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nlise
E ITOR FILI
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I
t
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Direitos exclusivos para a lngua portuguesa
Copyright 1996 by Djairo Guedes de Figueiredo
LTC Livros Tcnicos e Cientficos Editora S A
Travessa do Ouvi dor, 11
Rio de Janeiro, RJ CEP 20040-040
Reservados todos os direitos.
proibida a duplicao ou
reproduo deste volume, no todo ou em parte,
sob quaisquer formas ou por quaisquer meios
eletrnico, mecnico, gravao, fotocpia, ou outros ,
sem permisso expressa da Editora.
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SO RE O UTOR
Djairo Guedes de Figueiredo, natural de Limoeiro do Norte, Cear, formou-se em En
genharia Civil pela ento Universidade do Brasil no Rio de Janeiro, em 1956. Fez seus es
tudos de ps-graduao no Courant Institute da Universidade de Nova Iorque, onde obteve
os graus de Master of Science 1958) e Doctor ofPhilosophy 1961). Foi professor visitante
nas Universidades de Wisconsin, Chicago, Maryland e Miami, e professor titular das Uni
versidades de Illinois, Braslia e do IMPA. Atualmente professor titular da UNICAMP.
Em 1965 e 1984 foi agraciado com bolsa da Fundao Guggenheim. membro titular da
Academia Brasileira de Cincias, e pesquisador IA do CNPq desde 1985. Em 1992 foi pre
miado com a Bolsa de Reconhecimento Acadmico Zeferino Vaz , pelo Conselho Uni
versitrio da UNICAMP. Em 1995 o presidente da Repblica lhe outorgou a Gr-cruz da
Ordem do Mrito Cientfico.
Seu campo de pesquisa a Teoria das Equaes Diferenciais Parciais, tendo escrito
vrias monografias e artigos de pesquisa publicados em revistas especializadas no Brasil e
no exterior.
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PREF IO D SEGUND EDIO
Este um livro de Anlise Matemtica, uma das reas mais bsicas da Matemtica.
Analistas, gemetras ou matemticos aplicados necessitam desse embasamento para pros-
seguir seus estudos nas reas respectivas. Esse um curso que segue o curso de Clculo das
nossas universidades. Contm parte substancial daquele curso apresentado de modo cuida-
doso dentro do rigor imprescindvel para os cursos de Matemtica. Assim, introduzimos o
Clculo Diferencial e Integral de funes reais de uma varivel real, aps a apresentao
axiomtica dos nmeros reais. Isso nos permite oferecer uma teoria dedutiva rigorosa, mas
agradvel e bonita
Tivemos a preocupao de fazer um texto que apresente uma continuao natural dos
cursos de Clculo. claro que os conhecimentos adquiridos naquele curso so de grande
valia, principalmente para fazer os muitos exerccios do texto. Trabalhar nesses exerccios
uma parte essencial no processo de aprendizagem dessa matria. As sugestes ao final do
texto s devem ser usadas aps muitas tentativas de resolver esses exerccios. So precisa-
mente essas tentativas possivelmente muitas vezes frustradas) que constituem o mtodo de
estudo e criao em Matemtica.
O texto atual a segunda edio do livro publicado em 1975. Diversas alteraes fo-
ram introduzidas neste texto. Vrios erros de imprensa presentes na primeira edio foram
corrigidos e algumas demonstraes foram modificadas. Nossa deciso de publicar uma
segunda edio desta obra veio aps ouvirmos insistentes solicitaes de colegas que vm
utilizando cpias, cada vez mais raras da primeira edio, em seus cursos introdutrios de
Anlise. Entretanto, ao Professor Joo Carlos Nascimento Pdua expressamos nossa maior
gratido, por ter ele se prontificado a ler todo o texto anterior, fazer correes e sugestes.
Com tal colaborao, no poderamos nos recusar a oferecer uma segunda edio de
nlise I
Campinas, maio de 1996
Djairo Guedes de Figueiredo
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PREFCIO DA PRIMEIRA EDIO
A presente monografia destina-se aos alunos de graduao das nossas universidades.
Pressupe-se que o leitor esteja familiarizado com a tcnica do Clculo Diferencial e In
tegral de funes reais de uma varivel real. Isso porque no temos aqui um nmero sufici
entemente grande de exerccios, que permita ao estudante desenvolver uma certa percia em
resolver problemas do tipo computacional. Cremos que um estudante de Matemtica deva
ter um curso semestral de Clculo antes de estudar o assunto desta monografia, que nada
mais do que um texto do curso de Anlise I das universidades. O curso de Clculo, sendo
mais superficial, mais consonante com o nvel do aluno que entra na universidade. Por
outro lado, fornece rapidamente uma idia do que o Clculo, do tipo de problemas que
resolve e das suas aplicaes a outros ramos do conhecimento. Assim, o leitor que comear
a ler este trabalho j ter uma boa motivao e uma viso global da matria em estudo. Assim,
ele apreciar melhor certos pontos que poderiam parecer filigranas s pessoas que os vis
sem pela primeira vez.
O texto escrito com o rigor que a Anlise ganhou no decorrer do sculo passado. A
fundamentao lgica dos nmeros reais logo apresentada no primeiro captulo, o que o
torna relativamente longo. Atravs dos exemplos e de vrias observaes, procuramos esti
mular no estudante o esprito crtico e nele despertar curiosidade por outros cursos de Ma
temtica. Lembramos, porm, ao leitor as palavras de Gibran Khalil Gibran: Nenhum ho
mem poder revelar-vos nada seno o que j est meio adormecido na aurora do vosso co
nhecimento.
O presente trabalho passou por um processo evolutivo que comeou com a monogra
fia do autor publicada pela OEA,
Funes Reais
em 1970. Em sua segunda fase, o texto foi
expandido e constituiu um dos cursos oferecidos no 9. o Colquio Brasileiro de Matemtica,
em 1973. Finalmente com a adio de mais exerccios, reformulao de vrias sees e in
cluso de mais dois captulos, chegou-se forma presente, que ora includa na Coleo
Elementos de Matemtica do IMP
Nesse processo, vrias pessoas contriburam de diferentes modos. Agradecemos, em
especial, ao Prof. Elon Lages Lima, a Mrcia Maria de Pinho, aos meus alunos no 9. Col
quio e a minha esposa.
Braslia outubro de 1973
Djairo Guedes de Figueiredo
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SUMARIO
1 NMEROSREAIS 1
1.1. Conjuntos e funes 1
1.2. Nmeros racionais 3
1.3. INF e SUP 5
1.4. Nmeros reais 9
1.5. Desigualdades 12
1.6. Sucesses numricas 17
1.7. Propriedades de limite 19
1.8. Exemplos de sucesses 23
1.9. Sucesses montonas 27
1.10. O Teorema de Bolzano Weierstrass 28
1.11. O critrio de Cauchy 31
1.12. Sries numricas 33
1.13. Representao decimal 41
1.14. Conjuntos enumerveis 45
2 FUNESREAIS 48
2.1. Funes reais 48
2.2. Limites laterais de uma funo 52
2.3. Operaes com limites das funes 57
2.4. Funes contnuas 60
2.5. Operaes com funes contnuas 62
2.6. Funes contnuas em intervalos fechados 65
2.7. Funes montonas 67
2.8. Funo inversa 69
2.9. Funes injetivas da reta 70
2.10. Funes lineares 72
3 FUNESDERNVEIS 75
3.1. A derivada 75
3.2. Operaes com funes derivveis 78
3.3. Derivadas de algumas funes 79
3.4. Derivada da funo inversa 80
3.5. Derivao de funes compostas 81
3.6. O Teorema do Valor Mdio 84
3.7. A frmula de Taylor 89
3.8. Os pontos crticos de uma funo 91
3.9. Sries de potncias 97
3.10. A srie de Taylor de uma funo 101
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xiv
4 FUNES TRIGONOMTRICAS 104
4.1. As funes seno e co-seno 105
4.2. Outras funes trigonomtricas 111
4.3. Funes inversas 112
4.4. A Trigonometria 114
5 A INTEGRAL 116
5.1. Noo de rea 116
5.2. Integral superior e integral inferior 120
5.3. A integral 123
5.4. Demonstrao do Teorema 504 125
5.5. Operaes com funes integrveis 127
5.6. Valor absoluto de uma funo integrvel 131
5.7. A integral como limite 134
5.8. A restrio de uma funo integrvel 136
5.9. Uma condio necessria e suficiente de integrabilidade 139
Apndice: O teorema de Heine-Borel 144
6
FUNES LOGARTMICA E EXPONENCIAL 147
6.1. Logaritmo 147
6.2. Funo exponencial 152
6.3. Potncias irracionais 156
6.4. A funo aX 157
6.5. A funo xb 157
6.6. O nmero e como limite 158
6.7. A constante de Euler-Mascheroni 160
6.8. A frmula de Stirling 160
Apndice: Algumas indeterminaes - Regra de L Hspital 164
7 RELAES ENTRE DERIVAO E INTEGRAO 171
7.1. Existncia de primitivas 171
7.2. Teorema Fundamental do Clculo 175
7.3. Operadores de derivao e de integrao 178
7
A
Mudana de varivel nas integrais 179
7.5. Integrao por partes 180
7.6. Teoremas do valor mdio para integrais 182
8 INTEGRAIS IMPRPRIAS 186
8.1. Integrais de funes no-limitadas em um intervalo 186
8.2. Integrais de funes definidas em intervalos infinitos 192
9 SUCESSES E SRIES DE FUNES 197
9.1. Sucesses de funes 197
SU R O
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SU R O
9.2.
9.3.
9.4.
9
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
9.10.
9.11.
Sries de funes 201
Convergncia uniforme das sries de potncias e o Teorema de Abel 204
Testes de Abel e de Dirich1et 207
Apndice sobre sries numricas condicionalmente convergentes 211
Convergncia uniforme e integrao 216
Convergncia uniforme e derivao 220
Funes contnuas sem derivada em nenhum ponto 223
O Teorema de Arzel Ascoli 225
O Teorema da Aproximao de Weierstrass 229
Condensao de singularidades 232
Teoremas tauberianos 233
xv
APNDICE 236
REFERNCIAS 253
NDICE ALFABTICO 255
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Captulo
Nmeros Reais
Conjuntos e Funes
Os conceitos de conjunto e funo pertencem aos fundamentos da Matemtica
moderna. Portanto, ao iniciar o nosso trabalho, sentimos a necessidade de fazer
algumas consideraes sobre tais conceitos, a fim de evitar seu uso inadequado
posteriormente.
A formalizao da Teoria dos Conjuntos em um contexto logicamente rigo
roso obra de grandes matemticos deste e do sculo passado. As contribuies
de Cantor, Hilbert e G6del so decisivas e profundas.
No presente trabalho, no utilizamos nenhum dos aspectos delicados da Teoria
dos Conjuntos. Na verdade, necessitamos apenas definir alguns termos. A pa
lavra conjunto usada para designar uma coleo qualquer de objetos. Por exem
plo, o conjunto das carteiras, em uma sala de aula, o conjunto das crianas me
nores de dez anos, o conjunto dos nmeros pares. Lidaremos, em geral, com
conjuntos numricos
isto , conjuntos constitudos por nmeros. Como, por exem
plo, o conjunto N dos nmeros naturais, o conjunto IR dos nmeros reais, o con
junto IR
dos nmeros reais positivos etc. Chamamos a ateno do leitor para
o fato de que consideramos a noo de conjunto como primitiva e que, portanto,
no passvel de definio.
Os objetos que constituem um dado conjunto so chamados os elementos do
conjunto. Usamos a notao x E
A
para dizer que um elemento x est em um
conjunto
A
e l-se x pertence a
A
Uma propriedade
P
caracteriza um conjunto
A se todo elemento de A satisfaz propriedde P e se, reciprocamente, todo elemen
to que satisfaz propriedade P pertence ao conjunto. Via de regra, um conjunto
dado atravs de propriedades que o caracterizam.
P. ex., IR+ o conjunto dos elementos x de IR tais que x >
O,
ou, em smbolos,
IR+
{x
E IR:
x
>
O}.
Cada parte
B
de um conjunto
A
chamada um
subconjunto
de
A.
Mais
pr cisamente, B um subconjunto de A em smbolos, B C A ou A B se todo
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2
NMEROS RE IS C Po
x E
B tal que
x E
A.
A
expresso B C A l-se B contido em A e A
B l-se
A
contm
B.
Usamos as seguintes notaes: A U B para designar o conjunto dos elementos
que esto em A ou em B; A li B para designar o conjunto dos elementos que esto
simultaneamente em A e em B; A ~ B para designar o conjunto dos elementos que
esto em A mas no em B.
Uma funo f de um conjunto A em um conjunto B uma regra que a cada
elemento
x
E
A
associa um elemento
f x)
em
B. f x)
chamado o
ralor
de
f
no
elemento x. O conjunto A chamado o domnio conhecido tambm por campo
de definio) da funo f, e o conjunto B chamado o contradomnio. Usamos
a seguinte notao que explicita o domnio e o contradomfnio da funo:
f: A
>
B. No demais repetir que, dada uma funo f: A
>
B, o valor da
funo em um elemento x E
A
univocamente determinado.
Exemplos de funes
i) A
=
B
=
IR e
f x)
=
x2, isto , a funo que a cada real
x
associa o seu
quadrado x2
ii)
A
=
B
= IR+ e
f x)
= V~, isto , a funo que a cada real positivo
x associa sua raiz quadrada positiva.
iii) A
=
IR+, B
=
IR e
f x)
= -
V~, isto , a funo que a cada real positivo
x associa sua raiz quadrada negativa.
iv)
A
=
B
=
IR
e
f x)
=
para
para
para
X O
x O
x
B o conjunto dos elementos
y
de B tais que existe
pelo menos) um x
E
A tal que f x)
= y
chamado a imagem de A pela funo
1,
e designado por f A).
A imagem do domnio pela
f
no necessariamente o contradomnio todo
cf. Exs. i), iii), iv), v), vi) acima). No Ex. ii), a imagem do domnio coincide
com o contra domnio. Uma funo f: A
>
B tal que f A)
=
B chamada d,e
sobrejeo
ou
funo sobrejetiva.
Elementos distintos do domnio de uma funo f podem ter o mesmo valor
no contradomnio. Em outras palavras, podemos ter a seguinte situao:
Xl
~
X2
e
f Xl)
=
f X2)
No Ex. i), a funo
f x)
=
x2 tem o mesmo valor nos pontos
1 e-L No Ex. vi) todos os racionais vo no mesmo ponto pela funo de Dirichlet.
Uma funo
f
A
~
B que leve elementos distintos de A em elementos diStintos
de B chamac1a de injeo ou funo injetiva. Em outras palavras, f A ~ B
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2 NMEROS RACIONAIS
3
uma injeo se, para todo par de pontos
XI
e
X2
em A tais que
XI
:F
X2
tem-
se j xl =1= j x2 . As funes (ii), (iii), (v) acima so injetivas.
Uma funo que seja, ao mesmo tempo, uma injeo e uma sobrejeo chama
da de
bijeo
ou
funo bijetiva.
A funo (ii) acima bijetiva.
Sejam f:
A
--?
B
e C
C A
dados. A funo
j:
C --?
B
definida por j x =
f x ,
para todo
x
E
C, chamada a
restrio de f
ao subconjunto C. Essa funo
f ge:almente, designada por fie. Por exemplo, a funo j: IR --? IR definida
como f x = x a restrio da funo (iv) ao conjunto
IR .
O leitor interessado encontrar um tratamento detalhado das idias aqui apre
sentadas nas referncias [7], [9] ou [19]. O artigo de Paul Cohen e Reuben Hersh
na referncia [12] faz um tratamento completo da axiomtica da Teoria dos Conjuntos.
2 Nmeros Racionais
Usamos as seguintes notaes:
N conjunto dos nmeros naturais 1,2,3,
7l conjunto dos nmeros inteiros ... , - 2, - 1, O, 1, 2, ...
10 - conjunto dos nmeros racionais, isto , dos nmeros da forma
p/q,
onde p e q so inteiros e q O.
No est no nosso programa fazer um estudo sistemtico dos trs conjuntos numri
cos acima. Entretanto, deveremos utilizar as propriedades desses conjuntos. Assim, fare
mos apenas alguns comentrios rpidos. Um estudo detalhado dos inteiros pode ser visto
nas referncias [9] e [15]. O leitor que no esteja familiarizado com os Princpios da Boa
Ordenao e da Induo pode recorrer a essas referncias.
Como o leitor deve observar, os nmeros racionais nada mais so que as fra
es da Aritmtica do curso de primeiro grau. Quando lhe ensinaram a operar com
fraes, a rigor, o que se estava fazendo era definir as operaes de adio e mul
tiplicao. As propriedades (1) a (6) dessas operaes enunciadas a seguir, apesar
de usadas freqentemente, no receberam maior ateno. Isto parece explicvel,
porque os nmeros inteiros gozam de quase todas essas propriedades. E, na ver
dade, se construirmos os racionais a partir dos inteiros, tais propriedades podem
ser deduzidas facilmente de propriedades anlogas para
7l.
Tambm foram ensi
nadas relaes do tipo 8/6 = 4/3 e 3/1 = 3. No fundo, essas duas relaes so
escritas por definio e, portanto, no se demonstram. A primeira define a relao
de igualdade entre as fraes, isto , p/q = ris se ps = qr. A segunda igualdade
faz uma identificao do conjunto 7l com um subconjunto de
10,
isto , com o
subconjunto
{p/q
ElO:
q
= I}.
Portanto, com um certo abuso de linguagem, dizemos que 7l um subconjunto
de
10.
Um corpo F um conjunto de elementos x,y,z, ... , onde se acham definidas
as operaes de adio (i.e., a cada par de elementos
x
e
y
em
F
corresponde um
elemento de F que se designa por x y e de multiplicao (i.e., a cada par de
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NMEROS RE IS C Po
elementos x e y em F corresponde um elemento de F que se designa por xy satis
fazendo s propriedades que seguem.
1
Leis comutativas:
x
+
y
=
y
+
x, xy
=
YX.
2 Leis assocativas: x
+
y
+
z = X
+
y
+
z , xy z = x yz .
3 Existncia de um zero: existe um elemento O E F tal que x + O = x
para todo x E F.
4 Existncia de uma unidade: existe um elemento 1 E F tal que xl
=
X.
5 Existncia de inversos: dado
x E F.
existe - x
E F
tal que x
+ -
x =
= O, e dado x E F, x ~ O, existe [I E F tal que x.rl
=
1.
6 Lei distributiva: x + y z
=
xz + yz.
imediato verificar que o conjunto
Q
dos racionais um corpo. Observe tambm
que 7L no um corpo.
O leitor deve familiarizar-se com a interpretao geomtrica dos racionais,
utilizando uma reta R, onde se escolhem dois pontos, o O e o 1.
o
Fig l
1
R
Os inteiros so marcados facilmente, se usarmos o segmento de extremidades
O
e 1 como unidade. Os racionais so obtidos por subdivises adequadas do seg
mento unidade. Se imaginarmos os nmeros racionais marcados sobre a reta,
veremos que eles formam um subconjunto da reta que denso no sentido que escla
recemos a seguir.
Dado um ponto qualquer da reta, poderemos obter racionais to perto dele
quanto se queira; basta tomar subdivises cada vez mais finas da unidade. Pode
parecer, pois, que os racionais cobrem a reta R, isto , a cada ponto de R corres
ponde um racional. Que isso no verdade j era conhecido pelos matemticos
da Escola Pitagrica. Sabiam eles que a hipotenusa de um tringulo retngulo
issceles no comensurvel com os catetos, isto , se os catetos tm comprimento
igual a 1, ento a hipotenusa no racional. Portanto, o ponto
P
da reta
R,
obtidotraando-se a circunferncia centrada em O e raio igual hipotenusa, no corres
ponde a um racional ver Figura 1.2 .
o
,
,
\
\
\
\
\
,
I
1 P
Fig l 2
Demonstrao de que a hipotenusa no racional
Suponhamos, por contradio, que a hipotenusa seja um racional
p q.
Po
demos supor que p e q so primos entre si. Pelo Teorema de Pitgoras, (p/q) =
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6
NMEROS RE IS C Po
ordenado F podemos introduzir uma ordem estrita entre seus elementos, do se
guinte modo:
x >
y
.se
x
y E
P.
No caso dos racionais, essa precisamente a ordem usual, pois
x
E Q se
x >
O.
Usamos ainda estes smbolos: ~,
y ou x = y
x < y
se
y> x
x S; y
se
y
;
x.
Alm disso, utilizamos a seguinte terminologia:
x > y l-se x maior que y
x ~ y l-se x maior ou igual a y
x
O; ii) O
>
x se, e s se,
x:;
O e x
EE
P.
Deixamos ao leitor a verificao das seguintes propriedades, que so vlidas
em qualquer corpo ordenado:
1)
x> y y
z}x
z
x> y z
t
}x
z>y t
> y z
0
}z > yz
> O, xy > O =} y > O
5)
x> O, O
y=}O
xy> x O
y
=}
xy > O
> y z qualquer =} x + z > y + z
8)
Se F:; {O}, ento, 0< 1.
9)
O
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1.3 INF SUP
Observao O ::; uma relao de ordem em F isto :
(i)
x::; x
para todo
x E F
(reflexividade);
(ii)
x::; y
e
y
x
=}
x
=
y
(anti-simetria);
(iii) x::; y y
z
=}
x
z (transitividade).
Alm disso, ::; o que se chama de
ordem total
isto , alm de (i), (ii) e (iii)
temos
(iv) dados x
y E
IR =} ou x
y
ou y x
Deixamos ao leitor a demonstrao das propriedades (i) - (iv).
ota superior
Seja
F
um corpo ordenado e
A
um subconjunto de
F
Um
elemento x E F uma cota superior de A se x ~ y para todo y E A Existem
conjuntos que no tm cota superior. Por exemplo, considere o corpo ordenado
li
dos nmeros racionais; fcil ver que o subconjunto N dos nmeros naturais no tem
cota superior (cf.Exerc. 2 da Se. 1.4).Esse fatomotiva a seguintedefinio:um subconjunto
A de F se diz limitado superiormente se ele possui cota superior.
ota inferior De modo anlogo, introduzimos os conceitos de cota inferior
e conjunto limitado inferiormente. Um elemento
x E F
uma
cota inferior
se
x::;
y,para todo
y E
A Existem conjuntos que no possuem cota inferior. O
conjunto 71. dos nmeros inteiros no tem cota inferior no corpo Q dos nmeros
racionais. Um subconjunto
A
de um corpo ordenado
F
se diz
limitado inferior-
mente
se ele possui cota inferior.
Supremo de um conjunto limitado superiormente Seja F um corpo ordenado
e A C F um subconjunto limitado superiormente. O supremo do conjunto A
que designamos por
supA
definido como a menor das cotas superiores de
A
(quan
do existe ). Em outras palavras,
x E F
o supremo de
A
se:
(i)
x
for cota superior de
A
e
(ii) se
z
for uma cota superior de A ento,
x
z
O Exerc. 2, no final desta seo, mostra um conjunto limitado superionnente que no
possui supremo.
Exemplo 1. Considere o corpo ordenado
Q
e o subconjunto A dos racionais
maiores que O e menores que 1, i.e.,
A = {y E Q O < y < I}.
Qualquer racional maior ou igual a 1 cota superior, e supA
=
1.
fcil ver
que supB = 1, onde B = {y E Q O ::; y l}. Por esses exemplos, vemos que
o sup (quando existe ) pode pertencer ou no ao conjunto.
fnfimo de um conjunto limitado inferiormente Seja F um corpo ordenado, e
A C F
um subconjunto limitado inferiormente.
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8
NMEROS RE IS C Po
o
nfimo de um conjunto A, que designamos por infA, definido como a maior
das cotas inferiores (quando existe ). Em outras palavras, x
C F
o nfimo de
A se:
i
x for cota inferior de A e
(ii) se z for uma cota inferior de A ento x 2:: z.
o
Ex. 3, a seguir, mostra um conjunto que no possui
in/
Exemplo 2. Considere, no corpo ordenado dos racionais, os conjuntos A e
B definidos no Ex.
I
acima. V-se que infA
= O
e infB
= O.
Como no caso
do sup, o inf (quando existe ) pode pertencer ou no ao conjunto.
Exemplo 3. Considere o seguinte subconjunto dos raCIOnaiS
A = {x E O : x2 > 2, x > O}.
Demonstraremos que A no tem inf (em O). Seja
B = {x E iQ : x2 < 2, x > O}.
Como no existe racional tal que
x2 =
2, segue-se que dado um racional positivo
r, ento ou r E A ou r E B. Em primeiro lugar, provamos:
( 1) se x E
A
=}
existe y E
A
tal que y
2, i.e.,
( 3) p2
2q2 n2
2pn
+ 1
>
O.
Como
x
E
A
temos que
p2
2q2 > O.
Logo, (3) se verifica para
n
suficiente
mente grande (quo grande?). De modo anlogo, provamos (2). A seguir, su
ponhamos que
A
tenha nfimo, que designamos por
xo.
Ento
Xo ::; x
para todo
x
E
A
vista de (1),
Xo
no pode pertencer a
A
pois, de outro modo, ~averia
y E A tal que y < xo, o que seria absurdo. Logo, Xo deve pertencer a B. A vista
de (2), existe, pois z E B tal Xo < z Como z2 < 2, segue-se que z cota inferior
para A. Isso, porm, contradiz o fato de
Xo
ser o inf de A.
Concluso: A no tem in/
EXERCCIOS
Usando um argumento anlogo ao empregado no Ex. 3, o leitor pode
demonstrar que o conjunto B definido no Ex. 3 no possui supremo.
2
Um subconjunto de um corpo ordenado se diz
limitado
se for limitado
superiormente e limitado inferiormente. D um exemplo de um conjunto limitado
que no possui nem sup nem inf
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
19/59
4 NMERO REAIS
4 Nmeros Reais
9
Agora definimos o conjunto IR dos nmeros reais, como sendo um corpo orde
nado onde se verifica a propriedade a seguir.
Postulado de Dedekind
Todo subconjunto no-vazio de
IR
constitudo de
elementos positivos, tem um nfimo.
O Postulado de Dedekind realmente determna o corpo dos reais entre todos
os corpos ordenados. (A rigor essa determinao feita a menos de isomorfis
mos.) O corpo IR assim definido contm um subconjunto que est em correspon
dncia biunvoca com o conjunto 11) dos racionais. Na realidade, essa corres
pondncia goza da propriedade de preservar as operaes de adio e multiplica
o; correspondncias biunvocas desse tipo tomam o nome de isomorfismos. Para
todos os efeitos, podemos simplificar essa questo do isomorfismo e simplesmente
dizer que IR contm Q: Q C IR. A reta R um belo modelo geomtrico para
o corpo IR: cada ponto de R representa um real e, vice-versa, a cada real corresponde
um ponto de R As afirmaes feitas no presente pargrafo requerem demonstrao.
O leitor poder encontr-Ias, p. ex., na referncia
[10 .
Deixamos ao leitor as verificaes dos seguintes fatos que decorrem direta
mente do Postulado de Dedekind.
EXERctCIOS
Se um conjunto A de IR tem uma cota inferior, ento A tem inf
2 Se B um conjunto que tem uma cota superior, ento sup B = - inf B ,
onde -
B = {x E IR : x = - b, b E B}.
Da se segue que todo conjunto
no-vazio, que tem cota superior, tem um sup.
3
Mostre que o conjunto
N
dos nmeros inteiros positivos no tem cota superior.
4
Mostre que dado um real positivo
a,
existe um inteiro positivo
1
n
tal que -
b
6
Sejam
x
E IR
e
A = {r
E IR :
r
E
11)
e
x < r}.
Mostre que
x = inf
A.
7
Mostre que o conjunto
11)
denso
em
IR.
Em outras palavras, dados dois
nmeros reais quaisquer
x < y,
existem racionais
r
tais que
x < r < y.
Os nmeros reais, que no so racionais, so chamados
irracionais.
Um
modo de produzir exemplos de nmeros reais tomar
inf
de subconjuntos no-vazios
de racionais positivos. Por ex., o conjunto
A
do Ex. 3, da Se. 1.3, olhado como
um subconjunto dos nmeros reais, tem um nfimo b E IR, em virtude do Postu
lado de Dedekind. Provamos, na Se. 1.3 que b no racional. Eis, pois, um exemplo
de um nmero irracional; esse nmero
designado porV2.- A justificativa para
essa notao jaz no seguinte resultado:
A equao x2 = 2 tem uma e s uma soluo real positiva.
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
20/59
NMEROS REAIS CAPo
Esse um resultado sobre a existncia e unicidade de soluo para uma equao.
A unicidade facilmente provada, supondo que existem duas solues reais positi
vas a e b: a2
=
2 e b2
=
2, o que acarreta a2 b2
=
0, ou seja, (a
b)(a
+
b)
=
O.
Como
a
>
e
b
>
0, temos
a
b
>
0, o que implica
a b
=
0, ou seja,
a
=
b.
A existncia de soluo real positiva para x2
=
2 obtida provando-se que
b = inf A A,
o conjunto do Ex. 3 da S. 1.3) satisfaz equao:
b2 =
2. Basta
mostrar que b2
2 no so verdadeiras. Primeiro suponha que
b2
2 _ b2 Isso mostra que b
-;:;
e uma cota
inferior do conjunto
A;
portanto,
b
no poderia ser o nfimo de
A.
Por outro
lado, suponha que b2
>
2.
fcil de ver, como se fez acima, que se n
E
N for
tomado adequadamente, teremos (b
~
2
>
2. Em virtude do Exerc. 7, exis
te r E Q tal que b
1- O ::::;az
O existe
no
(que pode depender
deM
tal que, para todo
n
2::
no,
temos
ar. < M
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
29/59
7 PROPRIEDADES DO LIMITE
9
Uma sucesso pode divergir sem que seus termos se tornem arbitrariamente
grandes, como, p. ex., a sucesso ii) acima. A divergncia, neste caso, decorre
de que os termos se acumulam junto a dois pontos diferentes, 3 e O.
Seja A
=
{nl < nz < ...} um subconjunto infinito de N. A restrio s iA
de uma sucesso s: N ~ IR s: n an a A chamada uma subsucesso. Portanto,
a subsucesso s IA uma sucesso definida do seguinte modo: a cada
j
E N corres-
ponde s nj =
an
J
EXERCCIOS
Seja
k
um nmero real positivo dado. Prove que uma sucesso
an
con
verge para r se, dado E > O existir no E N tal que lan r I < k para n ;::=: no.
2
Mostre que as sucesses ii) e iv), apesar de no convergirem, contm
subsucesses convergentes. D um exemplo de uma sucesso que no contm
nenhuma subsucesso convergente.
3
Seja
an
uma sucesso convergente. Mostre que qualquer subsucesso
tambm convergente. Alm disso, se o limite de an
r,
o limite de qualquer
subsucesso tambm
r.
4
D exemplo de uma sucesso que contm subsucesses convergentes para
cada
n
E N. Em outras palavras, os termos da sucesso se acumulam em
torno de todos os inteiros positivos.)
5 Calcule o limite da sucesso an cujo termo geral
1 1 1 I
an
= T2
23
34
... n n
1)
6
Mostre que se a sucesso
an
no converge para
r
E
IR, ento existem
o > O e uma subseqncia an tais que I Qn r I ;::: o para todo
j E
N.
7 Propriedades de Limite
Propriedade
Se
an
e
bn
so duas sucesses convergentes, ento a su
cesso
an
bn
convergente, e
lim
an
bn
=
lim
an
lim
bn
Observao. D um exemplo para mostrar que an e bn podem divergir,
mas an + bn converge.
Propriedade 2
Se
an
e
bn
so sucesses convergentes, ento a sucesso
anbn convergente, e
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
30/59
NMEROS RE IS C Po
Obserl ao. Em particular, se (bn) fosse uma sucesso constante, isto , bn =
~~
b para todo n, a Propriedade 2 se reduziria s seguintes asseres: se (a,,)
converg;;ntc, ento
(ban)
convergente, onde
b
um real qualquer; alm disso,
tem-se
lim (ban) = b lim a,: .
Decorre, pois, que lim -
a,,) = -
lim
an
E isso, juntamente com a Proprie
dade I, implica que a diferena
(a bn)
de duas sucesses convergentes conver
gente, e
lim (a
bn) =
lim a lim
b .
Propriedade 3. Se (a,J uma sucesso convergente, ento a sucesso (Ia I
dos valores absolutos tambm convergente, e
lim
Ia
1
=
Ilim
an I
Propriedade Se
(a,,)
uma sucesso convergente tal que
a :;
O para todo
11,
e lim
an:;
O, ento a sucesso
(l/a,,)
convergente, e
lim
(l/a,,) =
1/lim
a .
Propriedade 5. Se (an) uma sucesso convergente tal que an
>
O e lim an =
= O, ento (l/a,,) tende para + 00. Reciprocamente, se (b,,) tende para + 00,
e
bn
>
O para todo
11,
ento a sucesso
(l/b,)
converge para O.
Observao.
Uma propriedade anloga pode ser enunciada com relao a
00.
Pondo as duas asseres em um enunciado nico, teremos: se a < O
para todo
11,
ento lim a
=
O se, e s se, lim l/a,,) = - 00 .
O leitor pode concluir facilmente que no necessrio supor
an >
O
para todo
n
na Propriedade 5 ou
a
O para
n
maior que um certo
no.
Ex.: a sucesso
10, - 3, 10, - 1, I, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge para O, e sua inversa - 1/10,
1/3, 1/10, - 1, 1, 2, 3, 4, ... tende para
00.
Propriedade 6. Se (a,,) e
(bn)
forem duas sucesses convergentes e an
;
bn,
para todo
n,
ento
1im G
;
lim bn
Observao. Do que foi dito acima, a concluso da Propriedade 6 ainda
vlida se G
;
b se verificar somente a partir de um certo no.
Propriedade 7. Se (an) e
(bn)
forem sucesses tais que
Gn
;
bn,
para todo
n
ou para
n
maior que um certo
no),
e
(an)
tender para
00,
ento
(bn)
tambm
tender para 00.
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
31/59
7 PROPRIEDADESDE LIMITE
2
As Propriedades 6 e 7 tm bastante utilidade no clculo explcito de alguns
limites. P. ex., suponhamos que queremos calcular o limite de uma sucesso an),
e que possamos determinar duas outras sucesses
bn)
e
Cn)
que tm o mesmo
limite r, e tais que bn an Cn Ento, pela Propriedade 6, lim a = r. Uma
tal situao ocorre na Se. 1.8. Uma outra situao que requer o uso de nPropriedade
7 tambm l ocorre.
Deixamos ao leitor a tarefa de demonstrar essas duas propriedades. Apenas
para ilustrar o tipo de argumento que usado nessas demonstraes, daremos a
seguir a demonstrao da Propriedade 2. Utilizaremos o seguinte teorema que
tambm importante em outras ocasies.
Teorema 1.3. Seja a.) uma sucesso convergente. Ento, existe k > O tal que
I
an
I ~
k para todo n.
Observao.
Quando um tal
k
existir, dizemos que a sucesso limitada.
Portant, o Teorema 1.3 poderia ser assim enunciado: toda sucesso convergente
limitada . Comparando os conceitos de sucesso limitada e de conjunto limi
tado (cf. Se. 1.3), o leitor ver que uma sucesso limitada se o conjunto {an}
for limitado.
Demonstrao do Teorema1.3.
Seja
r
o limite da sucesso. Ento, dado
E,
digamos
E
=
1, existe
110
tal que
1 an
r
I
1 e escrevemos
3 V= 1 + bn
onde bn > O, e varia para cada
n.
De 3 obtemos
onde usamos a desigualdade 1 acima. Da obtemos
a I
O
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
35/59
1.8
X MPLOS
SUCESSES 25
onde
Cn >
O, e varia com
n.
De 4 e 1 obtemos
a=
1
O,
existe um elemento do conjunto
{an},
digamos
a ,
tal
que a >m~E. Como a seqncia montona no-decrescente, segue-se que
ao > m E para todo n ~ no. Logo, lao - ml
b1] =:> [az, bz] =:> ... =:> [a ,
bn]
=:> . uma sucesso de intervalos fechados, cada um contendo o seguinte. Su
ponha que a sucesso bn
an)
dos comprimentos de tais intervalos tende a
O.
Demonstre que existe um nico ponto c comum a todos esses intervalos.
4. D um exemplo para mostrar que a concluso do exerccio precedente
no se verifica, se os intervalo.s forem abertos. Mostre tambm que se os com
primentos dos intervalos no tenderem a zero, a interseo pode ser vazia; para
tal use intervalos ilimitados.
5. Mostre que a sucesso VI,
vi
2 + V2, ... , V2 + v2 + v 2, ... , con
verge para 2.
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
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-
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1.10
O TEOREM DE BOLZ NQ WEIERSTR SS
29
superior. Como vimos na Se. 1.7 uma sucesso an) limitada se {an} for um
conjunto limitado.
Teorema 1.5. Bolzano-Weierstrass.) Toda sucesso limitada a.) contm uma
subsucesso convergente.
Demonstrao. Definimos um conjunto B de reais do seguinte modo: x
E
B,
se existir no mximo um nmero finito de ndices n tais que On seja maior do que x .
Como o conjunto
{anl
limitado, segue-se que existe k
>
O tal que I
a..
I:S k para todo
n.
Logo, -k uma cota inferior para o conjunto B. Portanto, pelo Postulado de Dedekind, B
tem nfImo; sejam tal nftmo. Agora vamos construir uma subsucesso
(all
de aJ tal que
an. ~ m. O intervalo (m 1,m
+
1 contm termos da sucesso aJ par~uma inftnidade
de}valoresde
n,
pois, de outro modo,
m
1 estaria em
B
e, portanto,
m
no seria o nfimo
de
B;
tome um desses termos de an, digamos alll, ento,
la l
m I
< 1.
O intervalo (m
1/2, m + 1/2) contm termos da sucesso (ali) para uma
infinidade de valores de
n,
o que se prova do mesmo modo que no caso precedente;
seja a , um tal termo e tal que n2
>
nl Observe que
0 2
pode ser igual a an1
.
Ento,
la 2
m
I
nj-l >...>
n2
> nl Deste modo constri-se uma subsucesso
a j)
de
On)
tal que
Onj -+ m,
quando j ---7 cx>, pois
o que completa a demonstrao do teorema.
Seja
an)
uma sucesso e c um nmero real. Dizemos que c um ponto de
acumulao da sucesso an) se, para cada E
>
O dado, existir um nmero infinito
de inteiros
n
tais que
Ia
c I
< E.
fcil de ver que c um ponto de acumulao
da sucesso
(a,,),
se, e somente se, ela contiver uma subsucesso convergindo para c.
O Teorema de Bolzano-Weierstrass pode ser tambm enunciado ,assim: Toda
sucesso limitada tem pelo menos um ponto de acumulao . E claro que tal
ponto pode ser ou no um termo da sucesso.
Exemplos:
i) a sucesso 2,2, ... tem um nico ponto de acumulao: 2;
ii) a sucesso 1, 1/2, 1, 1/3, 1, 1/4, ... tem dois pontos de acumulao: 1 e O;
iii) a sucesso 1, 2, 1; 3, 1, 4, ... tem um ponto de acumulao: 1.
Seja A um subconjunto de
IR.
Um real c um ponto de acumulao do con
junto A se, para cada
E >
O, existir um nmero infinito de y E A tais que Iy
- c I < E.
claro que conjuntos A com um nmero finito de pontos no podem
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
40/59
3
NMEROS RE IS C Po
ter pontos de acumulao. H, por outro lado, conjuntos infinitos que no tm
pontos de acumulao; p. ex., {I, 2, 3, ... }. Entretanto, vale o seguinte resultado.
Proposio 1 1 Todo conjunto infinito limitado A de nmeros reais tem pelo
mcnos um ponto de acumulao.
Demonstrao. Um conjunto A infinito se existir uma aplicao injetiva
de N em A, isto , para cada n E N pode-se fazer corresponder um Xn E A, de
tal modo que Xn 1= Xm para
n
1=
m.
Demonstramos a Proposio 1.1 simplesmente
considerando a sucesso (xn) e aplicando o Teorema de Bolzano-Weierstrass para
concluir que existe um ponto de acumulao c da sucesso (xn). fcil ver que
tal c tambm um. ponto de acumulao de A.
Exemplos:
1) Os pontos de acumulao do conjunto [0,1]
=
{x
E R; O:::;
x :::;
n
so todos os pontos de
[O,
I].
2) Os pontos de acumulao do conjunto {x
E
Ii]:
O
< x < I} so todos
os pontos de
[O,
1].
3) O conjunto {I, 1/2, 1/3, ... } tem um nico ponto de acumulao:
O.
Observao. V-se, pelos exemplos acima, que o conjunto dos pontos de acumulao
de um conjunto dado pode ou no intersecionar o conjunto. Pode inclusive cont
10.
EXERCCIOS
1 D um exemplo para mostrar que uma sucesso an), como no Teorema
de Bolzano-Weierstrass, pode conter mais de uma subsucesso convergente.
2 Sem a hiptese de
(a,,)
ser limitada no se pode concluir que ela contenha
uma subsucesso convergente. D um exemplo. Entretanto, pode-se concluir
que, quando tal coisa no ocorrer, ento existe uma subsucesso tendendo para-oo
ou
Lim sup).
Dada uma sucesso an), define-se o
limite superior
de an)
o
qual se representa por lim sup an) como o nmero real s que goze da seguinte
propriedade: dado
E
>
0, existe apenas um nmero finito de ndices
n
tais que
an > s
E,
e existe um nmero infinito de ndices n tais que an > s
E.
Para
entender bem esse conceito, determine os lim sup de algumas das sucesses exemplificadas
acima. Observe que se a sucesso converge, ento seu limite coincide com o
fim
sup. Mostre que se uma sucesso tem lim sup, ento existe uma subsucesso que
converge para esse lim sup.
4 Um inf). Dada uma sucesso a,,), definimos o limite inferior de a,,)
o qual se representa por
lim in{ Gn),
como sendo o nmero
(j
que goze da seguinte
propriedade: dado E
>
existe apenas um nmero finito de ndices 11 tais que
a < IT E, e existe um nmero infinito de ndices 11 tais que a
O, existir no E N tal que lan aml < E para m, n
>
no.
Demonstrao.
Suponhamos, primeiramente, que
an
seja convergente e
seja r seu limite. Ento, dado E
>
O, existe no tal que lan r
I
no.
Logo, se
nem
so maiores que
no
temos, usando a desigualdade do tringulo:
lan
am
I ::;
lan
r
I
Iam
r
I
< E/2 E/2
=
E
Reciprocamente, suponhamos que a condio do teorema seja satisfeita e pro
v;:mos que an convergente. Devemos, pois, descobrir o limite r. Pela hip-
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
42/59
tese, dado E= 1, existe
110
tal que
NMEROS RE IS C Po
Ia -
ano
I < I, para 11, m 2 110.
Logo,
Ia - a 0 I < I, para
11
2
110.
Da d.::sigualdadc do tringulo segue-se ento:
S~ja agora k o m:lior dos nmeros
lar I, la21, ... , lano-ll,
e seja k o maior dos
dois nmeros, k e
1 + Ia ,; I.
Portanto,
I)
Ia I ;:;. k, para todo 11.
Aplicando o Teorem3 de Bolzano-Weierstrass, segue-se que (a,,) contm uma
subsucesso convergente (a,,), e seja r seu limite. Logo, dado E > O, existe no
E
E N tal que .
(2)
la i r I < E
para I1j
2
11,/. Por outro lado, em virtude da hiptese, temos que, dado
E
> O,
existe 110 E N tal que
Ia
am
I
O, existir
110
que pode depender de
)
tal
que Ian am I < para todos 11, m 2 110. O Teorema 1.6 diz que uma sucesso
(a,,) de nmeros reais convergente se, e s se, ela for de Cauchy. Em virtude deste
fato, que toda sucesso de Cauchy tem um limite, o conjunto dos reais chamado
completo.
A noo de completo, como o leitor v, depende somente das distn
cias cf. Se. 1.5) entre os elementos da sucesso; em vista disso, tal noo pode
ser estudada em outros conjuntos onde se possa medir distncias de pontos.
Esses conjuntos so chamados espaos mtricos; ao leitor interessado recomenda
mos a referncia [18].
ii) Uma sucesso (an) de nmeros racionais denominada uma sucesso
de Cauchy se, dado
> O, existir
110
que pode depender de
)
tal que lan
am 1
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
43/59
2 SRIES NUMRICAS
33
< E para todos n, m ?: no. ( a mesma definio acima, exceto que considera
mos apenas racionais.) Considerando apenas racionais, vemos que existem suces
ses de Cauchy de nmeros racionais que no convergem
para um nmero racional.
Ex.: a sucesso 1, 1,4, 1,41, 1,414, ... que converge (no conjunto dos reais) para
V2.
Em virtude de haver sucesses de Cauchy de racionais que no convergem
para um racional, dizemos que o conjunto dos racionais no completo.
(iii) O conjunto dos reais pode ser construido a partir dos nmeros racionais.
Daremos, a seguir, um esboo do mtodo, cujos detalhes podem ser encontrados
na referncia [6], cf. tambm [18]. A impreciso desse esboo ser perdovel,
se conseguirmos despertar o interesse de algum leitor para estudar a questo mais
a fundo
Considere o conjunto C de todas as sucesses de Cauchy de nmeros racio
nais. (Um elemento de C uma sucesso de nmeros racionais ) Como no
desejamos distinguir entre sucesses que esto perto uma da outra (P' ex.:
( 1+ ~) e (1 - ~) ) , consideramos um novo conjunto C', cujos elementos
so classes ou subconjuntos de C'. (Um elemento de C' um conjunto de sucesses
de Cauchy de racionais ) Nesse conjunto C , define-se operaes de adio e mul
tiplicao e demonstra-se que C' um corpo. Define-se tambm uma ordem em
C', e prova-se que com essa ordem C' um corpo ordenado. Finalmente, de
monstra-se que o corpo ordenado C' satisfaz o Postulado de Dedekind. Esse
corpo C' definido como o corpo dos reais.
EXERCCIOS
1. Seja
a,J
Ull4Huce o coovoegindo pma
a
ER Mo, e que a , cc%50 [ ;; t.
a;
converge tambm para a. Mostre que a recproca falsa.
2. Seja
P,)
uma sucesso de tennos positivos convergindo para p. Mostre que a su-
cesso ( V p ,., Pn
tambm converge para p.
u
2
1)
a
3. Seja an) uma sucesso de termos positivos tais que lim ~
=
p. Mostre
an
lim
~an = p.
Sries Numricas
Nesta seo, trataremos de atribuir um sentido soma infinita
'O
.J an =a - a2 1 ...
n ~
1
onde os termos an so nmeros reais dados. Urna expresso da forma (I) cha
mada uma srie numrica.
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
44/59
NM ROS R IS CAPo 1
mente: seja p um nmero inteiro positivo fixado, ento, a srie
ou diverge) se, e s se, a srie
f an
convergir ou. divergir).
n~p
Associamos sucesso
an
dada acima uma nova sucesso AnJ, chamada
sucesso das reduzidas
ou
das somas parciais,
que assim definida
n
An
=
L:
ai
=
ai
+ +
ano
j~1
Sea sucesso An tiver um limite S, dizemos que a srie 1) converge, e que
sua
soma
S. Se a sucesso
An
no tiver limite, diremos que a srie 1)
diverge.
No caso de convergncia, escrevemos
~
S = L: ano
n=1
~
Exemplo
1.
L: 2-n
A soma parcial
An
igual a 1 - 2-n, cf. Exerc. 2, da
n l
Se. 1.8.
claro que o limite de
An
1. Logo, a srie em pauta converge e suasoma 1.
Exemplo
2.
t
rn, onde
Ir I O,
existir
110
que pode depender de E) t~? que
I
jf; aj
I
< E para todos m 2: n 2:
no.
Deixamos a demonstrao a cargo do leitor e sugerimos o uso do critrio de
Cauchy para convergncia de sucesses, ;e., Teorema 1.6.
.~
Corolrio 1.1.
Se a srie
L: an
convergir, ento
lim an = O.
n =
1
Observao. O Teorema 1.7 mostra que a convergncia ou no de uma srie
no influenciada pelo que se passa em nmero finito de termos. Mais precisa-
00
L:
an
converge
n
=1
E I
3 A .. h ~.
..f-.
1 d D ..
emp o.
sene armomca, ~ -, lverge. e lato, temos
n = 1 n
2n 1 1 1 1 1 1 1
2.: ----:-= - + --1 + ...+ -2
>
-2 + ...+ -2 = -2
=n J n n + n n n
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
45/59
1.12
SRIES NUMRI S
e aplicando o Teorema 1.7, o resultado se segue.
, Exemplo
4. A srie
t
n~
diverge, como decorre do Corolrio 1.1, pois
n~l
n.
, n
. ln
n n n
temos a segUlnte estlmatlva para seu termo gera ;t=T 2 --;; > 1.
Exemplo
5. As sries t 1 e t
n
divergem. V-se que a sucesso das
n=1 n=l
reduzidas tende para cx). Neste caso, a sucesso das reduzidas torna-se
00
ilimitada. A srie
L: -
1) um exemplo de uma srie divergente, cujas re-
n=1
duzidas se mantm limitadas; de fato, a sucesso das reduzidas
-1,
O,
-1,
O,...).
Observao. O Ex. 3 acima mostra que o Corolrio 1.1 fornece apenas uma
condio necessria para a convergncia de uma srie. Em outras palavras, a
srie t an pode divergir e, apesar disso, pode-se ter lim Qn = O. Entretanto,
n=1
se os termos an alternarem de sinal, ento a condio lim an
=
O quase sufi-
ciente para a convergncia da srie. Mais precisamente, temos o seguinte resul
tado, que conhecido como o Teste de Leibnitz.
Teorema 1.8.
Sries alternadas.) Seja a,,) uma sucesso de nmeros reais
no-negativos, tais que ai ~ a2
~
ao ~ .. e lim a
=
O. Ento a srie aI
Qz Q3 - Q4 ... converge.
Demonstrao. Primeiramente, observamos que as reduzidas de ordem par formam
uma sucesso no-decrescente. De fato,
onde as expresses em cada parntese so no-negativas.
Analogamente, a sucesso das reduzidas de ordem mpar no-crescente:
onde as expresses em cada parntese so no-negativas. A seguir, observamos
que a sucesso
(S2n)
limitada superiormente, pois
S2n:::::;
S2n 1 :::::;SI, e da SI
uma cota superior para essa sucesso. Do mesmo modo, a sucesso (S2n+l)
limitada inferiormente, visto queS2n 1 ~ S2n+2
~
S2, e da S2 uma cota inferior
para a sucesso das reduzidas de ordem mpar. Aplicando o Teorema 1.4, con
clumos que existem nmeros reais
r
e
s
tais que
lim
S2n
= r e lim S2n l = s.
Como lim S2n l
=
lim S2n lim a2n+I, e an
~
O, segue-se que r
=
s, o que
demonstra o teorema.
Uma srie
t
an majorada por uma srie de termos positivos
t
bn, se
n=1 n=l
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
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-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
47/59
2 SRIES NUMRICAS
2) pode ser escrita na forma
a qual um: .majorante da srie
t
an, segue-se que esta tambm converge.
n=l
ro
ii) Reciprocamente, suponhamos que L: an convirja. Como a srie
a2
+
n=1
2a4
4as
... pode ser escrita na forma
a2
a4
a4
as
as
as
as
...
a qual tem como majorante a srie
t
an,
segue-se que a primeira srie tambm
n=2
converge e, conseqentemente, a srie 2) convergente, como queramos provar.
Exemplo
7. A srie t n-P converge, se
p>
1. Basta aplicar o Teorema 1.11
n l CD m
e observar que, neste caso, a srie 2) L: 2i 21 -V = L: 2V-1 -; = 1/ 21)--1 - 1).
i-o
j-O
Exemplo
8. Veja Exercs. 14, 15 e 16 da Se. 6.2.
Apresentaremos, a seguir, dois testes para a convergncia absoluta de sries
numricas.
Teorema 1 12
Teste da razo ou teste de D Alembert.} Consideremos uma
srie
t
an
e suponhamos que
lim
I
an+ 1
I
exista. Seja
I
tal limite. Ento:
= l
n co
an
i)
a srie converge absolutamente se
I < 1; ii)
a srie diverge se I
> 1; iii) o
leste inconcludente se
I
=
1.
Demonstrao.
i) Do fato que
I
= lim \
a:: 1
I segue-se que existe
no
tal que
3)
I an+ 1 I
>
;; ;
b,
para n no,
onde
b
qualquer real tal que I
< b
1, segue-se que existe no tal que, para n
~
no, tem-se
1~1>1
,.
Logo la -I11 ~ Ia
I.
para n no. Portanto. a,.) no pode convergir para O.
Logo. pelo Corolrio 1.1, a srie
t
a deve divergir .
-I
i) Para as sries
t
n-1 e
t
,.2, temos
I
= 1.
-I ,,-1
Por outro lado, a primeira srie diverge, enquanto a segunda converge.
Teorema 1.13. Teste da raiz ou Teste de Cauchy.) Considere a srie
t
a
n=1
e suponha que lim
-vr;;:T
exista. Seja 1 esse limite. Ento: i) a srie converge
absolutamente se 1
1; iii) o teste inconcludente
se
1
=
1.
Demonstrao. i) Pela definio de limite, segue-se que existe no tal que,
para n
~
no, temos
4)
-\ 'fa:T ~ b,
onde b qualquer real, 1< b < 1. De 4), obtemos
A desigualdade acima mostra que a srie t
Ia I
majorada pela srie geo
mtrica t b . Como b < 1, segue-se, pelo nT~orema 1.9, que a srie :t
Ia I
n= =
converge.
ii) Se I > 1, conclumos que existe
no
tal que, para n ~ no, temos ~ ~
?::
1. Dai
lan
I ?::
1, para
n?:: no
e, portanto, a sucesso
an)
no tende a O. Pelo
00
Corolrio 1.1, conclumos que a srie L: an diverge.
n
iii)
fcil ver, usando um resultado da Se. 1.8, que I= I para as sries L:
n-1
ro
n
e L:
n-2
A primeira srie diverge, enquanto a segunda converge.
n=
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
49/59
1.12 SRIES NUMRICAS
Observao.
Os dois testes acima estabelecem de fato condies suficientes para
a convergncia de uma srie. A informao que nos d sobre divergncia pode ser
conseguida mais diretamente, verificando-se que o termo geral da srie no tende
a zero.
EXERClcIOS
1. Use o Teorema 1.4 para provar o seguinte resultado: Uma srie de ter
mos no-negativos convergente se, e s se, as reduzidas formarem uma sucesso
limitada.
2. Prove que
1
L:
---=1.
n=l
n n
+
1)
3. Use o exerccio anterior e prove que
. 1
1
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
50/59
40
NM ROS R IS CAPo 1
10. Teste da razo em uma forma mais forte,)
Considere a srie t an,
n=1
, L I
I
an+1
I
1 ] f
I
an+1 I
sejam
=
1msup ---a:: e
=
1m10
-----o:- .
Mostre que (i) se
L
1 a srie diverge,
(iii) se I
1 ~ L o teste inconcludente.
11. Teste da raiz em umaforma maisforte,)
Considere a srie L:
a
e seja
n~ n=1
==
1imsup V I
an
I, Mostre que (i) se
L
1 a srie diverge, (iii) se L
=
1 o teste inconcludente.
12. Seja t an uma srie de termos positivos. Mostre que
n=1
1 f an+l
-
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-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
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(2)
00
L:
n=i+1
NMEROSRE IS C Po
logo, em (2) s6 temos igualdades e da se segue que bJ = aJ + 1, Qn = 9 e bn
=
O
para
n 2': j + 1.
Se definirmos
[D*
como o subconjunto de
[D
formado por decimais que no
tm todos os elementos iguais a 9, a partir de uma certa ordem, ento a funo
f
definida acima, restrita a [D*
injetiva.
Mostramos agora que f sobre [0,1) e,
portanto, temos a correspondncia biunvoca
[D* ~
[0,1)
.al a2
L:
1 n
=l
9 [.
+1)
eja, pois, r
E
[0,1). Consideremos a decomposio [0,1) =
j :lo
to
e, portanto, r pertence a um, e s um, desses subintervalos: r E lt = [ ~~' aII~ 1) .
[aI aI
+
1)
9
[aI
j aI j +
1 )
segUIr, consIderemos 10 -W = j~ 10 + 102' 10 + -wz e se-
. [ aI a2 aI a2 + 1) .
eclOnemos a2 tal que r E 12= 10 + 102-' 10 +102 . E assIm por di-
ante. Pelo Teorema dos Intervalos Encaixantes, n 1 consiste em um nico
n=l
ponto;
I
designa o intervalo fechado que tem as mesmas extremidades que 1n
00
Como n 1 :1 r, segue-se que a sucesso formada pelas extremidades esquerdas
n=l
dos
1n
converge p~ra
r
e, portanto,
r = 1 l~n,
e a decimal que se toma para
corresponder a
r
e
.aI a2
Uma
dzima peri6dica
uma decimal na qual, aps um nmero finito de termos,
aparece um bloco de termos (chamado o perodo) e a partir da a decimal
constituda pela repetio sucessiva desse bloco. De modo mais rigoroso, podemos
proceder assim. Uma decimal
uma funo
f:
N ->
{O,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Uma decimal peridica se existirem m e n tais que, para todo k
>
m, temos
f(k)
=
f(k
+
n).
Exemplos:
(i)
.777...
=
.7
(ii)
.01333~.
=
.013
(iii) .235747474 = .23574
(iv) .2394394394 = .2394,
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
53/59
3 REPRESENTAODECIMAL
43
onde o perodo formado pelos termos que tm um ponto sobre eles. As dzimas
peridicas representam nmeros racionais que podem ser calculados assim. Ve
jamos o Ex. iii):
onde se reconhece que, a partir do segundo termo, temos uma srie geomtrica.
Portanto,
. . 235 74 1
.23574
=
103
103 102 _ 1
isto ,
3)
ou, finalm~nte:
.. 23574 - 235
.23574 = 99000
. . 23339
.23574
=
99000
o
que acabamos de fazer para o exemplo acima vlido em geral.
Teorema 4 Transformao de dzimas peridicas em fraes ordinrias.
A dzima peridica
.al az ...
am b1
bn
um
nmero racional que pode ser escrito
como
4)
alamb1 bn
-
al .. am
9 9 0 0
onde o denominador da frao um nmero com n noves e m zeros.
Deixamos ao leitor a demonstrao deste teorema, a qual feita do mesmo
modo como operamos no exemplo acima.
Observao. Uma dzima peridica simples, se ela for constituda apenas
da parte peridica. Nos exemplos acima apenas a i) uma dzima peridica sim-
ples. Outro exe~plo ~eria
:s3i.
Conclui-se do Teorema
1.14
que a dzima pe
ridica simples
1
n
igual a
b1bn
9 ... 9
onde o de~ominador um nmero constitudo de n noves. Toda dizima peridica
que no for simples chamada composta.
Da observao acima e do Teorema 1.14, decorre o seguinte:
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
54/59
44
NMEROS REAIS CAPo
(I) toda dzima peridica simples igual a uma frao irredutvel cujo de
nominador no divisvel nem por 2 nem por 5;
(lI) uma dzima peridica composta com
m
termos na parte no-peridica
igual a uma frao irredutvel cujo denominador
divisvel por
2m
ou
5m,
mas
no por potncias mais elevadas de 2 ou 5.
Para provar (lI) basta observar que o numerador de (4) no divisvel simul
taneamente por 2 e por 5, pois isso implicaria que ele fosse divisvel por 10. E
isso acarretaria bn = am Mas, ento, am no pertenceria parte no-peridica
da dzima, pois a parte peridica seria amb1 ... bn-1.
As recprocas de (I) e (lI) so verdadeiras.
1 ) Uma frao irredutvel
p/q
E
[0,1),
cujo denominador
q
no seja divisvel
nem por 2 nem por 5, igual a uma dzima peridica simples.
(lI ) Uma frao irredutvel p/q E [0,1), cujo denominador seja divisvel por
uma potncia de
2
ou de 5 sejam 2ml e 5m2, e seja m = max (mI, m2) >
O),
uma
dzima peridica com m termos na parte no-peridica.
Demonstrao de (1 ).
Por hiptese, mdc
q,
10)
=
i.e., o mximo divisor
comum de q e 10
1, ou ainda, q e 10 so primos entre si. Os possveis restos das
divises das potncias inteiras positivas de 10 por q so em nmero (no mximo)
de
q.
Logo, existem nI
> n2
tais que
(5)
(6)
IOnl =
aIq + r
10 2
=
a2q
+
r
onde a > a2 e r so inteiros no-negativos. Por um lado, temos
(7)
e, por outro lado, segue-se de (5) e (6) que
(8)
Portanto, q deve dividir 10 - 1, uma vez que mdc(q, 10 2) = 1. Isto , existe
b E N tal que
n
1
= bq
Da se segue que
1 b b b
q = 10-;
+
102
+
103
+ ...
e, portanto, p/q uma dzima peridica simples cujo perodo tem n termos e cons
titudo dos algarismos do nmero bp acrescidos por zero esquerda, se necessrio,
para completar os
n
dgitos.
Demonstrao de lI ). Temos, por hiptese, que
q =
2m15~b, onde
mde (b, 10)
=
1. Logo,
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
55/59
4 CONJUNTOS ENUMERVEIS 45
9)
10m
L
= a
+
.E.L,
q ql
onde a E N e
Pl/ql
E [0,1), com mdc
ql>
10)
=
1. Aplicamos agora o resul
tado I) frao
Ptlql>
que ento se expressa como uma dzima peridica simples.
Logo, se segue de 9) o resultado procurado.
Exemplos de aplicao. 1) A decimal .101001000100001 ... , onde o nmero
de zeros entre os I s vai aumentando, um nmero irracional.
2) a decimal seguinte representa um nmero irracional:
.11101010001010 ... ,
onde o termo de ordem n 1, se n for primo, e zero em caso contrrio. De fato,
a. decimal no termina. pois a sucesso dos nmeros primos infinita. Alm disso,
essa decimal no pode ser uma dizima peridica, porque isso implicaria que existis
sem
me
p inteiros positivos tais que
m em +
kp, para todo k E N, fossem nme
ros primos. Mas isso no possvel, bastando tomar
k = m.
4 Conjuntos Enumerveis
Um conjunto
A
enumervel,
se for possvel definir uma funo bijetiva
j: N
.>A.
Exemplos. 1) O conjunto dos nmeros pares {2,4, 6, ... } enumervel;
basta tomar f n = 2n, n E N.
2) O conjunto l dos inteiros { ... , - 2, - 1, O, 1, 2, ... } enumervel;
basta tomar fel = O, f 2n = n e f 2n
+
1) = - n.
3) Um subconjunto qualquer de N finito ou enumervel. A funo
f
nesse
caso a ordem natural em N. A rigor, a possibilidade de definir tal funo de
corre do chamado Princpio da Boa Ordenao dos Inteiros. Ver [16]
4) Usando o exemplo anterior temos: seja B um subconjunto de um con
junto enumervel, ento
B
finito ou enumervel.
5) O conjunto 0+ dos racionais positivos enumervel. Demonstraremos
que o conjunto F de todos os
p/q, p, q
E N
enumervel. Como 0+ C F e
Q~no finito segue-se de 4) que 0+
enumervel. Para ver se F
enumervel,
basta olhar a tabela
1
1 1
,--> 2
3 .....4
.....,6..
,/
/
/
/
2
2
I
2356
~
/
,/
/
/
3
3
I
2
3
46
,/
/
/
/
4
4
4
I
23
t
/
,/
/
5
5
I
235
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
56/59
46
NMEROS RE IS C Po
Seguindo-se as setas obtm-se uma ordenao do conjunto F; e a funof: N -? F
neste caso ser assim definida: f n = n-simo elemento de F.
Observaes. 1 A unio de um conjunto finito A com um conjunto enu
merve1 B enumervel. De fato sejam
ento A U B enumervel pois podemos definir f: N -? A U B como se segue
1 an,
f n =
bn_p,
se
se
l n p
p
1::::;
n.
2 A unio de dois conjuntos enumerveis enumerveI. De fato sejam
A
=
{aI> a2
e B
=
{b1, b2,
os dois conjuntos enumerveis. Ento
A
U
B
enumervel porque podemos
definir f: N -? A U B como se segue
p se
n=2p
f n
=
bp
se
n
=
2p
1
Das observaes 1 e 2 e do fato que
Q
enumervel segue-se:
Teorema 5 O conjunto Q dos nmeros racionais enumervel.
A seguir provamos o resultado.
Teorema 6 O conjunto IR dos nmeros racionais
enumervel.
Demonstrao Mtodo diagonal de Cantor . Basta provar que o conjunto
dos reais em [0 1 no enumervel. Suponhamos por contradio que fosse.
Ento usando as representaes decimais de UJ*, cf. Se. 1.13 poderamos escrever
todos os reais de [0 1 em uma tabela assim
Agora construamos o seguinte real
b1 b2 b3
onde
b}
um algarismo diferente de ai} e de 9. Obviamente esse real no figura
na tabela acima e da o absurdo.
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
57/59
: CONJUNTOS ENUMERVEIS
EXERCCIOS
Considere uma coleo enumervel de conjuntos finitos
A1
Az
Mos-
tre que a unio U
An
tambm enumervel.
n
Sugesto~
Ver a tabela do Ex. 5.
2 Considere uma coleo enumervel de conjuntos eilumerveis: An
= {an1 an an } para
n =
1 2 3 .... Mostre que U An enumervel.
2 3 n=l
Sugesto
Ver a tabela do Ex. 5.
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
58/59
-
8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1
59/59
: CONJUNTOS ENUMERVEIS
EXERCCIOS
Considere uma coleo enumervel de conjuntos finitos
AI
A2
Mos-
tre que a unio U n tambm enumervel
n
Sugesto~ Ver a tabela do Ex 5
2 Considere uma coleo enumervel de conjuntos enumerveis:
n
Mostre que U
n
enumervel
n
Sugesto. Ver a tabela do Ex 5