Abelian &Non-Abelian Abelian &Non-Abelian transformationstransformations
Abelian groups
transformations commute
Non-Abelian groups
transformations do not commute
phase phase invariance invariance in QEDin QED
2222 1221 SUSUSUSU
1111 1221 UUUU
isospin yang-isospin yang-mills theorymills theory
Dal 1948 osserviamo le particelle; notiamo qualche simmetria; cerchiamo quale campo di gauge può spiegarle : questo vuol dire determinare le
proprietà delle particelle scambaitrici (“virtuali”) associate al campo, che poi bisogna
scoprire sperimentalmente.
Non-Abelian Guage global SymmetryNon-Abelian Guage global Symmetry
““Any non-Abelian Any non-Abelian global symmetry global symmetry not hiddennot hidden reveal reveal itself in the itself in the existence of existence of multipletsmultiplets that are that are either exactly either exactly degenerate in degenerate in mass, if the mass, if the symmetry is exact symmetry is exact or nearly so if the or nearly so if the symmetry is broken symmetry is broken by small explicit by small explicit terms in the terms in the Hamiltonian”Hamiltonian”
Exactly degenerate in mass: Angular momentum multiplets,in the absence of electromagnetic field
Fino al ~ 1948: simmetrie di gauge per costruire la elettrodinamica quantistca (QED): l’invarianza di gauge come controllo dei calcoli e non come generatore di forza
invarianza per rotazione nello spazio di spin
isotopico delle interazioni forti.
Yang-Mills e la Yang-Mills e la conservazione conservazione
dello SPINdello SPIN ISOTOPICOISOTOPICO
13211315
119711921189
6.4976.493
5.1391355.139
5,9392.938
0
0
0
0
KK
np
simmetria globale non non abelianaabeliana
Broken: Strong Isospin
notare
• simmetria nascosta hidden symmetry
• simmetria rotta broken symmetry
• trasformazione (simmetria, gruppo) abeliana
• trasformazione (simmetria, gruppo) non abeliana
4lez5pfd
Strong Isospin Symmetry (nucleons,pions and other hadrons)
3I212
1
1II
protone (protone (pp) e neutrone () e neutrone (nn))
mmpp=938.28 MeV=938.28 MeV, , mmnn=939.57MeV=939.57MeV
m m
Perché considerarli diversi? Hanno una carica e.m. diversa, ma le interazioni forti non sentono la carica e.m..L’interazione forte è molto più forte dell’interazione e.m., che non conta molto.
(Heisemberg, 1932)Questo modo di ragionare ha portato all’idea che dobbiamo pensare Questo modo di ragionare ha portato all’idea che dobbiamo pensare pp e e n n come due stati dello stesso oggetto: come due stati dello stesso oggetto: il nucleoneil nucleone NN.. La carica La carica elettrica è una “etichetta” per distinguere i due stati, se ce ne è elettrica è una “etichetta” per distinguere i due stati, se ce ne è bisogno. È utile immaginare uno spazio, dettobisogno. È utile immaginare uno spazio, detto STRONG ISOSPIN STRONG ISOSPIN SPACESPACE, nel quale il nucleone N punta in una direzione: in , nel quale il nucleone N punta in una direzione: in susu se è un se è un pp, in , in giùgiù se è un se è un nn
Si assume che l’interazione forte sia invariante per rotazioni Si assume che l’interazione forte sia invariante per rotazioni
nello spazio di spin isotopiconello spazio di spin isotopico, , e si chiama questa e si chiama questa invarianzainvarianza::
SIMMETRIA di SPIN ISOTOPICO delle SIMMETRIA di SPIN ISOTOPICO delle INTERAZIONI FORTIINTERAZIONI FORTIIn effetti, si è osservato che approssimativamente l’interazione forte non cambia se si In effetti, si è osservato che approssimativamente l’interazione forte non cambia se si
scambiano p ed n. (charge symmetry and charge indipendence delle forze nucleari)scambiano p ed n. (charge symmetry and charge indipendence delle forze nucleari)
Questa Questa invarianza o simmetriainvarianza o simmetria è è rottarotta dall’interazione e.m.,dall’interazione e.m., ma tiene entro lo ma tiene entro lo 0,1%0,1%
Questa è una simmetria che ha un ruolo importante nell’ interazione Questa è una simmetria che ha un ruolo importante nell’ interazione di nucleoni,pioni e altri hadroni.di nucleoni,pioni e altri hadroni.
Ha però un ruolo molto importante anche da un punto di vista Ha però un ruolo molto importante anche da un punto di vista concettuale: ha contribuito allo sviluppo delle idee che hanno portato concettuale: ha contribuito allo sviluppo delle idee che hanno portato
alle moderne teorie di gaugealle moderne teorie di gauge: : le teorie di Yang-Millsle teorie di Yang-Mills. . Qui Qui ce ne occuperemo da questo punto di vista.ce ne occuperemo da questo punto di vista.
Quello che è veramente fondamentale è la Quello che è veramente fondamentale è la simmetria disimmetria di
isospin deboleisospin debolecome vedremo in seguito.come vedremo in seguito.
SIMMETRIA di SPIN ISOTOPICOSIMMETRIA di SPIN ISOTOPICOSIMMETRIA di SPIN ISOTOPICOSIMMETRIA di SPIN ISOTOPICO
n
pN Doppietto di SU(2)
I=1/2
3
2
1
HADRONS AS STATES IN SU(2) MULTIPLETS
Tripletto di SU(2) I=1
mp=938.28 MeV, mn=939.57MeV
2/21 i 30
m=139.57 MeV, m0=139.96MeV
23
BI
e
Q Q carica particella
e carica elettrone
B numero barionico
21
21
3I
1
0
1
3I
0
Esempio di simmetria
interna di particelle
pion nucleon interaction Lagrangian N
00
int nngppgpngnpgL nnppnppnagr
pn
Distrugge un antiprotone, crea un protone
Distrugge un neutrone,crea un neutrone
Non invariante per rotazione nello spazio interno di spin isotopico per qualsiasi g. Per esempio
nnpp ggnp
COME RENDERE INVARIANTE UNA LAGRANGIANA? UNO SCALARE È INVARIANTE PER ROTAZIONE. DATO CHE IL È UN VETTORE, DOBBIAMO FORMARE UN VETTORE CON N NN
PaulidimatriciNNgL iagr ,int
analogia con lo spin
0,potenziale del campo forte,ma anche operatore creazione e distruzione del
charge indipendence interaction Lagrangian
332211
321 01
10
0
0
10
01
i
i
0
0
321
213
2
2
i
i
n
pnpNN
0
0
2
2
np
npnp
0
0
2
2
00 22 nnpnnppp
2
1:
2
1:1:1::: nppnnnpp gggg
Calcolo prodotto Relazione tra 1,2,3 e
,int
NNgLagr
5int igLagr NNagr igL 5int
NNagr igL 3322115int
NNagr igL 335int 22
3555int 20
20
2
n
p
npp
npn
npagr gigigiL
353555int 22 nnppnppnpnnpagr igiggigiL
00
int nngppgpngnpgL nnppnppnagr
np
pn
np
pn
basic nucleon-nucleon interaction
pn
n
p
gp
p
p
n
n
ng g2 g2
force amplitude
222 2 ggg
0
Lo spin isotopico è un esempio di simmetria interna di particelle.
A questo tipo di simmetria si associa uno “spazio interno” e si richiede che l’interazione sia invariante per rotazioni in tale spazio
In questo modo si ottiene un’interazione della forma voluta.
Quando ci occuperemo dellp spin debole, vedremo che è il bosone W ad avere isospin debole 1
Non-Abelian Gauge Non-Abelian Gauge TheoriesTheories
n
pe
n
p i .
'
'
SPAZI INTERNI ESPAZI INTERNI E
INVARIANZA DI FASEINVARIANZA DI FASE
p e n sono nello spazio interno di spin isotopico forte SU(2):
n
p
trasformazione di trasformazione di fase per cui la fase per cui la
variazione è espressa variazione è espressa da un operatore nello da un operatore nello
spazio di spin spazio di spin isotopicoisotopico
Rotazione dallo stato N allo stato N’
n.b.: l’ordine delle rotazioni è importante, perche’ le rotazioni non commutano. kijkji i 2,
TRASFORMAZIONI
NON ABELIANE
commutatore
i parametri della rotazione
i matrici di Pauli
In linea di principio possiamo considerare particelle in una rappresentazione di un gruppo qualsiasi, ed applicare la trsformazione appropriata
Se le particelle a1,a2,a3 portano numeri quantici in uno spazio SU(3), si ha:
3
2
1
3
2
1
'
'
'
a
a
a
e
a
a
ai
)3(,......,
,......,
821
821
SUdimatrici
rotazionediparametri
I quark hanno questo grado di libertá: il COLORECOLORE
Quali sono gli spazi interni della fisica delle particelle?
Sperimentalmente si è verificato che gli “spazi” che descrivono tutte le particelle conosciute oggi, e le loro proprietà sono:
SU(3)(COLORE) interazione forte SU(3)(COLORE) interazione forte SU(2) e U(1) interazione elettrodeboleSU(2) e U(1) interazione elettrodebole
Si vedrà in seguito che uno spazio nel quale delle particelle portano numeri quantici non banali, conduce ad una interazione tra particelle mediate da nuovi bosoni di gauge
L’invarianza di fase della teoria quantistica (gauge L’invarianza di fase della teoria quantistica (gauge invariance) deve esistere per trasformazioni in questi invariance) deve esistere per trasformazioni in questi “spazi interni”. “spazi interni”.
STANDARD MODELSTANDARD MODEL
SU(3)(COLORE) interazione forte SU(3)(COLORE) interazione forte SU(2) U(1) interazione elettrodeboleSU(2) U(1) interazione elettrodebole
TEORIE di GAUGE NON-ABELIANE per QUARK e LEPTONITEORIE di GAUGE NON-ABELIANE per QUARK e LEPTONI
invarianza di gauge locale invarianza di gauge locale teorie di Yang-Millsteorie di Yang-Mills
Si può dimostrare che teorie di guage non-abeliane sono Si può dimostrare che teorie di guage non-abeliane sono pienamente gauge –invarianti, cioè esiste un insieme di pienamente gauge –invarianti, cioè esiste un insieme di trasformazioni per trasformazioni per ee i bosoni di gauge i bosoni di gauge che fa si che che fa si che DD si si trasformi cometrasformi come
Quark e leptoni hanno “etichette” ( o numeri quantici) che permettono di Quark e leptoni hanno “etichette” ( o numeri quantici) che permettono di distinguere 3 “spazi interni.”distinguere 3 “spazi interni.”
““weak” weak” isospinisospin
d
u
s
c
b
t
ee
rappresentazioni rappresentazioni in in uno spazio di uno spazio di isospin isospin deboledebole
3. 3. Nessuna Nessuna particella particella liberalibera è invariante per è invariante per una trasformazione di una trasformazione di gauge non-Abeliana gauge non-Abeliana dato che dato che non è non è invariante l’equazione invariante l’equazione di SCHROEDINGERdi SCHROEDINGER
1.1. Si richiede invarianza in Si richiede invarianza in
trasformazioni trasformazioni localilocali2. 2. Questo equivale a fare i Questo equivale a fare i
parametri dipendenti parametri dipendenti dal tempo e dallo dal tempo e dallo spazio.spazio.
txtx ii ,);,(
4. Covariant derivatives: Covariant derivatives: generalizzazione del generalizzazione del caso “abeliano” U(1)caso “abeliano” U(1)
2SU
),(,', ),( xtextxt xti
),(,', xtextxt i
),(,', xtextxt i
),()1( txU
3SU
Passando da U(1) a SU(2), abbiamo bisogno di 3 campi quadrivettoriali (Passando da U(1) a SU(2), abbiamo bisogno di 3 campi quadrivettoriali () ) Con U(1) abbiamo bisogno di un ACon U(1) abbiamo bisogno di un A ; con SU(2) abbiamo bisogno di W; con SU(2) abbiamo bisogno di Wi i
per per ogni ogni ii..
igAD
WigD22
U(1)
SU(2)gg22 arbitraria arbitraria la forza dell’interazione la forza dell’interazione
WWii necessario, per l’invarianza per rotazioni di weak isospinnecessario, per l’invarianza per rotazioni di weak isospin
Questa è un’equazione di matrici 22
Come cambia WCome cambia Wii con una trasformazione di gauge? con una trasformazione di gauge?
kjijkii Wg
W 2
1
DeD i''
iii WWW '
ie'Dato che si deve avere
Si assume che: . Si deve determinare iWSi puó dimostrare cheSi puó dimostrare che
Esiste quindi una soluzione non Esiste quindi una soluzione non banale consistente con l’ipotesi banale consistente con l’ipotesi della gauge invarianza di una della gauge invarianza di una teoria non-Abeliana!teoria non-Abeliana!
analogo a U(1) (abelian)
eA / trasformazione di un vettore per rotazione (non-
abelian)
Dimostrazione
kjijkii Wg
W 2
1 DeD i
''
jjii iWigD 12' '
2''
2122 22
jjiiii
iWigWig
442
22
22
22
jiiijiiijj
iiii
WigWigi
WigWig
21 22
jjii
i
WigiDe
42
22
2
22
jiiijj
iiii
Wigi
WigWig
242 22
iijjiijj
iWgWig
42
22
2
22
jiiijj
iiii
Wigi
WigWig
j
jiiii iWigWig
222 22
2
42 22
ii
jjiijj
i
WgWig
42 jjii Wg
ijjijiiiii Wi
gW
2
1
2
01
2
jiijkiii W
gW
kjijkii Wg
W 2
1
OSSERVAZIONEOSSERVAZIONE
abbiamo quindi visto una derivazione esplicita del fatto che una teoria non abelianateoria non abeliana può essere pienamente gauge-invariantegauge-invariante
esiste cioè un set di trasformazioni per esiste cioè un set di trasformazioni per e e WW tali per cui tali per cui DD si trasforma come si trasforma come
non è un risultato banale che esista una soluzione consistente
WigD
22
covariant covariant derivativederivative per per doppietti di doppietti di SU(2)SU(2)
fermioni fermioni sinistrorsisinistrorsi
Bisogna generalizzare questo risultatoBisogna generalizzare questo risultato
1.1. spazio interno di weak isospin . spazio interno di weak isospin . in una diversa in una diversa rappresentazionerappresentazione.
weak isospin weak isospin t,t, con con (2t+1)(2t+1) componenti , componenti ,TT è la rappresentazione è la rappresentazione operatore matriciale operatore matriciale (2t+1)(2t+1) (2t+1) (2t+1) dei generatori di SU(2) in quella dei generatori di SU(2) in quella base.base.
2.2. Consideriamo un diverso spazio internoConsideriamo un diverso spazio interno
SU(n) invariance con generatori in uno spazio vettore a (nSU(n) invariance con generatori in uno spazio vettore a (n2 2 -1)-1)
dimensioni, e , allora dimensioni, e , allora
WTigD
2
F
kijkji FicFF
GFigD n
La natura ci offre uno spazio interno “di colore”
SU(3) richiede (n2-1)= (9-1)=8 bosoni di gauge
SU(2)
SU(3)
i Gi G sono i bosoni di gauge che devono essere introdotti per avere una teoria sono i bosoni di gauge che devono essere introdotti per avere una teoria di gauge invariante.di gauge invariante.
Sommando a svariati termini siamo sicuri di poter scrivere un differenziale covariante D che ci permetterá di scrivere Lagrangiane gauge-invariant per trasformazioni di gauge , simultaneamente o separateamente in tutti gli spazi interni
MAIN MAIN EQUATION EQUATION OF THE OF THE STANDARD STANDARD MODELMODEL
Il campo abeliano di U(1) è BIl campo abeliano di U(1) è B. Dimostreremo che in natura questo . Dimostreremo che in natura questo campo coincide con Acampo coincide con A, il campo e.m, cioè il fotone., il campo e.m, cioè il fotone.
Y è chiamato “Hypercharge generator”ed e’un numeroY è chiamato “Hypercharge generator”ed e’un numero
è un quadrivettore di Lorentz, come tutti gli altri termini è un quadrivettore di Lorentz, come tutti gli altri termini dell’equazione. dell’equazione.
singoletto singoletto in SU(2) in SU(2) ed SU(3)ed SU(3)
singoletto in U(1) singoletto in U(1) ed SU(3). Matrice ed SU(3). Matrice 222 in SU(2)2 in SU(2)
singoletto in U(1) singoletto in U(1) ed SU(2). Matrice ed SU(2). Matrice 333 in SU(3)3 in SU(3)
arbitrarirealinumerig
i
GigWigBY
igD
ii
aa
ii
3,2,1,
321
8....2,13,2,1
222
BY
ig21
i
iWig22
a
a Gig23