Journées Franciliennes de Recherche Opérationnelle(24 Juin 2005)
Un algorithme de coupes pour le problème de l’affectation quadratique
Alain Faye , Frédéric RoupinCEDRIC - IIE - CNAM
Plan
• Problèmes quadratiques en 0-1– Méthode polyédrique (PL)– Programmation semi-définie (SDP)
• Affectation quadratique– Inégalités valides– Résultats numériques en PL et SDP
min f (x) ciixii1n cijxixjj1, ji
ni1n
s.c. Ax b , x 0,1 n
Programme quadratique en 0-1
Localisation, placement de tâches sur des processeurs, affectation quadratique, partition de graphe, recherche de sous-graphes denses de cardinal fixé,...
3
Méthode polyédrique
Principe
• Linéariser f en posant xi xj = yi,j
5
Min f (x) s.c. xX {0,1}n
• LX = {(x,y): x X, yi,j = xi xj 1i<jn}
Lf = min
Direction du min de Lf
optimum
Pb: expliciter les facettes de P
• P = Conv(LX)
++
+++
++ +
+
+
Programmation semi-définie
(Pb) min xtQx + ctxs.c. xtAix + di
t x = bi iIai
t x = bi i{1,…,p}
Problème en 0-1xi
2 - xi = 0 i{1,…,n}
7
=
min QY + ctx s.c. AiY + di
t x = bi iIai
t x = bi i{1,…,p}Y = x xt
y11 y12y21 y22
x1x1 x1x2x2x1 x2x2n=2
Relaxation semi-définie
Y ≽ x xt
(SDP)
≽
01
Yxxt
01
22212
12111
21
yyxyyxxx
≽
≽
Problème en 0-1yii
- xi = 0 i{1,…,n}
Affectation quadratique
Blanchard , Elloumi , Faye , Wicker. Un algorithme de coupes pour l’affectation quadratique. INFOR 41 n°1 (2003).
Roupin. From linear to semidefinite programming: an algorithm to obtain semidefinite relaxations for bivalent quadratic problems. Journal of Combinatorial Optimization. Vol.8(4) (2004).
Faye, Roupin. A cutting planes algorithm based upon a semidefinite relaxation for the Quadratic Assignment Problem. Conférence ESA 2005. A paraître dans Lectures notes in computer science.
Affectation quadratique
min qijxijj1
n
i1
n qij hk xijxhk
k 1k j
n
h1hi
n
j1
n
i1
n
s.c.
xiji1
n 1 j N {1,. .. ,n}
xijj1
n 1 i N {1,..., n}
xij 0,1 i , j N {1,... ,n}
Polytope affectation quadratique Pn (Padberg, Rijal 96)
9
0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0
x =
n = 4
Enveloppe affine
Nix
Njx
n
jij
n
iij
1
1
1
1
Nkihixy
Njkhjxy
hk
n
jhkij
hk
n
ihkij
,,
,,
1
1
O(n3) contraintes
On peut « économiser » O(n2) contraintes (description minimale)Blanchard , Elloumi , Faye , Wicker. Une famille de facettes pour le polytope de l’affectation quadratique. Rapport de recherche 330 CNAM (2002)
10
Famille d’inégalités valides
Soit i, h, l 3 indices de lignes distincts et {j}, A, B une partition des indices de colonnes et C B
Exemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, A={2}, C={3,4} y2133
y2134
y2142 y33 44 y33 45y34 43 y34 45
1 2 3 4 512345
11
0 0
1 2 3 4 512345
11
0 0
11
Propriétés
• Inégalité induit une facette de Pn si C est un sous-ensemble propre de B
• Pb de séparation NP-difficile (Max-Cut se réduit à ce pb en temps polynomial)
• Résolution du pb de séparation par une heuristique
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45**44**42**3321 yyyy 4221y
Recherche d’ inégalités violées
Soit i, h, l 3 indices de lignes et {j}, C={c} indices de colonnes, trouver A, B,{j}, une partition des indices de colonnes et C BExemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, C={3}
13
453443343421 yyy
443543353521 yyy
422142**42334221 yyyy
443344**44334421 yyyy
453345**45334521 yyyy
On a A={2}, on va compléter C ={3}
4433y 4533y
453443343421 yyy
C={3,4}
Njkihjiy
Nkihixy
Njkhjxy
Nix
Njx
yqxq
hkij
hk
n
jhkij
hk
n
ihkij
n
jij
n
iij
n
i
n
i
n
j
n
ihh
n
jkk
hkijhkij
n
jijij
,,,0
,,
,,
1
1
s.c.
min
1
1
1
1
1 1 1 1 11
PL initial
PL de Resende, Ramakrishnan, Drezner 9514
01
,
,,,0
1
1
,,
,,
1
1
s.c.
min
1 1
1 1
1
1
1
1
1 1 1 1 11
Yxx
Njixy
Nkhjiy
Niy
Njy
Nkhixy
Nkhjxy
Nix
Njx
yqxq
t
ijijij
hkij
n
j
n
kikij
n
i
n
hhjij
hk
n
jhkij
hk
n
ihkij
n
jij
n
iij
n
i
n
i
n
j
n
h
n
khkijhkij
n
jijij
≽
SDP initial
15
Propriété de SDP initial
SB atteint solution quasi-optimale en assez peu d ’itérations
Spectral Bundle method (Helmberg)
Ex: Nug20. valeur optimale de SDP initial = 2503 (~15h)
en 1h30 valeur atteinte = 2492 > borne de Rendl-Sotirov
16
17
Quelques résultats numériques
PL
SDP
Comparaison des approches au niveau temps de calcul
18
19
Synthèse des résultats numériques
CPLEX9.0 pour PLsur Pentium IV
PL initial (Resende, Ramakrishnan, Drezner 95) SDP initial
SB method pour SDP
L ’ajout des coupes accélère la résolution du SDPmeilleure convergence de SB
20
Conclusion
• Ajout des coupes – améliore les relaxations classiques PL et SDP
au niveau de la borne– améliore la relaxation classique SDP au niveau
du temps de calcul
• Travaux futurs– attaquer problèmes plus gros n>30– améliorer le démarrage à « chaud » en SDP
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FIN
Linéarisation produit (Adams, Sherali 86)
• remplacer produit xixj par une variable wi,j
(1) w i,j 0 (1i<jn)
(2) xi - wi,j 0 (1i<jn)
(3) xj - wi,j 0 (1i<jn)
(4) 1 - xi - xj + wi,j 0 (1i<jn)
• multiplication des contraintes par xi (1in)1j<in Aj wj,i + 1i<jn Ajwi,j (b- Ai) xi
• multiplication des contraintes par 1 - xi (1in)1j<in Aj (xj - wj,i ) + 1i<jn Aj(xj - wi,j ) b (1 - xi)
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(Pb) min xtQx + ctxs.c. xtAix + di
t x = bi iIai
t x = bi i{1,…,p}
Problème en 0-1xi
2 - xi = 0 i{1,…,n}
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Relaxation lagrangienne de (Pb) = dual de (SDP)(Lemaréchal, Oustry 99)
Relaxation semi-définie
(SDP) min QX + ctx s.c. AiX + di
t x = bi iIai
t x = bi i{1,…,p}X ≽ x xt
Recherche d’ inégalités valides violées
Soit i, h, l 3 indices de lignes et {j}, C={c} indices de colonnes, trouver A, B,{j}, une partition des indices de colonnes et C BExemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, C={3}
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45**44**42**3321 yyyy
453443343421 yyy
443543353521 yyy
45**44**42213321 yyyy
45**443342213321 yyyy
4533443342213321 yyyy
422142**42334221 yyyy
443344**44334421 yyyy
453345**45334521 yyyy
45344334
453344334221
3421
3321
yyyyy
yy
On a A={2} maintenant on va compléter C ={3}
Finalement C={3,4}
1 2 3 4 512345
11
0 0
1 2 3 4 512345
11
0 0
01
Yxxt
01
22212
12111
21
yyxyyxxx
≽
≽
L ’ajout des coupes accélère la résolution du SDPmeilleure convergence de SB
had14
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