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AJUSTE DE CURVAS
6.1 Introdução
6.2 Método dos quadrados mínimos
6.2.1 Caso discreto
6.2.2 Caso contínuo
6.3 Caso não-linear
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AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO
No capítulo anterior vimos uma forma de trabalhar com uma função definida por uma tabela. A interpolação polinomial.
Nem sempre a interpolação é aconselhável.
1. Quando se quer aproximar um valor da função fora do intervalo de tabelamento. Extrapolação.
2. Quando os valores são medidas experimentais com erros. Neste caso a função deve passar pela barra de erros não pelos pontos.
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AJUSTE DE CURVAS6.1- INTRODUÇÃO
Graficamente, a extrapolação e o ajuste por barras de erros são vistos abaixo:
xexf )(
x
)(xf
x
xf
Curva ajustada
Curva extrapolada
Barra de erros
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AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO
Temos que ajustar estas funções tabeladas por uma função que seja uma “boa aproximação” e que permita extrapolações com alguma margem de segurança.
Dado os pontos
num intervalo [a,b], devemos escolher funções
, e constantes
tais que a função
se aproxime de
)(,,......,)(,,)(, 2211 mm xfxxfxxfx
)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n
)(,.......,)(,)( 21 xxx n
)()()()( 2211 xgxgxgx nn ).(xf
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AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO
Este modelo é dito linear pois os coeficientes a determinar aparecem linearmente.
Note que as funções
podem ser funções não-lineares, por exemplo:
PROBLEMA 1
Como escolher as funções ?
)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n
)(,.......,)(,)( 21 xxx n
.......,1)(,)( 221 xxgexg x
)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n
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AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO
Podemos escolher as funções
observando os pontos tabelados ou a partir de conhecimentos teóricos do experimento.
)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n
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AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO
Seja dada na tabela:
Devemos construir o diagrama de dispersão
x -1.0 -0.75 -0.6 -0.5 -0.3 0 0.2 0.4 0.5 0.7 1.0
f(x) 2.05 1.153 0.45 0.4 0.5 0 0.2 0.6 0.512 1.2 2.05
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Diagrama de dispersão – caso discreto
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
x
f(x) Série1
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AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO
Escolhemos a partir da forma dos pontos no diagrama de dispersão.
Procuramos a função que se aproxime ao máximo de que tenha a forma
(parábola passando pela origem)
PROBLEMA 2: Qual o valor de que gera melhor ajuste da parábola?
21 )( xxg
211 )()( xxgx
)(xf
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AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO
Dada uma função contínua em [a,b] e escolhidas as funções
todas contínuas em [a,b], devemos determi-nar as constantes de modo que a função
se aproxime ao máximo de .
)(....)()()( 2211 xgxgxgx nn
)(xf)(,......,)(,)( 21 xgxgxg n
n ,.....,, 21
)(xf
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AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO
Tanto no caso discreto quanto no caso contínuo o que significa ficar mais próxima?
Idéia: A função é tal que o módulo da área sob a curva seja mínimo!!!
x )(xfx
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6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Objetivo: encontrar os coeficientes j tais que a função
se aproxime ao máximo de f(x)
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Consiste em escolher os j’s de modo que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima.
)()()()()( 2211 xgxxgxgx nn
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto
Desvio em :Se a soma dos quadrados dos desvios
é mínima, cada desvio
será pequeno. Assim, j’s devem ser tais que minimizem a função
)()( kkk xxf d
m
kkk
m
kk xxf
1
2
1
2 ))()((d
)()( kkk xxf d
m
kkkn xxf
1
221 )]()([),,( F
kx
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto
Para obter um ponto mínimo devemos encontrar os números críticos, ou seja, j’s tais que
onde
nj
nj
2,1,0),,( 21
F
m
kknnkkk
n
xgxgxgxf1
22211
21
)]()()()([
),,(
F
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto
Calculando as derivadas, temos
Igualando a zero,
m
kkjknnkkk
j
xgxgxgxgxf
n
12211
),,(
)]()][()()()([2
21
F
njxgxgxgxgxfm
kkjknnkkk ,,2,1,0)]()][()()()([
12211
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto
Ou seja, temos um sistema linear a resolver
0)]()][()()()([
0)]()][()()()([
0)]()][()()()([
12211
122211
112211
m
kknknnkkk
m
kkknnkkk
m
kkknnkkk
xgxgxgxgxf
xgxgxgxgxf
xgxgxgxgxf
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto
Reescrevendo o sistema,
m
kknk
m
knknkn
m
kknk
m
kkk
m
knkkn
m
kkk
m
kkk
m
knkkn
m
kkk
xgxfxgxgxgxg
xgxfxgxgxgxg
xgxfxgxgxgxg
11111
12
12
1121
11
11
1111
)()()]()([)]()([
)()()]()([)]()([
)()()]()([)]()([
Sistema linear de n equações com n incógnitas
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto - Retas
Exemplo 1: Encontre a reta de mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos (2,1), (5,2), (7,3), (8,3). Calculemos para
)3.83.72.51.2()8752()8752(
)3321()8752()1111(
22222
1
21
. )(e1)( 21 xxgxg
4
1
4
12
4
11
4
1
4
12
4
11
).(.1.
1).(1.1.1
kkk
kkk
kkk
kkk
kkk
kkk
xxfxxx
xfx
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto - Retas
Logo,
57
9
14222
224
2
1
14/5
7/2
57
9
422
22142
84
1
57
9
14222
2241
2
1
xx14
5
7
2)(
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto - Retas
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 2 4 6 8 10
Série1
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto - Parábolas
Exemplo 2: Encontre a parábola através dos mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos da tabela
Vimos pelo diagrama de dispersão que uma parábola pela origem seria uma boa escolha, logo seja,
x -1.0 0.75 -0.6 -0.5 -0.3 0 0.2 0.4 0.5 0.7 1.0
f(x) 2.05 1.153 0.45 0.4 0.5 0 0.2 0.6 0.512 1.2 2.05
221
21 )()( xxxxxg
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto - Parábolas
Logo temos apenas uma equação dada por
Calculando as somas, segue que:2
11 0642.2)(0642.28756.58464.2 xx
11
1
211
1
41
11
11
11
1
211
11
11
11
1111
)()()(
)()()(
)()()]()([
kkk
kk
kkk
kk
kkk
kkk
xfxx
xgxfxg
xgxfxgxg
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto - Parábolas
Comentário 1: Note que a parábola pela origem, alinhada com o eixo dos y, que melhor ajusta os pontos fornecidos, através Método dos Mínimos Quadrados, é dada por
Comentário 2: Uma parábola da forma
permite um melhor ajuste dos pontos, mas o sistema a ser resolvido é 3X3 com várias somas e produtos intermediários, o que aumenta o tempo de processa-mento.
20642.2)( xx
2321)( xxx
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo
Para a notação não ficar carregada, consideremos apenas duas funções de ajuste
Sejam contínua em [a,b] e também contínuas em [a,b] escolhidas com algum critério.
Desejamos encontrar mais próxima de . Neste caso quais são ?
Do critério de mínimos quadrados:
ser mínimo!!!!!!!!
)(xf )(e)( 21 xgxg
)()()( 2211 xgxgx )(xf 21 e
dxxxfb
a
2)()(
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo
Calculando
),(
)()()(2)(
)()(2)()(2)(
)()()()()(2)(
)()()(2)(
)()(
21
22
222121
21
21
22112
222112211
2
22
2
F
dxxgdxxgxgdxxg
dxxgxfdxxgxfdxxf
dxxgxgxgxgxfxf
dxxxxfxf
dxxxf
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo
Analogamente ao caso discreto, minimizando
),( 21 F
0)()(2)(2)()(2
0),(2 Para
0)()(2)(2)()(2
0),(1 Para
2,1para0),(
12122
22
212
22112
11
211
21
dxxgxgdxxgdxxgxf
Fi
dxxgxgdxxgdxxgxf
Fi
iF
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
i
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo
Segue o sistema linear
Comentário: Se forem duas funções LI, então o sistema tem solução única para .
dxxgxfdxxgxgdxxg
dxxgxfdxxgxgdxxg
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
)()()()()(
)()()()()(
212122
2
122112
1
)(e)( 21 xgxg
21 e
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo - Reta
Exemplo: Encontre a reta através dos mínimos quadrados que melhor se ajusta a função no intervalo [0,1]. Seja , logo
Calculando os termos do sistema linear 2X2
. )(e1)( 21 xxgxg
34)( xxf
xxgxgx 212211 )()()(
2
1
2
1
2221
1211
b
b
aa
aa
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo - Reta
Calculando os termos do sistema linear
5/44)()(
14)()(
3/1)(
2/1)()(
11)(
422
311
21
0
2222
1
021
1
01221
1
0
21
1
011
dxxdxxgxfb
dxxdxxgxfb
dxxdxxga
dxxdxxgxgaa
dxdxxga
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo - Reta
Obtemos o sistema linear
Logo, a reta que melhor ajusta no intervalo [0,1] e dada pelo método dos mínimos quadrados por
5
18
5
4
5
4
3
1
2
1
12
11
21
21
21
34)( xxf
xx5
18
5
4)(
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6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo - Reta
> plot([4*x^3, -4/5+x*18/5], x=0..1, color=[red,blue], style=[line,line]);
34)( xxf
)(x