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Analisi BivariataAnalisi Bivariatae Test Statisticie Test Statistici
Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e Management
Esercitazione n°5
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Statistica descrittiva bivariata
Indaga la relazione tra due variabili misurate. Si distingue rispetto alla tipologia delle variabili indagate:
• Variabili qualitative/quantitative discrete: tavole di contingenza (o a doppia entrata)
• Variabili quantitative: analisi di correlazione lineare
• una var. qualitativa e una quantitativa: confronto tra le medie
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Test per lo studio dell’associazione tra variabili
• Nella teoria dei test, il ricercatore fornisce ipotesi riguardo la distribuzione della popolazione; tali ipotesi sono parametriche se riguardano il valore di uno ò più parametri della popolazione conoscendone la distribuzione a meno dei parametri stessi; non parametriche se prescindono dalla conoscenza della distribuzione della popolazione.
• Obiettivo dei testObiettivo dei test:: come decidere se accettare o rifiutare un’ipotesi statistica alla luce di un risultato campionario.
Esistono due ipotesi: – HH00 l’ipotesi nulla, cioè l’ipotesi che deve essere verificata– HH11 l’ipotesi alternativa la quale rappresenta, di fatto, l’ipotesi che
il ricercatore sta cercando di dimostrare.
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Legenda:Risultato
(Probabilità)
Stato di Natura
Decisione
NonRifiutare
H0
No errore (1 - )
Errore Secondo Tipo
( β )
RifiutareH0
Errore Primo Tipo
( )
Possibili Risultati Verifica di Ipotesi
H0 Falsa H0 Vera
No Errore ( 1 - β )
Test per lo studio dell’associazione tra variabili
• Si può incorrere in due tipologie di errore:
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• Errore di Primo Tipo – Rifiutare un’ipotesi nulla vera– Considerato un tipo di errore molto serio
• Chiamato livello si significatività del test• Fissato a priori dal ricercatore (i valori comuni sono 0.01, 0.05, 0.10)
• Errore di Secondo Tipo
– Non rifiutare un’ipotesi nulla falsa
• (1 – β) è definito come la potenza del test
Test per lo studio dell’associazione tra variabili
La probabilità dell’errore di secondo tipo è β
La probabilità dell’errore di primo tipo è
Potenza = 1 – β = probabilità che un’ipotesi nulla falsa venga rifiutata
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Lettura di un test statistico (1)Esempio:
almeno un bi≠01) Ipotesi
b1= b2 = ....=bk = 0 H0:
H1:
2) Statistica test Statistica F
3) p-value
Rappresenta la probabilità di commettere l’errore di prima specie.Può essere interpretato come la probabilità che H0 sia “vera” in base al valore osservato della statistica test
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Lettura di un test statistico (2)
Se p-value piccolo (< ) RIFIUTO H0
Altrimenti (>= ) ACCETTO H0
Il p-value è il più piccolo valore di Il p-value è il più piccolo valore di per il quale Hper il quale H00 pu puòò essere rifiutata essere rifiutata
Fissato un livello di significatività :
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PROC FREQ - Descrizione
La PROC FREQ permette di
• calcolare le distribuzioni di frequenza univariate per variabili qualitative e quantitative discrete
• creare tabelle di contingenza a due o più dimensioni per variabili qualitative e quantitative
discrete
• calcolare indici di dipendenza relativi a tabelle di contingenza
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PROC FREQ – Sintassi generale
proc freq data= dataset option(s);
tables variabile1 * variabile2 /option(s);
run;
Distribuzione di frequenza bivariata
OPTIONS:• noprint non mostra i risultati nella finestra di output• /missing considera anche i missing nel calcolo delle frequenze
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PROC FREQ - Esempio
Variabili qualitative: sesso e operatore telefonico
proc freq data=corso.telefonia;
table sesso * operatore;
run;
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Output PROC FREQ - Esempio
Frequency Percent Row Pct Col Pct
236100.00
156.36
15465.25
5523.31
125.08
Total
13657.63
125.088.8280.00
9138.5666.9159.09
2811.8620.5950.91
52.123.6841.67
M
10042.37
31.273.0020.00
6326.6963.0040.91
2711.4427.0049.09
72.977.0058.33
F
Wind Vodafone Tim 3
Totaloperatoresesso
Table of sesso by operatore
Frequenze congiunte assolute e relative
Distribuzioni marginali: frequenze marginali assolute e relative
Frequenze subordinate
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Output PROC FREQ - Esempio
Frequency Percent Row Pct Col Pct
236100.00
156.36
15465.25
5523.31
125.08
Total
13657.63
125.088.8280.00
9138.5666.9159.09
2811.8620.5950.91
52.123.6841.67
M
10042.37
31.273.0020.00
6326.6963.0040.91
2711.4427.0049.09
72.977.0058.33
F
Wind Vodafone Tim 3
Totaloperatoresesso
Table of sesso by operatore
freq. marginale assoluta=7+27+63+3
freq. marginale relativa=(7+27+63+3)/236*100
freq. subordinate:
% di riga=5/136*100
% di col=5/12*100
freq. congiunta relativa =(7/236)*100
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PROC FREQ - Descrizione
La PROC FREQ permette di
• calcolare le distribuzioni di frequenza univariate per variabili qualitative e quantitative discrete
• creare tabelle di contingenza a due o più dimensioni per variabili qualitative e quantitative
discrete
• calcolare indici di dipendenza relativi a tabelle di contingenza
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Test chi-quadro – Indipendenza statistica
• Si applica alle tabelle di contingenza a due dimensioni
• Per testare l’hp di indipendenza statistica tra le due variabili della tabella (ossia, la distribuzione di X non è influenzata da Y e viceversa)
• Si calcola con la PROC FREQ (opzione CHISQ)
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PROC FREQ – Sintassi generale
proc freq data= dataset option(s);
tables variabile1 * variabile2 /option(s);
run;
Calcolo dell’indice chi-quadro
OPTIONS:• noprint non mostra i risultati nella finestra di output• /missing considera anche i missing nel calcolo delle frequenze• /chisq calcola l’indice chi-quadro e altre misure di
associazione basate sul chi-quadro
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Esempio n°1- Test chi-quadro – Indipendenza statistica
proc freq data=corso.telefonia;
table sesso * computer /chisq;
run;
C’è indipendenza statistica tra le variabili sesso del rispondente (SESSO) e possesso del computer (COMPUTER)?
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Le frequenze della variabile COMPUTER subordinata a SESSO:Le frequenze della variabile COMPUTER subordinata a SESSO:
Esempio n°1- Test chi-quadro – Indipendenza statistica
Le frequenze della variabile di SESSO subordinata a COMPUTER:Le frequenze della variabile di SESSO subordinata a COMPUTER:
Cosa sono le frequenze Cosa sono le frequenze subordinate?subordinate?Frequency
PercentRow Pct 0 1Col Pct 16 84 100
6.78 35.59 42.3716 84
28.57 46.6740 96 136
16.95 40.68 57.6329.41 70.5971.43 53.33
56 180 23623.73 76.27 100
F
M
Total
Table of sesso by computersesso(sesso) computer(computer) Total
sesso=F
Cumulative CumulativeFrequency Percent
0 16 16 16 161 84 84 100 100
sesso=M
Cumulative CumulativeFrequency Percent
0 40 29.41 40 29.411 96 70.59 136 100
computercomputer Frequency Percent
computercomputer Frequency Percent
computer = 0
Cumulative CumulativeFrequency Percent
F 16 28.57 16 28.57M 40 71.43 56 100
computer = 1
Cumulative CumulativeFrequency Percent
F 84 46.67 84 46.67M 96 53.33 180 100
sesso
sesso Frequency Percent
sesso
sesso Frequency Percent
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Le frequenze subordinate (di SESSO subordinata a COMPUTER e viceversa) sono diversedenota influenza di ognuna delle due variabili sulla distribuzione dell’altra (=dipendenza statistica)
Esempio n°1- Test chi-quadro – Indipendenza statistica
FrequencyPercentRow Pct 0 1Col Pct 16 84 100
6.78 35.59 42.3716 84
28.57 46.6740 96 136
16.95 40.68 57.6329.41 70.5971.43 53.33
56 180 23623.73 76.27 100
F
M
Total
Table of sesso by computersesso(sesso) computer(computer) Total
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Esempio n°1- Test chi-quadro – Indipendenza statistica
Il p-value del test chi-quadro è basso (<0.05) rifiuto l’hp nulla di indipendenza statistica le due variabili sono statisticamente dipendenti
Statistic DF Value ProbChi-Square 1 5.7275 0.0167Likelihood Ratio Chi-Square 1 5.9139 0.015Continuity Adj. Chi-Square 1 5.0104 0.0252Mantel-Haenszel Chi-Square 1 5.7032 0.0169Phi Coefficient -0.1558Contingency Coefficient 0.1539Cramer's V -0.1558
Possiamo concludere che le due variabili sono statisticamente dipendenti?
Si considera la distribuzione χ², con un numero di gradi di libertà pari a (k-1)(h-1), dove k è il numero di righe e h il numero di colonne della tabella di contingenza. Qui:
H0 : indipendenza statistica tra X e Y
H1 : dipendenza statistica tra X e Y
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proc freq data=corso.telefonia;
table sesso * marca /chisq;
run;
C’è indipendenza statistica tra le variabili SESSO e MARCA?
Esempio n°2 - Test chi-quadro – Indipendenza statistica
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Esempio n°2 - Test chi-quadro – Indipendenza statistica
Attenzione: molte celle con frequenze congiunte assolute molto bassetest non molto affidabile
Frequency
PercentRow Pct Altro Lg Motorola Nek Nokia PalmOne Samsung Siemens Sony
EricssonCol Pct 2 8 19 2 45 1 15 1 7 100
0.85 3.39 8.05 0.85 19.07 0.42 6.36 0.42 2.97 42.372 8 19 2 45 1 15 1 7
33.33 61.54 36.54 50 43.69 100 37.5 20 58.334 5 33 2 58 0 25 4 5 136
1.69 2.12 13.98 0.85 24.58 0 10.59 1.69 2.12 57.632.94 3.68 24.26 1.47 42.65 0 18.38 2.94 3.68
66.67 38.46 63.46 50 56.31 0 62.5 80 41.676 13 52 4 103 1 40 5 12 236
2.54 5.51 22.03 1.69 43.64 0.42 16.95 2.12 5.08 100
F
M
Total
Table of sesso by marcasesso marca Total
![Page 22: Analisi Bivariata e Test Statistici Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e Management Esercitazione n°5](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081515/5542eb4e497959361e8bd676/html5/thumbnails/22.jpg)
Esempio n°2 - Test chi-quadro – Indipendenza statistica
Il p-value del test chi-quadro è alto accetto l’hp di indipendenza statistica le due variabili sono statisticamente indipendenti
Statistic DF Value ProbChi-Square 8 7.0754 0.5285
Likelihood Ratio Chi-Square
8 7.5018 0.4836
Mantel-Haenszel Chi-Square
1 0.0103 0.9191
Phi Coefficient 0.1731Contingency Coefficient 0.1706
Cramer's V 0.1731
than 5. Chi-Square may not be a valid test.
WARNING: 44% of the cells have expected counts less
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Test t – Indipendenza lineare
• Si applica a variabili quantitative
• Per testare l’hp di indipendenza lineare tra due variabili (ossia, il coefficiente di correlazione lineare tra X e Y è nullo)
• Si calcola con la PROC CORR
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PROC CORR - Descrizione
La PROC CORR permette di
• calcolare la correlazione tra due o più variabili quantitative
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PROC CORR – Sintassi generale
proc corr data= dataset;
var variabile1 variabile2 … variabilen;
run;
Correlazione tra due o più variabili
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PROC CORR - Esempio
Correlazione tra il numero medio di ore di utilizzo del telefono cellulare e del fisso al giorno.
proc corr data=corso.telefonia;
var cell_h fisso_h;
run;
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Output PROC CORR - Esempio
Coefficiente di correlazione lineare ρ(X,Y): è un indice relativo, assume valori compresi tra -1 e 1. Se ρ >0 (ρ <0) la relazione tra X e Y è lineare positiva (negativa), se ρ =0 non c’è relazione lineare.
1 2 3 4 5fi sso_h
5
10
15
20
c
e
l
l
_
h
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Esempio n°1 - Test t – Indipendenza lineare
C’è indipendenza lineare tra il numero medio ore utilizzo cellulare al giorno(CELL_H ) e il numero medio ore utilizzo telefono fisso al giorno (FISSO_H)?
proc corr data=corso.telefonia;
var cell_h fisso_h;
run;
![Page 29: Analisi Bivariata e Test Statistici Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e Management Esercitazione n°5](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081515/5542eb4e497959361e8bd676/html5/thumbnails/29.jpg)
Esempio n°1 - Test t – Indipendenza lineare
Il p-value del test t è basso rifiuto l’hp di indipendenza lineare esiste una relazione lineare tra le due variabili, anche se non molto forte (il coefficiente di correlazione lineare è non nullo ma ha valore non molto elevato)
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Esempio n°2 - Test t – Indipendenza lineare
C’è indipendenza lineare tra il numero medio ore utilizzo telefono fisso (FISSO_H ) e il numero medio di email inviate al giorno (EMAIL_H)?
proc corr data=corso.telefonia;
var fisso_h email_h;
run;
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Esempio n°2 - Test t – Indipendenza lineare
Il p-value del test t è alto accetto l’hp di indipendenza lineare non esiste una relazione lineare tra le due variabili
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Esercizi
1.Testare se le variabili area geografica e sesso del data set DENTI sono statisticamente indipendenti
2.Testare l’ipotesi di indipendenza lineare tra le variabili consumo di dentifrici della marca A e numero di contatti pubblicitari totali del data set DENTI