ANALIZA 3 - 1. kolokvij1. 12. 2011

Ime in priimek:Vpisna st.:

1. [25] Poisci splosno resitev naslednje NDE

(1 + xy + y3) dx+ (2y + x2 + xy2) dy = 0,

ce ves, da je integrirajoci mnozitelj oblike µ(x, y) = f(x+ y2), pri neki(gladki) funkciji f = f(z).

2. [25] Poisci resitev naslednje NDE

y′′′ = y2y′,

ki zadosca pogojem y(0) = 1, y′(0) = 1/√

6, y′′(0) = 1/3.

3. Naj bosta R, l > 0. Na zacetku na tocki (0, R) miruje motorni coln.Nanj je z vrvjo dolzine l privezan smucar na vodi, ki miruje na tocki(0, R+ l). V danem trenutku se zacne coln premikati v pozitivni smeripo kroznici radija R s srediscem v koordinatnem izhodiscu in pri temvleci smucarja za sabo. Ce pri tem vrv med smucarjem in colnom vescas ostane napeta (ter dolzine l), imenujemo krivuljo, po kateri potujesmucar krozna traktrisa. Naj bo y = y(x) funkcija, cigar graf podajazaceten segment krozne traktrise.

(a) [10] Zapisi NDE in zacetni pogoj, ki jima zadosca y = y(x).

(b) [10] Iz (a) izpelji, da sta NDE in zacetni pogoj za krozno traktrisov polarnih koordinatah (r = r(ϕ))

R2 − l2 − r2 =2lr dr

dϕ√r2 +

(drdϕ

)2 , r(0) = R + l.

(c) [10] Resi NDE iz (b) za primer R = l.

4. [25] Naj bosta f, g ∈ C1(R2) in velja

f(x, y)x+ g(x, y)y = 0, ∀(x, y) ∈ S1 = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 = 1}.

Dokazi, da ima Cauchyjeva naloga (za funkciji x = x(t), y = y(t))

x = f(x, y),

y = g(x, y),

x(0) = x0, y(0) = y0,

resitev na celem R, ce je x20 + y20 < 1.

1 I

l I

r I, f

. .tX0l'L~ '. t

[r C~"~"17)Jt ­ [~(l~ ~X~-I-Xf)]k I ry (If xl-\; 'i") t f{)(4~,~) :::- tJ<. (21+1< ?'>'Yf) t-t (7.'<~l)

I t y (IU'1-t ~,) -t,. CZ 1tl'ttt) = t (x -?-/)

t~ ,t(x.-Uj~) I I -

~' '21 (\-p '1-1 ']\')- ~ \ (z. 7-\f/>t~'l) ~ I- 0..- l'7 ')

l (1'1" 2xld~> 41 ,-t){1- Xi) ~-If (-I--l f ) ~I (xl~ ZI'- Xl) ~-:!f(x_7/) i If

-1 (~()<~f) ~l ~~A\ [ ?~ X-f'1~ \ ' r

. - ~ ::; ~ / ~ . t A"° -~ _ cA." g .J I I:t - 7: -> -MA- '~I ~ A-r-e"J{ / 7 -( "" ~

C~) ., JY L

t

t I

(x\ y) ~l '

I ~ +~""'" t (J- ><0\ i(:l.O)~ Y-'/o (Ii

of ~X\YVXP17(10)r)=- e.' (X-k"J\'CY-r~)~lt- (?) t

t (X,I() ,&·f/ ~ 1+ y~ tzL n) + 4.f,Q.. Jb.o~ v;. .

-- .

r J

\ ' ~~f~tun'f , '" r o.,.t\( ­ ~ ~ 'i

-= t' 1. -t y- z.

(rf~'f- V~i)1-

rr'

1

(5)~Po~ je

~, ~'e-vb{d ~• 1/ /eu... fr u; 01.1.

P'"

-+ ~ ~

_

f\>o~\1.{ It (1

:5~' O~ I1J..

-ta.~j St

X~xU)1 /~)!I-)

~tA ~?(-f-)T f(+)<: I f-l f ~.Obtr.<. i''' \'l"JI 70V) ) (,(,fO\'tt1r.> /IM.'Cl

1

NI3 ] 11 =: ~., <. oc ~ 2. l'

IQ~Je fo k<> ur'

I . ~%;ro.. \M. ~.s TteH~

Q~ l<t>-e, fot~ 1.1

~ .:c.~{o. OJ. <!."CCNt/c

lE~Jr.i de.. it<. uwt"i.ell

L..kl:., 'iCcfW <W.d.

r" ().::;', h~ ( ;,.,. bD \1 L,~

M~ IlA ~<.~l (~~:'5~1II ~ M('A

of (jX''1 1

i In~-d <: 1 ol LC>(\ ~VOI-))

. . _ I

ocl:.-.,-1, ~t. Ji10.. V B!J.<>+s(lQ.~ b>J '" . {

C ~IlMI~ ~'u.{ 1, ~ j > '0Mo S rot. Sf I L.' ~ oella' ~

-to.ct,~ r-Qs OJ 'A, _

t ~ro~~ ~lt(GQ-kJ~(fW. r '~~otR.\M.O r~ ~.~ WJ de).! loe! .

'2.) X(+)-{'17(~)<..1 -\f-t/?~, o\' .... ~ ,-eSI'J.(v) ~ ~o~~ sfl?-hsJ. C"- I, ,- In. ~ao tOt \..It Ie.t x'-(+)-+- f (})z, I! In ' t4'1t<W[,.

x Co )t-{ t (o)z~ f : ~~.f..,~ i H x?(f)t,Y.f.J .3 -to q:

lG.,) ~ 1C.to).d. ~ BS5! to >0 Lpw...,(,Ir -l.,<: 0 k ohlla.Y t<dWt 'fvd..o~ •

lAo) f.bj ho ..£,:", ~ £1 . TGll ~ .j 1 {(LV- ) };:: U{fCj'tylUI}:: } ~ S<" Dt<tr ol~ (tf~(;P

I

1~'"I o li.e ~ c.:.

v-Ci, ~v 1

/'lJ.I>- J.,w~

o ~

:

I

-J :

-t-I---.

j

I

-i-I-I---i j

•

1

l I[ t j ,:1 1 I 1

, j I I .. I t l.

-\' (0) -t C! I ,-t-IAJ>\; -'{&.. LJ.f tMIt- tAt I",' , I 1 0 v,J,1 0... x \ '{( \. '\)D r\P -h'~ IO'}'L 1fT r 1

P_~de",,-0 t "'-Ii. I c{1ll. f'" tp..~e"""'! k D)" ~ -f 4 e..... jl f I

C'IA , ~ = fez, ')') [ f 1 ~ ~ j C~r 5) lj (t1) f

)(C-h~ x'HI) 7(+1 'F"j (+1) . 1 [

~ -t \ ~ \Ovl4--lAO >+] 0 X l.-t yl~ I -1', V\ltOV--~

r0 ~~ :w..y-~\;, lQ "-, eo\,;:~. VG- ~j lr: "- Ve.tj Q..:>\h +ow\..: ~7.""j'- \ i /COAr J II

~V<>l-'~tOV')'tA -c lMWO det' ~I I r 'I --Pre.':) 7-f.,.t""" fO'~'r' °\o~ fOJ' ~I'-e ~O ~ ,I TrW r~ XI)r

\:t ~1(~\ ~1\C()5r-t~(COSrl(\"'/'I~rc

s1~' ! i (C?S'fl S"" i ') '" 0( {fh;" 'f ~ ' f I

r 1 3 (c<)5fI f ~~ ') ~'d-( 1) cJJ? f <fq w.\t.o 1:ye-flLOtJ~(f) ' O~I.t..)·UMA<l l( G,) = W> to) y aIL)h. r"

Go..u.c'-') /.va W>lo~ Q CT'l +--\"«'7'0

I t '-f:= - ~ 1 r

. 1 I 'f (~f)::: Y;o I I

~ ~ (\{y \,«),.. olw~c 'L Lro

, I ~ C-\.l= If l-l')CPS1

t t' 1c~ ') =' ~ ~ (-\-'1 I I

'f ='f $-)} :

C'e )

OT£<Lf.ll>t'>; ro i.e 1M.