Universidad Simón Bolívar Departamento de Conversión y Transporte de Energía
CT-‐4311. Conversión de energía IV Tarea 2
Prof. José Manuel Aller
ANÁLISIS DE LA MÁQUINA SINCRÓNICA EN RÉGIMEN PERMANENTE CONSIDERANDO EL EFECTO DE LA SATURACIÓN
(Tarea N° 2)
Alumno:
Freiber Rojas 09-‐10752
Sartenejas, Febrero de 2013
Problema:
Una máquina sincrónica de rotor liso de 100 MVA de potencia nominal, 10 kV, fp nominal 0.85, un par de polos, 60 Hz, corriente de campo nominal 300 A, tiene una reactancia de cortocircuito de 1,0 pu. La reactancia de dispersión es de 0.2 pu. La característica de vacío se puede representar mediante la siguiente función en matlab: % Lm0: Inductancia no saturada (2 pu) % Lmsat: Inductancia saturada (.2 pu) % PsiT: Flujo de transición (.93 pu) % fT: Anchura de la transición (1 pu) function plsaturation(Lm0, Lmsat, PsiT, fT) iT = 1/Lm0*PsiT; Psimax = 4*iT*Lmsat+PsiT Psim = [0:0.002:1]*Psimax; tauT = fT / PsiT * Lm0/Lmsat; Mf = 1/Lmsat; Mi = (1/Lm0 - 1/Lmsat*(.5-atan(tauT*PsiT)/pi))/(.5+atan(tauT*PsiT)/pi); im = (Mf-Mi)/pi*(((Psim-PsiT).*atan(tauT*(Psim-PsiT)) - PsiT*atan(tauT*PsiT))+ .5/tauT*(log(1+(tauT*PsiT)^2) - log(1+tauT^2*(Psim-PsiT).^2)) ) + Psim.*(Mf+Mi)/2; plot(im,Psim); ylabel('\Psi_m'); xlabel('i_m'); grid on;
1. Calcule la máxima potencia reactiva que puede entregar la máquina como condensador sincrónico
2. La corriente de campo máxima 3. La corriente de campo mínima para potencia activa nominal 4. El punto de operación a potencia nominal y factor de potencia unitario 5. El punto de operación a potencia de 30 MW y corriente de campo máxima 6. El punto de operación a potencia de -‐40 MW y corriente de campo nominal 7. La característica de potencia activa en función del ángulo de carga 8. El lugar geométrico de la corriente de armadura que no viola límites de
operación. 9. Determine el triángulo de Potier de esta máquina 10. Determine las curvas en V a tensión nominal para P=[0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y
1.0} pu
Rutinas que se emplearon:
Para resolver esta tarea se programó en matlab una rutina que resuelve el problema directo, es decir, dados los valores de P y Q que genera la máquina encuentra el valor de la corriente de campo así como también los grados de saturación. La rutina es la siguiente:
function [icampo delta sd sq Eq Ed Ef]=problema_directo(P,Q,Ve,Xdisp,Xd,Xq) Ie=conj((P+1i*Q)/Ve); Ee=Ve+1i*Xdisp*Ie; sat_siguiente_q=@(sq)(sq-sat_siguiente_q(sq,Ee,Ve,Ie,Xq,Xdisp)); sq=fsolve(sat_siguiente_q,1); Xqs= (sq-1)/sq*Xdisp+Xq/sq; D=Ve+1i*Xqs*Ie; Eq = abs(Ee)*cos(angle(D)-angle(Ee)); Ed = abs(Ee)*sin(angle(D)-angle(Ee)); sd=plsaturation(Eq)/(Eq/2); Xds= (sd-1)/sd*Xdisp+Xd/sd; Ef=abs(D)+abs(Ie)*(Xds-Xqs)*sin(angle(D)-angle(Ie)); icampo= Ef*sd/2; delta =angle (D); end function s_q_next=sat_siguiente_q (s_q_ini,Ee,Ve,Ie,Xq,Xdisp) Xqs= (s_q_ini-1)/s_q_ini*Xdisp+Xq/s_q_ini; D=Ve+1i*Xqs*Ie; Ed = abs(Ee)*sin(angle(D)-angle(Ee)); s_q_next=plsaturation(Ed)/(Ed/2); end function Ex=fmag(im) Lm0=2; Lmsat=0.2; PsiT=0.93; fT=1; saturacion=@(Psim)(im-plsaturation(Lm0, Lmsat, PsiT, fT,Ex)); Ex=fsolve(saturacion,1); end function im=plsaturation(Psim) Lm0=2;
Lmsat=0.2; PsiT=0.93; fT=1; tauT = fT / PsiT * Lm0/Lmsat; Mf = 1/Lmsat; Mi = (1/Lm0 - 1/Lmsat*(.5-atan(tauT*PsiT)/pi))/(.5+atan(tauT*PsiT)/pi); im = (Mf-Mi)/pi*(((Psim-PsiT).*atan(tauT*(Psim-PsiT)) - PsiT*atan(tauT*PsiT))+ .5/tauT*(log(1+(tauT*PsiT)^2) - log(1+tauT^2*(Psim-PsiT).^2)) ) + Psim.*(Mf+Mi)/2; end
Para resolver el problema inverso se toma en cuenta que la rutina anterior resuelve el método directo. Así pues, para resolver el problema inverso se utiliza el comando fsolve de matlab para encontrar, variando el valor de la potencia reactiva Q para hasta que la corriente de campo que devuelve el método directo sea la especificada en el problema inverso. Con esta metodología se evidencia que las ecuaciones que rigen el comportamiento de la máquina son las mismas, lo único que cambia entre el problema directo y el problema inverso son las condiciones de contorno. La rutina para resolver el problema inverso el la siguiente:
function [Q delta sd sq Eq Ed Ef] = problema_inverso (P,Q0,icampo,Ve,Xdisp,Xd,Xq) fun=@(Q)(icampo-problema_directo(P,Q,Ve,Xdisp,Xd,Xq)); Q=fsolve(fun,Q0); [~, delta sd sq Eq Ed Ef]=problema_directo(P,Q,Ve,Xdisp,Xd,Xq); end
Respuesta a las preguntas:
2) Para hallar la corriente de campo máxima se resuelve el problema directo teniendo en cuenta que esta ocurre cuando la potencia aparente es y el factor de potencia son nominales. Luego el comando empleado es el siguiente:
>>icampo = problema_directo(P,Q,Ve,Xdisp,Xd,Xq)
Con P=0.85pu, Q=0.5268pu, Ve=1pu, Xdisp=0.2, Xd=1pu, Xq=1pu
Con lo que se tiene que la corriente de campo máxima es:
Icampo =1.5642pu; Icampo=469.26ª
1) Para hallar la máxima potencia reactiva que puede entregar la máquina como condensador sincrónico se debe resolver el problema inverso, dado que en este caso la corriente de campo es igual a la corriente máxima y la potencia activa generada es cero. El comando empleado es siguiente:
>>Q =problema_inverso (P,Q0,icampo,Ve,Xdisp,Xd,Xq)
Con P=0pu, Q0=1pu (estimacion inicial), icampo=1.5642pu, Ve=1pu, Xdisp=0.2, Xd=1pu, Xq=1pu
Con lo que se tiene que máxima potencia reactiva que se puede entregar como condensador sincrónico es:
Q=0.4699pu; Q=46.99MVAr
3) Para hallar la corriente de campo mínima para potencia activa nominal hay que tener en cuenta que este caso es el mismo que corresponde a la corriente de campo máxima, lo unico que hay que tomar en cuenta es que ahora el factor de potencia es en adelanto. De igual manera, una vez aclarado lo anterior se resuelve el problema directo:
>>icampo = problema_directo(P,Q,Ve,Xdisp,Xd,Xq)
Con P=0.85pu, Q=-‐0.5268pu, Ve=1pu, Xdisp=0.2, Xd=1pu, Xq=1pu
Con lo que se tiene que la corriente de campo mínima para potencia nominal es:
Icampo =0.5547pu; Icampo=166.4A
4) Para hallar el punto de operación a potencia nominal y factor de potencia unitario se debe resolver el problema directo. Asi se tiene que el comando usado es:
>>[icampo delta sd sq Eq Ed Ef] = problema_directo(P,Q,Ve,Xdisp,Xd,Xq) Con P=0.85pu, Q=0pu, Ve=1pu, Xdisp=0.2, Xd=1pu, Xq=1pu
Asi pues la corriente de campo en este punto de operación es: icampo=0.9042pu. El angulo delta: 𝛿 = 37.88∘ Los grados de saturación el los ejes d y q y la fuerza electromotriz: Sd=1.5563; Sq=1.1182; Ef=1.1619pu. 5) Para hallar el punto de operación a potencia de P=0.3pu y corriente de campo máxima se debe resolver, una vez mas, el problema inverso: >> [icampo delta sd sq Eq Ed Ef] =problema_inverso (P,Q0,icampo,Ve,Xdisp,Xd,Xq) Con P=0.3pu, Q0=1pu (estimacion inicial), icampo=1.5642pu, Ve=1pu, Xdisp=0.2, Xd=1pu, Xq=1pu
Asi pues los valores de Q, la fuerza electromotriz, de los grados de saturacion en d y q y del angulo de carga son:
Q= 0.4830pu; Q=48.3MVAr; Ef=1.2585; Sd=2.4858; Sq=1.0276; 𝛿 = 37.88∘
6) Para hallar el punto de operación a potencia de P=-‐0.4pu y corriente de campo nominal se debe resolver, una vez mas, el problema inverso: >> [icampo delta sd sq Eq Ed Ef] =problema_inverso (P,Q0,icampo,Ve,Xdisp,Xd,Xq) Con P=-‐0.4pu, Q0=-‐0.4pu (estimacion inicial), icampo=1pu, Ve=1pu, Xdisp=0.2, Xd=1pu, Xq=1pu
Asi pues los valores de Q, la fuerza electromotriz, de los grados de saturacion en d y q y del angulo de carga son:
Q= 0.0538pu; Q=5.83MVAr; Ef=1.0562; Sd=1.8935; Sq=1.0533; 𝛿 = 20.05∘ 7)Para hallar la característica de la potencia activa en función del ángulo de carga se trabajó en función problema directo. Dados P y Q el resolver el problema directo consiste en hallar la corriente de campo y el ángulo delta, que lo hace la rutina de matlab llamada problema_directo explicada al principio. Para hallar la característica de P Vs delta se debe tener una rutina que haga precisamente lo contrario, es decir, dados el ángulo de carga y la corriente de campo devuelva el valor de P y de Q. Para eso se hace uso, de nuevo, de la función fsolve de matlab. Dada la función que calcule errores de la corriente de campo y el ángulo de carga deseados y la corriente de campo y el ángulo de carga dados por la resolución del problema directo, fsolve simplemente tendrá la tarea de encontrar los valores de P y Q que hagan cero dicha función de errores. De esta manera, la grafica de P vs delta es la siguiente:
8) Para determinar el lugar geométrico de la corriente de armadura que no viola los limites operacionales se deben trazar dos características. La primera
corresponde al circulo unitario de la corriente de armadura debido a limitaciones de los devanados estatóricos. La segunda tiene que ver con la corriente de campo máxima, para lo cual se varía la potencia activa desde -‐1pu (condición motor) hasta 1pu (condición generador) y se resuelve el problema inverso en cada caso con la corriente de campo máxima para hallar la potencia reactiva de la máquina. Estas dos características forman un lugar geométrico que toma en cuenta tanto las limitaciones de corrientes de armadura como las de campo. Dicho lugar geométrico es el siguiente:
9) Para hallar el triangulo de Potier se debe hallar la característica como condensador sincrónico. Esta consiste variar la tensión de armadura y ajustar la corriente de campo para tener la corriente nominal en la armadura. Cabe destacar que este caso se hace con la máquina como condensador sincrónico, por lo tanto la potencia activa de la máquina es cero. Finalmente, el problema se resuelve mediante el método directo, dado que se tiene P (siempre es cero) y Q (siempre es igual a la tensión de armadura para que la corriente siempre sea 1pu) variando la tensión del estator y hallando la corriente de campo en cada caso. Luego, la característica como condensador sincrónico en función de la corriente de campo manteniendo corriente nominal en la armadura y la características lineal y de vacío para determinar el triangulo de Potier se muestran en la siguiente gráfica:
10) Para determinar las curvas en V a tensión nominal para los valores de potencia P=[0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 1.0] se resolvió el problema inverso haciendo un barrido tanto en los valores de P pedidos como en la corriente de campo, desde 0.4 hasta 1.6 en por unidad. El bucle empleado en matlab para hallar la corriente de armadura en cada caso es el siguiente: P=[0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 1.0]; icampo=0.4:0.01:1.6; Ia=zeros(length(P),length(icampo)); for n=1:length(P) for m=1:length(icampo) Q=problema_inverso (P(n),1,icampo(m),1,.2,1,1); Ia(n,m)=abs(P(n)-1i*Q); end end Con ello se realizó la gráfica de curvas en V:
O aún mejor, en 3D:
11) Otras gráficas interesantes:
Se me ocurrió que una característica que puede ser útil es la de cómo varían los grados de saturación tanto en el eje directo como en el eje cuadratura para valores distintos del factor de potencia que tenga la máquina, manteniendo fija la potencia aparente. Así , para obtener estas gráficas se debe resolver el problema directo para valores de S fijos pero variando el factor de potencia. Los resultados de estos ensayos se muestran en las siguientes gráficas: