FIUBA 07-05-11 Analisis Matematico II Parcial - Tema 1
1. Sea f(x, y) =
{x2 − y si x 6=
√3y
2 si x =√
3y
Describir el conjunto de los puntos de discontinuidad de f en coordenadas polares.
2. Sea ~G(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) con u(1, 2) = −1, v(1, 2) = 2, un campo vectorial de clase C2
definido en R2 cuya matriz jacobiana es
∂(u, v)
∂(x, y)=
(x2 2y
−x −y
)
y sea f(x, y) ={
[u(x, y)]2 + 2v(x, y)}2
. Hallar la derivada direccional de f en el punto (1, 2)
en la direccion del vector (1, 2).
3. Sea la curva C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 = a2 ∧ 2xz + y2 + 2y = 3}, con a ∈ R − {0} y S
la superficie parametrizada por ~σ(u, v) = (u + v2, 3u − v, 2u + v2) con (u, v) ∈ R2. Hallar, si
existe, un valor de a de modo tal que la recta tangente a C en el punto (0, 1, a) sea paralela a
la recta normal a S en el punto Q0 = (1/36, 1/6, 1/36).
4. Mostrar que la ecuacion eyz + xz+ 2z− x2 + 3 = 0 define a z = f(x, y) en un entorno de (1, 0).
Hallar la ecuacion del plano tangente al grafico de f en el punto (1, 0, z0).
5. a) Definir maximo absoluto para una funcion escalar definida en un subconjunto abierto
de R2.
b) Encontrar los extremos relativos de f(x, y) = x+ 8y +1
xyen el primer cuadrante,
(x > 0, y > 0), y clasificarlos.
FIUBA 09-05-11 Analisis Matematico II Parcial - Tema 1
1. Sea f(x, y) =
{x2 + y2 − 9 si x · y ≥ 0
x+√
3y si x · y < 0
Graficar el conjunto de nivel cero de f y expresarlo en coordenadas polares.
2. Sea f : R2 → R una funcion C3(R2) cuyo polinomio de Taylor de grado 2 en (1,−2) es
p(x, y) = 3x− y + xy − 3. Hallar todos los valores de a 6= 0 de manera que la funcion
g(x, y) = (x− 1)f(x, y)− a(y + 2)2 tenga extremo en el (1,−2) y clasificarlo.
3. a) Enunciar la definicion de diferenciabilidad en un punto para un campo vectorial
~F : R2 → R2
b) Sea ~F (x, y) = (u(x, y), v(x, y)) un campo vectorial diferenciable en R2 cuya matriz jaco-
biana en el punto (0, 0) es:
∂(u, v)
∂(x, y)(0, 0) =
(1 0
−2 −1
)con ~F (0, 0) = (2, 3), y sea h = g ◦ ~F , siendo g(u, v) = u2 + v.
Hallar un versor w tal que∂h
∂w(0, 0) sea nula.
4. Demostrar que (x2 + ln(x + z) − y, yz + exz − 1) = (0, 0) define una curva C regular en un
entorno del punto (1, 1, 0), y hallar un vector tangente a la curva en dicho punto.
5. Sean C la curva parametrizada por ~α(t) = (t3 − 1,1
t− 2, cos(t − 1)) con 0 < t < 2, y S la
superficie definida por: x3 + y3 + z3− xyz = 0. Determinar si la recta tangente a C en el punto
(0,−1, 1) esta contenida en el plano tangente a la superficie en dicho punto.
FIUBA 04-06-11 Analisis Matematico II Parcial - Tema 1
1. Sea f(x, y) definida por
f(x, y) =
{x2 + y2 − 4 si y > 0
y2 − 3x2 si y ≤ 0
a) Hallar A = {(x, y) ∈ R2 : f(x, y) > 0} y describir el conjunto en coordenadas polares.
b) Analizar la continuidad de f en los puntos P0 = (0, 3) y Q0 = (−2, 0).
2. Dada la ecuacion 6 ex z − y z = 0
a) Mostrar que define a z = f(x, y) en un entorno de (0, 2, z0).
b) Si g(x, y) = f(x, y) + sen(x y) + y, hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto
(1, 0,−2) y es perpendicular al plano tangente al grafico de g en el punto (0, 2, g(0, 2)).
3. Sea S la superficie parametrizada por ~σ(u, v) = (u cos(v), u, u sen(v)) con (u, v) ∈ [1, 3]× [0, π]
y L la recta normal a S en el punto (0, 2, 2). Analizar si L tiene algun punto en comun con la
curva parametrizada por ~γ(t) = (3− t, t2 + 1, t− 1), t ∈ R.
4. Sea f : R2 → R, C3(R2), cuyo polinomio de Taylor de segundo orden en el punto (2, 2) es
p(u, v) = 14 + v2 − 2u v − u2. Si h(x, y) = f(x2 − 2 y, y2 + x y − 1), estimar el valor de
h(1.98, 1.02) usando una aproximacion lineal.
5. Sea f :R2 → R es una funcion estrictamente positiva y C3(R2) cuyo gradiente se anula solo en
P1 = (3,−3) y en P2 = (−3, 3), cuyo determinante Hessiano en esos puntos es no nulo, y tal
que en P1 tiene un maximo relativo de valor 10 y en P2 tiene un mınimo relativo de valor 5.
Estudiar los extremos de g(x, y) = 1f(x,y)
.
FIUBA 06-06-11 Analisis Matematico II Recuperatorio - Diferido
1. Sea f(x, y) =x2 + y2 − 4
x2 − y2, describir en coordenadas polares el Dominio de f(x, y) y el conjunto
de nivel cero de f(x, y).
2. Sea ~σ(t) = (cos(t), asen(t), bt/π) con 0 < t < 2π una parametrizacion de la curva C. Determinar
a, b ∈ R para que P0 = (0, 2, 1) pertenezca a la curva y ademas el vector tangente a C en P0
tenga la direccion del vector (3π, 0, 2).
3. Verificar que el punto (1, 0) es un punto estacionario de f(x, y) = y u(x), con u(x) definida
implıcitamente por la ecuacion u x+ eu − x = 0, y clasificarlo.
4. Sea h : R2 → R una funcion C2 calcular el gradiente de h en el punto (−1, 2), sabiendo la
ecuacion del plano tangente de g(x, y) = h ◦ ~F (x, y) en el punto (2, 1, z0) es z = 3 + 2y, siendo
~F : R2 → R2 una funcion C2 con ~F (2, 1) = (−1, 2) y la matriz de derivadas de ~F es:
D~F (2, 1) =
(1 3
−1 0
)
5. Sea f(x, y) =
ex3 + y3 − 1
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
Calcular todas las derivadas direccionales de f en el punto (0, 0).
FIUBA 30-06-11 Analisis Matematico II Parcial - Tema 1
1. Sea la curva definida en coordenadas polares por la ecuacion r2(1 + cos2(θ))− 1 = 0. Hallar a
y b para que dicha curva sea el conjunto de nivel1
ede f(x, y) = eax
2+y2+b.
2. Hallar a ∈ R para que la recta interseccion de los planos de ecuaciones x+z = 1 y x−2y+z = 3
sea tangente a la superficie parametrizada por ~σ(u, v) = (1 + 2v, au + v2, 2uv) con (u, v) ∈ R2
en el punto (1,−1, 0)
3. Sea f es un campo escalar de clase C1 en el plano. Sabiendo que 2x2 − y3 = 7 es la ecuacion
de una curva de nivel 5 de f y que ∂f∂x
(2, 1) = 4, hallar la ecuacion del plano tangente al grafico
de f en el punto (2, 1, f(2, 1)).
4. Probar que para todo a ∈ R, a 6= 0, f(x, y, z) = ax+y
ax+
1
y+ ln(1 + z2) tiene un mınimo
relativo de valor 3.
5. Dada z = h(x − y, x y), h ∈ C2(R2), demostrar que en puntos de la recta y + x = 0 resulta∂2z∂x2 − ∂2z
∂y2= 0.
Ejercicio 2. Sea el campo escalar (x, y) = h(g(x, y)), donde g(x, y) = 2 3 (x1)2/2 (y2)
2+ 2 (x1) (y2), mientras que la función
escalar h: → es de clase C2(
2) y satisface h’(t) > 0 para todo t en . Estudiar los extremos de y clasificarlos.
Ejercicio 3. Dado el sistema { 2u + v = x, 4evy v = 4y}, siendo P0 = (x0, y0, u0, v0) = (2, 1, 1, 0) y A0 = (x0, y0) = (2, 1) se pide: (a)
Probar que el sistema define implícitamente los campos escalares u = u(x, y), v = v(x, y) en un entorno de A0; (b) Si w(x, y) ≝ [u(x, y)]
2, estimar mediante una aproximación lineal el valor de w en A1 = (1.98, 1.1).
Ejercicio 4. Determinar la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas (k ) dada por y = k (x+1), graficando la que pasa por el punto P0 = (0, 2) y su correspondiente trayectoria ortogonal.
Ejercicio 5. Determinar los puntos P0 = (x0, y0, z0) 3 y los valores de c para los que el vectorv = (1, 1, 2) resulte, en el
punto P0, tangente a la curva C intersección de las superficies S1 = {(x, y, z) 3: x2
+ y2
= 2cx} y S2 = {{(x, y, z) 3: z = 4 x2 y
2}.
Ejercicio 1. Para el campo escalar ( ) {
se pide: (a) determinar y graficar, para k = 0, 1,
1, los conjuntos de nivel Ck(); (b) Analizar la continuidad y diferenciabilidad en P0 = (0, 0).
Parcial 29/10/11
FIUBA 31-10-11 Analisis Matematico II Parcial - Complementario
1. Sea el campo escalar definido en R2 como f(x, y) =√x4 + y2. Analizar la existencia de:
a) la derivada direccional en la direccion y sentido del versor v = (0, 1) en el origen.
b) la derivada parcial de la funcion respecto de la variable y, tambien en el origen.
2. Sea A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1, |x| ≤ y/√
3}.
a) Describir al conjunto A usando coordenadas polares.
b) Hallar los extremos absolutos del campo escalar f : R2 → R definido por
f(x, y) =√
x4 + y2, restringidos a A.
3. Sea la ecuacion:
ln(x2 + y2 + z2 + w2) = −2x + 6y2 − 3z + ln(6)
a) Sabiendo que (x0, y0, z0, w0) = (0,−1, 2, 1) es una solucion de la ecuacion, probar que de
la misma se puede definir a w como funcion de (x, y, z) en un entorno del punto (0,−1, 2).
b) Si S = {(x, y, z) ∈ R3 : w(x, y, z) = 1}, hallar la ecuacion de la recta normal a la superficie
S en el punto (0,−1, 2).
4. Resolver el siguiente problema de valores iniciales:
x2y′ = y2 + xy, con y(1) = 1
5. Sean el campo vectorial ~F definido sobre R2 por ~F (x, y) = (x + 1, 2y − ex) y el campo escalar
g : R2 → R diferenciable en R2. Definiendo h : R2 → R por h(x, y) = g(~F (x, y)), si su polinomio
de Taylor de segundo orden en el punto (0, 1) es:
p(x, y) = 4 + 3x− 2y − x2 + 5xy,
hallar la ecuacion del plano tangente al grafico de g en el punto (1, 1, g(1, 1)).
FIUBA 19 - 11 - 11 Analisis Matematico II Parcial - Tema 2
1. Hallar los versores para los cuales la derivada direccional de la funcion dada en (0, 0) es maxima,
mınima, nula, y sus valores.
f(x, y) =
x3 + y4
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
2. Sea la familia de curvas descripta en coordenadas polares por: cos θ = Ksen θ, con
K ∈ R. Describir la familia en coordenadas cartesianas y hallar, analıticamente, la familia de
trayectorias ortogonales.
3. Sea C ⊂ R3 la curva paramentrizada por −→γ (t) = (cos t , cos2 t + 2 , sen t), t ∈ [0, 2π]. Hallar
todos los puntos de C en los que su plano normal es paralelo al plano yz.
4. Sea ~h(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) con u(2, 1) = 1, v(2, 1) = 1, un campo vectorial de clase C2
definido en R2 cuya matriz jacobiana es:
∂(u, v)
∂(x, y)(x, y) =
(y2 2x
−y −x
)
Hallar la ecuacion del plano tangente a la grafica de f(x, y) = 2 [u(x, y)]2+[v(x, y)]2 en el punto
(2, 1, f(2, 1)).
5. Sea f(x, y, z) = z +x
z+y
x+
1
y. Hallar los puntos estacionarios, analizar si en ellos la funcion
alcanza extremos relativos y, en ese caso, calcular su valor.
FIUBA 21-11-11 Analisis Matematico II Parcial - Tema 1
1. Hallar, analıticamente, la familia de trayectorias ortogonales a la familia dada por y = k(x+1),
con k ∈ R.
Describir en coordenadas polares la curva, de la familia hallada, que pasa por el origen.
2. Sea F ∈ C1 tal que F (x, y, z) = 0 define a z = f(x, y) con en un entorno del punto (2, 3, 1).
Si el plano tangente a la grafica de f en (2, 3, 1) tiene ecuacion ~X(u, v) = (2+u, 3+v, 1+5u−4 v)
con (u, v) ∈ R2, calcular la derivada direccional de f en el punto (2, 3) en la direccion que va
del punto (2, 3) al punto (3, 4).
3. Sea f :R2 → R una funcion C3(R2) cuyo gradiente se anula solo en P1 = (1,−1) y en P2 =
(−1, 1), cuyo determinante Hessiano en esos puntos es no nulo, y tal que en P1 tiene un maximo
de valor 10 y en P2 tiene un mınimo de valor 3.
Estudiar los extremos de g(x, y, z) = z3/3− z + f(x, y).
4. Sea S la superficie parametrizada por −→γ (u, v) = (u, u2, v) con (u, v) ∈ R2.
Encontrar los puntos pertenecientes a S tales que el plano tangente se perpendicular al vector
(−2, 1, 0)
5. Sea f : R2 → R, f ∈ C3(R2) cuyo polinomio de Taylor de orden 2 en el (0, 0) es p(x, y) = y+xy,
y sea−→h (u, v) = (2 u, u− v).
Hallar ∂2g/∂u2(0, 0) siendo g(u, v) = f(h(u, v)).
FIUBA 15-12-11 Analisis Matematico II Parcial - Tema 1
1. Resolver la ecuacion diferencial y′ =y2 − x2
2xycon condicion inicial y(2) = 2.
2. Sea f un campo escalar de clase C1(R2). Sabiendo que la derivada direccional de f en (−1, 1)
respecto del versor v = (
√5
5,2√
5
5) es igual a
4√
5
5y que 2x2 + 3y2 = 5 es la curva de nivel 5
de f , hallar la ecuacion del plano tangente al grafico de f en el punto Q = (−1, 1, 5).
3. Sea g un campo escalar de clase C3(R3), P = (0, 0, 0) un punto estacionario para g y la matriz
Hessiana de g en el punto P es:
Hg(P ) =
−2 1 0
1 −3 1
0 1 1
.
a) Clasificar el punto estacionario P de la funcion g.
b) Hallar el valor de∂2f
∂x2(1, 1, 0) sabiendo que f(x, y, z) = g(x2 − y, x3 − xy, z).
4. Sean S1 la superficie parametrizada por ~X(u, v) = (sen(2u), v, 1− cos(2u))
con (u, v) ∈ [0, π] × [−4, 4] y S2 el plano de ecuacion x = y. Si C es la curva interseccion
entre ambas superficies, hallar los puntos de C cuyos vectores tangentes son paralelos al vector
(1, 1, 1).
5. Dado el sistema {x2 + y2 + z = 4
2x2 + y2 − 2z = −1
a) Probar que en un entorno de P = (1,−1, 2) el sistema define implıcitamente funciones
y = y(x) y z = z(x).
b) Si w = 2yz + e2 z, hallar el valor de w′(x) para x = 1.