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Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour
l'analyse de stabilitéFabrice LE BARS
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18/03/2009 - 2Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
> Sommaire
1. Introduction2. Lancé de rayon
3. Analyse de la stabilité d’un système paramétrique
4. Conclusion
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18/03/2009 - 3Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Introduction
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18/03/2009 - 4Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
� But : Mise en parallèle de deux problèmes a priori différents : lancé de rayon et analyse de stabilité d’un polynôme paramétrique
� Approche : calcul par intervalles
Introduction
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18/03/2009 - 5Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
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18/03/2009 - 6Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Description– Lancé de rayon = ray tracing ≈ ray casting
– Affichage d‘une scène 3D
– Principe : reconstituer le trajet inverse de la lumière en partant de l'écran vers l'objet
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18/03/2009 - 7Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Hypothèses– Objets décrits par des fonctions implicites
– Œil placé à l'origine du repère R(O,i,j,k) et écran placé en z=1– L’écran n’est pas dans l’objet
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18/03/2009 - 8Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Position du problème– Un rayon passant par le pixel
sera donc décrit par les équations
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18/03/2009 - 9Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Position du problème– Le point est dans l’objet si
– Un pixel affiche un point de l’objet si le rayon associétraverse l’objet
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18/03/2009 - 10Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
Le rayon associé à un pixel intersecte l’objet si
avec
∃d ≥ 0,gp,d ≤ 0
gp,d = fp1.d,p2.d,d
p
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18/03/2009 - 11Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Gestion des effets de lumière– Réalisme => modèle d’illumination– Phong : nécessite la distance à l’œil de la surface de
l'objet à afficher– Il nous faut donc évaluer pour chaque pixel :
d∗p = mind≥0
gp,d≤0
d
p
d∗p
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18/03/2009 - 12Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Calcul de la plus petite racine positive d’une fonction
g0,a ⊂ 0,∞
g′a,b ⊂ − ∞, 0
d∗ ∈ a,bgb < 0
d∗
a b
d∗
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18/03/2009 - 13Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Calcul de la plus petite racine positive d’une fonction
– Une méthode par intervalles nous donne – Une dichotomie nous calcule
a,bd∗
d∗
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18/03/2009 - 14Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Version paramétrique– dépend maintenant d’un vecteur de paramètre
gp,0,a ⊂ 0,∞
gp,b ⊂ − ∞,0∂g
∂dp,a,b ⊂ − ∞,0
d∗p ⊂ a,b
gp,dp ∈ p
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18/03/2009 - 15Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Passage de à d∗pd∗
a ba b
d∗ d∗p
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18/03/2009 - 16Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
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18/03/2009 - 17Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Analyse de la stabilité d’un système paramétrique
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18/03/2009 - 18Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Analyse de la stabilité d’un système paramétrique
Ps,p stable⇔ toutes ses racines sont à partie réelle≤ 0
⇔ rp ≤ 0(Routh)
� Stabilité
où est obtenu par la table de Routhr
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18/03/2009 - 19Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Analyse de la stabilité d’un système paramétrique
(Routh)
Ps,p estδ stable⇔ toutes ses racines sont à partie réelle≤ δ
⇔ rp,δ ≤ 0
� stabilitéδ
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18/03/2009 - 20Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Analyse de la stabilité d’un système paramétrique
� Exemple : AckermannLe polynôme
est stable si
Ps,p = s3 + p1 + p2 + 2s2 + p1 + p2 + 2s
+2p1p2 + 6p1 + 6p2 + 2.25. #
δ
rp,δ = min
p1 + p2 + 2 − 3δ
p1 − 12 + p2 − 12 − 0.25− 2δp1 + p2 + 2p1 + p2 + 3 − 4δ + 4δ2
2p1 + 3p2 + 3 − 15.75− δp1 + p2 + 21 + δ − δ2
≤ 0
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18/03/2009 - 21Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
� Degré de stabilité
Analyse de la stabilité d’un système paramétrique
δ∗
δ∗p = minδ≥0
rp,δ≤0
δ #
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18/03/2009 - 22Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Analyse de la stabilité d’un système paramétrique
� Correspondance avec le lancé de rayon
d∗p = mind≥0
gp,d≤0
d δ∗p = minδ≥0
rp,δ≤0
δ #
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18/03/2009 - 23Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Analyse de la stabilité d’un système paramétrique
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18/03/2009 - 24Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Conclusion
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18/03/2009 - 25Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Conclusion
� Le lancé de rayon et le tracé du degré de stabilité d'un système linéaire sont des problèmes similaires
� Un algorithme commun combinant calcul par intervalles et dichotomie a été proposé
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18/03/2009 - 26Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Références
� L. Jaulin. Solution globale et garantie de problèmes ensemblistes; Application à l'estimation non linéaire et à la commande robuste. PhDthesis, Université Paris XI Orsay, 1994.
� S. Bazeille. Vision sous-marine monoculaire pour la reconnaissance d'objets. PhD thesis, Université de Bretagne Occidentale, 2008.
� J. Flórez. Improvements in the ray tracing of implicit surfaces based on interval arithmetic. PhD thesis, Universitat de Girona, 2008.
� L. Jaulin, M. Kieffer, O. Didrit et E. Walter, Applied interval analysis, Springer-Verlag, London, Great Britain, 2001.
� L. Jaulin, E. Walter, O. Lévêque et D. Meizel, "Set inversion for chi-algorithms, with application to guaranteed robot localization", Math. Comput Simulation, 52, pp. 197-210, 2000.
� J. Ackermann, "Does it suffice to check a subset of multilinear parameters in robustness analysis?", IEEE Transactions on Automatic Control, 37(4), pp. 487-488, 1992.
� J. Ackermann, H. Hu et D. Kaesbauer, "Robustness analysis: a case study", IEEE Transactions on Automatic Control, 35(3), pp. 352-356, 1990.
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18/03/2009 - 27Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
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18/03/2009 - 28Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
=> a = d3
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18/03/2009 - 29Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
=> b = d2
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18/03/2009 - 30Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Découpage en d
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18/03/2009 - 31Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Découpage en d
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18/03/2009 - 32Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Découpage en d
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18/03/2009 - 33Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Découpage en p
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18/03/2009 - 34Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Découpage en p
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18/03/2009 - 35Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Découpage en p
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18/03/2009 - 36Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Découpage en p
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18/03/2009 - 37Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Découpage en p
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18/03/2009 - 38Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Découpage en p et en d
a b
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18/03/2009 - 39Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
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18/03/2009 - 40Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
� Gestion de l'affichage de plusieurs objets– On reprend l'algorithme précédent sans modifications
en l'appliquant pour la fonction :
– En effet, seul le premier objet traversé par le rayon nous intéresse
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18/03/2009 - 41Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Lancé de rayon
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18/03/2009 - 42Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Analyse de la stabilité d’un système paramétrique
– Degré de stabilité d'un système linéaire invariant de polynôme caractéristique P(s) :
– On considère un système linéaire invariant paramétrépar un vecteur de paramètre p :
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18/03/2009 - 43Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Analyse de la stabilité d’un système paramétrique
– Le degré de stabilité devient :
– En écrivant
le polynôme est stable si (Routh) :
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18/03/2009 - 44Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Analyse de la stabilité d’un système paramétrique
– En notant
On obtient
– Le degré de stabilité s'écrit alors :
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18/03/2009 - 45Analyse par intervalles pour le lancé de rayon et pour l'analyse de stabilité
Analyse de la stabilité d’un système paramétrique
– On peut donc réutiliser les algorithmes de ray tracingen considérant ces correspondances :