Download - ALGEBRA VECTORIAL CONICAS
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Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera
GUA N 7-CNICAS: ELIPSE. HIPRBOLA. PARBOLA.
La elipse, como lugar geomtrico del plano. Ecuacin de la elipse con centro en el origen.
Ecuacin de la elipse con centro fuera del origen. Elementos de la elipse. Posiciones
relativas de una elipse y una recta. Posiciones relativas de una elipse y una cnica.
1. Hallar la ecuacin reducida de la elipse, en cada caso, sabiendo que sus focos estn
en el eje de abscisas y son simtricos con respecto al origen, y sabiendo adems que:
a) Sus semiejes son iguales, respectivamente, a 5 y 2.
b) Su eje mayor es 10 y la distancia entre los focos es: .
c) Su eje menor es igual a 24 y la distancia entre los focos es 10.
d) La distancia entre sus focos es 6 y la excentricidad es 5
3e
e) Su eje mayor es igual a 20 y la excentricidad es 5
3e
f) Su eje menor es 10 y la excentricidad es 13
12e
2. Hallar la ecuacin de la elipse, en cada caso, sabiendo que sus focos estn en el eje
de ordenadas y son simtricos con respecto al origen, y sabiendo adems que:
a) Sus semiejes son iguales, respectivamente, a 7 y 2.
b) Su eje mayor es igual a 6 y la distancia focal es 8.
c) La distancia focal es 24 y la excentricidad es 13
12e
d) Su eje menor es igual a 16 y la excentricidad es 5
3e
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3. Determinar los semiejes de cada una de las siguientes elipses, dadas sus ecuaciones:
a) 14
22
yx
b) 2594 22 yx
c) 14 22 yx
d) 1259 22 yx
4. Dada la elipse de ecuacin . Hallar:
a) Sus semiejes. b) Las coordenadas de sus focos. c) Su excentricidad.
5. Calcular el rea del cuadriltero que tiene dos vrtices en los focos de la elipse de
ecuacin y los otros dos vrtices coinciden con los extremos de su eje
menor.
6. Hallar en la elipse, cuya ecuacin es 1425
22
yx
los puntos cuyas abscisas son iguales a
.
7. Averiguar si los siguientes puntos pertenecen o son exteriores a la elipse de ecuacin:
, siendo dichos puntos: A (-2,3); B (2,-2) ; C (2,-4) ; D (-1,3) ; E (-4,-3) ;
F (3,-1), G (3,-2) ; H (2,1); I (0,15) y J (0,-16).
8. En cada caso, hallar la ecuacin cannica de la elipse cuyos focos estn situados en el eje
de abscisas y son simtricos respecto al origen de coordenadas, si se dan como datos:
a) El punto ( ) de la elipse y su semieje menor .
b) El punto ( ) de la elipse y su semieje mayor .
c) Los puntos ( ) ( ) de la elipse.
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d) El punto ( ) de la elipse y la distancia focal
e) El punto
3
5,2Q de la elipse y su excentricidad
3
2e
9. Hallar la ecuacin de la elipse de semiejes a y b y de centro ( ), si se sabe que los
ejes de simetra de la elipse son paralelos a los ejes coordenados.
10. Escribir la ecuacin de la elipse, sabiendo que es tangente al eje de abscisas en el punto
A (3,0); al eje de ordenadas en el punto B (0,-4) y sus ejes de simetra son paralelos a los
ejes coordenados.
11. El punto C (-3,2) es el centro de una elipse, que es tangente a los ejes coordenados.
Hallar la ecuacin de esta elipse, sabiendo que sus ejes de simetra son paralelos a los ejes
coordenados.
12. Verificar que cada una de las siguientes ecuaciones corresponden a una elipse, adems,
hallar las coordenadas del centro, las coordenadas de los vrtices y la excentricidad.
a)
b)
c)
13. Hallar los valores de a, b y c para que la elipse de ecuacin 04 22 cbyaxyx
sea tangente al eje de abscisas en el origen de coordenadas y pase por el punto (2,-1).
14. Estudiar la posicin relativa de la recta y la elipse, cuyas ecuaciones estn dadas en
cada caso:
a) 1916
;03222
yx
yx
b)
149
;010222
yx
yx
c)
11040
;0202322
yx
yx
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15. Determinar para qu valores de b, la recta de ecuacin:
bxy
a) Es secante a la elipse: 1520
22
yx
b) Es tangente a esta elipse.
c) Es externa a dicha elipse.
16. Hallar las coordenadas de los puntos de interseccin de las elipses de ecuaciones:
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Respuestas:
1.
a)
1425
22
yx
b)
1925
22
yx
c)
1144169
22
yx
d)
11625
22
yx
e)
164100
22
yx
f)
125169
22
yx
2.
a)
1494
22
yx
b)
1259
22
yx
c)
116925
22
yx
d)
110064
22
yx
3.
a) 2 y 1
b) 3
5
2
5y
c) 2
11 y
d) 5
1
3
1y
4.
a) 5 y 3
b) ( ) ( )
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c) 5
4e
5. A cuadriltero = 45
54
6.
5
8,3;
5
8,3
7. Los puntos A y F estn en la elipse; los puntos B, D, H estn dentro de la elipse y los
puntos C, E, G, I, J estn fuera de la elipse.
8.
a)
1936
22
yx
b) 11616
22
yx
constituye la ecuacin de una circunferencia con centro en el origen de
coordenadas y radio 4.
c) 11520
22
yx
d)
1420
22
yx
e)
159
22
yx
9.
1
2
2
2
2
b
ky
a
hx
10.
1
16
4
9
322
yx
11.
1
4
2
9
322
yx
12.
a) C (3,-1), los semiejes son: , y la excentricidad 3
2e
b) C (-1,2), los semiejes son: 5 y 4, y la excentricidad 5
3e
c) C (1,-2), los semiejes son: , y la excentricidad 2
1e
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13. 17;0 bca
14.
a) La recta se corta con la elipse.
b) La recta es externa a la elipse.
c) La recta es tangente a la elipse.
15.
a) Si la recta es secante con la elipse.
b) Si la recta es tangente a la elipse.
c) Si la recta es externa a la elipse.
16. (3,2) y (3,-2).
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La hiprbola, como lugar geomtrico del plano. Ecuacin de la hiprbola con centro en el
origen. Ecuacin de la hiprbola con centro fuera del origen. Elementos de la hiprbola.
Posiciones relativas de una hiprbola y una recta. Posiciones relativas de una hiprbola y
una cnica.
1. Hallar la ecuacin cannica de la hiprbola (en cada caso), cuyos focos se encuentran en
el eje de abscisas, simtricamente con respecto al origen de coordenadas, sabiendo adems
que:
a) Su eje real mide 10 y su eje imaginario mide 8.
b) La distancia focal es 10 y el eje no transverso mide 8.
c) La distancia entre los focos es 6 y la excentricidad 2
3e
d) El eje transverso es y la excentricidad 4
5e
e) Las asntotas son xyLxyL3
4:;
3
4: 21 y la distancia focal es 20.
2. Hallar la ecuacin reducida de la hiprbola (en cada caso), cuyos focos estn situados en
el eje de ordenadas, simtricamente, con respecto al origen de coordenadas, sabiendo,
adems que:
a) La distancia focal es 10 y la excentricidad 3
5e
b) Las ecuaciones de las asntotas son: 034;034 yxyx y la distancia entre los
vrtices es igual a 48.
3. Sea la hiprbola de ecuacin . Hallar:
a) Los semiejes transverso y no transverso a la hiprbola.
b) Las coordenadas de los focos.
c) La excentricidad.
d) Las ecuaciones en la forma pendiente-interseccin de las asntotas.
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Sugerencia: multiplicar por (-1) ambos lados de la ecuacin, de tal manera a obtener la
ecuacin general de la hiprbola.
4. Escribir la ecuacin reducida de la hiprbola (en cada caso) con centro en el origen,
focos en eje de abscisas; sabiendo adems que:
a) Pasa por los puntos ( ) ( ).
b) La excentricidad es y pasa por el punto M (-5,3).
c) Pasa por el punto
1,
2
9Q y las ecuaciones de las asntotas son:
xyxy
3
2;
3
2
5. Determinar la excentricidad de una hiprbola equiltera : , siendo 0a
6. Los focos de una hiprbola coinciden con los focos de la elipse de ecuacin 1925
22
yx
. Hallar la ecuacin cannica de la hiprbola, si su excentricidad es e = 2.
7. Demostrar que la distancia de un foco de la hiprbola de ecuacin 12
2
2
2
b
y
a
x
a una
asntota es igual a b.
8. Demostrar que el producto de las distancias de cualquier punto de la hiprbola
12
2
2
2
b
y
a
x
a sus dos asntotas es una cantidad constante es igual a
22
22
ba
ba
9. Hallar la ecuacin de la hiprbola, si se conocen sus semiejes a y b, as como las
coordenadas de su centro ( ) fuera del origen de coordenadas; sabiendo que los focos
estn situados sobre un eje o una recta:
a) Paralela al eje OX.
b) Paralela al eje OY.
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10. Verificar que cada una de las siguientes ecuaciones determina una hiprbola y hallar las
coordenadas de su centro, los semiejes real e imaginario, la excentricidad y las ecuaciones
de las asntotas:
a)
b)
c)
11. Estudiar la posicin relativa entre la recta y la hiprbola, cuyas ecuaciones son dadas,
en cada caso:
a) 1312
;0322
yx
yx
b) 1916
;01222
yx
yx
c) 11625
;05722
yx
yx
12. Hallar los valores de b para los que la recta de ecuacin: bxy 2
5
a) Corta a la hiprbola de ecuacin: 1369
22
yx
b) Es tangente a dicha hiprbola.
c) Es externa a dicha hiprbola.
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13. Habiendo verificado que los puntos de interseccin de la elipse 1520
22
yx
y la
hiprbola 1312
22
yx
son los vrtices de un rectngulo, hallar las ecuaciones de las rectas
que contienen a los lados de dicho cuadriltero.
14. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el centro de la hiprbola de ecuacin:
y es perpendicular a la recta .
15. Hallar todos los valores reales de k (en cada caso) sabiendo que el eje focal de la
hiprbola:
a) 111 22 ykxkk es paralelo al eje de abscisas.
b) 12622 kyxkyx es paralelo al eje de abscisas y el eje transverso mide 4.
c) 1164 22 kxyx es paralelo al eje de ordenadas y el eje transverso mide 8.
Respuestas:
1.
a)
11625
22
yx
b)
1169
22
yx
c)
154
22
yx
d)
13664
22
yx
e)
16436
22
yx
2.
a)
1169
22
xy
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b)
1100576
22
xy
3.
a)
b) ( ) ( )
c) 4
5e
d)
xyxy3
4;
3
4
4.
a)
1838
22
yx
b)
11616
22
yx
c)
16
305
9
61o1
54
2222 yxyx
5.
6.
14060
22
yx
9.
1
2
2
2
2
b
ky
a
hx
10.
a) C (2,-3) ; ; 3
5e ; ecuaciones de las asntotas:
b) C (5,1); ; 4
1e ; ecuaciones de las asntotas: ;
.
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c)
Ecuacin reducida: 1
12
53
2
3
18
53
3
222
xy
Semiejes: 6
265;
6
159;
6
106 cba
Centro:
3
2,
2
3C
Vrtices:
6
106
3
2,
2
3;
6
106
3
2,
2
321 VV
Focos:
6
265
3
2,
2
3;
6
265
3
2,
2
321 FF
Ecuaciones de las asntotas: xyxy3
6;
3
6
Excentricidad: 2
10e
11.
a) La recta es tangente a la hiprbola.
b) La recta se corta con la hiprbola en dos puntos.
c) La recta es externa a la hiprbola.
12.
a) Se corta con la hiprbola en dos puntos, si o .
b) Es tangente a la hiprbola, si
c) Es externa a la hiprbola, si
13.
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14. 04429 yx
15.
a) 1k
b) 4k
c) 32k
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La parbola, como lugar geomtrico del plano. Ecuacin de la parbola con centro en el
origen. Ecuacin de la parbola con centro fuera del origen. Elementos de la parbola.
Posiciones relativas de una parbola y una recta. Posiciones relativas de una parbola y
una cnica.
1. En cada caso, hallar la ecuacin de la parbola, sabiendo que:
a) Tiene por vrtice V (4,1) y la ecuacin de su directriz es .
b) Tiene foco en F (6,4) y la ecuacin de su directriz es .
c) Su vrtice es el origen de coordenadas y su foco es el punto F (-3,0).
d) Tiene foco en el punto F (-4,3) y por vrtice tiene el punto V (-4,1).
e) Su foco es el punto F de coordenadas (3,-1) y la ecuacin de su directriz es .
f) Su vrtice es el punto V (1,3), su eje es paralelo al eje OX y pasa por el punto P (-1,-1).
g) Su eje de simetra es paralelo al eje OY y pasa por los puntos A (0,0) ; B (1,1) y C (3,1).
h) Su eje es paralelo al eje OX y pasa por los puntos P (-2,4); Q (-3,2) y R (-11,-2).
2. Escribir la ecuacin reducida de la parbola, las coordenadas del foco y del vrtice, la
longitud del lado recto, la ecuacin general de la directriz y la ecuacin general del eje
focal.
a)
b)
c)
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3. Calcular los valores de m de tal manera que la recta de ecuacin: 2 mxy
a) Corte a la parbola de ecuacin
b) Sea tangente a la misma.
c) Sea externa a dicha parbola.
4. Hallar la ecuacin cannica de la parbola, sabiendo que la ecuacin de su directriz es:
y que los extremos del lado recto son los puntos A (0,2) y B (8,2).
5. Determinar los puntos de interseccin de la elipse 1225100
22
yx
con la parbola
.
6. Hallar los puntos de interseccin de la hiprbola 1520
22
yx
con la parbola de
ecuacin .
7. Calcular las coordenadas de los puntos de interseccin de las dos parbolas:
;
Respuestas:
1.
a)
b) ( ) ( )
c)
d)
e)
4
751
2xy
f) ( ) ( )
g)
xxy3
4
3
1 2
h)
624
1 2 yyx
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2.
a)
Ecuacin reducida:
40
23
2
5
4
32
yx
Vrtice:
40
23,
4
3V
Foco:
5
6,
4
3F
Ecuacin de la directriz: 05
6y
Lado Recto: 2
5RL
Ecuacin del eje focal: 04
3x
b)
Ecuacin reducida: ( )
Vrtice: ( )
Foco:
4
9,1F
Ecuacin de la directriz: 04
7y
Lado Recto:
Ecuacin del eje focal: 04
3x
c)
Ecuacin reducida: ( ) ( )
Vrtice: ( )
Foco:
1,
4
25F
Ecuacin de la directriz: 04
23x
Lado Recto:
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Ecuacin del eje focal: 01y
3.
a) 2
1m
b) 2
1m
c) 2
1m
4. ( )
5. (6,12) y (6,-12)
6.( ) ( ) ( ) ( )
7. (2,1) ; (-1,4) ;
2
137;
2
133;
2
137;
2
133
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EJERCICIOS MIXTOS SOBRE ELIPSE, HIPRBOLA Y
PARBOLA.
1. Identificar y escribir la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos P (x, y) del plano,
tales que, el producto de las pendientes de las rectas: trazada desde P al punto A (-2,1) y
trazada desde P hasta B (2,-1).
2. Identificar y escribir la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos P (x, y) del plano,
cuya distancia al punto (4,0) es igual a la mitad de la distancia de P a la recta .
3. Determine la ecuacin reducida de la parbola que es cncava hacia arriba y contiene a
tres de los vrtices de la elipse, cuya ecuacin es .
4. Determinar qu cnicas determinan las siguientes ecuaciones para los distintos valores
de k :
a) 13020
22
k
y
k
x
b)
135
22
k
y
k
x
c)
222 8)8( kkkyxk
5.
a) Demostrar que la ecuacin: 22 222 yx representa una elipse.
b) Determinar en funcin del parmetro (de ser posible) la excentricidad y las
coordenadas de los focos.
c) Deducir la ecuacin cannica de la hiprbola que tiene los mismos focos que la elipse de
la parte a) y cuya excentricidad es .
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Respuestas:
1. Es una hiprbola: 133
322
22 yx
yx
2. Es una elipse: 14864
1924322
22 yx
yx
3.
33
42 yx
4.
a)
Si la ecuacin representa a una elipse.
Si la ecuacin representa a una hiprbola con eje focal sobre el eje OY.
Si no est definido el lugar geomtrico.
Si no est definida la ecuacin.
b)
Si no est definida la ecuacin.
Como | | , entonces:
Si la ecuacin representa a una hiprbola con eje focal sobre el eje OX.
Si , o lo que equivale a escribir: si ,55,3k entonces, la ecuacin representa a una elipse.
c)
Si la ecuacin es: que es la ecuacin del eje OX.
Si la ecuacin es que es la ecuacin del eje OY.
Al factorizar el segundo miembro de la ecuacin: ( ) ( ), y si
dividimos ambos miembros entre ( ), para escribir la ecuacin en la
forma cannica: 18
22
k
y
k
x
Y a partir de esta ecuacin, analizamos:
Si la ecuacin representa una elipse.
Si la ecuacin representa una hiprbola, cuyo eje focal es el eje OX.
Si la ecuacin representa una hiprbola, cuyo eje focal es el eje OY.
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5.
b) 0,2;2
2
Fe
c)
1
3
4
3
2
22
yx