CO
LE
GIU
L
NATIONAL BARBUS
TIR
BE
I
x=b
+c2
x= a xb2
Z= b+ai
b3a
x= y-
y2a
x= b -2
14x - b -2
22
4
x - 3 -2
2
b
a
sinaa sinb
b singc
==
Q
P
f(c+ x)D
c+ xD
f (c)
c
Adecvarea demersului didactic
la realită"ile interne ale sistemului de învă"ământ
Adecvarea demersului didactic
la realită"ile interne ale sistemului de învă"ământ
Coordonator:
Inspector Școlar:
prof. Gheorghe Stoianovici
Membrii catedrei de matematică:
Constantin Irina
Ionescu Corina Mihaela
Iscru Gabriela
Marinache Dan
Moisescu Ica Daniela
Membrii catedrei de matematică:
Constantin Irina
Ionescu Corina Mihaela
Iscru Gabriela
Marinache Dan
Moisescu Ica Daniela
Coordonator:
Inspector Școlar:
prof. Gheorghe Stoianovici
8 decembrie 20178 decembrie 2017
Activitate metodică:
COLEGIUL NAŢIONAL „BARBU ŞTIRBEI” CĂLĂRAŞI
Str. Prelungirea Bucureşti, Nr. 133-147Telefon 0242312968Fax – 0242312343
E-mail: [email protected]: http://cnbs.ro
ACTIVITATE METODICĂ MATEMATICĂ
SEM. I, AN ȘCOLAR 2017-2018
COLEGIUL NAȚIONAL BARBU ȘTIRBEI, CĂLĂRAȘI,
08.12.2017
ORA 11.00 – Laborator biologie (demisol)
1. Lecție demonstrativă cu tema–Adecvarea demersului didactic la realitățile
interne ale sistemului de învățământ având drept obiectiv pregătirea elevului
pentru viață, în general, și pentru integrarea socio-profesionala, în special.
Prof. Marinache Dan
ORA 12.00 – etaj 1, sala 6
2. Dezbatere având ca subiect afirmația domnului Andreas Scheleicher,
directorul OECD pentru educație: „În România, evaluarea elevilor este dominată
de examinări cu mize importante, care limitează procesul de învăţare şi
promovează o definiţie restrânsă a succesului.”
Membrii catedrei de matematică:
Prof. Constantin Irina
Prof. Ionescu Corina-Mihaela
Prof. Iscru Gabriela
Prof. Marinache Dan
Prof. Moisescu Ica Daniela
Coordonator: Inspector școlar, prof. Gheorghe Stoianovici
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
3
3
ROLUL EVALUĂRII ȘI EXAMINĂRII PENTRU
ÎMBUNĂTĂȚIREA EDUCAȚIEI
Sistemul de învăţământ din România a înregistrat progrese semnificative în ultimele decenii, consolidându-şi instituţiile şi îmbunătăţind rezultatele învăţării la nivelul elevilor. Totuşi, deşi oferă unora dintre elevi şansa de a excela, mulţi alţii nu stăpânesc competenţele de bază şi aproape o cincime renunţă la şcoală înainte de a absolvi învăţământul liceal. Crearea unui sistem de învăţământ în care toţi elevii au acces la educaţie de calitate şi sunt sprijiniţi să dea tot ce e mai bun va îmbunătăţi performanţele şi procesul de învăţare, sprijinind astfel bunăstarea individuală şi creşterea la nivel naţional.
În Romania, evaluarea elevilor este dominată de examinări cu mize importante, care limitează procesul de învăţare şi promovează o definiţie restrânsă a succesului. Plasarea învăţării în centrul evaluării va permite reechilibrarea acesteia şi recunoaşterea abilităţilor şi a intereselor tuturor elevilor, oferindu-le şansa să dea tot ce e mai bun. România implementează în prezent, un nou curriculum ambiţios, centrat pe învăţarea ghidată pe elevi şi dezvoltarea competenţelor cheie. Are astfel, oportunitatea de a realiza o transformare mai profundă la nivelul a ceea ce se evaluează şi se predă la clasă în întreaga ţară. Consolidarea sistemului de evaluare şi examinare în sensul stabilirii unor aşteptări ridicate pentru toţi elevii şi a unor practici formative care să contribuie la dezvoltarea elevilor, a profesorilor şi a şcolilor, va juca un rol esenţial în realizarea acestei transformări şi crearea unui sistem de învăţământ mai echitabil, în care toți elevii au acces la educaţie de calitate.
Pentru asigurarea unei dezvoltări incluzive este crucial ca toţi tinerii români să aibă acces egal la educaţie de calitate. România oferă doar unui număr redus de elevi şansa de a excela. Cei din vârf dau dovadă de acelaşi nivel de cunoştinţe şi abilităţi sofisticate ca și colegii lor din alte state UE şi OCDE. Însă mult mai mulţi tineri români nu stăpânesc competențele de bază necesare participării pe deplin în societate.
Potrivit Programului de evaluare internaţională a elevilor (PISA) implementat de OCDE, aproape jumătate (40%) dintre elevii români nu deţin abilităţile cognitive fundamentale de care au nevoie pentru învăţarea pe tot parcursul vieţii şi ocupare productivă (OCDE. 2016).Ratele abandonului şcolar sunt în creştere, în special în mediul rural, şi unul din cinci elevi nu reuşeşte să treacă în învăţământul secundar superior, care este recunoscut de către majoritatea ţărilor ca fiind nivelul minim de studii necesar într-o economie a cunoaşterii. Asigurarea că toți elevii români termină învăţământul secundar
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
4
4
înzestraţi cu abilităţi fundamentale este esenţială tranziţiei continue a ţării spre un nivel superior de dezvoltare şi bunăstare.
Sistemele de educaţie eficiente prezintă un nivel ridicat de calitate şi echitate, oferind tuturor elevilor sprijin pentru a reuşi. Un sistem de evaluare şi examinare bine structurat poate încuraja învăţarea şi incluziunea în diverse moduri. Cel mai important pentru România, un astfel de sistem poate comunica o viziune potrivit căreia fiecare elev, profesor şi şcoală are şansa de a reuşi. Poate include politici şi practici care promovează standarde înalte de educaţie pentru toţi copiii, indiferent de mediu sau zona geografică. De asemenea, îi poate scoate la lumină pe cei care întâmpină dificultăţi şi poate contribui la înţelegerea cauzelor astfel încât nimeni să nu fie lăsat în urmă şi toţi elevii să aibă şansa de a obţine rezultate bune.
Mai important, prin crearea unui cadru de dialog deschis, reflecţie şi feedback periodic în vederea
identificării punctelor slabe şi a perceperii greşelilor ca o şansă de a învăța ceva, evaluarea şi examinarea pot contribui la dezvoltarea încrederii. În sistemul de învăţământ foarte centralizat al României, creşterea încrederii şi a auto-eficacităţii vor fi esenţiale pentru ca procesul de asigurare a calităţii să treacă progresiv de la control guvernamental la o mai mare auto-reglementare şi responsabilizare a profesorilor şi şcolilor. Acest lucru este important pentru asigurarea unui grad mai mare de autonomie şi leadership în educaţie la nivelul celor care sunt cel mai aproape de elevi şi de nevoile lor de învăţare.
Sistemul de evaluare şi examinare al Romanici a înregistrat numeroase progrese de la ultima “Analiză a educaţiei din România”, realizată de OCDE în anul 2000 (OCDE, 2000). Legea educaţiei din 2011 prevede o viziune incluzivă, potrivit căreia evaluarea susţine abordarea mai individualizată a procesului de învăţare al elevilor şi toţi elevii beneficiază de o educaţie de calitate. Această viziune este reflectată de noul curriculum, centrat pe învăţarea ghidată de elevi şi pe dezvoltarea competenţelor cheie, putându-se astfel realiza o transformare mai profundă a ceea ce se apreciază şi se predă la clasă în România. Însă cadrul general de evaluare și examinare nu se aliniază perfect la aspirațiile referitoare la un sistem mai centrat pe elevi și competențe,în care examinarea permite dezvoltarea învățării. Ponderea semnificativă a evaluărilor naționale cu mize importante oferă șanse reduse personalului didactic și elevilor de a dezvolta abordări mai individualizate ale învățării. Acest lucru este exacerbat de procesele de evaluare a cadrelor didactice şi şcolilor, puternic centrate pe responsabilizare şi în care rezultatele testărilor joacă un rol important. Dublaţi de politizarea liderilor din educaţie la nivel local şi centralizarea sistemului de învăţământ, aceasta face ca profesorii şi şcolile să nu prea aibă acces la un proces deschis şi constructiv de auto-reflecţie sau la resursele ori autonomia necesare pentru a aduce îmbunătățiri.
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
5
5
Schimbările pozitive vor necesita şi alocarea de resurse adecvate. În România, educaţia suferă din cauza unei subfinanţări cronice, cheltuielile pe elev în învăţământul primar și secundar fiind sub o treime din media UE. Recomandările prezentei analize – precum si întărirea abilităţilor de evaluare formativă ale profesorilor, dezvoltarea capacităţii şcolilor de a realiza îmbunătăţiri şi crearea unei culturi caracterizate prin feedback constructiv și îndrumare pozitivă - se numără printre cele mai eficiente şi eficace moduri prin care România poate investi resurse suplimentare în îmbunătăţirea procesului de învăţare. De asemenea ,este clar că, dacă nu se modifica practicile de examinare şi evaluare şi nu se iau, în special, măsuri de reducere a impactului evaluărilor naţionale asupra sistemului în general,celelalte investiţii ,pe care le realizează România în momentul de faţă pentru a micşora rata abandonului școlar și nivelul slabelor performante ,au mai puține șanse de a atinge impactul scontat.
Importanţa testării sumative a elevilor este recunoscută în România. Elevii sunt încurajaţi să obţină rezultate bune la evaluările naţionale, de care depinde admiterea la liceu şi universitate Acest accent pus pe performanţele foarte bune la examene stabileşte obiective clare pentru elevi şi profesori. Totuşi, creează o definiţie extrem de restrânsă a succesului şi nu lasă loc unor păreri mai diversificate cu privire la rezultatele învăţării, potrivit cărora elevii cu aptitudini şi interese diferite pot reuşi, dincolo de performanţele academice. Mai mult limitează şansele profesorilor de a-şi exprima părerea profesională prin testări la clasă şi feedback oferit elevilor, care stă la baza evaluării formative, fiind unul dintre cele mai eficiente moduri de a sprijini performanţele educaţionale.
România poate încuraja obţinerea unor rezultate mai bune în rândul elevilor plasând învăţarea elevilor în centrul examinării. Practic, aceasta presupune clarificarea scopului evaluărilor naţionale, al testărilor naţionale şi al testărilor la clasă, a rolului acestora în procesul de învăţare al elevilor şi structurarea lor în conformitate cu scopul urmărit. Crearea unui sistem în care testarea susţine învăţarea depinde și de competenţele de evaluare ale cadrelor didactice. Pentru ca examinarea să sprijine învăţarea, profesorii români trebuie să fie ajutaţi să îşi exprime părerea profesională, printr-o instruire mai bună,dezvoltare profesională şi resurse pentru evaluare, beneficiind totodată şi de oportunităţi adecvate în acest sens.
( din studiul OCDE privind evaluarea și examinarea în domeniul educației-Romania 2017)
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
6
6
APLICAȚIILE GOOGLE PENTRU EDUCAȚIE
Acest subiect este prezentat într-o manieră profesionistă și extrem de detaliat pe site-ul
www.eduapps. De altfel informațiile prezentate în continuare sunt preluate de acolo.
Consultând acest site puteți afla modalitatea de implementare a GOOGLE SUITE FOR
EDUCATION în fiecare din liceele dumneavoastră. Astfel puteți accesa toate aplicațiile GOOGLE
concepute pentru îmbunătățirea predării, învățării la orice disciplină și bineînțeles pentru
îmbunătățirea comunicării profesor-elev.
Beneficii pentru școală Informații esențiale
Beneficii pentru profesori
17 motive pentru care să folosești Google Classroom
1. Disponibil oricând de pe
orice dispozitiv indiferent
de sistemul de operare.
2. Un pachet de instrumente
pentru colaborarea la clasă
și o educație în pas cu
tehnologia .
A. Disponibilitate
99,9% fără
întreruperi
programate.
B. Număr nelimitat de
utilizatori pentru
fiecare nume de
domeniu al școlii.
Instrumente intuitive ușor de folosit la clasă care nu necesită o instruire intensivă și oferă economie de timp și energie.
O mai bună colaborare profesor – elev și comunicare în timp real.
Elevii lucrează împreună și folosesc simultan documentele care se salvează în mod automat (pregătiți pentru lucrul în echipă în viitor).
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
7
7
1.Aplicație gratuită și sigură
2.Aplicație accesibilă oriunde și oricând
3.Ușor de configurat
4.Adăugați ușor elevii la curs
5.Gestionați mai multe cursuri
6.Predați împreună cu alți profesori
7.Creați șabloane printr-un sigur clic
8.Creați materiale de evaluare complexe
9.Personalizați temele
•13.Păstrați resursele într-un singur loc
• 12.Personalizați tema cursului
• 11.Creați rapid sondaje de opinie
• 10.Pregătiți conținutul unui curs în avans
14.Lucrați în cel mai
organizat mod
15.Evaluați și acordați
note rapid și ușor
17.Oferiți feedback în
timp real
16.Comunicați rapid,
eficient și în timp real
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
8
8
DEPTH OF KNOWLEDE(DOK)
Pentru profesori, cea mai mare provocare este aceea care ține de activitatea lor
zilnică:„Cum să creez împrejurările, mediul și atmosfera cele mai favorabile pentru a ajuta elevii
să învețe la un nivel înalt?”Un instrument care poate ajuta profesorii în acest demers este
Norman Webb’s Depth of Knowledge . Modelul propus de Webb(1997) se bazează pe ipoteza
că elementele curriculare se pot clasifica pe baza cerințelor cognitive necesare pentru a
produce un răspuns acceptabil. Fiecare grupare de sarcini reflectă un nivel diferit de așteptare
cognitivă sau profunzime a cunoștințelor necesare pentru a îndeplini sarcina.
Depth of Knowledge =Profunzimea sau complexitatea cunoștințelor necesare înțelegerii și
rezolvării unei întrebări de evaluare.
În cartea 5 Principles of the Modern Mathematics Classroom, Creating a Culture of
Innovative Thinking-Gerald Aungst descrie în mod sugestiv cele patru nivele DOK întâlnite în
practica predării matematicii:
Nivel 1 (Aducerea aminte și reproducerea )
Sarcinile la acest nivel necesită reamintirea faptelor
sau aplicarea mecanică a unor algoritmi simpli. Sarcina nu
necesită nici un efort cognitiv dincolo de reamintirea
răspunsului sau formulei corecte. Reproducerea,calculele
elementare, înțelegerea semnificației problemei și
identificarea sunt sarcini tipice de nivel 1. Reamintirea
conceptelor matematice de bază și aplicarea algoritmilor
reținuți sunt sarcini specifice acestui nivel. Exercițiile
matematice reprezintă echivalentul cognitiv al portativului
din muzică, mânuirea mingiei în sport și dexteritatea de a
folosi cuțitul de către un șef bucătar. Toate acestea sunt
foarte important de a fi făcute de un practician dar, cu
siguranță, ele nu constituie o performanță completă.
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
9
9
Nivel2 (Abilități și concepte)
La acest nivel, un elev trebuie să ia unele decizii cu privire la abordarea sa. Sarcinile cu
mai mult de un pas mental, cum ar fi compararea, organizarea și estimarea, sunt de obicei de
nivelul 2. Problemele matematice(de acest nivel) ar trebui să includă momente când elevul
trebuie să aleagă din mai multe căi sau algoritmi bine definiți/precizați/clari sau trebuie să
utilizeze un algoritm într-un mod neconvențional dar direct.
Nivelul 3 (Gândirea strategică)
La acest nivel de complexitate, elevii
trebuie să folosească planificarea și dovezile,
iar gândirea este mai abstractă. O sarcină cu
mai multe răspunsuri valide în care elevii
trebuie să-și justifice alegerile este o sarcină
de nivelul 3.
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
10
10
Nivelul 4 ( Gândirea extinsă)
Sarcinile specifice acestui nivel de gândire necesită cel mai complex efort cognitiv.
Elevii sintetizează informații din mai multe surse, de multe ori într-o perioadă extinsă de timp,
sau transferă cunoștințe dintr-un domeniu pentru a rezolva probleme în altul. Proiectarea
unui sondaj și interpretarea rezultatelor, analizarea mai multor texte pentru extragerea unor
teme sau scrierea unui mit original într-un stil vechi sunt exemple de sarcini de nivel 4. O
sarcină de matematică de nivel 4 implică mai multe surse de date brute sau probleme
complexe care necesită inovație, gândirea fără o cale de soluționare rutinieră.
Subiect Arie și perimetru Probabilități Funcția de gradul II
Dok 1
exemplu
Să se determine
perimetrul unui
dreptunghi ale cărui
laturi au 4 unități și 8
unități.
Care este probabilitatea
ca aruncând 2 zaruri (cu 6
fețe fiecare)să apară fața
cu numărul 5.
Să se determine rădăcinile și
maximul funcției de gradul 2:
Dok 2
exemplu
Scrie dimensiunile a 3
dreptunghiuri diferite
având fiecare
perimetru de 20 de
unități.
Ce valoare/valori are o
probabilitate de apariție
de 1/12 atunci când sunt
aruncate 2 zaruri( cu 6
fețe fiecare)
Construiți 3 funcții de gradul 2
care au rădăcinile 3 și 5,dar au
maximele și/sau minimele diferite.
Dok 3
exemplu
Care este aria maximă
a unui dreptunghi cu
perimetrul de 24
unități.
Completați spațiile goale
folosind numai odată
numere de la 1 la 9 astfel
încât să obțineți o
afirmație adevărată.
Apariția sumei de ____
atunci când sunt
aruncate 2 zaruri cu ___
fețe are aceeași
probabilitate cu apariția
sumei de ___ atunci când
sunt aruncate 2 zaruri cu
___ fețe.
Dați exemplu de o funcție de
gradul 2 de tipul de mai jos ,cu
cea mai mare valoare maximă,
utilizând numai odată numere de
la 1 la 9.
□ □ +□
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
11
11
S-ar putea să te întrebi în acest moment: "Ei bine, care este dozajul problemelor de
un anumit nivel? Cât de des trebuie create sarcini la fiecare nivel? Care este secvența
potrivită? "Nivelurile DOK nu sunt secvențiale. Elevii nu trebuie să stăpânească/parcurgă
integral conținutul cu sarcinile de nivel 1 înainte de a efectua sarcinile de nivel 2. De fapt, o
sarcină de nivel 3 interesantă poate oferi context și motivație pentru ca elevii să se angajeze
în învățarea de rutină de la nivelurile 1 și 2. Nivelurile DOK nu țin cont, de asemenea, de
nivelul de dezvoltare al elevilor. Toți elevii, inclusiv cei mai tineri preșcolari, sunt capabili de a
rezolva sarcini strategice și de gândire extinsă. Diferă doar forma sarcinilor. Sarcinile care
necesită un raționament de nivel 3 pentru un elev de clasa a 5-a pot fi sarcini de nivel 1 sau 2
pentru un elev de liceu care a
învățat tehnici mai sofisticate.
Toți elevii ar trebui să fie puși în
situația de a rezolva probleme cu
conținut ridicat de dificultate.
Cercetările recente susțin cu tărie
acest lucru, chiar și pentru
grădinițe. "Toți copiii, indiferent
de experiența și vârsta lor, au de
câștigat dacă sunt puși în situația
de a rezolva probleme de matematică cu un grad ridicat de dificultate" (Claessens, Engel, &
Curran, 2014, p. 426, vezi Engel, Claessens & Finch, 2013). Pentru a găsi echilibrul corect,
puneți-vă următoarele întrebări: "Cu ce fel de gândire vreau să se deprindă în mod obișnuit
elevii? Dacă ar participa și copiii mei, ce aș vrea să facă? Care este cel mai eficient mod de a
folosi timpul limitat al orei de curs? Trebuie să te decizi cât de des te vei concentra pe sarcinile
de la fiecare nivel, astfel încât studenții să aibă cel mai mult de câștigat de pe urma
oportunităților de învățare pe care tu le proiectezi. Indiferent de cum definești „rigoarea”,
lucrul cel mai important este ca elevii să gândească matematic (thinking deeply) în fiecare zi.
Bibliografie
„5 Principles of the Modern Mathematics Classroom, Creating a Culture of Innovative
Thinking”-Gerald Aungst
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
12
12
5 Principles of the Modern Mathematics Classroom, Creating a Culture of
Innovative Thinking-Gerald Aungst
Conform profesorului de matematică Gerald Aungst o oră modernă de matematică
încorporează aceste 5 principii:
Conjectura (- Presupunerea bazată pe
informație incompletă și care nu a fost
demonstrată - Ghicirea rezultatului)
În ora tradițională de matematică scopul principal este
acela ca elevii să dea răspunsurile corecte la întrebări și
la probleme. În ora modernă de matematică este
încurajată formularea supozițiilor neconfirmate încă,
elevii întreabă de cele mai multe ori și răspunsul la o
întrebare este adesea o altă întrebare. Investigația este
la fel de importantă ca și rezolvarea problemelor.
Comunicarea
Într-o oră de matematică tradițională
comunicarea este în principal
unidirecțională: profesorul explică o
procedură sau un algoritm elevilor. Într-o
clasă modernă, elevii trebuie să învețe să
comunice frecvent despre probleme și
cum anume să le rezolve. Ei se axează pe
exprimare, scriere și metacunoaștere.
Esența comunicării matematice este
formularea și susținerea argumentelor
matematice.
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
13
13
Colaborarea
Într-o oră de matematică tradițională elevii lucrează singuri iar accentul se deplasează pe
abilitatea individuală. În ora modernă de
matematică totul este despre „noi”. Munca în
grup predomină în detrimentul celei
individuale iar elevii sunt încurajați să-și
împărtășească ideile, răspunsurile și să ceară
ajutor. Deși este vremea performanței
individuale, într-o cultură a rezolvării de
probleme , ceilalți colegi oferă suport în loc să fie competitori.
Haosul
Într-o oră de matematică tradițională exactitatea și
ordinea domină scena. Elevii învață o procedură pe
care o reproduc după aceea cu precizie de cronometru.
În ora de matematică modernă, adevăratele probleme
sunt reprezentate de experimentare, începuturi
nereușite, greșeli si corecturi-și tot așa. Deși termenul
„haos” pare exagerat, acesta încapsulează idea ca
adevărata matematică presupune efort, transpirație…
Celebrarea
Într-o oră de matematică
tradițională se bucură de
recunoaștere doar răspunsurile
corecte și notele mari. Într-o oră de
matematică modernă, tot ceea ce
conduce către o soluție corectă este
celebrat: descoperirea unui pas mic
într-o problemă complicată, găsirea unei abordări inovative, chiar daca aceasta nu se
concretizează, sau comiterea unei greșeli spectaculoase în urma căreia se cere ajutor. Efortul
este răsplătit înainte de realizare.
Bibliografie
„5 Principles of the Modern Mathematics Classroom, Creating a Culture of Innovative
Thinking”-Gerald Aungst
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
14
14
APLICAȚIE RECAPITULARE BACALAUREAT SEMESTRUL I CLASA A 12-A
Partea 1
Fie :f o funcție derivabilă și :f derivata funcției f . Punctul 0,2A aparține
graficului funcției f .Punctul 0,1B graficului funcției f .
1.În cele trei cazuri de mai jos sunt reprezentate în reperul ortogonal , ,O i j graficul funcției
f , notat cu fG și graficul funcției f , notat fG . Doar în unul din cele 3 cazuri graficul funcției
f este trasat corect. Care este acesta? Justificați alegerea făcută.
2. Determinați ecuația dreptei tangentă la graficul funcției în punctul 0,2A .
3. Știind că : , ,xf f x e ax b x , unde ,a b .
a)Determinați valoarea parametrului b utilizând informațiile din enunțul problemei.
b)Să se arate că 2a .
4.Să se determine intervalele de monotonie ale funcției f .
5.Să se calculeze limx
f x
și limx
f x
.
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
15
15
Partea 2
Se consideră funcția : , 2,g g x f x x x .
1 a)Să se arate că 0 0x este punct de minim al funcției g .
b)Să se determine poziția dreptei față de graficul funcției f .
Figura de mai jos reprezintă logo-ul unei firme. Creatorul acestui logo s-a folosit de graficul
funcției f și de dreapta atunci când l-a desenat, așa cum se arată în Figura 1.
Conturul acestui logo este dat de trapezul DEFG unde:
2,0 , 0,2 , 2, 2 , 2, 2D E F f G f .
2.Să se calculeze aria suprafeței colorată în mov.
Prelucrare Bacalaureat Franța 2014
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
16
16
MOMENTELE LECȚIEI
Momentul 1
Invitarea elevilor pentru a se conecta la lecția de recapitulare-Google Classroom-5min
Momentul 2
Elevii răspund la Chestionarul Teoretic(Video+Google Forms) – 12 min
a)Completarea chestionarului
b)Discutarea acestuia
Momentul 3
Elevii primesc conținutul Aplicației de recapitulare - Partea 1+Partea 2-3min
Momentul 4
Elevii sunt invitați să rezolve itemul 1(de nivel 3,4-DOK)-7min
Discuție asupra rezolvării itemului 1-Video1+Video2-3min
Moment 5
Elevii rezolvă itemul 2 Partea 1-15min
Momentul 6
Elevii rezolvă Partea 2-5min
Momentul 7
Elevii primesc toate materialele lecției de recapitulare -FINAL
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
17
17
REZOLVARE APLICAȚIE RECAPITULARE BACALAUREAT
PARTEA 1
1.Vezi video
2.Ecuația dreptei tangentă la graficul funcției în punctul 0,2A este 0 0 0y f f x
(1)
Punctul 0,2A aparține graficului funcției 0 2f f (2)
Punctul 0,1B graficului funcției 0 1f f (3)
Din (1),(2),(3)rezultă că : 2 : 2y x y x .
3. a)Știm că : , ,xf f x e ax b x , unde ,a b .De aici rezultă că
,x x xf x e ax b e x a x e a x .
Punctul 0,2A aparține graficului funcției
00 2 0 2 1 2 1f f e a b b b
b) Dacă : , ,xf f x e ax b x , unde ,a b satisface condițiile din enunț,
atunci conform a) rezultă că 1b . Prin urmare : , 1,xf f x e ax x . De aici
1 ,x x xf x e ax e x a x e a x .
Punctul 0,1B graficului funcției 00 1 1 1 1 2f f e a a a . Q.e.d.
4. În acest moment funcția f este cunoscută 2 1,xf x e x x . Pentru a determina
intervalele de monotonie studiem semnul lui f .
0 2 0 2 ln 2 ln 2x xf x e e x x .
ln 2ln 2 2ln 2 1 2 2ln 2 1 3 2ln 2f e .
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
18
18
x ln 2
f x 0
f x 3 2ln 2
Din tabel rezultă că f este strict descrescătoare pe , ln 2 și strict crescătoare pe
ln 2, .
5. lim lim 2 1 2 1 0 1x
x xf x e x e
.
1
lim lim 2 1 2 1 lim 1 2x x
x xx x x
xf x e x e e
e e
(4)
'
1 1lim lim lim 0
x xx l H x xx
x x
e ee
(5)
Din (4) și (5) rezultă că
1
lim lim 2 1 lim 1 2 1 2 0 0x x
x xx x x
xf x e x e
e e
.
PARTEA 2
1a) 2 2 1 1,x xg x f x x e e x
0 1 0 1 0x xg x e e x
0 0 2 2 2 0g f
x 0
g x 0
g x 0
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
19
19
Din tabel rezultă că g este strict descrescătoare pe ,0 și strict crescătoare pe 0, și
prin urmare 0 0x este punct de minim local-global. De aici rezultă că 0 ,g x g x ,
adică 0,g x x .
1b)Conform a) rezultă că 2 0, 2,f x x x f x x x că graficul funcției
f este „deasupra” dreptei .
2. Aria este 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2f x dx x dx f x x dx f x x dx
2
2 2 2
2 2 2
2 1 2 12
x x x xe x x dx e x dx e x
2 2 2 24 42 2 4
2 2e e e e .
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
20
20
APLICAȚIE 2 RECAPITULARE BACALAUREAT
SEMESTRUL I CLASA A 12-A
Primăria unui oraș dorește să instaleze o pistă pentru skateboard
într-un parc . Figura 1 ( de mai jos) arată o perspectivă a formei
pistei de skateboard. Patrulaterele ,OAD D DD C C și OAB B
sunt dreptunghiuri. Planul feței OBD este înzestrat cu reperul
ortogonal , ,O i j . Unitatea reperului este metrul. Lățimea pistei
este de 10m , adică 10DD , iar lungime pistei este 20m , adică
20OD .
Profilul pistei a putut fi modelat, plecând de la o fotografie, cu
funcția : 0,20 , 1 ln 1 3 7f f x x x x al cărei
grafic este reprezentat în Figura 2.
Partea 1
1.Să se arate că ln 1 2, 0,20f x x x .
2.Să se determine intervalele de monotonie ale funcției f .
3.Să se calculeze coeficientul unghiular(panta) tangentei la graficul funcției f în punctul de pe
grafic de abscisă 0 0x . Valoarea absolută(modulul) a acestui coeficient se numește înclinarea
pistei de skateboard în punctul B .
4. Considerăm funcția 2 21 1 1
: 0,20 , 1 ln 12 4 2
g g x x x x x . Să se arate că
1 ln 1 , 0,20g x x x x și apoi să se determine o primitivă a funcției f .
Partea 2
1.Sunt adevărate următoarele afirmații? Justificați răspunsul.
A1: Diferența dintre cel mai înalt punct al pistei și cel mai de jos punct pistei este de cel puțin
8m .
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
21
21
(Se știe că ln 3 1,0986122...; ln 7 1,9459101...; 2,71828...e )
A2:Valoarea absolută a înclinării pistei în punctul B este aproape de două ori mai mare decât
cea din punctul C .
2. Se dorește acoperirea celor patru fețe laterale ale pistei cu un strat de vopsea roșie.
Vopseaua folosită permite acoperirea unei suprafețe de 5 m² pe litru. Să se determine numărul
minim de litri de vopsea necesar realizării acestei operațiuni.
3.Se dorește vopsirea în galben a părții de rulare a
pistei. Pentru aflarea aproximativă a suprafeței
părții de rulare vom considera în reperul ortogonal
, ,O i j al planului feței OBD punctele
, , 0,20kB k f k k , unde 0B B . În acest fel
se aproximează arcul cuprins între punctele kB și
de 1kB , de pe graficul funcției f , cu segmentul
1k kB B . Astfel, suprafața ce trebuie vopsită se
aproximează cu suma ariilor dreptunghiurilor 1 1k k k kB B B B (vezi figura alăturată)
a)Să se arate că 2
1 1 1 , 0,20k kB B f k f k k .b)Completați următorul algoritm
pentru a obține o estimare a suprafeței părții de rulare.
NU DA
Prelucrare Bacalaureat
Franța 2015
START
Citește n
S:=0
n≤….
C:=(n+1)ln(n+1)-3n+7
S:=………………………
n:=………….
Scrie ……
STOP
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
22
22
REZOLVARE APLICAȚIE 2 RECAPITULARE BACALAUREAT
Partea 1 1.
1 ln 1 3 7 1 ln 1 3 7 1 ln 1 1 ln 1 3f x x x x x x x x x x x
1 1
ln 1 1 3 ln 1 1 3 ln 1 1 3 ln 1 2, 0,201 1
xx x x x x x x
x x
2.
2 20 ln 1 2 0 ln 1 2 1 1 0,20f x x x x e x e
x 0 2 1e
20
f x 0
f x 0f 2 1f e
20f
Din tabel rezultă că f este strict descrescătoare pe intervalul 20, 1e și strict crescătoare pe
intervalul 2 1,20e .
3. Coeficientul unghiular este 0f . Calculăm și obținem 0 ln1 2 2a f .
4.
2 221 1 1 1 1 1 1
1 ln 1 2 1 1 ln 1 12 4 2 2 1 2 2
g x x x x x x x x x xx
1 1 1 1 1 1 1
2 1 ln 1 1 1 ln 1 1 ln 1 , 0,202 2 2 2 2 2 2
x x x x x x x x x x x
1 ln 1 3 7 1 ln 1 3 7 1f x dx x x x dx x x dx xdx dx
2
2 22 21 1 1 1 7 131 ln 1 3 7 1 ln 1
2 4 2 2 2 4 2
xx x x x x C x x x x C .
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
23
23
Partea 2
1 .A1.Pentru a calcula diferența trebuie să determinăm care sunt punctele în care funcția ia
valoarea cea mai mare și cea mai mică.
Din tabel rezultă că punctul în care funcția ia valoarea cea mai mică este 2
0 1x e . Valoarea
maximă este luată în 0 20x (DE CE?)
Diferența cerută este deci
2 2 2 220 1 21ln 21 60 7 1 1 ln 1 1 3 1 7f f e e e e
2 2 2 2 2 221ln 21 60 ln 3 3 21ln 21 2 3 63 21ln 21 63e e e e e e .
Problemă: ?
221ln 21 63 8e echivalent cu ?
221ln 21 71 e
22 221ln 21 63 21 ln3 ln7 63 21 1,09 1,94 2,718 63 21 3,03 7,387524 63e e
63,63 7,387524 63 0,63 7,387524 8 .
1.A2.TEMĂ
2.Notăm cu 1 ( ) ( )A Aria ODCB Aria AD C B , 2 ( )A Aria OAB B , 3 ( )A Aria DD C C
2020 2 2
1
0 0
21 ln 21 7 20 13 20 441ln 211 7 132 2 700 1301 ln 12 4 2 22 4 2
A f x dx x x x x
2
1
441ln 21570 2 441ln 21 1140 202,63
2A m
2
2 0 10 7 10 70A f m , 2
3 20 10 21ln 21 53 10 109,35A f m .
2
1 2 32 381,99 76,3985
AA A A A m
Rezultă că numărul minim de litri de vopsea care trebuie folosiți este 77 .
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
24
24
Evaluare formativă în orele de matematică
Definiţie: Evaluarea formativă realizată la clasă vizează evaluarea frecventă și interactivă a
progreselor elevilor,identificarea nevoilor de învățare și adaptarea în consecință a actului
pedagogic (OCDE).Aceasta are loc în timpul procesului propriu-zis de învățare ,oferind
informații menite să contribuie la conturarea și aprofundarea învățării ulterioare
Evaluarea formativă are rolul să sprijine învățarea.
În centrul practicilor de evaluare formativă stă feedback-ul de calitate acordat de
profesori elevilor cu privire la nivelul lor de învățare. Acest feedback ,adesea neînsoțit
de note sau clasamente,poate ghida elevii în următoarele etape ale învățării și îi
poate motiva să reușească.(OCDE,2017)
În activitatea didactica , de cele mai multe ori, profesorul predă lecţia, fixează tema, o
notează şi apoi indică ce este incorect într-un mod mai mult sau mai puţin constructiv, dar
nu verifică dacă elevul şi-a îndreptat vreuna din deficienţe. Apoi profesorul trece la
următoarea lecţie. Sub presiunea numărului mare de elevi în clasă , a timpului insuficient
acordat parcurgerii unei unități de învățare(uneori din motive obiective, alteori din slaba
gestionare a timpului ) preferăm evaluarea sumativă în defavoarea celei formative.
Considerăm de multe ori că deficiențele în învățare se datorează lipsei de aptitudine, de
perspicacitate sau de inteligenţă.
Care este soluția? Să depistăm greșelile și să le corectăm!
Paul Black și Dylan William sunt profesori la King's College London School of Education. Au
început să lucreze la evaluarea formativă în 1996. Concluziile studiului lor au fost publicate în
două lucrări „În interiorul cutiei negre” (Black & Wiliam 1998) și„ Lucrul în interiorul cutiei
negre” (Black et Al. 2002) .
În conformitate cu teoria sistemelor clasa este privită ca o cutie neagră .Aici intrările sunt elevi,
profesori, alte resurse, reguli de management și cerințe, anxietate parentală, așteptări ca
rezultatele testelor aplicate elevilor să fie cât mai mari, și așa mai departe. Din cutie ies elevii
care sperăm să aibă cât mai multe cunoștințe și competențe, rezultate mai bune la teste,
profesori care să fie mai mult sau mai puțin mulțumiți, și mai mult sau mai puțin epuizați. Dar
ce se întâmplă înăuntru? Cum putem fi siguri că un număr de noi intrări va produce rezultate
mai bune dacă nu vom studia ceea ce se întâmplă in interior?
Răspunsul dat de obicei este că rezultatul depinde de profesori ,de calitatea activității lor din
interiorul „cutiei”. Acest răspuns nu este suficient de bun din două motive. În primul rând, este
posibil ca unele modificări ale intrărilor să fie contraproductive, ceea ce îi poate împiedica pe
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
25
25
profesori să ridice standardele. În al doilea rând, pare ciudat, chiar nedrept, să revină doar
profesorilor dificila sarcina de ridicare a standardelor. Dacă există modalități posibile prin
care profesorii pot fi sprijiniți în activitatea de zi cu zi pentru obținerea unei mai bune învățări,
atunci cu siguranță aceste căi ar trebui urmărite permanent.
Studiile lui Paul Black și Dylan William se referă la interiorul cutiei negre. Se concentrează pe
un aspect al învățării - evaluarea formativă, dar argumentul pe care îl dezvoltă este că aceasta
trebuie să se afle în centrul predării efective.
• Evaluarea devine "formativă" atunci când rezultatele sunt folosite de fapt pentru a adapta
munca didactică la nevoile de învățare. Scopul evaluării formative este de a ajuta profesorii să
filtreze datele bogate care apar în discuțiile și activitățile de clasă, astfel încât să se poată face
judecăți profesionale cu privire la pașii următori în procesul de învățare. Aceasta include
feedback, evaluare și autoevaluare.
• Matematica este un corp înlănțuit de cunoaștere. Pentru a avea succes, elevii trebuie să
înțeleagă modul în care ideile inter-relaționează (Skemp, 1976).
În cartea „Mathematics inside the
black box”,autori Jeremy Hodgen și
Dylan Wiliam, sunt expuse concluziile
referitoare la evaluarea formativă în
orele de matematică.
• Evaluarea pentru învățare este
proiectată și desfășurată cu un singur
scop să faciliteze învățarea elevilor
(nu pentru a-i responsabiliza sau
pentru certificarea unei competențe ).
• O activitate de evaluare poate ajuta
învățarea dacă oferă informații care să
fie folosite ca feedback de către
profesori, iar elevii se evaluează și
colaborează în activitățile de predare
și învățare în care sunt implicați.
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
26
26
Cu toate acestea, elevii de la toate nivelurile de învățământ întâmpină dificultăți în
transferarea matematicii din sala de clasă și realizarea unor conexiuni în alte contexte. Mulți
văd matematica pur și simplu ca pe o mulțime amenințătoare de proceduri aleatorii folositoare
numai în sălile de clasă și la examenele de matematică.
• Trei tipuri de feedback sunt esențiale pentru evaluarea formativă: elev la profesor, profesor la
elev și între elevi.
4 = Elevii trebuie să înțeleagă ce se intenționează în procesul de învățare. Acest lucru este
vital pentru a învăța și necesită înțelegerea a ceea ce ar conta ca o muncă de bună calitate
(criterii de succes). Elevii trebuie să aibă, de asemenea, o idee despre nivelul la care se află în
raport cu criteriile țintă / de succes. Doar având clare aceste două aspecte, copiii pot ajunge la
capacitatea de a monitoriza și de a-și conduce propria învățare în direcția corectă, astfel încât
1 =Profesorul trebuie să pornească de la ce știe
efectiv elevul. Dacă elevii trebuie să își
reconstruiască ideile doar pentru a suprapune
niște idei noi altor idei existente ,înțelegerea
matematicii devine lipsită de conexiuni.
2 = Elevii trebuie să-și comunice ideile . Atunci
când elevii vorbesc despre idei matematice, fie că
sunt într-un dialog de tip clasă întreagă sau în
grupuri egale, folosesc și construiesc limba
matematicii. "Vorbind despre vorbire" este o parte
importantă a învățării.
3 = Elevii trebuie să fie activi în proces - învățarea
trebuie făcută de ei, nu poate fi făcută pentru ei.
Profesorii trebuie să îi încurajeze și să asculte cu
atenție o serie de răspunsuri, luându-le pe toate în
serios, indiferent dacă sunt corecte sau greșite. Ele
trebuie să îi ajute pe elevi să se exprime, să facă
față inconsecvențelor și să răspundă provocărilor.
În astfel de discuții, profesorii își pot modela
intervențiile pentru a răspunde nevoilor de
învățare care au fost evidente.
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
27
27
să devină responsabili în învățare. Dacă elevilor li se comunică doar o listă de criterii, cerințe
pe care trebuie să le îndeplinească lucrarea lor de matematică pentru a fi considerată bună,
acest lucru nu este suficient pentru a ajuta elevii să progreseze. Elevii trebuie să se angajeze în
argumente și raționamente matematice pentru a putea învăța modalitățile prin care este
apreciată calitatea lucrării la matematică. Evaluarea și autoevaluarea sunt esențiale pentru
acest proces, deoarece promovează atât implicarea activă, cât și cea practică în evaluarea
activității proprii și a celorlalți.
5 = Feedback-ul ar trebui să le indice elevilor cum să-și amelioreze învățarea. Atunci când
feedback-ul se concentrează asupra elevului pentru a arăta dacă este un bun sau slab
rezolvitor de probleme , exprimând evaluarea prin note sau calificative,scopul învățării se
distorsionează. Cercetările au arătat că, de fapt, notarea a redus performanța (Kluger și DeNisi,
1996), prin urmare performanța ar fi fost mai ridicată dacă nu ar fi fost oferit acest tip de
feedback! Un astfel de feedback descurajează participanții slabi iar pe cei care au avut note
mari îi face să evite sarcini care ar putea pune sub semnul întrebării propriul succes, pentru că
eșecul ar fi privit ca o veste proastă despre ei înșiși, nu ca o ocazie de a învăța.
Atunci când feedback-ul nu se concentrează asupra persoanei, ci asupra implicării și a ceea ce
trebuie făcut pentru a se îmbunătăți învățarea , performanța crește ( mai ales dacă feedback-ul
include idei de progres). Acest feedback îi încurajează pe toți elevii, indiferent de realizările lor
din trecut, să facă mai bine încercând și învățând din greșeli și eșecuri (Dweck, 1999).
Aceste principii implică și alte cerințe substanțiale în afară de cunoștințele de bază ale cadrelor
didactice, nu doar pentru a înțelege ceea ce spun elevii, ci și pentru a putea stabili care ar fi cei
mai potriviți pași pentru elev.
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
28
28
Dialogul din clasă
1 = Activități provocatoare care promovează gândirea și discuția
răspunsul evident nu este întotdeauna corect (încurajează elevii să-și apere ideile)
Provocările trebuie să vizeze o gamă largă de niveluri de abilități și de activități, oferind
elevilor ocazia de a învăța unul de celălalt.
folosind ceea ce știm despre înțelegerea matematică a elevilor (întrebarea poate pune
accentul pe atenția elevilor asupra a ceea ce trebuie să facă pentru a-și îmbunătăți
înțelegerea, de exemplu, ce este confuz în legătură cu problema?)
Curriculumul matematic presupune un conținut complicat. Sunt multe de învățat, iar
timpul de învățare este limitat. Drept urmare , chiar și elevii de succes pot avea dificultăți cu
idei relativ simple în contexte noi sau neobișnuite.
probleme cu mai mult de un răspuns corect (elevii se așteaptă ca problemele
matematice să aibă un singur răspuns corect, dar pot exista mai multe răspunsuri sau
nu)
Exemplul 1. În ce mod ar putea continua acest șir: 1, 2, 4 ....... (de exemplu, 7, 11 ... sau 8,
16 ...)
Exemplul 2. Desenați un triunghi cu laturile de 4cm, 6cm și 11cm
generarea structurii matematice (Identificarea asemănărilor și a diferențelor poate
permite elevilor să înceapă să genereze structuri matematice pentru ei înșiși.
întrebările "închise" pot fi uneori valoroase
generarea de soluții diferite
*Prin discutarea, explorarea și descoperirea
aspectelor matematicii, elevii pot începe să vadă
cât de bine știu și cât le este de folos. Prin
ascultare și interacțiune, profesorii pot oferi
feedback cu privire la modalitățile prin care
elevii își pot îmbunătăți învățarea.
**Implementarea unei astfel de abordări este o
activitate complexă care implică următoarele
resurse:
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
29
29
Adesea transmitem elevilor mesajul că matematica școlară presupune doar obținerea
de răspunsuri la probleme, în timp ce scopul nostru real este de a le permite să învețe
matematica. Solicitarea elevilor de a genera diferite modalități de rezolvare a unei probleme
este o modalitate de a-și concentra atenția asupra raționamentului matematic. Cunoașterea
unei soluții poate ajuta elevii să genereze și să înțeleagă o altă soluție, ceea ce le poate permite
să înțeleagă legăturile dintre diferitele domenii matematice.
greșelile sunt adesea mai bune pentru a învăța apoi răspunsurile "corecte"
Copiilor li se poate da un set de calcule (cu răspunsuri) și li se poate cere să identifice
care sunt corecte sau incorecte. Pe lângă faptul că îi ajută pe unii copii să identifice
greșelile pe care le fac,accentul se va deplasa de la rezultate la procesul de
învățare(în centrul căruia se află elevii). Greșelile trebuie să fie evaluate în sala de
clasă.
utilizarea manualelor
Exemplu. Elevii trebuie să identifice patru întrebări dintr-un manual, două pe care le
consideră ușoare și două dificile. Ei pot să construiască răspunsuri model la întrebările "ușoare"
individual și cu un partener pentru întrebările "tari". Elevii au astfel oportunități de a învăța
unul de la celălalt.
utilizarea testelor sumative - formative
După analiza lacunelor, elevii primesc schema de notare și li se cere să construiască
răspunsuri "complete", elevii identificând întrebări "ușoare" și "grele" .Pot lucra împreună
pentru a rezolva,sau pot lucra în perechi pentru a finaliza testul, pentru evaluare și notare.
Soluțiile bune nu sunt universale
Nu toate activitățile vor funcționa cu toți elevii în orice moment. Rezultatele depind de
cunoștințele existente ale copiilor și de modul în care le aplică.
generarea de activități provocatoare
Sarcina de a genera activități adecvate și provocatoare poate fi făcută numai de către
profesorii înșiși. Poate fi de mare ajutor colaborarea cu alți profesori. Planificarea acestor
activități este sub umbrela următoarelor întrebări: În ce mod activitatea didactică promovează
învățarea și exprimarea matematică? Ce oportunități există pentru ca profesorul și elevii să
înțeleagă procesul de învățare? Ce influență au activitățile de predare? În ce măsură activitatea
profesorului și a elevilor facilitează procesul de învățare și deschide noi căi de urmat pentru a se
realiza un progres?
2 = Încurajarea elevului de a întreba și de a asculta.
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
30
30
În orele de matematică, profesorii au tendința să muncească prea mult în timp ce elevii
nu muncesc destul de mult, rezultând vechea glumă că școlile sunt locuri unde copiii merg să
vizioneze profesorii!
În cazul în care elevii sunt implicați activ în discuție, nu numai că învață mai mult, ci și
capacitatea lor generală de înțelegere crește (Mercer et al, 2004).
Acest lucru este posibil numai dacă discuția în sala de clasă se dezvoltă dincolo de o serie de
întrebări rapide, închise, care adesea includ doar câțiva elevi și care nu oferă suficient timp
pentru reflecție, spre o atmosferă în care activitățile sunt structurate astfel încât să ofere ocazii
reale de gândire.
Ascultând mai mult elevii, profesorii află mai multe despre ceea ce știu și cât de bine știu elevii .
Mai mulți elevi au mai multe șanse să-și exprime ideile prin contribuții mai lungi.
Elevii au mai multe oportunități de a învăța de la colegii lor.
Când sunt ascultați, elevii își dau seama că profesorul este de fapt interesat de ceea ce spun și,
prin urmare, sunt încurajați să spună mai multe.
Vorbind mai puțin, profesorul are mai mult timp să se gândească la intervențiile pe care le face.
Intervențiile receptive (care răspund prompt ideilor elevilor) sunt mai complexe decât
generarea de întrebări. Profesorii trebuie să anticipeze modul în care elevii pot răspunde și pot
genera intervenții și întrebări adecvate.
Evaluare receptivă = Profesorii ascultă răspunsul și când elevii dau răspunsuri parțiale
corecte, aceștia răspund cu "Ești aproape" sau "Aproape complet". Acest lucru încurajează
convingerea că profesorii sunt mai interesați să-i facă pe elevi să dea răspunsul corect, mai
degrabă decât să afle ce gândesc despre o anumită idee (Davis, 1997).
Interpretare receptivă = Profesorii ascultă ceea ce spun elevii pentru a afla de ce elevii
răspund în acest fel. Ei sunt interesați de ce și cum gândesc elevii mai mult decât de
corectitudinea răspunsurilor.
3 = Strategii pentru a îi sprijini pe toți cursanții să se angajeze în discuții
Timpul de așteptare în multe clase de matematică este foarte scăzut, mai puțin de o
secundă. Creșterea timpului de așteptare la aproximativ trei secunde poate avea efecte
dramatice asupra implicării elevilor în discuțiile de la clasă (Askew și William 1995). Acest lucru
este valabil numai pentru întrebări de ordin superior (nu pentru exemple simple).
4 = discuții între elevi,eventual în perechi
Acest lucru este esențial în evaluarea formativă, deoarece îi ajută pe toți copiii să se
angajeze într-o discuție care să conducă la o mai bună înțelegere a problemei și a clarității
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
31
31
ideilor. Dacă se formează perechile care își vor oferi feedback „dând cu banul” sau prin orice
altă metodă aleatorie, elevii au siguranța că toți pot contribui.
5 = Discuții bogate și deschise în întreaga clasă
Profesorii trebuie să aprecieze toate contribuțiile matematice - greșeli și răspunsuri parțial
corecte - și să încurajeze elevii să identifice ,să conteste ideile cu care fie nu sunt de acord ,fie
nu le înțeleg, deoarece elevii pot fi reticenți în a da răspunsuri pe care le consideră incorecte.
Trebuie evaluate atât răspunsurile corecte cât și cele incorecte. Profesorii trebuie să evite să
informeze elevii dacă răspunsul lor este corect prin limbajul corpului, expresia feței sau orice
tip de comentariu. Profesorii pot face greșeli în mod intenționat pentru ca elevii să le identifice
– aceasta le demonstrează că toți putem învăța din greșeli, și că cel mai important e conținutul
matematic , nu cine este "bun" la mate ′.
• Feedback și notare.
- notele nu oferă elevilor sfaturi privind modul în care își pot îmbunătăți munca sau
înțelegerea.
- notele alimentează concurența, nu îmbunătățirea personală.
- provoacă demotivarea elevilor cu rezultate slabe și evitarea provocării la elevii cu rezultate
foarte bune.
- notele însoțite de comentarii reprezintă o pierdere de timp, deoarece elevii se concentrează
doar pe notă (Butler 1988).
- Comentariile utile la fiecare două sau trei săptămâni sunt mai eficiente decât o notă pe fiecare
lucrare.
- Trebuie să fie alocat timp elevilor pentru a citi, pentru a răspunde și a reacționa după
feedback-ul profesorului .
• Autoevaluarea și interevaluarea
- Numai elevul poate să facă învățarea.
- Acest lucru presupune ca elevii să aibă o imagine clară a obiectivelor înaintea călătoriei de
învățare și pe tot parcursul învățării pentru a elimina diferențele de învățare.
- Evaluarea colegilor îi ajută pe elevi să dezvolte abilități de autoevaluare.
- Elevii au nevoie de instruire în aceste tehnici.
- Atât autoevaluarea cât și interevaluarea sunt o chestiune de matematică ,ceea ce reprezintă
un avantaj!
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
32
32
Gânduri finale!
- Nu trebuie să vă grăbiți!
- Într-o secvență de evaluare formativă trebuie să vă concentrați doar pe unul
sau două aspecte !
- Colaborați cu ceilalți colegi!
Bibliografie
„Mathematics inside the black box” Jeremy Hodgen și Dylan Wiliam
https://www.scribd.com/document/275860199/Mathematics-Inside-the-Black-Box-Summary
Inside the Black Box Raising Standards Through Classroom Assessment Paul Black and Dylan Wiliam King’s College London School of Education
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
33
33
TEHNICI ȘI INSTRUMENTE DE EVALUARE FORMATIVĂ PENTRU ORELE DE
MATEMATICĂ
Studiind raportul OECD 2017 pentru România , găsim constatări , aprecieri , comparații
cu alte țări și recomandări privind evaluarea si examinarea în domeniul educației . Cursurile
DeCeE au constituit un pas important în legătură cu recomandările raportului . Continuarea
trebuie să vină din partea profesorului care trebuie să își îmbunătățească în permanență tehnicile
(metodele) și instrumentele de evaluare .
Exemplificăm în continuare cu prezentarea unor tehnici și instrumente de evaluare care
au reale valențe formative și constituie posibilități noi de realizare a feedback-ului în orele de
matematică , fără presiunea negativă a notei asupra elevului.
I Metoda hărților conceptuale (cognitive) Hărțile conceptuale sunt instrumente care îi permit profesorului să evalueze
cunoștințele pe care le dețin elevii și relațiile pe care aceștia le stabilesc între diferite concepte
și informații dobândite asociind și integrând cunoștințe noi în ansamblul cunoștințelor
anterioare.
Tipuri de hărți conceptuale
a) Hărți conceptuale tip pânză de păianjen
xa
max0, 1,a a D loga x
max0, 1, 0,a a D
tgx
max \ 2 12
D k k
Funcții elementare
continue pe
domeniul maxim
maxD
cos x
maxD
sin x
maxD
ctgx
max \D k k
x
max 0,D
Funcția polinomială
de grad n
maxD
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
34
34
b) Hărți conceptuale ierarhice
c) Hărți conceptuale lineare
( fg)'= f'g+ fg
' ( f (u))'= f' (u) .u
'
(sin3x .e5x)' =(sin 3x)' . e5x+sin 3x(e5x)'= 3cos3x+(sin 3x)5e5x
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
35
35
II Metoda Răspunde – Aruncă – Interoghează (R.A.I)
Poate fi utilizată în orice moment al lecției , în cadrul activității frontale sau de grup .
Metoda presupune următorii pași :
a) Se precizează tema supusă evaluării
b) Se oferă un obiect ușor (pix, riglă , minge) elevului desemnat să înceapă activitatea
c) Acesta formulează o întrebare și aruncă obiectul unui coleg care va preciza răspunsul ,
la rândul său, acesta formulează o nouă întrebare și aruncă obiectul altui elev
d) Elevul care nu poate răspunde la întrebare iese din joc și răspunsul corect îl dă elevul
care a pus întrebarea , acesta are dreptul să formuleze o nouă întrebare și să arunce obiectul altui
coleg
e) În joc rămân elevii care demonstrează că dețin cunoștințele solide din tema evaluată
f) Pe parcursul activității profesorul observă și identifică eventuale carențe în pregătirea
elevilor, îi ajută să completeze răspunsurile îmbunătățind performanțele acestora optimizând
procesul de învățare
După prezentarea temei pusă în discuție profesorul poate sugera unele întrebări cum ar
fi:
Cum definești conceptul de ...........................
Care sunt noțiunile cheie ale temei ................
Care este importanța faptului că......................
Care sunt efectele faptului că..........................
Cum poți aplica noțiunile învățate la..............
Ce consideri mai interesant.............................
Ce relații poți stabili între...............................
etc.
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
36
36
Exemplu
Tema : Funcția exponențială și funcția logaritmică
Întrebări:
Cum definim funcția exponențială.....................
Cum definim funcția logaritmică.......................
Spune o proprietate a funcției exponențiale ......
Spune altă proprietate a funcției exponențiale...
Ce legătură este între cele două funcții și cum o justificăm
Unde folosim proprietățile logaritmilor
etc.
III Tehnica 3-2-1
Este un instrument de evaluare continuă și formativă ale cărei funcții principale sunt de
constatare și sprijinire continuă a elevilor . Este o tehnică care nu vizează sancționarea prin notă
a rezultatelor elevilor ci constatarea și aprecierea rezultatelor obținute de elevi la finalul unei
secvențe de învățare , în scopul ameliorării acestora , precum și a demersului didactic care le-a
generat .
Denumirea provine de la solicitările adresate elevului . Elevul trebuie sa noteze :
a) trei concepte pe care le-a învățat în secvența didactică b) doua idei (aspecte) pe care să le dezvolte sau să le completeze cu noi informații c) o capacitate, o pricepere sau o abilitate pe care si-a format-o în cadrul activității de
predare – învățare
Exemplu :
Algebră clasa a XI a „Rezolvarea sistemelor de m ecuații și n necunoscute”
a) matricea sistemului ; rangul matricei și determinantul caracteristic b) cum calculez rangul sistemului și determinantul principal cum formez determinanții
caracteristici c) priceperea de a forma sistemul cu ecuațiile principale
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
37
37
IV Instrumentele de evaluare , proiectul și portofoliul
Avantaje ale metodelor complementare :
sunt metode eficiente de evaluare, dar și de învățare interactivă cu pronunțat caracter formativ
transformă demersul de evaluare într-o activitate plăcută, atractivă și stimulativă pentru elevi
nu implică sancționarea prin notă a performanțelor elevilor având rol de constatare și ameliorare și elimină stările emoționale negative
promovează interevaluarea (evaluarea colegilor și autoevaluarea) precum și interînvățarea
formează și consolidează deprinderea de ascultare activă, dezvoltă competențele de relaționare și comunicare
formează și dezvoltă capacitatea de a argumenta
elaborarea unor programe de recuperare și dezvoltare
Dezavantaje :
consumă mult timp
nonimplicarea elevilor care au nevoie de mai mult timp pentru formularea răspunsurilor și a întrebărilor
marginalizarea sau autoizolarea unor elevi
dezinteres și neseriozitate din partea unor elevi
aparentă dezordine
Prezentăm în continuare câteva exemple din tehnica alegerii itemilor :
Tehnica perechilor
Pe prima linie a tabelului de mai sus sunt enumerate funcții , iar pe prima coloană sunt scrise proprietăți ale acestora . Marchează cu X căsuțele corespunzătoare proprietăților adevărate pentru fiecare funcție .
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
38
38
Funcția Proprietatea
:f
5f x
:f
f x ax
0a
: 0,f
f x ax b
0, 0a b
: ,0f
f x ax b
0, 0a b
: 2,5f
f x x
Funcția este
crescătoare
Funcția este strict
crescătoare
Funcția este
descrescătoare
Funcția este
monotonă
Funcția este
injectivă
Funcția este
surjectivă
Funcția este
bijectivă
Funcția este pară
Funcția este impară
Funcția nu este nici
pară nici impară
Înscrie în spațiul din stânga fiecărei proprietăți polinomul din a doua coloană ce corespunde acestuia
__________________1. polinomul este ireductibil in Z[X] f=x2-2
__________________2. polinomul este ireductibil in Q[X] g=x2+x+1
__________________3. polinomul este ireductibil in R[X] h=x3+x
__________________4. polinomul este ireductibil in C[X] p=2x+3
Răspuns: 1 f,g,p 2 f,g,p 3 g,p 4 p
Tehnica alegerii multiple
ACȚIUNE METODICĂ-MATEMATICĂ-08.12.2017 COLEGIUL NAȚIONAL „BARBU ȘTIRBEI”-CĂLĂRAȘI
39
39
3) Se consideră matricea 2 3 4
1 5 7M
Atunci :
A.
2 1
3 5
4 7
TM
B. det (M MT) = det M . det MT
C. det (M MT) =150 D. det ( MT M) = 0
Răspuns : Adevărate sunt afirmațiile A , C, D
4) Să se rezolve în R sistemul
2 3 5
1 1 1 15
x x
x x x x
Încercuiește răspunsul corect :
A) [11;14]; B) {11;12;13;14}; C) R ; D) [14, +∞)
Răspuns corect : A