1
Analiza Matematyczna cz
1
Konspekt wykadu dla studentw fizyki/informatykiUniwersytet Jana Kochanowskiego 2009/10Prof. dr hab. Wojciech Broniowski
[wersja z 14 X 2009]
2
Wstp
3
Co to jest analiza matematyczna?
Rachunek rniczkowy i cakowy, Isaak
Newton i Gottfried
Wilhelm Leibnitz, XVII w.
Analiza funkcjonalna, funkcje analityczne, geometria rniczkowa, rwnania rniczkowe, ...
Jeden z najbardziej praktycznych
dziaw matematyki: nauki cise, inynieria, inne dziay matematyki
Przykady, ktre powinny by
znane: badanie funkcji zmiennej rzeczywistej, rwnanie okrgu, obliczanie powierzchni, ruch jednostajnie przyspieszony ...
4
Prawa fizyki rwnania rniczkowe
Mechanika klasyczna
Elektrodynamika
Termodynamika
Mechanika kwantowa
Teoria pola
Grawitacja
Chemia
...
Inynieria
EkonomiaPodstawowe narzdzie badawcze dla fizyka !
5Obserwacja komety przez jaki
czas pozwala przewidzie
jej ruch za 100000 lat!
6
Pojcie cigoci
Intuicja: gadko, brak przerw, pkni, moliwo
przewidywania zachowania globalnego z zachowania lokalnego (ruch planet, przeduenie analityczne)
Nie zawsze tak jest! (ruchy Browna, kursy giedowe)
brak cigoci, szorstko, brak moliwoci dokadnego przewidywania
Czasoprzestrze
fizyczna jest ciga
7
Cel wykadu
Poznanie i opanowanie analizy matematycznej w niezbdnym dla fizyka/informatyka zakresie
Kultura matematyczna: metody rozumowania, dowodzenia twierdze, dochodzenia do wynikw
Rozwinicie rzemiosa matematycznego, oraz sprawnoci rachunkowej, multum zada
do rozwizania!
Wymagana bardzo dua praca i pilno
Podstawowy wykad!
8
Informacje praktyczne
Ten dokument: http://ujk.kielce.pl/~broniows
Wykad: r. 10:00-11:30
Konsultacje: wt., od 18:00, pok. 56
Zestawy zada: http://ujk.kielce.pl/~broniows do przerobienia w domu, trudniejsze na
konwersatoriach
Kolokwia/kartkwki (po kadym dziale, co 2-3 tyg.) Zaliczenie konwersatorium, semestralny egzamin pisemny z zada
i teorii
http://ujk.kielce.pl/~broniowshttp://ujk.kielce.pl/~broniows
9
Literatura
(RR) Ryszard Rudnicki, Wykady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 2002
Franciszek Leja, Rachunek rniczkowy i cakowy, PWN, Warszawa, 1973
G. M. Fichtenholtz, Rachunek rniczkowy i cakowy, PWN, Warszawa, 1972
W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1976
W. Krysicki, L. Wodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I i II, PWN, Warszawa, 2003 (z rozwizaniami!)
Marcin Gewert, Zbigniew Skoczylas, Analiza matematyczna, cz, I i II, Ofic. Wyd. GiS, Wrocaw, 2003
D. McQuarrie, Matematyka dla przyrodnikw i inynierw, PWN, Warszawa 2005
(RW) Kenneth A. Ross, Charles
R. B. Wright, Matematyka dyskretna, PWN, Warszawa, 2005 (logika)
Rowan
Garnier
and
John Taylor, Discrete
Mathematics
for New Technology, IoP
Publishing, Bristol, 2002
(M) Philip
J. Davis, Reuben
Hersh, Elena
Anne
Marchisotto, wiat Matematyki, PWN, Warszawa, 2001 (eseje z pogranicza matematyki i
filozofii)
(KK) K. Kaczkow, M. Kurczab, E. wida, Matematyka, podr. do licew i technikw, Oficyna Edukacyjna * K. Pazdro, Warszawa, 2002
samodzielna
powtrka szkoy redniej
b. dobra ksika do powtrki!
10
Alfabet grecki
alfa beta gamma delta e epsilon zeta
eta
theta
jota
kappa lambda mi ni ksi
omikron pi ro sigma
tau
ipsilon
fi
chi
psi omega
11
Elementy teorii matematycznejPojcia pierwotne
-
nie definiowane
Aksjomaty
(pewniki)
oczywiste
prawdy dotyczce pojpierwotnych, zdania przyjte za prawdziwe bez dowodu (dowiadczenie, akt wiary!) Wymg niesprzecznociDefinicje
okrelenia zoone z poj
pierwotnych i innych definicji
Twierdzenia
zdania prawdziwe uzyskane z aksjomatw i innych twierdze
z pomoc
rozumowania logicznego
Przykad systemu formalnego: geometria euklidesowa, Elementy-
punkt, prosta, paszczyzna (poj. pierwotne)
- Pity postulat: przez punkt lecy poza prost
p przechodzi dokadnie jedna prosta nie majca punktw wsplnych z p
- okrg to zbir wszystkich punktw odlegych od punktu A (rodek)o promie
r > 0 (definicja)
- prosta przechodzca przez rodek okrgu dzieli go na dwie rwne czci (twierdzenie) -
ten oczywisty fakt wymaga dowodu!
Gdzie
trzeba zacz!Jajko czy kura
12
Geometria euklidesowai geometrie nieeuklidesowe(zaleno
teorii od
przyjtych postulatw)
geometrie nieeuklidesowe
13
Elementy logiki i teorii mnogoci
14
Jak rozstrzyga
o prawdzie?
Sd tak zdecydowa
Profesor tak powiedzia
Dowiadczenie tak mwi
Wewntrzne przekonanie, kobieca intuicja
Prbkowanie statystyczne
Logika matematyczna
15
Heurystyka, systemy formalneprzesanki
hipoteza
obalenie(kontrprzykad)
dowd
przeformuowanie
PrzykadPrzesanki: liczba 2 jest podzielna przez 2, 12 te, 92 te, ...Hipoteza: kada liczba koczca si
cyfr
2 jest podzielna przez 2
Dowd: zapis liczby koczcej si
cyfr
2 na posta10*q+2=2(5q+1), co dzieli si
przez 2 (q.e.d.)
(hipoteza staje si
twierdzeniem)Uoglnienie: kada liczba koczca si
cyfr
c jest podzielna przez c
Kontrprzykad: c=4 nie dzieli liczby 14
Logika
Aksjomaty, inne twierdzenia(dotychczasowa wiedza o teorii)
16
Rachunek zdaZdanie logiczne jest to zdanie gramatyczne, o ktrym mona (w zasadzie) powiedzie, e jest prawdziwe (warto
1 lub T -
true), bd
faszywe
(warto
0 lub F-
false)
Przykady: trawa jest zielona, lubi
sernik, 7 jest liczb
pierwsz, jestem kielczaninem, d/dx sin(x)=cos(x), 2=1, obecna temperatura powietrza na zewntrz jest midzy 20 a 22 st. C
Zdania, ktre nie s
zdaniami logicznymi: 1) id
do domu!, 2) chyba bdzie pada
deszcz, 3) Kreteczyk mwi, e tak, jak wszyscy
Kreteczycy, kamie
Funktory zdaniotwrcze
(spjniki logiczne): nie -
zaprzeczenie, i
-
koniunkcja, lub
alternatywa (uwaga na znaczenie potoczne), albo
alternatywa wykluczajca, jeeli ... to
-
implikacja, wtedy i tylko wtedy, gdy
rwnowano
(rne notacje, matryce/tabelki logiczne)
17
Zdania zoone
skadaj
si
ze zda
prostych poczonych funktorami zdaniowymiLubi
sernik lub jestem kielczaninem (alternatywa)
Albo jestem kielczaninem albo jestem krakowianinem (alternatywa wykluczajca)Jeli pada deszcz, to na niebie s
chmury (implikacja)
przyczyna skutekpoprzednik nastpnikwarunek dostateczny warunek koniecznyWarunkiem koniecznym, aby pada
deszcz, jest zachmurzone niebo.
Warunkiem dostatecznym, aby stwierdzi, e na niebie s
chmury, jest padanie deszczu.Jestem penoletni wtedy i tylko wtedy, gdy mam ponad 18 lat
(rwnowano)Warunkiem koniecznym i dostatecznym
penoletnioci jest wiek 18 lat.
Zdanie odwrotne
(Jeli na niebie s
chmury, to pada deszcz),i przeciwstawne
(Jeli na niebie nie ma chmur, to nie pada deszcz)
Zdanie przeciwstawne jest rwnowane wyjciowej implikacji. Nie jest tak dla zdania odwrotnego!
18
Uwagi:Alternatywa jest prawdziwa, jeli zachodzi jeden z dwch warunkw, lub jeden i drugi warunek jednoczenie.
Implikacja jest prawdziwa w nastpujcych przypadkach:-
z prawdy wynika prawda (to jest oczywiste)
- z faszu wynika fasz (te
rozsdnie)- z faszu wynika prawda (co nie jest oczywiste)
W literaturze jest tu wiele mylcych stwierdze, wic uwaga! Sprawa jest bardzo prosta. Konstrukcja implikacji logicznej jest tak dobrana, e faszywe zaoenie nie rozstrzyga
o tym, co si
stanie, wic faszywe zaoenie jest
bezuyteczne. Moe ze
wynika
prawda, moe fasz, czyli wszystko moe si
zdarzy. Przykad: Jeli bdziesz grzeczny, ogldniesz dobranock, co
oznacza, e jeli rzeczywicie bdziesz grzeczny, to ogldniesz, natomiast jeli nie bdziesz grzeczny, to ogldniesz, lub nie! Przyrzeczenie o niczym tu nie rozstrzyga. Oczywicie, jeli bdziesz grzeczny, a ja nie pozwol
Ci ogldn
dobranocki, to jestem kamc! Tylko w tej sytuacji
implikacja jest faszywa!
19
p q
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
Matryca logiczna definiujca koniunkcj, alternatyw, implikacj
i rwnowano
p qp q p q p q
20
Bramki logiczne, sieci logiczne
Bramki: OR AND NOT
L1_1.exeL1_3.exe L1_5.exe
21
Tautologia
(t)
zdanie zoone, ktre jest zawsze prawdziwe, bez wzgldu na warto
logiczn
zda
skadowych
Pada deszcz lub nie pada deszcz
Przykad stosowania matryc logicznych: prawa
de Morgana, kontrapozycji, podwjnego przeczenia,
(RR, str. 14)
Sprzeczno
(c)
zdanie zawsze faszywe
(istnieje liczba rzeczywista x, dla ktrej x > 2 i x < 1)
Prawa rachunku zda
22
Prawa
logiczne(RW)
23
24
Reguy wnioskowania (RW)
ponens
poprzez potwierdzenieponendo
do
potwierdzeniatollens
poprzez
zaprzeczenietollendo
do zaprzeczenia
regua odrywania
25
Reguy wnioskowania / dowodzenia
Twierdzenia matematyczne maj
posta
implikacjiTwierdzenie: zaoenie tezaDowd polega na wykazaniu, e z zaoenia wynika w sposb logiczny teza. W rozumowaniu wykorzystuje si
dotychczasow
wiedz
(zdania
prawdziwe) danej teorii, oraz formalizm logiki matematycznej, czyli reguy wnioskowania
Przykady:1. Tw. dowiedzione wprost
Z: Jeli liczna naturalna n jest podzielna przez 2, T: to n2 jest podzielne przez 2D: Skoro n jest podzielne przez 2, to moemy je zapisa
jako 2m, gdzie m
jest liczb
naturaln, wobec czego n2 = 4 m2 = 2(2 m2), co w oczywisty sposb jest podzielne przez 2 (q.e.d.) [c.b.d.o, kwadracik , trzy kropki ]
26
2. Tw. odwrotne:Z: Jeli kwadrat liczby naturalnej jest podzielny przez 2T: to ta liczba jest podzielna przez 2
D (wprost):
Liczb
naturaln
n mona rozoy
na czynniki pierwsze: n = p1
p2 ...pj
, zatem n2 = p1 p1
p2 p2 ... pj
pj
. Poniewa
n2 jest podzielne przez 2, ktra
z pk
jest rwna 2, a wic n jest podzielne przez 2 (q.e.d.)(n.p. 154=2 7 11, wic 1542=2272112. W tym przypadku p1
=2, p2
=7, p3
=11
D (sprowadzenie do sprzecznoci):
Zamy, e n nie dzieli si
przez 2. Wwczas rozkad n nie zawiera czynnika 2, wobec czego n2
nie zawiera
czynnika 2, zatem nie dzieli si
przez 2, co jest sprzeczne z zaoeniem (q.e.d.)
D (nie wprost):
Musimy dowie, e jeli n jest liczb
nieparzyst, to n2 jest liczb
nieparzyst. Rozkad n nie zawiera czynnika 2, wic n2 te
nie zawiera
czynnika 2.
Poniewa
zachodzi tw. i tw. odwrotne (tw. zachodzi w dwie strony) , zatem zdania n jest podzielne przez 2 i n2 jest podzielne przez 2 s
rwnowane.
27
3. Tw. Liczba nie daje si
wyrazi
w postaci uamka (czyli nie jest liczbwymiern)D (przez sprzeczno):
Zamy, e , gdzie liczby naturalne m i n nie
maj
wsplnych dzielnikw, a co za tym idzie, nie s
jednoczenie parzyste. Z tezy mamy 2n2=m2, wic m2
jest parzyste, a wic (poprzednie twierdzenie)
m jest parzyste, czyli m=2k, gdzie k jest pewn
liczb
naturaln. Mamy zatem 2n2=4k2, czyli n2=2k2, zatem n jest parzyste. Poniewa
m i n s
parzyste, mamy
sprzeczno
z zaoeniem (c.b.d.o.).
4. Jeli x=2 to x=1D (faszywy):
x = 2x
1 = 1
(x
1 )2
= 1 = x
1x2
2x + 1 = x
1
x2
2x = x
2x(x
2) = (x
2) | : (x
2)
x = 1czyli 2 = 1
2 mn
=
2
Fakt ten antyczni trzymali w tajemnicy!
28
5. Inne czste faszywe rozumowanie: niesuszne zaoenie, czsto w bardzo zawoalowany sposb, tego, co chcemy udowodni.
Z: Poniewa
studenci siedz
na sali,T: to ten wykad jest ciekawyD: Poniewa
studenci przyszli na ten wykad, a studenci chodz
na wykad
wtedy i tylko wtedy, gdy wykad jest ciekawy, a wic ten wykad jest ciekawy.
Dowd rwnowanoci -
dowd w dwie strony
Dowd Wielkiego Twierdzenia Fermata
zajo ponad 300 lat! (Andrew
Wiles, 1993)
Dowody komputerowe:
tw. o czterech kolorach dot. kolorowania map dugo
ksiki telefonicznej!
Tw. Goedla:
W obrbie kadej nie trywialnej teorii istniej
zdania, ktrych prawdziwoci bd
faszywoci nie mona rozstrzygn. Inaczej, nie mona
dowie
niesprzecznoci danej teorii w ramach tej teorii.
29Przykad rachunku formalnego (M)
30
Zbiory, elementy teorii mnogociPojcia pierwotne: zbir, element zbioru, przynaleno
- x naley do A
Przykady zbiorw, notacja dla zbiorw liczbowych:,naturalne , cakowite , wymierne , rzeczywiste , zespolone , przedziay l. rzeczywistych [a,b], (a,b)
Diagramy Eulera (Venna)Zawieranie, rwno
zbiorw
Zbir pusty i zbir peny (przestrze)Podzbiory, podzbiory waciweZbiory rozczne
nie zawierajce wsplnych elementw
Operacje: suma, iloczyn (cz
wsplna, przecicie), rnica, rnica symetryczna, dopenienieZbiory (rodziny) zbiorw, zbir potgowyPrawa rachunku zbiorw, analogia do rachunku zdaNieskoczona (indeksowana) suma i iloczyn zbiorw, prawa de MorganaAksjomaty teorii mnogoci, pewnik wyboruAnalogia algebry zbiorw i logiki
31paradoks Russela
(KK)
32
Funkcje zdaniowe, kwantyfikatory
: f ( )x x: f ( )x x
Funkcja zdaniowa f(x):
wyraenie zawierajce zmienne, ktre staje si zdaniem logicznym (T lub F), jeli za zmienne x podstawimy konkretne obiekty
Zbir argumentw (dziedzina)Wykres funkcji zdaniowej
zbir wszystkich x, dla ktrych f(x)=T
Przykad: Zwierz
ma 4 nogi. x
jakie
zwierz, zbir argumentw -
wszystkie zwierzta, wykres -
te zwierzta, ktre maj
4 nogi
Kwantyfikator oglny
(duy): (All) dla kadego x zachodzi ...Kwantyfikator szczeglny
(may): (Exists) istnieje x takie, e ...
Kolejno
kwantyfikatorw
duego i maego jest istotna
-(Dla kadego studenta w tej sali istnieje osoba, ktra jest jego matk,Istnieje osoba, ktra jest matk
dla kadego studenta w tej sali )
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorw, rachunek kwantyfikatorw
(Nie ma ry bez kolcw Kada ra posiada kolce)Konwencja opuszczanie oglnego kwantyfikatora w sytuacjach oczywistych(Kot ma cztery apy Kady kot ma cztery apy)
( ) ( )( ) ( )
~ : f ( ) : ~ f ( )
~ : f ( ) : ~ f ( )
x A x x A x
x A x x A x
0x A M >
33
RelacjeNiech Para uporzdkowana
wg Kuratowskiego: (a,b)={{a},{a,b}}
Iloczyn kartezjaski zbiorw X i Y, oznaczany jako X x Y, to zbir wszystkich par uporzdkowanych (a,b)Relacja
dowolny podzbir X x Y
Elementy bdce w relacji oznaczamy: xRyDziedzina (X) i przeciwdziedzina
(Y) relacji
Wykresy i diagramy relacji.
X={a,b,c}, Y={u,v}, X x Y = {(a,u),(b,u),(c,u),(a,v),(b,v),(c,v)}R={(a,u),(b,v),(c,v)}, aRu, bRv, cRv
a u
b v
c
, a X b Y
34
O relacjach na zbiorze X x X mwimy w skrcie relacja na zbiorze X
Przykad: X
grupa osb, R
relacja znajomociaRb
zbir par osb, gdzie osoba a zna osob
b
Krysia Piotrek Bartek Ania Agnieszka Wojtek
Krysia Piotrek Bartek Ania Agnieszka Wojtek
35
Cechy niektrych relacji:
Zwrotno
(Z)
xRx
Przeciwzwrotno
(PZ)
~xRx
Symetryczno
(S)
xRy
implikuje yRx
Antysymetryczno
(saba)
(AS)
xRy
i yRx
implikuje x=y
Przechodnio
(P)
xRy
i yRz
implikuje xRz
Relacja rwnoci, rwnowanoci (Z,S,P), porzdku (Z, AS, P), porzdku cisego (PZ,P).
Klasy abstrakcji
relacji rwnowanoci: [x]
zbir y takich, e yRx
Klasy abstrakcji dziel
zbir na podzbiory rozczne
Przykad: X -
proste na paszczynie, R
relacja rwnolegoci, [a]
zbir wszystkich prostych rwnolegych do prostej a (kierunek), liczby wymierne
36
Funkcje[Funkcje elementarne
powtrka ze szkoy redniej samemu!]
B. wane wzory trygonometryczne: cos(+)=cos(a)cos()-sin(a)sin()sin(+)=sin()cos()+sin()cos()
Def: Niech relacja f okrelona na iloczynie kartezjaskim X x Y spenia warunek
Wtedy f nazywamy
funkcj
(odwzorowaniem, przeksztaceniem), piszemy y=f(x)Innymi sowy, danemu x z dziedziny
funkcji, X=Df, przyporzdkowujemy jeden
element przeciwdziedziny, Y (jednoznaczno).
Zapis: f : X Y -
f ze zbioru X do Y, f przeprowadza X w Y
Przykad: Osobom przyporzdkowujemy ich rok urodzenia. Jest to funkcja, poniewa
jedna osoba moe mie
tylko jeden rok urodzenia.
Zbir wartoci funkcji: Vf. Oczywicie Vf
zawiera si
w Y, ale nie musi mu by rwny.
1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( ) x X y y Y y f x y f x y y = = =
37
Jeli Vf=Y, to f: X Y (surjekcja)
Wykres
funkcji to zbir {(x,f(x)) : x Df}
Jeli f(x1
) = f(x2
) implikuje x1
=x2
, to funkcja jest
injekcj
(rnowartociowa)
Inaczej: jeli , to funkcja jest
injekcj
bijekcja
= surjekcja+injekcja
(odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne,
jeden do jeden, f: X Y )
restrykcja
(obcicie)
ograniczenie dziedziny do jej podzbioru
Dziaania na funkcjach: skadanie i odwracanie, rwno
funkcji,
funkcja staa: f(x)=c, identyczno: f(x)=id(x)=x
Funkcje liczbowe
(niekoniecznie wzr, jakikolwiek przepis, funkcja Dirichleta,
dugi rachunek komputerowy), wykres funkcji liczbowej -
przykady
Parzysto, nieparzysto, okresowo
Obraz i przeciwobraz, twierdzenia RR, str. 30
na
1-1
1 2 1 2f ( ) f ( )x x x x
38
( )
1 -1
1 1
2
-1
22
( ( ))
( ( ))
np. ( ) jest odwracalna dla [0, ).
Funkcj odwrotna jest ( ) , [0, ), bo
lub
X
Y
f f x x f f id
f f y y f f id
f x x x
f y y y
x x y y
= =
= =
=
=
= =
Funkcja odwrotna (nie myli
z liczb
odwrotn!)
Analogicznie dla innych funkcji odwracalnych.
39
Odwracanie funkcji
( )( )
( )( )
2
2
2
-1 2
-1 2
1( ) ; x [1,2]
1y = 1 0
1 4 21 42
5ale dla x=2 mamy y= , 2
wic pozostaje pierwszy przypadek1 5( ) 4 ; [2, ] 2 21 5( ) 4 ; [2, ]2 2
f x xx
x x xyx
x y y
x y y
f y y y y
f x x x x
= +
+ + =
= +
=
= +
= +
(wykresy funkcji wyjciowej i odwrotnejs
symetryczne wzgldem linii y=x)
Zbir wartoci funkcji wyjciowej jest przeciwdziedzin
funkcji odwrotnej!W powyszym przykadzie f([1,2])=[2,3/2]=Df-1 (pokaz z kartk
papieru)
zbir wartoci f
dziedzina f-1
40
Funkcje cyklometryczne
arcsin, arccos, arctg, arcctg
arcus
sinus, itp.
Trygonometryczne
mierzce trjkt
(sin, cos, tg, ctg, sec, cosec)
Koo trygonometryczne
przypomnienie
(np. jeli kt wynosi 14o, to ile wynosi y/r?)
Cyklometryczne
mierzce koo
(np. jaka jest dugo
uku, jeli x/r = 1.7 ?)
[pokaz z programu Mathematica: cyklo.nb]
Gazie, ga
podstawowa
- zawanie dziedziny tak, aby funkcja odwracana staa si
injekcj
Do funkcji arcsin
i arccos
mona doda
liczb
2k, do arctg
i arcctg
liczb
k (k-niezerowa liczba cakowita), w wyniku czego otrzymujemy inne gazie
41
Funkcja wykadnicza i logarytm (kompendium)
a
1
log
1 2
, 0, 1, , 0log
log ln a
( 0, 1)log loglog , log log , log log log
log1log 1, log 1 0, log ( 0, 1)
log
,
x
az
ec cx
b bb b a b a b
b
z z za
x x
y a a a x R yx y
z z z
a b y b b by yc a cx y x y a y y
c a
z a z zz
y a y a
= > >=
= =
= = >
= = = = =
= = = >
= = ( )( )
2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 11 2 1 2
2 2
, log
log log log
, , log log log
, log log log
x xa
a a a
x x x xa a a
z xz z za a a
y y a x x y y
y y y y
y yy a y a a y yy y
y a z R xz y y z y
+
= + =
+ =
= = = =
= = =
- wykadnicza
-
odwrotna do wykadniczej
-
a
podstawa logarytmu
42
W fizyce, informatyce, inynierii zazwyczaj wystpuje sytuacja a>1:
a=2, e, 10 (logarytm binarny, naturalny, dziesitny)
loge=ln=log
(w tym wykadzie)
43
Liczby
44
Zbiory liczbowe
1 { }2 { ,{ }}3 { ,{ ,{.
}.
} }.
1 1A n A n A +
Liczby naturalne, ={={1,2,3,4,5,6,7,...}
klasy zbiorw rwnolicznych
Zasada indukcji (aksjomat): . Wtedy A= .Sformuowanie oglniejsze: rozwamy funkcj
zdaniow
f(n).
(zasada indukcji matematycznej -
domino)
0 0 0( ( ) n n : ( ) ( 1)) n n : ( )f n T f n f n f n T= + =
45
Przykad dowodu z pomoc
indukcji: nierwno
Bernoulliego
Tw. Dla zachodzi
D: Dla n=2 mamy (1+x)2=1+2x+x2>1+2x.
(1+x)n+1 = (1+x)n(1+x) > (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx2 > 1+(n+1)x
(schemat tego typu dowodw: piszemy lew
stron
tezy, wykorzystujemy zaoenie + zasad
indukcji, przeksztacenia, dostajemy praw
stron
tezy)
Definicja indukcyjna (rekurencyjna)
Przykad: x1=x, xn+1
= x xn
W ten sposb definiujemy wasno
dla wszystkich naturalnych n
1, 0, 2x x n> (1 ) 1nx nx+ > +
46
Symbol Newtona
Silnia: n! = 1*2*3...*n
0!=1, (n+1)! = (n+1)n!
Symbol Newtona:
(liczba kombinacji n po k)
Dwumian Newtona:
Trjkt Pascala: wspczynniki:
symbole Newtona
!!( )!
n nk k n k
=
0
( )n
n n k k
k
na b a b
k
=
+ =
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
(a+b)0
(a+b)1
(a+b)2
= a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b +3ab2
+b3
(a+b)4 = ...
47
Ciao (* wykad algebry)
a b
Dziaanie dwuargumentowe
na zbiorze X to odwzorowanie f : X x X X (parze przyporzdkowany jest element zbioru)
Ciaem nazywamy zbir X zawierajcy co najmniej 2 elementy, 0 i 1, w ktrym okrelone s
dziaania + (dodawanie) i * (mnoenie) speniajce warunki:
1.
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c (czno
dodawania)
2.
a + b = b + a (przemienno
dodawania)
3.
0 + a = a
(element neutralny dodawania)
4.
: a + b = 0
(element przeciwny dodawania)
5.
a * ( b * c ) = ( a * b ) * c
(czno
mnoenia)
6.
a * b = b * a
(przemienno
mnoenia)
7.
1 * a = a
(element neutralny mnoenia)
8.
: a * b = 1
(element odwrotny mnoenia)
9.
a * ( b + c ) = a * b + b * c
(rozdzielno
mnoenia wzgl. dodawania)a 0 b
48
Odejmowanie
dodawanie elementu przeciwnego
Dzielenie mnoenie przez element odwrotny
Z wasnoci ciaa wynika, e nie moe by
wicej ni
jeden elementw 0 oraz wicej ni
jeden elementw 1
Element przeciwny oznaczamy jako a, a odwrotny jako a-1
lub 1/a
Znak * czsto opuszczamy: a * b = a b
49
Ciao uporzdkowane
W ciele wprowadzamy relacje mniejszoci <
o nastpujcych wasnociach:
1.
Zachodzi dokadnie jeden z warunkw: a
50
Liczby rzeczywisteIntuicja: odlego
punktw w przestrzeni, przektna kwadratu o boku 1 nie jest
liczb
wymiern! Potrzebujemy wicej liczb
liczby niewymierne
Podzbir A zbioru X jest ograniczony od dou
jeli
Podzbir A zbioru X jest ograniczony od gry
jeli
Najwiksz
z liczb m nazywamy kresem dolnym
zbioru A (infimum, inf
A)
Najmniejsz
z liczb M nazywamy kresem grnym
zbioru A (supremum, sup
A)
Aksjomat cigoci
dla zbioru X: kady niepusty i ograniczony od dou podzbir A zbioru X ma kres dolny nalecy do X
Tw. Niepusty i ograniczony od gry A ma kres grny w X
Kres dolny moe nalee
lub nie nalee
do A
Przykad: przedzia
otwarty i domknity zbioru
: :
m X a A a mM X a A a M
52
Tw. Zbir liczb wymiernych nie spenia
aksjomatu cigoci
Rozwamy A={x
: x > 0, x2 > 2}. A jest ograniczony od dou. Zamy,
e p=inf
A, p . Rozwamy liczb
q tak, e (jest to swego rodzaju sztuczka)
2
22
2
22
2( 2)2( 2)
pq pp
pqp
=
+
= +
+
Moliwe 2 przypadki (p2
= 2 wykluczony wczeniej):
1)
p2
< 2, wtedy sprawdzamy, e q > p, oraz q2
< 2, czyli q ogranicza A od dou i jest wiksze od p, a wic p nie jest kresem dolnym A
2)
p2
> 2, wtedy q < p, oraz q2
> 2, czyli q
A i jest mniejsze od p, zatem wbrew zaoeniu p nie jest kresem dolnym A
1) 2)
Zatem w obu moliwych przypadkach doszlimy do sprzecznoci, wic A nie ma kresu w
, co koczy dowd
53
Liczba jest niewymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwinicie dziesitne jest nieskoczone i nie zawiera powtarzajcych si
(okresowych) cigw cyfr
rzeczywiste = wymierne + niewymierne
niewymierne = algebraiczne + przestpne
algebraiczne: pierwiastki rwnania Wn
(x)=0 o wspczynnikach cakowitych
przykady liczb przestpnych: e,
, e, sin 1, ln
2, ...
Zasada Archimedesa:
dla kadej liczby rzeczywistej a istnieje liczba naturalna n taka, e n > a
Liczby wymierne
sito
z dziurami! Uszczelniamy dziury liczbami niewymiernymi.Midzy dwiema rnymi dowolnie bliskimi liczbami wymiernymi ley liczba niewymierna, a midzy dwiema rnymi dowolnie bliskimi liczbami niewymiernymi ley liczba wymierna. Jednak liczb niewymiernych jest wicej!
22
54
Liczebno
zbiorwDla zbiorw skoczonych moc (kardynalno) |A| zbioru A jest rwna liczbie elementw zbioru A. Dla zbiorw nieskoczonych liczba elementw jest nieskoczona, jednak mamy rne nieskoczonoci i moemy je klasyfikowa.
Zbiory A i B s
rwnoliczne, jeli istnieje bijekcja
A B.
Zbiory skoczone nazywamy przeliczalnymi, a zbiory rwnoliczne z nieskoczonymi przeliczalnymi
Dla zbiorw rozcznych
Dla iloczynu kartezjaskiego
Dla zbioru potgowego |2A| = 2|A|
Zbiory ,
s
rwnoliczne z , a wic przeliczalne Zbiory
i przedzia
(0,1) s
rwnoliczne
Kardynalno
zbioru potgowego zbioru A wynosi 2|A|
Notacja: || = , || =
na
0
| | | | | |A B A B = +| | | | | |A B A B =
55
Przeliczalno
zbioru liczb wymiernych (GT)
Zbir, ktry mona uszeregowa
w list
(choby nieskoczon) jest z definicji przeliczalny
56
Argument przektniowy CantoraZbiory
i
nie s
rwnoliczne, || < ||
Cantor: nie istnieje bijekcja
z
na (0,1)
D: Nieskoczona lista rozwini
dziesitnych liczb z przedziau (0,1) ma posta.a0
a1
a2
a3
a4
....b0
b1
b2
b3
b4
....c0
c1
c2
c3
c4
......
Zamy, e wypisalimy (w przeliczalny sposb) wszystkie liczby z (0,1).Teraz konstruujemy liczb
x w nastpujcy sposb: n-t
cyfr
bierzemy z n-tego
rzdu, modyfikujc j
nastpujcy sposb: jeli rwna si
4, to zamieniamy na 3, jeli nie rwna si
4, to zamieniamy na 4. Przykad:
.217853...
.642222... x = .4344...
.018800... x jest z konstrukcji rne od wszystkich wypisanych liczb (co
.987697... najmniej na jednym miejscu), zatem R jest nieprzeliczalny
...
57
Rwnoliczno
R i przedziau (0,1)
Istnieje bijekcja, wic R i (0,1) s
rwnoliczne
58
Hipoteza continuum Cantora:
nie ma zbioru o kardynaloci
poredniej midzy
i c
1c =0
0 121 2|2 | 2 , |2 | 2 ,...
= = = =Kolejne liczby kardynalne
otrzymywane przez potgowanie zbiorw:
Hipoteza Cantora
jest niezalena od postulatw teorii mnogoci i nie mona jej udowodni
ani obali! Mona j
przyj
lub odrzuci
Hipoteza continuum
59
Liczby zespolone (* algebra)Liczb
zespolon
z nazywamy par
liczb rzeczywistych (a,b).
a
cz
rzeczywista, b
cz
urojonaDodawanie: (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)Mnoenie: (a,b) (c,d) = (ac
bd, ad + bc)
Ta konstrukcja spenia aksjomaty ciaa: (0,0) ,(1,0)
elementy neutralne dodawania i mnoeniaInna, najpopularniejsza notacja: wprowadzamy i = (0,1) i piszemy (a,b) =a + i b. Wwczas algebr
moemy prowadzi
normalnie, korzystajc z faktu i2 =
1.
Sprzenie: (a,b)*=(a,b), lub (a + ib)* = a
ib. Inna notacja: z Wasnoci sprzenia:
2 2
1 2 1 2
1 11 2 1 2 2
2 2
(z)=z, z+z =2x, z-z =2iy, zz=x +y
z +z =z +z , az=az (a R)
z zz z =z z , = (z 0) z z
60
Cz
rzeczywista: Re(a+ib)=a, cz
urojona:
Im(a+ib)=bWarto
bezwzgldna (modu):
|a+ib| = (a2+b2)1/2 , z z*=|z|2
Argument:
Arg(a+ib) = arctg(b/a)Interpretacja trygonometryczna: z = r (cos
+ i sin )
Tw. z1
= r1
(cos 1
+ i sin 1
), z2
= r2
(cos 2
+ i sin 2
), to a) z1
z2
= r1
r2
[cos (1
+2
) + i sin (1
+2
) ]b) z1
/ z2
= r1
/ r2
[cos (1
-2
) + i sin (1
-2
) ]
Mnoenie: obroty na paszczynie zespolonej Wzr de Moivra: (cos
+ i sin )n
= cos n
+ i sin n
(przez indukcj)
Ponadto (cos(-n)
+ i sin(-n)) (cos n
+ i sin n) =1, wic (cos
+ i sin )-n
= cos(-n)
+ i sin(-n)
Definiujemy exp(i ) = cos
+ i sin
-
funkcja wykadnicza o argumencie zespolonym, z = r exp(i ) -
modu
r, faza
Wtedy z1
z2
= r1
r2
exp(i 1
) exp(i 2
)= r1
r2
exp(i 1
+i2
) Uyteczno
liczb zespolonych (fizyka, elektronika, funkcje zespolone)
Pierwiastki zespolone wielomianw
exp( ) ii e
61
Interpretacja geometryczna
liczby zespolonej:
r
modu
-
argument
62
Dalsze wasnoci liczb zespolonych1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
/ 2 / 2 2
2 2n n n nn n n n
/ 2 /n
| | | | | |
bo ( ) ( )| ... | | | | | ... | |
1, , , ( )
(
n n
i i i i k i i
i i i k i i k i
i n k i n
z z z z
a a b b a b a bz z z z z z
e e i e i e e k
z re r e r e r e
r e k
+
+ +
+
+ +
+ + + + + +
+ + + + + +
= = = =
= = = = =
=0 / 2 2 / 22 2 2
/ 6 2 / 3 / 6 5 / 6 9 / 63 3
0,1,..., -1)
1 ( 0,1), czyli 1 1 1 1
1 ,
( 0,1,2), czyli , ,
i k i
i k i i i i
n
e k
i i
i e k i e e e
+
+
=
= = = =
=
= = =
Euler:
63
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
/ 6 5 / 6 3 / 231 , , ,i i ii i i e e e = =
Analiza Matematycznacz 1WstpCo to jest analiza matematyczna?Prawa fizyki rwnania rniczkoweSlide Number 5Pojcie cigociCel wykaduInformacje praktyczneLiteraturaAlfabet greckiElementy teorii matematycznejSlide Number 12Elementy logiki i teorii mnogociJak rozstrzyga o prawdzie?Heurystyka, systemy formalneRachunek zdaSlide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Bramki logiczne, sieci logicznePrawa rachunku zdaSlide Number 22Slide Number 23Slide Number 24Reguy wnioskowania / dowodzeniaSlide Number 26Slide Number 27Slide Number 28Slide Number 29Zbiory, elementy teorii mnogociSlide Number 31Funkcje zdaniowe, kwantyfikatoryRelacjeSlide Number 34Slide Number 35FunkcjeSlide Number 37Slide Number 38Odwracanie funkcjiFunkcje cyklometryczneFunkcja wykadnicza i logarytm (kompendium)Slide Number 42LiczbyZbiory liczboweSlide Number 45Symbol NewtonaCiao (* wykad algebry)Slide Number 48Ciao uporzdkowaneLiczby rzeczywisteSlide Number 52Slide Number 53Liczebno zbiorwSlide Number 55Argument przektniowy CantoraRwnoliczno R i przedziau (0,1)Hipoteza continuumLiczby zespolone (* algebra)Slide Number 60Slide Number 61Dalsze wasnoci liczb zespolonychSlide Number 63