Adaptado de Levine 6-1
A Distribuição NormalProf. Helcio Rocha
Estatística
6-2
A Distribuição Normal
Formato de sino Simétrica Média, mediana e moda são iguais
A localização é determinada pela média, μ
A amplitude é determinada pelo desvio padrão, σ
Os dados podem assumir valores de + a
X
f(X)
μ
σ
A Distribuição NormalMédia e Desvio-padrão
6-3
Média 40 40 40
D. Padrão 10 15 15
37,540
42,5
0,000,010,010,020,020,030,030,040,040,05
0 10 20 30 40 50 60 70 80
N(40,10) N(40,15)
6-4
Probabilidades na Distribuição Normal
a b X
f(X) P a X b( )≤
Probabilidade se traduz na área sob a curva, onde área total = 1,00 = 100%
≤
P a X b( )<<=
6-5
A Distribuição Normal Padronizada
Podemos converter qualquer distribuição normal com média μ e desvio-padrão σ em uma distribuição Z (μ = 0 e σ = 1)
Z
f(Z)
0
1
Benefício ► facilidade de cálculo de probabilidades mediante tabela Z
6-6
Convertendo para Distribuição Z
Exemplo: Se X tem distribuição normal, com μ = 100 e σ = 50, o valor de Z para X = 200 é
Isto significa que X = 200 está dois desvios-padrão acima da média.
2.0$50
100$$200
σ
μXZ
6-7
Probabilidade e distribuição Z
Z0 2.00
0.9772
Exemplo:
P(Z < 2.00) = 0.9772
6-8
X representa o tempo (seg) para baixar uma imagem na internet. Suponha que X é normal com média 18.0 seg e desvio-padrão 5.0 seg.
Encontre P(X < 18.6)
Z0.12 0X18.6 18
μ = 18 σ = 5
μ = 0σ = 1
Probabilidade e distribuição Z
0.125.0
8.0118.6
σ
μXZ
P(X < 18.6) P(Z < 0.12)
6-9
Z
0.12
Z .00 .01
0.0 .5000 .5040 .5080
.5398 .5438
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
Probabilidade e distribuição Z
0.5478.02
0.1 .5478
0.00
= P(Z < 0.12)P(X < 18.6)
6-10
Probabilidade na cauda superior
Suponha X normal com μ = 18.0 e σ = 5.0.
Encontre P(X > 18.6)
X
18.6
18.0
6-11
(cont)
Z
0.12
0Z
0.12
0.5478
0
1.000 1.0 - 0.5478 = 0.4522
P(X > 18.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)
= 1.0 - 0.5478 = 0.4522
Probabilidade na cauda superior
6-12
Probabilidade entre dois valores
Encontre P(18 < X < 18.6)
P(18 < X < 18.6)
= P(0 < Z < 0.12)
Z0.12 0
X18.6 18
05
8118
σ
μXZ
0.125
8118.6
σ
μXZ
Calculando valores de Z:
6-13
Z
0.12
Probabilidade entre dois valores
0.0478
0.00
= P(0 < Z < 0.12)P(18 < X < 18.6)
= P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0)= 0.5478 - 0.5000 = 0.0478
0.5000
Z .00 .01
0.0 .5000 .5040 .5080
.5398 .5438
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
.02
0.1 .5478
6-14
Probabilidade na cauda inferior
Encontre P(17.4 < X < 18)
X17.4 18.0
P(17.4 < X < 18)
= P(-0.12 < Z < 0)
= P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.12)
= 0.5000 - 0.4522 = 0.0478
0.0478
0.4522
Z-0.12 0
A distribuição normal é simétrica, por isso…
P(-0.12 < Z < 0) = P(0 < Z < 0.12)
6-15
Regra empírica
μ ± 1σ cobre 68.26% da área
f(X)
Xμ μ+1σμ-1σ
Para qualquer distribuição normal:
σσ
68.26%
6-16
Regra empírica
μ ± 2σ cobre aprox. 95% da área
μ ± 3σ cobre aprox. 99.7% da área
xμ
2σ 2σ
xμ
3σ 3σ
95.44% 99.73%
(cont)
6-17
Calculando X a partir da probabilidade
Exemplo: X representa o tempo (seg) para baixar uma imagem na
internet.
X tem distribuição normal com μ = 18 e σ = 5.0
Encontre X tal que 20% dos tempos de download são inferiores a X.
X? 18.0
0.2000
Z? 0
6-18
Calculando X a partir da probabilidade
20% de área na cauda inferior corresponde a Z igual a -0.84
X? 18.0
0.2005
Z-0.84 0
1. Encontre Z para a probabilidade
Dica: na tabela procure Z para 80% e inverta o sinal
Z 0,03 0,04 0,05
0,0 0,5120 0,5160 0,5199
0,7 0,7673 0,7704 0,7734
0,8 0,7967 0,7995 0,8023
0,9 0,8238 0,8264 0,8289
6-19
2. Converta para X com a fórmula:
Calculando X a partir da probabilidade
8.13
0.5)84.0(0.18
ZσμX
Então, 20% dos valores com
distribuição normal de μ = 18 e σ = 5.0 são inferiores a 13.80.