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MUNICIPALIDAD DISTRITAL DE CHONGOYAPECICLO DE NIVELACIÓN ACADÉMICA VERANO 2010
EXPRESIÓN ALGEBRAICA (E.A.)
Es el conjunto de números y letras unidas entre sí por las operaciones fundamentales (Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Radicación y Potenciación), en forma finita y sin variables como exponentes
1) 5 x2y3
2)
2 yx+3
+ √3x2
− x2+1x+1
Toda expresión que no cumple con estas condiciones no es expresión algebraica.
1) 3x - log x2 2) 1 + x - x2 + x3 - x4 + ...
TÉRMINO ALGEBRAICO
Es la mínima expresión algebraica, cuyos números y letras, no están separadas ni por el signo más ni por el signo menos.
Partes de un Término algebraico
−7⏟ x2 y3⏟
TÉRMINOS SEMEJANTESSon aquellos que tienen la misma parte literal,
afectadas de iguales exponentes.Ejemplos:
5 x3yz5; -0,5 x3yz5; √3 x3yz5;
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
I. Por la naturaleza de los exponentes: Una E.A puede ser:
1) E.A. Racional (EAR) : Son aquellas cuyas variables están afectadas por exponentes enteros. A su vez pueden ser:
I.1. E.A.R. Entera (EARE): Los exponentes son enteros positivos, incluyendo el cero.
I.2. E.A.R. Fraccionaria (EARF): Los exponentes de sus variables son enteros negativos.
2) E.A. Irracional (EAI): Son aquellas cuyas variables están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios.
Ejemplos:
2) x1
2−5 xy2+ 3√2 x EAI
3) x−3 y2+ 5
x+1 EARF
II. Por el número de términos: Una E.A puede ser:1) Monomio: Expresión algebraica de un término.
Ejemplos: 7x2yz3 ; 4x1/2yz-1
2) Multinomio: Expresión algebraica de dos o más términos:Ejemplos:
1) x - y + 2 ; 2) 3x + y-2 + 7
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica racional enteraMonomio: E.A.R.E de un sólo término.Binomio: Es el polinomio de dos términos.Trinomio: Es el polinomio de tres términos.
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO
Es el valor que adquiere un polinomio cuando se le asigna determinado valor a su variable.
Ejemplo: Si P(x) = x3 – 5x2 + 4, entonces
P(1) = (1)3 – 5(1)2 + 4 = 0
P(-2) = (-2)3 – 5(-2)2 + 4 = 6
Nota : La suma de los coeficientes de P(x) = P(1), esto es,
coef. de P(x) = P(1)
El término independiente de P(x) = P(0), esto es
T. I. de P(x) = P(0)
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Exponente
Parte literal (Variables)
Coeficiente (N° Reales)
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TEORÍA DE EXPONENTES : Si a R - o, n N, se define
a0 = 1an = a . a . a . . . a⏟
n−veces donde, a: base, n : exponente an : n-ésima potencia de a.
Propiedades:
1. am . an=am+n
2.
3. (ab )n=an bn
4.( ab )
n
=an
bn; b 0
5. (am )n=amn=(an )m
6.
a−n= 1
an; a 0
7.( a
b )−n
=( ba )
n
; a 0, b 0
8.n√a=a1/n
9. n√ab=n√a . n√b
10.
n√ ab=
n√an√b , b 0
11. n√am=a
mn =( n√a )m
12. am .
n√a p=n√amn .ap
13.
m√n√p√a=mnp√a
14.
n√an√a n√a .. . .. .. . .. ..=n−1√a
15.
n√a÷n√a÷n√a÷. .. . .. .. .. . .=n+1√a
Ecuación Exponencial
Es una igualdad entre dos expresiones que contienen a la variable como exponente.Ejemplos:
1) 2x = 85x-1 2) xx = aa
Propiedades:
1) Si ax = ay x = y a > 0 y a 1
2) Si ax = bx a = b a > 0 y b > 0
3) Si ax = by x = y = 0, para todo a,b R.
Ejercicios Nº 01
1. Resolver: x√ x=9√3
a) 27 b) 9 c) 3 d) 16 e) 1/3
2. Hallar: xx x2+2
=4a) 2 b)√2 c) 4 d)
x√2 e)1/2
3. Resolver: 89−x−1
=2a) 2 b) 3 c) -1/2 d) 1/2 e) -2
4. Hallar “x”
5x
√2512−x
=325 x+2
a) 1 b) 3 c) 2 d) 1/2 e) 2/3
5. Resolver:
x−1√ x3 x−20−xx
x x−x=x
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
6. Hallar “x”4 x−1=(0 , 25
3√2)−20 ,6⏞
a)1 b) 4 c)2 d)5 e)3
7. Hallar el exponente de “x” al reducir;
n√ x3 n+ n√ x4 n2
+x3 n2
x2n2
+xn2
xn+1a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) n
8. Calcular el valor de:
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E=27 xx+1x2+2 x3+3 x4+4
; para: x= -3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
9. Simplificar:
k=(√√√3√√√3√√3√3√3√3√3√3 )3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10. Calcular:
E=√2+√2+√2+ .. ..+√2−√2−√2− .. ..a) 4 b) 3 c) 2 d) 6 e) 8
11. Resolver: xx xx x
. ..
=3
a) 4 b) 2 c) ½ d) 3√3 e)
4√2
12. Hallar :
P=√ x
√ x
√ x:
a)√ x b)x c)2√ x d) 3√ x e)3√ x
13. Si: xx x+ 5
=4√3
4√34√3 .. ..
Hallar: E=xx3 xx +5+( x+5 )
a)1 b)9 c)327 d)3 e)381
14. Hallar A:B si:
A=3√5√32
3√5√32. . .
B=3√ 5
√32
3√ 5:
a)2 b)3 c)1 d)4 e)6
15. Resolver:
x1+x1+x1+x ...
=4√ x5
4√x5
4√ x5:.
¿ ¿a)2 b)
6√2 c) 5√4 d) 3 e) N.A
16. Resolver:
x2,2− x2,2−x2,2−x ..
.
=4√ x
4√ x
4√ x:
a) 64 b)8√2 c) 32 d) 16 e) √2
17. Si se cumple: x5 5x
Calcule: 1x
xxx1A
5
5xx5x5
a) 5 b) 1 c) 4 d) 16 e) 8
18. Calcular: x–12
Si: 6x6x
1
a) 36 b) 6 c) 12 d) 1 e) n.a
19. Calcular el valor de:
2
4
22
x
1x
x
1x
Si: 4x2x2x
a) 2 b) 1 c) 3/2 d) 5/2 e) ¾
20. Halle el equivalente de la expresión:99 7
73
1
32
6
1
a) 1/6 b) -1/6 c) 1 /36 d) 6
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21. Simplificar la expresión:
0x;xxx
xxxxx 16
9753
.
a) 1 b) x c) x2 d) x e) x
1
22. ¿Cuántas de las siguientes expresiones no son trascendentes?I) 1+x+x2+x3+.. II) x2-2x-1III) 5+2x+x3 IV ) x2-6x+log3 V) 8-x+senx
a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
23. Si la expresión: es racional entera, el valor de "m" es:
a) -3 b) -2 c) 2 d) 5 e) 8
24. ¿Qué valor como mínimo debe tomar "n" para que
E = x sea racional fraccionaria?a) 6 b) 10 c) 5 d) -2 e) 2
25. Determinar los posibles valores de "a" para que la expresión sea racional entera.
E(x,y,z)=
a) {2,4,6} b) 2,3,4} c) {0,1,2} d) {1,2,3} e) {3,4,5}
26. Indicar la suma de todos los valores de "n" de tal
modo que al simplificar , se obtenga una E.A.R.E.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
27. Clasifique la siguiente expresión matemática:
E = y8 z-6
a) E.A.R.E b)E.A.R.F c) E.A.Id) E. Trascendente e) N.A
28. Señale verdadero o falso respecto a estas expresiones:
I. √5 x y3. es irracionalII. 3 x y + y2 es racional entera
III. es racional fraccionaria
a) VFV b) VFF c) VVV d) FFF e) VVF
GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Monomio: Es una expresión algebraica racional entera que tiene un solo término.Grado de un monomio:
1. Grado Relativo: Cuando se refiere al exponente de la variable indicada.
2. Grado Absoluto: Es la suma de los exponentes de las variables.
Ejemplo: Sea M = 3x4y6z13
GR(x) = 4; GR(y) = 6; GR(z) = 13GA = 4 + 6 + 13 = 23
Polinomio: Es la expresión algebraica racional entera que posee dos o más términos algebraicos.Grado de un polinomio:
1. Grado relativo: Se refiere al mayor exponente de la variable indicada.
2. Grado absoluto: Está determinado por el término de mayor grado.
Ejemplo:Dado P(x,y) = 3x5y2 – x3y8 + 2x10y3
1) Grado relativo: GR(x) = 10 ; GR (y) = 8 G.A. = 13
POLINOMIOS ESPECIALES.1. Polinomios Homogéneo: Es aquel cuyos términos
están constituidos por más de una variable y presentan el mismo grado.
Ejm.: P(x, y) = 2xy4 – 3x3y2 + y5 homogéneo de 5to. grado
2. Polinomio Ordenado: Presenta un orden ascendente o descendente en los exponentes de su variable.
P(x, y) = x3y – x3y2 + xy3 Polinomio ordenado, ascendente respecto a “X” y en forma descendente respecto a y.
3. Polinomio Completo: Con respecto a una variable, si dicha variable presenta todos los exponentes desde 0 hasta el grado de polinomio.
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4 1m 3
m2
x
x x
n -1-1- x x x
z 8 m 25z x 83
1a-42-a axy
2 n 2
8 n 7n
x
x x
x
3
2
2
5
3 2
23/1
3
34
x
yx
z
yx
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Ejm.: P(x) = 2x4 – 3x3 + 8x2 + 54. Polinomios Idénticos : Son aquellos cuyos términos
poseen el mismo coeficiente. Ejm:P(x) = ax3 + bx2 + c y Q(x) = mx3 + nx2 + pson idénticos P(x) = Q(x), si se cumple que:
a = m b = n y c = p
5. Polinomios Idénticamente Nulo: Cuando los coeficientes de sus términos son nulos o ceros.
Ejemplo: ax3 + bx + c = 0 ; es idénticamente nulo,entonces a = b = c = d = 0 y P(x) = 0
6. Polinomio Mónico : Es aquel polinomio entero en x se caracteriza por que su coeficiente principal es igual a la unidad.
Ejemplo: P(x) = x5 – 5x + 8
7. Polinomios Equivalentes : Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes aceptan igual valor numérico para un mismo sistema de valores asignado a sus variables.
Ejemplo: P(x,y) = ( x + y )2 – ( x – y )2 Q(x,y) = 2( x2 + y2 )
Nótese que P(x,y) y Q (x,y) son equivalentes.Se denota: P(x) <> Q(x)
* Nota: Propiedades:1) En todo polinomio completo y ordenado se cumple
que: # términos = Gº + 1.2) Grado de un producto: se suman los grados de los
factores.3) Grado de una división: Se resta el Dº - dº.4) Si es un monomio se menciona sólo “grado”, se
refiere al grado absoluto.
Ejercicios Nº 02
1. El polinomio:
P( x , y )=ax 3−a2 x2 y+a3 xy2−a4 y3
a) Es heterogéneo, ordenado y completo.b) Es homogéneo, desordenado y completo.c) Es homogéneo, ordenado y completo.d) No es homogéneo, no es ordenado ni completo.e) Es homogéneo, ordenado e incompleto.
2. Señale la afirmación falsa:a) Un polinomio completo no siempre esta ordenadob) Un polinomio ordenado no siempre está completo.c) Un polinomio completo de grado 6, siempre tiene 7
términos.d) Un polinomio completo de grado 8, siempre tiene 9
términos.
e) Un polinomio completo puede estar ordenado.
3. Si el polinomio
P( x )= (4 a+2 ) x2 a−30+4ax 2a−29+(4 a−2 )X2 a−28+.. . es completo y ordenado . Calcular “a” y el grado del polinomio “p”, sabiendo que sus coeficientes son positivos.
a) 10y30 b) 15y30 c) 12y20 d) 12y12 e) 12y 30
4. Determinar a + b + c , sabiendo que el polinomio P(x) es idénticamente nulo.
P( x )=3 x2+ax−5+bx 2−11 x+c
a) 15 b) 13 c) 18 d) 20 e) 19
5. Hallar el grado de homogeneidad del polinomio.
F ( x , y )=8 xm+n yn−5 xm+6 yn+4, si se
sabe que el grado respecto a “x”, es menor en dos unidades que el grado respecto a “y”.
a) 15 b) 13 c) 26 d) 14 e) 10
6. Calcular el valor de m+n , con la condición que el polinomio :
E( x , y )=x2 m+n−4 ym+n+2+x2m+n−3 ym+n+1+
x2m+n−2 ym+3+n
, sea de grado absoluto 28 y que la diferencia de los grados relativos a “x” e “y”, es igual a 6.
a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
7. En el siguiente polinomio :
P( x , y )=2 xm yn−1+3 xm+1 yn−7 xm−2 yn+2+xm+3 . yn+1
El grado relativo con respecto a “x” vale 12; siendo el G.A del polinomio 18 Hallar GR(y).
a) 3 b) 7 c) 8 d) 5 e) 9
8. Dado el polinomio homogéneo :
P( x , y )=m2 xmm−n
+nx2 y6+mx6 ymm+ n
Hallar la suma de sus coeficientes.
a) 1 b) 2 c) 5 d) 10 e) 15
9. Hallar el valor de “n” para que el equivalente de :
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M ( x )=x . 3√ xn√ xn
x .4√xn−2
; x≠0 ; sea de 5º grado.
a) 5 b) 10 c) 15 d) -2 e) 20
10. Determinar el término central del polinomio :
sabiendo que la suma de sus coeficientes es 153.
a) 9x9 b) 8x8 c) 7x7 d) 6x6 e) 5x5
11. En el polinomio : ; la suma de coeficientes excede en 23 al término independiente.
Según ello establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. El polinomio P(x) es de grado 2. II. La suma de sus coeficientes es 25. III. El término cuadrático de P(x) es 12x2
a) VVV b) VFV c) VVF d) FVV e) FFV
12. Determinar el grado del polinomio P(x), sabiendo que
el grado de , es igual a 21; además
el grado de es igual a 22.
a) 2 b) 5 c) 3 d) 7 e) 11
13. Si el polinomio completo es de (4+a) términos:
Hallar el valor de “a”.
a) 0 b) 3 c) 1 d) 2 e) 4
14. En el polinomio :
; se
observa que : el término independiente: Calcular el valor de “n”
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5
15. Cuántas letras se deben tomar para que el GA del monomio
x2 . y6 . z12 . w20 . .. . .. sea 1120
a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10
16. Dados los polinomios P(x) y Q(x) donde los grados
de P2 (x ). Q( x ) y
P3( x )Q( x ) son 27 y 23
respectivamente. Entonces el grado de
Q2( x )P( x ) es:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
17. Hallar “b” si el polinomio
P=4 xm−50+5 xm−p+42+6 xb−p+32
es completo y ordenado en forma descendente.
a) 60 b) 61 c) 62 d) 59 e) 58
18. Calcular el valor de A si el polinomio :
P=( x2−x+1 )(mx+n+q)−8 X3−A es idénticamente nulo.
a) 1 b) 4 c) 2 d) 6 e) 8
19. Calcular E==(a+b+c)a+c, si el polinomio :
P=. . .+ xa+c+7 x2a−b+8 x2 a+c+9 xa+b+c+2+. . es completo y ordenado en forma descendente
a) 1 b) 9 c) 8 d) 16 e) 25
20. Hallar la suma de los valores de “n” para los cuales, la expresión:
P( x , y )=4 x10−2n
2 −3 y128
2n
sea un polinomio
a) 3 b) 6 c) 7 d) 9 e) 10
21. Si P(x) = 1 + 2 + 3 + ... + x.
Hallar: E =
P ( x-1)⋅P ( x )P (x2−1 )
a) 1/2 b) 1 c) 1/3 d) 2 e) 3
22. Si P(x) = ax + b. Además P {P [P(x)]} = 8x + 189. Determinar P(5)
a) 25 b) 37 c) 28 d) 35 e) 40
23. Se tiene un polinomio de cuarto grado cuya suma de coeficientes es 5 y el término independiente es 2. Además P (x - 1) - P(x) = P (x + 1) + xHallar: P(0) + P(-1) + P (1) + P(2)
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
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nxxnxnnxxP ...)2()1()( 32
nxxxP )31()21()( 2
32 )(.)( xQxP
24 )(.)( xQxP
...)22()12(2)( 22122 aaa xaxaaxxP
)74.()75()23()1( 22 xxxxP n
vecescoef 3433
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24. El grado de M(x). N(x) es 7 y el grado de M(x) N(x) es 3. Calcular el grado de:
E =
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
25. Si P (x) = (9x8 - 7)n(2x2 + 3x3 - 1)n-2 (x9 - 3) Tiene como grado 47, entonces se puede afirmar
que: ,es:
d) 3 b)6 c)9 d)12 e)27
26. Se define:
Calcular:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) N.A.
27. p ( x )=x2−2
Hallar:
P=[ [ .. . .. .. . .. [ P (0 ) ] .. . .. .. . ] ]⏟1010signos
a) 0 b) 20000 c) –3 d) –2 e) N. A.
28. El polinomio completo y ordenado
P( x , y )=x4 n−1+x4 n−2 y+ . . . +xy 4n−2+ y4 n−1
que también es homogéneo, se verifica que la suma de los grados absolutos de sus términos es 240, según esto halle usted. Su grado de homogeneidad.
a) 20 b) 15 c) 10 d) 5 e) 25
29. Si el polinomio :
P( x , y )=3 xm−2 . yn−1 .( x7+ y2 n−3 ) es homogéneo, con grado 16 Hallar : m-n
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
30. Proporcionar la suma de coeficientes del siguiente trinomio:
P( x , y )=(m−3) x9−m+mxm−2 ym3 + y17−2m
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
31. Dado:
Hallar:
a) 380 b) 150 c) 256 d) 123 e) N. A.
32. Sea: P(x) = 2 + x2003 – 3x2002
Calcule: )2003()2002(
)1()3(
PP
PP
a) 2 b) 2002 c) –2 d) 0 e) 2003
Productos notables
A) Binomio al Cuadrado:
(a±b )2=a2±2 ab+b2
B) Diferencia de Cuadrados:
(a+b ) (a−b )=a2−b2
C) Binomio al cubo:
(a3+b3)=a3+3 a2 b+3 ab2+b3
(a3−b3 )=a3−3 a2 b+3 ab2−b3
D) Suma y Diferencia de Cubos:
a3+b3= (a+b ) (a2−ab+b2)a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )
e) Trinomio al Cuadrado:
(a+b+c )2=a2+b2+c2+2 (ab+ac+bc )f) Identidades de Legemdre:
(a+b )2+ (a−b )2=2 (a2+b2 )(a+b )2−(a−b )2=4 ab
g) Identidades Secundarias:
Siendo: a + b + c = 0; se cumple que:
i) a2 + b2 + c2 = -2 (ab + ac + bc)
ii) a3 + b3 + c3 = 3abc
Ejercicios Nº 03
1. Si x+ 1
x=4√3
Calcular: x2+x−2
a) 46 b) 40 c) 12 d) 47 e) 44
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5210
5843
)x(M
)x(N)x(M
5 )x(Pdeprincipalecoeficient
1x;1x
1x;x
1x;1x
)x(P
2PPPP
4x2x1x
1xP 19881989
1P3PH
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2. Si: x−1
x=4
Calcular: x2+x−2
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18
3. Si: a2 x+a−2 x=14
Hallar: ax+a− x
a) 2 b) 4 c) 10 d) 12 e) 16
4. Efectuar: D=(a+ 1
a )2
−(a−1a )
2
a) 1 b) 4 c) 2 d) 5 e) 3
5. Reducir:
k=(a+3 )2−(a−3 )2
6 a+
(x+2 )2+ ( x−2 )2
x2+4
a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) 6
6. Reducir
M=4√( x2+xy+ y2)( x2−xy+ y2 )( x4−x2 y2+ y4 )−x8− y8
a) 4 b) 2 c) 2xy d) x+y+2 e) xy
7. Si:
1a+ 1
b= 4
a+b
Hallar:
a+b√ 2a2+7 b2
20 b2−11a2
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
8. Dada : x2(x2-3) = -1
Calcular:
M=3√ x20+x12−x10+ x8+1
x10
a) 5 b) 4 c) 3 d) √3 e) 0
9. Hallar el valor de:
E=(xx+ x−x )x+( xx−x−x )x+x (x x+x−x ) (x x− x−x )para x=2
a) 32 b) 128 c) 64 d) 84 e) 72
10. Calcular: E=x+y(1+x)
Siendo:
x=a2−b2−c2−2bcb2+c2+2bc−a2
y=b2+c2−a2
2bc
a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) -2
11. Si: 2 x=√ a
b−√ b
a
Hallar el valor de “E”:
E=(√4 ( x2+1)
x+√x2+1 )( a−b2√b x )
2
a) a+b b) b c) ab d) a/b e) b/a
12. Si: (a + 2x + b).(a - 2x + b) = (a - b)2
Hallar:
M=( x+a )( x+b )
a+2 x+b− x3
ab
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0
13. Hallar P= x3 - 3x + a
Siendo: x=
3√a+√a2−1+3√a−√a2−1
a) 3a b) 6a c) 3 d) 2a e) a
14. Efectuar:
(x-3)(x+2)(x-5)(x+4)-(x-2)2(x+1)2+24x(x-1)
a) 0 b) 2(x2-x+58) c) x2+3x-43
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d) 2(x2 +x-64) e) 2(x2-x+56)
15. Siendo: a2+b2=3 ab
Calcular: M=a7 b−7+b7a−7
a) 465 b) 472 c) 483 d) 960 e) 480
16. Si : ; x – y = n Hallar el valor de “xy”
a)
m3−n3n b)
m−n3
3 c)
m−n3
3n
d)
m2−n3
n e)
m+n 3
3 n
17. Calcular:
E =
a) b) c) x – 1
d)
x2−2 x+1x e) (x - 1)2
18. Si: , qué valor se obtiene para:
E =
a) 23 b) 25 c) 47 d) 39 e) 95
19. Deducir el valor de la siguiente expresión:
E= [( a
a+b+ b
a−b )2+( a
a+b− b
a−b )2 ]
2
−4 [ a2
(a+b )2− b2
(a−b )2 ]2
Para: a = √2+√3 y b=√2−√3
a) 2/3 b) 4/3 c) 2 d) 5 e) 6/7
20. Si 4 (x4 + 1) = 5x2, x 0, entonces
el valor de x + , es:
a) /2 b) 3/2 c) ¾ d) 7/4 e) 2
21. Si a = √5 -√3 , b =√2 -√5 , c =√3 -√2. Determinar el valor de:
E =
( a2+b2+c2
ab+ac+bc ) . ( a2
bc+ b2
ac+ c2
ab )a) -6 b) -1 c) 1 d) 3 e) 6
22. Si: yx
4
y
1
x
1
Indique el valor de: 1173
1173
yxy
xyx
a)1 b) 2 c) –4 d) –1 e) 0
23. Sea x ∈
N /
xxxx57 57
= 2X
Indique el valor de:
xx
14
7
a) 3/4 b) 2
5
c) 5/4 d) 1/2 e) 2
24. Si: a + b = ab
Calcular:
33
a
b
b
a
a) 3 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) 8
25. Simplificar la expresión:
(x – 1)(x + 4)(x + 2)(x – 3) – (x – 2)(x + 5)(x + 3) (x – 4) – 22x2 – 22x + 86
a) –10 b) –16 c) –20 d) –90 e) –46
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myx 33
6x
1x4
2x
12x
2)1x(
2x
5
5
2b
2a
ab
8
a
b8
b
a
x1
13
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26. Encontrar el equivalente de H(x)
H(x) = 1 4)(x 3)(x )2x( )1x(
a) x2 + 5x + 1 b) x2 + 5x + 10 c) x2 + 5x + 5 d) x2 + 5x + 15 e) x2 + 3x + 5
27. si: 333 cba
= 0
calcular el valor de: )ca( )cb( )ba(
abc27cba 333
a) 1 b) 3 c) 0 d) –3 e) –1
28. Si , hallar:
a) 4 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5
DIVISION ALGEBRAICA
MÉTODO DE HORNER
(10x6 + 11x5 - 11x4 + 8x3 + x2 - 10x + 8) (2x2+3x-1)
+2 +10 +11 -11 +8 +1 -10 +8
-3 -15 +5
+1 +6 -2
0 0
-9 +3
+12 -4
+5 -2 0 +3 -4 +5 +4
Q R
Q = 5x4 - 2x3 + 3x - 4 , R = 5x + 4
MÉTODO DE RUFFINI
Se aplica sólo para divisores binomios de la forma (x+a) y
se procede de la siguiente manera:
Ejemplo
(3x4 + 8x3 - 4x2 - 3x + 5) (x + 2)
+3 +8 -4 -3 + 5
-2 -6 -4 +16 -26
+3 +2 -8 +13 -21
Q R
Qº = Dº - dº = 4 - 1 = 3
Rº = dº - 1 = 1 - 1 = 0
Q = 3x3 + 2x2 - 8x + 13
TEOREMA DE RESIDUO
"El residuo de dividir un polinomio P(x) entre un divisor
de la forma (x+a), está dado por el valor numérico de
P(x), para x = "-a"
Es decir: P(x) (x+a) R = P(-a)
Ejemplo:
(3x4 + 8x3 - 4x2 - 3x + 5) (x+2)
haciendo: x + 2 = 0 x = -2
Luego:
R = P(-2)
R = 3(-2)4 + 8(-2)3 - 4(-2)2 - 3(-2) + 5
R = 48 - 64 - 16 + 6 + 5 R = -21
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS
Se dice que un polinomio es divisible entre otro, si el residuo de la división es igual a cero
PROPIEDADES
1. Un polinomio A es divisible entre B y C por separado, sí y solo si es divisible entre el producto AB
2. Si A es divisible entre B, entonces An es divisible entre B
3. Si A es divisible entre Bn, entonces A es divisible entre B
4. Si se multiplica o divide al dividendo y divisor de una división por una misma cantidad, el cociente no varía, pero el residuo queda multiplicado o dividido por dicha cantidad
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7x
y
y
x 88
x
y
y
x
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COCIENTES NOTABLES
La expresión:
A p+Bq
Ar+Bs, es un cociente notable, si y solo
si:
pr=q
s = n
De donde: p = rn q = sn.
Luego:
A p+Bq
Ar+Bs= Arn+Bsn
Ar+Bs=(Ar )n+(Bs )n
( Ar )+(Bs )
Haciendo: Ar = x Bs = a
se llega a la expresión:
xn+an
x+a
DESARROLLO DE UN COCIENTE NOTABLE
xn+an
x+a=
xn-1 - xn-2a + xn-3a2 - …+ an-1
(división exacta para "n" impar)
xn−an
x+a=
xn-1 - xn-2a + xn-3a2 - … - an-1
(división exacta para "n" par)
xn−an
x−a = xn-1 + xn-2a + xn-3a2 + … + an-1 (división
siempre exacta)
xn+an
x−a = xn-1 + xn-2a + xn-3a2 + … + an-1 +
2 an
x−a
(división nunca exacta)
FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL
1. Para el desarrollo de:
xn±an
x−a
se tiene: T(k) = (+) xn-k a k-1
2. Para el desarrollo de:
xn±an
x+a ,
se tiene: T(k) = (-1)k+1 xn-kak-1
EJERCICIOS Nº 04
1. Indique el cociente de la siguiente división.
4x2x9
18x4x17x362
345
a) 4x2 + x + 2 b) 4x3 – x2 + 1
c) 4x3 + x2 + 2 d) 4x3 + x2 + 2x
e) 4x3 + x + 2
2. Hallar “b – a”, si la división:
4x5x8
baxx31–x41–x242
234
; es exacta
a) 44 b) 46 c) 40 d) 43 e) 41
3. Calcular “m + n + p”, si la división:
1x2x3
pnxmxx3x2x323
2345
deja como resto: 2x2 + x – 5
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) –5
4. En la división: 3xx
12x7Axx2x323
234
el cociente es: 3x + B y el resto: –4x2 + Cx – 15Calcule el valor de: “ABC”
a) 46 b) 16 c) 180 d) 80 e) 100
5. Calcule el valor de “A + B + C” si la división:
CBxAx
)BA(x)CB(x)CBA(x)BA(Ax2
234
es exacta
a) 1 b) –1 c) 0 d) 2 e)8
6. Hallar b
a
si la división: 2xx3
8x14bxx8ax2
234
tiene como resto R(x) ≠ 0
a) 9 b) 1 c) –2 d) 6 e) 3
7. Indique el valor de “a + b”, si el polinomio
P(x) = 55x3 + 166x – 8 – bx2 es divisible por
S(x) = ax2 – 39x + 2
a) 240 b) 239 c) 250 d) 211 e)228
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8. Calcule “a2 – b2” si la división: 1x2x
baxx2
7
; es exacta
a) –13 b) 43 c) 49 d) 36 e) 13
9. Indique el cociente de la siguiente división:
2x
7x13x3x10x6 234
a) 6x3 + 7x2 + 1 b) 6x3 + 2x +1 c) 6x3 + 2x2 + 7x +1
d) 6x3 + 7x + 1 e) 6x3 + x2 + x + 1
10. Obtenga el resto de la siguiente división:
3x2
8xx13x8x9x10 3245
a) –2 b) –3 c) –4 d) –1 e) 0
11. Calcule “m” si la división:
5x3
16mxx41x23x21 324
deja como resto 4
a) 77 b) 57 c) 66 d)67 e) 64
12. Hallar el residuo en:
23x
3x32x32x 23 35
a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) 4
13. Calcular el término independiente del cociente de
dividir 2x
1xx3xx 2546
a) 70 b) 68 c) 72 d) 71 e) 69
14. Calcule “m” si la división
3x2
6mxx3x6 23
; es exacta
a) 1 b) 6 c) 9 d) 12 e) 5
15. Determine “61a + b”
Si en la división 1x
ab2bx2ax61
la suma de coeficientes del cociente es 256 y el resto igual a 12
a) 253 b) 256 c) 260 d) 250 e) 251
16. En la división: 7x2
13x6x59x185
51615
Halle la suma de coeficientes del cociente
a) 10 b) 12 c) 11 d) 13 e) 14
17. hallar el resto en:)3x)(1x(
10x2)1x()2x( 24
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 9
18. Al dividir un polinomio p(x) entre (x – 2) y (x – 3) en
forma separada, se obtiene como residuo 10 y 13.
hallar el residuo de dividir p(x) ¸ (x2–5x+6)
a) 3x – 4 b) 2x + 5 c) 3x + 4 d) 2x – 5 e) x + 1
19. al dividir el polinomio p(x) entre (x + 3) se obtuvo
por residuo “–5” y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3. hallar el residuo de dividir:
)1x(
P )x(
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
20. Si el quinto término del desarrollo del siguiente
C.N
x14− y35
x2− y5 es x9-a y12+b
hallar el valor de: a+b:
a) 15 b) 16 c) 12 d) 13 e) 9
21. El polinomio: x12+x8+x4+1 es el cociente de:
a)
x16+1
x4−1 b)
x8−1
x4+1 c)
x16−1
x 4+1
d)
x16−1
x 4−1 e)
x4+1
x2−1
22. Calcular el número de términos del cociente notable:
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a) 12 b) 15 c) 16 d) 18 e) 10
23. Calcular el resto de la división:
a) 200 b) 400 c) 20 d) 1 e) –100
24. Hallar el coeficiente del cuarto termino del desarrollo
de:
32 x5+243 y5
2 x+3 y
a) -54 b) 24 c) 52 d) -34 e) 54
25. Hallar el resto de dividir:
2x119+1
x2−x+1
a) –2x + 3 b) 3x – 1 c) –2x2 + 3 d) –2x2 + 1 e) 3x + 2
26. Calcular el término idéntico de:
; y ;
a) x40 y b) x40 y2 c) x40 y3 d) x20 y2 e) N.A.
27. Simplificar:
a) x8 + 1 b) x8 – 1 c) x6 + 1 d) x6 – 1 e) x10 + 1
28. Sabiendo que el C.N. Admite en su desarrollo: abb70 como término central. Hallar:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
29. Hallar la suma de los términos del desarrollo del
cociente: sabiendo que es exacto.
a) 25 b)32 c)128 d) 96 e)N.A
30. Calcular el término de lugar 21 en el desarrollo del
siguiente cociente notable:
a) x + 1 b) x – 1 c) x – 2 d) x + 2 e) x + 3
31. Hallar “n” si en el cociente notable:
el penúltimo término de su desarrollo es ab5 + 2b6
a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
32. En el C.N. : El término de lugar 8 contado a partir del final tiene por grado absoluto 37. Determinar el número de términos de su desarrollo.
a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
FACTORIZACION
Es la transformación de una expresión algebraica o trascendente en un producto indicado de factores primos, dentro de un determinado campo numérico.
QUE ES POLINOMIO SOBRE UN CAMPO?
Es aquel polinomio en el que sus coeficientes pertenecen al conjunto numérico asociado a dicho campo. Se consideran tres campos: Racional (Q) ; Real (R) y Complejo (C).
Ejemplo:
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9nb
8na
34nb
24na
1
22x
2x
24x
28
3x
4n1x
34
3648
yx
yx
yx
yx4
1456
1xxx1x.......xxx
246
2101214
y
72
mk
baba
158
1232
aa a
20
2
1x1
xx2
ba
bba nn
2
yx
yx nn
5
5
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P ( x )=2 x2−x+6 está definido en Q , R y C.
Q ( x )=√5 x3−5 x+√7 está definido en R y C.
T ( x )=x2+7 i x−9 está definido solo en C.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
FACTOR: Es un polinomios de cualquier grado que divide exactamente a otro.
FACTOR PRIMO: Es aquel factor que no se puede transformar como el producto de dos polinomios. DIVISOR: Es una expresión que divide exactamente a otra.
COMO CALCULAR EL NUMERO DE FACTORES?Se debe tener en cuenta lo siguiente:
Dada una expresión E expresada por:
E=(F1)a . (F2 )
b . (F3 )c .. .. . .. .. . (Fn )
m
donde: F1, F2, F3, ... , Fn son factores primos entre sí, entonces:
i) Nº de factores primos = n
ii) Nº de factores = a + b + c + ...... + m
iii) Nº de divisores = (a + 1)(b + 1)(c + 1)......(m + 1)
Ejemplo :
1. La expresión E=(2 x+3)( x2−3) Tiene dos factores, dos factores primos (uno de primer
grado y otro de segundo grado) y cuatro divisores.
2. La expresión F=( x−5 )2( x+8 ) Tiene tres factores; dos factores primos (lineales) y seis divisores.
3. M=( x−√2)( x+√3 )(√2 x+√3 )
Tiene tres factores, tres factores primos (lineales) y tres divisores. Si la factorización se realiza en los Reales (R).
4. P=( x2+1)2 ( y+1)( y2+ y+1)( x+2)3
Tiene siete factores, cuatro factores primos (dos lineales y dos cuadráticos) y 36 divisores.
5. E=( x x−4 )(x x+2 ) tiene dos factores, dos factores primos y cuatro divisores. Si la factorización se realiza en los reales.
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
FACTOR COMÚN
Un factor común es aquel que aparece en cada uno de los términos que componen el polinomio a factorizar. El factor común puede ser un monomio o un polinomio.
Ejemplo: Factorizar:
3 x3 y2+12 xy3−6 x2 y5
El factor común es: 3 xy2, entonces resulta:
3 xy2 ( x2+4 y−2 xy 3 )
AGRUPACIÓN DE TERMINOS
Consiste en agrupar convenientemente los términos del polinomio, generalmente en grupos de dos términos, descomponiéndolos a su vez en dos factores, apareciendo luego algún factor común a todas las agrupaciones realizadas.
Ejemplo 1: Factorizar:
E=a2 x−ax2−2 a2 y+2 axy+x3−2 x2 y
Solución: Como no existe factor común a simple vista se agrupará como se indica:
a2 x−ax2−2a2 y+2 axy+x3−2 x2 y=a2 (x−2 y )−ax ( x−2 y )+ x2 ( x−2 y )=( x−2 y ) ( a2−ax+x2)
Ejemplo 2: Factorizar:
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NOTA: En el presente texto cada factorización se realizará hasta obtener factores primos en Q, cada uno de ellos con coeficientes enteros. Esto se define como factorización en Q.
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x6+x5+x4+ x3+2 x2+2 x+1
Solución: Agrupando términos se puede escribir así:
( x6+x5+ x4 )+( x3+x2+ x )+( x2+x+1)
METODO DE LAS IDENTIDADES:
En este caso se utiliza los productos notables o identidades ya estudiados, tales como :
a) Trinomio Cuadrado Perfecto:
a2 n±2an bn+b2 n = (an±bn )2
b) Diferencia de Cuadrados:
a2 n−b2 n = (an+bn ) (an−bn )
c) Diferencia de Cubos :
a3 n−b3 n =(a n−b n) (a2 n+an bn+b2 n )
d) Suma de Cubos :
a3 n+b3 n =(a n+b n ) (a2 n−an bn+b2 n )
e) Identidad de Argand:
a4 n−a2 n b2 n+b4 n =(a2 n+a n b n+b2 n ) . (a2 n+a n b n+b2 n )
Ejemplo 1 : Factorizar:
x9 y2−64 x3 y8
Solución:
x3 y2 ( x6−64 y6 )x3 y2 ( x3−8 y3 ) ( x3+8 y3 )x3 y2 ( x−2 y ) (x2+2 xy+ y2 )( x+2 y )( x2−2 xy+ y2 )
Ejemplo 2 : Factorizar:
P( x )=x5−9 x3+x2−9
Solución:
P( x )=( x5−9x3 )+(x2−9 )P( x )=x3 ( x2−9)+(x2−9 )P( x )=( x2−9)( x3+1 )
P( x )=( x+3)( x−3 )( x+1)( x2−x+1 )
METODO DEL ASPA
A) Método del Aspa Simple: Se utiliza para factorizar
expresiones de la siguiente forma:
A x2 m+B xm yn+C y2 n o A x2 n+B xn+C
Pasos a seguir:1. Luego de ordenar el trinomio, se descompone cada
uno de los términos extremos en un producto de factores.
2. Estos factores se multiplican en aspa debiéndose cumplir que la suma de los productos sea igual al término central.
3. Al cumplirse lo anterior, los factores se toman en forma horizontal.
Ejemplo 1 : Factorizar
P=3 x2+15 y2+14 xySolución: Ordenando se tiene:
P=3 x2 + 14 xy + 15 y2
x 3y 9 xy
3x 5y 5 xy
14 xy
Así, P( x )=( x+3 y )(3 x+5 y )
Ejemplo 2 : Factorizar12 ab x2 – (16 a2 – 9 b2) x – 12 ab
Solución: 12 ab x2 – (16 a2 – 9 b2) x – 12 ab
3 bx - 4a −16 a2 x2
4 ax + 3b 9 b2 x2
Así, M=(3 bx+4 a) ( 4 ax−3b)
B) Método del Aspa Doble: Sirve para factorizar expresiones de la forma:
A x2m + Bx m y n+ C y 2 n + D x m + E y n + FPasos a seguir:
Prof. DEYVIS EDQUÉN FERNÁNDEZ.
I IIIII
I IIIII
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1. Debe ordenarse el polinomios de acuerdo a la forma establecida.
2. Si falta algún término se añade en su lugar un cero.
3. Se aplicarán aspas simples a:
3.1 los términos: Ax2 m , Bxm yn , Cy2 n
3.1 los términos: Cy2 n , Eyn , F
3.1 los términos: Ax2 m , Dxm , F4. Por último los factores se seleccionan en forma
horizontal.
Ejemplo 1: Factorizar :
6 x2+xy−2 y2+9 x− y+3Solución:
6 x2 + xy − 2 y2 + 9 x − y + 33x 2y 3
2x -y 1
Verificando las aspas I ; II ; III
I. 3 x (− y )+2 x (2 y )=+ xy (aspa izquierda)
II. 2 y (1)+(− y )(3)=− y (aspa derecha)
III. 3 x (1)+2 x(3 )=9 x (aspa punteada)Luego los factores son:
(3 x+2 y+3 ) (2 x− y+1)
Ejemplo 2: Factorizar :
8 x2+4 xy+18 x+6 y+9
Solución: Completando con 0 y2 para aplicar el
método de aspa doble
8 x2 + 4 xy + 0 y2 + 18 x + 6 y + 94x 2y 3
2x 0y 3
Luego los factores son:
(4 x+2 y+3 ) (2 x+3 )
C) Método del Aspa Doble Especial: Se utiliza para factorizar expresiones de la forma:
Ax4 n+Bx3 n+Cx2 n+Dxn+E
Pasos a seguir:1. Se ordena el polinomio de acuerdo a la forma
establecida, colocando un cero en el lugar del término que falta.
2. Los términos extremos se descomponen en dos factores efectuando el producto en aspa, la suma algebraica de ambos términos se restará del término central.
3. La diferencia obtenida se descompone en la parte central buscando aspas simples a ambos lados; luego de verificar los términos de lugar segundo y cuarto, los factores se toman en horizontal.
Ejemplo 1: Factorizar
2 x4−5 x3+10 x2−10 x+3Solución:1. Una vez ordenado el polinomio se descompone los
términos extremos en sus factores primos.
2 x4−5 x3+10 x2−10 x+3
2 x2 1 x
2
x2 3 6 x2
7 x2
2. Como tenemos 7 x2, para obtener el tercer término :
10 x2, le faltaría 3 x2
; éste término se descompone
en factores primos: 3 x2=(−3x )(−x ) ; quedando la descomposición de la siguiente forma:
2 x2 -3x 1
x2 -x 3
3. Se hace la verificación :
2 x4 - 5 x3
+ 10 x2 - 10 x + 3
2 x2 -3x 1
x2 -x 3
Aspa Izquierda :Aspa derecha :
2 x2(−x )=−2 x3 (−3 x )(3)=−9 x
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x2(−3 x )=−3 x3 (−x )(1)=− x
−5 x3 −10 x
Luego los factores son :
(2 x2−3 x+1) (( x2−x+3 )
MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS
Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado, siempre y cuando admita por lo menos un factor lineal.Este método se fundamenta en el siguiente principio:“Si un polinomio se anula para x = a; uno de sus factores será (x ∓ a)”.Para obtener los valores de “x” que anulan al polinomio se tendrá en cuenta lo siguiente:
i) Si el polinomio es Mónico (coeficiente principal, la unidad) los posibles valores de “a” son los divisores del término independiente del polinomio con su doble signo.
ii) Si el polinomio no es Mónico los posibles valores de “a” son cantidades enteras o fraccionarias que resultan de combinar los divisores del término independiente y el coeficiente principal.
Estas dos reglas se resume en la siguiente fórmula:
P .C . R=±{Divisores del término independienteDivisores del coeficiente Principal }
Donde P.C.R = Posibles Ceros Racionales
Ejemplo 1:
Factorizar
P( x )=2 x5−x4−10 x3+5 x2+8 x−4
Solución:Divisores de 4: {1 ; 2 ; 4}
Divisores de 2: {1 ; 2}
Posibles ceros =
{1 ; 2 ; 4 1 ; 2 }
= {1 ; 2 ; 4 ;
12 }
Usando Ruffini en forma sucesiva :
2 -1 -10 5 8 -4
-1 -2 3 7 -12 4
2 -3 -7 12 -4 0 (x + 1)
-2 -4 14 -14 4
2 -7 7 -2 0 (x + 2)
1 2 -5 2
2 -5 2 0 (x -1)
2 4 -2
2 -1 0 (x - 2)
Luego : P( x )=( x+1)( x+2)( x−1 )(x−2)(2 x−1)
Ejemplo 2: Factorizar
x5+6 x4+x3−36 x2−20 x+48
Solución:Divisores de 48 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 ; 48
Divisores de 1 : 1
P.C.R. = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 ; 48
1 }
posibles ceros : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 ;
48
Usando Ruffini en forma sucesiva :
1 6 1 -36 -20 48
+1 1 7 8 -28 -48
1 7 8 - 28 -48 0 (x - 1)
+2 2 18 52 48
1 9 26 24 0 (x - 2)
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1 9 26 24
-2 -2 -14 -24
1 7 12 0 (x + 2)
-3 -3 -12
1 4 0 (x + 3)
Luego : E = (x - 1) (x – 2) (x + 2) (x + 3) (x + 4)
METODOS DIVERSOSSe utilizan para factorizar expresiones particulares, estructurando los términos de la expresión de modo que sea factorizable por alguno de los métodos conocidos.
Así tenemos:
A) Cambio de Variable: Consiste en sustituir por una variable expresiones que se repiten de modo que la expresión dada quede simplificada.
Ejemplo 1: Factorizar
( x+2)2 ( x+1 )( x+3 )−5 x ( x+4 )−27
Solución :
( x2+4 x+4 )( x2+4 x+3 )−5 (x2+4 x )−27
Hacemos: x2+4 x=a
Reemplazando en la expresión tenemos:
(a+4 )(a+3 )−5 a−27a2+7 a+12−5a−27a2+2a−15 = (a+5 )(a−3 )
Reponiendo la variable se tiene:
( x2+4 x+5 )( x2+4 x−3 )
Ejemplo 2: Factorizar
E=(2 a2+3 ab+b2)2−4(a2−b2 )(a2+3 ab+2 b2 )
Solución :
Haciendo: 2 a2+3 ab+b2= x
a2+3 ab+2 b2= y
Restando miembro a miembro se obtiene:
a2−b2 = x− y
Reemplazando:
E=x2−4( x− y ) y = x2−4 xy+4 y2
(es un TCP)
E=( x−2 y )2
Luego en función de “a” y “b” se tiene:
E=(2a2+3ab+b2−2 a2−6 ab−4b2 )
E=(−3 ab−3 b2 )2 = [ −3 b (a+b ) ]2
E = 9 b2 ( a+b )2
B) Sumas y Restas: Consiste en sumar y restar simultáneamente una misma expresión o descomponer algún término del polinomio, de tal modo que una expresión aparentemente no factorizable se transforme en otra que se Factorice.
En particular:- Si la expresión es un polinomio de grado par se tratará
de formar un trinomio cuadrado perfecto para luego llevarlo a una diferencia de cuadrados.
- Si la expresión es un polinomio de grado impar se tratará de formar una suma o diferencia de cubos y Argand.
Ejemplo 1 : Factorizar : 64 x4+ y 4
Solución : Formamos un trinomio cuadrado perfecto
sumando y restando 16 x2 y2
Así: 64 x4+16 x2 y2+ y4−16 x2 y2
(8 x2 )2+2(8 x2)( y2 )+( y2)2−(4 xy )2
(8 x2+ y2 )2 -(4 xy )2
(8 x2+ y2+4 xy ) (8 x2+ y2−4 xy )
Finalmente ordenando resulta:
(8 x2+4 xy+ y2 ) (8 x2−4 xy+ y2 )
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EJERCICIOS RESUELTOS
1. Cuando se factoriza x9−x hasta donde sea posible
en polinomios y monomios con coeficientes enteros, el número de factores primos es:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6Solución:
x9−x = x ( x8−1 )
= x ( x4−1 ) ( x4+1 )
= x ( x2−1 ) ( x2+1 ) ( x4+1 )
= x ( x−1 ) ( x+1) ( x2+1) ( x4+1)Luego el número de factores primos es 5.
Rpta. Alternativa d
2. Cuántos factores tiene la siguiente expresión:
P( x )= ( x+1) ( x+2 ) ( x+3 ) ( x+4 )+1a) 5 b) 16 c) 15 d) 3 e) 2Ordenando y agrupando convenientemente los factores del primer término:
P( x )= ( x+1) ( x+4 ) ( x+2 ) ( x+3)+1
P( x )=( x2+5 x+4 ) ( x2+5 x+6 )+1
Haciendo cambio de variables: x2+5 x=a
Entonces: P( x )= (a+4 ) (a+6 ) +1
P( x )= a2+10 a+25 = (a+5)2Devolviendo el valor original se tiene:
P( x )=( x2+5 x+5)2Rpta. Alternativa d
3. Al factorizar x4+2 x3−2 x−1 ; la suma de sus
factores primos es:
a) 2 b) 2x c) –2d)-2x e)2(x-1)
Solución:
Agrupando en forma conveniente:
( x4−1 )+2 x ( x2−1)( x2−1 ) ( x2+1 )+2 x ( x2−1)( x2−1 ) ( x2+1+2 x )( x+1) ( x−1 ) ( x+1)2
Factores primos: ( x+1) y ( x−1 )
Suma: 2xRpta. Alternativa b
4. Indicar la suma de los factores de:
(a−b )2 ( c−d )2+2 ab (c−d )2+2cd ( a2+b2 )a) a
2+b2+c2+d2b) a+2b+c+2 d
c) a2−b2+c2+d2
d) a+b2+c+d
e) a2+b2−c2−d2
Solución:
(c−d )2 [( a−b )2+2ab ]+2cd (a2+b2 )(c−d )2 ( a2+b2 )+2cd (a2+b2 )(a2+b2 ) (c−d )2+2cd ( a2+b2 )(a2+b2 ) [(c−d )2+2 cd ](a2+b2 ) (c2+d2)Luego la suma de los factores es:
a2+b2+c2+d2
Rpta. Alternativa a
5. Hallar el término independiente de uno de los factores primos del trinomio:
( x+ y+3)2+7 x+7 y+31
a) 2 b) 7 c) 8 d) 3 e) 39
6. Indicar el factor primo que tiene el mayor término independiente:
6x2 – 7xy – 3y2 + 14x – 10y + 8
a) 2x + y + 4 b) 3x + y + 4 c) 2x – 3y + 4 d) 3x – y – 4 e) 2x – 3y + 8
7. Un factor de:x(2x + 1) + y(2y + 1) + 4xy es
a) x + 2y b) x + 3y c) 2x + 2y + 1d) 2x + y e) 2x – 1
8. Señalar un factor de:(x + 1)(x – 2)(x + 2)(x + 5) – 13
a) x2 – 3x – 2 b) x2 + 3x – 11 c) x2 – 3x + 11d) x2 – 3x + 3 e) x2 – 3x
9. La suma de los factores de: 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3) es
a) x2 + 3x + 1 b) 2x2 + 6x + 1 c) 2x2 + 3x + 2d) 2x2 + 6x + 2 e) 2x2 + 3x – 2
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10. La suma de los factores de: x2 – xy – y – 1
a) 2x + 3 b) 2x – 1 c) 2x – 2 d) 2x – y e) x – y
11. Indicar un factor de: (x – 4)(x – 5)4 + (5 – x)5 + x – 5
a) x + 5 b) x – 3 c) x – 4 d) 2x + 3 e) x – 6
12. Uno de los factores de: x4 – 3x2 + 1 es:
a) x2 – x + 1 b) x2 + x + 1 c) x2 + x – 1 d) x2 + 3x + 1 e) x2 – 3x + 1
13. ¿Cuántos factores de 1er grado tiene el polinomio?x2y + xy2 + x2 + y2 + 2xy + x + y
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
14. Señalar un factor de: 4x4 – 17x2 + 4
a) 2x – 3 b) 3x – 1 c) 2x + 1 d) 4x + 3 e) 4x – 1
15. Si se factoriza la expresión:(x + 2)2(x + 1)(x + 3) – 5x(x + 4) – 27
Un factor es:
a) x + 2 b) x2 + 4x – 3 c) –5x(x + 4) – 27 d) x2 + 4x – 5 e) x2 + 4x + 3
16. El número de factores de:13(x + 1)3(x – 1) – (x – 1)3(x + 1) + 4(1 – x2)
a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 7
17. Un factor de:wz3x – 3x2z3 – wz2 + 3xz2 + w2xz – 3wx2z – w2 + 3wx
a) w + 3x b) xz + 1 c) z2 + w d) xz – 1 e) x + w
18. No es factor de: w2(w – z)2 – 14wz2(w – z) + 24z4
a) w – 4z b) w – 2z c) w + z d) w + 3z e) w + 4z
19. Indicar el número de factores primos al factorizar:P(x) = 16x6 – 24x4 + 9x2 – 1
a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6
20. Indicar un factor de: 2x2 – 3xy + y2 + x – y
a) x + y b) x c) 2x – y + 1 d) y e) x + y – 1
21. Señalar un factor de: (x + 2)2 + (2x – 1)2 – 10
a) x – 2 b) 2x + 1 c) x – 3 d) x + 3 e) x – 1
22. Factorizar 3(x – a)2 – 4(x – a) + 1.
Indique un factor:
a) x – a – 1 b) 3x – 3a + 1 c) x + a + 1d) x – a + 1 e) 3x + 3a + 1
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