aicapAssociazione Italiana
Calcestruzzo Armato e Precompresso
GUIDA ALL’USO GUIDA ALL’USO DELL’EUROCODICE 2 DELL’EUROCODICE 2
NELLA PROGETTAZIONE NELLA PROGETTAZIONE STRUTTURALESTRUTTURALE
Napoli
10 Maggio 2007
EFFETTI DEL 2° ORDINE IN PRESENZA DI EFFETTI DEL 2° ORDINE IN PRESENZA DI CARICO ASSIALE (SEZ.5)CARICO ASSIALE (SEZ.5)
Franco MOLAFranco MOLA, Sara CATTANEO, Francesca GIUSSANI, Sara CATTANEO, Francesca GIUSSANI
Politecnico di Milano, Dipartimento di Ingegneria StrutturalePolitecnico di Milano, Dipartimento di Ingegneria Strutturale
GENERALITA’
DEFINIZIONI
•Elementi o sistemi controventati
•Elementi o sistemi controventanti
•Elementi isolati
•Lunghezza effettiva
•Momenti nominali di secondo ordine
PRINCIPI
•Non linearità meccanica
•Non linearità geometrica
•Imperfezioni
•Interazione con strutture adiacenti
GENERALITA’
Analisi generale includente gli effetti legati a:
GLI EFFETTI DI SECONDO ORDINE POSSONO ESSERE TRASCURATI SE
INFERIORI DEL 10% DEI CORRISPONDENTI DI PRIMO ORDINE
Valore limite per la snellezza
Criteri semplificati per stimare la sensibilità agli effetti del secondo ordine di elementi isolati
lim
C20 A B
n
efA 1 1 0.2
B 1 2 s yd c cdA f (A f )
mC 1.7 r m 01 02r M M
Ed c cdn N A f
(A=0.7)
(C=0.7)0102 MM (B=1.1)
SNELLEZZA PER ELEMENTI ISOLATI
1 20
1 2
k kl 0.5 l 1 1
0.45 k 0.45 k
1 2 1 2
01 2 1 2
10k k k kl l max 1 ; 1 1
k k 1 k 1 k
EFFETTI GLOBALI NEGLI EDIFICI
EFFETTI DELLA VISCOSITA’
0B
EIl
N
cd cs
V,Ed 1 2s
E InF k
n 1.6 L
0Eqpef 0
0Ed
M,t
M
0
0Ed
Ed
,t 2
75
Mh
N
• Metodo Generale (GM) (Analisi in presenza di non linearità geometrica e meccanica)
• Metodo della Rigidezza Nominale (RN) (Metodo P-D,valutazione dei fattori di amplificazione degli effetti di primo ordine secondo il metodo della colonna modello migliorato)
• Metodo della Curvatura Nominale (CN) (Metodo del momento complementare)
I METODI DI MISURA DELLA SICUREZZA
• Non linearità meccanica e geometrica
• Nella legge s-e del calcestruzzo il parametro k deve valutarsi in
corrispondenza a fcd ed Ecd=Ecm/(gce=1.2)
• Amplificazione delle deformazioni istantanee con (1+ef)
• Non considerazione del contributo irrigidente del calcestruzzo
teso
IL METODO GENERALE
e0
v
F
P
v
F
bF
uF
vb vu vbu
(2)
(1)
(1) Crisi per instabilità
(2) Crisi per collasso sezionale
IL METODO DELLA RIGIDEZZA NOMINALE
• Non linearità geometrica
• Non linearità meccanica: stima della distribuzione delle
rigidezze flessionali
• Confronto fra le sollecitazioni agenti e quelle resistenti
c cd c s s sEI K E I K E I
• Non linearità geometrica: metodi generali o approssimati
v
F
a
a 2
a 1
P
2 2
1 2 1 1 12
kl 4 lP a a P M P M M M M
EI EI
s
1 2c
ef
K 1
k kK
1
ck1
fk [MPa]
20
s
cef
K 0
0,3K
1 0,5
s 2% s1% 2%
1M M 11 1
2k 4 1MM
1
a1 sinusoidale
20.030.0
2.01702
n
nK
IL METODO DELLA RIGIDEZZA NOMINALE
N [kN]
M [kN m]
PE PU*PU
e0MI=Pe0
M=MI/(1-)
PE=2EI/4l2
=P/PE
c cd c s s sEI K E I K E I
IL METODO DELLA CURVATURA NOMINALE
• Elementi singoli, forza normale costante, lunghezza di libera
inflessione definita
• Confronto fra il momento agente e quello resistente ultimo
Ed 0Ed 2M M M 0e 02 01 02 02 01M 0,6M 0,4M 0,4M M M
2 Ed 2M N e 20
2
l1e
r c
r0
1 1K K
r r• Stima della curvatura nella sezione critica
yd
0
1r 0.45d
u
ru bal
n nK 1
n n
Ed
cd c
u
Nn
f A
n 1
baln 0,4
efK 1 1
ckf
0,35200 150
M01
M02
Momento complementare
IL METODO DELLA CURVATURA NOMINALE
1/r [1/m]
M [kNm]
N [kN]
M [kN m]1/r0
MI
N=NEd
N=NEd
MI
MII
MII
MU
1/rU
2
20
Ed2 π
l
r
1NM
MI=M-MII
2
20
2 π
l
r
1NM
1/r
Curvatura di equilibrio (MC)
Curvatura nominale (CM)
MI
(1/r0)*
rm=-1/2 , C=2.2 (caso (a)) , k1=[h/3(EI)b][(EI)c/l]=0.6 , k2=0
rm=-1/2 , C=2.2 (caso (b)) , k1= , k2=0
rm=0 , C=1.7 (caso (c)) , k1= , k2=
rm=1 , C=0.7 (caso (d)) , k1=0.6 , k2=0
rm=1 , C=0.7 (caso (e)) , k1= , k2=0
ESEMPIO 1 – Controllo della snellezza
(EI)b
(EI)c
h
l
Pd
(a)
(EI)b
(EI)c
h
l
Pd
(b)
(EI)b
(EI)c
h
l
Pd
(c)
(EI)b
(EI)c
h
l
Pd
(d)
(EI)c l
Pd
(e)
450
450
50 50
(4+4)20
fck = 35 MPafyk = 450 MPaef = 2 = 0.2446Pd = 1.5 MN(EI)b/(EI)c=2/3h/l = 1.20l = 6 m
lim
20 0.714 1.22 2.262.76
0.373
lim
12 0.60.5 6 1 28.95
0.45 0.45 0.6
lim
20 0.714 1.22 2.262.76
0.373
lim
120.7 6 32.33
0.45
lim
20 0.714 1.22 1.748.49
0.373
lim
126 46.18
0.45
(EI)b
(EI)c
h
l
Pd
(a)
(EI)b
(EI)c
h
l
Pd
(b)
(EI)b
(EI)c
h
l
Pd
(c)
lim
20 0.714 1.22 0.719.97
0.373
1 2
lim1 2
12 10 k k 0.66 max 1 ; 1 63.51
0.45 k k 1.6
lim
20 0.714 1.22 0.719.97
0.373
lim
126 2 92.38
0.45
(EI)b
(EI)c
h
l
Pd
(d)
(EI)c l
Pd
(e)
ESEMPIO 2 – Misura della sicurezza allo stato limite di instabilità, applicazione dei metodi RN e CN
l
PdFd
e0
70
70
(10+10)24
5 5
l = 12000 mm
e0 = 400 mm
fck = 40 MPa
fcd = 22.67 MPa
fyk = 450 MPa
fsd = 391 MPa
euk = 75‰
ef = 2.5
Pd = 1 MN
Fd = 40 kN
Ecm = 35 GPa
ESEMPIO 2 - Metodo RN, analisi strutturale
l
PdFd
e0
70
70
(10+10)24
5 5
EI=KcEcdIc+KsEsIs=17.751013 Nmm2
NB = 3.04 MN
NB / Ned = 1/ = 3.04 = 0.33
P = 10/8 ; F = 10/12
MEd = 1321 kNm
l0 = 2l = 24000 mm
r = 202.07 mm
l = 119
n = 0.09
Ks = 1 , , k2 = 0.063
Kc = 0.0254
Ecd = 29.167 GPa , Es = 200 GPa
1 ckk = f 20=1.41
α-1
αβ1lF
α-1
αβ1ePM F
dP
0dEd
bp,bf, coefficienti di correzione dipendenti dalla distribuzione dei momenti di primo ordine
ESEMPIO 2 - Metodo CN, analisi strutturale
l
PdFd
e0
70
70
(10+10)24
5 5 1/r = 1/r0 =eyd/(0.45d)= 6.6910-6 mm-1
e2 = 4l2/2 (1/r0) = 390.44 mm
MEd = MI + P e2
MEd = 1270 kNm
= 0.318
nu = 1.318
Kr = 1.338 > 1
essendo Kr > 1, si assume Kr = 1.
= –0.243
K = 0.39
essendo K < 1, si assume K = 1.
ESEMPIO 2 – Analisi sezionale
70
70
55
cu
A’s =45 .2 cm 2
As=45.2 cm 2
’s
yn
s
c = cu
’s = -1.70‰
s = 19.94‰
= yn/h = 0.139
N = -1 MN
MR = 1374 kNm
MEd (RN) = 1321 kNm
MEd (CN) = 1270 kNm
ESEMPIO 3 - Progetto di una colonna
l
Pd Fd
e0
y
z
l = 20210 mm
Pd = -1450 kN
e0 = 200 mm
Fd = 20 kN
d’ = 50 mm
n = Pd/(fcdbh) b = 800 mm
λ=2l 12/h=140 h=1000mm
1000
800
50 50
x
y
As
A’s=As
fck = 40 MPa
fcd = 22.67 MPa
fyk = 450 MPa
ef = 1.5
CONDIZIONE DI PROGETTO
l=140 ; n=-0.08
ESEMPIO 3 - Metodo CN
si assume nu = 1
Kr = 1.53 > 1 Kr = 1
K = 0.425 < 1 K = 1
1/r0 = yd/(0.45 d)
e2 = 4l2/2 yd/(0.45 d)
= 1 + n(l2/54)yd/d
l
Pd Fd
e0
y
z
1000
800
50 50
x
y
As
A’s=As
= 0.1052
s = 0.0682
As = 3161 mm2
NR = –1450 kN
MR = 1777 kNm
Pd = –1450 kN
MEd = 1781 kNm
a= 0.749 m
M2=1086 kNm
124 222
100
80 224
222 124
ESEMPIO 3 - Metodo CN, analisi sezionale
s
s
n 0.81 g
2yds
1s
1 g n0.8 0.5 0.4 0.8 n 0.5
1 g 54
0
s sg k
Soluzione teorica Soluzione progettuale
= 0.1053
s = 0.0717
As = 3328 mm2
NR = –1450 kN
MR = 1834 kNm
ESEMPIO 3 - Metodo RN
1,P 1,F
10 1 10 1M M 1 M 1
8 1 1 12 1 1
M1 = M1,P + M1,F
1 1,P 1,FM M 1.25M 0.83M
1
a = Nd / NBE NBE = (EI) p2 / 4l2
EI = KcEcdIc + KsEsIs
2s
cd c c s 3cd
E h 12EI E I K 2A d
E 2 bh
2 2d cd
2 2cd cd
N 4l n fE bh r 10E
ck1
fk
20Kc = k1 k2 / (1 + fef)
NBE = 2 EcdIc / 4l2,
EI = EcdIc cKc + 6 z0 ws = c (n, l, ws)
, k2 = n / 170 ≤ 0.20,
2s cd0
cd yd
E f1 2
E fEI = EcdIc [Kc + 6 z0 ws]
s s
0.1218 11 1.93 0.0852 15.84 0.7
1 1,P 1,Fs
11.25 0.83
15.84 0.7
s s
1 0.03850.0383 0.02 0.0185 0.0383
15.84 0.7 15.84 0.7
s
s
n 0.81 g
s
s s
1 g 0.03850.8 0.5 0.4 0.8 n 0.5 0.0383
1 g 15.84 0.7
0
s sg k
s 1 + gs()
s
0.075 0.10604
0.05402
0.0864
0.080 0.10557
0.05778
0.0771
0.079 0.10566
0.05706
0.0793
0.0791
0.10565
0.05714
0.0791
Pd = –1450 kN
MEd = 1957 kNm
a= 0.814 m
M2=1262 kNm
MRd=1994 kNm
524 222
100
80
222
ESEMPIO 3 - Metodo RN, analisi sezionale
CONFRONTO TRA I METODICalcolo della forza orizzontale massima
-METODO CN
kN 30.5821.2013761994
137610007492001450
mm 749
maxmaxmax 20
2
Edu
CNCNCNEd
MM
lFlFeePlFM
e
kN 25.8821.2011812901994F
kNm 181110008141450M
mm 814e
kNm 29010002001450
RNmax
22
2
1
eP
M P
-METODO RN
l
Pd Fd
e0
y
z
CONFRONTO CON IL METODO GENERALE E IL METODO DELLA COLONNA MODELLO
Fu (kN) e2 (mm) M2+MIP (kNm) ME,d (kNm)
CN 30.58 749 1376 1994= Mu
RN 25.88 814 1471 1994= Mu
MC 40.00 490 1000 1808<Mu
GM 46.50 419 897 1837< Mu
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0a [m m ]
-2 0
-1 0
0
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
F [
kN
]
M C
F = 4 0 k N(M C )m ax
F = 4 6 .5 k N(G M )m ax
F = 3 0 .5 8 k N(C N )m ax
F = 2 5 .8 8 k N(R N )m ax
P = 1 4 5 0 k N l = 2 0 2 1 0 m m e 0 = 2 0 0 m m fck = 4 0 M P a fy k = 4 5 0 M P a
S E Z . A -A
8 0 0
1 0 0 0
5 0 5 0
A s A s
e0P
F
A A
l
A s = 3 7 8 0 m m 2
s = 0 .0 8 1 5
CONFRONTO TRA I METODI DI ANALISICriterio di equivalenza
Metodo della Rigidezza Nominale
Metodo della Curvatura Nominale
2 1M M1
2
1 Ed 20
l 1M N 4
1 r
2cd1
0 c
n fMM 10E
0 c c 0 c c ydM E I / r E I / (0.45d)
2Ed cd
222 c
c c 2
N n fEr
E A4l
M2 (RN) M2 (CN)
02
2
2
14
r
lNM Ed
CONFRONTO TRA I METODI DI ANALISI
PE PU*PU
MI=Pe0
M=MI/(1-)
PUPU*
e0
(e0+e2)
M
N -N
MI=Pe0
M=P(e0+e2)
Metodo della Rigidezza Nominale Metodo della Curvatura Nominale