Download - Adicion de Momentos Angulares
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NICOLS MARIN MIRIAM MARMARAMECNICA CUNTICA II
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La composicin de los momentos angulares es muy importante para el entendimiento de fenmenos subatmicos.
Ejemplo el momento total del electrn esta compuesto de dos partes: parte orbital L y parte del espn S.
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Vamos a considerar dos momentos angulares J1 y J2, los cuales satisfacen las relaciones habituales de conmutacin :
Conjunto de eigenestados de J1 y J2 son
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De tal manera que
Y las dimensiones de los espacios que pertenecen J1 y J2 vienen dados por y .
Operadores
Base
Dimensin
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Consideremos ahora las dos partculas (o subespacios) 1 y 2 juntos. Los operadores forman un conjunto completo por lo que se pueden diagonalizar por el mismo conjunto de eigenestados. Ya que las coordenadas de J1 y J2 son independientes,
por lo que escribimos
Los kets forman una base completa y ortonormal
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Utilizando
Y si y son completos y ortonormales llegamos a que la base es completa y ortonormal.
La base abarca el espacio total que hacen los sub 1 y 2. Dimensin total
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Operadores escaleras
El problema de sumar es encontrar los eigenestados y eigenvectores en trminos de 1 y 2 . Adems las matrices tienen dimensin diferente por lo que no es suma de matrices. J satisface las relaciones de conmutacin y notemos que conmutan de forma conjunta, esto puede ser cerciorado por la relacin :
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A pesar de eso, no conmutan separadamente
forman un conjunto de operadores completos, pueden ser diagonalizados por los mismos estados. Este conjunto de eigenestados son:
Para cada j, para m existen 2j +1 valores, como j1 y j2 son fijos, cambiamos la notacin a los cuales cumplen:
El espacio donde J opera es abarcado por esta base, ESPACIO DEL PRODUCTO
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El problema consiste en encontrar los eigenestados de y y la expresin de los estados en trminos de
Transformacin: Insertamos el operador identidad como una suma de la base completa
Estos coeficientes son tomados para ser reales, por lo tanto
El problemas de la adicin se reduce a encontrar estos coeficientes
Coeficientes de Clebsch-Gordan:elementos de la matriz de transformacin que conecta ambas bases.
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Relacin de ortonormalizacin para estos coeficientes
Y como los coeficientes son reales
Del mismo modo
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Vamos a encontrar los eigenvalores j y m en trminos de j1, j2, m1 y m2, como entonces m= m1 + m2. j?
Sabemos que
Esto nos lleva a
Ahora sigue encontrar jmin , necesitamos usar el hecho de que existen (2j1+1)x(2j2+1) eigenkets. A cada valor de j le corresponden (2j+1) eigenestados
La demostracin se hace mas adelante
2
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Por lo que los valores de j
Los coeficientes desaparecen a menos que m=m1+m2, tenemos que
Adems
Por lo tanto
S
2
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Entonces para que los coeficiente de C-G no sean cero debemos tener:
Que son conocidos como reglas de seleccin de los coeficientes de Clebsch-Gordan
2
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A partir de muestre que
Solucin:Trabajemos primero del lado izquierdo, la cual podemos escribir como suma aritmtica, recordemos que Jmax=j1+j2, adems la suma tendr
trminos.
Esta suma la podemos representar de dos maneras equivalentes, podemos sumar desde el mximo al mnimo o del mnimo al valor mximo.
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Sumando estas dos series termino a termino, obtenemos
Como son trminos iguales uno de ellos lo multiplicamos por el numero de trminos que ya habamos mencionado:
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Pegando este resultado al lado derecho de la suma tenemos:
Entonces finalmente