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Amostragem e Distribuição Amostral
Tipos de amostragem, distribuição amostral de média, proporção e variância
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AMOSTRAGEM
Amostragem Probabilística ou Aleatória
Amostragem Não Probabilística
POPULAÇÃO
Amostra
Amostragem
Generalização
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Quando usar Amostragem?
Economia
Rapidez de processamento
Confiabilidade
Testes destrutivos
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Quando NÃO usar Amostragem?
População pequena
Característica de fácil mensuração
Necessidades políticas
Necessidade de alta precisão
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Amostragem Probabilística
Aleatória, Casual
Resultados provenientes de amostras probabilísticas podem ser generalizados ESTATISTICAMENTE para a população.
Associa-se uma probabilidade ao resultado.
Medida da confiabilidade do resultado obtido.
Amostra também precisa ser REPRESENTATIVA e SUFICIENTE!
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Condições para uso
Possibilidade de listar
elementos da população
Amostra selecionada por
sorteio NÃO VICIADO!
Todos na população têm
chance de pertencer à
amostra
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Tipos de amostragem probabilística
Aleatória Simples
Sistemática
Estratificada
Por conglomerados
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Amostragem aleatória simples
Sorteio não viciado
Amostra
População homogênea
em relação à variável
de interesse!
Existe listagem!
Números aleatórios
ou
pseudo-aleatórios
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Amostragem sistemática
Amostragem sistemática: semelhante à aleatória simples, mas a listagem é ORDENADA.
Divide-se o tamanho da população (N) pelo tamanho da amostra (n), obtendo um intervalo de retirada (k).
Sorteia-se o ponto de partida.
A cada k elementos retira-se um para a amostra.
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1...k ...N
k k k
1 n
População
Amostra
Aumentar n para deixar k inteiro.
Descartar elementos da população por sorteio.
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Amostragem Estratificada
Sorteio não viciado
População HETEROGÊNEA em
relação à variável sob estudo.
Homogeneidade DENTRO de cada
estrato.
Escolha dos elementos dos estratos:
aleatória simples ou sistemática.
TODOS os estratos precisam ser
representados na amostra!
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Amostragem Estratificada Uniforme
Sorteio
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Amostragem Estratificada Proporcional
Sorteio
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Amostragem por Conglomerados
População considerada homogênea.
Divisão em subgrupos semelhantes: os conglomerados.
Sorteiam-se os conglomerados:
Analisam-se todos os sorteados;
Sorteiam-se elementos dos conglomerados previamente sorteados.
Poucos recursos, menor precisão.
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Observar todos os
elementos dos
conglomerados
sorteados.
Sortear alguns
elementos dos
conglomerados
sorteados.
Sorteio
de
conglomerados
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Amostragem Não Probabilística
Não há acesso a toda a população.
Se as características da população acessível forem semelhantes às da população alvo: resultados equivalentes a uma amostragem probabilística.
Amostragem a esmo, por julgamento, por cotas.
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Tamanho da amostra X Tamanho da População
Tamanhos mínimos de amostra:
erro amostral de 3%
0
200
400
600
800
1000
1200
0 5000 10000 15000 20000 25000
Tamanho da população
Ta
ma
nh
o d
a a
mo
str
a
Para
N =
200000
n = 1105.
Cerca de
0,55% da
populaçã
o.
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Amostragem e Inferência estatística
AMOSTRA: um subconjunto dos consumidores
inferência
amostragem POPULAÇÃO: todos
os possíveis consumidores
Ex.
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Conceitos
Parâmetro: alguma medida descritiva (média, variância, proporção, etc.) dos valores x1, x2, x3,..., associados à população.
Amostra aleatória simples: conjunto de n variáveis aleatórias independentes {X1, X2, ..., Xn}, cada uma com a mesma distribuição de probabilidades de uma certa variável aleatória X. Esta distribuição de probabilidades deve corresponder à distribuição de freqüências dos valores da população (x1, x2, x3, ...).
Estatística: alguma medida descritiva (média, variância, proporção, etc.) das variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn, associadas à amostra
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Parâmetros e Estatísticas
N
atributo o com elementos de np
o
População
(x1, x2, x3,..., xN)
n
atributo o com elementos de nP
o
ˆ
N
iix
N 1
1
n
iiX
nX
1
1
N
iix
N 1
22 1
n
ii XX
nS
1
22
1
1
Parâmetros Estatísticas
Proporção
Média
Variância
Amostra
(X1, X2, ..., Xn)
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Estatística
Uma estatística é uma variável aleatória e a sua distribuição de probabilidades é chamada de distribuição amostral.
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Distribuição amostral da média
Amostra:
(X1, X2, ..., Xn)
População: N elementos
X : variável quantitativa
Parâmetros:
= E(X), 2 = V(X)
Estatísticas:
Amostragem
aleatória simples
X pode ser vista como uma variável
aleatória se considerar a distribuição de
freqüências da população como uma
distribuição de probabilidades – a
distribuição da população.
n
iiX
nX
1
1
n
ii XX
nS
1
22
1
1
23
Média e variância da média amostral
)(XE
n
XV2
)(
se a amostragem for com reposição,
ou N muito grande ou infinito
1)(
2
N
nN
nXV
se a amostragem for sem reposição e
N não muito grande, N < 20n
Seja a população com média e variância 2.
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Distribuição da média amostral
(Teorema limite central) Se o tamanho da amostra for razoavelmente grande, então a distribuição amostral da média pode ser aproximada pela distribuição normal.
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Ex. 7.2 População: {2, 3, 4, 5}
Parâmetros:
5,354324
11
1
N
iix
N
25,1)5,35()5,34()5,33()5,32(4
11 2222
1
22
N
iix
N
x
p(x)
2 3 4 5
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Distribuição da média amostral (Ex. 7.2)
Amostragem aleatória simples de tamanho n = 2.
Construção da distribuição amostral da média:
Amostras possíveis Probabilidade
(2, 2)
(2, 3), (3, 2)
(2, 4), (3, 3), (4, 2)
(2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2)
(3, 5), (4, 4), (5, 3)
(4, 5), (5, 4)
(5, 5)
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
116 216 316 416 316 216 116
X
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Distribuição da média amostral (Ex. 7.2)
)(xp
x
p(x)
2 3 4 5
Distribuição da
população
E(X) = 3,5
x 2 3 4 5
Distribuição da
média amostral
5,3)( XE
28
Média e variância da média amostral (Ex. 7.2)
5,316
15
16
25,4
16
34
16
45,3
16
33
16
25,2
16
12
XE
625,016
1)5,35(...
16
2)5,35,2(
16
1)5,32()( 222 XV
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Distribuição amostral da proporção
Amostra:
(X1, X2, ..., Xn)
A
0 ou 1 (0 = sem o atributo;
1 = com o atributo)
A
Parâmetro:
p = proporção dos elementos
que têm o atributo A
População: elementos AA NNN
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Distribuição da população (caso de proporção)
x p(x)
0
1
1 – p
p
= p
2 = p(1 – p)
Média e variância:
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Média e variância da proporção amostral
pPE )ˆ(
n
ppPV
)1()ˆ(
se a amostragem for com reposição, ou N
muito grande ou infinito
1
)1()ˆ(
N
nN
n
ppPV
ou:
se a amostragem for sem reposição e N
não muito grande, N < 20n
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Distribuição da proporção amostral
Se o tamanho da amostra for razoavelmente grande, então a distribuição amostral da proporção pode ser aproximada pela distribuição normal.
OBS. Se n for pequeno, a distribuição exata é binomial ou hipergeométrica (dependendo se a amostragem for com ou sem reposição)