-
1 ANALIZA SISTEMA U VREMENSKOM DOMENU
PRELAZNO I STACIONARNO STANJE DINAMIČKIH SISTEMA
Posmatramo jedan stacionaran dinamički sistem na čijem ulazu deluje konstantna pobuda ( )u t U . Neka je izlaz sistema ( )y t na ovu pobudu prikazan na slici
Sa grafika uočavamo sledeća moguća ponašanja sistema:
ponašanje u prelaznom stanju definisano sa ( )y t , kada je t
ponašanje u stacionarnom stanju definisano sa ( ) lim ( ) .t
y y t const
Stacionarno stanje sistema određeno je vrednošću konstantne pobude ( )u t U koja
deluje na sistem i na njegovom izlazu, kad t , generiše konstantni izlaz ( )y .
Napomena: Neki sistemi ne poseduju stacionarno stanje. Za ove sisteme važi lim ( ) .
ty t const
ili lim ( )
ty t
stacionarno stanje
prelazno stanje
sistem
-
1.1 MODELOVANJE DINAMIČKIH SISTEMA
Dinamičko ponašanje sistema se može opisati pomoću operatora H koji preslikava ulazne veličine u t u izlazne veličine y t sistema.
Operator H nazivamo model sistema.
H se opisuje pomoću nekog tipa jednačina u zavisnosti od vrste sistema koji se modeluje.
Tip jednačina stacionarnog H operatora
Funkcionalna zavisnost jednačina Stanje sistema
algebarske jednačine ( , ) 0f u y stacionarno stanje
diferencijalne jednačine ( , , , ) 0dydu
dt dtf u y
stacionarno + prelazno stanje
integralne jednačine ( , , , ) 0f u udt y ydt stacionarno + prelazno stanje
diferencijalno-integralne jednačine
( , , , , , ) 0du dy
f u udt y ydtdt dt
stacionarno + prelazno stanje
H
gH
-
POSEBNI SLUČAJEVI DINAMIČKIH SISTEMA
Napomena. Osobina linearnosti sistema biće kasnije razmatrana.
H je opisan sistemom linearnih diferencijalnih jednačina (LDJ) sa konstantnim koeficijentima Linearni, stacionarani
dinamički sistem
Linearni, stacionarani dinamički sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom
H je opisan jednom linearnom diferencijalnom jednačinom (LDJ) sa konstantnim koeficijentima
SISTEM
u1(t)
ur(t)
y1(t)
ym(t)
SISTEM u(t) y(t)
1
1 1 01
1
1 0
( ) ( ) ( )... ( )
( ) ( )... ( )
n n
n nn n
m m
m mm
d y t d y t dy ta a a a y t
dt dt dt
d u t d u tb b b u t
dt dt
-
1.1.1 LINEARNI STACIONARNI DINAMIČKI SISTEMI SA JEDNIM ULAZOM I JEDNIM IZLAZOM
Linearni stacionarni dinamički sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom se može opisati jednom linearnom diferencijalnom jednačinom (LDJ) sa konstantnim koeficijentima
1
1 1 01
1
1 0
( ) ( ) ( )... ( )
( ) ( )... ( )
n n
n nn n
m m
m mm
d y t d y t dy ta a a a y t
dt dt dt
d u t d u tb b b u t
dt dt
Ulaz - pobuda sistema ( )u t
Izlaz - odziv sistema ( )y t
Koeficijenti diferencijalne jednačine 1 1 0 1 1 0, , , , ; , , , ,n n m ma a a a b b b b
Red modela (sistema) n Uslov fizičke ostvarljivosti sistema n m Početni uslovi (1) ( -1)(0), (0), , (0)ny y y
SISTEM
-
Primer. Mehanički sistem na koji deluje sila f(t) sadrži masu M, oprugu koeficijenta elastičnosti k i trenje koeficijenta .
Rešenje.
sila inercije: 2
2( )i
d xf t M
dt ,
sila viskoznog trenja: ( )tdx
f tdt
sila elastičnosti opruge: ef kx .
RAVNOTEŽA: ( ) ( ) ( )ei tf t f t f f t
2
2
( ) ( )( ) ( )
d x t dx tM kx t f t
dt dt
Karakteristike sistema:
- red izvoda diferencijalne jednačine:
2n , 0m - red sistema: 2n - parametri sistema:
0 1
2 0
, ,
, 1
a k a
a M b
-
1.2 STANDARDNE ULAZNE VELIČINE
Namena standardnih ulaznih veličina:
- Za izvođenje teorijskih rezultata
- Za poređenje osobina različitih klasa sistema
- Za definisanje karakterističnih odziva sistema
Vrste standardnih ulaznih veličina:
- jedinična odskočna funkcija
- jedinična nagibna funkcija
- jedinična impulsna funkcija
- prostoperiodična funkcija
sistem
-
1.2.1 JEDINIČNA ODSKOČNA FUNKCIJA (HEVISAJDOVA FUNKCIJA)
Jedinična odskočna funkcija - ( )h t
0 0( )
1 0
th t
t
Odskočna funkcija
0 0( )
0
tKh t
K t
t
h(t)
1
t
Kh(t)
K
-
Zakašnjena jedinična odskočna funkcija
0( )
1
th t
t
Zakašnjena odskočna funkcija
0( )
tKh t
K t
t
1
t
K
-
Realna odskočna funkcija
Nagla promena vrednosti odskočne funkcije se ne može realizovati u praksi.
Zbog toga u praksi koristimo funkciju sa postepenom, ali brzom promenom u posmatranom trenutku vremena
Osobine odskočne funkcije:
modeluje idelani prekidač.
permanentno pobuđuje sistem nakon uključivanja.
t
h(t)
1
0( ) ( )a ah t h t
t
ha(t)
1
-a/2 a/2
-
1.2.2 JEDINIČNA NAGIBNA FUNKCIJA
Jedinična nagibna funkcija
0, 0( )
, 0
tr t
t t
( ) ( )r t t h t
t
1
f(t) = t
t
1
45o
t
45o
-
Nagibna funkcija
ar t ath t
Zakašnjena nagibna funkcija
ar t
t
a
t
-
1.2.3 JEDINIČNA IMPULSNA FUNKCIJA (DELTA FUNKCIJA)
Jedinična impulsna funkcija ( )t
2
1
1 2
( ) 0, 0
( ) 1, 0
t
t
t t
t dt t t
Za 0t , (0) , strelica „gleda“ u .
Površina ispod krive jedinične impulsne funkcije iznosi 1!
Impulsna funkcija ( )K t
2
1
1 2
( ) 0, 0
( ) , 0
t
t
t t
K t dt K t t
K - površina ispod krive t
Kδ (t)
K
0
t
δ (t)
1
0
-
Zakašnjena jedinična impulsna funkcija
2
1
1 2
( ) 0,
( ) 1,
t
t
t t
t dt t t
Zakašnjena impulsna funkcija
2
1
1 2
( ) 0,
( ) ,
t
t
K t t
K t dt K t t
t
1
0
t
K
0
-
Realna impulsna funkcija
Kod impulsne funkcije imamo nagli beskonačni skok sa nultim trajanjem koji se ne može realizovati u praksi.
Impulsnu funkciju aproksimirmo funkcijom ( )T t sa pravougaonim skokom.
Smanjivanjem parametra T postepeno se dobija oštrija impulsna promena
0
( ) lim ( )TT
t t
T0
t
δT (t)
T/2 -T/2
1/T
t
δT (t)
T/2 -T/2
1/T
t
δT (t)
T/2 -T/2
1/T
t
δ (t)
1
-
Veza između funkcija h, r i δ
Veza preko ( )r t Veza preko ( )t
( )r t ( )t
( )( )
dr th t
dt ( ) ( )
t
h t d
( )( )
dh tt
dt
( ) ( )
t
r t h d
ili
( ) ( )r t t h t
-
1.2.4 SINUSNA FUNKCIJA
2
sin sin 2 siny t A A ft A tT
Prigušena sinusna funkcija
2
sin sin 2 sint t tAe Aey t t ft tT
Ae
T – period oscilacija
f – učestanost oscilacija [Hz]
( 1/f T )
- kružna učestanost [rad/s]
( 2 f )
– koeficijent prigušenja [1/s]
-
1.3 KARAKTERISTIČNI VREMENSKI ODZIVI
Pobudna funkcija Odziv sistema
Odskočna funkcija h(t) Odskočni odziv s(t)
Nagibna funkcija r(t) Nagibni odziv
Impulsna funkcija (t) Impulsni odziv g(t)
Sinusna funkcija Sinusni odziv
-
1.4 ODZIV SISTEMA NA PROIZVOLJNU POBUDU
Posmatramo sistem opisan pomoću impulsnog odziva ( )g t .
Cilj je da odredimo izlaz sistema ( )y t na poznatu pobudu ( )u t .
Može se pokazati da važi sledeća veza između ovih veličina:
( ) ( ) ( )y t u g t d
)( )) ((u ty t g t Simbolički zapis integrala konvolucije
Zaključak: 1. g(t) se može koristiti kao model sistema bez početnih uslova.
2. g(t) se može veoma lako eksperimentalno dobiti.
integral konvolucije ulaza sistema ( )u t i impulsnog odziva sistema ( )g t
-
1.5 NEKE BITNE OSOBINE SISTEMA
1.5.1 SISTEMI BEZ MEMORIJE - STATIČKI SISTEMI
Izlaz sistema u proizvoljnom trenutku zavisi samo od vrednosti pobude u tom trenutku.
Primer: ( ) ( )Ru t Ri t
1.5.2 SISTEMI SA MEMORIJOM - DINAMIČKI SISTEMI
Izlaz sistema u proizvoljnom trenutku zavisi od vrednosti pobude u tom trenutku kao vrednosti u prethodnim trenucima vremena.
Primer:
1( ) ( )
t
Cu t i dC
-
1.5.3 LINEARNOST
Sistem je linearan ukoliko poseduje osobine
aditivnosti i princip superpozicije
homogenosti
Sistem je aditivan ukoliko je njegov odziv na zbir ulaznih signala jednak zbiru odziva na pojedinačne ulazne signale, odnosno ako važi
1 1
1 2 1 2
2 2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
H
H
H
u t y tu t u t y t y t
u t y t
-
Sistem je homogen ukoliko je njegov odziv na multipliciranu pobudu jednak multipliciranom odzivu na originalnu pobudu:
( ) ( ) ( ) ( )H Hu t y t au t a y t
Princip superpozicije = aditivnost + homognost
, ( ) ( ) ( ) ( )H Hk k k k k kk k
k u t y t a u t a y t
-
1.5.4 KAUZALNOST – FIZIČKA OSTVARLJIVOST SISTEMA
t
y(t)
t
u(t)
Sistem je kauzalan ako njegov odziv u nekom trenutku vremena zavisi isključivo od pobude koja je na njega delovala do tog trenutka.
Svi realni fizički sistemi su kauzalni !
Uslov kauzalnosti kod diferencijalnih jednačina:
n m
???
t
y(t)
t
u(t)
Nekauzalan sistem – odziv se javlja i pre dejstva pobude
Kauzalan sistem – odziv se ne može javiti pre dejstva pobude
-
1.5.5 STACIONARNOST – VREMENSKA INVARIJANTNOST
Sistem je stacionaran ukoliko je njegov odziv na vremenski pomerenu pobudu takođe vremenski pomeren u istom iznosu
Odziv stacionarnog sistema je neosetljiv na trenutak dejstva pobude.
Kod stacionarnih sistema najčešće se usvaja da pobuda počinje da deluje u trenutku t = 0. Napomena. Model stacionarnih sistema se ne menja tokom vremena.
t
y(t)
t
u(t)
t
y(t)
t
u(t)
-
1.6 OSNOVNI POKAZATELJI KVALITETA PONAŠANJA SISTEMA U VREMENSKOM DOMENU
Pokazatelji su definisani koristeći odskočni odziv sistema drugog reda:
SISTEM: 2
2 1 0 02
( ) ( )( ) ( )
d y t dy ta a a y t b u t
dt dt
Specijalni izbor parametara:
2 11, 2 na a ,
2
0 0 na b - da bi odskočni odziv u stacionarnom stanju bio jedan ( ) 1y
SISTEM:
2
2
2 2( ) ( )2 ( ) ( )n n nd y t dy t
y t u tdt dt
(sistem drugog reda)
–koeficijent relativnog prigušenja (0 1 )
n – sopstvena neprigušena učestanost (0 n )
-
Odskočni odziv ( )s t sistema drugog reda:
ODSKOČNI ODZIV:
2
21( ) 1 ( )1
ar 1
s
c
i
o
n
c s , 0
1n nt
s htt te
Vremenska konstanta sistema: 1
n
T
n
tt
T n
tt Te e
Stacionarno stanje: 2( ) 1 1 / 1s e
02sin 1 1 0 1n t
t
h(t)
1
-
s(t)
t
-
Stacionarno stanje odskočnog odziva s(t):
Odskočni odziv s(t) sistema drugog reda
-
1.6.1 VREME KAŠNJENJA
kT – vreme kašnjenja je vreme
potrebno da se vrednost odskočnog
odziva s t promeni od 0 do 50% vrednosti u stacionarnom stanju.
Sistem II reda:
0.7 1n kT
Linearna aproksimacija: ( ) 0.7 1lf
Vreme kašnjenja
0.7 1k
n
T
Vreme kašnjenja pokazuje sa kolikim se zakašnjenjem od trenutka dejstva pobude na izlazu sistema pojavljuje primetan signal.
-
1.6.2 VREME USPONA
uT - vreme uspona je vreme potrebno da
se vrednost signala s(t) promeni od 10% do 90% vrednosti u stacionarnom stanju.
Sistem II reda:
21 1.1 1.4n uT
Kvadratna aproksimacija:
2( ) 1 1.1 1.4kf
Vreme uspona
21 1.1 1.4u
n
T
Definiše brzinu reagovanja sistema.
Većem vremenu uspona odgovaraju veća izobličenja u prenosu signala.
-
1.6.3 VREME PRESKOKA I PRESKOK
PT – vreme preskoka je trenutak kada signal
s(t) dostiže svoju maksimalnu vrednost smax.
Sistem II reda:
Vreme preskoka: 21
p
n
T
% - preskok definiše se u procentima:
max ( )% 100%( )
s s
s
21% 100%e
Preskok mera relativne stabilnosti sistema, karakteriše tačnosti rada sistema.
-
1.6.4 VREME SMIRENJA
ST – vreme smirenja je vreme potrebno da
amplituda signala y t uđe u pojas širine 2 oko vrednosti ( )s , odnosno u pojas
( ) (1 )s .
Za se najčešće usvaja 2% ili 5% od ( )s .
Posle isteka vremena smirenja prelazni proces se može zanemariti. Sistem II reda:
44S
n
T T
( za 2%)
33S
n
T T
(za 5%)
Vremenska konstanta sistema: 1
n
T
-
Za 2%
-
1.6.5 UČESTANOST (PERIOD) OSCILACIJA
Period oscilacija definiše razmak između dva susedna maksimuma u odskočnom odzivu.
2
2
1( ) 1 sin 1
1
nt
ns t e t
Učestanost
oscilacija odziva:
21n
Perioda oscilacija: 2
2 2
1n
Broj perioda
tokom vremena
smirenja
22 1STN