Download - Analise No Tempo Sistemas Discretos
Sinais e SistemasEng. da Computação
Análise no Domínio do Tempo de Sistemas Discretos
Prof. Aluizio Fausto Ribeiro AraújoDepto. of Sistemas de Computação
Centro de Informática - UFPE
ES 413 Sinais e Sistemas
Capítulo 3
1-2Sinais e SistemasEng. da Computação
Conteúdo• Introdução• Operações Úteis com Sinais• Alguns Modelos Úteis de Sinais Discretos no Tempo• Exemplos de Sinais Discretos no Tempo• Equações de Sistemas Discretos no Tempo• Resposta de Entrada Zero• Resposta ao Impulso Unitário• Resposta de Estado Zero• Solução Clássica de Equações de Diferenças• Estabilidade de Sistemas• Parâmetros e Comportamento do Sistema
1-3Sinais e SistemasEng. da Computação
Análise no Tempo de SLDT (i)• Introdução
– Sistemas discretos são caracterizados por entradas e saídas discretas. Um computador digital é um exemplo típico.
– Sinal discreto no tempo é basicamente uma seqüência de números que aparecem em situações discretas no tempo (e.g., estudos populacionais, problemas de amortização, modelos de renda nacional, rastreamento de radar) ou em amostragens de sinais contínuos no tempo (e.g., sistemas de dados amostrados e filtragem digital).
• Notação: x[n] denota o n-ésimo número na seqüência rotulada por x.
• Um sinal discreto proveniente de amostragem de x(t) pode ser expresso por x(nT), onde T é o intervalo de amostragem. Lembre-se que x[n]=x(nT).
1-4Sinais e SistemasEng. da Computação
Análise no Tempo de SLDT (ii)• Introdução
– Exemplo de sinal discreto no tempo: nnT eenTx 1.0)( −− ==
1-5Sinais e SistemasEng. da Computação
Análise no Tempo de SLDT (iii)• Introdução
– Filtros digitais processam sinais contínuos por sistemas discretos. Conversores C/D e D/C são usados neste tipo de configuração. Este processamento é esboçado abaixo:
1-6Sinais e SistemasEng. da Computação
Tamanho de Sinais Discretos (i)• Energia de um Sinal
– Seja um sinal x[n], define-se energia deste sinal como o somatório ao longo do tempo do valor de x[n] elevado ao quadrado, quando este somatório é finito:
• Potência de um Sinal
– Se a amplitude de x[n] não convergir para zero com o passar do tempo, emprega-se a potência de um sinal, definida como (para o valor calculado finito e diferente de zero):
convege. não somatório o contrário, modo de para ,0][
complexos.ou reais valorespara ,][ 2
∞→→
= ∑∞
−∞=
nnx
nxEn
x
o.considerad intervalo no amostras 12 Existem
complexos.ou reais valorespara ,][12
1lim 2
++
= ∑−=
∞→
N
nxN
PN
NnNx
1-7Sinais e SistemasEng. da Computação
Tamanho de Sinais Discretos (ii)• Exemplo
– Determine a energia e a potência do sinal x[n] nas figuras (a) e (b), respectivamente.
.6
5561
; 555
0
25
0
2 ==== ∑∑== n
xn
x nPnE
1-8Sinais e SistemasEng. da Computação
Operações com Sinais Discretos (i)• Deslocamento no Tempo: (“Time Shifting”)
– Seja um sinal x[n] e este mesmo sinal defasado de M unidades: ][][ Mnxnxs −=
1-9Sinais e SistemasEng. da Computação
Operações com Sinais Discretos (ii)• Reversão no Tempo (“Time Reversal”)
– Seja um sinal x[n] e este mesmo sinal rotacionado em torno do eixo vertical: . Note também ].[][ nxnxr −= .5 para ],[ =− knkx
1-10Sinais e SistemasEng. da Computação
Operações com Sinais Discretos (iii)• Alteração de Taxa de Amostragem: Decimação (“Decimation”)
– Seja um sinal x[n] e este sinal comprimido por um fator M:
, onde M é um valor inteiro. Seleciona-se todas as amostras múltiplas de M e coloca-se zero para as demais. Esta operação é chamada de decimação (“decimation”).
][][ Mnxnxd =
1-11Sinais e SistemasEng. da Computação
Operações com Sinais Discretos (iv)• Alteração de Taxa de Amostragem: Interpolação (“Interpolation”)
– Seja um sinal x[n], o sinal interpolado é gerado em dois passos: expande-se o sinal e em seguida atualiza-se os valores com zero através de um método de interpolação apropriado.
±±=
=
modo outro de 02,,0]/[
][ :Expansão
KLLnLnx
nxe
1-12Sinais e SistemasEng. da Computação
Alguns Sinais Discretos Úteis (i)• Motivação:
– Tipicamente, eles são comumente utilizados no estudo de sinais e sistemas discretos no tempo.
• Funções que serão tratadas:
– Função Impulso Discreta;
– Função Degrau Unitário Discreta;
– Função Exponencial Discreta;
– Função Senoidal Discreta.
1-13Sinais e SistemasEng. da Computação
Alguns Sinais Discretos Úteis (ii)• Função Impulso Unitário Discreta
– Esta é a a contrapartida de função impulso contínua no tempo, uma função delta de Kronecker, definida por:
unitário. impulso seqüência da de chamada também,0001
][
≠=
=nn
nδ
1-14Sinais e SistemasEng. da Computação
Alguns Sinais Discretos Úteis (iii)• Função Degrau Unitário Discreta
– Esta é a contrapartida de função degrau contínua no tempo, definida por:
<≥
=0001
][nn
nu
]8[2]11[]5[])5[][(][
][][][][ 321
−−−−−+−−=
∴++=
nnununununnx
nxnxnxnx
δ
1-15Sinais e SistemasEng. da Computação
Alguns Sinais Discretos Úteis (iv)• Função Exponencial Discreta
– Esta função é expressa como: )lnou ( γλγγ λλ === ee nn
1-16Sinais e SistemasEng. da Computação
Alguns Sinais Discretos Úteis (v)• Função Exponencial Discreta: Exemplos
1-17Sinais e SistemasEng. da Computação
Alguns Sinais Discretos Úteis (vi)• Função Senoidal Discreta
– Exemplo
ciclo).(amostras/ /1 onde ),2cos()cos(:por expressaser tambémpode senoidal funçãoA amostra.por
radianos em dada é freqüência a e radianos em ângulo um é radianos, em fase a é amplitude, a é onde ,)cos( :geral forma sua Em
0NFFnCnC
nCnC
=+=+Ω
ΩΩ+Ω
θπθ
θθ
1-18Sinais e SistemasEng. da Computação
Sistemas Discretos no Tempo: Exemplos (i)• Caderneta de Poupança (sinal inerentemente discreto no tempo):
Um correntista deposita dinheiro (x[n]) em sua caderneta de poupança a cada intervalo de tempo T (1 mês). O banco deposita juros (r) em cada T e envia extrato da conta (y[n]) ao depositante. Determine a equação relacionando a saída e a entrada.O saldo é : y[n]=y[n-1]+ry[n-1]+x[n]= (1+r)y[n-1]+x[n],Logo, y[n]-ay[n-1]=x[n], para a=1+r, equivalentemente pode-se escrever: y[n+1]-ay[n]=x[n+1], – Uma retirada é representada por uma entrada negativa.– Para um empréstimo, y[0]=-M, onde M é o valor emprestado.– A expressão com o atraso é chamada de forma de operador de
atraso, enquanto que a expressão com avanço é forma de operador de avanço. A primeira forma é natural pois é causal (portanto realizável).
1-19Sinais e SistemasEng. da Computação
Sistemas Discretos no Tempo: Exemplos (ii)• Caderneta de Poupança (sinal inerentemente discreto no tempo):
– Representação do sistema por diagrama de blocos (realização do sistema de conta poupança):
– Emprega-se os operadores básicos: somador, multiplicador escalar e atrasador.
– Utiliza-se N um nodo de coleta de sinal (pickoff node).
1-20Sinais e SistemasEng. da Computação
Sistemas Discretos no Tempo: Exemplos (iii)• Estimativa de Vendas (sinal inerentemente discreto no tempo): No n-
ésimo semestre de um curso universitário, x[n] estudantes estão matriculados em uma dada matéria e todos devem comprar seu livro texto que tem três semestres de vida. A editora vende y[n] destes livros neste semestre. Em média, ¼ dos livros em boas condições são re-vendidos pelos estudantes. Escreva a saída em função da entrada:
O saldo é : y[n]+1/4 y[n-1]+ 1/16y[n-2]=x[n],
Logo, y[n]=-1/4y[n-1]-1/16y[n-2]+x[n],
1-21Sinais e SistemasEng. da Computação
Sistemas Discretos no Tempo: Exemplos (iv)• Diferenciador Digital (sinal contínuo processado p/ sist. discreto):
Projete um sistema discreto para diferenciar um sinal contínuo. Este diferenciador é usado em um sistema de áudio tendo um sinal de entrada com largura de banda inferior a 20 kHz.
– A saída y(t) é a derivada da entrada x(t). Os processador discreto Gprocessa amostras da entrada x(t) e produz saída y[n]. Emprega-se amostras a cada T segundos: x[n] =x(nT); e y[n]=y(nT).
]1[][[1
][
:0) de (diferente pequeno mentesuficiente amostragem de sinal Assumindo
]1[][[1lim][ :discretos sistemas para notação usando
,]])1[()([1
lim)( se- tem para ,)(
0
0
−−=
−−=
−−====
→
→=
nxnxT
ny
nxnxT
ny
TnxnTxTdt
dxnTynTt
dtdx
ty
T
TnTt
1-22Sinais e SistemasEng. da Computação
Sistemas Discretos no Tempo: Exemplos (v)• Diferenciador Digital (sinal contínuo processado p/ sist. discreto):
– Intervalo de amostragem: sT µ2540000
1freqüênciamaior 21
==×
≤
1-23Sinais e SistemasEng. da Computação
Sistemas Discretos no Tempo: Exemplos (vi)• Diferenciador Digital (sinal contínuo processado p/ sist. discreto):
0,][
0,)(][
≥=
≥== ==
nnTnx
tttxnx nTtnTt
1-24Sinais e SistemasEng. da Computação
Sistemas Discretos no Tempo: Exemplos (vii)• Integrador Digital (sinal contínuo processado p/ sist. discreto):
Projete um integrador digital seguindo as mesmas linhas que o diferenciador digital do exemplo anterior.
][]1[][:recursiva forma suapor expresso é tambémdigital integrador O
.acumulador sistema um de exemplo um é Este
recursiva. não forma ,][][
:0) de (diferente pequeno mentesuficiente amostragem de sinal Assumindo
][lim][ :discretos sistemas para notação usando
,)(lim)( se- tem em ,)()( :rIntergrado
0
0
t
-
nTxnyny
kxTny
kxTny
TkTxnTynTtdxty
n
k
n
kT
n
kT
=−−
=
=
===
∑
∑
∑∫
−∞=
−∞=→
−∞=→∞ττ
1-25Sinais e SistemasEng. da Computação
Sistemas Discretos no Tempo: Exemplos (viii)– A forma digitalizada de uma equação diferencial resulta em uma
equação de diferenças:
sinônimos. como usados são contínuos sistemas e analógicos Filtros -sinônimos. como usados são discretos sistemas e digitais Filtros -
ordem. mesma de diferenças de eq.por aproximadaser pode ldiferencia Eq. -ordem.maior de diferença pela definida :diferenças de equação de Ordem -
.1
e 1
1 onde ],[]1[][
:pequeno muito valor com mas 0 para ,][][]1[][
lim
: para derivada de definição a se-usa , uniforme amostragem Para
)()( :ordem 1 de ldiferencia equação a Seja
0
cTT
cTnxnyny
TnxncyT
nynynTtT
txtcydtdy
T
a
+=
+−==−+
≠=+−−
=
=+
→
βαβα
1-26Sinais e SistemasEng. da Computação
Sistemas Discretos no Tempo: Vantagens (i)– Vantagens do Processamento Digital de Sinais:
• Operação de sistemas digitais pode tolerar variações nos valores de sinais, resultando em precisão e estabilidade maior que sistemas analógicos.
• Sistemas digitais não demandam mesmo grau de precisão de sistemas analógicos. Sistemas digitais complexos podem ser implementados em um chip empregando circuitos VLSI.
• Filtros digitais são flexíveis: podem ser facilmente alterados por programação. Implementações em hardware permitem uso de microprocessadores, miniprocessadores, chaves digitais, e circuitos VLSI.
• Circuitos digitais podem modelar grande quantidade de filtros.
1-27Sinais e SistemasEng. da Computação
Sistemas Discretos no Tempo: Vantagens (ii)– Vantagens do Processamento Digital de Sinais:
• Sinais digitais podem ser barata e facilmente armazenados em mídias magnéticas.
• Sinais digitais podem ser codificados para produzir erros muito baixos e alta fidelidade.
• Filtros digitais podem ser compartilhados no tempo.
• Reprodução com sistemas digitais é confiável e sem deterioração. Mensagens analógicas como fotocópia e filmes perdem precisão para cada estágio sucessivo de reprodução.
1-28Sinais e SistemasEng. da Computação
Sistemas Discretos no Tempo: Classificação (i)• Classificação de Sistemas Discretos
.identidade sistema um em resulta cascata em ambos de conexão a que talsistema outro um encontradofor se inversível é sistema Um
sInversívei Não e sInversívei Sistemas -. para ][ entrada de valoresdos apenas depende
instantequalquer em saída sua se causal é discreto sistema UmCausais Não e Causais Sistemas
tempo.do longo ao mudam não parâmetros seus quais nos aqueles são tempono sinvariante Sistemas
contínuos sistemas a idêntica é elinearidad de definiçãoA Tempo no aInvariânci e eLinearidad -
knnxkn
≤=
−
1-29Sinais e SistemasEng. da Computação
Sistemas Discretos no Tempo: Classificação (ii)• Classificação de Sistemas Discretos
contínuos. sistemas de àqueles idênticos tambémConceitosMemória sem e com Sistemas
contínuos. sistemas em conceito aoanáloga é BIBO deestabilidaA externa. e internaser pode deestabilidaA
Instáveis e Estáveis Sistemas -
−
1-30Sinais e SistemasEng. da Computação
Equações de Sistemas Discretos (i)– Serão tratados sistemas lineares invariantes e discretos no
tempo (LTID), descritos por (forma com termos em avanço):
][]1[]1[][
][]1[]1[][:atraso deoperador com forma na expressão aescrever se-Pode
][]1[]1[][][]1[]1[][
:expressar se-pode , geral, caso um Para .logo futuras, entradas de depende não saídaA :eCausalidad de Condição
de.generalida de perda sem 1 que se-Assume ).,( é ordem cuja ,diferenças delinear equação uma é esta
][]1[]1[][
][]1[]1[][
110
11
110
11
0
11
11
NnxbNnxbnxbnxb
NnyaNnyanyany
nxbnxbNnxbNnxbnyanyaNnyaNny
NMNM
aMNMax
nxbnxbMnxbMnxb
nyanyaNnyaNny
NN
NN
NN
NN
NNMNMN
NN
−++−++−+==−++−++−+
++++−+++==++++−+++
=≤
=
++++−+++==++++−+++
−
−
−
−
−+−−
−
K
K
KK
K
K
1-31Sinais e SistemasEng. da Computação
Equações de Sistemas Discretos (ii)• Solução Recursiva de Equação de Diferenças
– A saída é calculada a partir de 2N+1 parcelas de informação: Nvalores anteriores de saída, N valores anteriores de entrada e o valor atual de entrada.
– Em princípio, este método reflete o modo como um computador resolve uma equação recursiva de diferenças: Dados a entrada e as condições iniciais.
– Se o método for não recursivo, então a saída é computada apenas a partir das entradas, sem utilizar as saídas prévias.
][]1[]1[][
][]2[]1[][:seguir a como expressaser podeanterior equaçãoA
110
21
NnxbNnxbnxbnxb
Nnyanyanyany
NN
N
−++−++−++
+−−−−−−−=
−K
K
1-32Sinais e SistemasEng. da Computação
Equações de Sistemas Discretos (iii)• Exemplo
125.22)4()25.12(5.0]4[]3[5.0]4[ :se-obtem ,4 Para
25.12)3()5.6(5.0]3[]2[5.0]3[ :se-obtem ,3 Para
5.6)2()5(5.0]2[]1[5.0]2[ :se-obtem ,2 Para
5)1()8(5.0]1[]0[5.0]1[ :se-obtem ,1 Para
8)0()16(5.0]0[]1[5.0]0[ :se-obtem ,0 Para
][]1[5.0][ :escrita-reser pode equação Esta).0 em (início ][ causal entrada,16]1[ iniciais Condições
onde ,][]1[5.0][ :iterativo modo de Resolva,
2
2
2
2
2
2
=+=+==
=+=+==
=+=+==
=+=+==
=+=+−==
+−====−
=−−
xyyn
xyyn
xyyn
xyyn
xyyn
nxnynynnnxy
nxnyny
1-33Sinais e SistemasEng. da Computação
Equações de Sistemas Discretos (iv)• Notação Operacional
– Analogamente a sistemas contínuos no tempo, Emprega-se uma notação operacional: o operador E.
][][)161
41
( :escrita-reser Pode
]2[][161]1[
41]2[ ordem 2 de diferenças de Equação
][][)(][][][ :escrita-reser Pode]1[][]1[ ordem 1 de diferenças de Equação
:Exemplos][][];2[][];1[][
:forma seguinte da aplicado éoperador O
22
2
nxEnyEE
nxnynyny
nExnyaEnExnaynEynxnayny
NnxnxEnxnxEnxnEx
a
a
N
=++
+=++++
=−∴=−+=−+
+=+=+≡ K
1-34Sinais e SistemasEng. da Computação
Equações de Sistemas Discretos (v)• Notação Operacional
– Expressão geral para equação de diferenças de ordem N:
– Resposta de sistemas LTID: A solução geral deste sistema éformada pelos componentes de entrada zero e de estado zero.
NNNN
NNNN
NNNN
NNNN
bEbEbEbEP
aEaEaEEQ
nxEPnyEQ
nxbEbEbEb
nyaEaEaE
++++=
++++=
=
++++
=++++
−−
−−
−−
−−
11
10
11
1
11
10
11
1
][
][
como definidos são polinômios os onde ,][][][][:que se- temamente,Alternativ
][)(
][)(
K
K
K
K
1-35Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Entrada Zero (i)• Resposta para Condições Internas do Sistema
– Este componente é a resposta do sistema para entrada nula.
( )( ) ( ) 0][
0][
:é )0][( ticocaracterís polinômio do trivial-não soluçãoA
0)(][][
:forma a assume polinômio o forma, Desta
][][][
constante. uma é termoo onde , :lexponencia
função da proriedade uma é Esta forma. mesma da são e existem diferenças de equações todaszero, emresultar linear combinação a Para
0][][0][
21
11
1
11
10
000
0011
1
=−−−=∴=++++=
==++++=
=+=⇒=
==
=∴=++++
−−
−−
+
+
−−
N
NNNN
nNN
NN
nkkn
knknknk
NNNN
Q
aaaQ
Q
aaacnyEQ
cknynyEcny
E
nyEQn)yaEaEa(E
γγγγγγγγγγγ
γγγγγ
γγ
γγγγγ
K
K
K
K
1-36Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Entrada Zero (ii)• Resposta para Condições Internas do Sistema
Para raízes distintas:
nnn
nn
nnn
nn
N
N
nnnN
nn
cccny
cccEQ
nyEQ
ccc
cnycnycny
nyEQN
γγγ
γγγ
γγγ
γγγ
+++=
=+++
=
===
=
K
K
K
K
K
22110
2211
0
21
21
222111
0
][
:por dada é geral solução a Assim,0]][([
:se- temlinear, é sistema o Como:0][][ polinômio o menteindividual satisfaz solução Cada
ticascaracterís raízes são ,,, e
sarbitrária constantes são ,,, onde
][,,][,][
:por dados ,0][][ para soluções possíveis se-Tem
1-37Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Entrada Zero (iii)• Resposta para Condições Internas do Sistema
Para raízes repetidas:
Para raízes complexas:
– Estas raízes aparecem sempre aos pares.
– O procedimento é o mesmo que aquele para raízes reais. Nesta caso ter-se-á modos característicos complexos e forma de solução complexa.
.)][ :solução e
,,,,,,, :ticoscaracterís modos os tem
)())(()(][
:ticocaracterís polinômio o com sistema um Para
1111
210
111
12
11
211
nNN
nrr
nrr
nN
nr
nrnnn
Nrrr
ccncnc( cny
nnn
Q
γγγ
γγγγγγ
γγγγγγγγγ
++++++=
−−−−=
++−
+−
++
KK
KK
K
1-38Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Entrada Zero (iv)• Resposta para Condições Internas do Sistema
Para raízes complexas:
– Pode-se optar por não se trabalhar com a foram complexa:
.auxiliares condições daspartir a asdeterminad constantes são e onde
,cos][)(2
][
:resulta isto ,2
e 2
escoeficient os Sejam
)(][
:por dada é zero entrada de respostaA
e
:polar forma na complexas raízes dePar
0)()(
0
21
21210
θ
βγγ
γγγγ
γγγγ
θβθβ
θθ
ββ
ββ
c
?)n(cnyeecny
ec
cec
c
ececccny
ee
nnjnjn
jj
njnnjnnn
jj
+=∴+=
==
∴+=+=
==
+−+
−
−∗
−∗
1-39Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Entrada Zero (v)• Resposta para Condições Internas do Sistema
– Ex: Calcule a resposta de entrada zero para o sistema LTID.
.)8.0(5/4)2.0(5/1][ é zero entrada de respostaA
.5/4,5/1
4/25)16/25(25)8.0()2.0(4/25]2[
0)4/5(5)8.0()2.0(0]1[
:acima equação na 2 e 1 se-faz ,constantes asachar Para .)8.0()2.0(][
:por dada solução a e )8.0(,)2.0( :são ticoscaracterís modos os
)8.0)(2.0(16.06.0 é ticacarcaterís equaçãoA
].[4][,4/25]2[,0]1[ para
],2[5][16.0]1[6.0]2[
0
21
212
22
10
22
12
21
10
210
2
nn
nn
nn
n
ny
cc
ccc cy
ccc cy
nnc cny
nunxyy
nxnynyny
+−=
==⇒
=+∴+−==−
=+−∴+−==−
−=−=+−=
−
−+=−−
==−=−
+=−+−+
−−
−−
−
γγγγ
1-40Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Entrada Zero (v)• Resposta para Condições Internas do Sistema
– Ex: Calcule a resposta de entrada zero para o sistema LTID.
.)3)(34(][ é zero entrada de respostaA
.3,4
229/2)3))(2((9/2]2[
13/1)3))(1((3/1]1[
:acima equação na 2 e 1 se-faz ,constantes asachar Para
.)3)((][
:por dada solução a e )3(,)3( :são ticoscaracterís modos os
)3)(3(96 é ticacarcaterís equaçãoA
].[4][9/2]2[,3/1]1[ para
][)62(][)96(
0
21
212
210
211
210
210
2
22
n
n
nn
n
n ny
cc
cccc y
cccc y
nn
ncc ny
n
nunxyy
nxEEnyEE
−+=
==⇒
−=−∴−=−−+∴−=−
−=+−∴−=−−+∴−=−
−=−=
−+=
−−
++=++
=−=−−=−
+=++
−
−
−
γγγγ
1-41Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta ao Impulso Unitário (i)• Fundamentos
– Considere o sistema de n-ésima ordem especificado pela equação:
0][]2[]1[ s.a.
][][][][ :nulas iniciais condições
e impulso entrada para equação desta solução a é impulso ao respostaA
][][][][ou ][)(
][)(
11
10
11
1
=−==−=−
=
=++++=
=++++
−−
−−
Nhhh
nEPnhEQ
nxEPnyEQnxbEbEbEb
nyaEaEaE
NNNN
NNNN
K
K
K
δ
1-42Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta ao Impulso Unitário (ii)• Fundamentos
– Exemplo: Calcule a resposta ao impulso para o sistema: :
fechada. forma de solução a determinar se para útil é solução Esta.][ de termospróximos os se-determina forma, desta oContinuand
3]1[)0(5]1[16.0]0[6.0]1[ :se- tem,1 Fazendo5]0[)1(5]2[16.0]1[6.0]0[ :se- tem,0 Fazendo
0]2[]1[ s.a.][5]2[16.0]1[6.0][
:equação da solução a é impulso ao respostaA ][5]2[16.0]1[6.0][
nhhhhhn
hhhhnhh
nnhnhnh
nxnynyny
=∴=−−−==∴=−−−−=
=−=−=−−−−
=−−−−
δ
1-43Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta ao Impulso Unitário (iii)• A Solução de Forma Fechada
– A resposta ao impulso unitário h[n] tem as características:
• A entrada é nula exceto para n=0, implica resposta formada por modos característicos do sistema.
• Em n=0, tem-se valor diferente de zero.
][][])[]([ Logo,
0])[][]([ se- temticos,caracterís modos de feito é ][ Como][][])[][][]([][][][][ Como
sistema. do ticoscaracterís modos doslinear combinação a é ][ onde
][][][][ :como expressa é ][ de geral formaA
0
0
0
nEPnAEQ
nunyEQnynEPnunynAEQnEPnhEQ
ny
nunynAnhnh
cc
c
c
c
δδ
δδδ
δ
==
=+⇒=
+=
1-44Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta ao Impulso Unitário (iv)• A Solução de Forma Fechada
.][ de valores dos toconhecimen
dopartir a osdeterminad são ][ de dosdesconheci escoeficient Os
][][][][
em resultando finalmente ,
se-obtem ,1]0[ e ,00][ se-emprega ,0 se-Faz
][][])[]1[][(
][][])[]([ que Lembrando
00
010
0
nhN
ny
nunynab
nh
ab
AbaA
mmn
nbNnbnaNnaNnA
nEPnAEQ
c
cN
N
N
NNN
NN
+=
=∴=
=≠∀==+++=++−+++
∴=
δ
δδδδδδδ
δδKK
1-45Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta ao Impulso Unitário (iv)• A Solução de Forma Fechada
– Exemplo: Determine a resposta ao impulso do exemplo anterior
][])8.0(4)2.0[(][ se-encontra
,interativa forma na direta ãosubstituiçpor ,0]2[]1[ Como
][])8.0()2.0([][ em resultando ,00 Como
)8.0()2.0(][)8.0( e )2.0( :ticoscaracterís Modos
)8.0)(2.0(16.06.0 :é ticocaracterís polinômio O
][5][)16.06.0(
ou ]2[5][16.0]1[6.0]2[:avançada forma na escrita-reser pode equação Esta
][5]2[16.0]1[6.0][
210
21
2
22
nunh
hh
nuccnhAb
ccny
nxEnyEE
nxnynyny
nxnynyny
nn
nnN
nnc
nn
+−=
=−=−
+−==⇒=
+−=⇒−
−+=−−
=−−
+=−+−+
=−−−−
γγγγ
1-46Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (i)• Introdução
– Resposta y[n] para condições inicias nulas no sistema discreto de entrada arbitrária x[n] diferente de zero.
• Esta situação é comum a todos sistemas tratados nesta seção, a não ser quando dito o contrário.
impulso. scomponente suas às resposta sua se-somando obtida éarbitrária entradaqualquer para resposta sua lineares, sistemas Para
,][][][
]1[]1[]1[]1[][]0[][:se-escreve logo ,][][ é em ][ componenteA
:impulso scomponente de soma como expresso ][ entrada de Sinal
∑∞
−∞=
−=
++−++−+=−=
m
mnmxnx
nxnxnxnxmnmxmnnx
nx
δ
δδδδ
KK
1-47Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (ii)• Introdução
1-48Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (iii)• Introdução
∑
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
−=
−⇒−
−⇒−−⇒−
⇒⇒
m
ny
m
nx
m
mnhmxny
mnhmxmnmx
mnhmxmnmxmnhmn
nhnnynx
][][][ Logo,
][][][][ e
][][][][ :elinearidad à Devido ][][ tempo,no ainvariânci à Devido
.][][ particular em ,][][:saída entecorrespond sua e entrada a indica abaixo notaçãoA
][][44 344 2144 344 21
δ
δδ
δ
1-49Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (iv)• Somatório de Convolução
– O somatório de convolução de duas funções é definido como:
um. menos to)(comprimen elementos de número o é sinal um de larguraA . largura tem,][][][
então finitas, e larguras com sinais ][ e ][ Sejam :Largura][][][ :impulso um com Convolução
][][][ então ,][][][ : tempono toDeslocamen
][])[][(])[][(][ :aAssociativ
][][][][])[][(][ :vaDistributi][][][][ :Comutativa
:relevantes espropriedad as com ,][][][][
2121
2121
2121
321321
3121321
1221
21
WWnxnxnc
WWnxnxnxnnx
pmncpnxmnxncnxnx
nxnxnxnxnxnx
nxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnx
mnhmxnxnxm
+∗=
=∗−−=−∗−=∗
∗∗=∗∗∗+∗=+∗
∗=∗
−=∗ ∑∞
−∞=
δ
1-50Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (v)• Somatório de Convolução
– Causalidade e Resposta de Estado Zero
– Somatório de convolução a partir de uma tabela: Pode-se utilizar uma tabela de somatórios de convolução para determinar outros somatórios de convolução mais complexos.
∑
∑
=
∞
−∞=
−=
>=−<=
−=
n
m
m
mnhmxny
nmmnhnhmmxnx
mnhmxny
0
][][][ :causais sistema e sinal Para
. para 0][ então causal), ][ (i.e. causal sistema um para;0 para 0][ então causal, ][ entrada de sinal um para
,][][][ :sistema do resposta a Considere
1-51Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (vi)• Somatório de Convolução
– Exemplo: Determine c[n] para o sistema LTID:
( )
( )( ) ( )
][])3.0()8.0[(2][3.08.03.0
)3.0()8.0(3.0][
][3.08.0
3.0][.0,0
;0,)3.0()8.0(][
][)3.0]([)8.0(][][][][
:causais são sistema o e sinal o como ,][][][][][
][)3.0(][
][)8.0(][ então ,
][)3.0(][
][)8.0(][
1111
00
00
nununc
nuncn
nnc
mnumuncmngmxnc
mngmxngnxnc
mnumng
mumx
nung
nunx
nnn
nnn
n
m
mn
n
m
mnm
n
m
mnmn
m
m
mn
m
n
n
++++
==
−
=
−
=
∞
−∞=
−
−=−
−=
=∴
<
≥=
−=∴−=
−=∗=
−=−
=
=
=
∑∑
∑∑
∑
1-52Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (vii)• Somatório de Convolução
– Exemplo: A resposta de estado zero para o sistema LTID:
][4][][
então ,][][][
];[][];[][ :convolução de somatórios de Tabela
][)8.0(4][)25.0(][)2.0(][)25.0(][
]][)8.0(4][)2.0[(][)25.0(][][][
:é resposta a Assim, .][])8.0(4)2.0[(][
é unitário impulso ao resposta a e ][4][ é entradaA
]2[5][16.0]1[6.0]2[
31
13
11
21
12
11
21
12
11
21
2211
nununy
nunxnx
nunxnunx
nununununy
nunununhnxny
nunh
nunx
nxnynyny
nnnn
nn
nn
nnnn
nnn
nn
n
−−
+
−−
=
−−
=∗
==
∗+−∗=
∴+−∗=∗=
+−=
−=
+=−+−+
++++
++
−
γγγγ
γγγγ
γγγγ
γγ
1-53Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (viii)• Somatório de Convolução
– Exemplo: continuação:
][])8.0(81.5)2.0(444.0)4(26.1[][
][])8.0(81.5)2.0(444.0)25.0(26.1[][
:escrita-reser pode resposta a ,. que lembrando
],[])8.0(27.7)2.0(22.2)25.0(05.5[][
][]))8.0()25.0[(27.7])2.0()25.0[(22.2(][
][)8.0()25.0()8.0()25.0(
4][)2.0()25.0()2.0()25.0(
][
][4][][
1
111
1111
1111
31
13
11
21
12
11
nuny
nuny
nuny
nuny
nununy
nununy
nnn
nnn
nn
nnn
nnnn
nnnn
nnnn
+−+−=
∴+−+−=
=
+−−−=
∴−−−−=
∴
−−
+
−−−−
=
∴
−−
+
−−
=
−
+
+++
++++
++++
++++
γγγ
γγγγ
γγγγ
1-54Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (ix)– Resposta para Entradas Complexas
• A parte real da entrada gera a parte real da resposta e a parte imaginária da entrada gera a parte imaginária da resposta. Logo,
– Entradas Múltiplas
• Entradas múltiplas para um sistema LTI são tratadas empregando o princípio da superposição.
][][ e ][][ logo,
][][][ e ][][][
nynxnynx
njynynynjxnxnx
iirr
irir
⇒⇒+=+=
1-55Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (x)• Somatório de Convolução: Solução Gráfica
– Procedimento Gráfico:
. a intervalo no de valor cada para repetido é toprocedimen O .][ obtenha e produtos todosadicione ,][por ][ eMultipliqu 3.
(avanço). esquerda à se-move ,0 para (atraso); direita àse-move ,0 Para .][ obtenha e unidades por ][ Desloque 2..][ obtenha e )0( vericaleixo do tornoem ][ função a Inverta 1.
. de funções como ][ e ][ de gráfico o Trace 0.:toprocedimen pelo odeterminadser pode convolução de somatório O
][][][
:por dado é ][ e ][ causais sinais de convolução de somatório O
0
∞∞−−
<>−−
−=
−= ∑=
nncmngmx
nnmngnmg
mgmmgmmgmx
mngmxnc
ngnxn
m
1-56Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (xi)• Somatório de Convolução: Solução Gráfica
– Exemplo: Determine graficamente a c[n]= x[n]*g[n].
.0 para geral situação a mostra seguir, a (h), FiguraA ][])3.0()8.0[(2][ Logo,
0],)3.0()8.0[(2
0,0][
logo, ,][ e ][ entre ãosobreposiç existe não ,0 Para.0 ,])3.0()8.0[(2][
3.08.0
)3.0()3.0()8.0(][][][
:assim ,0 intervalo no sobrepoêm se funções duas As)3.0(][,)8.0(][ logo, ,)3.0(][,)8.0(][
11
11
11
000
≥−=
≥−
<=
−<≥−=
∴
==−=
≤≤=−===
++
++
++
==
−
=
−
∑∑∑
nnunc
n
nnc
mngmxnnnc
mngmxnc
nmmngmxngnx
nn
nn
nn
n
m
mn
n
m
mnmn
m
mnmnn
1-57Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (xii)• Somatório de Convolução: Solução Gráfica
– Exemplo: Representação gráfica
1-58Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (xiii)• Somatório de Convolução: Solução Gráfica
– Exemplo: Representação gráfica
(h)
1-59Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (xv)
– Sistema composto por subsistemas mais simples para se gerar a resposta ao impulso de sistemas em paralelo ou em cascata.
• Somatório de Convolução: Sistemas Interconectados
S1S2
S1
S1
S2
S2
1-60Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (xvi)
– Sistema LTID composto por sistema S com resposta ao impulso h[n] seguido de acumulador.
• Somatório de Convolução: Sistemas Interconectados
S
S
∑−∞=
n
k
∑−∞=
n
k
∑−∞=
=n
k
khng
nhng
][][
:é,][ impulso ao resposta com LTID, sistema um de unitáriodegrau ao ][ respostaA
1-61Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (xvii)• Somatório de Convolução: Sistemas Interconectados
– Sistema Inverso:
– Analogia entre operadores de sistemas contínuos e sistemas discretos: integrador e acumulador, diferenciador e diferença para trás.
][][][ nnhnh i δ=∗
][]1[][]1[][][][][
]1[][][ : tráspara diferença da
][][][ :acumulador do
:impulso ao resposta a doconsideran inverso sistema de Exemplo
]1[][][ : tráspara Diferença ;][][ :Acumulador
nnununnnunhnh
nnnh
nuknh
nxnxnykxny
bdfacc
bdf
n
kacc
n
k
δδδ
δδ
δ
=−−=−−∗=∗
−−=
==
−−==
∑
∑
−∞=
−∞=
1-62Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (xviii)• Somatório de Convolução: Função Exponencial Incessante
– Função característica: Entrada para qual um sistema responde da mesma forma, a exponencial é o único caso.
)( nz
nz
m
mn
m
mn
m
mnn
n
zH
zzH
zmhzHzzHny
zmhzzmhznhny
nyznh
incessante lexponenciaentradaentrada de sinalsaída de sinal
][:ncia transferêde Função
. de valor dado um para constante uma é ][
finito. somatório para válido,][][ onde ,][][
][][][][
:é ][ sistema do resposta a então entrada e ][ impulso ao resposta com LTID sistema um Seja
=
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−∞
−∞=
−
=
∗==
∴∗=∗=∗=
∑
∑∑
1-63Sinais e SistemasEng. da Computação
• Somatório de Convolução: : Função Exponencial Incessante
– A função de transferência para sistema LTID, com sinal de entrada não-causal pode ser expressa em termos de polinômio:
)( nz
][][
][ é ncia transferêde função a que se-Conclui
][][
][][ Como
][]][][[
:resposta sua e incessante lexponencia a polinômio de forma Naentrada de sinalsaída de sinal][ que se-Tem
entrada
zQzP
zH
zzQzEQ
zzPzEPzzzzE
zEPzEQzH
zH
nn
nnknknnk
nn
z n
=
=
=∴==
=
=
+
=
Resposta de Estado Zero (xix)
1-64Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (xx)• Somatório de Convolução: Resposta Total
– Resposta total = Resposta entrada-zero + Resposta estado-zero=
4444444 34444444 21444 3444 21
43421444 3444 21
43421321
zero estadozero entrada
zero estadozero entrada
111
1
zero estadozero entrada
1
))8.0(81.5)2.0(444.0)4(26.1)8.0(8.0)2.0(2.0 resp
][)4( entrada e 4/25]2[,0]1[ :iniciais condições Com
]2[5][16.0]1[6.0]2[ :Sistema :Exemplo
distintos e repetidos sautovalore para ,][][
distintos sautovalore para ,][][
nnnnn
n
N
rj
njj
r
j
nj
j
N
j
njj
nuyy
nxnynyny
nhnxccn
nhnxc
+−+−+−=
=−=−
+=−+−+
∗++
∗+
−
+==
−
=
∑∑
∑
γγ
γ
1-65Sinais e SistemasEng. da Computação
Solução Clássica de Equações de Diferenças (i)• Determinação das Respostas Natural e Forçada
– A resposta natural de um sistema consiste de todos termos de modos característicos na resposta.
– A a resposta forcada é composta pelos termos remanescentes que não forem de modos característicos.
ados.indetermin escoeficient de métodopor forçada resposta de Cálculo -.])[,],2[],1[( iniciais condições
das invés ao ])1[,],1[],0[( auxiliares condições das geral, em partir, a asdeterminad são sarbitraria constantes as natural, resposta Na -
][][][][0][][
][][])[][]([
logo, ,][][][ totalresposta
Nyyynyyy
nxEPnyEQnyEQ
nxEPnynyEQ
nynyny
cc
c
−−−−
==
∴=+
+==
KK
φφ
φ
1-66Sinais e SistemasEng. da Computação
Solução Clássica de Equações de Diferenças (ii)
• Resposta Forçada
– A tabela mostra algumas funções de entrada e a saída forçada:
nm
i
ii
nm
i
ii
ni
n
ni
n
rncrn
ncn
cnrN,,(ir,r
crN,,(ir,r
++
==
=≠
∑∑== 00
)cos( )cos(
),21
),21
Saída Entrada
α
φβθβ
γ
γ
K
K
1-67Sinais e SistemasEng. da Computação
Solução Clássica de Equações de Diferenças (iii)• Resposta Forçada
835)1(3]1[ e 53][
2)2(]2[
)1(]1[:que se- temforçada, resposta a doConsideran
][ é forçada resposta a anterior, tabelaPale
)3()2(][ é natural resposta a Logo,
:assim ,)3)(2(65 :ticocaracterís Polinômio
.13]1[,4]0[ auxiliares condições e ][)53(][ entradacom ,][)5(][)65( :diferenças de equação a Resolva
:Exemplo -
01101
01101
01
21
2
2
+=++=++=
++=++=+
++=++=+
+=
+=
−−=+−
==+=−=+−
nnnxnnx
ccnccncny
ccnccncny
cncny
BBny
yynunnxnxEnyEE
nnc
φ
φ
φ
γγγγ
1-68Sinais e SistemasEng. da Computação
Solução Clássica de Equações de Diferenças (iv)• Resposta Forçada
02
356)3()2(][][][ : totalResposta
2356][
235
6
1723122
se- temcomparaçãopor ,1712232)53(583)(6)(52
][5]1[][6]1[5]2[
:se- temlogo ][][][][ que Lembre :ão)(continuaç Exemplo -
21
0
1
01
1
011
01011011
≥−−+=+=
−−=⇒
−=
−=⇒
−=+−−=
−−=+−∴+−+=++++−++
∴−+=++−+
=
nnBBnynyny
nnyc
c
ccc
nccncnncncccncccnc
nxnxnynyny
nxEPnyEQ
nnc φ
φ
φφφ
φ
1-69Sinais e SistemasEng. da Computação
Solução Clássica de Equações de Diferenças (v)• Resposta Forçada
2356)3(
213)2(15][][][ : totalResposta
152
432
132
862
73
27332
28622
27332
)2(2
43)2)((
27332
235)1(6)3()2(13]1[
243
235)0(6)3()2(4]0[
: e determinar para usadas são auxiliares condições As
02
356)3()2(][][][ : totalResposta
:ão)(continuaç Exemplo -
21
2
21
21
21
21
211
21
1
210
20
1
21
21
−−−=+=
=−=
−=−=∴
=+
−=−−∴
=+
−=−+
=+∴−−+==
=+∴−−+==
≥−−+=+=
nnynyny
BB
B
BB
BB
BB
BB
BBBBy
BBBBy
BB
nnBBnynyny
nnc
nnc
φ
φ
1-70Sinais e SistemasEng. da Computação
Solução Clássica de Equações de Diferenças (vi)– O método clássico requer condições auxiliares pois em n= -1, -2,
..., -N apenas a componente de entrada zero existe e neste método, não se pode separar as componentes de entrada zero e estado zero. Logo, as condições iniciais devem ser aplicadas àresposta total que se inicia em n=0. Logo precisa-se de condições auxiliares: y[0],y[1],...,y[N-1].
• Se forem informadas condições iniciais y[-1],y[-2],...,y[-N]. então pode-se usar procedimento iterativo para se obter as condições auxiliares y[0],y[1],...,y[N-1].
=
≠=
=
=
][][][
tico)caracterís (modo onde][][
por dada ][ lexponencia entrada a para forçada resposta tem
][][][][ equação pela doespecifica sistema O
rQrPrH
rrrHny
rnx
nxEPnyEQ
in
n
γ
φ
1-71Sinais e SistemasEng. da Computação
Estabilidade de Sistemas (i)• Estabilidade BIBO
– Se toda entrada limitada produzir saídas limitadas no sistema, este é dito estável BIBO. Em contraste, se alguma entrada limitada resultar em resposta ilimitada o sistema é definido com instável BIBO. Assim, para um sistema LTID:
.][
:BIBO deestabilida para suficiente e necessária Condição
.][][ e ][ então limitada, ][ Se
,][][][][][
][][][][][
2
11
∞<<
≤∞<<−
−≤−=
∴−=∗=
∑
∑
∑∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
Knh
mhKnyKmnxnx
mnxmhmnxmhny
mnxmhnxnhny
n
m
mm
m
1-72Sinais e SistemasEng. da Computação
Estabilidade de Sistemas (ii)• Estabilidade Interna (Assintótica)
∞→∞→=
=
=∞→=
>∞→∞→
<∞→→
=
−−− nnnn
n
n
n
nxEPnyEQ
rnrnr
n
n
n
n
se então , ticoscaracterís modos
pois instável, sistema o tornam1 e repetidas simaginária Raízes
repetidas. raízes para também válidossão resultados Estes
.1 para quando 1 :estável nteMarginalme -
.1 para , quando :Instável -
.1 para quando 0 :estável amenteAssintotic -
:é sistema o que se- temcomplexo, com , icoscarcteríst modos Para
].[)(][)( :polinômio pelo definido LTID sistema um Seja
111 γγ
γ
γγ
γγ
γγ
γγ
1-73Sinais e SistemasEng. da Computação
Estabilidade de Sistemas (iii)• Estabilidade Interna (Assintótica)
-Raízes reais
Dentro e fora do círculo de raio1.
-Raízes complexas
Dentro e fora do círculo de raio1.
1-74Sinais e SistemasEng. da Computação
Estabilidade de Sistemas (iv)• Estabilidade Interna (Assintótica)
- Raízes simples sobre o círculo de raio 1 :
Reais reais e complexas.
-Raízes repetidas sobre o círculo de raio 1:
Raízes reais e complexas.
1-75Sinais e SistemasEng. da Computação
Estabilidade de Sistemas (v)• Definição de Estabilidade Interna
– Um sistema LTID é assintoticamente estável se e só se todas raízes características (simples ou repetidas) estiverem dentro do circulo unitário.
– Um sistema LTID é instável se e só se for verdade ao menos uma das condições: (i) ao menos uma das raízes está fora do círculo unitário; (ii) existem raízes repetidas sobre o circulo unitário.
– Um sistema LTID é marginalmente estável se e só se não existirem raízes características fora do círculo unitário e se houver algumas raízes não repetidas sobre o circulo unitário.
• Relação entre Estabilidade Interna e Externa
– Estabilidade interna é determinada para condições iniciais não nulas e entrada nula enquanto que a externa é determinada com condições iniciais nulas e entrada diferente de zero.
– Estabilidade interna assegura estabilidade externa mas o inverso não éverdadeiro.
1-76Sinais e SistemasEng. da Computação
Parâmetros e Comportamento de Sistemas (i)• O comportamento de um sistema LTID (com respeito aos seus
parâmetros):
– Depende dos modos característicos em termos de módulo, tempo e precisão.
– Responde fortemente a entradas similares a seus modos característicos e e pobremente a entradas muito diferentes.
– Tem seu tempo de resposta indicado pela largura da resposta ao impulso.
– Dispersa, em geral, pulsos discretos no tempo que são aplicados a sistemas discretos no tempo.
– Tem a quantidade de dispersão e a taxa de transmissão de informação determinadas pela constante de tempo do sistema.
1-77Sinais e SistemasEng. da Computação
Exercícios Recomendados• Propostos para o MATLAB ou SCILAB
– Todos
• Problemas– 3.1-1, 3.1-2, 3.1-4
– 3.2-1 até 3.2-4.
– 3.3-1, 3.3-3, 3.3-5 até 3.3-7.
– 3.4-1 até 3.4-5, 3.4-7 até 3.4-9, 3.4-11 e 3.4-13.
– 3.5-1 até 3.5-5.
– 3.6-1 até 3.6-5 3.6-7.
– 3.7-1 até 3.7-4.
– 3.8-1 até 3.8-5, 3.8-10, 3.8-11, 3.8-16 e 3.8-17.
– 3.9-1 até 3.9-8.– 3.10-1 até 3.10.-6.