![Page 1: ทฤษฎีกราฟ - Prince of Songkla Universitystaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/09-Graph-Lec.pdf · กราฟที่ต้องใช้ k สี (k-colorable) หากกราฟนั้นได้รับการก](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060415/5f13131811bdd75140274853/html5/thumbnails/1.jpg)
ทฤษฎกราฟ
9.1 ทฤษฎกราฟ
กราฟเปนพนฐานโครงสรางคณตศาสตรทจ าเปนส าหรบวทยาการคอมพวเตอร
นยาม กราฟ G(V,E) ประกอบดวยเซตของจด V และ เซตของเสน E ทเชอมตอระหวาง
จดสองจด
ทฤษฎกราฟ น าไปประยกตใช web search, network, database, artificial intelligent
เปนตน
ตวอยาง การประยกตใชทฤษฎกราฟ
รปท 1 แสดงการประยกตใชทฤษฎกราฟ
ศพททควรรเกยวกบกราฟ
จดสองจด U และ Vเชอมตอกนดวยดาน E จดทงสองเปนจดประชด (adjacent)
ดาน (U,V) เชอมตอ (incident) จด U และ V
![Page 2: ทฤษฎีกราฟ - Prince of Songkla Universitystaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/09-Graph-Lec.pdf · กราฟที่ต้องใช้ k สี (k-colorable) หากกราฟนั้นได้รับการก](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060415/5f13131811bdd75140274853/html5/thumbnails/2.jpg)
ดกรของจด V เขยนแทนดวย deg(V) แทนจ านวนดานทงหมดทเชอมตอกบจด V
เซตเพอนบานของจด V (neighborhood) หมายถง เซตทประกอบดวยจดทประชดกบจด V
หมายเหต กราฟทม ลป (loop) เกดจากการทมจดใดๆในกราฟประชดกบตนเอง
นยาม Simple Graph หมายถง กราฟทไมมลปและมอยางมากเพยง 1 ดานเชอมระหวาง 2
จดใดๆในกราฟ
นยาม Multi Graph หมายถง กราฟทมดานมากกวาหรอเทากบสองดานเชอมตอจด 2 จด
ใดๆในกราฟ
นยาม Directed Graph หมายถง กราฟทประกอบขนจากดานทมทศทาง (directed edge)
คล าดบ (u,v) หมายถง ดานทมทศพงจากจด u ไป สนสดทจด v
หมายเหต ส าหรบกราฟทไมมทศางใดๆ ดาน (u,v) = (v,u)
ทฤษฎ Handshaking
ก าหนด กราฟ G = (V,E) เปนกราฟทม m ดาน จะไดวา
mvdevVv
2)(
นยาม in-degree และ out-degree ของ directed graph
--in-degree ของจด v เขยนแทนดวย deg- (v) แทนจ านวนของดานทออกจากจด v
-- out-degree ของจด v เขยนแทนดวย deg+ (v) แทนจ านวนของดานทเขาสจด v
Handshaking ส าหรบ Directed Graph
ก าหนด G(V,E) แทน Directed graph
VvVv
Evdevvdev ||)()(
![Page 3: ทฤษฎีกราฟ - Prince of Songkla Universitystaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/09-Graph-Lec.pdf · กราฟที่ต้องใช้ k สี (k-colorable) หากกราฟนั้นได้รับการก](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060415/5f13131811bdd75140274853/html5/thumbnails/3.jpg)
ตวอยาง
จาก กราฟทก าหนดให
จงหา deg - (a) และ deg+ (a)
วธท า
deg- (a) แทนจ านวนของดานทออกจากจด a
deg- (a) = 2
deg+ (a) แทนจ านวนของดานทเขาสจด a
deg+ (a) = 1
9.2 ชนดของกราฟ
นยาม Subgraph
กราฟ G(V,E) เปนสบกราฟของ กราฟ G’(V’,E’) ถา V V’ และ E E’
กราฟ G(V,E) เปนสบกราฟแทของกราฟ G’ ถา G G’
นยาม Complete Graph (Kn)
Complete Graph คอ simple undirected graph ซงทกคของจดถกเชอมเปนดาน
นยาม Cycle Graph (Cn)
![Page 4: ทฤษฎีกราฟ - Prince of Songkla Universitystaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/09-Graph-Lec.pdf · กราฟที่ต้องใช้ k สี (k-colorable) หากกราฟนั้นได้รับการก](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060415/5f13131811bdd75140274853/html5/thumbnails/4.jpg)
Cycle Graph คอ simple undirected graph ซงมดานเชอมระหวางจดทอยถดไปในทศ
ตามเขมนาฬกา (หรอทวนเขมนาฬกา) อยางใดอยางหนง จ านวนจด n 3
นยาม Wheel Graph (Wn)
Wheel Graph คอ simple undirected graph ทเปน Cycle Graph ทเพมจดหนงจดเพอ
เชอมไปยง n จดของกราฟ Cn
รปท 2 แสดงกราฟชนดตางๆ
ตวอยาง การประยกตใช Graph ชนดตางๆ
ส าหรบ เครอขายทองถน
![Page 5: ทฤษฎีกราฟ - Prince of Songkla Universitystaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/09-Graph-Lec.pdf · กราฟที่ต้องใช้ k สี (k-colorable) หากกราฟนั้นได้รับการก](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060415/5f13131811bdd75140274853/html5/thumbnails/5.jpg)
Star Ring Hybridge
รปท 3 แสดง การประยกตใช Graph กบเครอขาย
ส าหรบการประมวลผล
ประมวลผลแบบอนกรม ประมวลผลแบบ
อนกรมขนาน
รปท 4 แสดง การประยกตใช Graph กบการประมวลผล
ตวอยาง
จงหาสตรทวไปของความสมพนธระหวางจ านวนจด กบ จ านวนดานของ Complete
Graph ขนาด n จดใดๆ
วธท า
|V| = 1 จะได |E| = 0
![Page 6: ทฤษฎีกราฟ - Prince of Songkla Universitystaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/09-Graph-Lec.pdf · กราฟที่ต้องใช้ k สี (k-colorable) หากกราฟนั้นได้รับการก](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060415/5f13131811bdd75140274853/html5/thumbnails/6.jpg)
|V| = 2 จะได |E| = 1
|V| = 3 จะได |E| = 3
|V| =4 จะได |E| = 6
…
|V| = n จะได |E| =2
*)1( nn
นยาม Bipartite Graph
ก าหนด simple undirected graph G(V,E) เปน Bipartite Graph ถาเซต V สามารถถก
แบงเปน 2 เซตท disjoint กน V1 และ V2 โดยทแตละดานในเซต E เชอมจากจดใดจดหนง
ในเซต V1 ไปยงจดใดจดหนงในเซต V2
นยาม Complete Bipartite Graph (K m,n)
Complete Bipartite Graph G(V,E) คอ กราฟทแบง เซตของจด V เปน 2 สบเซต ซงม
จด m และ n เปนสมาชกในแตละสบเซต โดยมดานเชอมระหวางจดจากเซตทงสอง
รปท 5 แสดง Complete Bipartite Graph
![Page 7: ทฤษฎีกราฟ - Prince of Songkla Universitystaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/09-Graph-Lec.pdf · กราฟที่ต้องใช้ k สี (k-colorable) หากกราฟนั้นได้รับการก](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060415/5f13131811bdd75140274853/html5/thumbnails/7.jpg)
ตวอยาง
จากกราฟ G(V,E) ทก าหนด จงพจารณาวาเปน Bipartite Graph หรอไม เพราะเหตใด
วธท า
V = {A, B, C, D, E}
V1 = {A, C, E}
V2 = {B, D}
V1 V2 = และ แตละดานในเซต E เชอมจากจดใดจดหนงในเซต V1 ไปยงจดใดจด
หนงในเซต V2
ดงนน G(V,E) เปน Bipartite Graph
ตวอยาง Graph ทไมใช Bipartite Graph
ตวอยาง จงพจารณาวากราฟตอไปนเปน Bipartite Graph หรอไม เพราะเหตใด
![Page 8: ทฤษฎีกราฟ - Prince of Songkla Universitystaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/09-Graph-Lec.pdf · กราฟที่ต้องใช้ k สี (k-colorable) หากกราฟนั้นได้รับการก](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060415/5f13131811bdd75140274853/html5/thumbnails/8.jpg)
Graph Coloring
นยาม Graph Coloring หมายถง การก าหนดสไปบนจดของกราฟเพอวาสองจดใดๆท
ประชดกนถกก าหนดใหมสทตางกน
กราฟทตองใช k ส (k-colorable) หากกราฟนนไดรบการก าหนดส k สไปบนจดทกจดใน
กราฟ
--กราฟ G(V,E) เปน Bipartite Graph กตอเมอ กราฟนนเปน 2-colorable
รปท 6 แสดงการประยกตใช Graph Coloring
กราฟขางตน ตองใช 3 ส หากมเพยง 2 ส จะไมสามารถก าหนดสใหจดจดตามขอก าหนด
ของ Graph Coloring ได
จ านวนสทนอยทสดทจ าเปนตองใชตามหลกการ Graph Coloring ถกเรยกวา chromatic
number
นนคอ chromatic number ของกราฟขางตน = 3
![Page 9: ทฤษฎีกราฟ - Prince of Songkla Universitystaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/09-Graph-Lec.pdf · กราฟที่ต้องใช้ k สี (k-colorable) หากกราฟนั้นได้รับการก](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060415/5f13131811bdd75140274853/html5/thumbnails/9.jpg)
Complete Graph Kn ม chromatic number เปน n
ตวอยาง
จงหา chromatic number ของกราฟ ตอไปน
รปท ก รปท ข รปท ค
ตวอยาง
ก าหนดคณะกรรมการ 6 ชด ทประกอบดวยสมาชก
C1 = {Allen, Brooks, Marg}
C2 = {Brooks, Jones, Morton}
C3 = { Allen, Marg, Morton }
C4 = {Jones, Marg, Morton}
C5 = {Allen, Brooks }
C6 = { Brooks , Marg, Morton}
จงประยกตใชหลกการ Graph Coloring เพอค านวณหาวาจะตองจดการประชมกครงเปน
อยางนอยเพอไมใหเกดการขดแยงระหวางกรรมการแตละชด
9.3 การแทนกราฟ
แบบ Adjacency Matric
![Page 10: ทฤษฎีกราฟ - Prince of Songkla Universitystaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/09-Graph-Lec.pdf · กราฟที่ต้องใช้ k สี (k-colorable) หากกราฟนั้นได้รับการก](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060415/5f13131811bdd75140274853/html5/thumbnails/10.jpg)
ให G(V,E) เปน simple graph ทม จ านวนจด |V| = n Adjacency Matric ของกราฟ G
แทนดวยเมทรกซ 0-1 ทมขนาด nXn ทมคาเปน 1 ณ ต าแหนง (i,j) เมอ จด vi ประชดกบจด
v j และ มคาเปน 0 หากต าแหนงนนไมมจดประชด
Ai j =
0
1 ถา { v i,v j } เปน ดานของ G
ตวอยาง
จงหา Adjacency Matric ของ กราฟ ตอไปน
วธท า
ตวอยาง
![Page 11: ทฤษฎีกราฟ - Prince of Songkla Universitystaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/09-Graph-Lec.pdf · กราฟที่ต้องใช้ k สี (k-colorable) หากกราฟนั้นได้รับการก](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060415/5f13131811bdd75140274853/html5/thumbnails/11.jpg)
จงหา กราฟ ของ Adjacency Matric
วธท า
ตวอยาง
จงหา Adjacency Matric ของ กราฟ ตอไปน
วธท า
![Page 12: ทฤษฎีกราฟ - Prince of Songkla Universitystaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/09-Graph-Lec.pdf · กราฟที่ต้องใช้ k สี (k-colorable) หากกราฟนั้นได้รับการก](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060415/5f13131811bdd75140274853/html5/thumbnails/12.jpg)
แบบ Incidence Matric
ให G(V,E) เปน undirected graph ทประกอบดวย จ านวนจด |V| = n และจ านวนดาน
|E| = m
Incidence Matric ของกราฟ G แทนดวยเมทรกซทมขนาด nXm M = [m i j] เมอ
0
1ijM ถา e j เปนดานเชอมของจด vi
ตวอยาง
จงหา Incidence Matric ของ กราฟ ตอไปน
วธท า
![Page 13: ทฤษฎีกราฟ - Prince of Songkla Universitystaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/09-Graph-Lec.pdf · กราฟที่ต้องใช้ k สี (k-colorable) หากกราฟนั้นได้รับการก](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060415/5f13131811bdd75140274853/html5/thumbnails/13.jpg)
ตวอยาง จงหา Incidence Matric ของ กราฟ ตอไปน
วธท า
9.4 Isomorphism Graph
ก าหนด simple graph G1(V1,E1) และ simple graph G2(V2,E2) เปน Isomorphism
Graph ถาม function 1-1 และ ทวถง จาก เซต V1 ไป V2 ซงมคณสมบต จด a ประชดจด b
บน G1 และ มจด f(a) ประชดจด f(b) บน G2 จะเรยก function นนวาเปน Isomorphism
function หากกราฟทงสองไมมคณสมบตขางตนจะเปน Non isomorphism Graph
ตวอยาง
จงแสดงวากราฟ G และ H ตอไปน เปน Isomorphism Graph
![Page 14: ทฤษฎีกราฟ - Prince of Songkla Universitystaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/09-Graph-Lec.pdf · กราฟที่ต้องใช้ k สี (k-colorable) หากกราฟนั้นได้รับการก](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060415/5f13131811bdd75140274853/html5/thumbnails/14.jpg)
วธท า
f(u1) = v1
f(u2) = v4
f(u3) = v3
f(u4) = v2
f เปนฟงกชน 1-1 และทวถง จากเซต {u1,u2,u3,u4} ไปยงเซต {v1,v2,v3,v4}
ตวอยาง
จงแสดงวา กราฟ G และ H ตอไปน เปน Nonisomorphism Graph
![Page 15: ทฤษฎีกราฟ - Prince of Songkla Universitystaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/09-Graph-Lec.pdf · กราฟที่ต้องใช้ k สี (k-colorable) หากกราฟนั้นได้รับการก](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060415/5f13131811bdd75140274853/html5/thumbnails/15.jpg)
ตวอยาง
จงแสดงวากราฟ G และ H ตอไปน เปน Isomorphism Graph
วธท า Adjacency Matric ของกราฟ G คอ
Adjacency Matric ของกราฟ H คอ
![Page 16: ทฤษฎีกราฟ - Prince of Songkla Universitystaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/09-Graph-Lec.pdf · กราฟที่ต้องใช้ k สี (k-colorable) หากกราฟนั้นได้รับการก](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060415/5f13131811bdd75140274853/html5/thumbnails/16.jpg)
ดงนน กราฟ G และ H เปน Isomorphism Graph กน