![Page 1: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/1.jpg)
13/02/55
1
การหาผลเฉลยเชงตวเลขของปญหาคาเรมตน
Numerical Analysis
Introduction
ปญหาคาเรมตน คอ ปญหาวาดวยการแกสมการเชงอนพนธทสอดคลอง
กบเงอนไขคาเรมตนเงอนไข วธเชงตวเลขทไมไดใหคาประมาณทตอเนอง กบเงอนไขคาเรมตนเงอนไข วธเชงตวเลขทไมไดใหคาประมาณทตอเนอง
แตใหคาประมาณ ณ จดทกาหนด
คาประมาณอนๆระหวางจดทกาหนดสามารถใชการประมาณคาในชวง
, , 0 , 0
x0 x1 x2 x3 xn
![Page 2: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/2.jpg)
13/02/55
2
Introduction
เงอนไขความแจมชด
สาหรบปญหาคาเรมตน
, , ,
สมมต และ ตอเนองสาหรบทก ใน , ดงนนปญหาคาเรมตนมผลเฉลยหนงเดยว สาหรบ , และปญหานเรยกวา ปญหาแจมชด (well-posed problem)
Well-posed Formula: Example
พจารณาปญหาคาเรมตน
( )xyxy sin1+=′ , 20 ≤≤ x , ( ) 00 =y
ในทน
( ) ( )xyxyxf sin1, +=
( ) ( )xyxyxf y cos, 2=
ทงคตอเนองสาหรบ [ ]20∈x ดงนน ผลเฉลยจะมเพยงผลเฉลยเดยว และเปนปญหาคาเรมตนแจมชด ทงคตอเนองสาหรบ [ ]2,0∈x ดงนน ผลเฉลยจะมเพยงผลเฉลยเดยว และเปนปญหาคาเรมตนแจมชด
![Page 3: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/3.jpg)
13/02/55
3
Classes of Methods
ประมาณคา ( )xy โดย กาหนด x ทจดตางๆ เปน K,,, 210 xxx จะได iy เปนคาประมาณของ ( )ixy
1. ระเบยบวธชนเดยว (one step method)
สตรของการประมาณคาจะอยในรป
( )hyxhyy iiii ,,1 φ+=+ K,2,1,0=i
โดยท ( )hyx ii ,,φ เปนฟงกชนสวนทเปลยนแปลงเมอ x เปลยนคา จาก ix เปน hxi +
2. ระเบยบวธหลายชน (multi-step method)
เปนการหา 1+iy โดยใชผลเฉลยทรคาแลวมากกวา 1 จด ระเบยบวธนมรปแบบของสตรเปน
( )∑∑−=
−−=
−+ +=m
kkikik
m
kkiki hyxbhyay
101 ,,φ K,2,1,0=i
โดยท maaa ,,, 10 K , mbbb ,,, 10 K เปนคาคงตว
Classes of Methods
สาหรบระเบยบวธหลายชน ซงมรปสตรเปน
( )∑∑−=
−−=
−+ +=m
kkikik
m
kkiki hyxbhyay
101 ,,φ K,2,1,0=i
ถา 0≠ma หรอ 0≠mb ระเบยบวธ จะม 1+m ขน เพราะตองใชขอมล 1+m จด
ถา จะสามารถหา จากคาทางดานขวาของสตรไดทนท ระเบยบวธนจะเรยกวา ระเบยบวธโดยชดแจง (explicit)
ไ ป ถา จะมตวไมทราบคา ปรากฏทงสองดานของสตร ระเบยบวธนจะเรยกวา ระเบยบวธโดยปรยาย (implicit)
![Page 4: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/4.jpg)
13/02/55
4
Euler Method
สาหรบปญหาคาเรมตน
, , ,
จะกาหนดใหคา เทาๆ กน จะไดวา
0,1,2, … ,
ผลตางระยะทางระหวางจด เรยกวา ขนาดของชน
Euler Method
โดยทฤษฎบทของเทยเลอร (Taylor’s Theorem)
ถา เปนผลเฉลยของปญหาคาเรมตน และ 2 , แลว
1 1 2! 12
เมอ 0,1,2, … , 1 และบาง , 1
เมอให 1 และจาก , จะได 2
1 ,2
2!
![Page 5: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/5.jpg)
13/02/55
5
Euler Method: Formula
สตร ระเบยบวธ Euler
0
1 ,
มคาความคลาดเคลอนเฉพาะถน (Local Error) เปน 2
2! สาหรบบาง , 1
Euler Method: Geometry Meaning
จากการทให เปนคาประมาณของ เราไดวา ,
1yα
( )yxfy ,=′( ) α=ay
Slope ( ) ( )α,afay =′
( )yxfy ,=′( ) α=ay
1yα
2y
a 1x a 1x 2x
![Page 6: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/6.jpg)
13/02/55
6
Euler Method: Example
จงใชระเบยบวธ Euler ในการประมาณผลเฉลยของปญหาคาเรมตน
12 +′ 20 ≤≤ ( ) 500 โ ใ 10N 20h i20 12 +−=′ xyy , 20 ≤≤ x , ( ) 5.00 =y โดยใช 10=N , 2.0=h และ ixi 2.0=
จาก ( ) 1, 2 +−= xyyxf
ให 5.00 =y และ ( )121 +−+=+ iiii xyhyy 9,,2,1,0 K=i
0=i , ( )120001 +−+= xyhyy
( ) 8000.0105.02.05.0 =+−+=
1i ( )12 ++= xyhyy1=i , ( )11112 +−+= xyhyy
( )( ) 1520.112.08.02.08.0 2 =+−+= 2=i ( )12
2223 +−+= xyhyy
( )( ) 5504.114.0152.12.0152.1 2 =+−+=
Euler Method: Example
ผลเฉลยทแทจรงสาหรบปญหาคาเรมตนนกคอ ( ) ( ) xexxy 5.01 2 −+=
i x y y(x) |y-y(x)|i x y y(x) |y y(x)|0 0.0000000 0.5000000 0.5000000 0.00000001 0.2000000 0.8000000 0.8292986 0.02929862 0.4000000 1.1520000 1.2140877 0.06208773 0.6000000 1.5504000 1.6489406 0.09854064 0.8000000 1.9884800 2.1272295 0.13874955 1.0000000 2.4581760 2.6408591 0.18268316 1.2000000 2.9498112 3.1799415 0.23013037 1.4000000 3.4517734 3.7324000 0.28062667 1.4000000 3.4517734 3.7324000 0.28062668 1.6000000 3.9501281 4.2834838 0.33335579 1.8000000 4.4281538 4.8151763 0.3870225
10 2.0000000 4.8657845 5.3054720 0.4396875
![Page 7: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/7.jpg)
13/02/55
7
Taylor order n
จากการกระจายอนกรมเทยเลอร รอบจด จะได
! !
สาหรบบาง ,
จาก , , , , ...,, ,
จะได จะได
, , ! ,
! ,
Taylor order n: Formula
ระเบยบวธ Taylor อนดบ n
, , , , … , เมอ
, , ,!
,
คาผดพลาดเฉพาะถนคอ สาหรบบาง คาผดพลาดเฉพาะถนคอ !
สาหรบบาง ,
![Page 8: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/8.jpg)
13/02/55
8
Taylor order n: Example
จงใชระเบยบวธ Taylor อนดบ 2 และอนดบ 4 กบปญหาคาเรมตน
, , . เนองจากเราใชเทยเลอรอนดบ 4 จงตองใชอนพนธของ ถงอนดบ 3 ซง ,
,
,
,
Taylor order n: Example
ได
, , ,
, , , , ,
![Page 9: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/9.jpg)
13/02/55
9
Taylor order n: Example
ไดสตรเทยเลอรอนดบสอง .
และสตรเทยเลอรอนดบส .
สาหรบ , , , … ,
Taylor order n: Example
ให . , ดงนน . , … , ให . , ดงนน . , … ,
จากระเบยบวธเทยเลอรอนดบสาหรบ ได
. . . . .
สาหรบ สาหรบ , .
. . . . . . .
.
![Page 10: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/10.jpg)
13/02/55
10
Taylor order n: Example
ระเบยบวธเทยเลอรอนดบ 4 ให
สาหรบ
.
.. . .
.
. ..
. . ..
Taylor order n: Example
สาหรบ , .
.
.. . .
. .
. .. .
. . .
.
![Page 11: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/11.jpg)
13/02/55
11
Taylor order n: Example
ExactTaylor order 2 Error
Taylor order 4 Error Exact order 2 Error order 4 Error
| | | | 0.00 0.5000000 0.5000000 0.0000000 0.5000000 0.0000000 0.20 0.8292986 0.8300000 0.0007014 0.8293000 0.0000014 0.40 1.2140877 1.2158000 0.0017123 1.2140910 0.0000033 0.60 1.6489406 1.6520760 0.0031354 1.6489468 0.0000062 0.80 2.1272295 2.1323327 0.0051032 2.1272396 0.0000101 1.00 2.6408591 2.6486459 0.0077868 2.6408744 0.0000153 1 20 3 1799415 3 1913480 0 0114065 3 1799640 0 00002251.20 3.1799415 3.1913480 0.0114065 3.1799640 0.0000225 1.40 3.7324000 3.7486446 0.0162446 3.7324321 0.0000321 1.60 4.2834838 4.3061464 0.0226626 4.2835285 0.0000447 1.80 4.8151763 4.8462986 0.0311223 4.8152377 0.0000614 2.00 5.3054720 5.3476843 0.0422123 5.3055554 0.0000834
Interpolate other values
เมอตองการทราบคา . กจะสามารถใชวธการประมาณคาในชวง เชน ใชพหนาม ลากรองจ 2 จด
ตวอยางเชน ให . และ . และจากขอมลทประมาณไดจากระเบยบวธเทยเลอรอนดบ 4 ได
.. .. . .
. .. . .
. .
ซงคาจรงของ . . ดงนนคาประมาณทไดจงมความคลาดเคลอนเพยง 0.0007525
![Page 12: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/12.jpg)
13/02/55
12
Interpolate other values
เมอใชพหนาม Hermite จะตองหาคาประมาณของ . และ .
ซงทาไดโดยอาศยความสมพนธของ , ดงน
. . . . ..
. . . . ..
Interpolate other values
โดยใชผลตางสบเนองหาสมประสทธของพหนาม Hermite จะไดขอมลดงตาราง 1.2 3.1799640
2.7399640 1.2 3.1799640 0.1118825
2.7623405 -0.3071225 1.4 3.7324321 0.0504580
2.7724321 1.4 3.7324321
. . . . .. . .. . . . . .
![Page 13: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/13.jpg)
13/02/55
13
ระเบยบวธ Runge-Kutta (RK)
ระเบยบวธ Runge-Kutta เปนการปรบปรงระเบยบวธเทยเลอร เพอใหพจนขอบเขตของคาผดพลาดอนดบสงยงคงรกษาไว ในขณะทเราไมจาเปนตองหา
25
ขอบเขตของคาผดพลาดอนดบสงยงคงรกษาไว ในขณะทเราไมจาเปนตองหาอนพนธยอยอนดบสง
ทฤษฎบทเทยเลอรใน 2 ตวแปร
ถา และทกอนพนธยอยอนดบนอยกวาหรอเทากบ ตอเนองบนโดเมน
26
, | , และ , กบ , อยใน ทงคแลว ,
, , ,
, , ,
!,
![Page 14: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/14.jpg)
13/02/55
14
Runge-Kutta order 2
ระเบยบวธเทยเลอรอนดบสองไดมาจาก
27
!
, ,!
เนองจาก , , , และ
, ได
, , , ,
!
Runge-Kutta order 2
เปรยบเทยบ
28
, , , ,
!
กบการกระจายพจน , โดยใชทฤษฎบทของเทยเลอรกบ จะได
, , , ,
, , ,
เทยบพจนจะไดวา
, และ ,
![Page 15: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/15.jpg)
13/02/55
15
Runge-Kutta order 2
เปรยบเทยบ
29
, , , ,
!
กบการกระจายพจน , โดยใชทฤษฎบทของเทยเลอรกบ จะได
, , , ,
, , ,
เทยบพจนจะไดวา
, และ ,
Runge-Kutta order 2
การแทนดวย , ในระเบยบวธเทยเลอรไมใชทางเลอกเดยว ถาใช
30
พจนในรป , , , ตว
แปรเสรมใหสตรอนดบสองจานวนอนนต ซงคอ รปแบบของสตร Runge-Kutta อนดบสอง
(RK2)
, , ,
![Page 16: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/16.jpg)
13/02/55
16
สตรกงกลาง (Midpoint Method)
และ
31
, , และ
, ,
, , , … ,
สตร Euler ดดแปลง (Modified Euler Method)
และ
32
, , และ
, , ,
, , , … ,
![Page 17: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/17.jpg)
13/02/55
17
สตร Heun (Heun’s Method)
และ
33
, , และ
, , ,
, , , … ,
ซงคาผดพลาดเฉพาะถนของทงสามสตรคอ
RK2: Example
จงใชระเบยบวธ Runge-Kutta กบปญหาคาเรมตน
34
, , . พรอมดวย , . , . และ . สตรการประมาณจากระเบยบวธตางๆไดแก สตรจดกงกลาง . . . . สตร Euler ดดแปลง . . . . สตร Heun . . . .
, , , … ,
![Page 18: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/18.jpg)
13/02/55
18
RK2: Example
จาก , , . และ , . , . ,
35
.
ซงไดวา ,
สครจดกงกลางคอ , ,
แยกคดเฉพาะ ,
. . . . .
. . .
RK2: Example
จาก . . แทนคาลงใน , จะได
36
, ,
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . .
![Page 19: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/19.jpg)
13/02/55
19
RK2: Example
ดงนนสครจดกงกลาง สาหรบปญหาน คอ
37
, ,
. . . .
. . . .
RK2: Example
Midpoint Method
Error Modified Euler
Error Heun's Method
Error
38
0.00 0.5000000 0.5000000 0.0000000 0.5000000 0.0000000 0.5000000 0.0000000 0.20 0.8292986 0.8280000 0.0012986 0.8260000 0.0032986 0.8273333 0.0019653 0.40 1.2140877 1.2113600 0.0027277 1.2069200 0.0071677 1.2098800 0.0042077 0.60 1.6489406 1.6446592 0.0042814 1.6372424 0.0116982 1.6421869 0.0067537 0.80 2.1272295 2.1212842 0.0059453 2.1102357 0.0169938 2.1176014 0.0096281 1.00 2.6408591 2.6331668 0.0076923 2.6176876 0.0231715 2.6280070 0.0128521 1.20 3.1799415 3.1704634 0.0094781 3.1495789 0.0303627 3.1635019 0.0164396 1.40 3.7324000 3.7211654 0.0112346 3.6936862 0.0387138 3.7120057 0.0203944 1.60 4.2834838 4.2706218 0.0128620 4.2350972 0.0483866 4.2587802 0.0247035 1.80 4.8151763 4.8009586 0.0142177 4.7556185 0.0595577 4.7858452 0.0293310 2.00 5.3054720 5.2903695 0.0151025 5.2330546 0.0724173 5.2712645 0.0342074
![Page 20: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/20.jpg)
13/02/55
20
Runge-Kutta order 4: Formula
39
,
,
,
, , , , … , คาผดพลาดเฉพาะถนคอ
Runge-Kutta order 4: Example
จงใชระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4 กบปญหาคาเรมตน
40
, , . พรอมดวย , . , . และ .
จาก , , , . , . และ .
0 0 0, 0 . . . .
![Page 21: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/21.jpg)
13/02/55
21
Runge-Kutta order 4: Example
0 , 0 .., .
.
41
0 , 0 ,
. . . .
3 0 , 02 .
., .
.
. . . .
, 0 . . , . ., 0 ,
. . . .
Runge-Kutta order 4: Example
ดงนนได
42
. . . . .
.
, .
. . . .
![Page 22: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/22.jpg)
13/02/55
22
Runge-Kutta order 4: Example
1 , 1 . .., .
.
43
. . . .
3 0 , 02 . .
., .
.
. . . .
, 0 . . , . .
. . . .
ได . . . .
. .
Runge-Kutta order 4: Example
RK4 Error 0.00 0.5000000 0.5000000 0.0000000 0.3000000 0.3280000 0.3308000 0.3581600
44
0.20 0.8292933 0.8292986 0.0000053 0.3578587 0.3836445 0.3862231 0.4111033 0.40 1.2140762 1.2140877 0.0000114 0.4108152 0.4338968 0.4362049 0.4580562 0.60 1.6489220 1.6489406 0.0000186 0.4577844 0.4775628 0.4795407 0.4976925 0.80 2.1272027 2.1272295 0.0000269 0.4974405 0.5131846 0.5147590 0.5283923 1.00 2.6408227 2.6408591 0.0000364 0.5281645 0.5389810 0.5400626 0.5481771 1.20 3.1798942 3.1799415 0.0000474 0.5479788 0.5527767 0.5532565 0.5546301 1.40 3.7323401 3.7324000 0.0000599 0.5544680 0.5519148 0.5516595 0.5447999 1.60 4.2834095 4.2834838 0.0000743 0.5446819 0.5331501 0.5319969 0.5150813 1.80 4.8150857 4.8151763 0.0000906 0.5150171 0.4925189 0.4902690 0.4610709 2.00 5.3053630 5.3054720 0.0001089
![Page 23: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/23.jpg)
13/02/55
23
RK4 & Other Methods
ระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4 ใชการหาคาฟงกชน 4 ครงตอขนตอน อาจเทยบไดกบ
45
ระเบยบวธ Euler ทมขนาดตะแกรง(ขนตอน)เปน
ระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4 ดกวาระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 2 (ทมขนาดของ
ขนตอน ) เพราะระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4 ใชจานวนการหาคามากกวาเปน 2 เทา
ของแตละขนตอน
RK4 & Other Methods
พจารณาปญหา
46
, , . โดยใชระเบยบวธ Euler พรอมดวย . ระเบยบวธ Euler ดดแปลง(RK2) พรอมดวย . และระเบยบวธ Runge-Kutta 4 (RK4) กบ . เปรยบเทยบ ณ จด
. , . , . , . , .
![Page 24: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/24.jpg)
13/02/55
24
RK4 & Other Methods
Exact Euler Modified Euler Runge-Kutta order 4
47
Exact Euler .. .
0.0 0.5000000 0.5000000 0.5000000 0.5000000 0.1 0.6574145 0.6554982 0.6573085 0.6574144 0.2 0.8292986 0.8253385 0.8290778 0.8292983 0.3 1.0150706 1.0089334 1.0147254 1.0150701 0 4 1 21408 1 20 634 1 21360 9 1 2140869 0.4 1.2140877 1.2056345 1.2136079 1.2140869 0.5 1.4256394 1.4147264 1.4250141 1.4256384
ระเบยบวธหลายขน (Multi-Step Method)
ถาอนทเกรตสมการเชงอนพนธ , เหนอชวง , จะได
48
,
ดงนน ,
แทน ดวนพหนามตวประมาณคาในชวง เราจะสามารถอนทเกรตได ซงเปนพหนามดกร หาไดจากจากชดขอมล , , , , ... , , และ
จะได จะได
,
![Page 25: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/25.jpg)
13/02/55
25
ระเบยบวธหลายขน (Multi-Step Method)
รปแบบของพหนามตวประมาณใดๆสามารถใชแทน ได แตทสะดวกทสดคอ การใช
49
ผลตางสบเนองยอนหลงของนวตน
ระเบยบวธหลายขนสามารถแบงไดเปน 2 กลมคอ
1. ระเบยบวธโดยชดแจง เปนระเบยบวธท ไมขนกบการหาคา ,
2. ระเบยบวธโดยปรยาย ซงมบางสวนขนกบ ,
Multi-Step Method: Explicit case
ระเบยบวธหลายขนโดยชดแจง
50
กรณท สตรของ Adams-Bashforth อนดบตางๆในรปแบบ ∑ ,
อนดบ
1 0 1
2 1 3/2 -1/2
3 2 23/12 -16/12 5/12
4 3 55/24 -59/24 37/24 -9/24
![Page 26: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/26.jpg)
13/02/55
26
Adams-Bashforth: Formula
Adams-Bashforth อนดบ 3 (AB3) , ,
51
, , ,
, , … ,
คาผดพลาดเฉพาะถน คอ สาหรบบาง ,
Adams-Bashforth อนดบ 4 (AB4) , , ,
, , ,
,
, , … ,
คาผดพลาดเฉพาะถน คอ สาหรบบาง ,
Multi-Step Method: Explicit case
ระเบยบวธหลายขนโดยชดแจง
52
กรณท ( ) จากการกระจายผลตางสบเนอง จะได รปแบบของสตรเปน
∑ ,
1 1 2
3 3 8/3 -4/3 8/3
![Page 27: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/27.jpg)
13/02/55
27
Multi-Step Method: Explicit case
สตรของ Milne
53
, , , , , … ,
คาผดพลาดเฉพาะถนคอ สาหรบบาง ,
ป ใ เมอ เปนจานวนค และเลอก สตรสาหรบกรณ จะใชจานวนของ นอยกวาสตรสาหรบกรณ ทมอนดบเดยวกน
Multi-Step Method: Implicit case
ระเบยบวธโดยปรยาย
54
กรณท : ∑ ,
สตรนเรยกวา สตรของ Adams-Moulton อนดบตางๆ อนดบ ,
1 0 1
2 1 1/2 1/2
3 2 5/12 8/12 -1/12
4 3 9/24 19/24 -5/24 1/24
เมอ
![Page 28: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/28.jpg)
13/02/55
28
Multi-Step Method: Implicit case
ระเบยบวธโดยปรยาย
55
กรณท สตรทนาสนใจคอ สตร Simpson ( , )
, , , , , … ,
คาผดพลาดเฉพาะถนคอ สาหรบบาง ,
เพอทจะใชสตรโดยชดแจงและโดยปรยาย จาเปนตองหาคา , , … , เสยกอนดวยระเบยบวธขนเดยว (single step method) เสยกอน เชน ใชระเบยบวธของ Runge-Kutta order 4
Predictor-Corrector Method
ระเบยบวธน เปนการใชสตร 2 สตรรวมกน โดยสตรหนงจะเปนสตรแบบชดแจง เรยกวา สตรตวทานาย (Predictor Formula) และอกสตรหนงเปนสตรโดยปรยาย
56
เรยกวา สตรตวทานาย (Predictor Formula) และอกสตรหนงเปนสตรโดยปรยาย ทมความแมนยาสงกวา เรยกวา สตรตวแก (Corrector Formula)
การใชสตรตวแก เรยกวา การทาซาภายใน (inner iteration)
ตองใชคตวทานายและตวแก ทมคาคลาดเคลอนอยในอนดบใกลเคยงกน มฉะนนแลวการทาซาภายในอาจจะไมลเขา
![Page 29: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/29.jpg)
13/02/55
29
Predictor-Corrector Method
สตรของ Adams-Bashforth-Moulton (ABM4)
57
Predictor
Corrector
ใชระเบยบวธแบบชนเดยว เชน RK เพอหาคา , , และ , , ,
1. คานวณ ดวยสตรตวทานาย ใหคาคานวณเปน ใ 2. ใชคา เพอคานวณ
3. คานวณ ดวยสตรตวแก 4. คานวณคา และทาซาในขอ 3 จนกระทง
Predictor-Corrector Method
คสตรตวทานาย-ตวแกอนๆ
58
สตรตวทานาย ใชสตรของ Milne
สตรตวแก ใชสตร Simpson
หรอ สตรตวแก ใชสตร Hamming
![Page 30: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/30.jpg)
13/02/55
30
Predictor-Corrector Method: Example
จงใชระเบยบวธตวทานาย-ตวแก หาคาของ ทจด . ของปญหาคาเรมตน
59
ทม เมอ โดยใช .
กาหนดใหคสตรทใชคอ
สตรตวทานาย ,
สตรตวแก , ,
Predictor-Corrector Method: Example60
, , ,
. .
,.. .
. . .
![Page 31: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/31.jpg)
13/02/55
31
Predictor-Corrector Method: Example61
. ,
..
. . .
.
. , . .
Predictor-Corrector Method: Example62
และได .
.
.
. .
ความคลาดเคลอนของสตรตวแกคอ เมอ
![Page 32: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/32.jpg)
13/02/55
32
Predictor-Corrector Method: Example63
ประมาณ ดวย และ . ไดความคลาดเคลอนไมเกน ประมาณ ดวย และ . ไดความคลาดเคลอนไมเกน . . แสดงวาผลเฉลยมความแมน 3 D.P.
,
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.
ปญหาคาเรมตนทมสมการเชงอนพนธอนดบ โดยทวไป มรปแบบเปน , , , … ,
โดยมเงอนไขคาเรมตน , , ...,
![Page 33: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/33.jpg)
13/02/55
33
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.
เมอให , , ..., ผลทไดคอระบบสมการ
; , , … ,และเงอนไขคาเรมตน , , ..., เมอ
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.
เขยนไดในรปแบบสมการเวกเตอรเชงอนพนธ ไดเปน , โดยม
เมอ
โดยท
;; ; , ;
; ; , , … ,
![Page 34: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/34.jpg)
13/02/55
34
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.
ระเบยบวธทใชหาผลเฉลยปญหาคาเรมตน , ทม เมอ ตอง
เปลยนปรมาณสเกลาร , , , , และ , , , ในสตรแบบ Runge-Kutta
หรอสตรอนๆเปนปรมาณเวกเตอร , , ; , และ , , ,
RK4 in vector form
สตรแบบ RK4 คอ
,
,
,,
, , , … ,
![Page 35: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/35.jpg)
13/02/55
35
ABM4 in vector form
สตรตวทานาย
สตรตวแก โดยท ;
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
จากปญหาคาเรมตน , , จงหาคาประมาณของ
. ดวยระเบยบวธ RK4
กาหนดให
ดงนน
, , ,
![Page 36: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/36.jpg)
13/02/55
36
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
ไดระบบสมการ ,
พรอมเงอนไข
โดยระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4
, . .
. .
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
.
, . . ..
.
..
..
, . .. .
..
![Page 37: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/37.jpg)
13/02/55
37
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
..
..
, . .. .
..
. .
จาก . . . .
. . ...
ดงนน . . และ . .
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
จงใชระเบยบวธตวทานาย-ตวแก เพอหาคา เมอ . กาหนดให และ
0.0 1 -1
0.1 0.895171 -1.094838
0.2 0.781397 -1.1787736
0.3 0.659816 -1.250857
![Page 38: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/38.jpg)
13/02/55
38
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
กาหนดให , , .
จาก
,
จาก
,
.. ,
.. ,
..
.
. ,
.
. ,
.
.
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
ใชสตรตวทานาย-ตวแก ABM4
สตรตวทานาย
..
. . . .. . ...
![Page 39: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/39.jpg)
13/02/55
39
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
จาก . และ
.
.
.
สตรตวแก
. ..
.
.
. ..
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
. .
..
∞.
แสดงวาผลเฉลยมความแมนยาถงทศนยมตาแหนงท 5 (5 D.P.)
. . และ . .
![Page 40: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/40.jpg)
13/02/55
40
Divided Different Method for BVP
ปญหาคาขอบ(BVP)ของสมการเชงอนพนธเชงเสน
,
การหาผลเฉลยเชงตวเลขจะตองเปลยนปญหาในระบบตอเนอง ใหเปนปญหาในระบบไมตอเนอง โดย
1. เปลยนโดเมนตอเนองของ ในชวง , เปนเซตของจดแบงชวง คอ , , … ,1. เปลยนโดเมนตอเนองของ ในชวง , เปนเซตของจดแบงชวง คอ , , … , 2. เปลยนสมการเชงอนพนธ เปนสมการผลตางสบเนอง 3. เปลยนเงอนไขคาขอบทกาหนดให เปนเงอนไขเกยวกบคาของ ทจดแบงชวงตางๆ
Differential Equation to Divided Different Form
จาก
ป ป ไ เมอแปลงเปนผลตางสบเนองจะได
, , … ,
![Page 41: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/41.jpg)
13/02/55
41
Divided Different Formula for Linear BVP
ให , และ จดรปใหมได
, , … ,
เมอแทนคาดชน จะไดระบบสมการเชงเสน มเมตรกซของสมประสทธเปนเมตรกซสามแนว
เฉยงททราบคาทกตว ระบบสมการนม สมการ และมตวไมทราบคาจานวน ตว
คอ , , … , ในขณะท และ
Existing of Solution
ถาเลอกขนาดของชวง ททาให โดยท | | เมตรกซของ
สมประสทธในระบบสมการ , , , … , จะมแนวทแยงมมขมแท จงมผลเฉลย
แนนอนและมเพยงผลเฉลยเดยว
![Page 42: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/42.jpg)
13/02/55
42
Divided Different for BVP: Example
จงหา ท . จากปญหาคาขอบ , , เมอ
ใช
แทน , , ใน
จะได
Divided Different for BVP: Example
สาหรบแตละคา จะได
แทนคา , , , , , จะไดระบบสมการ
. .. . .
. .
.
.
.
![Page 43: การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... · 2012-06-29 · 13/02/55 1 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042101/5e7d4cee62a1940ea061242e/html5/thumbnails/43.jpg)
13/02/55
43
Divided Different for BVP: Example
หาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน
ไดผลเฉลย . , . , .