
ก. (0 , 5] ข. (- , 5) (5 , ) ค. (- , 5] [5 , ) ง. [5 , )
ห น า | 4
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ห น า | 5
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
เราทบทวนการหาลมตของฟงกชนโดยใชทฤษฎบทกนดกวา
ขอหนง………………………………………..
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
ค า
ตอบข
อสอง 2
ยงจ าไดไหม
ไดซ ตงค าถามมาเลย
ขอหนง 2
x 1lim (x + 3x - 5)
มคาเทาไร
ขอสอง 2
x 1
x - 1lim
x - 1 มคาเทาไร
ขอสอง………………………………………..
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
ค าตอบขอหนง -1
8
ห น า | 6
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
บทนยาม ให f เปนฟงกชนซงนยามบนชวงเปด (a, b) และ c (a, b) จะกลาววา f เปนฟงกชนตอเนองท x = c กตอเมอ
1. f(c) หาคาได 2.
x clim f(x)
หาคาได
และ 3. f(c) = x clim f(x)
หมายเหต จากบทนยามขางตน ถาฟงกชน f ขาดสมบตขอใดขอหนงแลว ฟงกชน f เปนฟงกชนไมตอเนองท x = c
ตวอยางท 1 จงพจารณาวา f(x) = 2x + 1 เปนฟงกชนตอเนองท x = 2 หรอไม
ว ธท า จาก f(x) = 2x + 1
จะได f(2) = 22 + 1 = 4 + 1 = 5 (สมบตขอ 1 f(x) หาคาได)
และ x 2
lim f(x)
= 2
x 2lim (x + 1)
= 22 + 1
= 5 (สมบตขอ 2 x 2lim f(x) หาคาได)
นนคอ f(2) = x 2lim f(x)
(สมบตขอ 3 f(x) = x 2lim f(x) )
ดงนน ฟงกชน f ตอเนองท x = 2
การพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองท c หรอไม จะตองตรวจสอบวาฟงกชน f มสมบตครบตามเงอนไขทงสามขอหรอไมนนเอง
ห น า | 7
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 2 ให f(x) = 1
x + 2 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองท x = -2 หรอไม
ว ธท า จาก f(x) = 1
x + 2
จะได f(-2) = 1
(-2) + 2
= 1
(-2) + 2
= 1
0
นนคอ f(-2) หาคาไมได
ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = -2
ตวอยางท 3 จงพจารณาวา f(x) = 2
1
x + 1 เปนฟงกชนตอเนองท x = -1 หรอไม
ว ธท า จาก f(x) =
2
1
x + 1
จะได f(-1) = 2
1
(-1) + 1
= 1
2 (สมบตขอ 1 f(x) หาคาได)
และ x -1lim f(x)
= 2x -1
1lim
x + 1
= 1
2 (สมบตขอ 2
x 2lim f(x) หาคาได)
นนคอ f(-1) = x -1lim f(x)
(สมบตขอ 3 f(x) = x 2lim f(x) )
ดงนน ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = -1
ห น า | 8
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ก าหนดให f(x) =
จาก f(x) =
ตวอยางท 4 x ; x < -2 ก าหนดให f(x) = 2x ; x -2
จงพจารณาวา ฟงกชน f ตอเนองท x = -2 หรอไม
ว ธท า x ; x < -2 จาก f(x) = 2x ; x -2
เนองจาก x = -2 จงพจารณา f(x) = 2x ; x -2
จะได f(-2) = 2(-2) = -4 (สมบตขอ 1 f(x) หาคาได) เนองจาก
-x -2lim f(x)
= -x -2
lim x
= -2
และ +x -2
lim f(x)
= +x -2
lim 2x
= -4
จะไดวา -x -2
lim f(x)
+x -2
lim 2x
นนคอ x -2lim f(x) หาคาไมได
ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = -2
ตวอยางท 5 2x - x - 6
x - 3 ; x 3
5 ; x = 3
จงพจารณาวา ฟงกชน f ตอเนองท x = 3 หรอไม
ว ธท า 2x - x - 6
x - 3 ; x 3
5 ; x = 3 เนองจาก x = 3 จงพจารณา f(x) = 5 ; x = 3
จะได f(3) = 5 (สมบตขอ 1 f(x) หาคาได)
และ x 3lim f(x)
= 2
x 3
x - x - 6lim
x - 3
f(x) =
ห น า | 9
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ก าหนดให f(x) =
จาก f(x) =
= x 3
(x - 3)(x + 2)lim
x - 3
= x 3lim (x + 2)
= 5 (สมบตขอ 2 x 2lim f(x) หาคาได)
จะไดวา x 3lim f(x)
= f(3) (สมบตขอ 3 f(x) = x 2lim f(x) )
ดงนน ฟงกชน f ตอเนองท x = 3
ตวอยางท 6 x - 2
x - 2 ; x 2
0 ; x = 2 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองท x = 2 หรอไม
วธท า x - 2
x - 2 ; x 2
0 ; x = 2
เนองจาก x = 2 จงพจารณา f(x) = 0 ; x = 2 จะได f(2) = 0 (สมบตขอ 1 f(x) หาคาได)
เนองจาก -x 2
lim f(x)
= -x 2
x - 2lim
- (x - 2)
= -1 ----------(1)
และ +x 2
lim f(x)
= +x 2
x - 2lim
x - 2
= 1 ----------(2)
จาก (1) และ (2) จะเหนวา -x 2
lim f(x)
+x 2
lim f(x)
นนคอ x -2lim f(x) หาคาไมได
ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 2
f(x) =
ห น า | 10
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 7 2x + 1 ; x < 3 ก าหนดให f(x) = 3 ; 3 x < 5 x - 2 ; x 5 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองท x = 3 และ x = 5 หรอไม
วธท า 2x + 1 ; x < 3 จาก f(x) = 3 ; 3 x < 5 x - 2 ; x 5 พจารณาท x = 3
เนองจาก x = 3 จงพจารณา f(x) = 3 ; x = 3 จะได f(3) = 3 (สมบตขอ 1 f(x) หาคาได) เนองจาก
-x 3lim f(x)
= -x 3
lim (2x + 1)
= 7 -----------(1)
และ +x 3
lim f(x)
= 3 -----------(2)
จาก (1) และ (2) จะเหนวา -x 3
lim f(x)
+x 3
lim f(x)
นนคอ x 3lim f(x) หาคาไมได
ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 3 พจารณาท x = 5
เนองจาก x = 5 จงพจารณา f(x) = x - 2 ; x = 5 จะได f(5) = 5 - 2
= 3 (สมบตขอ 1 f(x) หาคาได) เนองจาก
-x 5lim f(x)
= 3
และ +x 5
lim f(x)
= +x 5
lim (x - 2)
= 3
จะเหนวา -x 5
lim f(x)
= +x 5
lim f(x)
= 3
นนคอ x 5lim f(x)
= 3 (สมบตขอ 2 x 2lim f(x) หาคาได)
เนองจาก f(5) = x 5lim f(x)
ดงนน ฟงกชน f ตอเนองท x = 5 (สมบตขอ 3 f(x) = x 2lim f(x) )
สรปไดวา ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 3 แตตอเนองท x = 5
ห น า | 11
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ทฤษฎบท 1 ถา f และ g เปนฟงกชนตอเนองท x = a แลว ไดวา
1. f + g เปนฟงกชนตอเนองท x = a 2. f - g เปนฟงกชนตอเนองท x = a 3. f g เปนฟงกชนตอเนองท x = a
4. f
g เปนฟงกชนตอเนองท x = a
เราทราบมาแลววา ถา p(x) เปนฟงกชนพหนามแลวส าหรบจ านวนจรง a ใด ๆ จะไดวา
x alim f(x)
= p(a) ดงนนจะไดทฤษฎบทดงน
ทฤษฎบท 2 ส าหรบจ านวนจรง a ใด ๆ
ฟงกชนพหนาม p(x) เปนฟงกชนตอเนองท x = a
ทฤษฎบท 3 ถา f เปนฟงกชนตรรกยะ โดยท f(x) = p(x)
q(x)
เมอ p(x) และ q(x) เปนฟงกชนพหนาม แลว f เปนฟงกชนตอเนองท x = a
เมอ a เปนจ านวนจรงใด ๆ ซง q(a) 0
ตวอยางท 8 ก าหนดให f(x) = 2
2
x - 9
x - 5x + 6
จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองท x = 0 หรอไม
วธท า จาก f(x) = 2
2
x - 9
x - 5x + 6
ให p(x) = 2x - 9 และ q(x) = 2x - 5x + 6 เนองจาก p และ q เปนฟงกชนพหนาม และ q(0) = 6 0 จากทฤษฎบท 3 ดงนน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 0
ห น า | 12
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ค าชแจง จงพจารณาวาฟงกชนทก าหนดใหตอไปนเปนฟงกชนตอเนอง ณ จดทก าหนดใหหรอไม (ขอละ 1 คะแนน คะแนนเตม 10 คะแนน) 1. f(x) = x + 5 ; ท x = 5
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
ห น า | 13
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
2. f(x) = 1
x + 2 ; ท x = 5
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
ห น า | 14
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
2x - 4
x - 2 ; x 2
4 ; x = 2 วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
3. f(x) = ท x = 2
ห น า | 15
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
4. f(x) = x - 1
x - 1 ; ท x = 1
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
ห น า | 16
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
5. f(x) = 2
x - 3
x - 9 ; ท x = 3
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
ห น า | 17
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
2x - 36
x - 6 x 6
4 x = 6
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
6. f(x) = ท x = 6
ห น า | 18
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
x - 1
x - 1 ; x 1
2 ; x = 1
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
7. f(x) = ท x = 1
ห น า | 19
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
x ; x 2 2x x > 2
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
8. f(x) = ท x = 2
ห น า | 20
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
3x - 2 ; x = 2
2x - 4
x - 2 ; x 2
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
9. f(x) = ท x = 2
ห น า | 21
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
0 ; x 1
10. f(x) = 1
x - 1 ; 1 < x 2 ท x = 1 และ x = 2
3 – x ; x > 2
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
ห น า | 22
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ตอไปเปนตวอยาง กรณทโจทยก าหนดเงอนไขของความตอเนอง
ตวอยางท 9 ก าหนดให f(x) = 2
3
x - 1
x - 1 ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 แลว
f(1) เปนมคาเทากบเทาไร
วธท า เนองจาก ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1
แสดงวา f(1) = x 1lim f(x)
พจารณา x 1lim f(x)
= 2
3x 1
x - 1lim
x - 1
= 2x 1
(x - 1)(x + 1)lim
(x - 1)(x + x + 1)
= 2x 1
(x + 1)lim
(x + x + 1)
= 2
3
ดงนน f(1) มคาเทากบ 2
3 จงจะท าใหฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1
ห น า | 23
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 10 x - 1
x - 1 ; x 1
k ; x = 1 และ k R ฟงกชน f จะเปนฟงกชนตอเนองท x = 1 กตอเมอ k มคาเทาไร
วธท า เนองจาก ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1
และ f(1) = k
แสดงวา k = x 1lim f(x)
วธท 1 พจารณา x 1lim f(x)
= x 1
x - 1lim
x - 1
=
22
x 1
x - 1lim
x - 1
= x 1
( x - 1)( x + 1)lim
x - 1
= x 1lim ( x + 1)
= 2 ดงนน k = 2 จงจะท าใหฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1
วธท 2 พจารณา x 1lim f(x)
= x 1
x - 1lim
x - 1
= x 1
(x - 1) ( x + 1)lim
( x - 1) ( x + 1)
= x 1
(x - 1)( x + 1)lim
x - 1
= x 1lim ( x + 1)
= 2 ดงนน k = 2 จงจะท าใหฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1
f(x) =
ใชการแยกตวประกอบ
ใชสงยคของสวนทมเครองหมาย
กรณฑคณทงเศษและสวน
x – 1 เขยนอกรปแบบหนงคอ
2 2( x ) - 1
ห น า | 24
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ค าชแจง จงแสดงวธท า (ขอละ 2 คะแนน คะแนนเตม 10 คะแนน)
1. ก าหนด f(x) = 23x - 10x + 3 ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 แลว f(1) มคาเทาไร วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
ห น า | 25
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
2. ก าหนด f(x) = 2x - 4x - 5
x - 5 ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนอง ท x = 5 แลว f(5)
มคาเทาไร
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
ห น า | 26
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
3. ก าหนดให f(x) =
x + 1 - 1
x ; x 0
a ; x = 0 และ a R
จงพจารณาวา ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 0 แลว a มคาเทาไร
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
ห น า | 27
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
4. ก าหนดให f(x) =
2x + 2x - 15
x - 1 ; x 5
2m + 1 ; x = 5 และ m R
จงพจารณาวา ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5 แลว m มคาเทาไร
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
ห น า | 28
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ax ; x 1 5. ก าหนดให f(x) =
x – b ; x > 1
จงพจารณาวา ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 แลว a + b มคาเทาไร
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
ห น า | 29
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ความตอเนองบนชวง ตองพจารณาตามเงอนไขตอไปน
1. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (a, b) กตอเมอ f ตอเนองททก ๆ จดในชวง (a, b)
2. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] กตอเมอ
2.1 ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองททก ๆ จดในชวง (a, b) และ 2.2
+x a
lim f(x)
= f(a) และ -x b
lim f(x)
= f(b)
3. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (a, b] กตอเมอ
3.1 ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองททก ๆ จดในชวง (a, b) และ 3.2
-x b
lim f(x)
= f(b)
4. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b) กตอเมอ
4.1 ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองททก ๆ จดในชวง (a, b) และ 4.2
+x alim f(x)
= f(a)
ห น า | 30
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 11 ก าหนด f(x) = 216 - x จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (-4 , 4) หรอไม
วธท า ให c เปนจดใด ๆ บนชวง (-4 , 4)
จาก f(x) = 216 - x
จะได f(c) = 216 - c
และ x clim f(x)
= 2
x clim 16 - x
= 2
x clim (16 - x )
= 216 - c
ดงนน x clim f(x)
= f(c)
สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (-4 , 4)
ตวอยางท 12 ก าหนด f(x) = 29 - x จงแสดงวาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [-3, 3]
วธท า ให c เปนจดใด ๆ บนชวง (-3 , 3)
จาก f(x) = 29 - x
จะได f(c) = 29 - c
และ x clim f(x)
= 2
x clim 9 - x
= 2
x clim (9 - x )
= 29 - c
เงอนไขขอ 2.1
ห น า | 31
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ดงนน x clim f(x)
= f(c)
สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (-3 , 3) ตอไปจะแสดงวา
+x -3lim f(x)
= f(-3) และ -x 3
lim f(x)
= f(3)
+x -3
lim f(x)
= +
2
x -3lim 9 - x
= +
2
x -3lim (9 - x )
= 0 = f(-3)
และ -x 3
lim f(x)
= -
2
x 3lim 9 - x
= -
2
x 3lim (9 - x )
= 0 = f(3)
ดงนนฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [-3, 3] 2x ; 0 x < 1 ตวอยางท 13 ก าหนดให f(x) = 2 – x ; 1 x 2 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง [0, 2] หรอไม วธท า พจารณาบนชวง (0, 1)
ให c เปนจดใด ๆ บนชวง (0 , 1) จาก f(x) = 2x
จะได f(c) = 2c และ
x clim f(x)
= x clim 2x
= 2c
ดงนน x clim f(x)
= f(c)
สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (0 , 1) พจารณาท x = 1
จาก f(x) = 2 - x จะได f(1) = 2 - 1 = 1 เนองจาก
-x 1lim f(x)
= -x 1
lim 2x
= 2
และ +x 1
lim f(x)
= +x 1
lim (2 - x)
= 1
เงอนไขขอ 2.2
ห น า | 32
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
จะเหนวา -x 1
lim f(x)
+x 1
lim f(x)
ดงนน x 1lim f(x)
หาคาไมได
นนคอ ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 1 และ 1 [0, 2] ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองบนชวง [0, 2]
ห น า | 33
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ค าชแจง จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวงทก าหนดใหหรอไม (ขอละ 2 คะแนน คะแนนเตม 10 คะแนน)
1. ก าหนด f(x) = 2x + 2x จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (3, 5) หรอไม
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
ห น า | 34
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
2. ก าหนด f(x) = 2x + 3 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (-1 , 1) หรอไม
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
ห น า | 35
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
3. ก าหนด f(x) = 2
x + 2
x - 2x - 8 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (-1 , 3] หรอไม
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
ห น า | 36
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
4. ก าหนด f(x) = 2x + 2x - 15
x - 1 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (1 , 2) หรอไม
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
ห น า | 37
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
5. ก าหนดให f(x) =
จงพจารณาวา f ตอเนองบนชวง [-2 , 5) หรอไม
วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
x2 + 4 ; x < -1
3x - 1 ; x 3
x + 6 ; -1 x < 3
ห น า | 38
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 7 (ค33207) ชนมธยมศกษาปท 6 เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน ********************************************************************************************* ค าชแจง 1. แบบทดสอบชดนมทงหมด 10 ขอ ใชเวลา 15 นาท 2. ใหนกเรยนท าเครองหมาย X ลงในชองตวเลอกในกระดาษค าตอบทเหนวาถกทสด *********************************************************************************************
1. ถา f(x) = 3x – 4 ขอใดถกตอง ก. f ตอเนองท x = 2 แตไมตอเนองท x = -2 ข. f ตอเนองท x = 2 และ x = -2 ค. f ไมตอเนองท x = 2 และ x = -2 ง. f ตอเนองท x = -2 แตไมตอเนองท x = 2
2. f(x) = 2
x - 1
x + x ตอเนองทจดใด
ก. x = -1 ข. x = 0 ค. x = 1 ง. ถกทงขอ ก และขอ ข
3. f(x) = 2-x
2x + 4 ไมตอเนองทจดใด
ก. x = 2 ข. x = 0 ค. x = -1 ง. x = -2
4. ถาฟงกชน f ตอเนองท x = c แลว ขอใดถกตอง
1. f(c) หาคาได 2.
x clim f(x)
หาคาได
3. f(c) = x clim f(x)
ก. ขอ 1 และ ขอ 2 ถก ข. ขอ 1 และขอ 3 ถก ค. ขอ 2 และขอ 3 ถก ง. ขอ 1 ขอ 2 และขอ 3 ถก
ห น า | 39
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
2x - 1
; x 1x - 1
4 ; x = 1
1. x 1lim f(x)
หาคาได
2. f(1) หาคาได 3. f ตอเนองท x = 1
ก. ขอ 1 และ ขอ 2 ถก ข. ขอ 1 และขอ 3 ถก ค. ขอ 2 และขอ 3 ถก ง. ขอ 1 ขอ 2 และขอ 3 ถก
6. ก าหนดให f(x) = x - 3 แลว ฟงกชน f ตอเนองบนชวงใด
ก. [3 , ) ข. (- , 3) ค. (3 , ) ง. (0 , 2] 1 ; x 5
7. ก าหนดให f(x) = แลว ฟงกชน f ตอเนองบนชวงใด 3 ; x = 5
ก. (0 , 5] ข. (- , 5) (5 , ) ค. (- , 5] [5 , ) ง. [5 , )
2x - x
;2x
x 0
k ; x = 0 จงหาคา k ทท าให f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (- , )
ก. 1
-4
ข. 1
-2
ค. 1
4 ง.
1
2
5. ถา f(x) = ขอความใดกลาวถกตอง
8. ถา f(x) =
ห น า | 40
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
1
3x + 1 ; 0 < x < 1
2 - 5 - x
x - 1 ; x > 1
ก. f ไมตอเนองท x = 1 และ x = 3 ข. f ตอเนองท x = 1 และ x = 3 ค. f ไมตอเนองท x = 1 แตตอเนองท x = 3 ง. f ตอเนองท x = 1 แตไมตอเนองท x = 3
10. ก าหนดให f(x) = 3
x - 8
x - 2 เมอ x 8 ถา f เปนฟงกชนตอเนองท x = 8 แลว
f(8) มคาตรงกบขอใด ก. 8 ข. 10 ค. 12 ง. 20
9. ถา f(x) = 1 ; x = 1 ขอใดถกตอง
ห น า | 41
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ห น า | 42
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
แบบบนทกคะแนนแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน แบบฝกทกษะคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6
กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ชอ………………………………………..…….ชน............................. เลขท…… โรงเรยนบานไรวทยา ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 42
รายการ คะแนนเตม คะแนนทได ความกาวหนา คดเปนรอยละ การทดสอบกอนเรยน 10 การทดสอบหลงเรยน 10
ห น า | 43
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
แบบบนทกความกาวหนาของแบบฝกทกษะ
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน
เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ชอ………………………………………..…….ชน............................. เลขท…… โรงเรยนบานไรวทยา ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 42
แบบฝกทกษะท คะแนนเตม คะแนนทได คดเปนรอยละ ผาน
เกณฑ* ไมผานเกณฑ**
3.1 10 3.2 10 3.3 10
รวมทงหมด 30 เฉลย
คดเปนรอยละ
* ผานเกณฑ หมายความวา ผเรยนไดคะแนนรอยละ 80 ขนไปของคะแนนเตม ** ไมผานเกณฑ หมายความวา ผเรยนไดคะแนนนอยกวารอยละ 80 ของคะแนนเตม
ห น า | 44
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
กนกวล อษณกรกล และรณชย มาเจรญทรพย. (2548). แบบฝกหดและประเมนผลการเรยนร คณตศาสตรเพมเตม ม. 6 เลม 2 ชวงชนท 4. กรงเทพฯ: ส านกพมพเดอะบคส จ ากด. ______. (2554). แบบฝกหดและประเมนผลการเรยนรคณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 6 เลม 6. กรงเทพฯ: ส านกพมพเดอะบคส จ ากด. กมลเอก ไทยเจรญ. (ม.ป.ป.). คณตศาสตร ม.6 เลม 5 ค 015. กรงเทพฯ: ไฮเอดพบลชชง จ ากด. กานดา ลอสทธวบลย และยพน จรสขานนท. (2548). สรปคณตศาสตร ม.ปลาย ม. 4 – 5 – 6 รายวชาพนฐานและรายวชาเพมเตม. กรงเทพฯ: ส านกพมพเดอะบคส จ ากด. จกรนทร วรรณโพธกลาง. (ม.ป.ป.). คณตศาสตร Pure Pure ม.6 (2 ภาคเรยน) กลมสาระ การเรยนรคณตศาสตร. กรงเทพฯ: บรษท ส านกพมพ พ.ศ. พฒนา จ ากด. ______. (ม.ป.ป.). เฉลยขอสอบ Entrance คณตศาสตร 15 พ.ศ.. กรงเทพฯ: บรษท ส านกพมพ พ.ศ. พฒนา จ ากด. เชษฐ ชนสกลด. (ม.ป.ป.). คมอเตรยมสอบ PAT 1 ความถนดทางคณตศาสตร. กรงเทพฯ: หางหนสวนจ ากดรงเรองสาสนการพมพ. ณรงค ปนนม และคณะ. (2537). คมอเตรยมสอบคณตศาสตรรวม ม.4-5-6 . กรงเทพฯ: ภมบณฑตการพมพ จ ากด. ทรงวทย สวรรณธาดา. (2555). คณตศาสตรเพมเตมชนมธยมศกษาปท 6 ภาคเรยนท 2. กรงเทพฯ: แมคเอดดเคชน จ ากด. ประชา ศวเวทกล. (2555). กญแจคณตศาสตร ม.ปลาย ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาเพมเตม เลม 6. กรงเทพฯ: บรษท ส านกพมพเดอะบคส จ ากด. เลศ สทธโกศล. (ม.ป.ป.). คณตศาสตรแผนใหม แคลคลส ม.ปลาย 4–5–6. กรงเทพฯ: ส านกพมพ แมสพบลชชง. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2554). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตรเลม 6 ชนมธยมศกษาปท 4–6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตรตามหลกสตร แกนกลางการศกษาขนพนฐานพทธศกราช 2551. กรงเทพฯ: โรงพมพ สกสค. ลาดพราว. ______. (2554). คมอครรายวชาเพมเตมคณตศาสตรเลม 6 ชนมธยมศกษาปท 4–6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตรตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐานพทธศกราช 2551. กรงเทพฯ: โรงพมพ สกสค. ลาดพราว. สมย เหลาวานชย. (ม.ป.ป.). คมอเตรยมสอบคณตศาสตร ม.4-5-6 สาระการเรยนรเพมเตม. กรงเทพฯ: ไฮเอดพบลชชง จ ากด. ______. (ม.ป.ป.). Mathematics Problems โจทยคณตศาสตร ม. 4–5–6. กรงเทพฯ : ไฮเอดพบลชชง จ ากด. สมย เหลาวานชย และพวพรรณ เหลาวานชย. (ม.ป.ป.). คณตศาสตรพนฐาน + เพมเตม เลมท 6 ชวงชนท 4 (มธยมศกษาปท 4–6). กรงเทพฯ: ไฮเอดพบลชชง จ ากด.
ห น า | 45
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
สกญญา สนทวงศ ณ อยธยา และอนญญา อภชาตบตร. (2556). แคลคลส Calculus 1 ฉบบเสรมประสบการณ. กรงเทพฯ: บรษทพมพดการพมพ จ ากด. สเทพ จนทรสมศกด. (ม.ป.ป.). คมอเตรยมสอบคณตศาสตร ม.6 เลม 5 ค 015. กรงเทพฯ: ส านกพมพภมบณฑต. อเนก หรญ. (2544). คณตศาสตร ม.6 ค 015. กรงเทพฯ: หจก. ส านกพมพฟสกส เซนเตอร. ______. (ม.ป.ป.). แบบฝกหดพนฐาน วชาคณตศาสตร ม.6 ค 015. กรงเทพฯ: หจก. ส านกพมพฟสกสเซนเตอร. Finney ,Ross L. and other. (2007). Calculus Graphical, Numerical, Algebraic Third Edition. Upper Saddle River. New Jersey: Prentice Hall.
ห น า | 46
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ห น า | 47
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน
ขอ ค าตอบ 1 ง 2 ค 3 ก 4 ค 5 ก 6 ข 7 ค 8 ค 9 ง 10 ข
ห น า | 48
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน
ขอ ค าตอบ 1 ข 2 ค 3 ง 4 ง 5 ก 6 ก 7 ข 8 ข 9 ค 10 ค
ห น า | 49
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
เฉลยแบบฝกทกษะ 3.1
1. f(x) = x + 5 ท x = 5
วธท า จาก f(x) =
x + 5 จะได f(5) = 5 + 5 = 10 และ
x 5lim f(x)
= x 5lim (x + 5)
= 10 นนคอ f(5) =
x 5lim f(x)
ดงนน ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5
2. f(x) = 1
x + 2 ท x = 5
วธท า จาก f(x) =
1
x + 2
จะได f(5) = 1
5 + 2
= 1
7
และ x 5lim f(x)
= x 5
1lim
x + 2
= 1
7
นนคอ f(5) = x 5lim f(x)
ดงนน ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5
ห น า | 50
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
2x - 4
x - 2 ; x 2
4 ; x = 2 วธท า
2x - 4
x - 2 ; x 2
4 ; x = 2 จะได f(2) = 4
และ x 2lim f(x)
= 2
x 2
x - 4lim
x - 2
= x 2
(x - 2)(x + 2)lim
x - 2
= x 2lim (x + 2)
= 4 จะไดวา
x 2lim f(x)
= f(2)
ดงนน ฟงกชน f ตอเนองท x = 2
จาก f(x) =
3. f(x) = ท x = 2
ห น า | 51
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
4. f(x) = x - 1
x - 1 ; ท x = 1
วธท า จาก f(x) =
x - 1
x - 1
f(1) = 0
0
เนองจาก f(1) หาคาไมได ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 1
5. f(x) = 2
x - 3
x - 9 ท x = 3
วธท า จาก f(x) =
2
x - 3
x - 9
f(3) = 0
0
เนองจาก f(3) หาคาไมได ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 3
ห น า | 52
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
2x - 36
x - 6 x 6
4 x = 6
วธท า
2x - 36
x - 6 x 6
4 x = 6
จะได f(6) = 4
และ x 6lim f(x)
= 2
x 6
x - 36lim
x - 6
= x 6
(x - 6)(x + 6)lim
x - 6
= x 6lim (x + 6)
= 12 จะไดวา
x 6lim f(x)
f(6)
ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 6
6. f(x) = ท x = 6
จาก f(x) =
ห น า | 53
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
x - 1
x - 1 ; x 1
2 ; x = 1
วธท า x - 1
x - 1 ; x 1
2 ; x = 1 จะได f(1) = 2
วธท 1 พจารณา x 1lim f(x)
= x 1
x - 1lim
x - 1
=
22
x 1
x - 1lim
x - 1
= x 1
( x - 1)( x + 1)lim
x - 1
= x 1lim ( x + 1)
= 2 จะไดวา
x 1lim f(x)
= f(1)
ดงนน ฟงกชน f ตอเนองท x = 1
7. f(x) = ท x = 1
จาก f(x) =
ห น า | 54
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
วธท 2 พจารณา x 1lim f(x)
= x 1
x - 1lim
x - 1
= x 1
(x - 1) ( x + 1)lim
( x - 1) ( x + 1)
= x 1
(x - 1)( x + 1)lim
(x - 1)
= x 1lim ( x + 1)
= 2 จะไดวา
x 1lim f(x)
= f(1)
ดงนน ฟงกชน f ตอเนองท x = 1 x ; x 2 2x x > 2
วธท า x ; x 2 2x x > 2
จะได f(2) = 2
เนองจาก -x 2
lim f(x)
= -x 2
lim x
= 2
และ +x 2
lim f(x)
= +x 2
lim 2x
= 4
จะไดวา -x 2
lim f(x)
+x 2
lim f(x)
ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 2
8. f(x) = ท x = 2
จาก f(x) =
ห น า | 55
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
3x - 2 ; x = 2
2x - 4
x - 2 ; x 2
วธท า 3x - 2 ; x = 2
2x - 4
x - 2 ; x 2
จะได f(2) = 4
และ x 2lim f(x)
= 2
x 2
x - 4lim
x - 2
= x 2
(x - 2)(x + 2)lim
x - 2
= x 2lim (x + 2)
= 4 จะไดวา
x 2lim f(x)
= f(2)
ดงนน ฟงกชน f ตอเนองท x = 2
9. f(x) = ท x = 2
จาก f(x) =
ห น า | 56
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
0 ; x 1
10. f(x) = 1
x - 1 ; 1 < x 2 ท x = 1 และ x = 2
3 – x ; x > 2 วธท า 0 ; x 1
จาก f(x) = 1
x - 1 ; 1 < x 2
3 – x ; x > 2 พจารณาท x = 1 จะได f(1) = 0 เนองจาก
-x 1
lim f(x)
= 0
และ
+x 1lim f(x)
= x 1
1lim
x - 1
จะไดวา +x 1
lim f(x)
หาคาไมได
ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 1 พจารณาท x = 2 จะได f(2) = 1
เนองจาก
-x 2lim f(x)
= -x 2
1lim
x - 1
= 1
และ +x 2
lim f(x)
= +x 2
lim (3 - x)
= 1
จะเหนวา -x 2
lim f(x)
= 1 = +x 2
lim f(x)
นนคอ x 2lim f(x)
= 1
เนองจาก x 2lim f(x)
= f(2)
ดงนน ฟงกชน f ตอเนองท x = 2 สรปไดวา ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 1 แตตอเนองท x = 2
ห น า | 57
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
เฉลยแบบฝกทกษะ 3.2
1. ก าหนด f(x) = 3x2 – 10x + 3 ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 แลว f(1) มคาเทาไร
วธท า เนองจาก ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1
แสดงวา f(1) = x 1lim f(x)
พจารณา x 1lim f(x)
= 2
x 1lim (3x - 10x + 3)
= -4
ดงนน f(1) จะตองมคาเทากบ -4 จงท าใหฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1
2. ก าหนด f(x) = 2x - 4x - 5
x - 5 ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5 แลว f(5) มคาเทาไร
วธท า เนองจาก ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5 แสดงวา f(5) =
x 5lim f(x)
พจารณา x 5lim f(x)
= 2
x 5
x - 4x - 5lim
x - 5
= x 5
(x - 5)(x + 1)lim
x - 5
= x 5lim (x + 1)
= 6 ดงนน f(5) จะตองมคาเทากบ 6 จงท าใหฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5
ห น า | 58
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
3. ก าหนดให f(x) =
x + 1 - 1
x ; x 0
a ; x = 0 และ a R
วธท า เนองจาก ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 0
และ f(0) = a แสดงวา a =
x 0lim f(x)
พจารณา x 0lim f(x)
= x 0
x + 1 - 1lim
x
= x 0
x + 1 - 1 x + 1 + 1lim
x x + 1 + 1
= 2 2
x 0
( x + 1) - 1lim
x( x + 1 + 1)
= x 0
x + 1 - 1lim
x( x + 1 + 1)
= x 0
1lim
( x + 1 + 1)
= 1
( 1 + 1)
= 1
2
ดงนน a จะตองมคาเทากบ 1
2 จงท าใหฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 0
ห น า | 59
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
4. ก าหนดให f(x) =
2x + 2x - 15
x - 1 ; x 5
2m + 1 ; x = 5 และ m R
จงพจารณาวา ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5 แลว m มคาเทาไร
วธท า เนองจาก ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5
และ f(5) = 2m + 1
แสดงวา 2m + 1 = x 5lim f(x)
พจารณา x 5lim f(x)
= 2
x 5
x + 2x - 15lim
x - 1
= 25 + 2(5) - 15
5 - 1
= 20
4
= 5
นนคอ 2m + 1 = 5
2m = 4 m = 2 หรอ -2 ดงนน m จะตองมคาเทากบ 2 หรอ -2 จงท าใหฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5
ห น า | 60
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
ax ; x 1 5. ก าหนดให f(x) =
x – b ; x > 1
จงพจารณาวา ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 แลว a + b มคาเทาไร
วธท า เนองจาก ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1
และ f(1) = a
พจารณา -x 1
lim f(x)
= -x 1
lim ax
= a และ
+x 1lim f(x)
= +x 1
lim (x - b)
= 1 - b เนองจาก ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนอง
จะได -x 1
lim f(x)
= +x 1
lim f(x)
a = 1 - b และ a + b = 1 ดงนนถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 แลว a + b มคาเทากบ 1
ห น า | 61
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
เฉลยแบบฝกทกษะ 3.3
1. ก าหนด f(x) = 2x + 2x จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (3 , 5) หรอไม วธท า ให c เปนจดใด ๆ บนชวง (3 , 5)
จาก f(x) = 2x + 2x
จะได f(c) = 2c + 2c
และ x clim f(x)
= 2
x clim (x + 2x)
= 2c + 2c
ดงนน x clim f(x)
= f(c)
สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (3 , 5)
2. ก าหนด f(x) = 2x + 3 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (-1 , 1) หรอไม วธท า ให c เปนจดใด ๆ บนชวง (-1 , 1)
จาก f(x) = 2x + 3
จะได f(c) = 2c + 3
และ x clim f(x)
= x clim (2x + 3)
= 2c + 3
ดงนน x clim f(x)
= f(c)
สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (-1 , 1)
ห น า | 62
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
3. ก าหนด f(x) = 2
x + 2
x - 2x - 8 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (-1 , 3] หรอไม
วธท า ให c เปนจดใด ๆ บนชวง (-1 , 3)
จาก f(x) = 2
x + 2
x - 2x - 8
จะได f(c) = 2
c + 2
c - 2c - 8
และ x clim f(x)
= 2x c
x + 2lim
x - 2x - 8
= 2
c + 2
c - 2c - 8
ดงนน x clim f(x)
= f(c)
สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (-1 , 3) พจารณาท x = 3
จะได f(3) = 2
3 + 2
3 - 2(3) - 8
= 5
-5
= -1
และ -x 3
lim f(x)
= - 2
x 3
x + 2lim
x - 2x - 8
= 2
3 + 2
3 - 2(3) - 8
= 5
-5
= -1
ดงนน -x 3
lim f(x)
= f(3) = -1
สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (-1 , 3]
ห น า | 63
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
4. ก าหนด f(x) = 2x + 2x - 15
x - 1 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (1 , 2) หรอไม
วธท า ให c เปนจดใด ๆ บนชวง (-1 , 2)
จาก f(x) = 2x + 2x - 15
x - 1
จะได f(c) = 2c + 2c -15
c - 1 เมอ c 1
และ x c
lim f(x)
= 2
x c
x + 2x - 15lim
x - 1
= 2c + 2c -15
c - 1
ดงนน x clim f(x)
= f(c)
สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (1 , 2)
ห น า | 64
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน
5. ก าหนดให f(x) =
จงพจารณาวา f ตอเนองบนชวง [-2 , 5) หรอไม
วธท า
พจารณาท x = -1 จะได f(-1) = (-1) + 6 = 5
เนองจาก -x -1
lim f(x)
= -
2
x -1lim (x + 4)
= 1 + 4 = 5
และ +x -1
lim f(x)
=
+x -1lim (x + 6)
= (-1) + 6 = 5
จะเหนวา -x -1
lim f(x)
= 5 = +x -1
lim f(x)
นนคอ x -1lim f(x)
= 5
ดงนน ฟงกชน f ตอเนองท x = -1 พจารณาท x = 3 จะได f(3) = 3(3) - 1 = 8 เนองจาก
-x 3lim f(x)
= -x 3
lim (x + 6)
= 3 + 6 = 9
และ +x 3
lim f(x)
=
+x 3lim (3x - 1)
= 9 - 1 = 8
จะเหนวา -x 3
lim f(x)
+x 3
lim f(x)
นนคอ x 3lim f(x)
หาคาไมได
ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 3 และ 3 [-2 , 5) ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองบนชวง [-2 , 5)
x2 + 4 ; x < -1
3x - 1 ; x 3
x + 6 ; -1 x < 3
x2 + 4 ; x < -1
3x - 1 ; x 3 x + 6 ; -1 x < 3 จาก f(x) =