Download - Aanalisis Elastoplastico de Vigas
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Universidad Nacional San Agustín
Facultad de Ingeniería Civil
Curso: Resistencia de Materiales 2
Ensayo elasto–plástico de una viga de acero simplemente apoyada con carga
concentrada sobre su centro de luz
Realizado por:
Victor Revilla V., Giancarlo Riquelme A., Ebherlin Quispe A.
Profesor:
Ing. Fidel Copa Pineda
Arequipa 24 de marzo de 2008
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RESUMEN.-
Básicamente este articulo esta referido al estudio del comportamiento inelástico de una
viga simplemente apoyada con una carga concentrada en su centro de luz, los resultados
de su análisis se obtienen al comparar el diagrama Momento-Curvatura experimental
con los resultados modelo teóricos.
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AGRADECIMIENTOS.-
Ingeniero Fidel Copa Pineda por motivar a la realización de este ensayo, a todas las
personas que apoyaron y facilitaron los materiales necesarios.
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TABLA DE CONTENIDO.-
-Resumen 02
-Agradecimiento 03
-Tabla de contenido 04
-Lista de figuras 05
-Lista de símbolos 06
-Cuerpo de texto
Introducción al análisis elasto-plástico de vigas 08
Modelo eslasto-plástico 08
Objeto de análisis 10
Datos y resultados 11
Curva carga – deflexión 11
Diagrama de esfuerzos 12
Diagrama momento – curvatura teórica 13
Diagrama momento – curvatura experimental 15
Diagramas en comparación 16
Diagrama de momento flector 17
Rotula plástica 17
Calculo de esfuerzos residuales 18
Diagrama de esfuerzos residuales 18
-Conclusiones 19
-Imágenes experimentales 21
-Referencias 23
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LISTA DE FIGURAS.-
Fig.1: Curva de modelo eslasto-plástico ideal desarrollado para análisis simplificado de
elementos sometidos a deformaciones plásticas. Pág. 09
Fig. 2: Diagramas de variación de deformaciones unitarias y esfuerzos para cada
momento flector. Pág. 09
Fig. 3: Representación del modelo, viga simplemente apoyada en los extremos con
carga puntual en el centro de luz. Pág. 10
Fig. 4: Diagrama de cargas vs deformación experimental. Pag. 11
Fig. 5: Diagrama de esfuerzos en la sección transversal de la viga. Pag. 12
Fig. 6: Diagrama momento – curvatura del modelo teorico. Pag. 13
Fig. 7: Calculo de la curvatura ultima. Pág. 15
Fig. 8: Diagrama momento – curvatura experimental. Pág. 15
Fig. 9: Diagramas momento – curvatura teórico y experimental juntos para análisis
comparativo. Pág. 16
Fig. 10: Grafica del diagrama de momento flector para la viga de la Fig. nº 3.
Pág. 17
Fig. 11: Formación de rotula plástica para cargas criticas sobre la viga. Pág. 17
Fig. 12: Diagrama de esfuerzos residuales. Pág. 18
LISTA DE TABLAS.-
Tabla Nº1 : datos experimentales de carga y deflexiones para los diferentes valores de
carga concentrada. Pag. 11
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LISTA DE SIMBOLOS.-
σ : Esfuerzos normales a la sección transversal
σf : Esfuerzo de fluencia
ε : Deformaciones unitarias
εf : Deformación unitaria bajo el punto de fluencia
εr : Deformación unitaria bajo el punto de rotura
y : Longitud de zona plástica
M: Momentos de flexión
Mp: Momento plastico
Mu: Momento ultimo
E: Modulo elástico del material
P: Carga concentrada
Pc: Carga concentrada critica
I: Momento de inercia de la sección transversal de la viga
ρ: Radio de curvatura
κ: Curvatura
L : Longitud de la viga
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1. INTRODUCCION:
La razón principal por las que el análisis de algunas estructuras no concuerda con las
preestablecidas es por que estas no obedecen las leyes elásticas es decir que su
comportamiento se acerca más al del análisis no lineal, inelástico o también llamado
elasto-plástico.
Entonces con el objeto de conocer el verdadero factor de seguridad de la estructura es
que debe conocerse la carga límite o carga que producirá la rotura del elemento
estructural y esto solo se lograra llevando a la estructura a comportarse inelasticamente.
Sabemos que en una estructura elástica las deformaciones son pequeñas debido tal vez a
un exceso en su rigidez, sobre-dimencionamiento etc. El elemento no deja rastro de
deflexión después de quitar su carga actuante.
Algo opuesto ocurre si el elemento estructural se comporta inelasticamente debido a que
este se mantendrá deformado aun después de su descarga, también es debido a esto por
el cual las estructuras con estas características disipan en grandes cantidades la energía
sísmica reduciendo sus aceleraciones.
El análisis plástico implica modelar el comportamiento no lineal de las vigas, e
interpretarlos a través de los diagramas Momento – Curvatura; causa principal que se
explicara en este articulo.
2. MODELO ELASTOPLASTICO
Para este análisis primero se considera un material cuyo comportamiento elasto-plástico
Es ideal, es decir que el análisis arrastrara siempre cierto margen de error con el cual
también nos evitamos de complicar el análisis.
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Figura Nº 1
Se puede ver que el comportamiento lineal del material esta definido por la línea con
pendiente que se inicia en el punto A, donde todos los esfuerzos contenidos obedecen
ala ley de Hooke, mientras que para el rango inelástico (línea horizontal), el esfuerzo
actuante es constante e igual al máximo esfuerzo en el cual la fibra mas alejada al eje
neutro de la sección sufre la primera deformación plástica.
Otra de las hipótesis que se sostiene es que la sección plana, permanece plana después
de la deformación.
A continuación a través de la figura 2 se explicara brevemente el comportamiento
interno de esfuerzos y deformaciones que se dan en la viga cuando esta sometida a
flexión.
Figura Nº 2
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Arriba se muestra el comportamiento siempre lineal de las deformaciones que van
incrementando conforme el momento actuante es mayor. En el caso, para el momento
M3, las fibras alejadas sufren su primera deformación plástica y para M5 los
desplazamientos elásticos prácticamente han desaparecido.
Abajo se muestra la distribución de esfuerzos para cada estado de carga, de la misma
forma la estructura se plastifica por primera vez para M3 y alcanzara el colapso cerca a
M5. El peralte plástico se incrementa progresivamente y3, y4, y5…
Para f E
Para f f
3. OBJETO DE ANALISIS
El material que representa el objeto de análisis, se trata de una barra de acero estructural
A-36 de sección cuadrada de 15mm de lado simplemente apoyada en sus extremos, el
cual es sometido a una carga creciente concentrada en su centro de luz (ver figura Nº 3)
de manera paralela al aumento de cargas de fueron midiendo las deflexiones en el punto
de máxima deformación, a continuación se muestra el esquema que representa el objeto
de análisis.
Figura Nº 3
Se hace la aclaración de que en los extremos de la viga, los tramos sobrepasan los
puntos de apoyo ya que para deflectarse sin alterarlos necesita de mayor longitud.
L
P
A B
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4. DATOS Y RESULTADOS
A continuación se muestra la tabla de datos medidos en el ensayo y seguidamente el
grafico que esta genera.
CARGA (kg) DEFLEXION (cm)
0 0
2.5 0
5 0.2
10 0.5
15 0.75
35 2.2
45 2.9
55 3.85
57.5 4.0
57.75 4.15
58 4.25
58.25 4.6
59.35 11.1
60.05 21
60.2 22.5
60.3 23.4
60.45 descontrolado
Tabla nº 1
Figura Nº 4
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 250
16
32
48
64
80
Carga vs Deflexion
60.3
carga
4.6 23.4
deflexion
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Se puede observar que por encima de los 40 kg de carga, la curva empieza a ser
inestable, entonces la carga máxima de comportamiento lineal.
Acero A-36 2
.2531cm
kgf y
kgPy .5.57 L
MP
y
y
4
4
y
y
PLM mkgM y .56.21
La curvatura correspondiente a este punto se calcula de la siguiente manera
IE
M y
y m
y
1251.0
El diagrama de esfuerzos que caracteriza a esta sección en particular es la siguiente
Figura nº 5
( ) E( ) E fyif
fy sign E( ) otherwise
50000000 0 500000000.004
0.002
0
0.002
0.004
Diagrama de Esfuerzos
0.003
0.003
( )
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De todo esto y las ecuaciones establecidas obtenemos el diagrama momento curvatura
teórico de nuestro modelo el cual nos servirá para la comparación de nuestros resultados
ensayados.
2max
hu
Figura nº 6
De la grafica también se puede obtener el momento máximo momento lineal a partir del
cual se forzara al elemento a plastificarse:
mkgM y 56.21
0 0.26 0.52 0.78 1.04 1.30
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
22.5
25
Diagrama Momento - Curvatura
M( )
umax
M m( )
m
m
( ) bumax
2
m2
d
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Si se trataría de un análisis lineal de la estructura, no es necesario hacer cálculos
inherentes del elemento estructural debido a que sus métodos, derivados todos de la ley
de Hooke, no toman en cuenta las propiedades de los mismos.
Ahora que no podemos recurrir a estos métodos como el método del área de momentos,
integración sucesiva o superposición; es entonces cuando buscamos otras maneras de
analizar la estructura plásticamente, en este articulo, se pretendió desarrollar este
análisis a través del diagrama momento – curvatura, el cual muestra la cantidad de carga
que origina reacciones en los apoyos y posteriormente momentos máximos en el centro
de luz, necesaria para deformar una viga de sección típica.
Con ello también cabe recalcar que para deformar la misma curva en vigas distintas
cuya diferencia es solo su sección transversal, se necesitaran valores de momentos
diferentes.
Como parte de los resultados es importante mostrar la comparación entre las curvas
teóricas y experimentales para observar el grado de confiabilidad del estudio.
Como se indico, nuestro análisis se dedica al estudio de una viga de acero de sección
rectangular con las siguientes dimensiones:
cmb 5.1 Longitud de la base del elemento viga
cmh 5.1 Altura o peralte del elemento
Ahora solo nos quedaría encontrar el momento y la curvatura del punto crítico donde se
produce el colapso.
kgPu .3.60 L
MP u
u
4
4
uu
PLM mkgM u 6125.22
Ahora solo queda hacer el cálculo de la curvatura para el cual se uso el siguiente
procedimiento:
- teniendo en cuenta que en el punto critico, se forma una curvatura el cual corresponde
ala rotula plástica y obedece la siguiente relación:
1
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- siendo el radio de curvatura, con ayuda de una imagen a escala y usando el
programa AutoCAD se pudo calcular dicho radio.
Figura nº 7
Como se muestra en la figura nº 7, m20.0
20.0
1
m
15
Por ultimo graficamos nuestra diagrama momento – curvatura experimental:
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Figura nº 8
Apreciando el diagrama de nuestro ensayo, podemos ver como la curvatura de la viga
aumenta rápidamente cuando el momento actuante es casi el mismo; la curva superior
se torna casi horizontal por lo que podemos decir que existe un momento crítico que
será responsable de llevar al colapso a la viga.
A este momento normalmente se le llama momento ultimo, el mismo que causará una
curvatura ultima, a partir del cual conllevara a la formación de una rotula plástica y
posteriormente al colapso.
Ahora graficamos ambas curvas en un solo plano cartesiano para poder hacer el análisis
comparativo grafico:
0 1.1 2.2 3.3 4.4 5.50
3.5
7
10.5
14
17.5
21
24.5
28
31.5
35
Diagrama momento - curvatura experimental
22.613
Mt
0.327 5
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Figura nº 9
Podemos ver que el grafico experimental se aproxima bien a la curva teórica por tanto
es muy posible que nuestros resultados no se alejen mucho de la realidad.
El diagrama de Momento flector correspondiente al rango elástico de nuestra viga es
útil para encontrar la carga crítica Pc por encima del cual el elemento empieza a
comportarse plásticamente a través de sus deformaciones.
Figura Nº 10
A continuación se muestra la rotula plástica que esta carga provoca sobre la viga.
0 1.1 2.2 3.3 4.4 5.50
3.5
7
10.5
14
17.5
21
24.5
28
31.5
35
Diagramas momento - curvatura (comparacion)
22.613
Mt
M( )
0.327 5
umax
6 4 2 0 2 4
3
2
1
1
2
Diagrama de momento flector
M x( )
x
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Todos los elementos sobre forzados fallan de acuerdo a la formación de una rotula
plástica en algún lugar donde el momento es máximo.
Estas rotulas plásticas se han convertido realmente en un problema no solo para las
estructuras de acero sino que también en las juntas o uniones estructurales como por
ejemplo la unión columna - zapata, los cuales son afectados severamente cuando entre
ellos se forma la rotula plástica por efectos sísmicos o exceso de momentos flectores en
el punto.
El caso es que en esta viga la rotula plástica ya era perceptible desde los 4.5 cm de
deflexión sobre el punto de apoyo de la carga.
Figura nº 11
Calculo de esfuerzo residual:
Por último queda calcular los esfuerzos residuales internos de la viga, los cuales se
manifiestan al momento de la descarga, es decir cuando la carga P puntual deja de
actuar sobre la viga.
Cuando la descarga sucede, el elemento sufre un momento recuperador contrario al
principal deformante el cual producirá esfuerzos contrarios (figura 12-b) y la viga
regresa a un estado plástico ya deformado pero lo hace linealmente con una trayectoria
paralela a línea elástica, si esto sucede la distribución de estos esfuerzos tendrá que ser
lineal tal como se muestra en la figura 12-b.
Superponiendo ambos estados, tendremos el diagrama de esfuerzos residuales en la
sección transversal de la viga (fig 12-c), a continuación se muestran los cálculos
realizados:
P
A B
ROTULA
PLASTICA
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Figura nº12
Sabemos que: 2
2531cm
kgy cmkgM u 3.2261
4422.0 cmI cmh 5.1
I
hM u
r2
422.0
)75.0()3.2261(r
24019
cm
kgr
De la figura 12-c, la altura en el cual los esfuerzos se hacen cero se calcula por relación
de triángulos:
y
2531
25.1
4019 cmy 47.0
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4. CONCLUSIONES
La rotula plástica se empieza a apreciar experimentalmente cuando se le aplica una
carga de 59.35 kg provocando una deflexión de 11.1cm y un momento de 22.26
kg.m .
El colapso se produjo con una carga constante de 60.45kg con deflexiones
incontrolables mayores a 23.4cm (deflexión causada por una carga anterior de
60.3kg).
La curvatura máxima fue m
15
El esfuerzo residual máximo se da en el plano del eje neutro con una magnitud de
2531kg/cm2
y de 1488kg/cm2 en los extremos superior e inferior mas alejados al eje
neutro.
El porcentaje de error de la curva experimental respecto de la curva teórica es de
6.7%
Uno de los factores que influyen en el porcentaje de error de nuestro ensayo se debe
a la fricción entre apoyo y elemento estructural, entre otros.
El punto de fluencia se da a una carga de 57.75 kg con una deflexión de 4.15cm,para
cargas menores el elemento se comporta elásticamente y cargas superiores harán
que el elemento se comporte plásticamente .
La forma de darnos cuenta que un ensayo se aproxima a la realidad es comparándolo
con las graficas o curvas teóricas, demostradas en base a modelos matemáticos que
representan al fenómeno, en nuestro experimento, la curva pasa un poco sobre la
curva teórica debido a la fricción del elemento con los apoyos, si se hubiera usado
apoyos patín tal como se plantea en nuestro modelo matemático, hubiéramos
obtenido mayor precisión.
Para analizar una estructura inelasticamente debemos modelar el comportamiento de
la estructura teniendo en cuenta que no todos los métodos son aplicables a este tipo
de análisis ya que derivan de la ley de Hooke, ley para análisis lineal.
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Las deformaciones por curvatura cambian drásticamente cuando actúa sobre el
elemento estructural cierto valor para el momento, conocido como momento último
y es generado por una carga crítica, en este caso puntual.
No debemos entender por análisis inelástico como un método que conllevara a la
rotura o falla del elemento sino mas bien es el análisis de las deformaciones
plásticas para una nueva aplicación del diseño no lineal elasto – plástico que de
seguro economizará los presupuestos de construcción dentro de los límites de
seguridad requeridos.
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REFERENCIAS.-
1) R.C. Hibbeler, Mecánica de materiales, sexta edición, 2006, 896 pgs.
2) F.T. Hodgson, Construcciones de acero, 1913, 149 pgs.
3) Fedosiev, Resistencia de materiales, MIR – Moscú
4) S. Popov, Introducción a la mecánica de sólidos, Cáp. Análisis elasto plástico de
vigas.
5) R.C. Hibbeler, Structural analysis, thirt edition, 1994, 728 pgs.
6) J. Dario Aristizabal, Estabilidad clásica de vigas - columnas con conexiones
semirigidas sobre una fundación elástica, Colombia, 15 pgs.
7) Michael samofalov – Vaidotas, FEM Stability analysis of tapered Beam –
columns, journal of civil engineering and management, vol XV, pgs 211-216.
8) G. Salzgeber, Elasto-plastic stability of columns with an unsymmetrically
strengthened I – cross section, A-8010 graz, lessingstr. 25, 10 pgs.
9) J.T. Celigueta, Resumen de análisis estructural, Ed. Eunsa, 2003, 19 pgs.
10) Beer Jhonston, Mecanica de materiales, cuarta edicion OLC