Download - Algebra Boole
Sistemas Digitales 1
Algebra de Conmutación y
Circuitos Lógicos
Sistemas Digitales 2
Tabla de Contenido
Introducción
Algebra de conmutación
Manipulación algebraica
Operaciones lógicas
Implementación de funciones lógicas
Introducción a los Mapas de Karnaugh
Propiedades de las compuertas NAND y
NOR
Sistemas Digitales 3
Introducción
En la unidad anterior llegamos hasta la transformación de un problema digital en su equivalente tabla de verdad, en un formato binario, esto sería suficiente para construcción de sistemas que usen memorias de solo lectura (ROM), para realizar la implementación de estos sistemas con otro tipo de componentes (compuertas lógicas) es necesario tener una descripción algebraica de estos sistemas.
De lo dicho anterior, podemos concluir que necesitamos el álgebra para: Interpretar o describir una red de compuertas que componen el
sistema digital.
Permite simplificar y minimizar la cantidad de lógica usada en un sistema.
Es básica en el proceso de implementación de una red de compuertas.
Sistemas Digitales 4
Definición del Algebra de Conmutación
Es el conjunto axiomático que normaliza las
operaciones que podrán existir en un
ambiente con variables binarias, esto es,
variables que puedan asumir únicamente dos
valores, incluso, variables que físicamente no
son binarias, pero pueden ser representadas
en términos binarios.
Sistemas Digitales 5
Operadores del Algebra de Conmutación
OR (suma lógica)
Símbolos: + , V
a + b (se lee: a or b), y es 1 sí y sólo sí a=1 ó b=1 ó
ambos.
AND (producto lógico)
Símbolos: . , Λ, o simplemente dos variables seguidas
a . b (se lee: a and b), y es 1 sí y sólo sí a=1 y b=1.
NOT (negación, complemento)
Símbolos: ’
a’ (se lee: not a , a negado), y es 1 sí y sólo sí a=0.
Sistemas Digitales 6
Tablas de verdad para las operaciones OR.
AND y NOTa b a + b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
a b ab
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
a a’
0 1
1 0
Sistemas Digitales 7
Propiedades del Algebra de
Conmutación
(Postulados y Teoremas)
Sistemas Digitales 8
Propiedad Conmutativa
Las operaciones OR y AND son
conmutativas
P1a. a + b = b + a
P1b. a . b = b . a
Note que el valor para las combinaciones en
la tabla de verdad para las segundas y
terceras líneas son iguales
Sistemas Digitales 9
Propiedad Asociativa (1)
Las operaciones OR y AND son asociativas
P2a. (a+b)+c = a+(b+c)
P2b. (a.b).c = a.(b.c)
Esta propiedad es mencionada como la Ley
Asociativa, declara que el orden de los
factores no altera el resultado.
Esta propiedad nos ayuda a establecer
algunas particularidades de las operaciones
OR y AND.
Sistemas Digitales 10
Propiedad Asociativa (2)
OR
a+b+c+d+…. Es 1 si cualquiera de las variables
es 1 y es 0 sólo si todas las variables son 0.
AND
abcd …. Es 1 si todas las variable son 1 y es 0 si
cualquiera de las variables es 0.
Sistemas Digitales 11
Las compuertas (1)
Es el elemento básico en los sistemas
digitales.
Es un elemento con una sola salida que
implementa una de las funciones básicas
como AND y OR.
Está disponibles en configuraciones de dos,
tres, cuatro y ocho entradas.
Sistemas Digitales 12
Las compuertas (2)
Símbolos para OR y AND
Sistemas Digitales 13
Implementación para la propiedad 2b
Sistemas Digitales 14
Símbolo para la compuerta NOT
El circulo al final del triángulo es la representación de la negación
Sistemas Digitales 15
Identidad
Existen 2 elementos neutros, el 0 y el 1,
cumpliéndose la propiedad en dos de los
casos, quedando como 1 y 0 lógicos en los
otros dos (ver teorema 2):
P3a. a.1 = a (identidad)
P3b. a+0 = a (identidad)
Sistemas Digitales 16
Nulo
Casos en que no se cumple la propiedad de
elemento neutro, pero existen y se definen
de esta forma.
P4a. a.0 = 0
P4b. a+1 = 1
Sistemas Digitales 17
Complemento
Existe el elemento complementario para
cada variable binaria y el resultado para cada
operación es el que sigue.
P5a. a + a’ = 1
P5b. a . a’ = 0
Sistemas Digitales 18
Idempotencia
La suma o producto de dos variables iguales
equivale a la misma variable
P6a. a+a = a
P6b. a.a = a
Sistemas Digitales 19
Involución
Para todo elemento de un álgebra de boole
se cumple que:
P7. (a’)’=a
Sistemas Digitales 20
Distributiva
Ambas operaciones son distributivas
P8a. a(b+c) = (ab)+(ac)
P8b. a+bc = (a+b)(a+c)
(Este postulado no existe para el álgebra común)
Sistemas Digitales 21
Adyacencia
Se define de la siguiente forma:
P9a. ab + ab’= a
P9b. (a+b)(a+b) = a
Sistemas Digitales 22
Simplificación
Es una combinación de las propiedades
distributivas y asociativas, se usa
comúnmente en la simplificación de
funciones.
P10a. a + a’ b = (a’ + a) (a+b) = a+b
P10b. a (a’ + b) = a’ a + a b = ab
Sistemas Digitales 23
Absorción
Ley de Absorción.
P11a. a + ab = a
P11b. a(a + b) = a
Sistemas Digitales 24
Ley de De Morgan
Ley de De Morgan.
P12a. (a + b + c + ...) ' = a' . b' . c' . ...
P12b. ( a . b . c. ... ) ' = a' + b' + c' + ...
Sistemas Digitales 25
Manipulación de Funciones
Algebraicas
Sistemas Digitales 26
La simplificación
El proceso de la simplificación consiste en
aplicar los postulados y teoremas del álgebra
de Boole para llegar a la expresión más
simple de la ecuación, esta, se presentará
normalmente en su forma de sumatoria de
productos de mínima.
Sistemas Digitales 27
Ejemplo de simplificación
F = xy’(z+x+zy’)
F=xy’z+xy’x+xy’zy’
F=xy’z+xy’+xy’z
F=xy’z+xy’
F=xy’
Simplificar:
x’yz’ + x’yz + xy’z’ + xy’z + xyz
Sistemas Digitales 28
Sobre la simplificación
No existe una metodología para realizar la
simplificación.
Sólo la práctica es la manera de alcanzar la
simplificación más óptima.
La aplicación del álgebra de Boole no
garantiza el llegar a la simplificación óptima.
Sistemas Digitales 29
Implementación de
Funciones con Compuertas
Sistemas Digitales 30
Redes con AND, OR y NOT
Una vez que se define la suma de productos
mínima se debe de definir el diagrama lógico,
compuesto por una red de compuertas que
describan la función.
Sistemas Digitales 31
Ejemplo de un circuito de dos niveles
zyxzyxyzxzyxf
X’
Y
Z’
X’
Y
Z
X
Y’
Z’
X
Y’
Z
Sistemas Digitales 32
Niveles
El número de niveles corresponde al máximo
número de compuertas que una señal debe
pasar desde su entrada hasta la salida.
En el caso anterior tenemos dos niveles, esto
asumiendo que tenemos disponibles en la
entradas los complementos de la literales,
cuando no se dispone de los complementos
es necesario complementar con compuertas
NOT.
Sistemas Digitales 33
Problema
xyzzyxzyxyzxzyxf
a) Diagrama de la suma de productos
b) Diagrama de la suma de productos mínimo
Sistemas Digitales 34
Una red multinivel
)( wxzvyxwzh
Las redes multinivel son el resultado de implementar funciones que no estén
en la forma ni de suma de productos ni de productos de sumas.
Sistemas Digitales 35
De la Tabla de Verdad a la Expresión
Algebraica
En la mayoría de los casos, un problema digital es presentado en la forma de una declaración o como una tabla de verdad, esto nos obliga a tener la habilidad de llevar los datos de una tabla de verdad a una expresión algebraica.
En la tabla de verdad, cada combinación de las variables de entrada corresponde a un termino de producto estándar.
Es posible extraer una sumatoria de productos estándares sumando cada termino de producto cuyo resultado en la tabla de verdad es igual a 1.
Sistemas Digitales 36
Miniterminosa b c Minitermino Número
0 0 0 A’B’C’ 0
0 0 1 A’B’C 1
0 1 0 A’BC’ 2
0 1 1 A’BC 3
1 0 0 AB’C’ 4
1 0 1 AB’C 5
1 1 0 ABC’ 6
1 1 1 ABC 7
•En la tabla se muestra la
equivalencia entre las
combinaciones de una tabla de
verdad y los minitérminos que
están asociados a cada uno de
los productos estándares de
una expresión algebraica.
•Los miniterminos pueden ser
referidos también por sus
números, que están mostrados
en la columna de la derecha.
Sistemas Digitales 37
Ejemplo 1
A B C f f’
0 0 0 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 1 0
1 0 0 1 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 1 0 1
La expresión algebraica será:
f(A,B,C) = Σm(1,2,3,4,5)
= A’B’C+A’BC’+A’BC+AB’C’+AB’C
f’(A,B,C) = Σm(0,6,7)
= A’B’C’+ABC’+ABC
Para la mayoría de los casos la
suma de los minitérminos no
representa la sumatoria mínima de
productos.
Sistemas Digitales 38
Ejemplo 2, con condiciones irrelevantes
(don’t care)a b c f
0 0 0 x
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 x
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
La expresión algebraica será:
f(a,b,c) = Σm(1,2,5) + Σd(0,3)
Sistemas Digitales 39
Finalización del proyecto EJE1
Z2= A’BCD+AB’CD+ABC’D+ABCD’+ABCD
Z2 suma mínima = ACD+BCD+ABC+ABD
Diagrama lógico
Sistemas Digitales 40
Introducción a los Mapas de
Karnaugh
Sistemas Digitales 41
Mapas de Karnaugh
Es un método gráfico usado para la
simplificación de funciones de conmutación.
Propuesto por Maurice Karnaugh en 1953.
Los mapas de Karnaugh se compone de un
cuadrado por cada minitérmino posible de
una función.
2 variables, 4 cuadrados
3 variables, 8 cuadrados
4 variables, 16 cuadrados
Sistemas Digitales 42
Mapa de Karnaugh para dos variables
A’B’ AB’
A’B AB
m0 m2
m1 m3
0 2
1 3
0 1
0
1
A
B
A
B
Aquí tenemos tres vistas de una mapa de dos variables, las casillas sombreadas,
por ejemplo, corresponden al minitérmino 2 donde A=1 y B=0
Sistemas Digitales 43
Representando funciones en un Mapa de
Karnaugh (1)
Cuando se quiere llevar una función a un
mapa, se coloca un 1 en el casillero
correspondiente al minitérmino que resultó
como 1 en la función.
Los otros casilleros se dejan en blanco
Si existen condiciones irrelevantes, es
necesario poner una X en los minitérminos
correspondientes.
Sistemas Digitales 44
Representando funciones en un Mapa de
Karnaugh (2)
1
1
0 1
0
1
a
b
1 X
1
0 1
0
1
A
B
F(a,b) = Σm(0,3) F(A,B) = Σm(0,3) + Σd(2)
Sistemas Digitales 45
Mapa de Karnaugh para 3 variables
A’B’C’ A’BC’ ABC’ AB’C’
A’B’C A’BC ABC AB’C
00 01 11 10
0
1
AB
C
0 2 6 4
1 3 7 5
00 01 11 10
0
1
AB
C
La idea con la codificación es poder usar el P9a. ab+ab’=a
Sistemas Digitales 46
Mapa de Karnaugh para 4 variables
A’B’C’D’ A’BC’D’ ABC’D’ AB’C’D’
A’B’C’D A’BC’D ABC’D AB’C’D
A’B’CD A’BCD ABCD AB’CD
A’B’CD’ A’BCD’ ABCD’ AB’CD’
00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD
0 4 12 8
1 5 13 9
3 7 15 11
2 6 14 10
00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD
Sistemas Digitales 47
Ejemplo de adyacencia para un mapa de 4
variables Los 1 en dos celdas adyacentes corresponden a un solo término de
producto.
1 1
00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD
1
1
00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD
AC’D A’B’D’
Sistemas Digitales 48
Extendiendo el concepto de adyacencia
para agrupar más celdas
1 1 1 1
00 01 11 10
0
1
AB
C
1 1 1 1
00 01 11 10
0
1
AB
C
A’C AC C
Sistemas Digitales 49
Otros ejemplos para grupos de 4
1
1 1 1
1 1 1
1
00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD
1 1
1 1
1 1
1 1
00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD
A’B’ AD B’D’ BD
Sistemas Digitales 50
Grupos de 8
1 1
1 1
1 1
1 1
00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD
1 1 1 1
1 1 1 1
00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD
A’ D’
Sistemas Digitales 51
Ejemplo de simplificación usando Mapas
de Karnaugh
1 1
1 1 1
00 01 11 10
0
1
xy
z
1 1
1 1 1
00 01 11 10
0
1
xy
z
x’yz’ + x’yz + xy’z’ + xy’z + xyz
1 1
1 1 1
00 01 11 10
0
1
xy
z
x’y + xy’ + xz
Sistemas Digitales 52
Problema
f = a’b’c’ + a’bc’ + a’bc + ab’c’
Para la función f encontrar:
La suma de productos mínima usando un mapa d
karnaugh.
Sistemas Digitales 53
Compuertas NAND, NOR y
OR EXCLUSIVAS
Sistemas Digitales 54
Compuerta NAND y NOR
Como la otras compuertas que estudiamos, también están disponibles
en el comercio con dos, tres, cuatro y ocho entradas.
Símbolos para NAND
Símbolos para NOR
Sistemas Digitales 55
Importancia de las NAND y NOR
Todas las funciones Booleanas pueden ser substituibles por una función equivalente que utilice únicamente compuertas NAND y/o NOR, esto con los siguientes objetivos: Disminución del número de componentes en una tarjeta de
circuito impreso.
Dar facilidad de mantenimiento futuro y
Disminuir el consumo de energía.
La transformación de cualquier función se efectuará mediante la correcta utilización del teorema de Moorgan.
Sistemas Digitales 56
Algunas equivalencias
Sistemas Digitales 57
Metodología para transformar una
expresión a NAND1. Una vez obtenida la expresión correspondiente del problema
digital, se realiza a todo el conjunto una doble inversión o negación.
2. Como nos encontramos en el caso de implementar con puertas NAND, si la expresión resultante está en función de productos, las dos negaciones deben dejarse tal cual. Si, por el contrario, es una suma, se aplica el teorema de Moorgan sobre dicha suma.
3. Continuar 2, hasta la obtención de una función compuesta exclusivamente como productos negados.
Sistemas Digitales 58
Metodología para transformar una
expresión a NOR1. Con la expresión correspondiente se realiza a todo el conjunto
una doble inversión o negación.
2. Si la expresión resultante está en función de sumas, las dos negaciones deben dejarse tal cual. Si se trata de un producto, tendremos que aplicar el teorema de Moorgan sobre el producto.
3. Continuar 2 (realizando el proceso anterior) hasta la obtención de una función compuesta exclusivamente por sumas negadas.
Sistemas Digitales 59
Compuerta OR-Exclusiva y NOR-Exclusiva
a b a xor b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
a b a xnor b
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1