Download - Análise Modal em uma viga bi-apoiada
Universidade Federal de Santa Catarina
Análise Modal Experimental
Relatório do Experimento 1
Aluno:Giovanni Bratti, Eng.
Professor:Roberto Jordan, Dr.Eng.
1 de setembro de 2010
1. INTRODUÇÃO
1 Introdução
O relatório a seguir apresenta um experimento realizado numa vigabi-apoiada, na qual foi realizada uma análise modal experimental. Estetipo de experimento é comumente utilizado para a obtenção de parâmetrosmodais de estruturas, tais como autovetores “formas modais”, frequênciasnaturais “autovalores” e fatores de amortecimento, para serem então utili-zados em programas computacionais de engenharia, tais como ElementosFinitos, e permitir que projetos confiáveis de estruturas possam ser reali-zados.
A estrutura experimentada foi excitada por um martelo de impactação,e com um transdutor de captação de respostas (acelerômetro), sinais deresposta da estrutura foram lidos por um sistema de aquisição de sinais, efunções resposta em frequência foram medidas. Um programa computaci-onal realizou uma técnica de análise, no qual, através das curvas medidas,foram obtidos os parâmetros modais da estrutura.
Os resultados obtidos experimentalmente foram comparados com osresultados obtidos a partir de um desenvolvimento analítico apresentadona Seção 2, onde então uma validação da análise foi realizada.
2 Formulação Analítica
Para obter a formulação analítica do experimento realizado, que tinhacomo estrutura física uma viga bi-apoiada, considerou-se um modelo idea-lizado conforme indicado na Fig. 1 e suas propriedades constantes.
A partir do Método de Sistemas Contínuos, da teoria de vibrações[1],tem-se que a equação diferencial parcial que descreve o movimento da viga
1
2. FORMULAÇÃO ANALÍTICA
Figura 1: Modelo idealizado do experimento com a viga bi-apoiada.
em flexão (equação da onda) é dada por
∂4v(x, t)∂x4 = 1
a4∂2v(x, t)∂t2
(1)
sendo :
a4 : Rigidez de flexão por massa por unidade de comprimento, dadapor a4 = EI/m;
E : Módulo de elasticidade do material;
I : Momento de inércia de área, dado por I = bh3/12;
2
2. FORMULAÇÃO ANALÍTICA
v(x, t) : Deslocamento transversal de um ponto x da viga no instante t.
Tendo em vista que a Eq. (1) é de quarta ordem, verifica-se a necessidadede quatro condições de contorno espaciais para a solução de v(x, t), ondeneste caso são dadas por
v(0, t) = 0
M(0, t) = EIvxx(0, t) = 0 (2)
v(L, t) = 0
M(L, t) = EIvxx(L, t) = 0
Aplicando o método da separação de variáveis através de
v(x, t) = X(x)T (t) (3)
a equação da onda resulta em
−X(IV )T = 1a4XT
′′ (4)
ouX(IV )
X= − 1
a4T ′′
T= λ (5)
Usando a mesma separação de variáveis, as condições de contorno dadasna Eq. (2) nos fornecem
v(0, t) = X(0)T (t) = 0 logo==⇒ X(0) = 0
M(0) =EIX ′′(0)T (t) = 0 logo==⇒ X ′′(0) = 0 (6)
v(L, t) = X(L)T (t) = 0 logo==⇒ X(L) = 0
M(L) =EIX ′′(L)T (t) = 0 logo==⇒ X ′′(L)= 0.
Analisando a Eq. (5), podemos solucionar a equação diferencial ordiná-
3
2. FORMULAÇÃO ANALÍTICA
ria na seguinte formaX(IV ) − λX(x) = 0, (7)
mais as condições de contorno dadas na Eq. (6), em x = 0 e x = L.
Este problema só admite soluções triviais(nulas) para λ ≤ 0. Portanto,para λ > 0, tem-se a proposta de solução
X(x) = C1 cosh( 4√λx) +C2 senh( 4
√λx) +C3 cos( 4
√λx) +C4sen( 4
√λx), (8)
em que a segunda derivada é dada por
X ′′(x) =C1√λ cosh( 4
√λx) + C2
√λ senh( 4
√λx)
− C3√λ cos( 4
√λx)− C4
√λsen( 4
√λx). (9)
Aplicando, respectivamente, a primeira e a segunda condição de con-torno da Eq. (6), tem-se
X(0) = 0 =⇒ C1 + C3 = 0, (10)
X ′′(0) = 0 =⇒ C1√λ− C3
√λ= 0. (11)
Este sistema e C1 e C3 só fornece valores não nulos para estas constantesse√λ = 0, o que implicaria em uma solução trivial para o problema,
portanto não desejada. Em consequência, tem-se C1 = C3 = 0. Portantoa solução fica na forma
X(x) = C2 senh( 4√λx) + C4sen( 4
√λx). (12)
Aplicando agora a terceira e a quarta condição de contorno da Eq. (6),respectivamente, tem-se
X(L) = 0 =⇒ C2 senh( 4√λL) + C4sen( 4
√λL) = 0, (13)
X ′′(L) = 0 =⇒ C2√λ senh( 4
√λL)− C4
√λsen( 4
√λL)= 0. (14)
4
2. FORMULAÇÃO ANALÍTICA
Este sistema em C2 e C4 só vai possuir uma solução não trivial (sendoque esta significaria C2 = C4 = 0, ou seja, solução nula) se os coeficientesde C2 e C4 formarem uma matriz singular, ou seja, com determinante nulo.Esta última condição nos leva à equação
− 2√λ senh ( 4
√λL)sen( 4
√λL) = 0. (15)
Fazendo√λ = 0 ou senh ( 4
√λL) = 0 ter-se-ia a mesma solução, já
descartada, λ = 0. Assim sendo, resta apenas considerar sen( 4√λL) = 0, o
que fornece4√λnL = nπ , n = 1, 2, 3, ... (16)
ou entãoλn = n4π4
L4 , n = 1, 2, 3, ... (17)
Com sen( 4√λL) = 0, voltando para as Eq. (13) e Eq. (14), obtém-se
C2 = 0. Portanto, as autofunções ficam simplesmente na forma
Xn(x) = sen(nπx
L
), n = 1, 2, 3, ... (18)
Na solução de T (t) deve-se buscar a equação T ′′+λa4T = 0 a partir daEq. (5), sendo que substituindo-se o valor de λ tem-se
T ′′(t) + n4π4a4
L4 T (t) = 0, (19)
cuja solução fornece
Tn(t) = D1n cosn2π2a2
L2 t
+D2nsenn2π2a2
L2 t
. (20)
Assim, a autofuncao de x e de t, ligada a cada autovalor λn, é dada por
vn(x, t) = sen(nπx
L
) D1n cosn2π2a2
L2 t
+D2nsenn2π2a2
L2 t
. (21)
5
3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
Finalmente, tem-se a solução final admitindo a série
v(x, t) =∞∑n=1
vn(x, t), (22)
em que os valores de D1n e de D2n são obtidos em função das distribuiçõesiniciais e de deslocamento transversal de velocidade transversal dos pontosda viga(condições iniciais).
Do desenvolvimento acima percebe-se que existem várias formas da vigavibrar livremente, que são as formas dos modos de vibração, dadas pelasfunções Xn(x), apresentadas na Eq. (18). A cada uma destas formas existeuma frequência natural de vibração, ωn, que é o multiplicador da variávelt nas Eq. (20) e Eq. (21), ou seja, a frequência natural é dada por:
ωn = n2π2a2
L2 (23)
Na Seção 4 são apresentados os resultados obtidos experimentalmentecom os obtidos através dos cálculos das formulações analíticas aqui de-senvolvidas, usando para isso as propriedades da estrutura medida, quesão: L = 0.800mm, b = 0.056mm, h = 0.005mm, E = 210GPa (Aço) eρ = 7800kg/m3.
3 Descrição do Experimento
O experimento teve por objetivo realizar uma análise modal experi-mental de uma viga bi-apoiada ilustrada pela Fig. 2, obtendo com isso, nafaixa de frequência de 0 a 512Hz, os modos de vibração e suas respectivasfrequências naturais.
Para isso, foram utilizados os seguintes equipamentos de medição/programa:
• 1 Acelerômetro PCB-Piezotronics
6
3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
Figura 2: Ilustração da viga experimentada.
Modelo:352A21Série:86995Sensibilidade:0.942 mV/ms−2. Para mais detalhes, ver Anexo A.
• 1 Martelo de Impactos PCB-PiezotronicsModelo:086c05Série:19347Sensibilidade:0.23 mV/N. Para mais detalhes, ver Anexo B.
• 1 Cabo de medição com conector BNC-UNF 10-32 (Para o acelerôme-tro).
• 1 cabo de medição com conector BNC-BNC (Para o martelo).
• 1 Analisador de Sinais LMS ScadasPrograma: LMS Test.Lab versão 8AMódulos: Impact Testing e Modal Analysis.
• 1 Microcomputador Intel Dual-Core com 2GB de memória RAM.
7
3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
A cadeia de instrumentos e aparelhos utilizados é ilustrada na Fig. 3,onde observa-se que a viga possui condições de contorno bi-apoiado próxi-mas das extremidades, e observa-se também que no meio da viga possuemduas pequenas chapas transversais à viga que não são levadas em conside-ração na análise modal.
Figura 3: Cadeia de instrumentos e aparelhos.
Antes de iniciar a aquisição dos sinais, foram realizados alguns ajustesnas configurações do módulo Impact Testing do programa LMS Scadas.Abaixo é destacado alguns dos principais ajustes:
• Nomeação do arquivo (projeto), AME_viga_25082010;
• Associação dos canais com os transdutores a serem utilizados (Trans-dutor de força do Martelo de impacto no canal de entrada 1 e acelerô-metro no canal de entrada 2);
• Ajuste das sensibilidades dos transdutores;
8
3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
• Ajuste da direção dos sinais/tipo de transdutor (-z para a força; -zpara acelerômetro; ambos do tipo ICP);
• Ajuste do ganho (range dinâmico) para permitir que a faixa dinâmicautilizada pelo sistema de aquisição seja distribuída de acordo com aintensidade do sinal medido;
• Ajuste dos parâmetros de aquisição:
– Faixa de frequência de 0 até 512 Hz;
– Número de linhas espectrais de 2048 linhas;
– Resolução na frequência de 0, 25 Hz;
– Tempo de aquisição de 4s;
– Trigger com o sinal do martelo com um nível de ≈7mV em slope-up e um pré-trigger de ≈0,01s;
– Janela force (também chamada transiente) para o sinal da força,com um cutoff de 4,5% (percentual do sinal que é captado pelajanela);
– Janela exponencial para o sinal de aceleração, com um decaimentode 10%;
– Número de amostras para a média igual a 3 de medições porponto;
• Ajuste para que a função resposta em frequência (inertância) instan-tânea, função resposta em frequência média, coerência e a o sinal notempo para a força e aceleração fossem visualizados, e que a funçãoresposta em frequência média fosse salvas;
Nas Fig. 4 e Fig. 5 são mostrados alguns dos parâmetros acima citadosque foram configurados no módulo Impact Testing do TEST. LAB.
9
3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
Figura 4: Ajustes do parâmetros dos canais no TEST.LAB.
Figura 5: Parâmetros configurados no TEST.LAB.
Para medir os pontos de resposta e excitação, a viga foi dividida em 34pontos, identificados na Fig. 6 junto com suas cotas, onde foi excitada emdiferentes pontos através do martelo de impacto, e a resposta foi obtidaatravés do acelerômetro num ponto fixo da estrutura (ponto 3), afastadode 0,1m do apoio da esquerda, ponto este escolhido estrategicamente para
10
3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
fugir das primeiras linhas nodais.
Como pode ser visto na Fig. 6, os pontos de medição estão distribuídosem duas linhas ao longo da viga, cuja finalidade foi de tentar captar osmodos de flexão e alguns modos de torção.
Figura 6: Ilustração dos pontos medidos e suas coordenadas, e as dimensões da viga emmetro, cuja espessura é de 0,005m.
Devido a viga ter condição de contorno bi-apoiada, como pode ser ob-servado na Fig. 6, os pontos 1,18,17 e 34 não foram excitados por serempontos de deslocamento nulo. Assim, todos os demais pontos foram impac-tados, onde para cada impactação, foi medida a resposta no acelerômetrofixado no ponto 31. Desta maneira, foram obtidas 30 funções resposta emfrequência.
Após serem feitos os ajustes no módulo Impact Testing, realizou-se umaverificação do sinal de força com relação ao tipo de ponteira do martelo.Segundo Jordan[2], o nível de densidade espectral de potência (PSD) daforça não deve cair mais que 10dB na faixa de frequência de interessecom relação ao valor inicial. Assim, utilizando uma ponteira de borracha,constatou-se que a PSD da força num nível de 10dB abaixo do valor inicial(f = 0Hz), a frequência era de 200Hz, o que era inapropriado para a faixade interesse (512Hz). Utilizando uma ponteira de Nylon, verificou-se quena frequência de 512Hz a queda era menor que 10dB (Fig. 7), o qual estavade acordo com o indicado.
1Os pontos que foram impactados estavam localizados na parte superior da viga, já o ponto de respostana parte inferior da viga.
11
3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
Figura 7: Autospectrum do sinal de força.
Feitas estas etapas, uma geometria simplificada da estrutura em aná-lise foi construída no programa (Fig. 8), conforme os pontos ilustrados naFig. 6, e posteriormente os dados medidos foram associados à esses pontospara construção das formas modais.
Figura 8: Modelo simplificado da estrutura em análise.
Terminada a etapa de ajustes e verificação dos sinais/funções, foramrealizadas as medições das inertâncias, onde é ilustrado uma etapa da me-dição na Fig. 9.
12
3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
Figura 9: Tela de visualização das FRFs, fase, autospectrum, coerência e sinais no tempo.
Com todos os 30 pontos medidos (2-16, 19-33), através do módulo Mo-dal Analysis, foi realizada a análise das formas modais e as respectivasfrequências naturais. Para realizar esta análise, o programa carregou to-das as FRFs medidas, fazendo uma espécie de soma das curvas. Assim,foram geradas equações em que o programa comparou com as curvas me-didas quais eram as possíveis soluções. Num processo iterativo, as soluçõesforam se repetindo e a estimativa do erro foi caindo, e então o programaindicou que a solução correspondeu a um possível modo real de vibraçãoda estrutura. Estes prováveis modos de vibração são indicados por um"s", conforme pode ser visualizado na curva de estabilização ilustrado naFig. 10.a e na curva de indicação de modos (Fig. 10.b) que acontece quandoa queda da curva em azul coincide com o pico da curva em vermelho.
Analisando a Fig. 10.a, verifica-se que o programa indica com "s"algunspontos que não coincidem com os picos da curva soma (curva vermelha),indicando que estes pontos correspondem aos modos computacionais, que
13
3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
Figura 10: (a)Curva de Estabilização (de 0-200Hz). (b)Curva de indicação de Modos.
são caracterizados por elevados fatores de amortecimento e baixas constan-tes modais. Então, para determinar quais são os modos reais de vibraçãoda estrutura, cabe ao operador clicar sob os "s"que coincidem com os pi-cos da curva soma para que assim sejam extraídos os parâmetros modais
14
4. ANÁLISE DOS RESULTADOS
da viga. Depois de todo este processamento, pôde-se então gerar a curvamodal synthesis, curva azul apresentada na Fig. 11.
Figura 11: Curva de Síntese Modal.
4 Análise dos Resultados
Através da formulação analítica apresentada na Seção 2, utilizando oprograma computacional MATLAB, as formas modais e as respectivasfrequências naturais foram calculadas para os cinco primeiros modos deflexão, utilizando para isso, as propriedades da estrutura2.
As comparações dos valores das frequências naturais calculadas pelométodo analítico com as obtidas experimentalmente, são apresentadas naTabela 1 e suas formas modais na Fig. 12.
Como foram medidas duas linhas de pontos, tornou-se possível a ob-tenção experimental de dois modos de torção, onde as frequências naturais
2Um detalhe que deve ser notado é que na estrutura física existiam duas chapas transversais próximasao meio da viga(Fig. 2), as quais não foram levadas em consideração na formulação analítica.
15
4. ANÁLISE DOS RESULTADOS
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
−1
−0.5
0
0.5
1
Comprimento
Des
loca
men
to T
rans
vers
al
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
−1
−0.5
0
0.5
1
Comprimento
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loca
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rans
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
−1
−0.5
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Comprimento
Des
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vers
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
−1
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0
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Comprimento
Des
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men
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vers
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
−1
−0.5
0
0.5
1
Comprimento
Des
loca
men
to T
rans
vers
al
Figura 12: Cinco primeiros modos de vibração de flexão da viga. (a)Analítico (curva emazul). (b)Experimental (superfície em marrom).
são apresentados na Tabela 2 e as formas modais na Fig. 13 e Fig. 14.
Verificando a Fig. 10, observa-se que nas frequências de ≈ 121 e 126Hz
16
4. ANÁLISE DOS RESULTADOS
Tabela 1: Comparação dos valores de frequências naturais de flexão obtidas.
Modo fn Analítico [Hz] fn Experimental [Hz] Erro [%]1 18,38 17,78 -3,272 73,53 69,32 -5,723 165,43 155,12 -6,234 294,10 264,17 -10,185 459,54 413,45 -10,03
Tabela 2: Comparação dos valores de frequências naturais de torção obtidas.
Modo fn Experimental [Hz]1 220,002 335,14
Figura 13: Primeira forma modal de torção.
Figura 14: Segunda forma modal de torção.
existem dois indicativos de modos. Segundo o Prof. Jordan, esses doisvalores são referentes ao primeiro modo de flexão de cada chapa transversalà viga.
Pode-se observar na Tabela 1 e na Fig. 15 que o erro percentual cresce
17
4. ANÁLISE DOS RESULTADOS
“em módulo” até o quarto modo.
1 2 3 4 52
4
6
8
10
12
Modo
|Err
o| [%
]
Figura 15: Erro percentual entre a frequência natural analítica com a experimental.
O erro percentual apresentado na Fig. 15, pode estar relacionado coma diferença que existe entre o modelo real e o analítico. Como comentadoanteriormente, existem duas chapas acopladas no centro da viga, ilustradasna Fig. 16a, que não foi levada em consideração nos cálculos analíticos, eoutro detalhe que deve ser verificado é que, a viga real está apoiada comapoios distanciados de 0.800m, porém, além desse apoios, a viga possuium comprimento excedente, como pode ser observado na Fig. 16b. Essesdois detalhes podem ser os principais responsáveis pela discrepância dosresultados obtidos, onde, devido à adição de massa, os valores de frequêncianaturais se tornam mais baixos. Uma pequena fração de massa adicionadaà estrutura também está associada com a massa do acelerômetro fixado à
18
4. ANÁLISE DOS RESULTADOS
viga. a Fig. 17 apresenta um fotografia do experimento realizado.
(a) Detalhe das chapas acopladas à viga.
(b) Detalhe do comprimento excedente à viga.
Figura 16: Detalhes que não são considerados no modelo analítico.
19
5. CONCLUSÕES
Figura 17: Fotografia do experimento realizado.
5 Conclusões
Através das comparações realizadas na Seção 4, pode-se verificar a va-lidade do modelo analítico, que representou bem as formas modais e asrespectivas frequências naturais da viga bi-apoiada. Pode-se observar queos valores das frequências naturais experimentais tiveram valores menoresque os valores analíticos. Estas diferenças podem ser explicadas devido aofato de a viga real ter uma quantidade de massa maior que a calculadaanaliticamente.
Algumas dificuldades foram encontradas na realização do experimento,dentre as quais, se citam: escolha de sensores adequados (tal como o tipo deponteira do martelo), habilidade em operar o programa de medição, mantercoerência nas impactações realizadas, habilidade para que não houvesseduplo impacto nas marteladas, dentre outras.
Este trabalho é de fundamental importância no fato de o aluno estarverificando a validade a teoria de vibrações aprendida na sala de aula etambém com relação as dificuldades e os detalhes do experimento em queo estudante deve estar atento para que tenha resultados coerentes.
20
Referências
[1] JORDAN, R. Apostila de fundamentos de vibrações. UFSC, Programade Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, 2009.(Citado na página 1)
[2] JORDAN, R. Apostila de analise modal experimental. UFSC, Pro-grama de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, 2010.(Citado na página 11)
ANEXO A -- Especificações doAcelerômetro
DATASHEET
www.mingschin-tech.com
352A21 Accelerometer Specification:
Performance English SI Sensitivity ( +/-15% ) 10mV/g 1.0mV/(m/s2) Measurement Range +/-500 g pk +/-4900 m/s2 pk Frequency Range (+/-5%) 1.0 to 10K Hz 1.0 to 10K Hz Frequency Range (+/-10%) 0.7 to 13K Hz 0.7 to 13K Hz Frequency Range (+/-3dB ) 0.3 to 20K Hz 0.3 to 20K Hz Resonant Frequency >=50 KHz >=50 KHz Broadband Resolution (1 to 10KHz) 0.002g rms 0.02 m/s2 rms Non-Linearity [1] <=1% <=1% Transverse Sensitivity <=5% <=5%
Environmental Overload Limit (Shock) +/-10K g pk +/-98K m/s2 pk Temperature Range (operating) -65 to 250℉ -54 to 121℃ Temperature Response See Graph See Graph
Electrical Excitation Voltage 18 to 30 VDC 18 to 30 VDC Constant Current Excitation 2 to 20 mA 2 to 20 mA Output Impedance <=300 ohm <=300 ohm Output Bias Voltage 7 to 11 VDC 7 to 11 VDC Discharge Time Constant 1.0 to 3.5 sec. 1.0 to 3.5 sec. Setting Time (within 10% of bias) <3 sec. <3 sec. Spectral Noise (1Hz) 800ug/√Hz 7840 (um/s2)/√Hz Spectral Noise (10Hz) 250ug/√Hz 2450 (um/s2)/√Hz Spectral Noise (100Hz) 60ug/√Hz 590 (um/s2)/√Hz Spectral Noise (1 KHz ) 20ug/√Hz 196 (um/s2)/√Hz Spectral Noise (10 KHz) 10ug/√Hz 98 (um/s2)/√Hz
Physical Sensing Element Ceramic Ceramic Sensing Geometry Shear Shear Housing Material Titanium Titanium Sealing Epoxy Epoxy Size (H * L* W) 0.14 *0.45 *0.25 in 3.6 *11.4 *6.4 mm Weight 0.02 oz 0.6 gm Electrical Connector 3-56 Coaxial Jack 3-56 Coaxial Jack Electrical Connection Position side side Mounting Adhesive Adhesive
DATASHEET
www.mingschin-tech.com
All specifications are at room temperature unless otherwise specified. In the interest of constant product improvement, we reserve the right to change specifications without notice. Optional Versions ( Optional versions have identical specificaitons and accessories as listed for standard model except where notd below.More than one option maybe used.) HT – High temperature, extends normal operation temperatures Temperature Range ( Operating ) -65 to 325℉ -54 to 325℃
Notes [1] Zero-based,least-squares,straight line method.
ANEXO B -- Especificações do Martelo deImpactação
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