Download - บทที่ 8 Analysis of Indeterminate Structures by Force Methodeng.sut.ac.th/ce/oldce/theory50/theory9a.pdf · Analysis of Indeterminate Structures by Force Method วัตถุประสงค

THEORY OF STRUCTURES

By

Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

บทท 8Analysis of Indeterminate Structures by Force Method

วตถประสงค1. เพอใหเขาใจถงขอไดเปรยบและเสยเปรยบระหวางโครงสรางแบบ

statically determinate และแบบ statically indeterminate2. เพอใหเขาใจและสามารถวเคราะหโครงสราง statically

indeterminate โดยวธ force method: method of consistent deformation และ method of least work ไดอยางถกตอง

8.1 Statically Indeterminate Structuresโครงสราง statically indeterminate เปนโครงสรางทมผลรวมของจานวนแรงปฏกรยา (reactions) และจานวนแรงและโมเมนตภายใน (internal loads) ทไมทราบคามากกวาจานวนสมการความสมดลของโครงสรางและเปนโครงสรางทมเสถยรภาพ

“จานวนแรงและโมเมนตทไมทราบคามากกวาจานวนสมการความสมดล”

โครงสราง โดยเฉพาะโครงสรางคอนกรตเสรมเหลก มกเปนโครงสราง statically indeterminate เนองจากการกอสราง

โครงสรางเหลกทมจดเชอมตอแบบ rigid joint เปนโครงสราง statically indeterminate

ขอดของโครงสราง statically indeterminate1. ใชวสดนอยกวาและมการโกงตวนอยกวา

2. มการกระจายแรงภายในทดกวา แตการกระจายแรงภายในจะทาใหโครงสรางแตกราวได ในกรณทโครงสรางมการทรดตวไมเทากน (differential settlement)

3. ทาใหเกดเทคนคการกอสรางแบบ cantileverขอเสยของโครงสราง statically indeterminate

1. การวเคราะหและการออกแบบมความยงยากมากกวา2. ในบางกรณ คากอสราง (จดเชอมตอและฐานราก) มราคาแพงกวา

3. การทรดตวทไมเทากน การเปลยนแปลงของอณหภม และความผดพลาดทเกดขนในการกอสรางจะกอใหเกดหนวยแรงขนภายในโครงสราง statically indeterminate

ตวอยาง: โครงสราง statically determinate ไมมหนวยแรงภายในเกดขนเนองจากการทรดตวทไมเทากนของจดรองรบ

4. การเปลยนแปลงรปแบบของแรงกระทาตอโครงสรางอาจจะทาใหเกด stress reversal ขนในโครงสราง statically indeterminate ไดงายกวาในโครงสราง statically determinate

Method of Analysisโครงสราง statically determinate ถกวเคราะหไดโดยใชสมการความสมดลเพยงอยางเดยว

โครงสราง statically indeterminate ไมสามารถถกวเคราะหไดโดยใชสมการความสมดลเพยงอยางเดยว

โดยตองใชเงอนไขความสอดคลอง (compatibility conditions) และความสมพนธระหวางแรงและการเปลยนตาแหนง (force-displacement relationship) ชวยในการวเคราะห

0;F+ ↑ =∑Equilibrium Equation;

0B AF F P+ − =

Compatibility Condition;/ 0A Bδ =

Force-Displacement Relationship;FLAE

δ =

0A AC B CBF L F LAE AE

− =

CBA

LF PL

= ACB

LF PL

=

เนองจากแรงทไดมคาเปนบวก ดงนน ทศทางของแรงทสมมตขนเปนทศทางทเกดขนจรง

Displacement Method of Analysis Force Method of Analysisจาก principle of superposition

Compatibility Condition;0 P Bδ δ= −

Force-Displacement Relationship;

ACPPLAE

δ = BBF LAE

δ =

0 AC BPL F LAE AE

= −

ACB

LF PL

=

Equilibrium Equation;

0;yF+ ↑ =∑0AC

ALP F PL

+ − =

CBA

LF PL

=equilibrium equations และ force-

displacement relationshipsdisplacementsDisplacement

method

compatibility equations และ force-displacement relationships

forcesForce methodสมการทใชในการหาคาตอบUnknownวธการ

8.2 วธเปลยนรปรางตอเนอง (method of consistent deformation)

1. เลอก reaction By เปนแรงเกนจาเปน (redundant force)

โครงสราง statically indeterminate 1 degree

2. Compatibility equation ทจด B:0 B BB′= ∆ − ∆+ ↓

BB y BBB f′∆ =

0 B y BBB f= ∆ −

By

BB

Bf∆

=

แทนจดทหา deflectionแทนจดทแรงเกนจาเปนกระทา

3. หาคา deflection และแทนคาหา By ……….

กาหนดใหคานยาว L และแรง P กระทาทระยะ L/2 จากจดรองรบ A จงใชวธเปลยนรปรางตอเนองวเคราะหคานเพอเขยน shear และ moment diagram และหาสมการของการโกงตวของคานทจดทแรงกระทา

EXAMPLE

By

BB

Bf∆

=

3. หาคา deflection และหาคาแรงเกนจาเปน2 35 5

8 6 48BPL PLLEI EI

⎛ ⎞∆ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 322 3 3BBL Lf LEI EI

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

516yPB =

1. เลอก reaction By เปนแรงเกนจาเปน2. Compatibility equation ทจด B:

4. ใชสมการสมดลหาคาแรงปฏกรยา Ay และ MA และเขยน shear diagram และ moment diagram ของคาน

หาสมการของการโกงตวในแนวดงทจด C

3

'7

768C CPLMEI

= ∆ = −

5. ราง elastic curve ของคาน

MA

Hinge/Pin

1. เลอก reaction MA เปนแรงเกนจาเปนโครงสราง statically indeterminate 1 degree

2. Compatibility equation ทจด A:

0 A A AAMθ α= +

AA

AAM α

θ−=

0 A AAθ θ′= +

แทนจดทหา slopeแทนจดทแรงเกนจาเปนกระทา

3. หาคา slope และแทนคาหา MA4. เขยน V- และ M-diagram ของคาน


+

AA

AAM α

θ−=

LEI

EIPLM A )1(

316

2

= PL163

=

ใชสมการสมดลหาคาแรงปฏกรยา Ay และ By

กาหนดใหคานยาว L และแรง P กระทาทระยะ L/2 จากจดรองรบ A จงใชวธเปลยนรปรางตอเนองวเคราะหคานเพอเขยน shear และ moment diagram และหาสมการการโกงตวของคานทจดทแรงกระทา

EXAMPLE

AA

AA

M θα

= −

2 218 2 16APL PLEI EI

θ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

22 3 3AAL LEI EI

α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

316APLM = −

1. เลอก reaction MA เปนแรงเกนจาเปน2. Compatibility equation ทจด A:

3. หาคา deflection และหาคาแรงเกนจาเปน

ตารางแสดงสมการของ slope และ deflection ของคานทควรทราบ

4. ใชสมการสมดลหาคาแรงปฏกรยา Ay และ By

1116yPA =

516yPB =

เขยน shear diagram และ moment diagram ของคาน

หาสมการของการโกงตวในแนวดงทจด C

3

'7

768C CPLMEI

= ∆ = −


316APLM =

จงใชวธเปลยนรปรางตอเนองวเคราะหคานเพอเขยน shear และ moment diagram และหาการโกงตวของคานทจด D และราง elastic curve

EXAMPLE

1. เลอก reaction By เปนแรงเกนจาเปน

2. Compatibility equation ทจด B:

By

BB

Bf∆

=

∆B

1 unit

fBB

0 B y BBB f= ∆ −+ ↓

แทนจดทหา deflectionแทนจดทแรงเกนจาเปนกระทา

3. หาคา deflection และหาคาแรงเกนจาเปน

∆B

Note: แรง w อยคนละดาน ดงนน คาการโกงตวทกงกลางคานจะหาไดจาก

x

↓=∆ 7685 4

EIwL

B

EI76812)2(5 4

=

EI270

=

1 unit

fBB

Note: หาคาการโกงตว fBB ทจดทแรง 1 unit กระทา

( )↑−−= 6

222 abLEILPbafBB

[ ]222 661212)(66)6(1

−−=EI

EI36

=

จาก compatibility equation ทจด B:B

yBB

Bf∆

=

kN 5.736

270==

EIEI

4. ใชสมการสมดลหาคาแรงปฏกรยา Ay และ Cy

7.5 kNAy Cy

Ax = 0

7.5 kN 5.25 kN

Ax = 0

0.75 kN

เขยน shear diagram และ moment diagram ของคาน

7.5 kN 5.25 kN

Ax = 0

0.75 kN

-0.75 kN

6.75 kN

-5.25 kN

2.625 mslope = -2

slope = -0.75-4.5 kN-m

slope = 6.75

slope = 0 6.891 kN-m

slope = -5.25


หาสมการของการโกงตวในแนวดงทจด D

4.5/EI

6.891/EI

DÁ´ B´ C´

4.5/EI

DÁ´ B´

yA′

∑ =′ 0BM

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′

3665.4

21)6(EI

Ay

EIAy

5.4=′

2.25/EI

DÁ´

4.5/EI

∑ =′ 0DM

ckwisecountercloAθ=

DM ′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−==∆ ′ 3

3325.221)3(45EIEI

MDD

↑=∆EID125.10

By Cy

1. สมมตให reaction force ท B (By) และ C (Cy) เปน redundant forces

3.1 หา deflection เนองจากแรง P1 และ P2 ทจด B = ∆B และทจด C = ∆C


2. Compatibility equation ทจด B และจด C:

3. หาคา deflection และแรงเกนจาเปน

3.2. ให redundant = 1 หนวยกระทาทจด B ทาใหเกด deflection ทจด B= fBB และทจด C = fCB

3.3 ให redundant = 1 หนวยกระทาทจด C ทาใหเกด deflection ทจด B = fBC และทจด C = fCC

Compatibility ทจด B:+

+

Compatibility ทจด C:

0 B y BB y BCB f C f= ∆ + +

0 C y CB y CCB f C f= ∆ + +

3.4 แกสมการหาคา reaction force By และ Cy

4. เขยน shear diagram และ moment diagram ของคาน


จงหาวเคราะหคานโดยวธเปลยนรปรางตอเนอง จากนน จงเขยน shear และ moment diagram และรางรปรางการโกงตวของคาน

EXAMPLE

คานเปนคานทสมมาตรทจดกงกลางคาน

1. ใหโมเมนตปฏกรยาทจดรองรบ A(MA) และ B (MB) เปน redundant ของคาน

MA

Hinge

MB

Hinge

เมอไมพจารณาแรงในแนวแกนแลว indeterminacy ลดลงเหลอ 2 degree


2. จาก compatibility condition

+

+

0 A A AA B ABM Mθ α α= + +

0 B A BA B BBM Mθ α α= + +

3. หาคา slope และหาคาแรงเกนจาเปน2 31 2

2 3 8 24AwL wLLEI EI

θ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 31 22 3 8 24B

wL wLLEI EI

θ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

22 3 3AAL LEI EI

α ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

AB BAα α=

12 3 6BAL LEI EI

α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

22 3 3BBL LEI EI

α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

จากสมการ compatibility0 A A AA B ABM Mθ α α= + + 0 B A BA B BBM Mθ α α= + +

3

024 3 6A BwL L LM MEI EI EI

= + +

03 6 3A BL L LM MEI EI EI

= + +

แกสมการหาคา reaction force MA และ MB

2

12AwLM =

2

12BwLM =

+

+

2

12wL

2

12wL

Ay By

2ywLA =

2ywLB =

4. เขยน shear diagram และ moment diagram


Maxwell’s Theorem of Reciprocal Displacementsในกรณของ deflection, กฎผกผนของ Maxwell กลาววา

BA ABf f=

“คา displacement ทเกดขนทจด B บนโครงสราง ในทศทาง b เนองจาก unit force ทจด A ในทศทาง a = คา displacement ทเกดขนทจด A ในทศทาง a เนองจาก unit force ทจด B ในทศทาง b”

ในกรณของ slope, กฎผกผนของ Maxwell กลาววา BA ABθ θ=

“คามมลาดเอยงทเกดขนทจด B บนโครงสราง ในทศทาง b เนองจากโมเมนตขนาด 1 หนวยกระทาทจด A ในทศทาง a = คามมลาดเอยงทเกดขนทจด A ในทศทาง a เนองจากโมเมนตขนาด 1 หนวยกระทาทจด B ในทศทาง b”

ในกรณของ deflection และ slope, กฎผกผนของ Maxwell กลาววา

“คามมลาดเอยงทมหนวยเปนเรเดยนทเกดขนทจด B บนโครงสราง ในทศทาง b เนองจากแรงขนาด 1 หนวยกระทาทจด A ในทศทาง a = คาระยะโกงตวทเกดขนทจด A ในทศทาง a เนองจากโมเมนตขนาด 1 หนวยกระทาทจด B ในทศทาง b”

BA ABfθ =

8.4 ขอสงเกตเพมเตมเมอโครงสรางมจานวนดกรของอนดเทอรมเนทเทากบ n แลว โครงสรางนนจะมจานวนของแรงเกนจาเปนเทากบ n คา หรอ Rn

และสมการความสอดคลองโดยวธ force method มจานวน n สมการ1 11 1 12 2 1 0n nf R f R f R∆ + + + + =L

2 21 1 22 2 2 0n nf R f R f R∆ + + + + =L

M

1 1 2 2 0n n n nn nf R f R f R∆ + + + + =L

M

ในรปของเมตรกซ (matrix)

1 111 12 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

n n nn n n

Rf f ff f f R

f f f R

∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

L

L

M M M

L

fR= − ∆

จากกฎผกผนของ Maxwell, fij = fjiดงนน เมตรกซ f จงเปนเมตรกซสมมาตร

8.5 Moment Diagram ของคาน Statically Indeterminate

จดรองรบแบบหมดและ roller ทอยทปลายคาน และ internal hinge เปนจดทมคาโมเมนตดดเทากบศนย จดรองรบยดแนนและจดรองรบหมดทอยภายในชวง span ของคานจะมคาโมเมนตดดเกดขน แรงกระทาเปนจดจะทาให moment diagram มลกษณะเปนเสนตรงทมความชน แรงแผกระจายสมาเสมอจะทาให moment diagram ทมลกษณะเปนเสนโคง parabola

จงหาวเคราะหคานโดยวธเปลยนรปรางตอเนองและเขยน shear และ moment diagram และรางรปรางการโกงตวของคาน เมอจดรองรบ B เกดการทรดตวในแนวดง 0.10 m E = 200 GPa และ I = 179(106) mm4

EXAMPLE

1. ใหแรงปฏกรยาทจดรองรบ B (By) และ C (Cy) เปน redundant

By Cy

10 kN

โครงสราง statically indeterminate 3 degree แตเนองจาก Ax = 0 ดงนน จงเหลอ 2 degree

2. จาก compatibility condition

3. หาระยะโกงตวตางๆ และแรงเกนจาเปน

0.010 B y BB y BCB f C f= ∆ + ++ ↓

+ ↓ 0 C y CB y CCB f C f= ∆ + +

3.1 ใชตารางหาระยะโกงตว 3.2 ใชวธ conjugate beam หาระยะ

โกงตว

a = 10.5 mb = 2.5 m2 2 2(10)(2.5)(8) [(13) (2.5) (8) ]

6 (13)B EI∆ = − −

3253.205 kN.mEI

=xB = 8.0 m

2 2 2(10)(2.5)(4) [(13) (2.5) (4) ]6 (13)C EI

∆ = − −

3188.141 kN.mEI

=

xC = 4.0 m

3.1 ใชตารางหาระยะโกงตว

a = 8 mb = 5 m

xB = 8.0 m xC = 4.0 m

2 2 2(1)(5)(8) [(13) (5) (8) ]6 (13)BBf EI

= − −

341.026 kN.mEI

=

2 2 2(1)(5)(4) [(13) (5) (4) ]6 (13)CBf EI

= − −

332.821 kN.mEI

=a = 4 mb = 9 m

xC = 4.0 m2 2 2(1)(9)(4) [(13) (9) (4) ]

6 (13)CCf EI= − −

333.231 kN.mEI

=

3.2 ใชวธ conjugate beam หาระยะโกงตว

Ay By

1yPbA xL

= 2yPaB xL

=

ทาการเขยน moment diagram

หาแรงปฏกรยา

ทาการเขยน conjugate beam

หาแรงปฏกรยาของ conjugate beam

11 1 1 1

1 ( )2 3 6Pb x Pab L bM x x xEIL EIL

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

211( )

6Pbx x aL abEIL

= − −

22 2 2 2

1 ( )'2 3 6Pa x Pab L aM x x xEIL EIL

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

222( )

6Pax x bL abEIL

= − −

( )2 2 2116

Pbx L b xEIL

= − + +

หาระยะ ∆B โดยท a = 2.5 m b = 10.5 m และ x2 = 8.0 m

2(10 kN)(2.5 m)(8 m)[(8 m) (10.5 m)(13 m) (2.5 m)(10.5 m)]6 (13 m)B EI

∆ = − − −

หาระยะ ∆C โดยท a = 2.5 m b = 10.5 m และ x2 = 4.0 m

2(10 kN)(2.5 m)(4 m)[(4 m) (10.5 m)(13 m) (2.5 m)(10.5 m)]6 (13 m)C EI

∆ = − − −

3253.205 kN.mEI

=

3188.141 kN.mEI

=

222( )

6Pax x bL abEIL

∆ = − −x2

หาระยะ fBB โดยท a = 5.0 m b = 8.0 m และ x2 = 8.0 m

2(1 kN)(5 m)(8 m)[(8 m) (8 m)(13 m) (5 m)(8 m)]6 (13 m)BBf EI

= − − −

หาระยะ fCB โดยท a = 5.0 m b = 8.0 m และ x2 = 4.0 m2(1 kN)(5 m)(4 m)[(4 m) (8 m)(13 m) (5 m)(8 m)]

6 (13 m)CB BCf fEI

= = − − −

332.821 kN.mEI

=

341.026 kN.mEI

=

x2 222( )

6Pax x bL abEIL

∆ = − −

หาระยะ fCC โดยท a = 9.0 m b = 4.0 m และ x2 = 4.0 m

2(1 kN)(9 m)(4 m)[(4 m) (4 m)(13 m) (4 m)(9 m)]6 (13 m)CCf EI

= − − −

333.231 kN.mEI

=

222( )

6Pax x bL abEIL

∆ = − −x2

4. แกสมการ compatibility เพอหาแรงเกนจาเปน

0.010 B y BB y BCB f C f= ∆ + +

0 C y CB y CCB f C f= ∆ + +

253.205 41.0260.010 m

32.821

y

y

BEI EI

CEI

⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦

188.141 32.8210

33.231

y

y

BEI EI

CEI

⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦

333.231 kN.mCCf EI

=

341.026 kN.mBBf EI=

332.821 kN.mCBf EI=

332.821 kN.mBCf EI=

3253.205 kN.mB EI

∆ =3188.141 kN.m

C EI∆ =

6 2 6 4 2200(10 kN/m )179(10 m ) 35800 kN.mEI −= =เมอแรงปฏกรยาเกนจาเปนมคาเทากบ

33.753 kNyB = ↓ 39.00 kNyC = ↑

33.753 kN 39.00 kN

10 kN

Ay Dy

16.848 kNyA = ↑

12.093 kNyD = ↓

5. เขยน shear diagram และ moment diagram ของคาน

6. รางรปรางการโกงตวของคาน

33.753 kN 39.00 kN

10 kN

16.848 kN 12.093 kN

จงใชวธเปลยนรปรางตอเนองวเคราะหโครงขอแขงเพอเขยน shear และ moment diagram เมอ EI ของชนสวนตางๆ มคาคงท

โครงสราง statically indeterminate 1 degree1. ใหแรงปฏกรยา Ay เปน redundant

EXAMPLE

Ay

8.6 การวเคราะหโครงขอแขง (frame) โดยวธเปลยนรปรางตอเนอง 2. compatibility condition ทจดรองรบ A

3. หาคาการเปลยนตาแหนง ∆A และ fAA

Ay

Ay

yAAA Af−∆=↓+ 0

AA

Ay fA ∆

=

3400 kN-mA EI

∆ = ↓

3400 kN-mEI

= −

หาคาการเปลยนตาแหนง ∆A

0

L

AmM dxEI

∆ = ∫2

33

0

( 4)(50 )x dxEI

−= ∫

M3 = +50x3 m3 = -4

m2 = -4

2 m

2 m4 m

แสดงวามทศตรงกนขามกบแรง 1 หนวย ดงนน385.333 kN-m

AAf EI= ↑

หาคาการเปลยนตาแหนง fAA0

L

AAmmf dxEI

= ∫

400 85.33( ) 0 yAEI EI+ ↓ = −

4.688 kNyA = ↓

4 2 22 2 21

1 2 30 0 0

( 4) ( 4)x dx dx dxEI EI EI

− −= + +∫ ∫ ∫

4. แกสมการหาคาแรง Ay

3400 kN-mA EI

∆ = ↓

m2 = -4

m3 = -4

2 m

2 m4 m1 หนวย


4.688 kN

= 50 kN

= 4.688 kN

= 81.25 kN-m

50.0 kNxC =

Cy

Cx

MC

4.688 kNyC =

81.25 kN-mCM =

∑ = ;0xF

∑ = ;0yF

∑ = ;0CM4.688 kN

50 kN

4.688 kN

81.25 kN-m


4.688 kN

-50 kN

18.75 kN-m

81.25 kN-m

-18.75 kN-m

Slope = 4.688

Slope = 0

Slop

e =

0

Slope = -50

Slope = 0


จงวเคราะหโครงขอแขง โดยวธเปลยนรปรางตอเนอง กาหนดให EI มคาคงท

EXAMPLE

1. ใหโมเมนตดดปฏกรยาทจดรองรบ A(MA) เปน redundant

MA

Hinge/Pin

2. compatibility condition ทจดรองรบ A0 A A AAMθ α= ++

AA

AA

M θα

= −

MA

ใชวธ virtual work หา θA

x1

x2

x3

M3 = 40+12x3-4x32CA

M2 = -20x2DCM1 = 0BD

Mmember0

L

Am M dxEIθθ = ∫

3. หาคาการเปลยนตาแหนงและแกสมการ

By

Ay

Ax

= 12.0 kN

= 18.0 kN

= 20.0 kN

2 m

2 m5 m

x3/5CA0DC0BD

mθmember1

Ay= 1/5 kNAx= 0 kN

By = 1/5 kN

5 m

0-5.0 m0-2.0 m0-2.0 mจาก-ถง

x3/5M3 = 40+12x3-4x32CA

0M2 = -20x2DC0M1 = 0BD

mθMmember

2 35 3 3

0

(40 12 4 )( )50 0

xx xdx

EI

+ −= + + ∫

75EI

=

0

L

Am M dxEIθθ = ∫

2 m

2 m

5 m

ใชวธ virtual work หา αAA0

L

AAm m dxEIθ θα = ∫

x3/50-5.0 mCA00-2.0 mDC00-2.0 mBD

mθจาก-ถงmember

52 2

0

0 05 5x x dx

EI= + + ∫

53EI

=

1

Ay= 1/5 kNAx= 0 kN

By = 1/5 kN

ใชวธ castiglino หา θA

x1

x2

x3

M'

M3 = 40+12x3-4x32x3/5M3 = 40+12x3-4x3

2+M'x3/5CAM2 = 20x20M2 = 20x2DC

M1 = 00M1 = 0BDM เมอ M' = 0∂M/∂M'Mmember

0 '

L

AM dxMM EI

θ ∂=

∂∫2 35 3 3

0

(40 12 4 )( )50 0

xx xdx

EI

+ −= + + ∫

75EI

=

3. หาคาการเปลยนตาแหนงและแกสมการ ใชวธ castiglino หา αAA0 '

L

AAM dxMM EI

α ∂=

∂∫

M3 = x3/5x3/5M3 = M'x3/5CAM2 = 00M2 = 0DCM1 = 00M1 = 0BD

M เมอ M' = 1 kN-m∂M/∂M'Mmember

52 2

0

0 05 5x x dx

EI= + + ∫

53EI

=

4. แกสมการ compatibility เพอหาคาแรงเกนจาเปน 75 50

3AM

EI EI= +

45.0 kN-mAM = −

เครองหมายลบ MA มทศทางตรงกนขามกบทไดสมมตไว (ทวนเขมฯ)45.0 kN-m

By

AyAx

37.0 kNyA =

20.0 kNxA =

3.0 kNyB =

0 A A AAMθ α= +

53AA EI

α =

75A EI

θ =

5 m2 m

2 m

5. เขยน shear และ moment diagram45.0 kN-m

3.0 kN

37.0 kN20.0 kN 5 m 2 m

2 m


จงใชวธเปลยนรปรางตอเนองวเคราะหโครงขอแขงเพอเขยน shear และ moment diagram เมอ E = 200 GPa และ I = 250(106) mm4 ของชนสวนมคาคงท

โครงสราง statically indeterminate 1 degree1. ใหแรงปฏกรยา Cx เปน redundant

EXAMPLE

Cx

Cx2. compatibility condition ทจดรองรบ C

3. หาคาการเปลยนตาแหนง ∆CH และ fCC

xCCCH Cf+∆′=→+

0 )(

หาคาการเปลยนตาแหนง ∆CH

M m

dxEIMmL

CH ∫=∆0

)0.1(

M 6 kN

6 kN12 kN

x1

x2

21

1111 1

122

212 xxxxxM −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

22 6xM =

1

11

x1

x2

11 xm =

22 xm =

dxEIMmL

CH ∫=∆0

)0.1(

∫∫ +−=∆6

0

222

6

0

11

211 ))(6())(12(

EIdxxx

EIdxxxxCH

→= 972EI

หาคาการเปลยนตาแหนง fCC

0

L

CCmmf dxEI

= ∫

4. แกสมการหาคาแรง Cx

1

11

x1

x2

11 xm =

22 xm =

∫∫ +=6

0

222

6

0

111 ))(())((

EIdxxx

EIdxxx

→= 144EI

→=∆ 972EICH

xCEIEI1449720 )( +=→

+

kN 75.6144

972−=−=

EIEI

Cx

→= kN 75.6xC


6.75 kN

5.25 kN

0.75 kN

0.75 kN

จงใชวธเปลยนรปรางตอเนองวเคราะหโครงขอแขงเพอเขยน shear และ moment diagram เมอ E = 200 GPa และ I = 250(106) mm4 ของชนสวนตางๆ มคาคงท และจดรองรบ C เกดการเคลอนตวในแนวดงขน 4 mm

โครงสราง statically indeterminate 1 degree1. ใหแรงปฏกรยา Cy เปน redundant

EXAMPLE

Cy

2. compatibility condition ทจดรองรบ C

3. หาคาการเปลยนตาแหนง ∆C และ fCC

( ) 0.004 m C y CCC f+ ↑ = −∆ +

Cy

Cy

หาคาการเปลยนตาแหนง ∆C

354.0 kN-mC EI

∆ = ↓

354.0 kN-mEI

= −

0

L

CmM dxEI

∆ = ∫3

11

0

(3 )( 12)x dxEI

− −= ∫

39 kN-mCCf EI

= ↑

หาคาการเปลยนตาแหนง fCC

0

L

CCmmf dxEI

= ∫

54 9( ) 0.004 m yCEI EI+ ↑ = − +

28.2 kNyC = ↑

3 21

10

(3 )x dxEI−

= ∫ 9EI

=

6 6 6 654 90.004 m

200(10 )250(10 ) 200(10 )250(10 ) yC− −= − +

4. แกสมการหาคาแรง Cy354.0 kN-m

C EI∆ = ↓


28.2 kN

= 0 kN

= 28.2 kN

= 72.7 kN-m

Ay

Ax

MA

0 kNxA =

28.0 kNyA =

72.7 kN-mAM =


28.2 kN

0 kN

28.2 kN

72.7 kN-m

-28.2 kN

72.7 kN-m

-12 kN-m

Download - บทที่ 8 Analysis of Indeterminate Structures by Force Methodeng.sut.ac.th/ce/oldce/theory50/theory9a.pdf · Analysis of Indeterminate Structures by Force Method วัตถุประสงค

Top Related