Algebra Linear Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler
Objetivo: Conceituar espaço vetorial; Realizar mudança de base; Conhecer e calcular transformações Lineares
•Introdução •Definição de Espaço Vetorial
•Subespaço •Combinação Linear •Representação dos vetores no espaço •Dependência Linear •Base de um Espaço Vetorial
•Mudança de Base
Introdução Antes de definir espaço vetorial vamos reescrever os vetores no espaço em notação matricial.
Dado um ponto P(x,y,z) no espaço associado a um vetor pode ser escrito da seguinte forma.
),,( zyxOPv
v
zyxv
z
y
x
v
x
y
z
v
O
P(x,y,z)
V é um conjunto no espaço.
3
321 }/),,{( RRRRRxxxxV i
Desta forma: Vetor nulo no espaço R3
Vetor oposto em R3
Operações com vetores no espaço V=R3
Dados: e Soma:
0
0
0
0
z
y
x
v
z
y
x
u
u
u
u
z
y
x
v
v
v
v
zz
yy
xx
z
y
x
z
y
x
vu
vu
vu
v
v
v
u
u
u
vu
Produto de um vetor com um escalar:
3
1
2
u
5
1
0
v
2
2
2
vuExemplo:
ux
y
v
z
vu
z
y
x
ku
ku
ku
uk Exemplo:
3
2
0
u
2k
6
4
0
3
2
0
2uk u
x
y
z u
2
Propriedades:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
)()( wvuwvu
uvvu
uuV
0/0
0)(/
uuVu
vauavua
)(
vbvavba
)(
)()( vbavab
uu
1
Definição de Espaço Vetorial
É um conjunto V≠ com duas operações VxV V e RxV V,
tais que para quaisquer u,v,w Є V e a,b Є R e as propriedades i a viii sejam satisfeitas.
Havendo números complexos, V será um espaço vetorial complexo. O vetor é um elemento do espaço vetorial. Desta forma um vetor poderá ser:
•Vetor n-dimensional •Matriz de qualquer ordem •Polinômio de qualquer grau
Vejamos alguns exemplos: Exemplo1: Conjunto de Vetores no espaço.
RxxxxRV i );,,( 321
3
5
3
1
u
4
2
1
v
1
5
0
vu
10
6
2
2u
É espaço vetorial
RxxxxRV i );,,( 321
3
nx
x
x
u
.
.
2
1
Exemplo2: considerando n-uplos de nos reais
Ra
nn yx
yx
yx
vu
.
.
22
11
nn ax
ax
ax
x
x
x
aua
.
.
.
.
2
1
2
1
ny
y
y
v
.
.
2
1
n=5 RxxxxxxRV i );,,,,( 54321
5
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
u
55
44
33
22
11
yx
yx
yx
yx
yx
vu
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
2
2
2
2
2
22
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
u
5
4
3
2
1
y
y
y
y
y
v
Neste caso o vetor nulo é:
0
0
0
0
0
0
Exemplo3: V=M(m,n), o conjunto de matrizes mxn com soma e produto por escalar:
Rdcba
dc
baMV ,,,;)2,2(
43
21A
21
31B
22
10BA
63
933B Neste caso o vetor nulo é:
00
000
Exemplo4: V=Pn o conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n incluindo o zero.
n=2 RaxaxaaP i );( 2
2102
2
1 21)( xxxf 2
2 43)( xxxf
xxff 64)(21 2
1 242)(2 xxxf
•Subespaços Vetoriais
São espaços vetoriais contidos no espaço vetorial maior:
u
x
y
v
vu
W Exemplo: Seja V=R2, plano onde W é uma reta deste plano.
A soma de quaisquer dois vetores de W resulta em outro vetor de W. O mesmo ocorre se multiplicarmos um número por um vetor de W. Nestas condições, W é “fechado” em relação à soma de vetores e o produto de um escalar pelos vetores de W.
Definição:
Dado um espaço vetorial V, um supconjunto W, não vazio, será subespaço vetorial de V se:
1) Quaisquer u,v Є W tivermos u+v Є W
2) Para qualquer a Є R, u Є W tivermos au Є W.
Obs:
a) Não é necessário verificar as propriedades i a viii pois V V W;
b) Qualquer subespaço W de V precisa conter o vetor nulo para garantir a condição (2) quando a=0;
c) Todo o espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (subespaços triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial.
Exemplo1: V=R3
e WTV, é um plano passando pela origem do sistema .
Se W não passar pela origem ele não é um subespaço vetorial.
Exemplo2: V=R5 e
W é um conjunto de vetores do R5 cuja primeira coordenada seja nula:
i)
ii)
RxxxxxW i );,,,,0( 5432
),,,,0( 5432 yyyyv
),,,,0( 5432 xxxxu
Wyxyxyxyxvu ),,,,0( 55443322
Wkxkxkxkxuk ),,,,0( 5432
Exemplo3: V=M(m,n) é subconjunto das matrizes triangulares superiores. W W é subespaço do V pois a matriz resultante da soma e do produto por um escalar é triangular superior.
•Combinação Linear
Definição: Seja V um espaço vetorial real (ou complexo) v1,v2,....,vn V e a1,a2,......,an X R (ou C)
nnvavavav
......2211
É um elemento de V chamado de combinação linear de v 1,v2,....,vn
Fixando-se v 1,v2,....,vn em V, o conjunto W formado da combinação linear de todos os vetores de V, é subespaço vetorial.
Notação:
nvvvW ,......,, 21
Subespaço gerado pela combinação linear de v 1,v2,....,vn
Formalmente:
niRavavavavVvW inn 1,,......; 2211
1
1
2
1v
Exemplo5: Dados dois vetores: v1=(1,3), v2=(-5,4) escreva o vetor u=(-13,18) como uma combinação linear de v1 e v2: W=[v1,v2]
2
4
3
2v
21 2vvr
212 vvu
Solução:
0
6
1
2
4
3
1
1
2
2u
3
9
4
2
4
3
2
1
1
2
r
Exemplo4: Dados dois vetores: e determine os vetores:
Solução:
18
13
43
5
4
5
34
5
3
1
ba
ba
b
b
a
abau
18
13
43
5
ba
ba
2
215133.513
3319
57
5719
1841539
184)513(31843
513135
a
a
bb
b
bb
bbba
baba
4
53
3
12u
21 32 vvu
•Dependência Linear
Seja V um espaço vetoria e v1,v2,....,vn V . Dizemos que {v1,v2,....,vn } é LI (Linearmente independente se a1v1+a2v2+....+anvn =0 a1=a2=....=an=0 Se ai≠0 {v1,v2,....,vn } é LD (linearmente dependente)
•Base de um Espaço Vetorial
Definição: Um conjunto {v1,v2,.....,vn} de vetores de V é uma base de V se: i) {v1,v2,.....,vn} é LI ii) [v1,v2,.....,vn] = V Exemplo1: , 2RV
)1,0(ˆ)0,1(ˆ21 eee
21ˆ,ˆ ee
0
0
0
00
0
0
0
1
0
0
1
0ˆˆ21
b
a
b
a
b
a
ba
ebea
é base de V, conhecida como base canônica de V=R3
Exemplo2: Vamos examinar os vetores: )1,0()1,1( 21 vev
21
21
,0
0
0
00
0
0
1
0
1
1
0
vvb
a
ba
a
ba
a
ba
vbva
é uma base no espaço V
Exemplo3: Verificar se é base em R2 21,vv
)2,0()1,0( 21 vv
baba
baba
ba
vbva
202
0
0
2
0
2
00
0
0
2
0
1
0
021
Portanto a e b não são necessariamente zero.
é LD e portanto não pode forma uma base. 21,vv
•Mudança de Base
Dadas duas bases:
n
n
bbbB
eaaaA
,.......,,
,.......,,
21
21
Ordenadas de um espaço vetorial V. Dado o vetor vXV,
podemos escrevê-lo:
nn
nn
bybybyv
axaxaxv
...
...
2211
22111
Base A
Base B
n
A
x
x
x
v
.
.
2
1
n
B
y
y
y
v
.
.
2
1
Base A Base B
Desta forma podemos escrever os vetores da base B (bi) como combinação linear dos vetores da base A (ai):
nnnnnn
nn
nn
aaaaaab
aaaaaab
aaaaaab
...
......
.....
...
...
2211
22221122
12211111
2
Substituindo-se (2) em (1)
)...(
.
.
)...(
)...(
...
2211
22221122
12211111
2211
nnnnnn
nn
nn
nn
aaaaaay
aaaaaay
aaaaaay
bybybyv
nnnnnn
nn
nn
nn
ayayaya
ayayaya
ayayaya
axaxax
)...(
....)...(
)...(
...
2211
22222121
11212111
2211
nnnnn
n
n
n y
y
y
aaa
aaa
aaa
x
x
x
.
.
..
..
.
.
2
1
11
22121
11211
2
1
Base B Base A Matriz de transformação da base B para base A
BB
AA VIV
Portanto pode-se escrever simplificadamente
Onde é a matriz de transformação da base B para base A. A partir desta matriz é possível obter-se a matriz de transformação de A para utilizando-se a álgebra matricial desta forma:
BAI
BB
A
B
AA
B
A VIIVI11
I Que é a matriz identidade
AB
AB VIV1
E Portanto: 1
B
A
A
B II
Exemplo 1: Sejam as bases:
},{)}1,0(),0,1{(
},{)}4,3(),1,2{(
212
211
eeB
iiB
Bases de R2
Determinando-se a matriz de transformação de B2 para B1:
Escreve-se os vetores de B2 momo combinação linear dos vetores de B1:
4
3
1
2
1
0
4
3
1
2
0
1
2212
2111
2221122
2211111
aa
aa
iaiae
iaiae
2
1
B
BI
1
2
De (1):
11/44410
11/1381321
1121112111
2121212111
aaaaa
aaaaa
De (2):
11/2832
42
3141
11/32
3320
222222
22222212
1222122212
aaa
aaaa
aaaaa
11
2
11
111
3
11
4
2
1
B
BI
Exemplo 2: Determinar v=[5,-8]B2 na base B1
2
2
11 B
B
BB VIV
1
4
8
5
21
34
11
11BV
Para passar da base B1 para base B2, basta fazer a inversão da matriz . 2
1
B
BI
11
4;
11
3;
11
1;
11
2;
11
1det 22211211
2
1
B
BI
41
321
2
2
1
1 B
B
B
B II
Outra maneira de se obter é considerar a transformação algébrica inversa:
1
0
0
1
4
3
1
0
0
1
1
2
2212
2111
2221122
2211111
aa
aa
eaeai
eaeai
4;3
;1;2
2212
2111
aa
aa
41
321
2
B
BI
Exemplo 3: Só para verificar o exemplo anterior Determinar v=[4,-1]B1 na base B2
8
5
1
4
41
322BV
Observando as bases graficamente no espaço R2:
2B
1B
Exemplo 4: Consideremos em R2 a base B1={e1,e2} e a base B2={f1,f2} , obtida da base canônica B1 pela rotação do ângulo q. Dado o vetor vXR2 de
coordenadas:
2B
1B
1e
1f
2f
2e
2
1
1 x
xv B
2
1
2 y
yv B
Pode-se escrever f1 e f2 em função de e1 e e2 :
cos
cos
212
211
esenef
seneef
cos
cos2
1 sen
senI
B
B
cos
cos1
2 sen
senI
B
B
Como é ortogonal então: 2
1
B
BI
Considerando:
E =600 Determinar:
3
21Bv
2Bv
2
1
2
32
3
2
1
1
2
B
BI
2
3232
332
3
2
2
1
2
32
3
2
1
2Bv