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Integrali curvilinei
Universita di Brescia
Analisi Matematica B
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Verso di percorrenza
In generale vale la seguente regola: se γ : [a, b]→ Rn e una curva er : [c , d ]→ Rn e una sua riparametrizzazione con ϕ : [c , d ]→ [a, b], cioe
r(s) = γ(ϕ(s)), s ∈ [c , d ], allora
1 γ e r hanno lo stesso verso di percorrenza se ϕ : [c , d ]→ [a, b] ecrescente, cioe r e una riparametrizzazione concorde di γ.
2 γ e r hanno i versi di percorrenza opposti se ϕ : [c, d ]→ [a, b] edecrescente, cioe r e una riparametrizzazione discorde di γ.
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Esempio
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Esempio
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Integrali curvilinei per campi scalari
Definizione (Integrale curvilineo di un campo scalare)
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R un campo scalare continuo. Siainoltre γ : [a, b]→ Rn una curva regolare a tratti tale che γ([a, b]) ⊂ Ω.Chiamiamo integrale curvilineo di f lungo γ la quantita∫
γf :=
∫ b
af (γ(t)) ‖γ′(t)‖ dt.
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Osservazioni
Per f ≡ 1 si ha ∫γf = L(γ).
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Interpretazione geometrica
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Applicazioni
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Esempio
Sia f : R2 → R il campo scalare definito da
f (x , y) = 2x2 + xy + y2,
e sia γ : [0, 1]→ R2
γ(t) = (t, 2t) t ∈ [0, 1].
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Esempio
Sia f : R2 → R il campo scalare definito da
f (x , y) =y2
x2 + y2
e sia γ : [0, π]→ R2
γ(t) = (cos t, sin t) t ∈ [0, π].
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Dalla definizione dell’integrale curvilineo per campi scalari e dalle proprietadell’integrale di Riemann segue
Teorema (Proprieta di integrali curvilinei per campi scalari)
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e siano f , g : Ω→ R due funzioni continue. Siainoltre γ : [a, b]→ Rn una curva regolare a tratti tale che γ([a, b]) ⊂ Ω.Valgono le seguenti proprieta:
1 Linearita : per ogni α, β ∈ R∫γ
(α f + β g) = α
∫γf + β
∫γg .
2 Additivita : se γ = γ1 ∪ γ2, allora∫γf =
∫γ1
f +
∫γ2
f
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Teorema (Invarianza per riparametrizzazione)
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R un campo scalare continuo. Sianoinoltre γ : [a, b]→ Rn una curva di classe C 1([a, b]) a valori in Ω er : [c , d ]→ Rn una riparametrizzazione di γ. Allora vale∫
γf =
∫rf
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Dimostrazione
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Integrali curvilinei per campi vettoriali
Definizione (Integrale curvilineo di un campo vettoriale)
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia F : Ω→ Rn un campo vettoriale continuo. Siainoltre γ : [a, b]→ Rn una curva regolare a tratti tale che γ([a, b]) ⊂ Ω.Chiamiamo integrale curvilineo di F lungo γ la quantita∫
γF :=
∫ b
aF (γ(t)) · γ′(t) dt.
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Scrivendo F (x) = (F1(x), . . . ,Fn(x)) e γ(t) = (γ1(t), . . . , γn(t)) si ha∫γF =
∫ b
a
n∑j=1
Fj(γ(t)) γ′j(t) dt
Se γ e una curva chiusa, allora scriviamo∮γF
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Esempio
Sia F : R2 → R2 il campo vettoriale definito da
F (x , y) = (xy ,−y)
e sia γ : [0, 1]→ R2 la curva data da
γ(t) = (t, t2) t ∈ [0, 1].
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Nel modo del tutto analogo al caso di campi scalari si ottiene
Teorema (Proprieta di integrali curvilinei per campi vettoriali)
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e siano F ,G : Ω→ Rn due campi vettorialicontinui. Sia inoltre γ : [a, b]→ Rn una curva regolare a tratti tale cheγ([a, b]) ⊂ Ω. Valgono le seguenti affermazioni:
1 Linearita : per ogni α, β ∈ R∫γ
(αF + β G ) = α
∫γF + β
∫γG .
2 Additivita : se γ = γ1 ∪ γ2, allora∫γF =
∫γ1
F +
∫γ2
F
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Teorema (Riparametrizzazione per integrali di campi vettoriali)
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia F : Ω→ Rn un campo vettoriale continuo.Siano inoltre γ : [a, b]→ Rn una curva di classe C 1([a, b]) a valori in Ω.Sia r : [c , d ]→ Rn una riparametrizzazione di γ; cioe
r(s) = γ(ϕ(s)) s ∈ [c , d ]
dove ϕ : [c , d ]→ [a, b] e una funzione biettiva derivabile .
1 Se r e concorde di γ (ϕ e crescente), allora∫γF =
∫rF .
2 Se r e discorde di γ (ϕ e decrescente), allora∫γF = −
∫rF .
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Dimostrazione:
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Esempi:
∫γF con
F (x , y) = y2~i1 + x~i2,
~r1(t) = t~i1 + t~i2, t ∈ [0, 1]
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∫γF con
F (x , y) = y2~i1 + x~i2,
~r2(t) = t~i1 + t2~i2, t ∈ [0, 1]
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∫γF con
F (x , y) = y2~i1 + x~i2,
~r3(t) =√t~i1 + t~i2, t ∈ [0, 1]
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∫γF con
F (x , y) = y2~i1 + x~i2,
~r4(t) = (1− t)~i1 + (1− t)~i2, t ∈ [0, 1]
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