Download - Analiza matematica Raspunsuri
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
1/55
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
2/55
2
10. Fie functia reala f : X , X n ; daca in punctul a X , f este continua si f (a ) 0, exista ovecinatate V a lui a astfel incat pentru orice x V X sa avem f ( x) f (a ) < 0.
11. Daca functia vectoriala f : X m , X n este continua in punctul a X si f (a ) 0, atunci exista ovecinatate V a lui a astfel incat pentru orice x V X sa avem f ( x) 0.
12. Functia f ( x, y) =3 xy4
2 x2 +7 y8
0
( x, y) (0,0)( x, y) = (0,0)
este continua in origine.
13. O functie vectoriala continua pe un interval compact I n , este marginita pe I .
14. O functie vectoriala continua pe un interval compact I n , este uniform continua pe I .
15. Orice functie vectoriala continua pe un interval compact I n , este diferentiabila pe I .
16. O functie vectoriala continua pe un interval compact I n , isi atinge efectiv marginile pe I .
17. Fie f : X , X 2 . Cand derivam partial in raport cu variabila x, aceasta (variabila x) este
considerata constanta si derivam ca si cum am avea o singura variabila: y.
18. Fie f : X , X 2 . Cand derivam partial in raport cu variabila y, variabila x este considerataconstanta si derivam ca si cum am avea o singura variabila y.
19. Daca f ( x, y) = sin( x2 + y2 ) , ( x, y) 2 , atunci f x' ( x, y) = 2 xcos( x2 + y2 ).
20. Daca f ( x, y) = sin( x2 + y2 ) , ( x, y) 2 , atunci f y' ( x, y) = 2 ycos( x2 + y2 ).
21. Daca functia reala f ( x1 , x2 , . . . , xn ) este continua partial in raport cu variabila xk in punctula = (a 1 , a 2 , . . . , a n ), atunci f este derivabila partial in raport cu xk in punctul a
F
A
F
A
F
F
A
F
A
A
F
A
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
3/55
3
22. Daca functia reala f ( x1 , x2 , . . . , xn ) este derivabila partial in raport cu variabila xk in punctula = (a 1 , a 2 , . . . , a n ), atunci f este continua partial in raport cu xk in punctul a.
23. Daca functia reala f ( x1 , x2 , . . . xn ) este derivabila partial in raport cu fiecare variabila x1 , x2 , . . . xn in punctul a , atunci f este continua in raport cu fiecare variabila in parte in punctul a.
24. Fie f : X , X n . Deoarece derivarea partiala in raport cu o variabila xk este de fapt derivareafunctiei in raport cu xk , celelalte variabile fiind considerate constante rezulta ca regulile de derivarestabilite pentru functiile de o variabila se mentin si pentru derivarea partiala.
25. Fie f : X , X n . Deoarece derivarea partiala in raport cu o variabila xk este de fapt derivareafunctiei in raport cu xk , celelalte variabile fiind considerate constante rezulta ca operatiile algebriceefectuate asupra functiilor derivabile partial conduc tot la functii derivabile partial, adica suma,diferenta, produsul, catul a doua functii derivabile partial reprezinta tot o functie derivabila partial.
26. Dac funcia f e difereniabil n (x 0, y0) atunci ea este continu n acest punct.
27. Dac funcia f are derivate pariale f x, fy ntr-o vecintate V a lui (x 0,y0) i dac acestederivate pariale sunt continue n (x 0, y0) atunci funcia f este difereniabil n (x 0, y0).
28. Se considera functia f ( x, y) = x +2 y. Atunci f ' x( x, y) = f ' y( x, y)
29. Se considera functia f ( x, y) = x2 xy +3 y2 . Atunci f x
2" ( x, y) = f
y2
" ( x, y).
30. Se considera functia f ( x, y) = x2 xy +3 y2 . Atunci derivatele mixte f xy" ( x, y) si f yx
" ( x, y) sunt egale.
31. Se considera functia f ( x, y) = x3 + y3 . Atunci derivatele mixte f xy" ( x, y) si f yx
" ( x, y) sunt egale.
32. Se considera functia f ( x, y) = x2 +2 xy + y3 +4. Atunci derivatele mixte f xy" ( x, y) si f yx" ( x, y) sunt egale.
33. Orice functie f : 2 are puncte stationare.
A
A
A
A
A
A
F
F
A
A
A
F
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
4/55
4
34. Orice functie f : 2 are cel mult 1 punct de extrem.
35. Orice functie f : 2 are cel mult 2 puncte stationare.
36. Daca functia f are derivate partiale mixte de ordinul doi f xy
" si f yx
" intr-o vecinatate V a unui punct
(a ,b) si daca f xy" si f yx
" sunt continue in (a, b) , atunci f xy" (a ,b) = f yx
" (a ,b).
37. Se considera functia f ( x, y) = 2 x + y. Atunci f nu are puncte stationare.
38. Daca functia f : 2 are derivate partiale intr-un punct de extrem (a ,b), atunci derivatele partialede anuleaza in acest punct '( , ) '( , ) 0 x y f a b f a b= = .
39. Daca (a ,b) este un punct de extrem local al functiei f : 2 si daca f x
2" (a ,b) < 0, atunci (a ,b) este
punct de minim.
40. Daca (a ,b) este un punct de extrem local al functiei f : 2 si daca f x
2" (a ,b) > 0, atunci (a ,b) este
punct de maxim.
41. Daca functia f : X , X 2 are derivate partiale mixte de ordinul doi intr-o vecinatate V a lui( x, y) X si daca f xy' ' este continua in ( x, y), atunci f xy' ' ( x, y) = f yx' ' ( x, y)
42. Fie f : X , X 2 o functie de doua variabile, derivabila partial de doua ori pe X , cu toatederivatele partiale de ordinul doi continue. Diferentiala sa de ordinul al doilea este
d 2 f ( x, y) =2 f x2
dx 2 22 f x y
dxdy +2 f y2
dy 2
43. Fie f : X , X 2 o functie de doua variabile, care are in X toate derivatele partiale de ordinul n sitoate aceste derivate partiale sunt continue. Diferentiala sa de ordinul n este
d n f ( x, y) =n f xn
dx n +C n1
n f
xn 1 ydx n 1 dy +. . .+C n
k n f
xn k yk dx n k dy k +. . .+
n f yn
dy n
F
F
A
A
A
F
F
A
F
A
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
5/55
5
44. Fie f : X , X 2 o functie de doua variabile. Daca (a ,b) X este punct stationar pentru f , atunci(a,b) este punct de extrem al lui f.
45. Fie f : X , X 2 o functie de doua variabile. Daca (a ,b) X este punct de extrem pentru f ,atunci (a,b) este punct stationar pentru f.
46. Fie f ( x1 , x2 , . . . , x p) o functie definita pe X p
, derivabila de trei ori pe X . Fie (a 1 , . . . , a p ) o solutie
a sistemului f x1
= 0,. . . , f x p
= 0.
Daca toate numerele 1 = A11 , 2 =A11 A12
A21 A22
|||||
|||||,..., p =
A11 A12 . . . A1 p
A21 A22 . . . A2 p
. . . . . . . . . . . .
A p1 A p2 . . . A pp
||||||||||
||||||||||
, unde
Aij =2 f
xi x j(a 1 , a 2 , . . . , a p), sunt pozitive, atunci functia f ( x1 , x2 , . . . , x p) are in punctul (a 1 , . . . , a p )
un minim.
47. Fie f ( x1 , x2 , . . . , x p) o functie definita pe X p
, derivabila de trei ori pe X . Fie (a 1 , . . . , a p ) o solutie
a sistemului f x1
= 0,. . . , f x p
= 0.
Daca toate numerele 1 = A11 , 2 =A11 A12
A21 A22
|||||
|||||,..., p =
A11 A12 . . . A1 p
A21 A22 . . . A2 p
. . . . . . . . . . . .
A p1 A p2 . . . A pp
||||||||||
||||||||||
, unde
Aij =2 f
xi x j(a 1 , a 2 , . . . , a p), sunt pozitive, atunci functia f ( x1 , x2 , . . . , x p) are in punctul (a 1 , . . . , a p )
un maxim.
F
A
A
F
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
6/55
6
48. Fie f ( x1 , x2 , . . . , x p) o functie definita pe X p
, derivabila de trei ori pe X . Fie (a 1 , . . . , a p ) o solutie
a sistemului f x1
= 0,. . . , f x p
= 0.
Daca toate numerele 1* = A11 , 2* =A
11A
12
A21 A22
|||||
|||||,..., p* = (1)
p
A11 A12 . . . A1 p
A21
A22
. . . A2 p
. . . . . . . . . . . .
A p1 A p2 . . . A pp
||||||||||
||||||||||
, unde
Aij =2 f
xi x j(a 1 , a 2 , . . . , a p), sunt pozitive, atunci functia f ( x1 , x2 , . . . , x p) are in punctul (a 1 , . . . , a p )
un minim.
49. Fie f ( x1 , x2 , . . . , x p) o functie definita pe X p
, derivabila de trei ori pe X . Fie (a 1 , . . . , a p ) o solutie
a sistemului f
x1= 0,. . . ,
f
x p= 0.
Daca toate numerele 1* = A11 , 2* =
A11 A12
A21 A22
|||||
|||||,..., p* = (1)
p
A11 A12 . . . A1 p
A21 A22 . . . A2 p
. . . . . . . . . . . .
A p1 A p2 . . . A pp
||||||||||
||||||||||
, unde
Aij
=2 f
xi x j(a
1, a
2, . . . , a
p), sunt pozitive, atunci functia f ( x
1, x
2, . . . , x
p) are in punctul (a
1, . . . , a
p)
un maxim.
50. Integrala curbilinie de primul tip nu depinde de sensul de parcurgere a drumului de intregrare.
51. Integrala curbilinie de primul tip depinde de sensul de parcurgere a drumului de intregrare.
52. Integrala curbilinie de al doilea tip isi schimba semnul atunci cand se schimba sensul de parcurgere adrumului de integrare.
53. Integrala curbilinie de al doilea tip nu isi schimba semnul atunci cand se schimba sensul de parcurgerea drumului de integrare.
A
F
A
A
F
A
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
7/55
7
MULTIPLE CHOICE
1. Alege raspunsul care completeaza cel mai bine spatiul liber din enuntul urmator.Fie I un interval necompact si functia f : I . Spunem ca functia f este ..................... daca
[a ,b] I , f | [a ,b] este integrabila.
a. liber integrabila;
b. local integrabila;c. global integrabila;d. continua.
2. Un drum cu lungime finita se numestea. juxtapozabil;
b. inversabil;c. rectificabil;d. poligonal.
3. Fie drumul d :[a ,b] X . Drumul (d ):[ a ,b] X , definit prin (d )(t ) = d (a +b t ) se numestea. inversul lui d ;
b. concatenatul lui d ;c. imaginea lui d ;d. alt raspuns.
4. Fie ( X , ) un spatiu topologic. O functie continua d :[a ,b] X astfel incat d ([a ,b]) este multimecompacta si conexa se numestea. bijectie in X ;
b. drum in X ;c. homeomorfism in X ;
d. alt raspuns.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
8/55
8
5. Sa se completeze urmatoarea teorema cu concluzia corecta.Fie M 2 , un domeniu simplu in raport cu una din axe si fie M un drum simplu, inchis, de clasaC 1 pe portiuni, pozitiv orientat (sensul de parcurgere pe M lasa domeniul M in stanga), a caruiimagine este frontiera topologica a lui M .Fie D o multime deschisa astfel incat M D si fie functiile P ,Q: D , derivabile cu derivatelecontinue. Atunci
a.Q x +
P y
dxdy = Pdx +Qdy
M M ;
b.Q x
P y
dxdy = Pdx +QdyM
M
;
c. P x
Q y
dxdy = Pdx QdyM
M
;
d.Q y
P x
dxdy = Pdx +QdyM
M
.
6. Fie f :[a ,b] , g :[a ,b] doua functii integrabile Riemann. Atunci:a. functia fg este continua;
b. functia fg este integrabila Riemann;c. functia fg este derivabila.
7. Fie f :[a ,b] o functie integrabila Riemann. Atuncia. f are proprietatea lui Darboux;
b. f este continua;c. f este marginita.
8. Fie f :[0, ) si g :[0, ) functii continue cu proprietatea ca | f ( x)| | g ( x)| pentru orice
x [0, ) si | g ( x)| dx0
este convergenta. Atunci:
a. | f ( x)| dx0
este convergenta;
b. | g ( x)| dx0
este convergenta;
c. | f ( x)| dx0
este convergenta.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
9/55
9
9. Fie functia f : X m , X n si a un ....................... al multimii de definitie X . Se spune ca un vector b m este limita functiei f in punctul a daca pentru orice > 0 exista > 0 astfel incat oricare ar fi x a , x X si x a < sa avem f ( x) b < .a. punct izolat
b. punct de acumularec. punct aderent
10. Fie functia f : X m , X n si a X . Se spune ca functia f este ..................... in punctul a, daca pentru orice > 0 exista > 0 astfel incat oricare x X sa avem f ( x) f (a ) < daca x a < a. constanta
b. derivabilac. continua
11. Fie f :[a ,b] o functie continua. Expresia f 2 ( x)dxa
b
ne da
a. lungimea graficului functiei f b. aria suprafetei de rotatie S = {( x, y, z ) 3 | y2 + z 2 = f ( x), x [ab ]}
c. volumul corpului de rotatie C = {( x, y, z ) 3 | y 2 + z 2 | f ( x)| }
12. Fie f :[a ,b] o functie derivabila cu derivata continua. Expresia 1 +( f '( x)) 2 dxa
b
ne daa. lungimea graficului functiei f
b. aria suprafetei de rotatie S = {( x, y, z ) 3 | y2 + z 2 = f ( x), x [ab ]}
c. volumul corpului de rotatie C = {( x, y, z ) 3 | y 2 + z 2 | f ( x)| }
13. Fie f :[a ,b] + o functie derivabila cu derivata continua. Expresia 2 f ( x) 1 +( f '( x)) 2 dxa
b
ne daa. lungimea graficului functiei f
b. aria suprafetei de rotatie S = {( x, y, z ) 3 | y2 + z 2 = f ( x), x [ab ]}
c. volumul corpului de rotatie C = {( x, y, z ) 3 | y 2 + z 2 | f ( x)| }
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
10/55
1
AM: lungimea unui drum, integrale curbiliniiAn 1 sem 2
MULTIPLE CHOICE
1. Fie functia f :[0,1] , f ( x) = x2 + 1. Lungimea graficului lui f este
a.1
2 2 + ln(1 + 2)
;
b. 2 + ln(1 + 2) ;
c.1
2
1
2ln(2 + 5) + 5
;
d.4
3.
2. Lungimea curbei y = x3 / 2 , unde x [0,4] , este
a. 827
(10 10 1);
b.4
9( 10 1) ;
c. 2.
3. Fie curba data de
x = 3cos t
y = 3sin t
z = 4t
, unde t [0,
2]. Lungimea acestei curbe este
a.
2;
b. 5 ;
c.5
2;
d.
2.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
11/55
2
4. Lungimea curbei data de
x =cos x
xdx
1
t
y =sin x
xdx
1
t
, t 1,
2
este
a. 2
4;
b. ln
2;
c.
2 1.
5. Lungimea curbei data de x= a (t sin t )
y = a (1 cos t )
, t [0,2 ] este
a. a; b. 2a;c. 4a;d. 8a.
6. Lungimea curbei data de x= a cos 3 t
y = a sin 3 t
, t [0,2 ], a > 0 este
a. 3a ; b. 6a ;
c.3a
2.
7. Lungimea curbei data de x= 2sin t
y = 2cos t
, t 0,
3
este
a.
6;
b. 2 3
;
c. 1.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
12/55
3
8. Lungimea curbei data de x= a (cos t + t sin t )
y = a (sin t t cos t )
, t [0,2 ], a > 0 este
a. 2 ; b. 2 1;c. 2 2 a ;d. 4 a .
9. Fie I = xydl C
, unde C : x = t , y = t 2 , t [1,1] . Valoarea lui I estea. 0;
b. 2 1;
c.1
3;
d. 2.
10. Fie I = xydl C
unde C : x =
a
2cos
y =a
2sin
, 0,
2
. Valoarea lui I este
a. 0;
b.a 3
16
2 1
;
c.
a 3
16 .
11. Fie I =dl
x2 + y2 + z 2C
, unde C este prima spira a elicei x = a cos t , y = a sin t , z = bt , t [0,2 ] .Valoarea acestei integrale este
a.a 2 + b 2
abarctan
2 b
a;
b.a 2 + b 2
abarctan
2 a
b;
c.a 2 + b 2
abln
2 b
a;
d.a
2 barctan
2 b
a.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
13/55
4
12. Fie I = xyzdl C
, unde C : x = t
y = t 2
z =2
3t 3
, t [0,1] . Valoarea lui I este
a. 221
;
b.4
27;
c.46
189;
d.6
27.
13. Fie I = xydl C , C fiind sfertul din elipsa
x2
a 2 +y 2
b 2 =1 situat in primul cadran. Valoarea lui I este
a.ab (a 2 + ab + b 2 )
3(a + b);
b. ab (a + b);
c.ab (a 3 + b 3 )
3;
d. 1.
14. Fie I = xyz ( x2 + y2 + z 2 ) dl C
, C =
x = t
y =4
3t
3
2
z = t 2
, t [0,1] . Valoarea lui I este
a.13935
1875;
b.13936
1875;
c.13937
1875.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
14/55
5
15. Fie I = y(2 y) dl , C = x= t sin t
y = 1 cos t , t 0,
2
C
. Valoarea lui I este
a.2 2
3;
b.2 3
2 ;
c.2 5
2.
16. Fie I = ( x2 + y2 ) dl C
, unde C este segmentul de dreapta AB, A(a,a), B(b,b), b>a. Valoarea lui I este
a.2 2
3(b a );
b. 2 23
(b 2 a 2 );
c.2 2
3(b 3 a 3 );
d.2 2
3(b 3 + a 3 ).
17. Fie I = ( x + y) dl C
, unde C este segmentul OA; O(0,0), A(1,2) . Valoarea lui I este
a.3 3
2;
b.3 5
2;
c.3 7
2;
d.3 6
2.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
15/55
6
18. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea 3 xydx y2 dy
, unde
= ( x, y) 2 | y = 2 x2 , x [0,2]
este
a. 110
3;
b.440
3 ;
c. 440
3;
d. 0.
19. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea (3 x2 + 6 y) dx 14 yz dy + 20 xz 2 dz
, unde
= ( x, y, z ) 3 | x = t , y = t 2 , z = t 3 , t [0,1]
este
a. 5; b. 10;c. 15;d. 20.
20. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea I = xy dx y2 dy
, unde
= ( x, y) 2 | x = t 2 , y = t 3 , t [0,1]
este
a. 0;
b.
1
21 ;
c. 1
21;
d.2
21.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
16/55
7
21. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea I = x dy
, unde
= ( x, y) 2 | x = e t , y = ln(1 + e t ), t [0,ln2]
este
a. 1 + ln3
2;
b. 1 + ln2
3 ;
c. 2 + ln2
3;
d. 2 ln2
3.
22. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea I = yz dx + xz dy + xy dz
, unde
= ( x, y, z ) 3 | x = t , y = t 2 , z = t 3 , t [0,1]
este
a.59
42;
b.60
42;
c.61
42;
d.62
42.
23. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea I = x dx + xy dy + xyz dz , unde
= ( x, y, z ) 3 | x = e t , y = e t , z = 2 t , t [0,1]
este
a.e 2
2+
1
e
1
2;
b.e 3
3+
1
e
1
2;
c.e 2
2+
1
e2
1
2;
d.e 2
2+
1
e 2+
1
2.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
17/55
8
24. Fie integrala curbilinie de tipul al doilea I = ( y + 1) dx + x2 dyC
, unde C este curba simpla si
rectificabila care are ca imagine portiunea din parabola y = x2 1, cuprinsa intre punctele A(1,0) si B(1,0) , care are primul capat in B. Valoarea ei este
a.2
3;
b. 23
;
c. 2 ;d. .
25. Fie I =dl
x yC unde C este segmentul de dreapta y = 1
2 x 2 cuprins intre punctele A(0, 2) si
B(4,0) . Valoarea lui I este
a. 5 ln2
b. 5 ln3c. 5 ln8
26. Fie I = xydl C unde C este conturul dreptunghiului ale carui varfuri sunt
A(0,0), B(4,0), C (4,2), D(0,2) . Valoarea lui I estea. 22
b. 23c. 24
27. Calculeaza ( x y)dl C unde C este circumferinta x2 + y2 = ax .
a. a 2
2
b. a 2
3
c. a 2
4
28. Calculeaza 2 ydl C , unde C este primul arc al cicloidei x = a (t sin t ), y = a (1 cos t )
( t [0,2 ] )a. 0
b. 4a a c. sin a
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
18/55
9
29. Calculeaza ( x2 + y2 ) n dl C , unde C este circumferinta x = acos t , y = asin t .
a. 2 a 2n + 1
b. 2 a 2n
c. 2 2 a 2n + 1
30. Calculeaza integrala z 2
x2 + y2dl
C unde C este prima spira a elicei x = acos t , y = asin t , z = at , a > 0.
a.8 3 a 2
3
b. 3 a 2
3
c.8 3 2
3
31. Calculeaza (2 z x2 + y2 )dl C unde C este prima spira a spiralei conice x = t cos t , y = t sin t , z=t.
Indicatie: se ia t [0,2 ]
a.2 2
3(2 2 + 1)
3
2 1
b.2 2
3(2 2 + 1)
3
2 + 1
c.2 2
3
32. Calculeaza integrala xydl C
unde C este conturul patratului | x|+| y| = a , a > 0.a. 0
b. 1000c. a 2008
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
19/55
10
33. Calculeaza integraladl
x2 + y2 + 4C unde C este segmentul AB A(0,0), B(1,2).
a. ln5 + 32
b. ln5 3
2
c. ln5 + 3254
34. Sa se determine lungimea curbei date prin parametrizarea , , .
35. Sa se determine lungimea curbei date prin parametrizarea , , .36. Sa se scrie integrala care reprezinta lungimea curbei data prin parametrizarea
37.Sa se scrie integrala care reprezinta lungimea curbei data prin parametrizarea
38. Sa se evalueze integrala curbilinie unde C este curba data prin parametrizarea
.
39. Sa se evalueze integrala curbilinie unde C este curba data prin parametrizarea
.
40. Sa se evalueze integrala curbilinie unde C este jumatatea dreapta a cercului .
41. Sa se evalueze integrala curbilinie , unde C este segmentul de dreapta care uneste (1,2) cu (4,7).
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
20/55
1
An 1 sem 2
MULTIPLE CHOICE
1. Daca (a ) = x a 1 e x dx0 + 0
, pentru a>0, atuncia. (2) = 0;
b. (2) = 1;c. (2) = 2;d. (2) = 3.
2. Daca (a ,b ) = x a 1 (1 x) b 1 dx0 + 0
1 0
, cu a,b>0 , atunci
a. 1
2,
1
2
= e ;
b. 12
,12
= ;
c. 1
2,
1
2
= ;
d. 1
2,
1
2
=
2
3. Stiind ca (a , b ) = x a 1 (1 x) b 1 dx0 + 0
1 0
, cu a,b>0 , si ca (a ) = x a 1 e x dx
0 + 0
, pentru a>0, sa se
calculeze 1
2
(eventual se poate folosi legatura dintre si ).
a. ; b. ;c. 2 ;d. 2 .
AM: integrale euleriene
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
21/55
2
4. Daca (a ,b ) = x a 1 (1 x) b 1 dx0 + 0
1 0 , cu a,b>0, atunci
a. (3,4) =1
120;
b. (3,4) =
2;
c. (3,4) = 160
;
d. (3,4) =
2
6.
5. Daca (a ) = x a 1 e x dx0 + 0
, pentru a>0, atunci (folosind eventual faptul ca 12
= ) rezulta ca
a. 3
2
=
2;
b. 3
2
=
4;
c. 3
2
=
8;
d. 3
2
=
16.
6. Valoarea integralei de tip Gamma 5 4 2
0
x x e dx este
a.5
1 9 45 52 16
b.5
1 4 95 52 16
c.5
1 9 95 52 16
d.1
2 2 45 9
5
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
22/55
3
7. Valoarea integralei de tip Beta ( )1
23
0
1 x x dx este
a.( )5 3
292
b.
5 123 7
9221
c.16
693
d.( )5 3
25
22
+
8. Folosind proprietatile integralei Gamma, obtinem ca 7
0
x x e dx
este egala cua. 8!
b. 7!c. 6!d. 9!
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
23/55
4
9. Folosind proprietatile integralei Beta, obtinem ca ( )1
53 5 7
0
1 x x dx este egala cu
a.
8 53 7
7121
b.
5 123 7
7121
c.
8 123 7
9221
d.
5 83 7
5921
10. Daca , pentru a>0, atunci ( ) ...9 = ?
11. Daca , cu a,b>0 , atunci ...23
,23
=
B ?
12. Daca , cu a,b>0 , atunci B(3,7)=?
13. Valoarea integralei de tip Beta este?
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
24/55
1
AM: integrala dublaAn 1 sem 2
MULTIPLE CHOICE
1. Se considera I = xy dxdy D
, unde D este domeniul limitat de parabola y = x2 si de dreapta y = 2 x + 3.Valoarea lui I este
a.160
3;
b.161
3;
c.162
3;
d.163
3.
2. Aria domeniului plan marginit de curbele y = x si y = x2 , este:a. 1;
b.1
2;
c.1
3;
d.1
6.
3. Se considera I = (1 y) dxdy D
unde D = ( x, y) 3 | x2 + ( y 1) 2 1, y x2 , x 0
. Valoarea lui I
este:
a.1
13;
b.1
14;
c.1
15;
d. 116
.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
25/55
2
4. Valoarea integralei duble I = 2( x + y) dxdy D
, unde D = ( x, y) 2 | 0 x 1, 0 y 1
, este
a. 1; b. 2;c. 3;d. 4.
5. Prin calcul direct sau folosind formula lui Green rezulta ca integrala (1 x2 ) y dx + x(1 + y2 ) dy
unde
(t ) = (r cos t , r sin t ), cu r > 0 si t [0, ] este egala cu
a. r 4
2;
b. r 4
3;
c. r 4
4;
d. r 4
5.
6. Valoarea integralei duble ( x2 + y) dxdy D
, unde D este domeniul plan marginit de curbele y = x2 si
y2 = x, este
a.31
140;
b. 32140
;
c.33
140;
d.34
140.
7. Valoarea integralei x2 ye xy
dxdy D
, unde D = ( x, y) 2 |0 x 1, 0 y 2
este
a. 0; b. 1;c. 2;d. 3.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
26/55
3
8. Fie integrala dubla I =x2
y2dxdy
D
, unde D este domeniul marginit de dreptele x = 2, y = x si dehiperbola xy = 1. Valoarea lui I este
a.9
4;
b.9
4 ;
c.9 2
4;
d.9 3
4.
9. Sa se calculeze integrala dubla xy2 dxdy D
, D fiind domeniul marginit de curbele y = x2 si y = x.
a. 3
;
b. e 2 1;c. ln2 ;
d.1
40.
10. Sa se calculeze integrala dubla xy dxdy D
, D fiind domeniul marginit de curbele y = x2 si y = x , x [0,1] .
a.e
27;
b.4
27;
c. e 2 ln3 ;d. 5 .
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
27/55
4
11. Sa se calculeze integrala dubla y dxdy D
, unde D: x2 + y2 4
3 y x2
.
a.12 3
5;
b.13 3
5 ;
c.14 3
5;
d. 3 3 .
12. Folosind o schimbare de variabila adecvata, calculati integrala dubla ( x + y)2 dxdy D
, unde
D = ( x, y) 2 | x2 + y2 1
.
a.
6;
b.
4;
c.
3;
d.
2.
13. Folosind o schimbare de variabila adecvata, sa se calculeze integrala dubla x2 y2 dxdy D , unde D este
domeniul marginit de elipsa x2
a 2+
y2
b 2= 1.
a.a 3 b 3
24;
b.a 3 b 3
24 ;
c.
a 3 b 3
24 2
;
d.a 3 b 3
24
3 .
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
28/55
5
14. Calculeaza integrala dubla xy dxdy D
, unde 0 x 1 si 0 y 2.a. 0;
b. 1;c. 2;d. 3.
15. Calculeaza integrala dubla e x + y
dxdy D
, unde 0 x 1 si 0 y 1.a. 0;
b. (e 1) 2 ;c. (e 1)(e 2) ;d. e 2 1.
16. Calculeaza integrala dubla x2
1 + y2 dxdy
D
, unde D este dreptunghiul 0 x 1, 0 y 1.
a.
2;
b.
3;
c.
4;
d.
12.
17. Calculeaza integrala dubla1
x + y + 1 2
dxdy D
, unde D este dreptunghiul 0 x 1,0 y 1.
a. e 2 ; b. ln2 ln1 ;c. ln2 ln3 ;
d. ln4
3.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
29/55
6
18. Calculeaza integrala dx0
a
dy0
x
.
a.3a 1 / 3
2;
b.
3a
2 ;
c.2a 3 / 2
3;
d.2a 2 / 3
3.
19. Calculeaza integrala dx2
4
y x
dy x
2 x
.
a. 5; b. 7;c. 9;d. 11.
20. Calculeaza integrala dy1
2
e xdx0
ln y
a.1
4;
b. 13
;
c.1
2;
d.3
2.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
30/55
7
21. Calculeaza integrala ( x2 + y) dxdy D
, unde D este domeniul marginit de parabolele y = x2 si y2 = x.
a.75
140;
b.42
140;
c. 1;
d.33
140.
22. Calculeaza integrala dubla x2
y2dxdy
D
unde D este domeniul marginit de dreptele x = 0, y = si dehiperbola xy = 1.
a.9
4;
b.9
4;
c.e
7;
d. 1.
23. Calculeaza integrala dx0
1
dy0
2
dz 0
3
.
a. 1; b. 2;c. 3;d. 6.
24. Calculeaza integrala dx0
a
dy0
b
( x + y + z )dz 0
c
.
a.abc
2;
b. a+
b+
c3
;
c.abc (a + b + c)
2;
d.abc (a + b + c)
3
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
31/55
8
25. Calculeaza integrala dx0
a
dy0
x
xyz dz 0
y
.
a.a + 1a 3
;
b.a 8
94;
c.324
a 2;
d.a 6
48.
26. Calculeaza integrala x3 y2 z dxdydz V
, unde domeniul V este definit de inegalitatile0 x 1, 0 y x, 0 z xy.
a. 1110
;
b.3
19;
c. e 2
3;
d. ln5 ln2 .
27. Trecand la coordonate sferice, calculeaza integrala x2 + y2 + z 2 dxdydz V
, unde V este bilacentrata in origine de raza R.a. R3 ;
b. R3
3;
c. R4 ;
d. R5
5.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
32/55
9
28. S se evalueze integrala dubl: [ ] [ ]( 2 ) , D= 1,4 2,5 D
x y dxdy+
a.171
2
b.153
2c. alt rspuns
d.912
29. S se calculeze valoarea integralei duble:
{ }2( ) D= (x,y) / 0 2, 0 1 D
x y dxdy x y x +
a.2
3 b.
13
c.16
d. alt rspuns
30. S se calculeze integrala dubl: ( x + y)dxdy D
unde D este domeniul marginit de curbele x = 0, x = 1, y = x, y = 2 x
a.23
b. alt rspuns
c.56
d.16
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
33/55
10
31. S se calculeze integrala dubl:
[ ] [ ]2 2
, D= 0,1 1, 2 D
xydxdy
x y
+
a.23
b.
5
3c. alt rspuns
d.1
3
32. Evaluai integrala dubl: xydxdy D
unde D este domeniul marginit de curbele
x = 0, x = 3, y = x2 , y = 2 x + 3
a. 52 b. 53c. 54d. alt rspuns
33. S se calculeze: ( ){ }2 2( ) , D= x,y | 1 3, 1 2 1 D
x y dxdy x y x+ +
a. Alt rspuns
b.783
20
c.18320
d.10320
34. S se calculeze: ( ) [ ] [ ]2 , D= 0,1 1,3 D
x y dxdy+
a.19
3 b.
253
c.293
d. Alt rspuns
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
34/55
11
35. S se calculeze : ( ) [ ] [ ]2 , D= 0,1 1,3 D
x y dxdy+ a. Alt rspuns
b.43
c.7
3d.
143
36. S se calculeze : ( ) [ ] [ ]2 2 , = 1,1 0,3 D
x y xy dxdy D+ a. 3
b. Alt rspunsc. -1d. 12
37. S se calculeze : , D D
xydxdy este mrginit de dreptele: , 0, 1 y x y x= = = .
a.15
b.18
c. Alt rspuns
d.15
38. S se calculeze : , D
xdxdy unde ( ){ }2 2 2, , 1, 0 D x y x y x= +
a.13
b.53
c.23
d. Alt rspuns
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
35/55
12
39. S se calculeze: ( ){ }2 2 2, , , 1, y 0 D
ydxdy D x y x y= + a. Alt rspuns
b.13
c.5
3d.
23
40. S se calculeze: ( ){ }2, , , 0 3, 2 y 2 D
dxdy D x y x x=
a.92
b. 5c. 0
d. Alt rspuns
41. S se calculeze: ( ){ }2 2 2 2 21 , , , 1 D
x y dxdy D x y x y = +
a.23
b.3
c. Alt rspuns
d.73
42. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla
dy6
2
f ( x, y)dx y
2
4 1
2 y
sunt
a. y =y2
4 1, y = 2 y, x = 6, x = 2
b. x =y2
4+ 1, x = 2 + y, y = 6, y = 2
c. x =y2
4 1, x = 2 y, y = 6, y = 2
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
36/55
13
43. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla dx1
3
f ( x, y)dy x3
2 x
sunt
a. y =x
3, y = 2 x, x = 1, x = 3
b. y =x
3 , y = 2 x, x = 100, x = 3
c. x =x
3, x = 2 x, y = 1, y = 3
44. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla dx1
3
f ( x, y)dy x
2
x + 9
sunt
a. y =x
3, y = 2 x, x = 1, x = 3
b. y = x3
, y = 2 x, x = 100, x = 3
c. y = x2 , y = x + 9, x = 1, x = 3
45. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla
dx0
3
f ( x, y)dy0
25 x2
sunt
a. y =x
3, y = 2 x, x = 1, x = 3
b. y = 0, y = 25 x2 , x = 0, x = 3c. y = x2 , y = x + 9, x = 1, x = 3
46. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla
dy0
4
f ( x, y)dx y
10 y
sunta. y = 4, y = 0, x = y, x = 10 y
b. y = 4, y = 0, x = y, x = 0
c. x =y2
4
1, x = 2 y, y = 6, y = 2
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
37/55
14
47. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla dx1
2
f ( x, y)dy x
2
x+ 2
sunta. y = x2 , y = 2 + x, x = 1, x = 2
b. y = x, y = 2 + x, x = 1, x = 2c. y = x2 , y = 2 + x, y = 1, y = 2
48. Schimbati ordinea de integrare in integrala dubla dx0
4
f ( x, y)dy3 x
2
12 x
a. dy0
4
f ( x, y)dx3 x
2
12 x
b. dx0
48
f ( x, y)dy y12
y
3
c. alt raspuns
49. Determinati limitele integralei duble f ( x, y)dxdy D
daca D este paralelogramul ale carui laturi sunt x = 3, x = 5,3 x 2 y + 1 = 0,3 x 2 y + 4 = 0.
a. dx3
5
f ( x, y)dy3 x + 12
3 x + 4
2
b. dy3
5
f ( x, y)dx3 x + 12
3 x + 4
2
c. alt raspuns
50. Determinati limitele integralei duble f ( x, y)dxdy D
daca D este triunghiul ale carui laturi sunt x = 0, y = 0, x + y = 2
a. dy0
2
f ( x, y)dx0
2 x
b. dx0
2
f ( x, y)dy0
2 x
c. alt raspuns
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
38/55
15
51. Determinati limitele integralei duble f ( x, y)dxdy D
daca D este domeniul marginit de
x2 + y2 1, x 0, y 0
a. dy0
1
f ( x, y)dx0
1 y2
b. dy0
1
f ( x, y)dx01 y
2
c. alt raspuns
52. Determinati limitele integralei duble f ( x, y)dxdy D
daca D este domeniul marginit de
y x2 , y 4 x2
a. dy0
1
f ( x, y)dx x
2
4 x2
b. dx0
1
f ( x, y)dy x24 x
2
c. dx
2
2 f ( x, y)dy x
2
4 x2
53. Determinati limitele integralei duble f ( x, y)dxdy D
daca D este domeniul marginit de parabolele
y = x2 , y = x
a. f ( x, y)dxdy x
2
x
b. dx0
1
f ( x, y)dy x
2
x
c. dx 2
2 f ( x, y)dy x
2
4 x2
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
39/55
16
54. Determinati limitele integralei duble f ( x, y)dxdy D
daca D este triunghiul ale carui laturi au suportdreptele de ecuatii y = x, y = 2 x, x + y = 6
a. dx0
2
f ( x, y)dy x
2 x
+ dx2
3
f ( x, y)dy x
6 x
b. dy0
2
f ( x, y)dx x
2 x
+ dx2
3
f ( x, y)dy x
6 x
c. dx2
3
f ( x, y)dy x
2 x
+ dx0
2
f ( x, y)dy x
6 x
55. Sa se evalueze integrala.
56. Sa se evalueze integrala dubla , unde .
57.Sa se calculeze integrala dubla , unde .
58. Sa se calculeze integrala , unde S este domeniul marginit de si .
59. Sa se calculeze integrala , unde D este regiunea din semiplanul superior marginita de
cercurile si .
60. Sa se calculeze integrala , unde.
61.Sa se calculeze integrala , unde
.
62.Sa se calculeze integrala tripla , unde
.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
40/55
1
Analiza matematicaContinuitate, derivate partiale puncte de extrem
MULTIPLE CHOICE
1. Derivata partiala a lui f ( x, y) = x 2 + xy + 1 in raport cu variabila x este egala cu
a. 2 x + y c. 2 x + y2
b. 2 x + y + 1 d. x + y
2. Derivata partiala la lui f ( x, y) = x 2 + xy + y in raport cu variabila x este egala cu
a. 2 x + y c. 2 x + y 2
b. 2 x + y + 1 d. x + y
3. Derivata partiala la lui f ( x, y) = x 2 + xy + 1 in raport cu variabila y este egala cua. 2 x c. xyb. 2 x + y d. x
4. Derivata partiala a lui f ( x, y) = x 2 y + xy + 1 in raport cu variabila y este egala cu
a. x 2 + x c. 2 x + y 2
b. 2 x + y + 1 d. x + y
5. Derivata partiala a lui f ( x, y) = x 2 + xy + y 2 in raport cu variabila y este egala cu
a. x + 2 y c. 2 x + y 2
b. 2 x + y + 1 d. x + y
6. Derivata partiala de ordin 2 a lui f ( x, y) = x 2 + xy + 1 in raport cu variabila y, notata f y 2' '
este egala
cua. 2 x c. xyb. 2 x + y d. 0
7. Derivata partiala de ordin 2 a lui f ( x , y)=
x3 +
xy+
1 in raport cu variabila x este egala cua. 6 x c. xyb. 2 x + y d. 0
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
41/55
2
8. Derivata partiala de ordin 2 a lui f ( x , y) = x 3 + xy + y 3 in raport cu variabila y este egala cua. 6 x c. xyb. 2 x + y d. 6y
9. Derivata partiala de ordin 2 a lui f ( x , y) = x 3 + 2 xy + y 3 in raport cu variabila y este egala cua.
6 xc. xy
b. 2 x + y d. 6y
10. Se considera functia f ( x , y) = x 3 + xy + y 3 . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de f xy' ' ( x, y)
este egala cua. 6 x c. 1b. 2 x + y d. 6y
11. Se considera functia f ( x , y) = x 3 + xy 2 + y 3 . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de f xy
' ' ( x, y) este egala cua. 6 x c. 1b. 2 x + y d. 2y
12. Se considera functia f ( x , y) = x 3 + xy 2 + y 3 . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de f yx' ' ( x, y)
este egala cua. 6 x c. 1b. 2 x + y d. 2y
13. Se considera functia f ( x , y) = x 3 + xy 2 + 7 y 3 . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de f xy' ' ( x, y)
este egala cua. 6 x c. 1b. 2 x + y d. 2y
14. Se considera functia f ( x , y) = 5 x 3 + xy 2 + y 3 . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de f xy' ' ( x, y)
este egala cua. 6 x c. 1b. 2 x + y d. 2y
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
42/55
3
15. Se considera functia f ( x , y) = x 2 + xy + y 2 . Atunci punctele stationare(numite deasemenea punctecritice) ale lui f(x,y)sunta. (0,0) c. (1,1,),(0,0)b. (1,0),(0,1) d. nu exista puncte stationare
16. Se considera functia f ( x , y) = x2
2 x + y2
4 y + 11 . Atunci punctele stationare(numitedeasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunta. (0,0) c. (1,2)b. (1,2),(0,0) d. nu exista puncte stationare
17. Se considera functia f ( x , y) = x 2 4 x + y 2 6 y 10 . Atunci punctele stationare(numitedeasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunta. (0,0) c. (2,3)b. (2,3),(0,0) d. nu exista puncte stationare
18. Se considera functia f ( x , y) = x 2 10 x + y 2 4 y + 11 . Atunci punctele stationare(numitedeasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunta. (0,0) c. (5,2)b. (1,2),(0,0) d. nu exista puncte stationare
19. Se considera functia f ( x , y) = x 2 + 2 x + y 2 4 y + 11 . Atuncipunctul (-1,2) este un puncta. de minim local pentru f(x,y) c. nu e punct de extrem localb. de maxim local pentru f(x,y)
20. Se considera functia f ( x , y) = x 2 + 4 x y 2 4 y + 11 . Atuncipunctul (-2,-2) este un puncta. de minim local pentru f(x,y) c. nu este punct de extrem localb. de maxim local pentru f(x,y)
21. Se considera functia f ( x , y) = x 2 + 2 x y 2 4 y + 11 . Atuncipunctul (1,-2) este un puncta. de minim local pentru f(x,y) c. nu este punct de extrem localb. de maxim local pentru f(x,y)
22. Se considera functia f ( x, y) = x 2 + y 4 . Atuncipunctul (0,0) este un puncta. de minim local pentru f(x,y) c. nu este punct de extrem localb. de maxim local pentru f(x,y)
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
43/55
4
23. Care din urmatoarele functii are o o infinitate de puncte stationarea. f(x,y)=x+y c. f(x,y)=x+2y
b. f(x,y)=sin(x) d. f ( x, y) = x2 + y2
24. Care din urmatoarele functii are exact 2 doua puncte stationarea. f(x,y)=x+y c. f(x,y)=x+2y
b. f ( x, y) = x3 3 x + y2 d. f ( x, y) = x2 + y2
25. Se considera functia f ( x, y) = x 2 + 10 x y 2 4 y + 11 . Atuncipunctul (-5,-2) este un puncta. de minim local pentru f(x,y)b. de maxim local pentru f(x,y)c. nu este puncte de extrem local
26. S se g seasc punctele de extrem ale func iei urm toare:
f(x, y) = x2
+ y2
10x 10y + 5 (x, y) R2
a. P(5,5) punct de maxim c. P(5,-5) punct de maxim
b. P(5,5) punct de minim d. M(5,-5) punct de maxim
27. Se da functia f ( x, y) = 2 xy + y 3 . Cat este f x,' (1,2)
a. 4 c. 6b. 5 d. 7
28. Se da functia f ( x, y) = 2 xy + x 3 . Cat este f y,' (1,2)
a. 2 c. 4b. 3 d. 5
29. Se da functia f ( x, y) = 4 xy + 5 x 3 . Cat este f y, ' (1,2)
a. 4 c. 6b. 5 d. 7
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
44/55
5
30. S se calculeze derivatele par iale de ordinul nti pentru urm toarea func ie:( ) 2 2, = 2 f x y x xy y+
a. ( ) ( )( , ) 2 ; ( , ) 2 x y f x y x y f x y x y= + =
b. ( ) ( )( , ) 2 2 ; ( , ) 2 x y f x y x y f x y x y= = +
c. ( ) ( )( , ) 2 2 ; ( , ) 2 x y
f x y x y f x y x y= + =
d. alt r spuns.
31. S se calculeze derivatele par iale de ordinul nti pentru urm toarea func ie:( ) 2 2 2, = ( ) f x y x y+
a. 2 2 2 2( , ) ( ); ( , ) ( ) y f x y x x y f x y y x y x = + = +
b. 2 2 2 2( , ) 4 ( ); ( , ) 4 ( ) y f x y x x y f x y y x y x = + = +
c. 2 2 2 2( , ) 2 ( ); ( , ) ( ) y f x y x x y f x y y x y x = + = +
d. alt r spuns.
32. S se calculeze derivatele par iale de ordinul al doilea pentru urm toarea func ie:
)ln(lnln),( y x x y x
x y x f +=
+=
a. f x
2" x, y
= 1
x 2+
1
x + y
2
21
( , )( )
yx f x y x y
=+
22
1( , )
( ) y f x y
x y =
+,
c. 22 2
1 1( , )
( ) x f x y
x x y = +
+
21
( , )( )
yx f x y x y
= +
22
1( , )( )
y f x y x y
=+
,
b. 22 2
1 1( , )
( ) x f x y
x x y =
+
21
( , )( )
yx f x y x y
=+
22
1( , )
( ) y f x y
x y =
+,
d. alt r spuns.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
45/55
6
33. S se g seasc punctele sta ionare ale func iei urm toare: f(x, y) = x 2 + y 2 4x 2y + 5 (x, y) R2
a. M(2,1) c. M(-2,1)
b. M(2,-1) d. M(-1,2)
34. S se g seasc punctele de extrem ale func iei urm toare: f(x, y) = x 2 + y 2 4x 2y + 5 (x, y) R2
a. M(2,1) punct de maxim c. M(-2,1) punct de maxim
b. M(2,1) punct de minim d. M(-1,2) punct de maxim
35. S se g seasc punctele de extrem ale func iei urm toare
y1
x1)y,x(f += cu condi ia x+y=1 definit pe R 2 \{(0,0)
a. P1
2,
1
2
pentru = 4 punct de minim
b. 1 1 1, pentru2 2 4
P
= punct de maxim
c.1 1 1
, pentru2 2 4P = punct de minim
d. d) 1 1 1, pentru2 2 4
P
= punct de maxim
36. Scrie i diferen iala de ordinul intai a func iei f(x,y) = x+3y+2(x 2+y 2-5)
a. df x , y
= 4 x + 1( )dx + 4 y + 3
dy c. df x , y
= x + 1( )dx + 4 y + 3
dy
b. df x , y
= 4 x 1( )dx + y + 3dy d. df x , y
= x + 1( )dx + y + 3dy
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
46/55
7
37. Scrie i diferen iala de ordinul intai a func iei1 1
( , ) 2( 1) f x y x y x y
= + + +
a. df x , y
= 1
x 2+ 2
dx + 1
y 2+ 2
dy c. df x , y
=1
x 2+ 2
dx +1
y 2+ 2
dy
b. df x , y
=1
x 2+ 2
dx + 1
y 2+ 2
dy d. df x , y
=1
x 2 2
dx + 1
y 2 2
dy
38. Se d func ia de dou variabile y x y xy x y x f 33),( 22 ++=
Derivata par ial a lui f n raport cu x este: a. f x = 2 x y c. f x = 2 x y 3b. f x = y d. f x = 2 x
39. Se d func ia de dou variabile y x y xy x y x f 33),( 22 ++=
Derivata par ial a lui f n raport cu y este: a. f y x, y
= x + 2 y + 3 c. f y x, y
= x + 3
b. f y x, y
= 2 y + 3 d. f y x, y
= x + y
40. Se d func ia de dou variabile y x y xy x y x f 33),( 22 ++= . f are punct stationar pe:
a. M(1,-1) c. M(0,0)
b. M(-1,1) d. M(3,0)
41. Se d func ia de dou variabile y x y xy x y x f 33),( 22 ++= .Derivata par ial de ordinulal doilea a lui f n raport cu x este:
a. ( )2 , 2 x f x y = c. ( )2 , 0 x f x y =
b. ( )2 , 1 x f x y = d. ( )2 , 2 x f x y x=
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
47/55
8
42. Se d func ia de dou variabile y x y xy x y x f 33),( 22 ++= . Derivata par ial de ordinulal doilea a lui f n raport cu y este:
a. ( )2 , 1 y f x y = c. ( )2 , y f x y y=
b. ( )2 , 2 y f x y = d. ( )2 , y f x y x=
43. Se d func ia de dou variabile y x y xy x y x f 33),( 22 ++= .Alege valoarea corect pentru
( ), xy f x y
a. ( ), 0 xy f x y = c. ( ), xy f x y xy=
b. ( ), xy f x y nu exist d. ( ), 1 xy f x y =
44. Se d func ia de dou variabile y x y xy x y x f 33),(22 ++=
. Estimnd valoarea expresiei( )2 2
2(1, 1) (1, 1) (1, 1) xy x y f f f
i innd cont de valoarea 2 (1, 1) x f , stabile te natura punctului
critic M(1,-1):
a. punct de minim local c. nu se poate spune nimic desprenatura punctului M(1,-1)
b. punct de maxim local d. nu este punct de extrem local
45. Se d func ia de dou variabile 22 )6()1(),( ++= y x y x f Derivata par ial a lui f n raport cu x este:
a. ( ), 2 1 x f x y x= c. ( ), 2 x f x y x=
b. ( ), 6 x f x y y= + d. ( ) ( ), 2 1 x f x y x=
46. Se d func ia de dou variabile 22 )6()1(),( ++= y x y x f .Derivata par ial a lui f n raport cu y este:
a. ( ), 6 y f x y y= + c. ( ), 2 y f x y y=
b. ( ) ( ), 2 6 y f x y y= + d. ( ), 1 y f x y x=
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
48/55
9
47. Se d func ia de dou variabile 22 )6()1(),( ++= y x y x f .
Func ia f x, yare punct stationar pe:
a. M(1,-6) c. M(0,0)
b. M(-1,6) d. M(1,0)
48. Se d func ia de dou variabile 22 )6()1(),( ++= y x y x f . Derivata par ial de ordinul aldoilea a lui f n raport cu x este:
a. ( )2 , 1 x f x y = c. ( )2 , 0 x f x y =
b. ( )2 , 2 x f x y = d. ( )2 , 2 x f x y x=
49. Se d func ia de dou variabile 22 )6()1(),( ++= y x y x f . Derivata par ial de ordinul aldoilea a lui f n raport cu y este:
a. ( )2 , 1 y f x y = c. ( )2 , y f x y y=
b. ( )2 , 2 y f x y = d. ( )2 , y f x y x=
50. Se d func ia de dou variabile 22 )6()1(),( ++= y x y x f . Alege valoarea corect pentru
( ), xy f x y
a. ( ), 0 xy f x y = c. ( ), 2 xy f x y =
b. ( ), xy f x y nu exist d. ( ), 1 xy f x y =
51. Se d func ia de dou variabile 22 )6()1(),( ++= y x y x f . Estimnd valoarea expresiei
( )2 2 2(1, 6) (1, 6) (1, 6) xy x y f f f i innd cont de valoarea 2 (1, 6) x f , stabile te natura punctuluicritic M(1,-6):
a. punct de maxim local c. punct de minim local
b. nu este punct de extrem local d. nu se poate spune nimic despre naturapunctului (1,-6)
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
49/55
10
52. Se d func ia de dou variabile xy y x f =),(Derivata par ial a lui f n raport cu x este:
a. ( ), 1 x f x y = c. ( ), x f x y y=
b. ( ), x f x y x= d. ( ), 0 x f x y =
53.
Fie f(x,y) = 10x + 4y + 2xy + xy400
, x >0, y >0 . Derivatele partiale de ordin I sunt:
a.+=
+=
2'
2'
40024),(
400210),(
xy x y x f
y x y y x f
y
x
c.++=
++=
22'
22'
40024),(
400210),(
y x x y x f
y x y y x f
y
x
b. ++=
++=
22'
'
400210),(
2410),(
y x y x y x f
y x y x f
y
x d.++=
++=
2'
2'
40024),(
400210),(
xy x y x f
xy y y x f
y
x
54.Punctul stationar pentru functia:
f(x,y) = 10x + 4y + 2xy + xy400
cu x >0, y >0 este
a. M(2, 5) c. M(-2, -5)b. M(2, 3) d. nu exista
55. Functia f(x,y) = 10x + 4y + 2xy + xy400
cu x >0, y >0 admite
a. punct de maxim local M(2, 5) c. nu admite puncte de extreme local
b. punct de minim local M(2, 5) d. punct de minim local M(2, 3)
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
50/55
11
56. Rezolvand sistemul obtinut prin anularea derivatelor de ordin I rezulta: a. puncte de maxim local c. puncte stationare
b. puncte de minim local d. matricea hessiana
57. Diferentiala de ordin I pentru functia f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 xy + x - 2z,(x, y, z) R 3 este
a. d f(x, y, z) = (2x- y +1)dx + (2y x)dy + (2z 2)dz
b. d f(x, y, z) = (2x 2 - xy + x)dx + y 2 dy + (z 2 -2z)dz
c. d f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 )dx + (1-xy)dy + (x-2z)dz
d. d f(x, y, z) = (2x- y +1)dx + (2y - xy)dy+(2z - 2)dz
58. Functia f (x,y)= arctg( x 2 + y 2 ) verifica
a. y f ' x (x ,y) + xf
' y (x ,y) = 0
b. y f ' x (x ,y) - xf ' y (x ,y) = 0
c. f '
x (x ,y) + f ' y (x ,y) = 0
d. 2x f ' x (x ,y) - 2yf ' y (x ,y) = 0
59. Functia f (x,y) = x 3 + y 3 - 3xy definita pe R 2
a. admite punct de minim local M(1, 1)b. admite punct de maxim local M(-1, 1)c. nu admite puncte de extremd. admite punct de minim local M(1, 1)si N(-1, 1)
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
51/55
12
60. Functia f (x,y) = x 3 + y 3 - 3xy definita pe R 2
a. are valoarea minimului egala cu -1 c. are 3 puncte stationareb. are valoarea maximului egala cu 1 d. nu are puncte de extreme local
61.Functia f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 - 2x 4y 6z definita pe R 3 are:
a. toate derivatele de ordin 2 nule c. toate derivatele de ordin 2 egale cu 2b. toate derivatele mixte de ordin 2 nule d. toate derivatele de ordin 2 strict
pozitive
62. Se d func ia de dou variabile xy y x f =),(Derivata par ial a lui f n raport cu y este:
a. ( ), 1 y f x y = c. ( ), y f x y y=b. ( ), y f x y x= d. ( ), 0 y f x y =
63. Se d func ia de dou variabile xy y x f =),( .Diferen iala de ordinul I a lui f este
a. dydxdf += c. dy ydxdf +=
b. xdydxdf += d. xdy ydxdf +=
64. Se d func ia de dou variabile 22),( y x y x f +=
Derivata par ial a lui f n raport cu x este:
a. ( ) 2, x f x y y= c. ( ), 2 x f x y y=
b. ( ), 2 x f x y x= d. ( ) 2, x f x y x=
65. Se d func ia de dou variabile 22),( y x y x f +=
Derivata par ial a lui f n raport cu y este:
a. ( ) 2, y f x y x= c. ( ), 2 y f x y y=
b. ( ), 2 y f x y x= d. ( ) 2, y f x y y=
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
52/55
13
66. Se d func ia de dou variabile 22),( y x y x f +=
Diferen iala de ordinul I a lui f este
a. dy ydx xdf 22 += c. 0=df b. dydxdf += d. ydy xdxdf 22 +=
67. Scrie i diferen iala de ordinul intai a func iei f x, y
= x 2 xy + y 2 3 x + 3 y
a. df x , y
= 2 x y 3dx
+ x + 2 y + 3dy
b. df x , y
= x y 3dx
+ x + 2 y 3dy
c. df x , y
= 2 x y 3dx
+ x + y + 3dy
d. df x , y
= x + 2 y 3dx
+ x + 2 y 3dy
68. Punctele de extrem local ale functiei f : 2 , f ( x, y) = x 3 + 3 xy 2 15 x 12 y sunta. (2,1) punct de maxim local, (-2,-1) punct de minim local;b. (2,1) punct de minim local, (-2,-1) punct de maxim local;c. (-2,1) punct de maxim local, (2,-1) punct de minim local;d. (2,-1) punct de maxim local, (-2,1) punct de minim local.
69. Pentru functia f : 2 , f ( x, y) = 2 x 2 + y 3 6 xy + 1, A9
2,3
este
a. punct de maxim local;b. punct de minim local;c. punct sa.
70. Pentru functia f : 2 , f ( x, y) = ( x 1) 2 + 2 y 2 , punctul A(1,0) estea. punct de minim local;b. punct de maxim local;c. punct sa;
71. Pentru functia f :(0, ) 2 , f ( x, y) = xy +50
x+
20
y, punctul M (5,2) este
a. punct sa;b. punct de maxim local;
c. punct de minim local.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
53/55
14
72. Functia f : 2 , f ( x, y) = x 2 xy + y 2 2 x y
a. are punctul de minim local M 5
3,
4
3
;
b. are punctul de maxim local M 5
3,
4
3
;
c. are punctul sa M 53
, 43
;
d. nu are puncte de extrem.
73. Fie functia f : 2 definita prin f ( x, y) = 4( x y) x 2 y 2 . Determinati punctele stationare ale lui f .a. (-2,2);b. (2,2);c. (-2,-2);d. (2,-2).
74. Fie functia f : 2 definita prin f ( x, y) = x 2 + xy + y 2 + x y + 1. Determinati punctele stationareale lui f .a. (-1,-1);b. (-1,1);c. (1,-1);d. (1,1).
75. Fie functia f : 2 definita prin f ( x, y) = 2 x 3 + xy 2 + 5 x 2 + y 2 . Determinati punctele stationare alelui f .
a. (-1,2), (-1,-2), (0,0) si 5
3 ,0
;
b. (1,2), (-1,-2), (0,0) si 5
3,0
;
c. (-1,2), (1,-2), (0,0) si 5
3,0
;
d. (1,0) si 5
3,0
;
76. Fie functia f : 2 definita prin f ( x, y) = x 3 + y 3 3 xy . Pentru functia f a. (0,0) este punct de maxim;b. (0,0) este punct de minim;c. (0,0) este punct sa.
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
54/55
15
77. Fie functia f : 2 definita prin f ( x, y) = x 3 + y 2 6 xy 39 x + 18 y + 20 . Functia f a. are (1,-6) punct de maxim si (5,6) punct de minim;b. are (1,-6) punct de minim si (5,6) punct de maxim;c. are (1,-6) si (5,6) puncte de minim;d. are (5,6) punct de minim;
78. ( ) ( )( ), 1,2lim 4 3 x y xy +
a. exista si este egala cu 1b. exista si este egala cu 10c. nu existad. exista si este egala cu 11
79.( ) ( )
3
2 2, 0,0lim
x y
xy x y +
a. nu existab. exista si este egala cu -1c. exista si este egala cu 0d. exista si este egala cu 2
80.( ) ( ), 0,1
1lim sin
x y y
xa. nu existab. exista si este egala cu -1c. exista si este egala cu 0
d. exista si este egala cu 1
81.( ) ( ), 0,0
1 1lim sin cos
x y x y
y x +
a. nu existab. exista si este egala cu 1c. exista si este egala cu 2d. exista si este egala cu 0
82.( ) ( ) 2 2, 0,0
sin2lim4 x y
y x x y +
a. nu existab. exista si este egala cu -1c. exista si este egala cu 2d. exista si este egala cu 0
-
8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri
55/55
83. Fie ( )2 2 3( , , ) 32 , x,y,z . f x y z x y yz x z= + + Atunci:
a. M(2,-8,-4) nu este punct de extremb. M(2,-8,-4) este punct de maxim localc. functia are doua puncte criticed. alta varianta
84. Fie ( )4 3 2 3 2 2( , ) 8 18 8 3 3 , , f x y x x x x y y y x y= + + si fie punctele
( )1 2 3,1 2 , M ( ) ( )2 32 3,1 2 , 2 3,1 2 M M + + ( ) ( ) ( )4 5 62 3,1 2 , 2,1 2 , 2,1 2 . M M M + + + Atunci
a. 1 M este punct sa, 5 M este punct de minim localb. 3 M este punct de minim local, 5 M este punct de minim localc. M 1 este punct sa, M 5 este punct de maxim locald. alt raspuns
85. Fie ( ) ( )2 3 3( , , ) 2 3 , , , . f x y z xy z a x y z x y z= si a > 0. Daca , ,7 7 7a a a
M
este
punct critic pentru functia data, atunci:a. M este punct de minim localb. Minorii matricei hessiene sunt:
5 10 10
1 2 32 8 187 7 7a a a
= = = si deci punctul M este punct de minim local
c. Minorii matricei hessiene sunt:5 10 10
1 2 32 8 187 7 7a a a
= = = si deci punctul M este punct de maximlocal.
86. Se considera functia de doua variabile , . Sa se calculeze derivatele partiale sidiferentialele de ordinal 1 si 2 ale lui f .
87. Se considera functia de doua variabile , . Sa se calculeze derivatele salepartiale de ordinul 1.
88. Se considera functia de doua variabile , . Diferentiala de ordinul al doilea a luieste ?
89. Se considera functia de trei variabile , . Ce se poate spune desprenumarul de puncte de extrem ale lui f ?
90. Se considera functia de trei variabile , . Diferentiala de ordinul al doileaa lui este ?