Download - AKAR PERSAMAAN NON LINEAR
AKAR PERSAMAAN NON AKAR PERSAMAAN NON LINEARLINEAR
Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh :
02 cbxax
Solusi :a
acbbx
2
42
12
Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh :
03)( 23
xexf xx
Maka timbulah solusi dengan metode Maka timbulah solusi dengan metode numerik, dengan pembagian metode numerik, dengan pembagian metode sebagai berikut :sebagai berikut :
1. GRAFIS2. BISECTION3. REGULA FALSI4. SECANT5. NEWTON RHAPSON6. ITERASI FIXED POINT
1. GRAFIS1. GRAFISMerupakan metode mencari akar
dengan cara menggambar fungsi yang bersangkutan
Contoh :Y = 2x2 – 3x -2
Jawab:Jawab:
x f(x)-1.40 6.12-1.20 4.48-1.00 3.00-0.80 1.68-0.60 0.52-0.40 -0.48-0.20 -1.320.00 -2.000.20 -2.520.60 -3.080.90 -3.081.20 -2.721.50 -2.001.80 -0.922.10 0.522.40 2.322.70 4.48
Dengan memasukkan harga “x” didapat nilai fungsi f(x)
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
-2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00
X
f(x)
2. BISECTION2. BISECTION• Metode ini melakukan pengamatan
terhadap nilai f(x) dengan berbagai nilai x, yang mempunyai perbedaan tanda.
• Taksiran akar diperhalus dengan cara membagi 2 pada interval x yang mempunyai beda tanda tersebut.
F(x)
x
x1
x2x3
x4 x5
1) Pilih x1 bawah dan x2 puncak taksiran untuk akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan memastikan :
2) Taksiran akar x, ditentukan oleh :
0)().( 21 xfxf
Algoritma :
221 xx
xr
3) Buat evaluasi dengan memastikan pada bagian interval mana akar berbeda :
* jika f(x1).f(x2) < 0 akan berada pada bagian interval
bawah, maka x2 = xr , dan kembali kelangkah 2 * Jika f(x1).f(x2) > 0 akan berada pada bagian interval atas , maka x1 = xr , dan kembali
kelangkah 2 * Jika f(x1).f(x2) = 0, akar setara xr, perhitungan dihentikan, atau bisa juga :
)().( 21 xfxf
Dimana ε adalah harga toleransi yang dibuat.
Contoh :Contoh :
Carilah akar persamaan dari :
001,0 ,033)( 23 denganxxxxf
Penyelesaian:
Hitung nilai )(xf
pada interval antara 2 titikuntuk x=1, 43)1(3)1()1()1( 23 xf
untuk x=2 33)2(3)2()2()2( 23 xf
Fungsi diatas adalah kontinyu, berarti perubahan tanda dari fungsi antara x=1 dan x=2 akan memotong sumbu x paling tidak satu kali. titik perpotongan antar sumbu x dan fungsi merupakan akar-akar persamaan.
hitung nilai rx , kemudian hitung fungsi )( rxf
5,12
21
221
xxxr
875,13)5,1(3)5,1()5,1()5,1( 23 rxf
Langkah selanjutnya adalah membuat setengah interval berikutnya untuk membuat interval yang semakin kecil, dimana akar persamaan berada. Hasil perhitungan ditunjukkan pada tabel berikut.
No. x f(x)1 1.5 -1.8752 1.75 0.1718753 1.625 -0.9433594 1.6875 -0.4094245 1.71875 -0.1247866 1.734375 0.022037 1.726563 -0.0517558 1.730469 -0.0149579 1.732422 0.003513
10 1.731445 -0.00572811 1.731934 -0.00110912 1.732178 0.00120113 1.732056 4.6E-05
Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:
3. Metode Regula 3. Metode Regula Falsi.Falsi.
• Kekurangan metode bisection adalah membagi dua selang diantara x1 dengan x2 menjadi dua bagian yang sama, besaran f(x1) dan f(x2) diabaikan. Misalnya, jika f(x1) lebih dekat ke nol daripada f(x2), kemungkinan besar akar akan lebih dekat ke x1 daripada ke x2.
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x
y
Algoritma :Algoritma :1) Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran akar,
sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan: f(x1) . f(x2) < 0
2. Taksir akar xr, ditentukan oleh:
a) Buat evaluasi berikut untuk memastikan harga akar : b) Jika , maka akar berada pada bagian
interval bawah, maka , kembali ke langkah 2.c) Jika maka akar berada pada bagian
interval atas, maka , kembali ke langkah 2.d) Jika , akar setara xr maka hentikan
perhitungan.
)()()(
12
1222 xfxf
xxxfxxr
0)().( 1 rxfxf
rxx 2
0)().( 1 rxfxf
rxx 1
0)().( 1 rxfxf
Contoh:Contoh:
00001.0
1)( 6
xxxf
ditentukan ; 2.1
1
2
1
x
x
subtitusikan pada persamaan ;
78598,012,1)2,1()2,1( 6 f
111)1( 16 xf
maka nilai 11198,1))1(78598,0(
)12,1(78598,02,1
rx
22146,0111198,111198,1)1198,1( 6 f
Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:
No. x f(x)1 1 -12 1.2 0.7859843 1.111983 -0.2214294 1.131329 -0.0346415 1.134228 -0.0050996 1.134652 -0.0007447 1.134714 -0.0001088 1.134723 -1.58E-05
4. 4. Metode SecantMetode Secant • Metode ini memerlukan dua taksiran awal
akan tetapi karena f(x) tidak disyaratkan untuk berganti tanda diantara taksiran-taksiran, maka metode ini tidak digolongkan sebagai metode pengurung.
• Persamaan yang dipakai metode secant adalah
)()(
))((
1
11
nn
nnnnn xfxf
xxxfxx
x1x2
f(x1)
f(x2)
x
y
x3
Algoritma :Algoritma :• Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran
akar.• Taksir akar xn+1, ditentukan oleh:
• Perhitungan dihentikan jika f(x n+1) ≈ 0 atau Є = yang ditentukan
)()(
))((
1
11
nn
nnnnn xfxf
xxxfxx
Contoh:Contoh:
1111)1( 6 f
61122)2( 6 f
01)( 6 xxxfDitentukan taksiran awalnya adalah :
X1 = 1
X2 = 2
016129,1)1(61
)12(6121
nx
No. x f(x)1 1 -12 2 613 1.016129 -0.9153684 1.030675 -0.8319215 1.175689 0.4652276 1.123679 -0.1106337 1.133671 -0.0108068 1.134753 0.0002949 1.134724 -7.48E-07
Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:
5. Metode Newton Rhapson5. Metode Newton Rhapson• Metode ini paling banyak digunakan
dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan. Jika perkiraan dari akar adalah xi, suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, f(xi). Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.
x
y
x1x2
Algoritma :Algoritma :
• Tentukan nilai x1 sebagai terkaan awal
• Buat taksiran untuk x1+n dengan persamaan :
• Perhitungan dihentikan jika f(x n+1) ≈ 0 atau Є = yang ditentukan
)(
)('1
n
nnn xf
xfxx
Contoh :Contoh :
01)( 6 xxxf
61122)2( 6 f
016)( 5' xxf
Ditentukan taksiran awal x1 = 2
1911)2(6)2( 5' f
680628,1191
6122 x
No. x f(x) f'(x)1 2 61 1912 1.680628 19.85294 79.446953 1.430739 6.146795 34.971074 1.254971 1.651657 17.677545 1.161538 0.29431 11.685846 1.136353 0.016826 10.368897 1.134731 6.57E-05 10.28795
Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:
6. 6. Metode Iterasi Fixed Metode Iterasi Fixed PointPoint
• Teknik iterasi fixed point dijalankan dengan cara membuat fungsi f(x) menjadi bentuk fungsi implisit f(x)=0 kemudian x=g(x), iterasi yang digunakan adalah dalam bentuk persamaan; xn+1 = g(xn)
Algoritma :Algoritma :
• Tentukan nilai taksiran awal xn
• Lakukan perhitungan taksiran akar dengan mempergunakan persamaan;
Xn+1=g(xn)
• Perhitungan dihentikan jika;
nn xx 1
Contoh:Contoh:X2 - 3x + 1 = 0
3x = x2 + 1
X = 1/3 (x2 +1)
ε = 0,001
Ditentukan x0 = 2
X= 1/3(22+1) = 1,667
Іx1 – x0І= 1,667 – 2 = 0,333
No. Xn Іxn - x n+1І1 2 -2 1.6667 0.33333 1.2593 0.40744 0.8619 0.39735 0.5810 0.28096 0.4458 0.13517 0.3996 0.04628 0.3866 0.01309 0.3831 0.003410 0.3823 0.0009
Tabel Hasil Perhitungan