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Modul berblicke ber Teilgebiete der Mathemathik (UEB)
Vorlesungsskript
Algebra im berblickDietrich Burde Oktober 2010
Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 2 Algebra und Symmetrie2.1 2.2 2.3 2.4 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Isometriegruppen des Euklidischen Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . Symmetriegruppen von Ornamenten Kristallographische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 77 13 18 25
3 Algebra und Gleichungen3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Polynomiale Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynomringe in mehreren Variablen Monomordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multivariate Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Monomideale und Dicksons Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grbnerbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Buchbergers Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2727 31 34 38 40 42 47
4 Algebra und Codierung4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Endliche Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perfekte Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zyklische Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BCH und Reed-Solomon Codes
5355 59 65 68 73 81
3
1 Einleitungberblicke ber Teilgebiete der Mathematik. In den Zielen dazu heit es, die Studierenden sollen zentrale Resultate derthematik der Universitt Wien und gehrt zum Modul Algebra kennenlernen, oft auch ohne detaillierte Beweise. Fr Studierende, die nach dem Bachelorstudium in das Berufsleben einsteigen wollen, liefert dieses Modul eine Verbreiterung des allgemeinmathematischen Wissens. Einige Themen ber Gruppen, Ringe und Krper werden vorher im Modul Die Vorlesung
Algebra im berblick
ist Bestandteil des Bachelor-Studiengangs in Ma-
Algebra
Elementare
angeboten. Wir stellen drei ausgewhlte Themenbereiche vor, von denen das
erste mit Gruppentheorie assoziiert ist, das zweite mit Ringtheorie, und das dritte mit Krpertheorie. Alle drei Themen sind auch Beispiele fr die Anwendungen der Algebra. Das Skript wird derzeit berarbeitet, wobei ich Gerald Teschl herzlich danken mchte fr zahlreiche gute Verbesserungsvorschlge.
5
2 Algebra und SymmetrieIn diesem Abschnitt wollen wir Symmetriegruppen von Ornamenten und Kristallen behandeln, und eine kleine Einfhrung ist das Gebiet der kristallographischen Gruppen geben. Die Klassikation kristallographischer Gruppen ist durchaus wichtig in den Anwendungen, sei es fr die Festkrperphysik, bei der Beschreibung von inkommensurabel modulierten Strukturen, Quasikristallen und magnetischen Strukturen, oder fr Anwendungen innerhalb der Kristallographie.
2.1 GruppenoperationenDie Denition einer Gruppenoperation, oder einer Gruppenwirkung ist wie folgt.
Denition 2.1.
Sei
G
eine Gruppe und
X
eine Menge. Eine Abbildung
G X X, (g, x) gxnennt man eine (1) (2)
Operation von G auf X , falls giltfr alle
g(hx) = (gh)x ex = x
g, h G
und alle
x X, x X.auf
fr das neutrale Element
eG
und alle
Eine Menge
X
mit einer Operation einer Gruppe
G
X
heit auch
G-Menge.
Wir
wollen uns einige Beispiele anschauen.
1. Die Gruppe GLn (K) der invertierbaren n n Matrizen ber einem Krper K operiert n auf dem K durch Matrixmultiplikation (A, x) Ax. 2. Jede Gruppe G operiert auf jeder Menge X durch die triviale Operation, d.h. durch gx = x fr alle g G und alle x X . 3. Die symmetrische Gruppe Sn operiert durch Permutationen auf der Ziernmenge X = {1, 2, . . . , n}. 4. Jede Gruppe G operiert auf sich selbst durch Konjugation: mit X = G ist die Opera1 tion durch (g, x) gxg gegeben. b 5. Die Gruppe SL2 (C) der komplexen 2 2 Matrizen A = ( a d ) mit Determinante c det(A) = 1 operiert auf der Riemannschen Zahlenkugel C = C {} durch Mbiustransformationen
(A, z) A z =
az + b . cz + d
7
2 Algebra und Symmetrie
Dabei gilt 1z+0 Ez = 0z+1
A = a/c und A (d/c) = . Die Einheitsmatrix E operiert durch b = z . Fr zwei Matrizen A = ( a d ), B = rechnet man nach, da gilt c A (B z) = A z + z + a = cz+ z+ z+ z+
+b +d
= =
(a + b)z + (a + b) (c + d)z + (c + d) a + b a + b z c + d c + d
= (AB) z. X X . Sie bildet eine Gruppe unter Komposition. Fr jedes g G sei L(g) : x gx die Linksmultiplikation mit g . 1 Oenbar ist L(g) eine Bijektion von X , mit inverser Abbildung L(g ).Es bezeichne
Sym(X)
die Menge aller Bijektionen
Satz 2.1.1. Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge X operiert. Dann ist die Abbildung L : G Sym(X), g L(g) ein Gruppenhomomorphismus. Ist umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus : G Sym(X) gegeben, so operiert die Gruppe G auf X durch (g, x) (g)x.Beweis.L(e) = id und L(g) (L(h) x) = L(gh) x fr alle g, h G und x X . Das besagt genau, da L ein Gruppenhomomorphismus ist. Dabei ist L(g) Sym(X) fr g G. Die zweite AussageDie beiden Bedingungen einer Gruppenoperation bedeuten folgt analog. Der Satz ist manchmal hilfreich. So nennt man eine Operation von falls der Homomorphismus
G auf X
auch
treu,
gx = x fr alle der Sn treu aufdie Menge
L : G Sym(X) x X schon g = e impliziert. X = {1, 2, . . . , n}.Sei
injektiv ist; mit anderen Worten, wenn Zum Beispiel operiert jede Untergruppe
Denition 2.2.die
G
eine Gruppe, die auf einer Menge
X
operiert. Fr
xX
heit
Gx = {gx | g G} X
Bahn von x, oder der Orbit von x.G-Bahnvon
Manchmal sagt man auch
x.
Eine Operation heit
xX
gibt mit
X = Gx.
In diesem Fall nennt man
X
einen
transitiv, falls es ein homogenen Raum fr G.
X = {1, 2, . . . , n}. Wenn G auf X operiert, so nennt man eine Teilmenge S X auch G-invariant, falls gx S gilt fr alle g G und alle x S . Dann induziert die Operation von G auf X auch eine Operation von G auf S . Die Bahn Gx von X ist die kleinste G-invariante Teilmenge von X , die x enthlt. Fr x, y X schreiben wir x y , falls es ein g G gibt mit y = gx. Das deniertZum Beispiel operiert die symmetrische Gruppe transitiv auf
Sn
8
2.1 Gruppenoperationen
oensichtlich eine quivalenzrelation:
1. Die Relation is reexiv, da x = ex gilt. 2. Die Relation ist symmetrisch, da aus x y folgt y = gx, und somit x = g 1 y , also y x. 3. Die Relation ist transitiv, weil y = gx und z = hy zusammen oenbar z = h(gx) = (hg)x implizieren. Die quivalenzklassen dieser Relation sind nichts anderes als die G-Bahnen. Sie bilden eine Partition von X .
Beispiel 2.1.2. Fr eine Gruppe G, die auf sich selbst operiert durch Konjugation, sind die G-Bahnen genau die Konjugationsklassen.Fr
xX=G
ist die Konjugationsklasse von
x
die Menge
{gxg 1 | g G}.
Beispiel 2.1.3. Sei G = D die Untergruppe von Sym(R), die von allen Translationen T (x) = x + 1 und allen Spiegelungen S(x) = x erzeugt wird. Sie heit die unendliche 1 Diedergruppe. Sie operiert auf X = R. Die G-Bahnen der Elemente x = 1, 2 , 1 sind 3 gegeben durchG 1 = Z, G 1 1 = + Z, 2 2 1 1 G = +Z 3 3
2 +Z . 3 Xoperiert. Fr
Denition 2.3.die Menge der
Sei
G
eine Gruppe, die auf einer Menge
xX
heit
Gx = {g G | gx = x} G
Stabilisator von x, oder die Isotropiegruppe von x.Gxeine Untergruppe von
In der Tat ist
G,
aber nicht unbedingt ein Normalteiler.
Vielmehr haben wir folgendes Resultat.
Lemma 2.1.4. Fr g G und x X giltgGx g 1 = Ggx .
Beweis.Ggx .
Es sei
Das
h Gx , also hx = x. Dann folgt (ghg 1 )gx = ghx = gx, 1 bedeutet gGx g Ggx . Gilt umgekehrt h(gx) = gx, so folgt (g 1 hg)x = g 1 (h(gx)) = g 1 gx = x.
also
ghg 1
Das bedeutet
g 1 hg Gx ,
oder
h gGx g 1 .
9
2 Algebra und Symmetrie
Beispiel 2.1.5. Falls G durch Konjugation auf sich selbst operiert, so ist der Stabilisator von x die GruppeCG (x) = {g G | gx = xg}.
Sie heit Zentralisator von x in G.Das Zentrum
Z(G)
von
G
ist der Schnitt ber alle Zentralisatoren:
Z(G) =xGFr eine Teilmenge
CG (x) = {g G | gx = xg x G}.denieren wir den Stabilisator von
SX
S
als
Stab(S) = {g G | gS = S}.Oenbar ist Wie in
Stab(S) eine Untergruppe von G, und Stab(x) = Gx 1 Lemma 2.1.4 zeigt man, da Stab(gS) = g Stab(S)g .
fr ein Element
x X.
Beispiel 2.1.6. Fr die Operation der unendlichen Diedergruppe D auf R sind die 1 Satbilisatoren von x = 1, 2 , 1 gegeben durch 3G1 = {id, T 2 S}, G 1 = {id, T S},2
G 1 = {id}.3
Beweis.
n n 2 Die Gruppenelemente sind von der Form T S oder T fr n Z, wegen S = id 1 1 und ST = T S . Fr x = 3 hat die Gleichung W (x) = x nur die Lsung W = id. Falls 1 n W = T so impliziert T n ( 1 ) = 3 natrlich n = 0. Fr W = T n S ergibt die Gleichung 3
1 = (T n S) 3einen Widerspruch wegen
1 3
= Tn
1 3
=n
1 3
n Z.
Beispiel 2.1.7. Es operiere G auf sich selbst durch Konjugation. Sei H eine Untergruppe von G. Der Stabilisator von H heit dann der Normalisator NG (H) von H in G:NG (H) = {g G | gHg 1 = H}.
Satz 2.1.8. Operiert eine Gruppe G auf einer Menge X , so ist die AbbildungG/Gx Gx, gGx gx
eine Bijektion. Es gilt |Gx| = (G : Gx ).
Korollar 2.1.9. Die Anzahl der Konjugierten gHg1 einer Untergruppe H von G ist gleich (G : NG (H)).
10
2.1 Gruppenoperationen
Wenn
X
eine endliche Menge ist, dann ist
X
eine disjunkte Vereiningung von endlich
vielen Bahnen
Oi ,
also
m
X=i=1Das bedeutet dann
Oi .m
m
|X| =i=1fr
|Oi | =i=1
(G : Gxi )
xi Oi .
Wenn
G
auf
X =G
durch Konjugation operiert, erhlt man dadurch die
sogenannte Klassengleichung.
Theorem 2.1.10 (Klassengleichung). Es bezeichne C ein Vertretersystem von Elementen fr die Konjugationsklassen von G. Dann gilt|G| =xCDie Klassengleichung hat viele Folgerungen fr die Gruppentheorie. Wir wollen an einige ausgewhlte Resultate erinnern.
(G : CG (x)).
Theorem 2.1.11 (Cauchy). Sei p eine Primzahl, die die Gruppenordnung |G| teilt. Dann enthlt G ein Element der Ordnung p. Korollar 2.1.12. Sei G eine Gruppe der Ordnung 2p fr eine Primzahl p > 2. Dann ist G zyklisch oder eine Diedergruppe. Eine Gruppe G heit zyklisch, falls sie von einem Element r G erzeugt wird. Manschreibt dann auch
G = r . Wenn r endliche Ordnung hat, also wenn rn = e fr ein n N gilt, so ist G = {e, r, r2 , . . . , rn1 }. Es ist leicht zu sehen, da es bis auf Isomorphie genau eine zyklische Gruppe der Ordnung n gibt, fr jedes n . Man hat Cn = {e, r, r2 , . . . , rn1 } Z/nZ, C = {. . . , ri , . . . , r1 , e, r, . . . , ri , . . .} ZDer Satz von Lagrange impliziert folgendes Resultat:
Satz 2.1.13. Jede Gruppe von Primzahlordnung p ist zyklisch.Geometrisch gesehen kann man sich Polygons mit
Cn
als die Gruppe der Drehungen eines regulren
n
Seiten vorstellen.
1
2
6
3
5
4
11
2 Algebra und Symmetrie
n-Ecks. Nummeriert man die Ecken des Polygons gegen den Uhrzeigersinn mit 1, 2, . . . , n, so bezeichne r die Drehung um 2/n, und s die Spiegelung an der Geraden durch 1 undDie Diedergruppe fr ist die Symmetriegruppe eines regulren den Mittelpunkt des Polygons. In Formeln,
Dn
n 3
r(i) = i + 1 mod n, s(i) = n + 2 i mod n.n1 Man rechnet leicht nach, da (srs)(i) = i + n 1 = r (i) gilt. Man hat auerdem rn = e und s2 = e. Die Gruppe Dn wird also prsentiert durch
Dn = r, s | rn = s2 = e, sr = rn1 s . Dn = {e, r, r2 , . . . , rn1 , s, rs, r2 s, . . . , rn1 s}. Die geometrische Denition zeigt, da alle Elemente hier verschieden sind, d.h., |Dn | = 2n. Des weiteren ist Dn = r s = Cn C2 ein semidirektes Produkt der zyklischen Gruppen Cn und C2 , mit (s)(ri ) = ri . Wir bemerken noch, da man fr n 2 die Diedergruppen wie folgtMan hat deniert:
D1 = C1 ,
D2 = C2 C2 . 2pmit
Beweis.
Sei
G
eine Gruppe der Ordnung
p > 2.
Wir wollen das Korollar
2.1.12
beweisen. Der Satz von Cauchy zeigt, da es ein Element
s
der Ordnung
2,
und ein
Element r der Ordnung p in G geben mu, da 2 und p ein Teiler von |G| sind. Dann ist Cp = r ein Normalteiler in G wegen (G : Cp ) = 2. Natrlich ist s Cp , weshalb G = Cp Cp s ist. Das bedeutet G = {1, r, . . . , rp1 , s, rs, . . . , rp1 s}. Da Cp ein Normalteiler 1 ist, gilt srs = ri fr ein i Z. Wegen s2 = e ist
r = s2 rs2 = s(srs1 )s1 = ri .Das bedeutet
2
i2 1 mod p, oder i2 = 1 im Krper Z/pZ. Diese quadratische Gleichung hat genau zwei Lsungen i = 1, also i 1 mod p oder i 1 mod p. Im ersten Fall p 2 ist die Gruppe G kommutativ, d.h. G = r, s | r = s = e, rs = sr C2p . Im zweiten 1 Fall hat man srs = r1 , also G Dp .
Beispiel 2.1.14. Jede Gruppe der Ordnung 6 ist entweder isomorph zu C6 , oder zu S3 .2.1.12 mit p = 3. Eine Gruppe der Ordnung 2p = 6 ist demnach entweder zyklisch, oder isomorph zu D3 . Die Gruppe D3 ist erzeugt von den beiden Permutationen s = (23) und r = (123), nach Denition von r und s. Damit ist aber klar, da D3 = S3 gilt.Das folgt aus Korollar Eine Gruppe
G
der Ordnung
pn
heit
p-Gruppe.
Die Klassengleichung impliziert auch
folgenden Satz.
Satz 2.1.15. Jede nicht-triviale p-Gruppe hat ein nicht-triviales Zentrum.
12
2.2 Isometriegruppen des Euklidischen Raumes
Korollar 2.1.16. Jede Gruppe der Ordnung p2 ist kommutativ, und damit isomorph zu Cp Cp oder Cp2 . Beweis. Sei G eine Gruppe der Ordnung p2 mit Zentrum Z . Dann ist |Z| ein Teiler vonp2 , 1 verschieden ist. Somit hat G/Z die Ordnung p oder 1. G/Z eine zyklische Gruppe ist. Es gibt also ein x G mit G/Z = xZ . Fr zwei beliebige Elemente g = xr z1 und h = xs z2 , mit zi Z folgt dannder wegen Satz von In beiden Fllen folgt, da
2.1.15
gh = xr z1 xs z2 = xr+s z1 z2 = xs z2 xr z1 = hg.Also ist
G
kommutativ.
2.2 Isometriegruppen des Euklidischen Raumes
Denition 2.4.E R.
Ein Euklidischer Vektorraum ist ein Paar
(E, ),
bestehend aus einem
endlich-dimensionalen
R-Vektorraum E
und einer positiv deniten Bilinearform
: E
x E setzen wir |x| = (x, x) und d(x, y) = |x y|. Das deniert eine d : E E R. Wir knnen den Vektorraum E nach Wahl einer orthonormalen n Basis mit dem Koordinatenraum R identizieren. Dann ist (x, x) = x, x das bliche Skalarprodukt, und d(x, y) = x y die bliche Euklidische Metrik.Fr Metrik
Denition 2.5.fr alle
Eine Abbildung
f: E E
heit
Isometrie, oder Bewegung, falls
d(f (x), f (y)) = d(x, y) x, y Egilt.
Eine Isometrie erhlt also den Abstand zwischen zwei Punkten. Sie ist oensichtlich injektiv. Wir werden auch sehen, da jede Isometrie zugleich auch surjektiv ist. Somit ist jede Isometrie bijektiv, und ihre Umkehrabbildung ist wieder eine Isometrie. Die Isometrien eines Euklidischen Vektorraums bilden eine Gruppe unter Komposition. Sie wird mit
Iso(E)
bezeichnet.
Beispiel 2.2.1. Eine Translation von E ist eine Abbildung T : E E der FormT (x) = x + b
fr einen Vektor b E . Das ist oensichtlich eine Isometrie.Eine lineare Abbildung
f : Rn Rn
heit
orthogonal, fallsB,die
f (x), f (y) = x, yfr alle
x, y Rn
gilt. Wegen
x, y = xt y
erfllt die Matrix
f
reprsentiert dann
die Gleichung
xt B t By = xt yfr alle
x, y Rn .
Somit gilt
B t B = En ,
und
B
gehrt zur orthogonalen Gruppe
On (R).
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2 Algebra und Symmetrie
Beispiel 2.2.2. Eine orthogonale lineare Abbildung f : E E ist eine Isometrie.In der Tat, es gilt
d(f (x), f (y))2 = f (x) f (y) 2 = f (x y), f (x y) = x y, x y = d(x, y)2 .
Lemma 2.2.3. Es sei f : E E eine Isometrie, die den Ursprung xiert, d.h., mit f (0) = 0. Dann ist f eine orthogonale lineare Abbildung.Beweis.Mit der sogenannten Polarisierungsformel folgt
2 x, y = x 2 + y 2 x y 2 = d(x, 0)2 + d(y, 0)2 d(x, y)2 = d(f (x), f (0))2 + d(f (y), f (0))2 d(f (x), f (y))2 = f (x) 2 + f (y) 2 f (x) f (y) 2 = 2 f (x), f (y)fr alle
f das innere Produkt. Es bleibt zu zeigen, da f eine n lineare Abbildung ist. Sei e1 , . . . , en die Standardbasis des R . Da f das innere Produkt erhlt, ist auch f (e1 ), . . . , f (en ) eine ONB. Fr jedes x E gilt jetztAlso erhlt
x, y E .
n
x=k=1 n
x, ek ek , f (x), f (ek ) f (ek )k=1 n
f (x) = =k=1Also folgt
x, ek f (ek ).und
f(
n k=1
xk e k ) =
n k=1
xk f (xk )
f
ist linear.
Wir sehen nun, da Euklidische Isometrien ane Abbildungen sind.
Satz 2.2.4. Sei f : E E eine Isometrie von E . Identizieren wir E mit dem Standardraum Rn , so gibt es eine orthogonale Matrix A On (R) und einen Vektor v Rn mitf (x) = Ax + v
fr alle x E = Rn .
14
2.2 Isometriegruppen des Euklidischen Raumes
Beweis.
Sei
f: E E
eine Isometrie und
v = f (0).
Dann ist
g = T 1 f, x f (x) veine Isometrie mit Abbildung, und
g(0) = 0. Also f (x) = g(x) + v .
ist
g
nach Lemma
2.2.3
eine orthogonale lineare
Nun ist es leicht zu sehen, da gegeben durch Dann gilt
Iso(E) eine Gruppe unter Komposition ist. Seien f, g f (x) = Ax + v und g(x) = Bx + w, mit A, B On (R) und v, w Rn . (f g)(x) = A(Bx + w) + v = ABx + (Aw + v) f 1 (x) = A1 x A1 v.
Wir knnen damit Isometrien von
E
durch
(n + 1) (n + 1)-Matrizen
beschreiben.
Iso(E) =Jedes
A v 0 1x 1
| A On (R), v Rnin der Hyperebene
xE
entspricht einem Punkt
{(x1 , . . . , xn , xn+1 ) Rn+1 | xn+1 = 1}im
Rn+1 .
Die Gruppe
Iso(E)
operiert auf dem Raum
E = Rn
durch
A v 0 1gegeben durch
x 1
=
Ax + v 1 Iso(E)studieren. Die Multiplikation ist
Wir knnen nun die Struktur der Matrixgruppe
A v 0 1Das Inverse ist dann
B w 0 11
=
AB Aw + v . 0 1
A v 0 1
=
A1 A1 v 0 1 Iso(E),gegeben durch
Die Translationen bilden einen Normalteiler in
T (n) =In der Tat ist
En v 0 1 A v 0 1
| v Rn1
A v 0 1Es ist nun leicht zu sehen, da
En w 0 1
=
En Aw 0 1
Iso(E) ein semidirektes Produkt von On (R) und T (n) ist: Iso(E) = T (n) On (R).
15
2 Algebra und Symmetrie
Sind
N
und
Produkt
Q zwei Gruppen, so knnen wir eine Gruppenstruktur auf dem kartesischen N Q denieren durch punktweise Multiplikation: (n, q) (n , q ) = (nn , qq )
n, n N und q, q Q. Diese Gruppe heit das direkte Produkt von N und Q und wird mit G = N Q bezeichnet. Nun kann Q durch einen Gruppenhomomorphismus : Q Aut(N ) auf N operieren, viafr alle
q n = (q)(n).Damit kann man
N Q
wie folgt mit einer Gruppenstruktur versehen:
(n, q) (n , q ) = (n(q)(n ), qq ).Diese Gruppe nennen wir das von N und Q, und schreiben G = Q Aut(N ), gegeben durch (q)(n) = n, erhalten wir das direkte Produkt zurck. Die Gruppe N ist ein Normalteiler von G, und Q G/N ist der Quotient. Fr N = T (n), Q = On (R) und die natrliche Inklusion : On (R) Aut(T (n)) erhalten wir G = Iso(E) = T (n) On (R).
semidirekte Produkt
N
Q.
Fr den trivialen Homomorphismus
Wir knnen das semidirekte Produkt auch noch etwas abstrakter beschreiben.
Denition 2.6.
Eine Sequenz von Gruppen und Gruppenhomomorphismen
1N GQ1 heit
exakt, falls injektiv,
surjektiv ist, und
(N ) = ker()
gilt.
(N ) N ein Normalteiler von G, den wir oft mit N identizieren. Weiterhin ist Q G/(N ) der Quotient. Man sagt auch, da G dann eine Erweiterung von Q durch N ist. Oenbar liefert ein semidirektes Produkt N Q eine Erweiterung von Q durch N , nmlich 1 N N Q Q 1.Damit ist Diese kurze exakte Sequenz hat dann allerdings eine besondere Eigenschaft: sie
zerfllt.
Denition 2.7.
1 N G Q 1 eine Gruppenerweiterung. Bezeichne mit G/(N ) G die Abbildung, die jeder Restklasse x G/(N ) einen Vertreter :Q= (x) G zuordnet. Eine solche Funktion : Q G heit Transversale.Sei Nach Denition gilt
( (x)) = x,
i.e.,
= id | Q
(2.1)
Im allgemeinen mu eine Transversale kein Gruppenhomomorphismus sein. Genau diese Eigenschaft ist aber wichtig:
16
2.2 Isometriegruppen des Euklidischen Raumes
Denition 2.8.Transverale
Eine Erweiterung
1N GQ1
heit
zerfallend, falls es eine
:QG
gibt, die ein Gruppenhomomorphismus ist. In diesem Fall heit
ein Schnitt.
Satz 2.2.5. Eine Gruppe G ist ein semidirektes Produkt N eine zerfallende Erweiterung von Q durch N ist.
Q genau dann, wenn G
Beispiel 2.2.6. Die beiden folgenden Erweiterungen zerfallen:1 T (n) Iso(Rn ) On (R) 1, 1 SLn (k) GLn (k) k 1. det
Die erste Sequenz zerfllt wie folgt. Wir schreiben ist
(A, v) fr die Matrixdurch
A 0 0 1
. Dann
(A, v) = A,
und man kann
Fr die zweite Sequenz deniere man
(A) = (A, 0) whlen. : k GLn (k) 1 ... 0 0 . .. . . . . . . . . a . 0 . . . 1 0 0 ... 0 aund
Das ist ein Schnitt wegen
(ab) = (a) (b)
( )(a) = det (a) = a. Rn .Wir benutzen diese Tatsache, um
Die Gruppe
diskrete Untergruppen von Iso(E) zu denieren.
Iso(E)
operiert, wie gesagt, auf dem
Denition 2.9.
Eine Untergruppe
unter der Operation diskrete Eine Menge ist diskret im
Iso(E) heit diskret, n Mengen im R sind.ein
falls ihre Bahnen
x Rn
Rn ,
falls sie keinen Hufungspunkt hat. Das bedeutet, fr
x = y
mit
mindestens
y = x, gibt es c ist: d(x, y) c > 0.
c > 0,
so da der Abstand zwischen
x
und
y
Beispiel 2.2.7. Die Untergruppe Iso(R2 ), die einen Kreis S 1 in sich berfhrt ist nicht diskret. Sei enthlt Drehungen um einen beliebigen Winkel, und Spiegelungen an einem beliebigen Durchmesser.In der Tat, diese Gruppe ist
= O2 (R).1 0
Beispiel 2.2.8. Die Untergruppe Iso(R2 ), die von zwei Translationen t1 (x) = x+ und t2 (x) = x + 0 erzeugt wird ist diskret. 1Es handelt sich um die Gruppe
= Z2 = Z Z.
17
2 Algebra und Symmetrie
2.3 Symmetriegruppen von OrnamentenBei einem Ornament wird ein Motiv auf einem ebenen Flchenstck derart regelmig gestaltet, da seine Fortsetzung ins Unendliche suggeriert wird. Es breitet sich sozusagen regelmig wiederholend ber die ganze Ebene aus. Das entstehende Muster ist sehr symmetrisch in dem Sinne, da man es auf vielerlei Weise drehen, verschieben oder spiegeln kann, ohne das Muster zu verndern. Eine solche Operation der Ebene, die das Muster unverndert lt, nennt man eine bilden eine Gruppe.
Symmetrie
des Musters. Solche Symmetrien
Im allgemeinen ist eine Symmetrie einer Menge folgt deniert.
M
in einem Euklidischen Raum wie
Denition 2.10. Sei M eine nicht-leere Teilmenge heit eine Symmetrie von M , falls s(M ) = M gilt.Die Menge aller Symmetrien von
von
E.
Eine Isometrie
s: E Edie mit
M
bildet eine Untergruppe von
Iso(E),
Sym(M )
bezeichnet wird.
Wir wollen uns hier nun den Symmetriegruppen von Ornamenten in der Ebene widmen. Darunter versteht man eine ganz spezielle Klasse von Gruppen.
Denition 2.11. Eine Untergruppe Iso(R2 ) heit Ornamentgruppe, falls sie diskretist, und zwei Translationen mit linear unabhngigen Richtungen enthlt.
18
2.3 Symmetriegruppen von Ornamenten
Unter einem gruppe
Ornament
versteht man dann ein Muster
M R2 ,
deren Symmetrie-
Sym(M )
eine Ornamentgruppe ist.
Wir wollen uns folgendes Ornament anschauen, und seine Symmetriegruppe bestimmen.
Die einzigen Isometrien der Ebene, die das Ornament also erzeugt von den beiden Translationen
M
Translationen in die gezeigten Richtungen. In Bezug auf diese Basis des
in sich berfhren, sind R2 wird Sym(M )
1 0 A = 0 1 0 0und es gilt
1 0 , 1
1 0 B = 0 1 0 0 Sym(M ) n m 1
0 1 1also aus den Matrizen , mit
AB = BA.
Damit besteht die Gruppe
n, m Z, 1 0 n m 0 1 A B = 0 0wobei
n, m Z.
Es gilt also
Sym(M ) Z2 .
Man vergleiche mit Beispiel
2.2.8.
Es stellt sich nun heraus, da man alle Ornamentgruppen klassizieren kann. Bis auf Isomorphie gibt es genau
17
Ornamentgruppen, und fr jede dieser Gruppen kann man
ein Ornament aus der Kunst nden, das genau diese Symmetriegruppe hat. Einen ersten Beweis dieser Klassikation hat Fedorov
1891
erbracht.
Theorem 2.3.1 (Fedorov 1891). Es gibt genau 17 verschiedene Ornamentgruppen Gruppen in der Ebene.
19
2 Algebra und Symmetrie
Fedorov hatte zuerst Symmetriegruppen von Kristallen im trachtet, und danach erst die einfacheren
3-dimensionalen Raum be-
2-dimensionalen Entsprechungen der Kristalle, 2sagen. Die waren zuerst
nmlich die Ornamente, untersucht. Dazu kommen wir noch. Zunchst aber wollen wir noch etwas zu den Beweismethoden des Satzes in Dimension vor allen Dingen geometrischer Natur. Isometrien der Ebene sind entweder Drehungen, Spiegelungen oder Gleitspiegelungen. Endliche Isometriegruppen der Ebene kann man dann wie folgt beschreiben.
Satz 2.3.2. Eine endliche Untergruppe von Iso(R2 ) ist entweder eine zyklische Gruppe Cn , die aus Drehungen um die Winkel 2k/n fr k = 0, 1, 2, . . . , n 1 um einen Punkt P besteht, oder aber eine Diedergruppe Dn , die aus solchen Drehungen und zustzlich aus n Spiegelungen an Geraden durch P besteht.2 Hat man nun eine Ornamentgruppe Iso(R ), so bilden die Translationen in einen 2 2 Normalteiler N = T (2) Z , so da der Quotient /Z eine endliche Untergruppe 2 von Iso(R ) ist, die sogenannte . Man kann nun obigen Satz anwenden und
Punktgruppe
das folgende Resultat zeigen.
Korollar 2.3.3. Die Punktgruppen einer Ornamentgruppe ist entweder eine zyklische Gruppe C1 , C2 , C3 , C4 , C6 , oder eine Diedergruppe D1 , D2 , D3 , D4 , D6 .1, 2, 3, 4, 6 haben. Das nennt man manchmal die kristallographische Restriktion. Sei A O2 (R) eine 2 solche Drehung. Dann ist det(A) = 1. Falls det(A) = 1, so gilt A = E , und A hat Ordnung 2. Andernfalls ist det(A) = 1, undTatschlich kann eine Drehung in einer Punktgruppe nur die Ordnung
A2 tr(A)A + E = 0nach Cayley-Hamilton. Nach Multiplikation mit
A1
folgt
A + A1 = tr(A)E.Fr
Av N und A1 v N wegen (A, w) (E, v) (A, w)1 = (E, Av). 1 Deshalb ist (A + A )v = tr(A)v N . Whlt man nun v so, da es kein Vielfaches eines anderen Vektors aus N ist, so folgt tr(A) Z. Da aber A SO2 (R) ist, und v Nfolgt
SO2 (R) =folgt
cos() sin() sin() cos()
,
tr(A) = 2 cos().
Deshalb ist
bedeutet fr den Drehwinkel die Mglichkeiten
|tr(A)| 2, und somit tr(A) = 2, 1, 0, 1, 2. Das = , 2 , , , 0, und A hat die Ordnung 3 2 3
2, 3, 4, 6, 1.Nun kann man Theorem mgliche Darstellung der
2.3.1 17
mit Hilfe dieses Korollars beweisen. Das ist aber immer
noch relativ mhsam. Einen ausfhrlichen geometrischen Beweis ndet man in [3]. Eine Ornamente sieht wie folgt aus:
20
2.3 Symmetriegruppen von Ornamenten
Die Klassikation der Ornamentgruppen kann auch mit sionen
algebraischen Methoden erreicht
werden. Damit wird dann auch eine Klassikation solcher Gruppen in hheren Dimen-
n 3 mglich - in diesem Fall spricht man von kristallographischen Gruppen. Die
algebraischen Methoden gestatten einen algorithmischen Zugang, mit dem man dann, im Prinzip, alle kristallographischen Gruppen berechnen kann. Ein wichtiger Satz von Bieberbach besagt, da es in jeder Dimension nur endlich viele solche Gruppen geben kann. Mit Hilfe von umfangreichen Computerrechnungen liegt heute die Klassikation bis einschlielich Dimension Dimension
6
vor. Die Anzahl der kristallographischen Gruppen steigt expoin in
nentiell an. In Dimension
6
schon
3 hat man 219 verschiedene kristallographische Gruppen, 28927922. Die Resultate sind auch wichtig fr die Anwendungen Iso(R2 )
der Kristallographie und Festkrperphysik. Wir wollen einige dieser algebraischen berlegungen skizzieren. Sei also
eine Ornamentgruppe. Die folgende Argumentation ist brigens nicht nur fr die Ebene, n sondern fr E = R gltig. Wie schon gesagt besitzt dann einen Translationsnormal2 2 teiler N Z , mit endlichem Quotienten F = /Z . Anders gesagt, man hat eine kurze exakte Sequenz von Gruppen
1 Z2 F 1, wobei
(Z2 )
eine maximal abelsche Untergruppe von
riert durch Konjugation auf dem Translationsgitter
ist. Die N Z2 .
endliche Gruppe Damit wird
F
ope-
F
zu einer
21
2 Algebra und Symmetrie
endlichen Untergruppe von
Aut(Z2 ) = GL2 (Z) = {A M2 (Z) | det(A) = 1}.Genauer gesagt, erhlt man eine Konjugationsklasse von immer nur endlich viele solcher Konjugationsklassen:
F
in
GL2 (Z). Nun gibt es aber
Satz 2.3.4 (C. Jordan, 1880). Die Gruppe GLn (Z) hat nur endlich viele Konjugationsklassen endlicher Untergruppen.Diese Konjugationsklassen heien
arithmetische Ornamentklassen. Hat man diese Ko-
njugationsklassen bestimmt, so mu man gem der obigen exakten Sequenz alle mglichen Erweiterungen bis auf Isomorphie nden, und erhlt so alle Ornamentgruppen. Es gibt wiederum nur endlich viele solche Erweiterungen. Die Konjugationsklassen endlicher Untergruppen von elementar bestimmen. Es gibt genau nicht zueinander konjugiert sind in
GL2 (Z)
lassen sich aber relativ von
13 endliche Untergruppen GL2 (Z). Es seien V = 0 1 , 1 0
GL2 (Z),
die jeweils
E=Es gilt sind
1 0 , 0 1
U=
0 1 , 1 1und
W =
0 1 . 1 1 U, Vund
V 2 = E , also V 4 = E , in der Tat 3, 4 und 6.
U 3 = E, W 6 = E.
Die Ordungen von
W
Satz 2.3.5. Es gibt genau 13 arithmetische Ornamentklassen, also 13 endliche, nichtkonjugierte Untergruppen von GL2 (Z). Sie sind wie folgt gegeben:C1 E , C4 V , D1 D3 D6 0 1 1 0 C2 E , C6 W , , D2 , . D3 C3 U , D1 1 0 0 1 , D2 , D4 0 1 , E , 1 0 0 1 ,V 1 0 ,
1 0 , E , 0 1 0 1 ,U 1 0
0 1 ,U 1 0 0 1 ,W 1 0
Beweis.
Wir geben eine Beweisskizze. Sei A ein Element von GL2 (Z) von endlicher m Ordnung. Das bedeutet, A = E fr ein m 1. Die Eigenwerte von A sind also m-te Einheitswurzeln.
1. Behauptung: AJordanform ber
ist diagonalisierbar.
Angenommen, das ist nicht der Fall. Dann hat
A
zwei gleiche Eigenwerte, und seine
C
ist
J=
1 . 0
22
2.3 Symmetriegruppen von Ornamenten
2 Diese Matrix hat aber unendliche Ordnung wegen = 1. Damit hat auch 1 Ordnung, wegen A = SJS . Das ist ein Widerspruch.Es gibt also ein
A unendliche
S GL2 (C)
mit
SAS 1 =Angenommen es gilt
0 . 0
A2 = E . 2 0 0 2
Dann folgt
= (SAS 1 )2 = SA2 S 1 = SES 1 = E.
Das bedeutet
2 = 2 = 1, also , = 1. Somit ist A eine der folgenden vier Matrizen: 1 0 , 0 1 1 0 , 0 1 1 0 , 0 1 1 0 . 0 1 2.Die einzige Matrix aus
Dabei hat
E
Ordnung
1,
und die anderen Matrizen Ordnung
SL2 (Z)
der Ordnung
2
ist
E .mit
2. Behauptung:
Es gelte
Am = E
m 3.
Dann folgt
A SL2 (Z).
, beide m-te Einheitswurzeln sind, gilt || = || = 1, und einer der beiden kann nicht reell sein, wegen m 3. Nur fr m 2 sind alle m-ten Einheitswurzeln reell. Sagen wir also, da R. Nun gilt aber tr(A) = + Z. Insbesondere mu + reell sein. Es folgt = . Das impliziert det(A) = = = ||2 = 1.Da die Eigenwerte
3. Behauptung:Fr
Es gelte
Am = Eund
in
GL2 (Z).
Dann folgt
m = 1, 2, 3, 4, 6.
m3
ist
A SL2 (Z)
tr(A) = + = e m + e m = 2 cosganzzahlig, mit
2i
2i
2 m
|tr(A)| 2. Die Gleichungen 2 cos(2/m) = 2, 1, 0, 1, 2 ergeben dann m = 2, 3, 4, 6, 1. Alle Flle treten auch wirklich auf. Die obengenannten Matrizen A GL2 (Z) haben Ordnung m = 1 und m = 2, und es gilt ja U 3 = V 4 = W 6 = E frdie im Satz genannten Matrizen.
4. Behauptung: Jede endliche Untergruppe G SL2 (Z) hat die Ordnung 1, 2, 3, 4, 6 und ist in GL2 (Z) zu einer der 5 zyklischen Gruppen E , E , U , V oder W konjugiert. Man beachte, da wir bisher nur die mglichen Ordnungen von Gruppenelementen kennen. Wir knnen ten. Die Projektion
SL2 (Fp ) ber einem endlichen Krpern Fp einbetZ Z/pZ induziert einen Gruppenhomomorphismus SL2 (Z) SL2 (Fp ), und damit einen von G nach SL2 (Fp ). Fr p = 3 ist er injektiv, d.h., G ist isomorph zu einer Untergruppe von SL2 (F3 ). Wegen |SL2 (F3 )| = 24 und nach Lagrange ist |G| also ein Teiler von 24, d.h. |G| = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24. Die echten Untergruppen vonin eine Gruppe
G
23
2 Algebra und Symmetrie
SL2 (F3 )
sind aber wohlbekannt:
C2 , C3 , C4 , C6
und die Quaternionengruppe
Q8 .
Sie ist
deniert als
Q8 = a, b | a4 = e, a2 = b2 , bab1 = a3 .Dazu kann man unter anderem die Sylow-Stze verwenden. Der Punkt ist nun aber, da unsere Gruppe momorphismus
G nicht isomorph zu Q8 sein kann. Dazu betrachtet man den Ho : G SL2 (F2 ), indem man die Matrizen von G modulo 2 reduziert. Die Gruppe SL2 (F2 ) hat Ordnung 6, und man erhlt relativ schnell einen Widerspruch. Fr mehr Details, auch insgesamt zu dem Satz, siehe [5]. Somit kann G auch nicht zu SL2 (F3 ) selbst isomorph sein, denn ansonsten htte G eine zu Q8 isomorphe Untergruppe. Es bleiben also nur die angegebenen Mglichkeiten.
5. Behauptung: Die endlichen Untergruppen G GL2 (Z) sind diejenigen unter 4., D1 , D2 , D3 , D4 , D6 . Daraus erhlt man noch genau weitere 8 Konjugationsklassen.Sei
und
Gruppen
GL2 (Z). Dann ist H = G SL2 (Z) eine der C1 , C2 , C3 , C4 , C6 wegen 4.. Fr G = H ist (G : H) = 2, und damit H Normalteiler in G = H Hx. Hier ist x G\H . Alle Elemente in Hx haben nun Ordnung 2, weil sie Matrizen endlicher Ordnung in GL2 (Z) sind mit Determinante 1, und wegen 2.. Insbesondere, wenn y die zyklische Gruppe H erzeugt, hat yx Ordnung 2, also (yx)(yx) = 1 1 und xyx = y 1 . Daraus folgt, da G isomorph ist zu D1 , D2 , D3 , D4 , D6 . Galso eine endliche Untergruppe in Die Quaternionengruppe
Bemerkung 2.3.6.R1 Ri Rj Rk
sache, da sie auch auf der Teilmenge
Q8 verdankt ihren Namen auch der Tat{1, i, j, k} der Quaternionenalgebra H =
realisiert wird, nmlich durch die Multiplikation, die durch
i2 = 1 = j 2 , ij = k = ji.bestimmt wird. Des weiteren haben wir gesehen, da man die Gruppe Untergruppe von von
Q8
nicht als
GL2 (Z) realisieren kann. Man kann sie aber sehr wohl als Untergruppe0 0 i e = ( 1 0 ) , a = ( 0 0 ) , a2 = 1 1 , a3 = i i , 0 1 0 i 0 2 3 0 1 i 0 0 1 i 0 b = ( 1 0 ) , ab = ( 0 i ) , a b = ( 1 0 ) , a b = ( 0 i ) .
GL2 (C)
realisieren:
Bemerkung 2.3.7.einer der folgenden
Ist
G eine endliche Untergruppe von GL2 (Q), so ist G isomorph zu C1 , C2 , C3 , C4 , C6 , D2 , D3 , D4 , D6 .
9
Gruppen:
Aus Satz Sei
F
eine
2.3.7 kann man nun die Klassikation der 17 Ornamentgruppen gewinnen. der 13 arithmetischen Ornamentklassen. Die Ornamentgruppen entstehen 1 Z2 F 1,
daraus durch Erweiterungen.
Dazu kann man die Kohomologiegruppen mentgruppen.
H 2 (F, Z2 ) H 1 (F, R2 /Z2 )
berechnen. Diese
endlichen Gruppen liefern dann zusammen mit den arithmetischen Klassen alle Orna-
24
2.4 Kristallographische Gruppen
Ist die Kohomologiegruppe ne Gruppe
H 1 (F, R2 /Z2 )
trivial, dann erhlt man zu
F
auch nur ei-
. Das passiert in allen Fllen bis auf drei Ausnahmen: fr die Klassen F = D1 , D2 , D4 . Dort erhlt man zu D1 dann 2 Gruppen, zu D2 dann 3 Gruppen, und zu D4 auch 2 Gruppen. Das sind insgesamt dann 10 + 2 + 3 + 2 = 17 Gruppen.
2.4 Kristallographische GruppenDie allgemeine Denition einer kristallographischen Gruppe ist wie folgt. Wir identin zieren den n-dimensionalen Euklidischen Raum E mit dem R .
Denition 2.12.
Eine Untergruppe n diskret ist und R / kompakt ist.
von Iso(E) heit kristallographische Gruppe, falls
Tatschlich ist das eine Verallgemeinerung von Ornamentgruppen, wie das Resultat von Bieberbach zeigt.
Satz 2.4.1 (Bieberbach 1, 1910). Sei Iso(E) eine kristallographische Gruppe. Dann enthlt die Translationsgruppe Zn als abelschen Normalteiler, und der Quotient /Zn ist eine endliche Gruppe.Der Quotient gelst.
F = /Zn
heit
Punktgruppe. Hilbert hatte 1900 gefragt, ob es in jeder
Dimension nur endlich viele solcher Gruppen gibt. Dieses Problem wurde von Bieberbach
Satz 2.4.2 (Bieberbach 2, 1910). In jeder Dimension enthlt Iso(E) nur endlich viele verschiedene kristallographische Gruppen.Beweis.Der
1.
Satz von Bieberbach liefert eine kurze, exakte Sequenz von Gruppen
1 Zn F 1. F = /Zn operiert treu durch Konjugation, also durch innere n Automorphismen, auf dem Gitter Z . Dadurch erhlt man eine Einbettung von F bis n auf Konjugation in die Automorphismengruppe von Z , also in die GruppeDie endliche Punktgruppe
GLn (Z) = {A Mn (Z) | det(A) = 1}.Es gibt aber nur endlich viele Konjugationsklassen von Satz von Jordan,
F
in
GLn (Z).
Das besagt der
2.3.4.
Daraus ergeben sich alle kristallographischen Gruppen durch
Erweiterungen. Da man dort wieder nur endlich viele Mglichkeiten hat, liegt an der 2 n 1 n n Tatsache, da die Kohomologiegruppe H (F, Z ) H (F, R /Z ) endlich ist. In der 2 1 Tat, die Gruppe H links ist diskret, und H rechts ist kompakt. Sei
N (F )
der Normalisator von
F
in
GLn (Z).
Der letzte Schritt in der Klassikation
der kristallographischen Gruppen beruht auf folgendem Satz.
25
2 Algebra und Symmetrie
Satz 2.4.3. Es gibt eine bijektive Korrepsondenz zwischen den kristallographischen Gruppen in den arithmetischen Kristallklassen und den Bahnen unter der Operation der Gruppe N (F ) auf der Kohomologiegruppe H 1 (F, Rn /Zn ).Darauf aufbauend gibt es einen Algorithmus von Zassenhaus, um alle kristallographischen Gruppen zu klassizieren. Die Klassikation in Dimension Es gibt
3
wurde unabhngig voneinander schon
1885
von Fe-
dorov, Schnies und Barlow erbracht, allerdings mehr mit geometrischen Methoden.
219
Gruppen. Jede von ihnen kann als Symmetriegruppe eines echten Kristalls
verwirklicht werden.
Satz 2.4.4 (Schoenies, Barlow, Fedorov 1885). Es gibt genau 219 verschiedene kristallographische Gruppen im drei-dimensionalen Raum.Beweis.Zuerst bestimmt man die arithmetischen Kristallklassen, d.h. die Konjugationsklassen endlicher Untergruppen in
Wege, das einzusehen. Man kann zunchst bemerken, da aus
73. Es gibt mehrere A = E in GL3 (Z) wieder folgt m = 1, 2, 3, 4, 6. Damit hat eine endliche Untergruppe G GL3 (Z) hchstens 4 Ordnung 2 3 = 48, und H = G SL3 (Z) hchstens Ordnung 24. Die endlichen Untergruppen in SL3 (Z) sind bis auf Isomorphie C1 , C2 , C3 , C4 , C6 , D4 , D6 , D8 , D12 und A4 , S4 . Danach berechnet man die Bahnen der Normalisatoren N (F ) auf den Gruppen H 1 (F, R3 /Z3 ). Dann erhlt man genau 219 verschiedene Gruppen.Davon gibt es genau m Mit Hilfe des Zassenhaus-Algorithmus sind bisher alle kristallographischen Gruppen
GL3 (Z).
in den Dimensionen
1 n 6 klassiziert worden. Die folgende Tabelle gibt ihre Anzahldie Anzahl der arithemtischen Klassen bezeichnet.
sn
wieder, wobei
an
n an sn 1 2 2 2 13 17 3 73 219 4 710 4783 5 6079 222018 6 85311 28927922Eine explizite Formel fr vermutet.
Jahr
1891 1891 1885 1978 2000 2000 sn 2n2
sn
ist bisher nicht bekannt. Fr die Asymptotik wird
26
3 Algebra und GleichungenAlgebra ist im ursprnglichen Sinn die Lehre der Ausung von Gleichungen. Damit beschftigten sich bereits Mathematiker frherer Kulturen, etwa im Zusammenhang mit Problemen der Landvermessung. Es gibt Keilschrifttafeln aus dem polynomiale Gleichungen werden behandelt. Die Naturwissenschaften und die Technik stellen heutzutage allerhchste Anforderungen an die Mathematik hinsichtlich der Ausung von Gleichungssystemen. Die numerische Mathematik befasst sich dabei mit dem Aunden von Nherungslsungen. Der Verzicht auf Exaktheit wirft allerdings auch Probleme auf. Den exakten Lsungen, und dem Studium von qualitativen Aspekten der Lsungsmengen widmet sich eine mathematische Disziplin, die
2.
Jahrtausend, auf
denen bereits lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten gelst werden. Auch
algebraische Geometrie
heit. Wir knnen hier nicht genauer auf diese
Theorie eingehen. Vielmehr geben wir einen Einstieg in die Frage nach den Lsungen polynomialer Gleichungssysteme. Ein zentraler Begri dabei ist eine
Grbnerbasis.
3.1 Polynomiale GleichungssystemeHat man ein System von linearen Gleichungen, so kann man das Eliminationsverfahren von Gau anwenden, um es auf Dreiecksform zu bringen. Aus dieser Dreiecksgestalt liest man dann die Lsung unmittelbar ab. Wir betrachten folgendes Beispiel ber einem Krper
K: 2x y z = 0, x + 2y 2z 1 = 0, x y + 2z 2 = 0.
Nach Anwendung des Gau -Algorithmus, unter der Voraussetzung chungen.
char(K) = 11,
er-
halten wir folgendes quivalente System (d.h., mit der gleichen Lsungsmenge) von Glei-
x + 2y 2z 1 = 0, y 5z + 4 = 0, z 1 = 0.Das bedeutet
(x, y, z) = (1, 1, 1).
Wegen
2 1 1 det 1 2 2 = 11 1 1 2
27
3 Algebra und Gleichungen
haben wir alle Lsungen bestimmt, auer fr den Fall, da die Charakteristik von
Kfr
11 ist. In diesem Fall hat das homogene System die Lsungen (, 9, 4), K . Alle Lsungen sind dann gegeben durch (1, 1, 1) + (1, 9, 4). Normalerweise wollen wir K = C, R oder Q annehmen.gleich machen. Wir betrachten das folgende Beispiel:
Fr polynomiale Gleichungssysteme kann man dieses Verfahren in adaptierter Form auch
x2 + y 2 + z 2 6 = 0, x3 + y 3 + z 3 xyz + 4 = 0, xy + xz + yz + 3 = 0.Dazu berechnen wir eine sogenannte Grbnerbasis. Sie liefert das folgende quivalente System von Gleichungen
49x + 49y + 12z 5 16z 4 18z 3 + 72z 2 37z + 36 = 0, 49y 2 + 12yz 5 16yz 4 18yz 3 + 72yz 2 37yz + 36y 16z 5 +54z 4 + 24z 3 145z 2 + 180z 195 = 0, (z + 2)2 (z 1)4 = 0.Die dritte Gleichung bestimmt die Lsungen fr Sei also zuerst
z , nmlich z = 1 oder z = 2. Daraus gewinnt man dann y aus der zweiten Gleichung, und dann fr x aus der ersten Gleichung. z = 1. Dann folgt (y + 2)(y 1) = 0, x + y + 1 = 0.
Somit erhlt man die Lsungen so folgt
x+y2 = 0
und
(x, y, z) = (2, 1, 1), (1, 2, 1). Beginnt man mit z = 2, (y 1)2 = 0, also (x, y, z) = (1, 1, 2). Insgesamt gibt es also
genau drei Lsungen,
S = {(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)}.Hat man ein System von polynomialen Gleichungen gegeben, so kann man zuerst die Frage betrachten, ob es berhaupt irgendeine Lsung gibt, ob es nur endlich viele Lsungen gibt, oder sogar unendlich viele. Wir haben gerade ein System mit nur endlich vielen Lsungen betrachtet. Wenn wir es nur ein wenig variieren, hat es mehr:
gar keine Lsung
x2 + y 2 + z 2 6 = 0, x3 + y 3 + z 3 3xyz + 4 = 0, xy + xz + yz + 3 = 0.Das kann man wiederum mit Hilfe einer Grbnerbasis sehen. Und schlielich ist die Anzahl der Lsungen ber
C
des folgenden Systems unendlich:
z 3 y 2xy + z = 0, 3xz + y 4 x 2x2 = 0, y 3 z 2xz = 0.
28
3.1 Polynomiale Gleichungssysteme
Es ist natrlich nicht schwer zu sehen, da alle
(x, y, z) = (0, y, 0)
Lsungen sind. Sieht
man allerdings von diesen irgendwie trivialen Lsungen ab, gibt es nur noch In der Tat, aus einer Grbnerbasis erhlt man dann die Relation
10
weitere.
3z 10 3z 7 + 30z 5 128z 3 + 256z 1 = 0, x y z
und sowohl
als auch
lassen sich dann durch Polynome in
ausdrcken, und sind
damit fr gegebenes
z
bestimmt.
Bemerkung 3.1.1.nur bis
Jedes nicht-konstante Polynom
f (z)
hat ber
C
mindestens eine
Nullstelle. Das besagt der Fundamentalsatz der Algebra. Es hat dann genau so viele
n 1 angibt. Allerdings sind Ausungen durch Radikale n = 5 gibt es schon Beispiele, die nicht mehr durch Radikale 5 gelst werden knnen: man betrachte etwa f (z) = z 16z + 2. Dieses Polynom 5-ten Grades ist irreduzibel ber Q und hat genau drei reelle und zwei komplexe Nullstellen. Damit ist nach einem Satz seine Galoisgruppe die volle symmetrische Gruppe S5 , dieNullstellen, wie sein Grad
n4
mglich. Fr
nicht ausbar ist. Deshalb kann es nicht durch Radikale gelst werden.
Polynomiale Gleichungssysteme tauchen in vielen Anwendungsbereichen in ganz natrlicher Weise auf, und Methoden der algebraischen Geometrie und der Computeralgebra werden verwendet, um diese Gleichungen zu lsen oder zu vereinfachen. Beispiele solcher Anwendungsbereiche sind u.a. die System- und Kontrolltheorie zur Steuerung von Prozessen; Gleichgewichtsreaktionen in der Kinematik; die Stabilittsanalyse bei der Entwicklung von elektrischen Schaltungen; Bewegungsablufe bei der Robotersteuerung, und statistische Modelle in der algebraischen Statistik. Zudem gibt es weitere Bereiche in der Kryptographie und der Kodierungstheorie. Wir wollen ein bescheidenes Beispiel geben, in bezug auf geometrische Beschreibungen von Robotern. Angenommen wir haben folgenden Roboterarm (siehe Zeichnung). Er 2 besteht aus zwei Stangen der Lnge 2 und 1 in der Ebene R . Der Arm ist bei O = (0, 0) verankert. Bezeichnen wir die zwei weiteren Punkte des Armes mit ist der Zustand des Armes vollstndig durch die Koordinaten die folgenden Gleichungen beschrieben:
(x, y) und (z, w), so (x, y, z, w) R4 beschrie-
ben. Es knnen natrlich nur bestimmte Tupel als Zustand auftreten. Sie werden durch
x2 + y 2 4 = 0, (x z)2 + (y w)2 1 = 0.
29
3 Algebra und Gleichungen
4 3 2 1 1Wenn wir jetzt einen Punkt chungssystems in
P = (2,2) Q = (3,1) 2 3 4(z, w).
(z, w)
in der Ebene vorgeben und wissen wollen, ob und
wie der Roboterarm ihn erreichen kann, so mssen wir die reellen Lsungen dieses Glei-
x
und
y
bestimmen, bei vorgegebenen
1. Beispiel: P = (2, 2).
Wir wollen also die reellen Lsungen des Systems
x2 + y 2 4 = 0, (x 2)2 + (y 2)2 1 = 0bestimmen. Wiederum ist eine Grbnerbasis sehr ntzlich. Sie liefert das folgende quivalente Gleichungssystem
4x 4y 11 = 0, 32y 2 88y + 57 = 0.Damit erkennt man leicht, da es genau zwei reelle Lsungen gibt:
(x, y) =
11 + 8
7 11 7 , 8
,
(x, y) =
11 8
7 11 + 7 , 8
.
Die Symmetrie der Lsungen ist natrlich geometrisch sofort ersichtlich.
2. Beispiel: Q = (3, 1).
Nun lautet das System
x2 + y 2 4 = 0, (x 3)2 + (y 1)2 1 = 0.
30
3.2 Polynomringe in mehreren Variablen
Die Bestimmung einer Grbnerbasis liefert das folgende quivalente Gleichungssystem
6x + 2y 13 = 0, 40y 2 52y + 25 = 0.Damit erhlt man zwei nicht-reelle, komplex-konjugierte Lsungen
(x, y) =
39 + 3i 13 9i , 20 20
,
(x, y) =
39 3i 13 + 9i , 20 20 3
.
Der Roboterarm kann den Punkt auerhalb des Kreises um re Situationen im
Q = (3, 1)
also nicht erreichen. Das ist wiederum geohat, und der Punkt
metrisch vollkommen klar, da der ausgestreckte Arm ja Lnge
Q
(0, 0) mit Radius 3 liegt. Man kann sich aber komplizierte3-dimensionalen Raum vorstellen, wo man die Situation keineswegs
geometrisch sofort versteht.
3.2 Polynomringe in mehreren VariablenSei
R
ein kommutativer Ring mit
1.
Der Polynomring
R[x]
in einer Variablen besteht
aus den Polynomen
n
f=i=0mit Koezienten den
ai x i n,fr
ai
an = 0
gilt, der
f Grad von f .aus Ist
R.
nicht das Nullpolynom, so heit die grte Zahl Wir schreiben
n = deg(f ).n
Die Menge
R[x]
wird durch
die bliche Addition und Multiplikation ebenfalls zu einem kommutativen Ring mit
1:
n
n
ai x ii=0 n i
+i=0 m
bi x i
=i=0
(ai + bi )xi ,m+n
ai xi=0
j=0
bj x
j
=k=0 i+j=k
ai b j
xk .
Bei der Addition kann man durch Hinzufgen von Termen mit Null-Koezienten annehmen, da beide Summen von Ein Element mit
x R, x = 0
heit
Nullteiler, wenn es 0 teilt, d.h., wenn es ein y R gibtRmit
0
bis
n
laufen.
xy = 0.Ein kommutativer Ring
Denition 3.1.Nullteiler hat.
1
heit
Integrittsring,
falls er keine
R = Z ein Integrittsring, oder auch jeder Krper R = K . Andererseits ist etwa R = Z/6Z kein Integrittsring, da 2 3 = 0, aber beide Faktoren von Null verschieden sind. Polynomringe R = K[x] ber einem Krper sind ebenfallsZum Beispiel ist Integrittsringe, wie folgender Satz zeigt.
31
3 Algebra und Gleichungen
Satz 3.2.1. Der Polynomring R[x] ist genau dann ein Integrittsring, wenn R ein Integrittsring ist.Fr jedes heien
Hauptideale.
x R
ist die Menge
(x) = xR = {xy | y R} 1. Z
ein Ideal. Solche Ideale
Denition 3.2.
Sei
R
ein kommutativer Ring mit
Dann heit
R Hauptidealring mZist. Anderer-
(HIR), falls jedes Ideal ein Hauptideal ist. Zum Beispiel ist
R=Z
ein HIR, weil jedes Ideal in
von der Form
seits kann man etwa zeigen, da der Unterring
Z[ 5] = {x + 5y | x, y Z} Cvon
C
kein HIR ist. Der Polynomring
Z[x]
ist ebenfalls kein HIR, wie folgender Satz
zeigt.
Satz 3.2.2. Der Polynomring R[x] ist genau dann ein HIR, wenn R ein Krper ist.Eine strkere Eigenschaft als HIR ist die folgende.
Denition 3.3. Ein Integrittsring R zusammen mit einer Abbildung d : R \ 0 N heit Euklidischer Ring, falls fr alle a, b R mit b = 0 Elemente q, r R existieren mita = qb + r,so da entweder
r=0
gilt, oder
d(r) < d(b).
Satz 3.2.3. Jeder Euklidische Ring R ist ein HIR.{d(b) | b I \ 0} nicht-negativer a = 0, d.h., es gilt d(a) d(b) fr alle b I \ 0. Nach Annahme existieren fr jedes b I Elemente q, r R mit b = qa + r, so da r = 0 oder d(r) < d(a). Der zweite Fall ist aber unmglich, weil r = b qa I , und d(a) minimal war. Also folgt r = 0 und b = qa (a). Damit erhlt man (a) I (a), und somit I = (a).Sei
Beweis.
I=0
ein Ideal in
R.
Dann hat die Menge
ganzer Zahlen ein minimales Element
d(a)
mit
d(n) = |n| ist ein Euklidischer Ring. Man hat eine Division mit Rest, die zu gegebenen a, b Z, b = 0 die Elemente q, r liefern mit a = qb + r , so da entweder r = 0 oder |r| < |b| gilt. Damit kann man unter anderem den ggT von zwei Zahlen ausrechnen. Betrachten wir das Beispiel a = 903 und b = 700:Der Ring
R = Z,
zusammen mit der Abbildung
903 = 1 700 + 203, 700 = 3 203 + 91, 203 = 2 91 + 21, 91 = 4 21 + 7, 21 = 3 7 + 0.Es gilt also
ggT (903, 700) = 7. Den dazugehrigen Algorithmus nennt man den Euklidi schen Algorithmus. Damit ist Z auch ein HIR. Der Ring R = Z[ 2] ist ein Euklidischer
32
3.2 Polynomringe in mehreren Variablen
Ring, und somit auch ein HIR. Hingegen ist
R = Z[ 5]
kein Euklidischer Ring, und
auch kein HIR. Interessanterweise gibt es Ringe von diesem Typ, die zwar nicht Euklidisch sind, aber doch HIR. Ein bekanntes Beispiel ist der Ring Der Polynomring erhlt die Elemente
R = K[x] ber einem Krper ist Euklidisch Man q, r durch Polynomdivision. Damit kann man dann auch einen ggT von zwei Polynomen ausrechnen. Betrachten wir zum Beispiel R = Q[x] und die beiden 5 1 5 1 7 2 2 3 Polynome f (x) = x x + x , g(x) = x x + . Mit 12 multipliziert schreiben 3 3 3 6 6 3 2 2 sie sich als 12x 28x + 20x 4 und 12x 10x + 2 in Z[x]. 5 1 7 x3 x2 + x = 3 3 3 5 1 x2 x + = 6 6Daher ist
Z[(1 + 19)/2]. mit d(f ) = deg(f ).
x x
3 2 1 2
5 1 x2 x + 6 6 x 1 3 + 0.
+
1 4
x
1 3
,
ggT (f, g) = (x 1 ). 3 R1 = R[x]ausgehen, und den Polynomring
Kommen wir nun zu Polynomringen in mehreren Variablen. Wir knnen dabei von dem Polynomring
R2 = R1 [y] = R[x, y]
betrach-
ten. Seine Elemente lassen sich eindeutig in der Form
f=i,j0
ai,j xi y j
schreiben, mit ai,j R, fast alle gleich Null. Wir knnen induktiv so fortfahren, also mit R3 = R2 [z] = R[x, y, z] und so weiter. Dann erhalten wir den Polynomring R[x1 , . . . , xn ] in n Variablen. Allerdings sind diese Polynomringe fr n 2 nun komplizierter als der Polynomring in einer Variablen. Der bedeutsamste Unterschied fr uns ist, da der Ring
K[x1 , . . . , xn ] K
nicht mehr Euklidisch ist, und auch kein HIR mehr.
Im folgenden wollen wir also einen Polynomring xieren. Wir interessieren uns fr die Ideale eine Teilmenge von
S = K[x1 , . . . , xn ] ber einem Krper in S . Nach Denition ist ein Ideal I S
S
mit
0 I, f, g I f + g I, f I, h S hf, f h I.Wir bezeichnen das Ideal, das von Polynomen
f1 , . . . , f s S
erzeugt wird mit
s
(f1 , . . . , fs ) =i=1
hi fi | hi S, i = 1, . . . , s . I Sendlich erzeugt, und daher von
Nach dem Hilbertschen Basissatz ist jedes Ideal dieser Form. Die Nullstellenmenge eines Ideals
I
ist gegeben durch
V (I) = {x K n | f (x) = 0 f I}.
33
3 Algebra und Gleichungen
Wegen
I = (f1 , . . . , fs )
ist
x = (x1 , . . . , xn ) V (I) f1 (x1 , . . . , xn ) = 0, =., . f1 (x1 , . . . , xn ) = 0.. . . .
gleichwertig mit einem System
polynomialer Gleichungen
In diesem Kapitel wollen wir ja etwas zur Lsung solcher Gleichungssysteme sagen. Wie schon erwhnt, sollen Grbnerbasen eine tragende Rolle dafr spielen. Sie helfen aber auch bei anderen Fragen. Sei
I
ein Ideal in
S.
Wir befassen uns mit folgenden
algorithmischen Problemen bezglich (1) Gilt
I:
V (I) =
? Ist
I=S
?
(2) Polynomiale Gleichungen: man bestimme die Punkte in (3) Idealzugehrigkeitsproblem: sei
V (I). f I?
f S
ein gegebenes Polynom. Gilt dann
Das erste und letzte Problem wird durch die Berechnung einer Grbnerbasis gelst. Wie wir schon gesehen haben, hilft eine Grbnerbasis auch sehr bei der Lsung polynomialer Gleichungssysteme, obwohl man vielleicht noch mehr tun mu, um alle Lsungen zu nden. Falls Tat, ein Ideal
S = K[x] gilt, also n = 1, sind alle diese Fragen einfach zu beantworten. In der I K[x] ist dann von der Form I = (g), und f I = (g) gilt genau dann, wenn der Euklidische Algorithmus f = qg + r liefert, mit r = 0. Damit kann das Idealzugehrigkeitsproblem durch den Euklidischen Algorithmus entschieden werden. Schon fr geht das so nicht mehr. Der Ring K[x, y] ist nicht Euklidisch. Betrachten wir 2 ein Beispiel. Seien g = xy + 1 und h = y 1 Polynome in K[x, y]. Sei
n=2
I = (g, h) = {f1 (xy + 1) + f2 (y 2 1) | f1 , f2 K[x, y]}.Wir wollen wissen, ob das Polynom
f = xy 2 x in I liegt oder nicht. Wir haben die Darstellung f = y g + 0 h + r mit r(x) = (x + y) = 0. Wenn die Division mit Rest eindeutig wre, knnten wir f I schlieen. Das ist aber falsch. Es gilt f I , da wir auch f = 0 g + x h + 0 schreiben knnen.Unser Ziel ist es nun, eine geeignete Basis fr
I
zu nden, so da man eine Division mit
Rest hat, die die richtige Antwort zu dem Idealzugehrigkeitsproblem liefert. Tatschlich existiert so eine Basis, nmlich eine Grbnerbasis. Um sie einzufhren, brauchen wir Monomordnungen, Monomideale, und die multivariate Division.
3.3 MonomordnungenSei
= (1 , . . . , n ) Nn
ein
n-Tupel
nicht-negativer ganzer Zahlen. Wir schreiben
x = x1 xn 1 n
34
3.3 Monomordnungen
fr ein Monom in Reihenfolge.
S = K[x1 , . . . , xn ].
Wir mchten die Monome, die als Terme in ei-
nem Polynom auftauchen, eindeutig ordnen, sei es in aufsteigender oder absteigender
Denition 3.4.
Eine Relation
heit
partielle Ordnung
auf einer Menge
S,
falls sie
folgende Axiome erfllt: (1) Reexivitt:
aa
fr alle und
a S. baimplizieren
(2) Antisymmetrie: (3) Transitivitt:
ab
a=b
fr alle
a, b S .
ab
und
bc
implizieren
acfalls
fr alle
a, b, c S . b agilt fr je zwei
A Partialordnung auf Elemente
S
heit
Totalordnung,
a b
oder
a, b S .
Diese Eigenschaft impliziert die Reexivitt.
Beispiel 3.3.1. Die Menge 2N aller Teilmengen von N ist eine partielle geordnete Menge bezglich der Inklusion , aber keine Totalordnung.Fr Polynomringe sind auch die folgenden Ordnungen relevant:
Denition 3.5.
Eine
Wohlordnung auf einer Menge SS
ist eine Totalordnung auf
S
mit
der Eigenschaft, da jede nicht-leere Teilmenge von dieser Ordnung hat.
ein kleinstes Eelment bezglich
Beispiel 3.3.2. Die Standardordnung auf N ist eine Wohlordnung. Auf Z hingegen ist sie keine Wohlordnung, da zum Beispiel die Teilmenge der negativen ganzen Zahlen kein kleinstes Element enthlt. Denition 3.6.so da gilt: (1) (2) ist eine Wohlordnung auf Eine
Monomordnung auf S = K[x1 , . . . , xn ] ist eine RelationNn .fr alle
auf
Nn ,
impliziert
( + )
( + )
, , Nn .
Es gilt das folgende Resultat, siehe [2].
Lemma 3.3.3. Eine Totalordnung jede echt absteigende Sequenz in Nn(1)
auf Nn ist genau dann eine Wohlordnung wenn(2) (3)
schlielich endet.
Denition 3.7 (Lexikographische Ordnung).in
Nn .
Wir denieren
gesehen in der
Sei = (1 , . . . , n ) und = (1 , . . . , n ) , falls der erste von Null verschiedene Eintrag von links lex n Vektordierenz Z negativ ist.
35
3 Algebra und Gleichungen
Beispiel 3.3.4. Sei n = 3, S = K[x, y, z] und = (0, 4, 0) y 4 = (1, 1, 2) xyz 2 = (1, 2, 1) xy 2 z = (3, 0, 0) x3
Dann gilt lex lex lex . Denition 3.8 (Graduierte lexikographische = (1 , . . . , n )in
Ordnung)
N
n
. Sei
|| =
n i=1
.
Seien
i .
Wir denieren and
lex
= (1 , . . . , n ) grlex , falls gilt
und
|| < ||,Mit anderen Worten, erhalten wir
oder
|| = ||
. , , ,
grlex ordnet die Monome zuerst nach Totalgrad, und entscheidetgrlex grlex
dann im tie-break mit der lexikographischen Ordnung. Fr obiges Beispiel von
grlex grlex
grlex
. || =
In der Tat, die Entscheidung
fllt durch tie-break. Wir haben
|| = || = 4.
Denition 3.9 (Graduierte reverslexikographische Ordnung).npositiv ist. Fr unser Standardbeispiel haben wir
Seien
= (1 , . . . , n ) und = (1 , . . . , n ) in N . Wir denieren grevlex , falls || < ||, n oder falls || = || und der erste von Null verschiedene Eintrag von rechts in Z
Wir haben lsst.
grevlex
grevlex
grevlex
.
grevlex
,
weil
= (0, 1, 1)
durch Umordnung der Variablen aus
grlex
ist. Man beachte, da
grevlex
nicht
entsteht, wie der Name vielleicht vermuten
Satz 3.3.5. Die Ordnungen lex, grlex und grevlex sind Monomordnungen auf Nn .Fr
n=1
ordnung
sind diese Monomordnungen brigens identisch. Sobald wir eine Monomn auf N xiert haben, knnen wir die Monome eines Polynoms f S eindeutig anordnen.
in bezug auf
Beispiel 3.3.6. Man betrachte das Polynom f = 4xyz 2 + 4x3 5y4 + 7xy2 z in Q[x, y, z]. Bezglich lex wrden wir die Terme von f wie folgt absteigend ordnenf = 4x3 + 7xy 2 z + 4xyz 2 5y 4 ,whrend wir fr
grlex
f = 7xy 2 z + 4xyz 2 5y 4 + 4x3 f = 5y 4 + 7xy 2 z + 4xyz 2 + 4x3 .
htten, und fr
grevlex schlielich
36
3.3 Monomordnungen
Bemerkung 3.3.7.
Es gibt eine weitere Ordnung
alex, deniert durch.
alex
lex
n Das ist aber keine Monomordnung auf N , weil es keine Wohlordnung ist: betrachte die 2 2 Teilmenge N {0} N . Dann wird die echt absteigende Folge in N
(0, 0)nicht enden.
alex
(1, 0)
alex
(2, 0)
alex
Denition 3.10.
Sei
f=
Nn
c x
ein von Null verschiedenes Polynom in
S
und
eine Monomordnung.
(1) Der (2) Der (3) Das (4) Der
Multigrad von f
ist
mdeg(f ) = max { Nn | c = 0}.ist
Leitkoezient von f fhrende Term von f
lc(f ) = cmdeg(f ) .ist
fhrende Monom von f
lm(f ) = xmdeg(f ) .
ist
lt(f ) = lc(f ) lm(f ).
Beispiel 3.3.8. Betrachten wir wieder das Polynomf = 4xyz 2 + 4x3 5y 4 + 7xy 2 z Q[x, y, z].
Die folgende Tabelle zeigt die denierten Begrie fr f . Ordnungmdeg(f ) lc(f ) lm(f ) lt(f )Fr das Nullpolynom kann man Resultat.
lex
grlex
grevlex
(3, 0, 0) (1, 2, 1) 4 7 3 x xy 2 z 4x3 7xy 2 z
(0, 4, 0) 5 y4 5y 4denieren. Man hat folgendes
mdeg(0) = Nn
Lemma 3.3.9. Sei(2) mdeg(f + g)
eine Monomordnung auf Nn und f, g S . Dann gilt:max {mdeg(f ), mdeg(g)}.
(1) mdeg(f g) = mdeg(f ) + mdeg(g). (3) Gilt mdeg(f ) = mdeg(g), so folgt sogarmdeg(f + g) = max{mdeg(f ), mdeg(g)}.
37
3 Algebra und Gleichungen
3.4 Multivariate DivisionWir wollen einen Divisionsalgorithmus fr Polynome in mehreren Variablen vorstellen. Unser Ziel ist es, ein Polynom der Form
f S
durch Polynome
f1 , . . . , f s S
zu teilen, i.e.,
f
in
f = q1 f1 + qs fs + r.auszudrcken. Der Algorithmus geht wie folgt:
Input: Polynome f, f1 , . . . , fs S , ungleich Null, und eine Monomordnung auf Nn . Output: Polynome q1 , . . . , qs , r S mit f = q1 f1 + qs fs + r, so da kein Monom in rdurch einen der fhrenden Terme
lt(f1 ), . . . , lt(fs )
teilbar ist.
1. r 0, p f . for i = 1, . . . , s 2.while if
do
qi 0.some
p = 0 do lt(fi ) | lt(p) for
1 i s, q i qi +
then choose some such
i,
lt(p) , lt(fi )
pp
lt(p) fi lt(fi )
else
r r + lt(p), p p lt(p). q1 , . . . , q s , r .
3.
return
Man beachte aber, da das Resultat dieses Algorithmus noch nicht eindeutig ist - wir haben noch die Wahl eines mglichen Index
lt(p) teilt. Wir knnen aber Eindeutigkeit herstellen, indem wir immer den kleinsten Index i whlen.wo den fhrenden Term
i
lt(fi )
Beispiel 3.4.1. Sei S = K[x, y], versehen mit der lexikographischen Ordnung , und f = x2 y + xy 2 + y 2 , f1 = xy 1, f2 = y 2 1. Dann liefert der Algorithmus q1 = x + y , q2 = 1 und r = x + y + 1, alsof = (x + y)(xy 1) + (y 2 1) + (x + y + 1).Man beachte, da
x2 y
xy 2
y2,
und
lt(f1 ) = xy , lt(f2 ) = y 2
gilt. Dann sind die
Schritte im Algorithmus wie folgt:
1. r = 0, p = x2 y + xy 2 + y 2 , q1 = q2 = 0. 2. lt(f1 ) | lt(p),d.h., fr
i = 1.
Dann folgt
q1 = 0 +
x2 y = x, xy x2 y (xy 1) = xy 2 + x + y 2 . xy
p = (x2 y + xy 2 + y 2 )
38
3.4 Multivariate Division
Dann ist entweder
lt(f1 ) | lt(p), aber auch lt(f2 ) | lt(p). Also haben i = 1 oder i = 2. Wenn wir i = 1 nehmen, folgt q1 = x + xy 2 = x + y, xy
wir zwei Mglichkeiten,
p = (xy 2 + x + y 2 ) Nun gibt es keinen Index
xy 2 (xy 1) = x + y 2 + y. xyDer Algorithmus liefert dann
i
mit
lt(fi ) | lt(p).
r = 0 + lt(p) = x, p = (x + y 2 + y) lt(p) = y 2 + y.es folgt
lt(f2 ) | lt(p) = y 2 ,
so da
q2 = 0 +
y2 = 1, y2 y2 p = (y 2 + y) 2 (y 2 1) = y + 1. y i,so da
Hier gilt
lt(fi ) lt(p)
fr alle
r = x + lt(p) = x + y, p = (y + 1) lt(p) = 1.Wiederum ist
lt(fi ) lt(p)
fr alle
i,
so da
r = x + y + 1, p = 0,und der Algorithmus terminiert. Der Output ist
q1 = x + y , q2 = 1 i = 2
and
r = x + y + 1.
Bemerkung 3.4.2.q 1 = x, q 2 = x + 1
Htten wir oben die andere Wahl
getroen, so htten wir
and
r = 2x + 1,
und
f = x(xy 1) + (x + 1)(y 2 1) + (2x + 1).erhalten.
Denition 3.11.Polynome
Das Polynom heien
r,
da wir bei der multivariaten Division von
das geordnete Tupel von Polynomen
q1 , . . . , q s
Quotienten. Wir schreibenr=f
(f1 , . . . , fs )
erhalten, heit der
Rest
f
durch
von
f.
Die
mod (f1 , . . . , fs ).
39
3 Algebra und Gleichungen
Eine natrliche Frage ist nun, ob dieser Divisionsalgorithmus das Idealzugehrigkeitsproblem lst. In jedem Fall wissen wir, wenn wir
r = 0
nach Division erhalten, da
f = q1 f 1 + . . . + qs f s
gilt, und daher
Also ist die Bedingung Abschnitt
r=0
eine
notwendige Bedingung fr Idealzugehrigkeit. Leider
f
tatschlich zu dem Ideal
I = (f1 , . . . , fs )
gehrt.
ist sie keine hinreichende Bedingung, wie das folgende Beispiel zeigt (das wir schon aus
3.2
kennen).
Beispiel 3.4.3. Sei f = xy2 x und f1 = xy + 1, f2 = y2 1 in K[x, y]. Dann ist f im Ideal I = (f1 , f2 ) enthalten, aber r = f mod (f1 , f2 ) = (x + y) = 0.In der Tat, das Resultat der multivariaten Division ist
xy 2 x = y (xy + 1) + 0 (y 2 1) (x + y),aber wegen
f = 0 f1 + x f2 + 0 I = (f1 , . . . , fs )
ist
f (f1 , f2 ). r=0tatschlich quivalent
Wir knnen diese Situation aber reparieren, indem wir ein gutes Erzeugendensystem fr das Ideal nden, so da die Bedingung zur Idealzugehrigkeit ist. Natrlich ist es a priori berhaupt nicht klar, ob es eine solche gute Menge gibt. Wir werden aber sehen, da eine Menge ist.
Grbnerbasis genau eine solche gute
3.5 Monomideale und Dicksons LemmaMonomideale in
S
stellen sich als sehr wichtig fr uns heraus.
Denition 3.12.gibt mit
I= x
A
I S heit Monomideal, = {x | A} .Ein Ideal
falls es eine Teilmenge
A Nn
Mit anderen Worten, trachte zum Beispiel
I ist durch Monome mit Exponenten von A erzeugt. Man beA = {(4, 2), (3, 4), (2, 5)} N2 . Dann ist I = (x4 y 2 , x3 y 4 , x2 y 5 )
K[x, y]
das zu
A
assoziierte Monomideal.
Beispiel 3.5.1. Sei n = 2 und S = K[x, y]. Dann ist I = (x2 y, x2 +y) ein Monomideal, I = (x + y, y 2 1) hingegen nicht (siehe 3.5.6).In der Tat,
I = (x2 y, x2 + y) = (x2 , y).
Lemma 3.5.2. Sei I = xA ein Monomideal von S und Nn . Dann gilt x I genau dann, wenn es ein A gibt mit x | x . Bemerkung 3.5.3. Nn .Das Monome, die Nn }.
x | x genau dann gilt, wenn x = x x fr ein ist quivalent zu = + . Mit anderen Worten, die Exponenten aller n durch x teilbar sind, sind gegeben durch die Menge + N = { + |Man beachte, da
40
3.5 Monomideale und Dicksons Lemma
Man betrachte zum Beispiel das Monomideal nenten der Monome in
I = (y 3 , xy 2 , x3 y)
in
K[x, y].
Die Expo-
I
bilden die Menge
(0, 3) + N2 (1, 2) + N2 (3, 1) + N2 .Man kann sie sich in der Ebene als die Gitterpunkte vorstellen, die ber und rechts von den drei angegebenen Punkten liegen.
Lemma 3.5.4. Sei I ein Monomideal und f S . Dann sind die folgenden Aussagen quivalent.(1) Es gilt f I . (2) Jeder Term von f liegt in I . (3) f ist eine K -lineare Kombination von Monomen in I . Beweis.Die Implikationen
(2) (3) (1)
sind klar und gelten fr jedes Ideal von
S.ein
Die Folgerung
(1) (2)
hingegen ist nicht immer wahr. Hier braucht man, da
I
Monomideal ist.
Bemerkung 3.5.5.jeder Term von
In der Tat,
I
ist genau dann ein Monomideal wenn fr alle
f I
f
schon in
I
liegt.
Beispiel 3.5.6. Sei I = (x + y, y2 1) wie oben, in K[x, y]. Dann ist x + y I , aber x I , y I . Also ist I kein Monomideal. / /Wegen
(3)
ist jedes Monomideal eindeutig durch seine Monome bestimmt. Wir erhal-
ten also folgendes Korollar.
Korollar 3.5.7. Zwei Monomideale stimmen genau dann berein, wenn sie die gleichen Monome enthalten. Theorem 3.5.8 (Dicksons Lemma). Jedes Monomideal I = xA wird von endlich vielen Monomen erzeugt, d.h., fr alle A Nn gibt es eine endliche Teilmenge B A mit I = xA = xB .Es gibt einen konstruktiven Beweis, der nicht den Hilbertschen Basissatz verwendet. Wir verweisen auf [2].
2 Beispiel 3.5.9. Sei A = {(1 , 2 ) N2 | 62 = 1 71 + 18} und I = xA . Dann ist die Teilmenge B der minimalen Elemente von A gegeben durch
B = {(0, 3), (1, 2), (3, 1)}.Also folgt Man
I = xA = y 3 , xy 2 , x3 y . beachte, dass A eine unendliche Menge
ist, und
2 1
gilt, da
2 1 71 + 18 = 0
keine ganzzahligen Lsungen hat, wegen negativer Diskriminante.
41
3 Algebra und Gleichungen
3.6 GrbnerbasenAngenommen, wir haben eine Monomordnung auf wir die Menge ihrer fhrenden Terme wie folgt.
Nn xiert. Dann hat jedes f S einen eindeutigen fhrenden Term lt(f ). Fr jede Teilmenge P S = K[x1 , . . . , xn ] denieren
Denition 3.13.
Fr
P S
setzen wir
das Ideal, das von den Elementen aus
lt(P ) = {lt(f ) | f P }. lt(P ) erzeugt wird.
Es bezeichne
lt(P )
Wegen Dicksons Lemma existiert fr jedes Ideal mit Dann gilt
I von S eine endliche Menge P I lt(P ) lt(I) : in der Tat, sei P = {f1 , . . . , fs } und I = f1 , . . . , fs = (f1 , . . . , fs ). lt(P ) = lt(f1 ), . . . , lt(fs ) lt(I) .
Hier gilt allerdings im allgemeinen keine Gleichheit, denn als
lt(I)
kann echt grer sein
lt(f1 ), . . . , lt(fs )
, obwohl
I = f1 , . . . , f s
. Hier ist ein Beispiel.
Beispiel 3.6.1. Sei I = f1 , f2 gegeben durch f1 = x3 2xy und f2 = x2 y + x 2y 2 in K[x, y], zusammen mit der Ordnung grlex. Dann ist x2 lt(I) , aber x2 / lt(f1 ), lt(f2 ) = x3 , x2 y .In der Tat gilt
x2 = x(x2 y + x 2y 2 ) y(x3 2xy) = y f1 + x f2 I.Aber
x2
ist nicht teilbar durch
lt(f1 ) = x3
oder
lt(f2 ) = x2 y , so da x2 x3 , x2 y /
wegen
Lemma
3.5.2.
Andererseits haben wir aber folgendes Resultat:
Lemma 3.6.2. Sei I S ein Ideal und P I eine endliche Menge mit lt(I) = lt(P ) , Dann folgt P = I .Beweis.mus Sei
P = {f1 , . . . , fs } und f I . Dann liefert der multivariate Divisionsalgorithf = q1 f 1 + + qs f s + r
q1 , . . . , qs , r S , und entweder r = 0, oder kein Term teilbar. Da aber r = f q1 f1 qs fs I gilt, folgtmit
von
r
ist durch ein
lt(fi )
lt(r) lt(I) lt(f1 ), . . . , lt(fs ) .Das widerspricht der Teilbarkeit wegen Lemma
3.5.2,
und wir erhalten
r=0
und
f
f1 , . . . , f s = PTatschlich ist
.
lt(I)
ein Monomideal, und wir knnen Dicksons Lemma anwenden.
Satz 3.6.3. Sei I S ein Ideal. Dann ist lt(I) ein Monomideal, und es gibt g1 , . . . , gs I mit lt(I) = lt(g1 ), . . . , lt(gs ) .
42
3.6 Grbnerbasen
Beweis.
lm(g) der Elemente g I ungleich Null erzeugen das Monomideal lm(g) | g I, g = 0 . Da lm(g) und lt(g) sich nur durch eine von Null verschiedene Konstante unterscheiden, ist dieses Ideal gleich lt(g) | g I, g = 0 = lt(I) . Da lt(I) von den Monomen lm(g) erzeugt wird, fr g I, g = 0, besagt dasDie fhrenden Monome Lemma von Dickson, da endlich viele davon schon das Ideal erzeugen, d.h.,
lt(I) = lm(g1 ), . . . , lm(gs ) = lt(g1 ), . . . , lt(gs ) .
Damit erhlt man folgenden bekannten Satz.
Theorem 3.6.4 (Hilberts Basissatz). Jedes Ideal I S ist endlich erzeugt: es gibt eine endliche Menge P I mit P = I und lt(P ) = lt(I) .f = 0 erzeugt. Die endliP = {g1 , . . . , gs } heit auch Basis von I , da es I als Ideal erzeugt, wegen Lemma 3.6.2. Sie hat die schne Eigenschaft, da lt(I) = lt(g1 ), . . . , lt(gs ) gilt. Wie wir in Beispiel 3.6.1 gesehen haben, haben nicht alle Basen diese Eigenschaft. DeshalbDas Nullideal ist ein gewisser Sonderfall, es wird durch che Menge bekommen diese speziellen Basen einen besonderen Namen.
Denition 3.14.endliche Teilmenge
Sei
I S eine Ideal und xiere eine Monomordnung auf Nn . G I heit Grbnerbasis fr I , falls lt(G) = lt(I) gilt.
Eine
Korollar 3.6.5. Man xiere eine Monomordnung auf Nn . Dann hat jedes Ideal I S eine Grbnerbasis.Wir setzen Beispiel
3.6.1
fort:
Beispiel 3.6.6. Sei I = f1 , f2 , mit f1 = x3 2xy und f2 = x2 y + x 2y2 in K[x, y], mit der Ordnung grlex. Dann ist G = {f1 , f2 } keine Grbnerbasis. Eine mgliche Grbnerbasis ist etwaG = {f1 , f2 , x2 , 2xy, x 2y 2 }.Wir haben schon gesehen, da
lt(G) = lt(f1 ), lt(f2 ) = lt(I)
gilt, wegen
x2 lt(I) \ lt(f1 ), lt(f2 ) .Also ist
G = {f1 , f2 }
keine Grbnerbasis. Wir werden noch sehen, wie man eine Grb-
nerbasis berechnen kann.
Beispiel 3.6.7. Sei I = g1 , g2 in K[x, y, z] mit der Ordnung lex, wobei g1 = x + z und g2 = y z . Dann ist G = {g1 , g2 } eine Grbnerbasis von I .In diesem Fall knnen wir direkt die Denition berprfen. Wir mssen zeigen, da
lt(I) lt(G) = lt(g1 ), lt(g2 ) = x, y
43
3 Algebra und Gleichungen
gilt, d.h., da der fhrende Term eines jeden Polynoms Lemma
f I \0
in
x, y
liegt. Wegen f r das
3.5.2
ist das gleichwertig damit, da der fhrende Term von jedem
entweder durch weder durch
x
oder
y
teilbar ist. Angenommen es gibt ein
f I \ 0,
y teilbar ist. Dann mu f ein Polynom nur in V (I) verschwinden, wegen f I . Aber (t, t, t) ist ein Punkt in V (I) fr alle t K , wegen gi (t, t, t) = 0. Insbesondere verschwindet f auf allen Punkten (t, t, t) V (I), d.h., f (t) = 0 fr alle t K . Das bedeutet f = 0, also einennoch durch mu auf allen Punkten in Widerspruch.
x
f I\0 lt(f ) z sein. Es
Bemerkung 3.6.8.
Grbnerbasen wurden
1965
durch Bruno Buchberger eingefhrt.
Er benannte sie nach seinem Lehrer Wolfgang Grbner (1899-1980). Die multivariate Division liefert auch folgendes Resultat.
Satz 3.6.9. Sei I S ein Ideal, f S und G = {g1 , . . . , gs } eine Grbnerbasis von I . Dann existiert ein eindeutiges r S , so da f r I und kein Term von r durch irgendein lt(g1 ), . . . , lt(gs ) teilbar ist. Korollar 3.6.10. Der Rest r bei der multivariaten Division von f durch G hngt nicht von der Reihenfolge der Elemente aus G ab. Wir schreibenr=f mod G.
Diese Eigenschaft einer Grbnerbasis lst das Idealzugehrigkeitsproblem:
Korollar 3.6.11. Sei I S ein Ideal und G = {g1 , . . . , gs } eine Grbnerbasis von I . Fr jedes Polynom f S gilt nun f I genau dann, wenn r = f mod G Null ist:f I r = 0.
Beweis.durch
Aus
r=0
folgt natrlich
f I.
Ist umgekehrt
f I,
dann erfllt
f = f +0
die Bedingungen aus Satz
3.6.9.
Also ist
r=0
der eindeutige Rest von
f
bei Division
G.Man kann leicht zeigen, da eine Menge
Bemerkung 3.6.12.
G = {g1 , . . . , gs }genau dann eine Grbnerbasis fr
I
ist, wenn fr alle
f S
gilt
f If
mod G = 0. lt(I) = lt(g1 ), . . . , lt(gs ).
In der Tat, diese Eigenschaft ist quivalent zu Wir wissen jetzt, da jedes Ideal
I S
eine Grbnerbasis hat. Es fehlt uns aber
noch ein Algorithmus, um eine solche Basis zu berechnen. Das wird der
Algorithmus leisten, den wir im nchsten Abschnitt vorstellen.
Buchberger
Nehmen wir igendein Erzeugendensystem
{f1 , . . . , fs } von I . Dann liegt die Obstruktion
44
3.6 Grbnerbasen
fr diese Menge, eine Grbnerbasis zu sein darin, da Polynomialkombinationen der auftreten knnten, deren fhrende Terme nicht in dem von den
fi
lt(fi )
erzeugten Ideal
liegen. Zum Beispiel knnten sich die fhrenden Terme in einer geeigneten Kombination x fi x fj wegheben, so da nur kleinere Terme blieben, und der neue fhrende Term eben nicht mehr durch irgendein lt(fi ) teilbar wre. Andererseits ist x fi x fj I , so da sein fhrender Term in
lt(I)
liegt. Dann ist aber
{f1 , . . . , fs } keine Grbnerbasis.
Beispiel 3.6.13. Sei I = f1 , f2 wie in Beispiel 3.6.1, d.h.,f1 = x3 2xy, f2 = x2 y + x 2y 2 .
Eine geeignete Kombination ist yf1 + xf2 = x2 , wo lt(x2 ) = x2 weder durch lt(f1 ) noch durch lt(f2 ) teilbar ist.Um dieses Krzungsphnomen zu studieren, werden folgende Polynome eingefhrt.
Denition 3.15.
Seien
f, g S
von Null verschiedenen Polynome mit
= (1 , . . . , n ) = mdeg(f ), = (1 , . . . , n ) = mdeg(g), = (max{1 , 1 }, . . . , max{n , n }).Dann heit durch
x
das
kgV von lm(f ) and lm(g). Das S-Polynom von fS(f, g) = x x f g. lt(f ) lt(g)
und
g
ist deniert
Ein Es
S -Polynom ist so angelegt, da es ein Wegheben von fhrenden Termen produziert. gilt S(f, g) = S(g, f ) und S(f, g) f, g .
Beispiel 3.6.14. Seien f1 , f2 K[x, y] wie oben, mit der Ordnung grlex. Dann ist S(f1 , f2 ) = x2 .Wir haben = mdeg(f1 ) = (3, 0), = mdeg(f2 ) 3 2 3 kgV von x und x y ist x = x y . Also folgt
= (2, 1),
also
= (3, 1),
und das
S(f1 , f2 ) =
x3 y x3 y f1 2 f2 = yf1 xf2 = x2 . x3 xy
Beispiel 3.6.15. Seien f, g K[x, y] gegeben, mit der Ordnung grlex, durchf = x3 y 2 x2 y 3 + x, g = 3x4 y + y 2 .
Dann ist S(f, g) = x3 y3 + x2 1 y3 . 3
45
3 Algebra und Gleichungen
Es gilt
= (4, 2)
und
S(f, g) =
x4 y 2 x4 y 2 f 4 g x3 y 2 3x y 1 =xf yg 3 1 = x3 y 3 + x2 y 3 . 3
Bemerkung 3.6.16.S -Polynome
Man kann zeigen, da alles Wegkrzen, das auftreten kann, durch
beschrieben werden kann.
Wir haben das folgende Kriterium von Buchberger, wann eine Idealbasis fr eine Grbnerbasis ist.
I S
Theorem 3.6.17. Eine endliche Menge G = {g1 , . . . , gs } von Polynomen in S ist genau dann eine Grbnerbasis fr das Ideal I = G , fallsS(gi , gj ) mod G = 0 fr alle 1 i < j s.
Beispiel 3.6.18. Man xiere die Ordnung lex auf K[x, y, z] mit y z x. Seien g1 = y x2 , g2 = z x3 in K[x, y, z]. Dann ist G = {g1 , g2 } eine Grbnerbasis fr I = g1 , g2 .Es gilt mit
mdeg(g1 ) = (1, 0, 0), mdeg(g2 ) = (0, 1, 0), so da = (1, 1, 0). Dann folgt mit multivariater Division S(g1 , g2 ) =
das kgV gleich
x = yz
ist,
yz yz (y x2 ) (z x3 ) y z 2 3 = zx + yx = x3 g1 x2 g2 + 0.so da
Das bedeutet ist.
S(g1 , g2 ) mod G = 0,
G
nach Theorem
3.6.17
eine Grbnerbasis
Bemerkung 3.6.19.Grbnerbasis fr
Das Ergebnis hngt von der Ordnung ab. In der Tat,
I
bezglich der Ordnung
lex mit x
G
ist keine
y
z.
46
3.7 Buchbergers Algorithmus
3.7 Buchbergers AlgorithmusWir stellen nun Buchbergers Algorthmus vor, fr die Berechnung einer Grbnerbasis. Er basiert auf dem Kriterium aus Theorem system
3.6.17.
Wir starten mit einem Erzeugenden-
{f1 , . . . , fs }
fr das Ideal
I,
und fgen dann jedes
S -Polynom
hinzu, da das
Kriterium noch nicht erfllt. Da der Ring nerbasis fr
S = K[x1 , . . . , xn ]
Noethersch ist, wird dieses
Verfahren nach endlich vielen Schritten terminieren. Das Resultat ist dann eine Grb-
I.
Sie mu allerdings (noch) nicht minimal oder eindeutig sein. auf
Input: Von Null verschiedene Polynome f1 , . . . , fs S , und eine MonomordnungNn .
Output:mit
Eine Grbnerbasis fr alle
fi G
G = {g1 , . . . gt } 1 i s.
fr das Ideal
I = f1 , . . . , f s
bezglich
,
1. G {f1 , . . . , fs }. 2.repeat
3. H order the elements of for
G
as
g1 , . . . , gt .
1i 0.
K
also eine Kopie des Krpers
Fp = Z/pZ,
und wir sagen dann,
Wir nennen die Krper
F2 , F3 , F5 , . . ., und den Krper Q auch Primkrper. Jeder Krper
enthlt eine Kopie von genau einem dieser Primkrper.
Satz 4.3.4. Die Anzahl der Elemente eines endlichen Krpers K ist eine Primzahlpotenz, d.h., |K| = pn .Beweis.K endlich ist, enthlt K einen Primkrper Fp . Als Vektorrume betrachtet heit das, K ist ein endlich-dimensionaler Vektorraum ber Fp , sagen wir mit Basis (e1 , . . . , en ). Somit hat K = { n i ei | i Fp } genau pn Elemente. i=1Da
66
4.3 Endliche Krper
K[x]. Ein Polynom f (x) vom Grad n 1 heit reduzibel ber K , wenn es Polynome g(x) und h(x) in K[x] vom Grad kleiner als n gibt mit f (x) = g(x)h(x). Andernfalls heit f (x) irreduzibel ber K .Zu einem Krper betrachten wir den Polynomring
K
Lemma 4.3.5. Der Quotientenring K[x]/(f (x)) ist genau dann ein Krper, wenn f (x) irreduzibel ist.Beweis.Die Restklassen modulo
f (x)
sind reprsentiert durch Polynome
a0 + a1 x + + an1 xn1 ,Der Beweis verluft nun ebenso, wie der fr
ai K.wenn
Z/mZ,
m
eine Primzahl ist.
K = Fp ist und f (x) ein Fp [x]/(f (x)) genau pn Elemente.Wenn
normiertes Polynom vom Grad
n,
so hat der Krper
Beispiel 4.3.6. Sei K = F2 und f (x) = x3 + x + 1. Dann ist f (x) irreduzibel, undF2 [x]/(x3 + x + 1) = {a0 + a1 x + a2 x2 | ai F2 }
ist ein Krper mit 8 Elementen.Wir werden sehen, da Form
jeder
endliche Krper
K
isomorph ist zu einem Krper der
Fp [x]/(f (x)).
Es gibt aber auch noch andere Darstellungen. Einen Krper mit
9
Elementen erhlt man zum Beispiel nicht nur durch
F3 [x]/(x2 + 1),sondern auch durch
Z[i]/(3).
Wir bentigen folgendes Resultat.
Lemma 4.3.7. Fr jeden endlichen Krper K ist die Gruppe K zyklisch. Beispiel 4.3.8. Fr K = F3 [x]/(x2 + 1) ist K isomorph zu C8 .Wir knnen auch einen Erzeuger angeben, wobei wir die Restklasse bezeichnen. Die Potenzen von
x
wieder mit
x
x
in
K
sind wie folgt:
1, x, x2 = 1 = 2, x3 = 2x, x4 = (2x)2 = 2 = 1.Also hat
x
die Ordnung
4
und kann kein Erzeuger von
K
sein. Besser ist es,
x+1
zu
betrachten:
(x + 1)1 (x + 1)3 (x + 1)5 (x + 1)7
= x + 1, (x + 1)2 = 2x, = 2x + 1, (x + 1)4 = 2, = 2x + 2, (x + 1)6 = x, = x + 2, (x + 1)8 = 1.
67
4 Algebra und Codierung
Satz 4.3.9. Jeder endliche Krper K ist isomorph zu Fp [x]/(f (x)) fr eine Primzahl p und ein normiertes, irreduzibles Polynom f (x) in Fp [x].Beweis.Sei
K
ein endlicher Krper. Wegen Satz
4.3.4
hat
K
also
Primzahl p und ein n 1. Wir haben eine Krpereinbettung Gruppe K ist zyklisch nach Lemma 4.3.7. Sei ein Erzeuger. Dann erhalten wir einen Ringdurch Evaluierung von Polynomen bei , also durch (f (x)) = f (). Da jedes Element entweder Null oder k ist, mu surjektiv sein: es k k gilt (0) = 0 und = (x ) fr alle k 0. Der Homomorphiesatz fr Ringe liefert homomorphismus dann
pn Elemente Fp K . Die
fr eine
: Fp [x] K
Fp [x]/ ker() K.Hierbei ist ist
ker()
ein Hauptideal, das von der Form
(f (x))
ist, fr ein normiertes,
irreduzibles Polynom
f (x)
in
Fp [x],
siehe Lemma
4.3.5.
Der Satz sagt nicht, ob es berhaupt zu jeder Primzahlpotenz einen endlichen Krper n gibt. Er sagt nur, da wenn ein Krper mit p Elementen existiert, dann ist er isomorph zu einem Krper
Fp [x]/(f (x)).
Satz 4.3.10. Zu jeder Primzahlpotenz q = pn gibt es bis auf Isomorphie genau einen endlichen Krper Fq .Beweis.x xqUm die Existenz zu zeigen, sei
K
der Zerfllunskrper des Polynoms
g(x) =
ber
Fp .
Das bedeutet,
g(x)
zerfllt in
K
in Linearfaktoren
xq x = (x a1 ) (x aq )mit
aq Fp . Es folgt aus der Krpertheorie, da so ein Krper existiert. In K S = {a K | aq = a}.
betrachten
wir nun die Menge
Sie hat genau q1
qx
q Elemente, weil xq x keine doppelten Nullstellen 1 = 1 = 0. Nun ist S ein Unterkrper von K , wegen (a b)q = aq bq = a b, (ab1 )q = aq (bq )1 = ab1
hat wegen
(xq x) =
Fr die erste Gleichung haben wir benutzt, da alle inneren Binomialkoq ezienten in (a b) durch p teilbar sind, und p 0 mod p ist. Der kleine Fermat p q impliziert a = a und a = a. Somit ist S = K unser gesuchter Krper mit q Elementen. Die Eindeutigkeit folgt aus der Eindeutigkeit von Zerfllungskrpern.
fr
a, b S .
4.4 Perfekte CodesWir knnen die Denition eines perfektes Codes auch wie folgt formulieren:
68
4.4 Perfekte Codes
Denition 4.11. Ein Code C Fn mit ungerader Minimaldistanz d(C) = 2t(C) + 1 q n heit perfekt, falls es zu jedem Element y Fq genau ein Codewort x C mit Abstandd(x, y) t(C)gibt. Die Kugeln mit Radius er existiert, genau dann erfllen:
t(C) = (d(C) 1)/2 perfekt, wenn n und q Aq (n, d) = |C| =
partitionieren also
C.
Der Code ist, falls
die folgende kombinatorische Bedingung
qnt(C) n i=0 i
(q 1)i
.
Ist
C
ein linearer
[n, k, d]q -Code, q
so ist
|C| = q k ,t(C)
und die Bedingung wird zu
nk
=i=0
n (q 1)i . i
(4.1)
Beispiel 4.4.1. Fr ein ungerades n 1 ist der binre n-fache Repetitions-Code perfekt.[n, 1, n]2 -Code, mit k = 1, q = 2 und t = t(C) = (n 1)/2. Siehe auch Beispiel 4.2.9 und Satz 4.1.7. Die Bedingung 4.1 ist erfllt,In der Tat, dieser Code ist ein linearer denn es giltn1 2
2
n1
=i=0
n i
n Ebenso ist der triviale Code C = Fq , oder der triviale Code C = {0} perfekt. Man nennt auch den n-fachen Repetitions-Code , wenn man von perfekten linearen
trivial
Codes spricht. Die Erfllung der Bedingung
4.1 bedeutet nicht, da es einen linearen Code [n, k, d]q
mit
diesen Parametern berhaupt geben mu.
Beispiel 4.4.2. Fr n = 90, k = 78, d = 5 und q = 2 ist die Bedingung 4.1 erfllt. Es gibt aber keinen linearen [90, 78, 5]2 -Code.Wir haben
n k = 12
und
90 2
= 4005.
Somit gilt
2
212 = 4096 =i=0und die Bedingung
90 , i
4.1
ist erfllt. Andererseits gibt es aber folgendes Argument. Hat
den Fehlerkorrekturparameter
t
mit
d = 2t + 1, x1 j
so ist das
Lloyds Polynom deniert als
C
t
Lt (n, x) :=j=0
(1)j
nx (q 1)tj . tj x R.Das
Hierbei benutzt man die Konvention Polynom hat
t
x := x(x 1) (x j + 1)/j! fr j verschiedene reelle Nullstellen. Nun gilt folgendes Resultat.
69
4 Algebra und Codierung
Theorem 4.4.3 (Lloyds 1957, Lenstra 1972). Sei C ein perfekter Code der Lnge n mit Fehlerkorrekturparameter t. Dann hat das Polynom Lt (n, x) genau t verschiedene ganzzahlige Nullstellen aus {1, 2, . . . , n}.In unserem Beispiel ist
t = q = 2,2
und das Llodys Polynom ist
L2 (90, x) =j=0
(1)j
x1 j
90 x 2j
= 2x2 182x + 4096.
Oensichtlich hat es keine ganzzahlige Nullstelle. Die folgende Klassikation zeigt, da es nur sehr wenige perfekte, lineare Codes gibt.
Theorem 4.4.4 (Tietvinen; Leont'ev, Zinov'ev 1973). Es sei C ein nichttrivialer, perfekter, linearer [n, k, d]q -Code. Dann tritt genau einer der drei folgenden Flle ein.1 (1) C ist ein [ qq1 , n