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Analyse des valeurs extrêmes :Estimation de bornes pour la période de retour
Pierre Ribereau
e-mail: [email protected]
Laboratoire des Sciences du Climat et de l’Environnement
CEA/CNRS/IPSL
Seminaire de Statistiques Appliquees, Montpellier, 20 Mars 2006
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 1/57
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Motivations
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Motivation
• Objectifs : Produire des périodes de retour à Fort Collins.(Actuellement utilisation des atlas de 1973)
• Définition : La période de retour zt est le niveau que l’ons’attend à dépasser, en moyenne, une fois toutes les tannées.
• Bornes pour la période de retour ?
• Données de précipitations à Fort Collins de 1948 à 2001.
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Introduction
X1,n ≤ ... ≤ Xn,n
Comportement Moyen ⇒ TCL
Comportement “Extrême"
IP
(Xn,n − bn
an≤ x
)= Fn(an x + bn)
d−→ Hγ(x), n → ∞,
Hγ(x) =
exp(− (1 + γx)−
1
γ
)si γ 6= 0
exp(− exp(−x)
)si γ = 0
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Convergence du max
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Domaine d’attraction
γ > 0 Fréchet, distribution de type Pareto 1 − F (x) = x−1
γ ℓF (x),
Fréchet, Burr, Pareto...
γ = 0 Gumbel, queues à décroissance exponentielle.Lognormale, Normale, Exponentielle...
γ < 0 Weibull, X admet un point terminal fini,Weibull, ReverseBurr, Beta...
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Deuxieme approche
• Fun(y) =
Fun(un + y) − F (un)
1 − F (un)
• supx∈[0,τF−un[
∣∣Fun(x) − Gγ,σ(un)(x)
∣∣→ 0, quand n → ∞.
• Gγ,σ(x) :=
1 −
(1 +
γ
σ
)−1/γsi γ 6= 0, σ > 0,
1 − exp(−x/σ) si γ = 0, σ > 0,
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Approche POT
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
X11
X12
X13
X14
X15
X16
X17X18
X19
X20
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Approche POT
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
X11
X12
X13
X14
X15
X16
X17X18
X19
X20
u
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Approche POT
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
u
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Approche POT
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
u
−> GPD
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Estimation quantile extreme
• F−1(1 − p) := inf{y|F (y) ≥ 1 − p}
• de Haan (1984) CNS
limtց0
F−1(1 − tx) − F−1(1 − t)
a(t)=
x−γ − 1
γ
⇒ F−1(1 − p) ∼ F−1(1 − t) + a(t) (p/t)−γ−1γ
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Estimation de l’indice des valeurs extremes
• Hill (1975) :HX,kn,n =1
kn
kn∑
j=1
log Xn−j+1,n − log Xn−kn,n.
• Moments (Dekkers et al., 1989)
MX,kn,n = HX,kn,n + 1 − 1
2
(1 −
H2X,kn,n
SX,kn,n
)−1
où SX,kn,n =1
kn
kn∑
j=1
(log Xn−j+1,n − log Xn−kn,n
)2,
• Pickands (1975)
PX,kn,n =1
log 2log
Xn−⌊ kn4⌋,n − Xn−⌊ kn
2⌋,n
Xn−⌊ kn2⌋,n − Xn−kn,n
,
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Estimateurs de Hill, Pickands et Moments
0 50 100 150 200
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
k
ind
ice
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
k
MS
E(a) (b)
(a) Medians et (b) erreurs en moyenne quadratique empiriques des estimateurs de Hill (trait plein), des
moments (tirets) et de Pickands (traits pointilles) bases sur 500 echantillons de taille 500 de loi Frechet (1).
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Estimation de (γ, σ) de la GPD
• Méthode des moments
γMOM =1
2
(1 − x2
s2
)et σMOM =
1
2x( x2
s2+ 1),
• Maximum de vraisemblance
log L(γ, σ) = −n log σ − 1 + γ
γ
n∑
i=1
log(1 +
γXi
σ
).
• MP et MPG
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Estimation de quantiles extremes
• xp = F−1(1 − p) = inf {y : F (y) ≥ 1 − p}• Weissmann (1978)
xHp,k := Xn−k,n
(k + 1
(n + 1)p
)HX,k,n
.
• Moments (Dekkers et al., 1989)
xMp,k = Xn−k,n + a
(k
n
) ( knp)MX,k,n − 1
MX,k,n
où
a(k
n
)= Xn−k,nHX,k,n max(1 − MX,k,n, 1).
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 13/57
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Estimateur POT
Fu(x) ≈ Gγ,σ(u)(x)
• X1,X2, ...,Xn ⇒ Seuil u ⇒ Nu excès Yj ⇒ σ et γ
• Comme F (x) = F (u) × F u(x − u) si x > u alors
F (x) =nu
n
(1 + γ
x − u
σ
)−1/γ
⇒ Par inversion xp = u + σ
(Nu
np
)bγ− 1
γ
• En pratique u = Xn−k,n, donc pour p < kn
xPOTp,k := Xn−k,n + σPOT
k
(k
np
)bγP OTk
− 1
γPOTk
.
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Estimateur POT
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
X11
X12
X13
X14
X15
X16
X17X18
X19
X20
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 15/57
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Estimateur POT
X(5)
X(7)
X(1)
X(19)
X(13)
X(11)
X(3)
X(14)
X(17)
X(4)
X(8)
X(6)
X(20)
X(16)
X(2)
X(18)
X(10)X(9)
X(15)
X(12)
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 15/57
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Estimateur POT
X(5)
X(7)
X(1)
X(19)
X(13)
X(11)
X(3)
X(14)
X(17)
X(4)
X(8)
X(6)
X(20)
X(16)
X(2)
X(18)
X(10)X(9)
X(15)
X(12)
X15
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 15/57
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Estimateur POT
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
X15
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Estimateur POT
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
X15
⇒ σ et γ
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Estimateur POT
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
X15
⇒ σ et γ
xPOTp,k := Xn−k,n + σPOT
k
(k
np
)bγP OTk
− 1
γPOTk
.
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 15/57
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Simulations
Comparaisons entre:• Estimateur des moments (rouge)• Estimateur de Weissman (bleu)• Estimateurs POT ML (vert) et MPG (noir)
Figures (a): Medians
Figures (b): MSE adaptées : MSE∗(xp) := E
(log
xp
xp
)2
Droite horizontale = vraie valeur du paramètre avec p = 1/10n etn = 50 ou 100Distributions:
• Burr (β, τ, λ)
• Lognormal (µ, σ)
• ReverseBurr (β, τ, λ, τF )
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 16/57
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Burr (1, 12 , 2) avec n = 50
(a) (b)
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Burr (1, 12 , 2) avec n = 100
(a) (b)
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 18/57
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Lognormale (0, 1) avec n = 50
(a) (b)
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Lognormale (0, 1) avec n = 100
(a) (b)
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ReverseBurr (1, 8, 1/2, 10) avec n = 50
(a) (b)
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ReverseBurr (1, 8, 1/2, 10) avec n = 100
(a) (b)
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Periode de retour : Exemple
1950 1960 1970 1980 1990 2000
010
020
030
040
050
060
070
0
1997
• Période de retour = zt = F−1(1 − 1/t)
• Quelle est la valeur que l’on peut s’attendre à dépasser aucours de t années ?
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 23/57
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Objectifs
• TVE basée sur des arguments asymptotiques : Quid avecn = 53
• TVE pas applicable pour des variables discrètes.
• Solutions : Proposer des bornes faciles à calculer ayant debonnes propriétés.
• Pas d’hypothéses sur la queue de distribution
⇒ bornes pas forcément proches de zt (scénario catastropheraisonnable).
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 24/57
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Outil : Inegalite de Markov
F (z) ≤ IE[h(X)]
h(z)
→ Exemples :• Borne de Chernoff avec h(z) = exp(λz) et λ ≥ 0 :
infλ≥0
{e−λz
∫eλxdF (x)
}
• Moment bound avec h(z) = zn et n ≥ 0 :
infn≥0
IE(Xn)
zn
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 25/57
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Borne
• Dans notre cas, on choisit h(z) = u(z)v(F (z)) avec :
(u, v) : IR+ × [0, 1] → IR+ × IR+
• Θ(u, v) := IE[h(X)] = IE[u(X)v(F (X))] (GPWM)
• Si u(x) = xs et v(x) = xr → MP
• zt défini comme F (1/t) = zt alors :
zt ≤ bt(u, v) := u←[
tΘ(u, v)
v(1 − 1/t)
]où u ↑ v ↑
⇒ zt ≤ inf{bt(u, v) : u(.) et v(.) croissantes }
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 26/57
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Autre borne
• v croissante et u décroissante
Θ∗(u, v) = IE[u(X)v(F (X))1l(X ≤ zt)]
+IE[u(X)v(F (X))1l(X > zt)]
= T1 + T2
T1 ≤ u(zt)v(1/t)
tT2 ≤ [Θ∗(up, vp)]1/p (1 − 1/t)1/q
zt ≤ b∗(u, v) = u←[t
Θ∗(u, v) − (1 − 1/t)(1 − 1/p) [Θ∗(up, vp)]1/p
v(1/t)
]
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 27/57
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Borne inferieure
• v(.) décroissante et u(.) croissante
T2 ≤ (1 − 1/t)u(zt)v(1/t) et T1 ≤ t−1/q[Θ∗(up, vp)
]1/p
zt ≥ l∗t (u, v) = u←[
Θ∗(u, v) − t1/p−1 [Θ∗(up, vp)]1/p
v(1/t)(1 − 1/t)
]
zt ≥ sup
{
l∗t (u, v) : u(.) ≥ 0, v(.) ≥ 0, u(.) ↑, v(.) ↓ et p > 1
}
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 28/57
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Estimateurs
• Comme Θ(u, v) = E[u(X)v(F (X))]
•
Θn(u, v) =1
n
n∑
i=1
u(Xi)v(Fn(Xi))
Θn(u, v) =1
n
n∑
i=1
u(Xi,n)v
(i
n
)
⇒ L-statistiques.
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 29/57
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Theoreme 1 : convergence en distribution
Si v(.) est lipschitzienne d’ordre 1 sur [0, 1] et u(.) est telle que∫|u(x)|dF (x) et
∫v2(F (x))u2(x)dF (x) sont finis alors
√n(θn(u, v) − θ(u, v))
converge en distribution vers une variable gaussienne centréede variance
σ2 = E
(
−v(U)u(F←(U))+θ(u, v)−∫ 1
0
(1l(U ≤ t)−t
)v′(t)u(F←(t))dt
)2
,
où U suit une loi uniforme sur (0, 1).
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 30/57
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Theoreme 2 : convergence ps
θn(u, v) = θ(u, v) + O
(√log log n
n
)
presque sûrement
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 31/57
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Theoreme 3 : vitesse de convergence en proba
Si u ∈ C1(0,∞) et v ∈ C1[0, 1] sont des fonctions positives etcroissantes telles que u(0) = 0 et
u′(x) = O(xa−1), pour x grand et a > 0.
Supposons que F vérifient
xa−1 [F (x)]3
2−ζ−ν
f(x)= O(1), pour ζ ∈ (0, 1) et ν ∈
(0,
1
4
), quand x → ∞.
Alors, il existe un pont brownien B tel que quelque soitβn = o
(nmin(ν,ζ)
), on a
βn
[√
n(θn(u, v)−θ(u, v)
)+∫∞0 u′(x)B(F (x))v(F (x))dx
]
= oP(1)
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 32/57
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Intervalles de confiance
Théorème 1 + Méthode Delta ⇒
√n(bt(u, v)−bt(u, v)
)d−→ N
(0,
t2σ2
v2(1 − 1t )
[(u←)′
( tθ(u, v)
v(1 − 1t )
)]2)
,
où
bt(u, v) = u←[
tθn(u, v)
v(1 − 1/t)
]
bt(u, v) ∈[
bt(u, v) ± q1−α/2 t bσ√n v(1− 1
t)(u←)′
(tbθn(u,v)v(1− 1
t)
)]
où σ est la version empirique de σ et q1−α/2 le quantile d’ordre1 − α
2 de la loi normale centrée réduite.
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 33/57
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Simulations
zt ≤ inf
{u←[
tΘ(u, v)
v(1 − 1/t)
]: u(.) ↑ and v(.) ↑
}
zt ≥ sup
{
u←[
Θ∗(u, v) − t1/p−1 [Θ∗(up, vp)]1/p
v(1/t)(1 − 1/t)
]
: u(.) ↑ and v(.) ↓}
• Ici, u(x) = xa et v(x) = xb pour la borne supérieure etu(x) = xa et v(x) = x−b pour la borne inférieure.
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 34/57
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Simulations
• Distributions :
◦ Frechet avec γ = 0.25◦ Valeur absolue de la loi normale centrée réduite◦ Beta de paramètres 3 et 4◦ Binomiale de paramètres 100 et 0.8◦ Poisson de paramètre 10
• 500 répétitions pour n = 50 et n = 500
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 35/57
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Frechet γ = 1/4 avec n = 50
0 50 100 150 200 250 300
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
02
46
810
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 36/57
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MSE pour la Frechet γ = 1/4 avec n = 50
050
100
150
200
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0 50 100 150 200 250 300
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 37/57
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Frechet γ = 1/4 avec n = 500
400 500 600 700 800 900 1000 1100
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
05
1015
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 38/57
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MSE pour la Frechet γ = 1/4 avec n = 500
020
4060
8010
0
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
400 500 600 700 800 900 1000 1100
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 39/57
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|Normale| avec n = 50
0 50 100 150 200 250 300
01
23
4
01
23
4
01
23
4
01
23
40
12
34
01
23
40
12
34
01
23
40
12
34
01
23
40
12
34
01
23
40
12
34
01
23
40
12
34
01
23
4
01
23
4
01
23
4
01
23
4
01
23
4
0
12
34
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 40/57
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MSE pour la |Normale| avec n = 50
01
23
4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 50 100 150 200 250 300
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 41/57
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|Normale| avec n = 500
400 500 600 700 800 900 1000 1100
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
01
23
45
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 42/57
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MSE pour la |Normale| avec n = 500
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
400 500 600 700 800 900 1000 1100
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 43/57
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Beta(3,4)
avecn
=50
50100
150200
250
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Analyse
desvaleurs
extremes
:Estim
ationde
bornespour
laperiode
deretour
–p.44/57
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Beta(3,4)
avecn
=500
500600
700800
9001000
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Analyse
desvaleurs
extremes
:Estim
ationde
bornespour
laperiode
deretour
–p.45/57
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Poisson λ = 10 avec n = 50
50 100 150 200 250
1015
2025
1015
2025
1015
2025
1015
2025
1015
2025
1015
2025
1015
2025
1015
2025
1015
2025
1015
2025
1015
2025
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 46/57
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Poisson λ = 10 avec n = 500
500 600 700 800 900 1000
1015
2025
30
1015
2025
30
1015
2025
30
1015
2025
30
1015
2025
30
1015
2025
30
1015
2025
30
1015
2025
30
1015
2025
30
1015
2025
30
1015
2025
30
1015
2025
30
1015
2025
30
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 47/57
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Binom
iale(100,0.8)
avecn
=50
050
100150
200250
300
70 80 90 100 110
70 80 90 100 110
70 80 90 100 110
70 80 90 100 11070 80 90 100 11070 80 90 100 110
70 80 90 100 110
70 80 90 100 11070 80 90 100 110
70 80 90 100 110
70 80 90 100 110
Analyse
desvaleurs
extremes
:Estim
ationde
bornespour
laperiode
deretour
–p.48/57
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Binom
iale(100,0.8)
avecn
=500
400500
600700
800900
10001100
70 80 90 100 110
70 80 90 100 110
70 80 90 100 110
70 80 90 100 110
70 80 90 100 11070 80 90 100 110
70 80 90 100 110
70 80 90 100 110
70 80 90 100 110
70 80 90 100 110
70 80 90 100 110
70 80 90 100 110
70 80 90 100 110
Analyse
desvaleurs
extremes
:Estim
ationde
bornespour
laperiode
deretour
–p.49/57
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Exemple
• Données constituées de maxima
⇒ GEV
⇒ zt = µ − γ
ξ
[1 − (− log(1 − 1/t))−
bξ]• Intervalles de confiance :
• A partir du théorème 1 pour les bornes
• Avec le profile likelihood pour la GEV
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 50/57
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Bornes estimees
50 100 150 200 250
200
400
600
800
1000
1200
Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 51/57
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Bornes estimees avant 1997
50 100 150 200 250
200
400
600
800
1000
1200
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Autre exemple
• Nombre maximal de journées consécutives sans pluie paran
1950 1960 1970 1980 1990 2000
020
4060
80
1991
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Bornes estimees
50 100 150 200 250
020
4060
8010
012
0
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Bornes estimees avant 1991
50 100 150 200 250
020
4060
8010
012
0
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Conclusions
• Bornes faciles à calculer• Méthode très générale, peut être appliquée aux mélanges
de loi, aux lois discrètes...• Valable pour toutes les valeurs de n et de t
• Les simulations semblent montrer qu’elles sont“compétitives"
Futurs extensions• Comment optimiser le choix de u et v ?• Comment étendre au cas stationnaire ?• Passer au cas multivarié?
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Bibliographie
• Beirlant et al. (2004) Statistics of Extremes: Theory and Applications.Wiley.
• Coles (2001) An Introduction to Statistical Modeling of ExtremeValues. Springer.
• Diebolt et al. (2005) Approximation of the distribution ofexcesses through a generalized probability weightedmoment method, Statist. Plann. Inference.
• Diebolt et al. (2005) Asymptotic normality of extremequantile estimators based on the peaks-over-thresholdapproach, soumis.
• Li et al. (2001) The law of the iterated logarithm and centrallimit theorem for L-statistics, J. Multivariate Anal.
• Diebolt et al. Return level bounds for extreme values, soumis.
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