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402874 - Escola Secundária S. Pedro – Vila Real
Matemática - 8.º Ano
Nome:_________________________________________________________ N.º_____ Turma____ Janeiro 2009
Máximo Divisor Comum
Actividade 1:
A D. Zita, tem 100 rosas amarelas e 60 rosas vermelhas.
Pretende dividi-las por diversos ramos, contendo, cada um, o mesmo número de rosas de cada cor.
Claro que pretende fazer o maior número possível de ramos sem deixar nenhuma rosa de fora.
1. Para ajudar a D. Zita a resolver este problema, complete o seu raciocínio:
2. A D. Zita pode fazer 4 ramos? E 5 ramos? E 10 ramos?
3. Tendo em atenção as alíneas anteriores, risque o que não interessa:
“O número de ramos é múltiplo/divisor comum do número de rosas de cada cor.”
4. Calcule os divisores de 100 (D100).
5. Calcule os divisores de 60 (D60).
6. Copie e complete:
7. Escreva o conjunto dos divisores comuns de 100 e de 60 (D100∩D60).
8. Qual é o maior (máximo) divisor comum de 100 e 60 (m.d.c.(100, 60))?
9. Quantos ramos pode, no máximo, a D. Zita fazer e quantas rosas de cada cor deve ter cada um deles?
10. Decomponha 100, 60 e o m.d.c.(100, 60) em factores primos.
11. Escreva o produto dos factores primos comuns, de menor expoente, de 100 e 60. Compare com o m.d.c.(100,
60). Que conclui?
O máximo divisor comum (m.d.c.) entre dois ou mais números é o maior dos divisores comuns desses números.
O máximo divisor comum de dois ou mais números decompostos em factores primos é igual ao produto dos
factores primos comuns, cada um elevado ao menor expoente.
Dois ou mais números são primos entre si quando o seu máximo divisor comum é 1.
Exercício: Considere os pares de números:
36 e 24 8 e 15 4 e 22 12 e 21
1. Determine o máximo divisor comum de cada par de números
2. Quais dos pares de números anteriores são primos entre si?
Mínimo Múltiplo Comum
Actividade 2 (A situação criada nesta actividade não é real):
Os cometas Alei e Talei são visíveis a partir da Terra,
respectivamente de 20 em 20 anos e de 30 em 30 anos.
Os cientistas detectaram que em 2002 ambos foram avistados a partir da Terra e pretendem saber quantas vezes
essa coincidência voltará a acontecer até 2150.
1. Para resolver este problema preencheram o seguinte quadro. Copie-o e complete-o.
Aparições
Cometa Alei Cometa Talei
20 anos (2022) 30 anos (2032)
40 anos ( ) 60 anos ( )
2. Os valores que se encontram, à esquerda, na primeira coluna são múltiplos ou divisores de 20?
3. Os valores que se encontram, à esquerda, na segunda coluna são múltiplos ou divisores de 30?
4. Calcule os 10 primeiros múltiplos de 20 (M20).
5. Calcule os 10 primeiros múltiplos de 30 (M30).
6. Escreva o conjunto dos múltiplos comuns de 20 e 30 (M20∩M30).
7. Qual é o menor (mínimo) múltiplo comum de 20 e 30 (m.m.c.(20, 30))?
8. Depois de 2002, quando é que os dois cometas voltam a ser visíveis, simultaneamente, a partir da Terra?
9. Quantas vezes essa coincidência voltará a acontecer até 2150?
10. Decomponha 20, 30 e o m.m.c.(20, 30) em factores primos.
11. Escreva o produto dos factores primos de maior expoente, comuns e não comuns a 20 e 30. Compare-o com o
m.m.c.(20,30). O que conclui?
O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) entre dois ou mais números é o menor dos múltiplos comuns desses números.
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números decompostos em factores primos é igual ao produto dos
factores primos comuns e não comuns, cada um elevado ao maior expoente.
Exercício: Já sabia que para adicionar números representados por fracções é necessário que estas tenham o mesmo
denominador. Uma forma prática de o encontrar é calcular o mínimo múltiplo comum dos diferentes denominadores
envolvidos.
Calcule:
1.
2.
3.
4.
5.
Actividade 3:
Copie e complete a seguinte tabela:
a b m.m.c.(a, b) m.d.c.(a, b) m.m.c.(a, b)x m.d.c.(a, b) axb
6 15
12 16
24 72
Observe a quinta e a sexta colunas da tabela. O que conclui?
Bom Trabalho!