UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM
ENGENHARIA ELÉTRICA
ANDERSON DOURADO SISNANDO
OTIMIZAÇÃO DE DISPOSITIVOS FOTÔNICOS
UTILIZANDO ALGORITMOS BIO-INSPIRADOS
Tese de Doutorado em Engenharia Elétrica
Orientador
Vitaly Félix Rodríguez Esquerre
SALVADOR, 2015
i
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM
ENGENHARIA ELÉTRICA
OTIMIZAÇÃO DE DISPOSITIVOS FOTÔNICOS
UTILIZANDO ALGORITMOS BIO-INSPIRADOS
Aluno: Anderson Dourado Sisnando
Orientador: Prof. Dr. Vitaly Félix Rodríguez Esquerre
Tese submetida ao Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Elétrica da
Universidade Federal da Bahia como parte
dos requisitos necessários para obtenção do
grau de Doutor em Engenharia Elétrica, sob a
orientação do professor Dr. Vitaly Félix
Rodríguez Esquerre.
Área de Concentração: Processamento de Informação e Energia
Linha de Pesquisa: Processamento e Transmissão da Informação
SALVADOR – BA
Fevereiro de 2015
S622 Sisnando, Anderson Dourado
Otimização de dispositivos fotônicos utilizando
algoritmos bio-inspirados/Anderson Dourado Sisnando. –
Salvador, 2014.
171 f. : il. color.
Orientador: Prof. Dr. Vitaly Félix Rodríguez Esquerre
Tese (doutorado) – Universidade Federal da Bahia.
Escola Politécnica, 2014.
1. Computação Bio-inspirada. 2. Otimização. 3.
Sistemas de Comunicação. I. Esquerre, Vitaly Félix
Rodriguez . II. Universidade Federal da Bahia. III. Título.
CDD: 621.382
ii
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM
ENGENHARIA ELÉTRICA
--------------------------------------------------------------------------
OTIMIZAÇÃO DE DISPOSITIVOS FOTÔNICOS
UTILIZANDO ALGORITMOS BIO-INSPIRADOS
TESE DE DOUTORADO
Autor: Anderson Dourado Sisnando
Orientador: Vitaly Félix Rodriguez Esquerre
Tese de Doutorado aprovada em 17 de Dezembro de 2014 pela banca examinadora composta
pelos seguintes membros:
iii
A Deus, minha família, amigos e colegas pelo apoio, muito obrigado!
iv
AGRADECIMENTOS
Ao professor Dr. Vitaly Félix Rodríguez Esquerre pelas orientações, oportunidades em
seus projetos de pesquisa e, principalmente, pela importante amizade.
Aos amigos que fiz ao longo do doutorado Karolinne Brito, Francismari, Igor
Leonardo e Davi por dividirem as alegrias e angústias durante esses anos. As secretárias do
programa de pós-graduação em Engenharia Elétrica, Janaína, Agatha e Ingrid, agradeço pela
paciência e informações importantíssimas que me ajudaram a concluir mais esta etapa em
minha formação.
Aos amigos Michel Lima, Joaquim Lima, Fabrício Simões e Edson pelo
incomensurável apoio durante a realização desse projeto.
Aos meus pais Francisco Demontier e Eva Chirlen, aos meus irmãos Rômulo, Natali e
Priscila, meus sobrinhos Sabrina e Felipe, minhas primas Aline Akemi, Beatriz, Larissa,
Débora, Kelly, Kátia e Karine, cunhados Ivan e Kelly, minhas tias Vera Lúcia, Maria Sônia,
Rosemeire Nagata e Expedita Berenice e aos meus tios Roberto e Joel, por serem a razão de
tudo isso, amo vocês.
A Manuela, minha mulher e companheira, que sempre esteve presente para me apoiar
nos momentos de revés e me dar forças para prosseguir.
Aos professores Karcius Day, Ana Isabela e Trazíbulo Henrique pelo apoio e
recomendações, e a todos os outros amigos, colegas, professores e funcionários da UFBA, um
muito obrigado de coração.
Agradeço a FAPESB - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado da Bahia pelo apoio
e suporte financeiro.
v
“Talvez não tenha conseguido fazer o melhor, mas lutei para que o melhor fosse feito. Não sou o que deveria ser, mas Graças a Deus, não sou o que era antes.”
Marthin Luther King
vi
RESUMO
A presente tese consiste em um estudo das técnicas de Computação Bio-Inspirada para
otimizar dispositivos fotônicos, em conjunto com o método dos elementos finitos (FEM) no
domínio da frequência. O estudo dessas técnicas é muito promissor para diversas áreas, em
particular, a Fotônica, pois possui muitos dispositivos e fenômenos que necessitam de um
tratamento matemático eficiente com esforço computacional reduzido. Desenvolveram-se
algoritmos genéticos (AG) e algoritmos evolutivos baseados em sistemas imunológicos
artificiais (SIA-AV e SIA-ALV), os quais foram aplicados na otimização das bandas fotônicas
proibidas de cristais fotônicos compostos por materiais isotrópicos e anisotrópicos. Esses
algoritmos e um algoritmo de Evolução Diferencial (ED), concebido, são utilizados em
conjunto com o programa FEM-2D (cálculo dos campos e potência) para a otimização da
eficiência de acoplamento de tapers entre guias de onda contínuos e segmentados. Os
algoritmos foram escolhidos devido à flexibilidade em se ajustar a parâmetros, os resultados
podem ser melhorados significativamente. Nesse trabalho, avaliou-se a introdução de novos
passos (cruzamento, clonagem, elitismo, mutação, etc.) nos algoritmos concebidos e a junção
de mais de uma técnica (rede imunológica e seleção clonal), visando a eficiência (tempo de
processamento e esforço computacional) dos mesmos e sua utilização para a otimização e
concepção de novos dispositivos. Os algoritmos desenvolvidos são utilizados para encontrar
soluções para problemas atuais na área de Fotônica que são: aumento da largura de banda dos
dispositivos para atender demandas de altas taxas de transmissão, e minimizar as perdas de
acoplamento entre guias com diferentes propriedades. Como resultado dessa pesquisa, além
de algoritmos eficientes e flexíveis, são obtidas estruturas otimizadas de cristais fotônicos,
com banda fotônica proibida maior que as encontradas na literatura, para materiais isotrópicos
e anisotrópicos, as quais possibilitam uma maior quantidade de canais a serem utilizados nos
sistemas de comunicações ópticas. E também, são obtidos tapers (contínuo e segmentado)
otimizados, ambos com eficiência de acoplamento maior que as encontradas na literatura e
com o tamanho físico reduzido, validando assim a pesquisa.
Palavras-chave: Computação Bio-Inspirada, Otimização, Cristais Fotônicos, Materiais
Isotrópicos e Anisotrópicos, Tapers.
vii
ABSTRACT
This aims of this thesis is the study of Bio-Inspired Computation techniques to optimize
photonic devices in conjunction with the finite element method (FEM) in the frequency
domain. The study of these techniques are very promising for different areas, particularly
Photonic, where there are several devices and phenomena that require an efficient
mathematical treatment with reduced computational effort. Genetic algorithms (GA) and
evolutionary algorithms based on artificial immune systems (AIS-AV e AIS-ALV) have been
developed and they have been applied in the optimization of photonic bandgaps of photonic
crystals composed of isotropic and anisotropic materials. These algorithms and an Differential
Evolution algorithm (DE) conceived, are used in conjunction with the 2D-FEM (program for
calculation of fields and power), for optimizing the power coupling efficiency of Tapers
between continuous and segmented waveguides. These algorithms were chosen because of the
flexibility in adjusting their parameters can be significantly to improved their results. In this
work, we evaluate the introduction of further steps (crossover, cloning, elitism, mutation, etc.)
in the proposed algorithms and put together more than one technique (immune network and
clonal selection), to improve the efficiency (processing time and computational effort), then,
and their use for the optimization and design of new devices. The developed algorithms are
used to find solutions for existing problems in the area of photonics that are: increasing the
devices operating bandwidth to meet high transmission rates demands and minimizing the
coupling losses between waveguides with different properties. As a result of this research, in
addition to efficient and flexible algorithms, we are obtained optimized structures of photonic
crystals with photonic bandgaps greater than those found in the literature for isotropic and
anisotropic materials, which allow a more number of channels to be used in systems optical
communications. Also, are obtained optimized tapers (continuous and segmented), both with
coupling efficiency higher than those found in the literature and with reduced physical size,
thereby validating this research.
Keywords: Bio-Inspired Computation, Optimization, Photonic Crystals, Anisotropic and
Isotropic materials, Tapers.
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1. Tipos de Algoritmos Bio-Inspirados disponíveis .................................................... 3
Figura 1.2. Processo de otimização dos Cristais Fotônicos desenvolvido com uso dos
Algoritmos Bio-Inspirados ........................................................................................................ 8
Figura 1.3. Processo de otimização do Acoplamento entre Guias por meio de Algoritmos Bio-
Inspirados .................................................................................................................................. 9
Figura 2.1. Cristal Fotônico, (a) e (d) unidimensional, (b) e (e) bidimensional e (c) e (f)
tridimensional .......................................................................................................................... 14
Figura 2.2. (a) Célula unitária do arranjo quadrado, (b) região de Brillouin, (c) estrutura de
banda fotônica para um arranjo quadrado formado por cilindros dielétricos com n=3,6 em ar
e r/a=0,35, (d) célula unitária do arranjo triangular, (e) região de Brillouin e (f) estrutura de
banda fotônica para um arranjo triangular formado por cilindros dielétricos com n=3,6 em
ar e r/a=0,33 ........................................................................................................................... 17
Figura 2.3. Modos de propagação no cristal, (a) TE e (TM) ................................................ 23
Figura 2.4. Célula unitária dividida em 200 triângulos, (a) arranjo quadrado e (b) arranjo
triangular ................................................................................................................................ 23
Figura 2.5. Elipsóide e elipse dos índices de refração ........................................................... 27
Figura 2.6. Esquemático do taper contínuo entre os guias de onda L e S .............................. 28
Figura 2.7. Esquemático do taper segmentado entre os guias de onda C e O ....................... 29
Figura 2.8. Esquemático do (a) guia reto PSW 2D e (b) o guia CWG equivalente. O índice de
refração neq do guia contínuo equivalente é determinado através da Equação (2.37) ......... 30
Figura 2.9. Estrutura conceitual para a análise dos elementos finitos FE. A junção é dentro
da região Ω, a qual pode ser alimentada por até quatro guias de onda de acesso ................ 32
Figura 2.10. Estruturas utilizadas para a análise dos elementos finitos FE com o domínio
computacional e as regiões da PML ...................................................................................... 34
Figura 2.11. Esquema das estruturas para a análise no FEM-2D e cálculo da potência ...... 38
Figura 3.1. Representação de um cromossomo ...................................................................... 46
Figura 3.2. Seleção por Roleta (Amostragem estocástica universal) ...................................... 49
Figura 3.3. Seleção por Torneios ............................................................................................ 51
Figura 3.4. Crossover de um ponto ......................................................................................... 52
Figura 3.5. Crossover com 2 pontos de corte ......................................................................... 53
Figura 3.6. Crossover do tipo uniforme .................................................................................. 54
ix
Figura 3.7. Operador de mutação ............................................................................................ 54
Figura 3.8. Ciclo básico de funcionamento de um AG ............................................................ 56
Figura 3.9. Camadas de defesa do sistema imunológico ......................................................... 58
Figura 3.10. Princípio da Seleção Clonal ............................................................................... 60
Figura 3.11. Esquema de um algoritmo de seleção clonal, CLONALG ................................. 64
Figura 3.12. Esquema de um algoritmo de evolução diferencial ........................................... 66
Figura 3.13. Operador de mutação do ED .............................................................................. 68
Figura 3.14. Operador de cruzamento do tipo binomial ......................................................... 69
Figura 3.15. Operador de cruzamento do tipo exponencial .................................................... 70
Figura 3.16. Fluxograma do (a) Algoritmo Genético (AG) e (b) Algoritmo Baseado em SIA,
implementados e (c) representação do fitness em ambos os algoritmos ................................. 74
Figura 3.17. Tipo de codificação implementada e a malha de FE da célula unitária de um
cristal fotônico dividida em 200 triângulos ............................................................................. 75
Figura 3.18. Operadores de cruzamento implementados, (a) dois pontos, as linhas
representam os pontos de corte e (b) uniforme, máscara binária determina os genes que irão
formar os novos indivíduos ..................................................................................................... 76
Figura 3.19. Fluxograma dos algoritmos evolutivos baseados em Sistemas Imunológicos
Artificiais implementados, (a) SIA-AV e (b) SIA-ALV, e (c) fitness utilizado, para o cálculo da
PBG absoluta, pelos algoritmos ............................................................................................. 79
Figura 3.20. (a) Fluxograma do Algoritmo de Evolução Diferencial, implementado e (b)
fitness utilizado para o cálculo da eficiência de acoplamento ................................................ 80
Figura 4.1. Evolução do melhor indivíduo do cristal com material isotrópico e arranjo
quadrado para o modo TE12: (a) população com 20 indivíduos e (b) população com 50
indivíduos ................................................................................................................................ 85
Figura 4.2. Evolução do melhor indivíduo do cristal com material isotrópico e arranjo
triangular para o modo TM12: (a) população com 20 indivíduos e (b) população com 50
indivíduos ................................................................................................................................ 85
Figura 4.3. Cristais fotônicos resultantes com arranjo quadrado e elementos triângulos para
o modo TE12 com população de 20 indivíduos, AG (a) dois pontos e (b) uniforme ................ 86
Figura 4.4. Cristais fotônicos resultantes com arranjo quadrado e elementos triângulos para
o modo TE12 com população de 50 indivíduos, AG (a) dois pontos e (b) uniforme ................ 87
Figura 4.5. Cristais fotônicos resultantes com arranjo quadrado e elementos triângulos para
o modo TM12 com população de 20 indivíduos, AG (a) dois pontos e (b) uniforme ............... 87
x
Figura 4.6. Cristais fotônicos resultantes com arranjo quadrado e elementos triângulos para
o modo TM12 com população de 50 indivíduos, AG (a) dois pontos e (b) uniforme ............... 87
Figura 4.7. Evolução do melhor indivíduo para o cristal com arranjo quadrado e população
de 20 indivíduos, para o AG (dois pontos), AG (uniforme) e SIA-AV ..................................... 89
Figura 4.8. Evolução do melhor indivíduo para o cristal com arranjo triangular e população
de 20 indivíduos, para o AG (dois pontos), AG (uniforme) e SIA-AV . .................................... 89
Figura 4.9. Cristais Fotônicos otimizados para o modo TE12 com arranjo quadrado com
elementos triângulos com 20 indivíduos através de (a) AG (dois pontos), (b) AG (uniforme) e
(c) SIA-AV . ............................................................................................................................... 90
Figura 4.10. Cristais Fotônicos otimizados para o modo TM12 com arranjo quadrado com
elementos triângulos com 20 indivíduos através de (a) AG (dois pontos), (b) AG (uniforme) e
(c) SIA-AV . ............................................................................................................................... 90
Figura 4.11. Evoluções dos diferentes tamanhos da população do AG em função do melhor
indivíduo e do número de gerações para o Arranjo Triangular, no problema da PBG absoluta
de cristais compostos por material isotrópico imerso em ar .................................................. 92
Figura 4.12. Evolução do fitness do melhor indivíduo encontrado e a respectiva célula
unitária resultante (como inserção na figura) para o arranjo triangular (a) SIA-AV 17,53% e
(b) SIA-ALV 18,81%, respectivamente .................................................................................... 93
Figura 4.13. Estruturas cristalinas otimizadas para o arranjo triangular (a) SIA-AV e (b)
SIA-ALV, respectivamente, (PBG absoluta silício) ................................................................. 93
Figura 4.14. Evoluções das diferentes taxas de mutação em função do melhor indivíduo e do
número de gerações para o Arranjo Triangular com SIA-ALV (a) 10 com 19,13% e (b) 20
indivíduos com 18,86%, respectivamente ................................................................................ 94
Figura 4.15. Diagramas de dispersão para os modos TE e TM do arranjo triangular
encontrados com (a) o AG, (b) o SIA-ALV e o encontrado em (c) Joannopoulos et al. [33].
As linhas em azul representam as bandas do modo TM e as linhas em vermelho, as bandas do
modo TE ................................................................................................................................... 96
Figura 4.16. Desvio padrão em função de 1000 gerações fixas e curvas de repetição do
fitness em função do número de gerações, dos melhores algoritmos implementados com
Arranjos Triangulares (a) AG e (b) SIA-ALV, respectivamente . ............................................ 96
Figura 4.17. Evoluções dos diferentes tamanhos da população em função do melhor
indivíduo e do número de gerações para o Arranjo Quadrado (a) SIA-AV e (b) SIA-ALV;
Arranjo Triangular (c) SIA-AV e (d) SIA-ALV ........................................................................ 99
xi
Figura 4.18. Evoluções das diferentes taxas de mutação em função do melhor indivíduo e do
número de gerações para o Arranjo Quadrado (a) SIA-AV e (b) SIA-ALV; Arranjo Triangular
(c) SIA-AV e (d) SIA-ALV ....................................................................................................... 101
Figura 4.19. Evoluções do fitness dos melhores indivíduos e suas respectivas células
unitárias (inserções nos respectivos gráficos) encontrados para o Arranjo (a) Quadrado e (b)
Triangular, respectivamente .................................................................................................. 102
Figura 4.20. Estruturas cristalinas encontradas a partir dos melhores indivíduos do Arranjo
(a) quadrado e (b) triangular, respectivamente ..................................................................... 102
Figura 4.21. Diagramas de dispersão para os modos TE e TM para os arranjos quadrados
(a) SIA-ALV e (b) encontrado em [19], e para os arranjos triangulares (c) SIA-ALV e (d)
encontrado em [19]. As linhas contínuas representam as bandas do modo TM e as linhas
pontilhadas, as bandas do modo TE ....................................................................................... 103
Figura 4.22. Estruturas cristalinas otimizadas através do SIA com Arranjo Triangular (a)
cristal exibindo os triângulos removidos e (b) "cristal refinado" com a remoção de 2
triângulos, respectivamente ................................................................................................... 104
Figura 4.23. Estruturas cristalinas otimizadas através do SIA com Arranjo Triangular (a)
cristal exibindo os triângulos removidos e (b) "cristal refinado" com a remoção de 4
triângulos, respectivamente ................................................................................................... 104
Figura 4.24. Evolução do fitness em função de 500 gerações fixas, dos melhores algoritmos
com Arranjos Quadrados (a) SIA-ALV e (b) SIA-AV; Arranjos Triangulares (c) SIA-ALV e (d)
SIA-AV, respectivamente ....................................................................................................... 106
Figura 4.25. Esquema da configuração do Taper Contínuo, analisado ............................... 108
Figura 4.26. Malha base com configuração do Taper Contínuo, analisado ........................ 109
Figura 4.27. Evolução da eficiência de acoplamento dos melhores indivíduos pelo SIA-ALV,
com taxas de mutação de 0,5-5% .......................................................................................... 110
Figura 4.28. Estrutura do melhores taper otimizado encontrado através do SIA-ALV com taxa
de mutação de 5% ................................................................................................................. 111
Figura 4.29. Propagação dos campos da melhor configuração de taper encontrada através
do SIA-ALV com taxa de mutação de 5% .............................................................................. 111
Figura 4.30. Evolução da eficiência de acoplamento dos melhores indivíduos pelo AG, com
diferentes populações ............................................................................................................ 112
Figura 4.31. Estrutura do melhores taper otimizado encontrado através do AG com 20
indivíduos .............................................................................................................................. 113
xii
Figura 4.32. Propagação dos campos da melhor configuração de taper encontrada através
do AG com 20 indivíduos ...................................................................................................... 113
Figura 4.33. Evoluções das diferentes taxas de cruzamento em função do melhor indivíduo e
do número de gerações para o ED com taxa de mutação fixa em 3% .................................. 114
Figura 4.34. Evoluções das diferentes taxas de mutação em função do melhor indivíduo e do
número de gerações para o ED com probabilidade de cruzamento igual a 0,7 ................... 115
Figura 4.35. Estrutura otimizada do taper encontrado através do ED com taxa de mutação
2% e probabilidade de cruzamento 0,7, com seus respectivos valores de W=[1,10; 6,10; 5,10;
5,10; 5,10; 6,10; 4,10; 4,10; 0,13 ] ....................................................................................... 116
Figura 4.36. Propagação dos campos da melhor configuração de taper encontrada através
do ED ..................................................................................................................................... 116
Figura 4.37. Eficiência de Acoplamento em função do comprimento de onda (entre 1,5-2μm)
para os dispositivos otimizados pelo SIA-ALV, AG (20 e 100 indivíduos) e ED,
respectivamente ..................................................................................................................... 117
Figura 4.38. Desvio padrão em função do número de gerações e evolução do fitness, em
função de 200 gerações fixas, dos melhores algoritmos com Arranjos Triangulares (a) AG,
(b) SIA-ALV e (c) ED, respectivamente ................................................................................. 119
Figura 4.39. Esquema da configuração do Taper Segmentado, analisado ........................... 120
Figura 4.40. Malha base com configuração do Taper Segmentado, analisado .................... 121
Figura 4.41. Evolução da eficiência de acoplamento dos melhores indivíduos pelo SIA-ALV,
com taxas de mutação de 1-9% ............................................................................................. 122
Figura 4.42. Estrutura otimizada do taper segmentado encontrado através do SIA-ALV com
taxa de mutação 3% e seus respectivos valores de a =[ 0,2662; 0,2316; 0,1856; 0,1734;
0,1458; 0,1538; 0,1416; 0,1275; 0,1669; 0,1125; 0,1453; 0,1031; 0,1603; 0,1284;
0,1650 ] ................................................................................................................................... 123
Figura 4.43. Propagação dos campos da melhor configuração de taper encontrada através
do SIA-ALV ............................................................................................................................ 123
Figura 4.44. Evolução da eficiência de acoplamento dos melhores indivíduos pelo AG, com
diferentes populações ............................................................................................................ 124
Figura 4.45. Estrutura do melhore taper otimizado encontrado através do AG com 20
indivíduos e seus respectivos valores de a =[0,2653; 0,2278; 0,1969; 0,1838; 0,1622; 0,1697;
0,1659; 0,1603; 0,1500; 0,1425; 0,1509; 0,1003; 0,1659; 0,1528; 0,1509] ......................... 125
Figura 4.46. Propagação dos campos da melhor configuração de taper encontrada através
do AG com 20 indivíduos ...................................................................................................... 125
xiii
Figura 4.47. Evoluções das diferentes taxas de cruzamento em função do melhor indivíduo e
do número de gerações para o ED com taxa de mutação fixa em 7% .................................. 126
Figura 4.48. Evoluções das diferentes taxas de mutação em função do melhor indivíduo e do
número de gerações para o ED com probabilidade de cruzamento igual a 0,3 ................... 127
Figura 4.49. Estrutura otimizada do taper segmentado encontrado através do ED com taxa
de mutação 2% e probabilidade de cruzamento 0,7, com seus respectivos valores de a
=[0,2662; 0,2081; 0,1444; 0,15; 0,0703; 0,1219; 0,1547; 0,0703; 0,1462; 0,1378; 0,12;
0,0862; 0,0731; 0,1631; 0,1369] ............................................................................................ 128
Figura 4.50. Propagação dos campos da melhor configuração de taper segmentado
encontrada através do ED ..................................................................................................... 128
Figura 4.51. Eficiência de Acoplamento em função do comprimento de onda (entre 1,4-2μm)
para os dispositivos otimizados pelo SIA-ALV, AG e ED, respectivamente ......................... 129
Figura 4.52. Desvio padrão em função do número de gerações e evolução do fitness, em
função de 200 gerações fixas, dos melhores algoritmos com Arranjos Triangulares (a) AG,
(b) SIA-ALV e (c) ED, respectivamente ................................................................................. 130
xiv
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1. Similaridade Sistema Natural × AG ..................................................................... 46
Tabela 3.2. Representações de cromossomos ......................................................................... 47
Tabela 3.3. Comparação de aptidões ....................................................................................... 49
Tabela 3.4. Notação das estratégias de ED ............................................................................. 72
Tabela 4.1. Comparação dos valores das Bandas Fotônicas Proibidas com elementos
triângulos (%) .......................................................................................................................... 86
Tabela 4.2. Tempo médio de processamento para cada geração. ........................................... 88
Tabela 4.3. Banda Proibida Relativa para o modo TM12 ........................................................ 90
Tabela 4.4. PBG Absoluta e número de canais para o Arranjo Triangular ............................ 95
Tabela 4.5. PBG Absoluta para o Arranjo Quadrado e Arranjo Triangular com diferentes
tamanhos de população utilizando o SIA-AV e SIA-ALV ......................................................... 99
Tabela 4.6. PBG Absoluta para o Arranjo Quadrado e Arranjo Triangular variando as taxas
de Mutação ............................................................................................................................. 101
Tabela 4.7. Comparação de PBG’s Absolutas e quantidade de canais (DWDM) para os
Arranjos Quadrados e Arranjos Triangulares ....................................................................... 105
Tabela 4.8. Eficiência e parâmetros otimizados da região do taper em função da taxa de
mutação para o SIA-ALV. ....................................................................................................... 110
Tabela 4.9. Eficiência e parâmetros otimizados da região do taper em função do tamanho da
população para o AG ............................................................................................................. 112
Tabela 4.10. Eficiência de acoplamento do Taper contínuo variando as probabilidades de
cruzamento no ED .................................................................................................................. 114
Tabela 4.11. Eficiência de acoplamento do Taper contínuo variando as taxas de mutação no
ED .......................................................................................................................................... 115
Tabela 4.12. Eficiência e parâmetros otimizados da região do taper em função da taxa de
mutação para o SIA-ALV ........................................................................................................ 122
Tabela 4.13. Eficiência e parâmetros otimizados da região do taper em função do tamanho
da população para o AG ........................................................................................................ 124
Tabela 4.14. Eficiência de acoplamento do Taper segmentado variando as probabilidades de
cruzamento no ED .................................................................................................................. 126
Tabela 4.15. Eficiência de acoplamento do Taper segmentado variando as taxas de mutação
no ED ..................................................................................................................................... 127
xv
LISTA DE SÍMBOLOS
FEM Método dos Elementos Finitos
PBG Photonic Band Gap (Banda fotônica proibida)
TM Transversal Magnético
TE Transversal Elétrico
V Frequência Normalizada
AG Algoritmo Genético
PC Photonic Crystal (Cristal Fotônico)
AE Algoritmo Evolutivo (Evolucionário)
SI Sistema Imunológico
SIA Sistema Imunológico Artificial
RI Rede Imunológica
RNA Rede Neural Artificial
Te Telúrio
Si Silício
no Índice Ordinário
ne Índice Extraordinário
n Índice de Refração
neff Índice de Refração Efetivo
neq Índice de Refração Equivalente
HIC High-index contrast (índice de alto contraste)
SWG Subwavelength grating (grade menor a um comprimento de onda)
PSW Periodically Segmented Waveguide (Guia de onda periodicamente segmentado)
PCW Photonic Crystal Waveguide (guia de onda de cristal fotônico)
CWG Continuous Waveguide (guia de onda contínuo)
PML Perfectly Matched Layer (camada de casamento perfeito)
WDM Wavelength Division Multiplexed (multiplexação por divisão de comprimento de
onda)
DWDM Dense Wavelength Division Multiplexed (multiplexação por divisão de comprimento
de onda densa)
SiO2 Sílica
ED Evolução Diferencial
xvi
Λ Período de um PSW
Δn Diferença (contraste) de índice de refração
η Duty cycle (ciclo de serviço/trabalho)
Γ Fator de Confinamento
a Comprimento do Segmento de um PSW
xvii
SUMÁRIO
Capítulo 1 - Introdução ........................................................................................................ 1
1.1. Tema e Justificativa..... .................................................................................................. 1
1.2. Objetivos Gerais ........................................................................................................... 9
1.2.1. Objetivos Específicos ................................................................................................ 9
1.3. Contribuições do Trabalho ......................................................................................... 11
1.4. Organização do Trabalho ............................................................................................ 11
Capítulo 2 – Dispositivos Fotônicos Utilizados nesse Trabalho ....................................... 13
2.1. Cristais Fotônicos ....................................................................................................... 13
2.1.1. Cristais Fotônicos Bidimensionais ........................................................................... 16
2.1.2. Análise dos Arranjos Cristalinos ............................................................................. 16
2.1.3. Formulação por Elementos Finitos .......................................................................... 18
2.1.3.1. Polarização H (Modos TE) ................................................................................... 18
2.1.3.2. Polarização E (Modos TM) .................................................................................. 20
2.1.4. Materiais Isotrópicos e Anisotrópicos ..................................................................... 24
2.1.4.1. Elipsóide de Índices .............................................................................................. 26
2.2. Acopladores entre Guias de Ondas com Características Diferentes............................ 27
2.2.1. O Taper Contínuo e o Taper Segmentado ................................................................ 28
2.2.1.1. Equação de Onda Escalar 2-D ............................................................................... 31
2.2.1.2. Cálculo da Potência .............................................................................................. 35
Conclusão do Capítulo ...................................................................................................... 41
Capítulo 3 – Computação Bio-Inspirada ............................................................................ 42
3.1. Algoritmos Genéticos (AG) ........................................................................................ 45
3.1.1. Problema a ser otimizado ......................................................................................... 47
3.1.2. Representação das possíveis soluções ...................................................................... 47
3.1.3. Decodificação do cromossomo ................................................................................. 48
xviii
3.1.4. Avaliação .................................................................................................................. 48
3.1.5. Seleção ...................................................................................................................... 49
3.1.6. Operadores Genéticos ............................................................................................... 52
3.1.7. Inicialização da População ....................................................................................... 54
3.1.8. Parâmetros e Critérios de Parada .............................................................................. 55
3.2. Sistema Imunológico (SI) ............................................................................................ 56
3.2.1. Sistemas Imunológicos Biológicos ........................................................................... 56
3.2.1.1. Seleção Clonal e Maturação da Afinidade ........................................................... 59
3.2.1.2. Redes Imunológicas (RI) ....................................................................................... 60
3.2.2. Sistemas Imunológicos Artificial (SIA) ................................................................... 61
3.3. Evolução Diferencial ................................................................................................... 66
3.3.1. Mutação .................................................................................................................... 68
3.3.2. Cruzamento ............................................................................................................... 69
3.3.3. Seleção ...................................................................................................................... 71
3.3.4. Estratégias ................................................................................................................. 71
3.4. Algoritmos Bio-Inspirados Implementados ................................................................ 72
Conclusão do Capítulo ...................................................................................................... 82
Capítulo 4 – Resultados Encontrados e Publicações Associadas ....................................... 83
4.1. Material Isotrópico (Silício e ar) ................................................................................. 83
4.2. Material Anisotrópico (Telúrio e ar) ........................................................................... 97
4.3. Tapers ........................................................................................................................ 107
4.3.1. Taper Contínuo ....................................................................................................... 107
4.3.2. Taper Segmentado .................................................................................................. 119
4.4. Publicações Associadas ............................................................................................. 131
Conclusão do Capítulo .................................................................................................... 134
Capítulo 5 – Conclusões ................................................................................................... 137
Referências ....................................................................................................................... 141
1
INTRODUÇÃO
1.1. Tema e Justificativa
Desde a sua invenção, nos anos 60, o laser consiste numa fonte óptica coerente
(formada por ondas de mesma frequência e direção que mantêm uma relação de fase
constante entre si), que possibilitou o uso de uma nova faixa do espectro
eletromagnético de frequências, tornando-se o principal meio de emissão de luz em
comunicações de longas distâncias, surgindo, assim, o interesse nas comunicações
ópticas [1]. O laser permitiu o incremento de várias ordens de magnitude, ou seja, uma
maior largura de banda nas taxas de transmissão de fótons em meios dielétricos, em
comparação com a transmissão de elétrons em metais através da eletricidade,
contribuindo com o desenvolvimento de novas áreas de pesquisas e de aplicações, até
então, não estudadas, como a óptica integrada e a fotônica.
A óptica integrada surgiu devido à necessidade da busca por novos dispositivos
no domínio óptico que possibilitassem o processamento de sinais nesse campo. Neste
sentido, miniaturizar e integrar os dispositivos, os quais são utilizados para o
processamento desses sinais ópticos é de suma importância, porém, o projeto desses
componentes para que realizem várias funções (guiamento de ondas, acoplamento
modal, chaveamento, modulação) com altas taxas de transmissão e baixas perdas é cada
vez mais complexo. Para desempenhar essas funções a óptica integrada envolve outras
tecnologias, o que possibilita a combinação de componentes ópticos, eletro-ópticos e
elétricos em um mesmo substrato, aumentando a flexibilidade e a estrutura analítica do
componente óptico integrado [2, 3].
Devido ao custo elevado para se fabricar tais dispositivos devido a redução da
área e das perdas por propagação, utiliza-se métodos numéricos na simulação desses
componentes ópticos integrados os quais permitem maneiras diferentes de se explorar
novas ideias para esses dispositivos, reduzindo os custos através da redução dos
processos de fabricação e testes [4-6]. Porém, visando melhorar ainda mais o
funcionamento, o comportamento e a redução do tamanho desses dispositivos, devido
ao avanço da tecnologia e dos materiais, os quais serão utilizados nas comunicações
ópticas, fotônica, óptica integrada e microondas, podem-se associar os métodos
2
numéricos a algoritmos de otimização. Nesse trabalho são utilizados algoritmos de
otimização baseados em computação bio-inspirada.
Conceitos de computação bio-inspirada estão sendo empregados em uma
variedade de disciplinas e áreas, desde ciências naturais e engenharias até biologia e
ciências da computação. Isso acontece porque os sistemas biológicos são auto-
organizados e capazes de se adaptar ao ambiente, ao invés de serem apenas
programados [7, 8]. Pensando nisso, nos anos 50, surgiu a ideia de aplicar o processo de
evolução natural como um modelo de solução de problemas de otimização, a partir de
sua implementação em computadores [7, 8].
A principal vantagem da associação do método numérico com a computação
bio-inspirada está na possibilidade de resolver problemas pela descrição matemática na
solução, sem a necessidade de indicação explícita dos passos até o resultado, os quais,
certamente seriam específicos para cada caso. No entanto, os algoritmos bio-inspirados
seguem uma sequência de passos até a solução, essas etapas são as mesmas para uma
grande quantidade de problemas, fornecendo flexibilidade e robustez. Sendo assim, a
computação bio-inspirada pode ser vista como a união de técnicas e procedimentos
genéricos e ajustáveis que podem ser aplicados na solução de problemas complexos, os
quais outras técnicas conhecidas não são eficazes ou não se aplicam [7-9].
A computação bio-inspirada envolve uma família de algoritmos inspirados na
teoria da seleção natural de Charles Darwin e também em processos existentes na
natureza, podendo ser definida como a convergência da Ciência da Computação,
Biologia e Matemática para representar processos estocásticos observados na natureza
[7-12]. Suas aplicações são muitas, podendo ser utilizadas na representação de sistemas
e suas interações, e no desenvolvimento de ferramentas computacionais para a
Engenharia. Existem, porém, mecanismos diferenciados de representação e solução de
problemas. Grupos de técnicas associadas biologicamente à computação bio-inspirada
estão apresentados na Figura 1.1.
3
Figura 1.1. Tipos de Algoritmos Bio-Inspirados disponíveis [9, 10].
A realização desse trabalho é proposta com o objetivo de explorar técnicas de
computação bio-inspirada, através de algoritmos desenvolvidos para otimizar
dispositivos fotônicos. Nesse estudo, esses métodos são aplicados na otimização de
bandas fotônicas proibidas (PBG) de Cristais Fotônicos (CF), no projeto e otimização
do acoplamento da potência entre guias de ondas com larguras diferentes, também entre
guias de ondas contínuos e segmentados.
A escolha dos algoritmos bio-inspirados se justifica [13-18] pelos seguintes
motivos:
Otimizações com convergência eficiente;
Flexibilidade de aplicação em diferentes problemas de diversas áreas;
Boa integração com os métodos numéricos utilizados no eletromagnetismo
computacional;
Melhorias no desempenho de otimizações em eletromagnetismo computacional,
através da grande quantidade de recursos a serem explorados e otimizados;
Possibilidade de junção entre mais de um tipo de algoritmo bio-inspirado,
aproveitando as vantagens de cada um deles, o que aumenta o espaço de busca, a
diversidade das soluções e a convergência dos resultados (Híbridos).
Algoritmos Bio-Inspirados
Redes Neurais
Inteligência Coletiva
Sistemas Imunológicos Artificiais
Algoritmos Evolucionários
•MLP – Multi-Layer Perceptrons•RBF – Radio Basis Function Net•SOM – Self Organizing Maps•ARTMap
•Colônia de Formigas•Algoritmos de Enxames dePartículas - PSO
•AG – Algoritmos Genéticos•PG – Programação Genética•PE – Programação Evolutiva•Estratégias Evolucionárias
Evolução Diferencial
•Algoritmos de Expansão Clonal•Algoritmos de Seleção Negativa•Algoritmos de Redes – Imune Contínua e Imune Discreta
•Evolução Diferencial
4
A computação bio-inspirada tem como desvantagem a não garantia de
convergência para uma solução ótima global, entretanto, os resultados das otimizações,
utilizando essa técnica são satisfatórios devido à sua flexibilidade, possibilidade de
implementação de etapas e funções (recursos) que podem auxiliar na sua convergência
[10, 19].
A utilização da computação bio-inspirada para a otimização de dispositivos de
óptica integrada traz como alternativa o desenvolvimento de algoritmos, que
possibilitem a obtenção de novos e mais complexos dispositivos [10, 12-18], como, por
exemplo, dispositivos baseados em cristais fotônicos e tapers para acoplamento em
guias com estruturas segmentadas [18-32]. Os cristais fotônicos são utilizados em
consequência da sua ampla aplicação nas comunicações ópticas e na fotônica, tais
como: demultiplexadores, cavidades ressonantes, filtros, fibras, guias de onda, entre
outros. Além disso, a propagação de luz nessas estruturas cristalinas ocorre através das
bandas fotônicas proibidas, ou seja, apenas na região de interesse, possuindo menos
perdas por radiação [33].
Os cristais fotônicos podem ser compostos por materiais anisotrópicos, com a
consequente vantagem de se trabalhar com índices de refração diferentes para a mesma
estrutura, dependendo da polarização dos campos eletromagnéticos. Uma forma de
otimizar cristais fotônicos, implica em obter estruturas que apresentem uma maior
banda fotônica proibida (PBG) para os modos de propagação desejados, tanto com
campo transversal elétrico (TE) quanto para o campo transversal magnético (TM), que
são faixas de frequências nas quais a luz não se propaga em nenhuma direção do cristal.
Maximizar a PBG permite aumentar a largura da banda de operação, ou seja,
ampliar a quantidade de canais que podem ser utilizados nas comunicações ópticas [33].
Para a multiplexação DWDM (Dense Wavelength Division Multiplexing), com
espaçamento de canais de 0,8 nm, a quantidade de canais que um guia baseado em
cristais fotônicos suportaria pode ser calculada da seguinte maneira: a) utilizando o
comprimento de onda do LED (emissor de luz) λ = 1,55µm, pode-se encontrar o valor
da frequência média ( mediaf ) entre a frequência inferior ( inferiorf ) e a frequência superior (
superiorf ) da banda proibida do cristal otimizado, com esse valor, pode se determinar a
constante de rede do cristal (a):
2
a aV
c
(1.1)
5
na qual é a frequência angular, V é a frequência normalizada e c é a velocidade da luz
no vácuo [33]; b) a partir do valor da constante de rede e da Equação (1.1), encontram-
se os comprimentos de onda inferior inferior( ) e superior superior( ) ; c) logo, para obter a
quantidade de canais encontra-se a diferença = superior inferior( ) e divide o
resultado pelo valor do espaçamento desejado, Equação (1.2), que nesse caso foi de
0,8nm.
A PBG absoluta (ou completa) em um cristal fotônico acontece quando o mesmo
é projetado para possuir bandas proibidas para ambas as polarizações (TE e TM),
fazendo com que o dispositivo funcione independente da polarização [33].
Nesse trabalho é apresentado o uso da computação bio-inspirada, através dos
algoritmos desenvolvidos em conjunto com o método dos elementos finitos no domínio
da frequência (FEM), para resolver o problema inverso da banda fotônica proibida de
cristais fotônicos, compostos de materiais isotrópicos e anisotrópicos. Problema esse,
em que são considerados arranjos triangulares e quadrados para os modos TE e TM
separadamente e também o cálculo da PBG absoluta ou completa entre os modos TE e
TM, simultaneamente.
É apresentado também o uso da computação bio-inspirada na otimização da
eficiência de acoplamento entre guias de ondas com diferentes tamanhos e tipos. Para
isso, sabe-se que o estudo da óptica integrada permite compreender que a luz é
confinada em guias de onda dielétricos, através do guiamento pelo índice de refração,
ou através da banda fotônica proibida em um cristal fotônico (CF) [1-6, 33]. Um guia de
ondas convencional planar e contínuo (CWG) confina a luz no núcleo, o qual possui
índice de refração mais elevado do que o do revestimento que está ao seu redor.
No entanto, esse alto contraste de índice de refração (Δn) no CWG resulta em
uma grande dispersão devido às imperfeições das paredes de contorno do núcleo-
revestimento [34], logo, uma forma eficiente de reduzir a dispersão nesse tipo de guia
pode ser com a área do núcleo suficientemente pequena de forma que possibilite
deslocar o modo do guia de onda, de tal forma, que o campo na fronteira núcleo-
revestimento seja reduzido [34-36]. Porém, existem estudos prévios como o de Bock et
superior inferior
0,8 0,8Canais
nm nm
(1.2)
6
al. [35], que apresentam um tipo de guia de ondas que são periodicamente segmentados
(PSW) e que em trabalhos como [37-40] utilizaram particularizações no intuito de
encontrar o CWG equivalente de um guia periodicamente segmentado reto. Em Bock et
al [28] uma das vantagens em se utilizar os guias de ondas periodicamente segmentados
(PSW) retos é que as perdas por espalhamento, devido à imperfeições de fabricação da
parede lateral, são reduzidas porque o modo é deslocado do núcleo do guia, diferente do
que acontece com o guia do tipo CWG [34, 35, 41]. Ao pensar na aplicação dessas
estruturas convencionais (CWG) e não convencionais (PSW), encontramos um
problema associado ao acoplamento entre esses guias de ondas com características e
propriedades diferentes. Como acoplar luz (potência) entre guias do tipo CWG e PSW,
com diferentes tamanhos e materiais, com eficiência e menores perdas? Na prática são
utilizadas estruturas conhecidas como tapers ou acopladores de guias de ondas
dielétricos, que conectam diferentes estruturas ópticas tentando manter o máximo de
eficiência [41].
O taper consiste em um guia de ondas óptico, que varia seu formato ao longo do
seu comprimento (desde a sua entrada até a sua saída) e é utilizado desde 1982 [42].
Esse dispositivo pode ser utilizado, principalmente, para acoplar a luz entre guias de
ondas com diferentes seções transversais. Para tapers com comprimentos longos, a luz
pode ser acoplada com baixas perdas de potência de um guia para o outro [21, 36, 42],
ou seja, regime adiabático de acoplador de guias de onda. Um problema com esse tipo
de estrutura ocorre a medida em que é reduzido o seu tamanho (exigência da fotônica,
óptica integrada e dos custos de projeto) e consequentemente, aumentam-se as perdas de
potência entre os guias.
Em busca de uma solução para essa questão, os algoritmos bio-inspirados foram
também aplicados com o objetivo de maximizar a eficiência de acoplamento entre
guias, ocupando pouco espaço (com tamanhos reduzidos), com diferentes configurações
de tapers (contínuos e segmentados), redução das reflexões por acoplamento e com
esforço computacional reduzido.
Assim, são apresentados nesse trabalho, alguns algoritmos bio-inspirados
desenvolvidos e que foram associados (acoplados) a um programa FEM-2D [20, 43, 44]
e o software GiD® [45], com objetivo de encontrar estruturas otimizadas de
acopladores de guias ópticos (tapers), através do ajuste de suas formas (caso contínuo) e
da largura dos segmentos (caso segmentado), visando a redução das perdas por
acoplamento da potência e redução das reflexões.
7
A partir da análise e estudo de diferentes técnicas de computação bio-inspirada
encontrados na literatura [7-20, 22-25, 46-51], foram implementados algoritmos AG e
SIA que, com o passar do tempo e do uso, sofreram modificações, adicionando novas
e/ou removendo etapas de processamento em seus códigos. Modificações essas que
resultaram em algoritmos mais eficientes que os iniciais desenvolvidos e serão
apresentados seus respectivos resultados em diferentes aplicações. Os resultados obtidos
utilizando os códigos desenvolvidos são comparados com resultados existentes na
literatura, tendo como objetivo a validação do uso do método e a verificação da
eficiência dos algoritmos.
O projeto de dispositivos fotônicos é um tema importante no desenvolvimento
de sistemas atuais de telecomunicações, principalmente, visando atender as crescentes
necessidades de comunicação em todo o mundo, impulsionadas pela complexidade e
exigência dos serviços oferecidos como a Internet, TV, telecomunicações, etc. O
número de usuários da Internet, considerando que uma pessoa pode usar vários serviços
com contas diferentes, é outro fator que exige cada vez mais uma largura de banda
maior. Essa largura é disponibilizada pelos sistemas de alto desempenho, criando a
necessidade de fabricação de dispositivos ópticos mais eficientes e com tamanhos mais
reduzidos.
Essa importância é refletida no desenvolvimento de ferramentas de projeto que
possam tratar esses problemas de forma mais simples. Por isso, essa pesquisa contribui
com algoritmos eficientes para otimizar estruturas fotônicas, com o uso de computação
bio-inspirada, que possam de alguma forma, futuramente, contribuir como núcleo nas
ferramentas computacionais de novos projetos dessa área.
O uso de métodos computacionais na otimização de dispositivos fotônicos não
requer que o usuário seja um especialista em óptica integrada/fotônica/microondas para
realizar qualquer ajuste manual, reduzindo o custo do projeto. Em vez disso, os
algoritmos permitem ao usuário projetar dispositivos com base nas especificações de
desempenho desejadas para cada tipo de dispositivo.
Apesar de existirem outros métodos e algoritmos que, de forma analítica
aproximada solucionem problemas envolvendo dispositivos fotônicos, ainda assim são
necessárias novas abordagens, pois o projeto de tais dispositivos continua sendo
complexo de se conceber de forma eficiente com esforço computacional e custos
financeiros reduzidos. Essa complexidade se justifica por apresentarem dimensões cada
8
vez mais reduzidas, alto custo financeiro e esforço computacional, além de não
possuírem soluções ou mesmo algoritmos eficientes.
Para o processo de otimização das PBG’s dos cristais fotônicos com materiais
isotrópicos e anisotrópicos realizados nesse trabalho, segue a sequência de passos
apresentada na Figura 1.2, a qual é iniciada pelos algoritmos bio-inspirados através da
geração aleatória da população inicial que corresponde ao preenchimento do material
(isotrópico ou anisotrópico) na malha da célula unitária do cristal fotônico, concebida
com o auxílio do programa computacional GiD® [45]. Em seguida, os dados obtidos a
partir dessa malha são avaliados através do programa baseado no método dos elementos
finitos e novamente utilizados nos algoritmos bio-inspirados desenvolvidos com o
intuito de buscar por estruturas complexas com maior PBG. Por último, o cálculo dos
campos dessas estruturas resultantes é realizado novamente e caso o critério de parada
seja satisfeito o cristal otimizado é encontrado.
Figura 1.2. Processo de otimização dos Cristais Fotônicos desenvolvido com uso dos Algoritmos Bio-
Inspirados.
Para a otimização do acoplamento da potência entre guias de ondas, com
diferentes espessuras e entre guias contínuos e segmentados, a sequência das etapas do
processo de otimização são apresentadas na Figura 1.3. O algoritmo bio-inspirado gera
aleatoriamente dados das possíveis configurações dos dispositivos, em seguida, esses
dados, gerados aleatoriamente, são utilizados para a criação da estrutura e malha dos
elementos finitos no software GiD®, após a geração da malha é utilizado o programa
FEM-2D [20, 43, 44] para a avaliação da eficiência das estruturas resultantes através do
cálculo dos campos nas mesmas. Na sequência os algoritmos bio-inspirados utilizam
estas informações no intuito de buscar a melhor solução (estrutura com melhor
eficiência de acoplamento) repetindo este processo até que o critério de parada seja
satisfeito e a melhor estrutura otimizada seja encontrada.
9
Figura 1.3. Processo de otimização do Acoplamento entre Guias por meio de Algoritmos Bio-Inspirados.
Como citado anteriormente, o tema aqui proposto é de interesse atual e os
resultados obtidos são passíveis de publicação. Quanto à formação de recursos
humanos, as atividades se justificam na formação e habilitação para que se possibilite
trabalhar com técnicas convencionais de modelagem, assim como conhecimento e
domínio das técnicas de computação evolutiva.
1.2. Objetivos Gerais
O objetivo principal desse trabalho é desenvolver algoritmos bio-inspirados
(AG, Evolução Diferencial (ED), SIA) eficientes (menor tempo de processamento e
convergência) e flexíveis para serem utilizados na otimização de dispositivos fotônicos
no domínio da frequência.
Otimizar dispositivos fotônicos, visando melhorar as características de
transmissão, além da redução do tamanho físico dos mesmos com menores custos e
recursos computacionais possíveis.
1.2.1. Objetivos Específicos
Através desse estudo são promovidas soluções computacionais integradas com
sofisticados recursos e métodos para a obtenção de ferramentas flexíveis, com custos
financeiros e computacionais reduzidos. Sendo assim, os objetivos específicos desse
trabalho são:
Implementar algoritmos para a otimização de estruturas fotônicas, flexíveis e
eficientes, com esforço computacional reduzido e de fácil manipulação.
A otimização das bandas fotônicas proibidas (PBG) de cristais fotônicos
bidimensionais com arranjos quadrados e triangulares para polarizações TE e
TM, com material isotrópico através de algoritmos bio-inspirados (AG, SIA)
implementados. A realização dessas otimizações têm como objetivo validar os
10
algoritmos desenvolvidos e demonstrar a eficiência dos mesmos, através de
comparação com resultados encontrados na literatura [14].
Aprimoramento dos algoritmos desenvolvidos e validação, através da
otimização da PBG absoluta de cristais fotônicos compostos por materiais
isotrópicos e anisotrópicos e a comparação dos resultados com os encontrados
na literatura.
Variação dos principais parâmetros dos algoritmos desenvolvidos a fim de se
obter a melhor configuração dos mesmos para cada tipo de problema analisado.
Aplicação dos algoritmos bio-inspirados, desenvolvidos em associação com o
método dos elementos finitos no domínio da frequência, no projeto de diferentes
dispositivos fotônicos como: guias de onda, filtros, acopladores de guias
(tapers), guias segmentados, acopladores direcionais, multiplexadores, divisores
de potência, guias de cristais fotônicos, entre outros dispositivos.
No presente trabalho realizou-se uma pesquisa bibliográfica, na qual os resultados já
divulgados na literatura foram coletados e utilizados como referencial de validação e
comparação. Coletaram-se também resultados obtidos por simulações, nas quais as
técnicas de computação bio-inspirada (algoritmos desenvolvidos) foram aplicadas e
validadas a partir de resultados previamente obtidos durante a revisão bibliográfica e/ou
através de simulações.
As atividades realizadas nesse trabalho foram divididas em:
• Aquisição de dados sobre computação evolutiva, algoritmos bio-inspirados, cristais
fotônicos, guias ópticos, acopladores de guias ópticos, guias segmentados, dentre outros
conteúdos importantes, obtidos através de simulações eletromagnéticas, encontrados em
publicações de revistas, livros e periódicos especializados (Revistas da IEEE
(International Electrical and Electronics Engineering), OSA (Optical Society of
America), AIP (American Institute of Physics), IET Optoelectronics, etc).
• Concepção dos algoritmos bio-inspirados (AG, ED e SIA), que são analisados com
diferentes topologias e arquiteturas para obter a configuração mais eficiente. Entende‐se
por eficiência a relação entre o comportamento (se converge ou não), complexidade,
memória, esforço computacional e tempo de processamento dos algoritmos. São
utilizados algoritmos clássicos disponíveis na literatura e algoritmos implementados
durante o desenvolvimento desse trabalho.
11
1.3. Contribuições do Trabalho
-Concepção de algoritmos para otimização de dispositivos fotônicos baseados
em computação bio-inspirada (AG, SIA e ED), com introdução de novas etapas em um
mesmo algoritmo, sendo que os encontrados na literatura realizam separadamente as
etapas de mutação, seleção, entre outras, como sub-algoritmos;
-Análise do desempenho com a variação dos principais parâmetros dos
algoritmos concebidos, evidenciando o impacto desses recursos nas aplicações
abordadas e tornando-os adaptáveis, flexíveis e eficientes, explorando novos operadores
e mecanismos de seleção, os quais influenciam na convergência dos algoritmos;
-Otimização da banda fotônica proibida de cristais fotônicos compostos de
materiais isotrópicos e anisotrópicos para encontrar estruturas de cristais fotônicos com
PBG absoluta maior que as encontradas na literatura, e um teste do impacto da
disposição do material nessas estruturas cristalinas, através da remoção de alguns
elementos e calculando a PBG para comparação com a otimizada.
-Otimização da eficiência de acoplamento entre guias de ondas, através da
inserção de tapers baseados em guias contínuos e segmentados (estruturas periódicas
com o período menor que um comprimento de onda em guias de onda dielétricos);
-Estruturas otimizadas e eficientes que podem ser utilizadas em chips fotônicos, como
guias, substrato ou revestimento, acopladores, filtros, etc.
1.4. Organização do Trabalho
No Capítulo 2, são apresentadas as fundamentações teóricas das bandas
proibidas absolutas de cristais fotônicos bidimensionais e dos acopladores de guias de
ondas (tapers), que serão otimizados nesse trabalho, juntamente, com a formulação
FEM para as bandas proibidas dos cristais fotônicos e para o cálculo do campo e da
eficiência de acoplamento para os tapers.
No Capítulo 3, são apresentadas as fundamentações teóricas dos algoritmos bio-
inspirados (AG, SIA e ED), juntamente com os passos necessários para a sua
implementação e são apresentados também os algoritmos desenvolvidos e
implementados, suas arquiteturas e a análise das aplicações realizadas na área de
Fotônica.
12
No Capítulo 4, são apresentados os resultados encontrados na otimização de
PBG de cristais compostos por silício e ar, a PBG absoluta de cristais compostos por
material isotrópico e anisotrópico e a eficiência de acoplamento, utilizando acopladores
de guias (tapers), os quais foram publicados em congressos nacionais e internacionais,
juntamente com os resultados encaminhados para a publicação em periódicos.
No Capítulo 5, são apresentadas as conclusões dessa pesquisa e as sugestões de
trabalhos futuros.
13
Capítulo 2
2. Dispositivos Fotônicos Utilizados nesse Trabalho
Neste capítulo é apresentada uma revisão da literatura sobre cristais fotônicos
bidimensionais, suas propriedades, características e o seu respectivo modelo em FEM-
2D, bem como a teoria de acoplador de guias de ondas ópticos (tapers) juntamente com
o seu modelo em FEM-2D utilizado para o cálculo das potências. Essas são as estruturas
propostas para serem otimizadas nesse trabalho.
2.1. Cristais Fotônicos
Que tipo de material pode proporcionar o controle completo sobre a propagação da luz
[33]?
Para responder a essa questão é feita uma analogia ao sucesso com materiais
eletrônicos. Um cristal é um arranjo periódico, Figura 2.1, de átomos ou moléculas. O
padrão com o qual os átomos ou moléculas são repetidos no espaço é chamado de
arranjo cristalino. O cristal apresenta um potencial periódico a uma propagação através
do elétron, e ambos os constituintes do cristal e da geometria do arranjo ditam as
propriedades de condução do cristal. Importante, porém, o arranjo também pode proibir
a propagação de algumas ondas. Pode haver lacunas (gaps) na estrutura da banda de
energia do cristal, o que significa que os elétrons são proíbidos de se propagarem com
certas energias em determinadas direções. Se o potencial do arranjo (lattice) é forte o
suficiente, a diferença pode se estender para cobrir todas as direções de propagação
possíveis, resultando em um gap completo [33], como por exemplo, um material
semicondutor que possui uma banda proibida completa entre a valência e a condução de
bandas de energia.
14
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Figura 2.1. Cristal Fotônico, (a) e (d) unidimensional, (b) e (e) bidimensional e (c) e (f) tridimensional
[33, 52-54].
A analogia óptica é o cristal fotônico, no qual o potencial periódico se deve a uma
estrutura de meios dielétricos macroscópicos ao invés de átomos. Se as constantes
dielétricas dos materiais no cristal são suficientemente diferentes e se a absorção da luz
pelos materiais é mínima, então as refrações e reflexões da luz de todas as interfaces
podem produzir muitos dos mesmos fenômenos para fótons (modos de luz), da mesma
forma que o potencial atômico produz para os elétrons.
Um cristal fotônico, estrutura periódica, com baixas perdas dielétricas, é uma
solução para o problema de manipulação e de controle óptico. Em particular, pode-se
projetar e construir cristais fotônicos com banda fotônica proibida, impedindo que a luz
se propague em determinadas direções com frequências específicas, isto é, de uma certa
faixa de comprimentos de onda, ou "cores", de luz [33].
Para aprofundar esse conceito foram considerados dois exemplos de dispositivos
diferentes, que são comumente utilizados (os guias de onda metálicos e espelhos
dielétricos) e se relacionam com os cristais fotônicos. As cavidades metálicas e os guias
de onda são amplamente utilizados para controlar a propagação em microondas. As
paredes de uma cavidade metálica não permitem a propagação de ondas
eletromagnéticas com frequências abaixo de um determinado limiar e um guia de onda
metálico permite a propagação apenas ao longo de seu eixo. Esses mesmos recursos,
15
utilizados para o controle da propagação, seriam extremamente úteis para ondas
eletromagnéticas com frequências fora do regime de microondas, como é o caso da luz
visível. No entanto, a energia da luz visível é rapidamente dissipada dentro de
componentes metálicos, o que torna esse método de controle óptico impossível de se
generalizar [33].
Cristais fotônicos permitem que as propriedades úteis de cavidades e guias de onda
sejam generalizadas e dimensionadas para abranger uma ampla gama de frequências. É
possível construir um cristal fotônico de uma determinada geometria com dimensões
milimétricas para controle de microondas ou com dimensões micrométricas para
controle infravermelho.
Outro dispositivo utilizado é um espelho óptico dielétrico multicamadas [33], como
um amontoado (stack) de quarto de ondas, consistindo de camadas alternadas de
materiais com constantes dielétricas diferentes. A luz de comprimento de onda
adequada, quando incidente sobre um material em camadas, é completamente refletida.
A razão é que a onda de luz é parcialmente refletida em cada interface de camada e, se o
espaçamento é periódico, as múltiplas reflexões da onda incidente interferem
destrutivamente dentro do material. Esse fenômeno é conhecido e forma a base de
muitos dispositivos, incluindo espelhos dielétricos, filtros dielétricos Fabry-Perot e
lasers de realimentação distribuída [33].
Todos os cristais que contêm baixas perdas dielétricas, pela definição [33], são
cristais fotônicos unidimensionais, Figuras 2.1(a) e 2.1(d), pois são periódicos em uma
dimensão. Mesmo o mais simples desses cristais fotônicos pode ter propriedades
surpreendentes, como, por exemplo, uma estrutura de múltiplas camadas, que pode ser
projetada para refletir a luz incidente a partir de qualquer ângulo e com qualquer
polarização, sendo que a reflexão pode ser organizada apenas para incidência quase
normal, ou seja, um refletor omnidirecional.
Se, numa faixa de frequências, um cristal fotônico não permite a propagação de
ondas eletromagnéticas de qualquer polarização (viaja em qualquer direção a partir de
qualquer fonte), isso significa que o cristal possui uma banda fotônica proibida
completa [33].
Um cristal com uma banda proibida completa será, obviamente, um refletor
omnidirecional. O inverso não é necessariamente verdadeiro, pois o meio dielétrico em
camadas mencionado possui interfaces de materiais somente ao longo de um eixo,
16
possibilitando a existência de um gap completo, podendo ser projetado para exibir a
reflexão omnidirecional apenas para fontes de luz muito longe do cristal.
2.1.1. Cristais Fotônicos Bidimensionais
Em um cristal fotônico, a luz que atravessa o mesmo é espalhada pela geometria
periódica, sendo refratada e parcialmente refletida nas interfaces entre os materiais. O
padrão resultante das ondas será reforçado ou cancelado, dependendo do comprimento
de onda da luz, do índice de refração dos materiais, da sua direção de propagação
através do cristal, do tamanho e arranjo das estruturas (geometria). Logo, a partir dessas
etapas (iterações), surge a banda fotônica proibida [33].
A banda fotônica proibida (PBG) é uma faixa de frequências em que a luz não se
propaga, sendo uma banda de rejeição onde a luz é altamente refletida. Quanto maior o
seu valor, maior o número de canais WDM (wavelength division multiplexing) que
podem ser suportados ou utilizados em comunicações ópticas [33, 55],ou seja, pode ser
utilizada para o guiamento e a confinação da luz através de defeitos nessas estruturas.
A utilização de cristais fotônicos se justifica devido à sua ampla aplicação em
dispositivos, tais como: demultiplexadores, cavidades ressonantes, filtros, fibras,
junções Y e T, guias com curvaturas de 60º e 90º, interferômetros Mach-Zehnder,
divisores de potências, entre outros [33, 56-59].
Modelar essas estruturas traz a vantagem de se trabalhar com índices de refração
diferentes para a mesma estrutura, dependendo da polarização dos campos
eletromagnéticos para o caso de materiais anisotrópicos [15,19, 26-30]. E, além disso, a
propagação de luz nessas estruturas cristalinas possui menos perdas por radiação, já que
ocorre a emissão de luz apenas na região de interesse.
2.1.2. Análise dos Arranjos Cristalinos
Devido à periodicidade e simetria das estruturas cristalinas [33], discretiza-se
apenas uma célula unitária para cada tipo de arranjo (quadrado e triangular), Figura 2.2,
e se aplicam condições de contorno periódicas para tornar iguais os campos do topo e da
parte inferior [14, 19, 33, 60], e os campos dos lados, esquerdo e direito, da célula
unitária Figuras 2.2(a) e 2.2(d). Os valores de xk e yk (constantes de propagação nas
direções x e y, respectivamente) são restritos à primeira região de Brillouin, Figuras
2.2(b) e 2.2(e). A estrutura de bandas é calculada ao longo das fronteiras dessas regiões
17
sombreadas [3].
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Figura 2.2. (a) Célula unitária do arranjo quadrado, (b) região de Brillouin, (c) estrutura de banda fotônica
para um arranjo quadrado formado por cilindros dielétricos com n=3,6 em ar e r/a=0,35, (d) célula
unitária do arranjo triangular, (e) região de Brillouin e (f) estrutura de banda fotônica para um arranjo
triangular formado por cilindros dielétricos com n=3,6 em ar e r/a=0,33, [14, 19, 60].
As regiões sombreadas (triângulo) nas Figuras 2.2(b) e 2.2(e) correspondem à
região (ou zona) irredutível de Brillouin, que define a região do espaço de vetores de
onda e que determina os modos de propagação, limitada para o arranjo quadrado em
Γ=(0,0)π/a, X=(1,0)π/a e M=(1,1)π/a , e por Γ=(0,0)π/a, K=(2/3, 2 3 3 )π/a e M=(0,
2 3 3 )π/a para o arranjo triangular.
Nas Figuras 2.2(c) e 2.2(f) são apresentados os comportamentos dos
vetores de onda para os modos TE e TM e as curvas de dispersão (que permitem
determinar as características das bandas proibidas, caso existam, frequência central e
largura de banda com relação a variação dos parâmetros eletromagnéticos da estrutura
sob análise) em um cristal com arranjo quadrado e triangular, respectivamente. Nelas,
são apresentadas as relações de dispersão entre a frequência normalizada e o vetor de
onda k. A obtenção de tais bandas é um processo semelhante ao da teoria da física do
estado sólido, isto é, uma equação mestre (equação de onda de Maxwell) é transformada
y
x
a
a
r
2 a
2 a
M M
M M
X
X
X
X
yk
xk
s
Fre
qu
ênci
a N
orm
aliz
ad
a
Vetor de Onda
i
PBG
a
y
x
a
r
yk
xk
M
M
M
M
KK
M
M
KK
KK
4 3a
4 3a
Fre
qu
ênci
a N
orm
aliz
ad
aVetor de Onda
s
i
PBG
18
em uma equação de autovalores com condição de contorno periódica e resolvida através
do cálculo. Devido ao tratamento rigoroso da propriedade vetorial de campos
eletromagnéticos, bandas fotônicas predizem com precisão o comportamento da luz.
É visível, através das faixas em destaque, que para esses casos existem bandas
fotônicas proibidas (PBG) entre as frequências normalizadas de 0,2-0,24 e 0,2-0,27,
respectivamente. O tamanho da banda fotônica proibida de um cristal fotônico (arranjo
quadrado ou triangular), faixa é descrito como gap-to-midgap e é encontrado através
[33]:
s i
m m
GMR
(2.1)
no qual, cé a frequência superior, i é a frequência inferior e m é o valor médio entre
s e i dado por 2m s i , Figuras 2.2(c) e 2.2(f). A Equação (2.1) é a
função objetivo utilizada nas otimizações e a responsável pelo cálculo das banda
proibidas das estruturas resultantes.
2.1.3. Formulação por Elementos Finitos
A formulação FEM utilizada para o cálculo da banda fotônica proibida dos
cristais fotônicos bidimensionais, tratando separadamente os modos TE e TM, foi
desenvolvida em [3] e está apresentada aqui. A estrutura cristalina é bidimensional,
janela computacional no plano xy. A propagação acontece na direção paralela a este
plano e o campo não varia na direção z, 0z
[3].
2.1.3.1. Polarização H (Modos TE)
Partindo das equações de Maxwell para o campo magnético temos:
2
0
2
10r
r
H Hc
(2.2)
onde H é o campo magnético, r é a permeabilidade magnética relativa, e r é o tensor
permissividade elétrica relativa, que é dado por:
19
0
0
0 0
xx xy
r yx yy
zz
(2.3)
r está relacionado com o índice de refração n através da relação 2
r n . Como não
existe variação na direção z, o operador é descrito como,
ˆ ˆx y
x y
(2.4)
escrevendo 1
rv
, obtêm-se:
0 01
0 0
0 0 10 0
xx xy xx xy
yx yy yx yy
xx yy xy yx
zz
zz
v v
v v v
v
em um meio não magnético 1,0r . Com isso, a Equação (2.2) pode ser escrita como:
2
0
2v H H
c
(2.5)
Substituindo o operador e simplificando, é obtido o seguinte conjunto de três
equações, uma para cada componente,
2
0
2
y xzz zz x
H Hv v H
y x y y c
(2.6)
2
0
2
y xzz zz y
H Hv v H
x x x y c
(2.7)
2
0
2
z z z zyy xx yx xy z
H H H Hv v v v H
x x y y x y y x c
(2.8)
Desse conjunto de equações, resolve-se apenas a Equação (2.8), pois a mesma
corresponde à componente do campo magnético H na direção z.
20
2.1.3.2. Polarização E (Modos TM)
Partindo das equações de Maxwell para o campo elétrico, chega-se a:
2
0
2
10r
r
E Ec
(2.9)
onde E é o campo elétrico, r é a permeabilidade relativa. Em um meio não magnético
1,0r , com isso, a Equação (2.9) pode ser escrita como:
2
0
2rE Ec
(2.10)
Substituindo o operador e simplificando, é obtido o seguinte conjunto de três
equações, uma para cada componente,
2
0
2
y xxx x xy x
E EE E
y x y y c
(2.11)
2
0
2
y xyx x yy y
E EE E
x x x y c
(2.12)
2
0
2
z zzz z
E EE
x x y y c
(2.13)
Desse conjunto de equações, resolve-se apenas a Equação (2.13), pois a mesma
corresponde à componente do campo elétrico E na direção z.
As Equações (2.8) e (2.13) são as duas equações resultantes para os modos TM e
TE, respectivamente.
Os campos E e H são escritos da seguinte forma:
e yxjk yjk x
z zE e e
(2.14)
yxjk yjk x
z zH h e e
(2.15)
onde e z e zh são as envoltórias de variação lenta dos campos elétrico e magnético,
respectivamente, e xk e yk são as constantes de propagação na direção x e y,
respectivamente. Substituindo estas expressões nas Equações (2.8) e (2.13), obtêm-se:
21
2
0
2
e eez z
zz zx x y y c
(2.16)
2
2
yy zz zyy x yy x x yy z
xx zz zxx y xx y y xx z
yx zz zyx x yx y x y yx z
zxy y xy
v hh hv jk v jk k v h
x x x x
v hh hv jk v jk k v h
y y y y
v hh hv jk v jk k k v h
x y y x
hv jk v
y x
2
0
2
xy zzx x y xy z z
v hhjk k k v h h
y y c
(2.17)
Aplicando-se o método convencional de Galerkin [3, 60] a estas equações, e
discretizando o domínio computacional, usando seis nós isoparamétricos com elementos
triangulares de segunda ordem [60, 61] obtém-se um problema de autovalores dado por,
2
A Bc
(2.18)
no qual, o vetor φ é o campo ez ou o campo hz. Para os modos TE, as matrizes [A] e
[B] são dadas por,
T T T
yy xx xy
e
T T
T
yx x yy
T T
T T
y xx x yx xy
y xy
N N N N N NA v x y v x y v x y
x x y y x y
N N N Nv x y jk v N N x y
y y x x
N N N Njk v N N x y jk v N v N x y
y y y y
Njk v
2 2
T
T T
yx x yy y xx x y xy x y yx
NN v N x y k v k v k k v k k v N N x y
x x
(2.19)
T
e
B N N x y (2.20)
Para os modos TM, as matrizes [A] e [B] são dadas por,
22
2 2
2
2
T T
T
x
e
T T
y x y
N N N N NA x y x y jk N x y
x x y y x
Njk N x y k k N N x y
y
(2.21)
T
zz
e
B N N x y (2.22)
A e B são matrizes esparsas simétricas. A matriz B é real positiva
definida, c
é o autovalor e N é a forma bidimensional do vetor função obtida na
discretização do domínio computacional . As condições de contorno periódicas
impostas são 0 0 0 0, ,x a y x y
e 0 0 0 0, ,x y a x y
para os arranjos quadrados e
0 0 0 0, ,x a y x y
e
0 0 0 0
30.5, ,
2x y x y
para os arranjos triangulares onde pode
ser tanto e z ou zh e a é a constante de periodicidade ou arranjo [3].
Uma propriedade importante das equações de Maxwell, e em particular das
Equações (2.2) e (2.5), é que elas são independentes de escala, ou seja, se todas as
dimensões do sistema são multiplicadas por 10, a solução é exatamente a mesma, com
exceção das frequências, que ficam divididas por 10 [3]. Portanto, pode-se resolver as
equações de Maxwell apenas uma vez e aplicar os mesmos resultados em todas as
escalas das dimensões e da frequência à muitos problemas. Assume-se a periodicidade a
como unidade de comprimento do sistema, e expressam-se todas as distâncias como
múltiplos de a e todas as frequências angulares como múltiplos de 2 c a [3]. Isso
equivale a escrever as frequências como a , sendo o comprimento de onda no
vácuo.
As geometrias (quadrada e triangular) são geradas no programa computacional
GiD® e as bandas proibidas são calculadas através do método dos elementos finitos no
domínio da frequência [14, 19, 60]. Nesse método, o sistema matricial resultante é um
problema de autovalores e autovetores, como apresentado nas Equações (2.19)-(2.22).
23
(a) (b)
Figura 2.3. Modos de propagação no cristal, (a) TE e (TM) [62].
Admitindo que o cristal fotônico seja homogêneo na direção z, e se a
componente kz=0, de forma que a onda se propague estritamente no plano xy, os modos
são classificados em duas polarizações distintas: TE (transversal elétrico) os modos
têm H normal ao plano, então Hz = H(r) e Ez= 0; e TM (transversal magnético), os
modos têm E normal ao plano, então Ez = E(r) e Hz= 0, Figura 2.3.
Como os modos de propagação no cristal são obtidos através da zona de
Brilloun, devido a sua simetria, com a discretização do domínio realizada pelo FEM,
tanto para o arranjo quadrado quanto para o arranjo triangular. Portanto as malhas
correspondentes às células unitárias são apresentadas na Figura 2.4. Sendo que cada
triângulo poderá ser preenchido de material (anisotrópico ou isotrópico) ou ar. Cada
uma dessas malhas possui 20X20 elementos triangulares quadráticos possuindo assim
cada célula unitária 441 nós.
(a) (b)
Figura 2.4. Célula unitária dividida em 200 triângulos, (a) arranjo quadrado e (b) arranjo
triangular.
24
Nessa pesquisa, as malhas da Figura 2.4 geram matrizes de dados, que são
manipulados pelos algoritmos bio-inspirados e servirão como base para a construção
das novas estruturas otimizadas e também para o cálculo dos campos através do FEM.
A configuração interna da célula unitária (disposição do material) é considerada
apresentando a geometria mais arbitrária, não sendo uma estrutura trivial, o que justifica
o uso do método. Em tal caso, é necessário apenas calcular as frequências que definam
as PBG’s em todos os nove (arranjo quadrado) e treze (arranjo triangular) pontos
marcados, porque a máxima e a mínima frequências estão nesses pontos [19, 33].
2.1.4. Materiais Isotrópicos e Anisotrópicos
O material isotrópico é aquele cuja característica básica é possuir o índice de
refração constante, ou seja, a velocidade de propagação da luz, nesse meio, é a mesma
em qualquer direção e é independente da polarização [61, 63-65]. A aplicação de um
campo elétrico em um meio isotrópico induz a uma polarização que é paralela ao campo
aplicado e proporcional à suscetibilidade , a qual é um escalar [66]. Porém, quando o
meio é anisotrópico isso não acontece.
Um meio dielétrico é dito anisotrópico se as suas propriedades macroscópicas
ópticas dependem da direção, ou seja, quando um raio não polarizado é decomposto em
duas componentes polarizadas, chamado de eixo ordinário e o eixo extraordinário.
Nesses materiais, as indicatrizes são representadas por elipsóides de revolução de dois
ou três eixos e cada um desses eixos representa um índice de refração, portanto, para
materiais anisotrópicos o índice de refração não depende somente do material, mas
também da polarização da luz [61, 63-65].
A polarização, representada por P , e o campo elétrico representado por E , são
relacionados através da susceptibilidade elétrica, representada por , a qual é
responsável pela quantificação da influência do campo elétrico sobre a polarização no
material [61, 63-65, 66], dada pela relação,
0P E (2.23)
na qual, 0 é a constante de permissividade elétrica no vácuo.
A susceptibilidade, nos materiais anisotrópicos, tem natureza tensorial [80]:
0 eP E (2.24)
Escrevendo essa expressão na forma matricial tem-se:
25
11 12 13
0 21 22 23
31 32 33
x x
y y
z z
P E
P E
P E
(2.25)
onde 1, 2 e 3 correspondem a x, y e z, respectivamente. O tensor possui nove termos,
no entanto, é possível fazer uma rotação do sistema de coordenadas tal que os elementos
fora da diagonal sejam todos nulos [66]. Nesse novo sistema de eixos, também
chamados de eixos dielétricos principais, as componentes da polarização são:
0 11
0 22
0 33
x x
y y
z z
P E
P E
P E
(2.26)
A permissividade do meio se relaciona com a suscetibilidade na forma:
01 (2.27)
onde é o tensor dielétrico, que possui nove elementos,
11 12 13
21 22 23
31 32 33
(2.28)
onde 1, 2 e 3 correspondem a x, y e z, respectivamente, mas que também pode ter o
número de componentes independentes reduzidas à três, mediante o uso dos eixos
dielétricos principais [66].
O índice de refração do meio é dependente de , portanto o mesmo também
varia com a direção de propagação e com a polarização da luz incidente [66]. Logo, é
possível expressar o tensor do índice de refração conforme a direção do campo elétrico
por:
2
0
ij
ijn
(2.29)
no qual, i=x, y, z e j= x, y, z.
A densidade de energia elétrica para um meio anisotrópico, homogêneo, não
magnético e não absorvedor é dada por:
201 1
2 2 2e i ij j ij i j
ij ij
U E D E E n E E
(2.30)
26
onde D é o vetor deslocamento elétrico, que se relaciona com a polarização e o campo
elétrico da forma:
0D E P (2.31)
D E
(2.32)
2.1.4.1. Elipsóide de Índices
Utilizando os eixos dielétricos principais, pode-se escrever:
j i ij
i
n n
(2.33)
o qual é substituído na Equação (2.30) resulta em:
2 2 2 2 2 2
0
2 ex x y y z z
Un E n E n E
(2.34)
Utilizando a Equação (2.32) na Equação (2.34) obtêm-se:
22 2
0 2 2 22
yx ze
x y z
DD DU
n n n
(2.35)
Admitindo uma superfície onde eU é constante e associando um vetor posição
02 er D U a cada ponto descrito pelo vetor D , pode-se reescrever a Equação
(2.35) como:
2 2 2
2 2 21
x y z
x y z
n n n
(2.36)
Portanto, obtêm-se a elipsóide dos índices de refração (ou indicatriz óptica) que
possui como eixos principais xn , yn e zn , os quais são importantes porque determinam
como uma onda eletromagnética se propaga no meio, como apresentado na Figura 2.5.
Logo, cristais que possuírem três índices de refração principais e diferentes são
chamados de anisotrópico biaxial. Para cristais com certas simetrias, nomeadamente em
um único eixo triplo, quádruplo ou seis vezes a simetria, dois dos índices de refração
são iguais ( x y zn n n ), nesse caso a seção transversal no plano xy é um círculo e os
cristais que possuem esse comportamento são chamados de uniaxiais. Nesse caso, os
27
índices são comumente denotados x y on n n e z en n , os quais são conhecidos
como índice ordinário on e índice extraordinário en .
Figura 2.5. Elipsóide e elipse dos índices de refração [61, 66].
O cristal é dito uniaxial positivo se e on n e uniaxial negativo se e on n . O
eixo z do cristal uniaxial é chamado de eixo óptico. Em alguns cristais com simetrias
ainda maiores aqueles com células unitárias cúbicas. Por exemplo [61, 64], todos os três
índices são iguais e o meio é opticamente isotrópico [61, 64].
O material anisotrópico utilizado nesse trabalho é o telúrio uniaxial, que possui
um modo (polarização) TE e índice de refração ordinário 6,2on . Para o modo
(polarização) TM o índice de refração extraordinário 4,8en . E o material isotrópico
utilizado é o silício com índice de refração 3,476n , sendo que ambos foram imersos
no ar, que possui 1,0n .
2.2. Acopladores entre Guias de Ondas com Características Diferentes
Nesta seção é apresentada uma breve explicação das estruturas propostas e
otimizadas para interconexão entre guias de ondas ópticos (denominadas aqui de tapers)
com diferentes tamanhos, larguras e materiais. Será apresentada também uma proposta
de taper entre guias com diferentes larguras e outra proposta de taper utilizando guias
28
segmentados [20, 43], ambas visando a minimização das perdas e a maximização da
potência acoplada de um guia para o outro (eficiência de acoplamento). Isso é realizado
através da associação dos algoritmos bio-inspirados desenvolvidos em MATLAB®, em
associação com o software GiD®, o qual gera as malhas dos elementos finitos a partir
dos dados obtidos pelo algoritmo bio-inspirado e com o auxilio do programa FEM-2D
[20, 44] que será responsável pelo cálculo dos campos e da potência acoplada nessas
estruturas [43, 44], o qual sua formulação dos elementos finitos 2D no domínio da
frequência é apresentado.
2.2.1. O Taper Contínuo e o Taper Segmentado
O acoplador de guias de onda (taper) é um tipo genérico de guia de ondas óptico
que varia a sua forma ao longo do seu comprimento (distância entre a saída do guia de
onda de entrada até a entrada do guia de saída) na direção z. Em 1982, [42] guias de
ondas contínuos (CWG) foram usados como tapers, no intuito de melhorar a eficiência
de acoplamento da luz de um guia de ondas para o outro, ambos com diferentes larguras
de núcleo (diferentes seções transversais), mas o comprimento dessas estruturas eram
grandes e dependentes da transição adiabática ou regime adiabático de um acoplador de
guias de onda [21, 36]. Porém, se o comprimento do taper for reduzido,
consequentemente aumenta a perda de potência [36].
Figura 2.6. Esquemático do taper contínuo entre os guias de onda L e S.
L
S
Região do Taper
yx
29
Na Figura 2.6, é apresentado o diagrama de blocos da estrutura analisada, que é
denominada taper contínuo, entre dois guias de onda com diferentes tamanhos de
seções transversais (ou núcleos) que serão acoplados, L e S. Os principais objetivos da
utilização de um taper nesse tipo de problema são para reduzir as reflexões com o
acoplamento, melhorar a sobreposição dos modos nas interfaces e reduzir as perdas de
potência.
Uma outra alternativa para se obter uma maior eficiência de acoplamento entre
guias, é a utilização de um guia de onda segmentado (PSW) como taper entre os guias
de ondas. Estudos [20, 34, 35] apresentam que um dos benefícios de se utilizar guias
segmentados retos, ao invés de guias contínuos, é a redução das perdas por
espalhamento devido às imperfeições de fabricação da parede lateral [34, 35].
A possibilidade de manipulação do índice de refração do núcleo do guia de
onda, ao longo do circuito óptico, é uma grande vantagem em se trabalhar com
estruturas PSW's retas, e que pode prover várias aplicações, desde a estabilidade e
confinamento elevado da luz no guia até filtros de modos de ordens superiores [34, 35].
O taper segmentado proposto, Figura 2.7, permite através da redução gradual da
largura dos segmentos da região central, guia PSW, acoplar potência entre os guias de
onda ópticos C e O. Sendo que o guia O é um guia do tipo PSW, o que torna o problema
complexo, porém não impossível de se trabalhar.
Figura 2.7. Esquemático do taper segmentado entre os guias de onda C e O.
O uso de tapers a partir de guias segmentados já foi proposto por Bock et al.
[34], Weissman et al. [38, 67] e Cheben et al. [68], com objetivo de transformar os
modos entre os guias.
Para a modelagem dessas estruturas é utilizado o programa FEM-2D [20, 43, 44,
65], cuja formulação baseia-se no método dos elementos finitos no domínio da
Região do Taper
C O
y
x
30
frequência para calcular os campos, excitar os modos e calcular a potência acoplada
total nos mesmos, a qual é apresentada na próxima subseção.
Figura 2.8. Esquemático do (a) guia reto PSW 2D e (b) o guia CWG equivalente. O índice de
refração neq do guia contínuo equivalente é determinado através da Equação (2.37) [20].
O programa FEM-2D [20, 43, 44, 65] é, dentro de alguns limites de
aplicabilidade, confiável e preciso, particularmente, em estruturas planares e não
uniformes como em guias do tipo PSW da Figura 2.8 (a), na qual Λ é a periodicidade do
PSW, a representa o comprimento do segmento e o duty cicle (ciclo de serviço) η é
definido como a razão entre o comprimento do segmento de alto índice de refração e o
período, η=a/Λ. Para reduzir o domínio computacional e absorver as reflexões
indesejáveis nas fronteiras, com base em um cristal fotônico, camadas perfeitamente
casadas (combinadas) (PML) para guias de onda variando periodicamente, são
utilizadas na análise e no domínio da frequência [67].
yx
Plano de Incidência PML’s
PML’s
a
Λ
w
w
Si
neq
SiO2
SiO2Entrada
da luz
Saída
da luz
(a)
(b)
31
Para comprimentos de onda distantes da banda proibida, uma estrutura de PSW,
como apresentada na Figura. 2.8 (a), é equivalente ao CWG da Figura 2.8 (b) com o
mesmo comprimento e largura, mas com o índice de refração dado por [34, 35, 67, 69,
70]:
neq=nclad+ηΔn (2.37)
na qual, nclad é o índice de revestimento, η é o ciclo de serviço e Δn = nmax-nclad, é o
contraste (diferença) do índice de refração, ou seja, o neq é determinado pela média
espacial dos índices de refração do núcleo do guia de ondas e dos materiais de
revestimento numa escala de comprimento de onda.
2.2.1.1. Equação de Onda Escalar 2-D
Nesta subseção é apresentada a formulação de onda escalar para domínios
bidimensionais, bem como a sua discretização utilizando elementos finitos, os quais são
encontrados com maiores detalhes em [41, 44, 71]. A técnica consiste na aplicação do
FEM em regiões finitas (domínio Ω finito em R2),
que possuem descontinuidades e uma
expansão modal do campo para a representação em guias de onda infinitos às portas de
entrada e saída da região finita. Considera-se também o truncamento das portas usando
PML anisotrópica.
O termo PML anisotrópica surgiu como alternativa à formulação da PML de
Berenger [41] que envolve a modificação da equações de Maxwell. Mas, a abordagem
aqui, se baseia em usar propriedades anisotrópicas dos materiais: permissividade,
permeabilidade, condutividade elétrica e condutividade magnética para descrever a
camada absorvente. Essas propriedades podem ser escolhidas de tal forma que a
interface entre o material anisotrópico e o material da região do domínio computacional
Ω, esquematizado na Figura 2.9, seja perfeitamente casada ou sem reflexões. Logo,
como esse modelo não precisa modificar as equações de Maxwell, a aplicação é
simples, especialmente no domínio da frequência [41].
Essa técnica permite a simulação de dispositivos de área maior, o que reduz
possíveis problemas de redução significativa de domínio [41, 68].
32
Figura 2.9. Estrutura conceitual para a análise dos elementos finitos FE. A junção é dentro da região Ω, a
qual pode ser alimentada por até quatro guias de onda de acesso [44].
Considerando uma estrutura óptica 2-D generalizada de geometria arbitrária, de
domínio Ω finito em R2, limitada ou truncada por uma fronteira Γ, como apresentada na
Figura 2.9, na qual a janela computacional está no plano xy e não existe variação na
direção z, 0z
[3, 41, 44]. Por uma questão de simples ilustração, os acessos de
quatro guias são considerados. O limite do domínio Ω é então dado por
1 2 3 4 , Figura 2.9. Para reduzir a janela computacional, é utilizada
uma versão estendida no domínio da frequência de PML's com condutividades
artificiais elétricas e magnéticas de perfil parabólico [44]. São utilizados para um
correto tratamento de guias abertos, PML's juntamente com condições de campo nulo (
0 ) na fronteira Γ.
Encerrando o domínio Ω com PML de natureza anisotrópica [44], os tensores de
permeabilidade e permissividade na região de PML são expressos como:
yx
1 3
4
2
PML’s
Guia de Acesso
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3
y4
33
2
0 0
0 0 0 0
0 0 , 0 0
0 0 0 0
y x y x
z z
x z x z
PML PMLy y
z y z y
x x
s s s s
s s
s s s sn
s s
s s s s
s s
(2.37)
na qual 0 e 0 são a permeabilidade e permissividade do espaço livre,
respectivamente, n é o índice de refração, e os valores dos parâmetros de PML , s são
dados pela,
2
1
0
31 ln dentro da regiao de PML
2
1 fora da regiao de PML
tj Rs k n
(2.38)
onde k0=2π/λ é o número de onda no espaço livre, n é o índice de refração, δ é a
espessura das PML, é a distância do início da PML e Rt é o coeficiente de reflexão
teórico [44]. Para a PML perpendicular aos eixos x ou y, 1xs ou s e ys s ou 1, e
para a PML do canto, 1x ys s .
A equação escalar da forma de Helmholtz em coordenadas cartesianas, também
conhecida como equação de onda escalar, que modela a propagação da luz em Ω
apresenta-se como:
2
0 0y
y x
y x
s ps p s k qs
y s y x s x
(2.39)
onde
2
2
, 1 , 1, para modos TE
, 1, , para modos TM
z
z
H p n q
E p q n
e ,n z y é o índice de refração do guia de onda que possui uma variação longitudinal
abrupta em guias segmentados.
Como nesse trabalho é considerado um guia de entrada e um guia de saída a
34
junção da Figura 2.9 e para melhorar o entendimento da formulação apresenta-se a
Figura 2.10, que a representa os dois problemas. Considera-se o plano de incidência Γ,
que é normal ao eixo x, como apresentado na Figura 2.10 e divide-se Ω em dois
subdomínios Ω1 e Ω2.
Figura 2.10. Estruturas utilizadas para a análise dos elementos finitos FE com o domínio computacional e
as regiões da PML.
Dividindo Ω em elementos triangulares quadráticos, o campo dentro de cada
elemento pode ser escrito como:
T
eN (2.40)
na qual N é a função de forma para elementos quadráticos triangulares e é o vetor
nodal para cada elemento.
Considerando a Equação (2.40) e 0 no contorno externo da PML,
montando a matriz para Ω, somando em todos os diferentes elementos, exceto para o
plano de incidência Γ, obtêm-se a seguinte equação matricial:
,1 ,2
'y inc inc
ee z x
sA p N d
s s x x
(2.41)
2
0
e
T T
Tyx z
e z y x z x y
sN N N Ns sA p p k q N N dydx
s s z z s s y y s s
(2.42)
na qual as componentes do vetor são os valores de em todos os pontos nodais de
Ω, estende-se sobre todos os elementos, ' estende-se sobre os elementos
yx
PML’s
Plano de Incidência
1 2
PML’sPlano de Incidência
1 2
35
relacionados a Γ. Γ é um subconjunto de uma dimensão que possui a mesma direção do
vetor unitário de y. O campo na região i ( 1,2i ) é expresso como i .
O campo incidente é definido como inc e o campo espalhado como esp , o
campo i é expresso como ,i esp,ii inc e a condição de continuidade para os
campos eletromagnéticos no plano de incidência é dada por:
,1 ,2esp esp
x x
(2.43)
então a Equação (2.41) pode ser reescrita como:
,1 ,2y inc inc
ee z x
sA p N d
s s x x
(2.44)
Se expressarmos os campos incidentes arbitrários ,1inc e ,2inc usando os
autovalores:
,1 expinc m m m
m
A f y j x (2.45)
,2 expinc m m m
m
A f y j x (2.46)
obtêm-se:
2 m incA j B (2.47)
com
'
Ty
e z xe
sB p N N dy
s s
(2.48)
e inc é o campo incidente na região Γ. mA , mf e m são a amplitude, distribuição
transversal e constante de propagação do modo m, respectivamente, e N
é o vetor
da função de forma no plano incidente Γ.
36
2.2.1.2. Cálculo da Potência
A formulação FEM utilizada para o cálculo da potência, tratando separadamente
os modos TE e TM, foi desenvolvida em [44, 71] e está apresentada aqui.
Consideram-se as equações de Maxwell para coordenadas cartesianas:
E j H (2.49)
H j E (2.50)
Considerando x , y e z vetores unitários nas três direções do domínio cartesiano
3:
ˆ ˆ ˆ
x
y
zx y z
x y zE
j Ex y z
EH H H
(2.51)
ˆ ˆ ˆ , ,
y yx xz zx y z
H HH HH Hx y z j E E E
y z x z x y
(2.52)
Das Equações (2.49) e (2.50), respectivamente, e das Equações (2.51) e (2.52) chega-se
ao seguinte resultado:
yz
x
x zy
y xz
HHj E
y z
H Hj E
z x
H Hj E
x y
(2.53)
yz
x
x zy
y xz
EEj H
y z
E Ej H
z x
E Ej H
x y
(2.54)
37
Como o modelo é bidimensional e 0
z
, o domínio cartesiano reduz-se ao
plano (x,y). Assim, (2.53) e (2.54) reduzem-se às seguintes expressões:
z
x
zy
y xz
Hj E
y
Hj E
x
H Hj E
x y
(2.55)
z
x
zy
y xz
Ej H
y
Ej H
x
E Ej H
x y
(2.56)
São consideradas duas polarizações TE e TM, para as quais algumas
componentes dos campos elétrico e magnético são canceladas em cada caso. Para ondas
TE, , , 0x y zH H E
;, , 0z x yH E E
; para ondas TM, , , 0x y zE E H
;, , 0z x yE H H
.
Logo, as Equações (2.55) e (2.56) são reduzidas para o caso TE:
0
1 1y z
r
E H
x j x x
(2.57)
0
1 1x z
r
E H
y j y y
(2.58)
2
0
1 10z z
r z
r r
H Hk H
x x y y
(2.59)
Para o caso TM:
0
1 1x z
r
H E
y j y y
(2.57)
38
0
1 1y z
r
H E
x j x x
(2.58)
2
0
1 10z z
r z
r r
E Ek E
x x y y
(2.59)
Para o cálculo da potência, defini-se o vetor de Poynting:
zyx
zyx
zyx SzSySx
HHH
EEE
zyx
HES ˆˆˆ
ˆˆˆ
2
1
2
1
(2.60)
onde
2/)( yzZyx HEHES , 2/)( zxxzy HEHES ,
( ) / 2.z x y y xS E H E H
Os domínios bidimensionais utilizados nas simulações dos modelos encontram-
se esquematizados na Figura 2.11. Pode-se observar os subconjuntos in e out
na
direção do vetor unitário de y que serão utilizados para a inserção do perfil do modo e a
leitura da informação da onda de saída, respectivamente.
Figura 2.11. Esquema das estruturas para a análise no FEM-2D e cálculo da potência.
Portanto, a potência na direção de propagação x é dada por:
1 1 1ˆ.
2 2 2x y z z yP E H xd S d E H E H d
(2.61)
Considerando as polarizações dadas pelas Equações (2.57) e (2.58), a Equação
(2.61) reduz-se para a polarização TE:
yx
PML’s
inout
Região de Descontinuidade
PML’s
inout
Região de Descontinuidade
39
2
y z
x
E HS
2
0
1
2
zx z
r
HS H
j n x
(2.62)
e para TM:
2
z y
z
E HS
2
0
1
2
zx z
r
ES E
j n x
(2.63)
Portanto, a potência de uma onda propagando-se na direção x é dada pela
integração no domínio linear transversal a x. Assim, considerando o domínio linear um
subconjunto na direção de y chamado de Γ, as Equações (2.62) e (2.63) podem ser
reescritas, para TE:
0
2
0
1
2
zz
r
Z HP H dy
jK n x
(2.64)
e para TM:
0
2
0
1
2
zz
r
Z EP E dy
jK n x
(2.65)
Supondo que em in da Figura 2.11 coloca-se uma entrada tal que o guia de
onda comporta-se como um guia monomodo, então o campo em in pode ser
representado pela equação:
01
01 01( , ) ( )j x
inH x y A y e
(2.66)
na qual 01 y
é o único modo do guia de onda e 01A é uma amplitude tal que
1inP .
40
Em outo campo pode ser expresso como a combinação linear de ondas como a
da Equação (2.66):
02 12
02 02 12 12( , ) ( ) ( ) ...j x j x
outH x y A y e A y e
(2.67)
Em um guia de onda monomodo apenas o modo fundamental, o primeiro termo
da combinação linear da Equação (2.67), é guiado e os outros termos representam os
modos radiados. Utilizando a condição de ortogonalidade dos modos descritos na
Equação (2.68), pode-se encontrar o coeficiente 02A.
mnnm
r
dyn
222
1
,
nm
nmmn
,0
,1
(2.68)
Se a potência na linha in é
1inP a eficiência de acoplamento é dada por:
0 02 0 02
02 02 02 022 2
0 0
1 1
2 2out out out
r rout out
Z ZP H H dy A A dy
K n K n
2
0 02 02
02
Z A
K
(2.69)
na qual 02 022
1
out
out
r
A H dyn
.
E, portanto a Equação (2.69) pode ser reescrita como:
2
0 02022
0
1
2out
out
r
ZH dy
K n
(2.70)
Porém, se a potência inP não for normalizada, ou seja, o valor da amplitude 01A
não for condicionado para 1inP
, a eficiência de acoplamento é expressa como:
41
2
02 022
01 2
1
1out
in
out
r
in in
r
H dyn
H H dyn
(2.71)
A vantagem de utilizar o FEM-2D, em vez do BPM (método de propagação de
feixes) é que o primeiro permite a modelagem da propagação de ondas em estruturas
PSW como um problema de espalhamento e, consequentemente, também considera a
volta das ondas refletidas. O BPM, por outro lado, é restrito para modelagem de
propagação direta de ondas e quaisquer reflexões posteriores (guiadas ou irradiadas) são
ignoradas [20, 44].
As duas aplicações sugeridas nesse trabalho, otimização da eficiência de
acoplamento de tapers contínuo e segmentado, são realizadas com o auxílio dos
algoritmos bio-inspirados em conjunto com o programa FEM-2D, que possibilita o
cálculo da potência e dos campos na entrada e saída das estruturas otimizadas
resultantes, minimizando a perda de energia. Em geral, técnicas numéricas, tais como o
método de elementos finitos, diferenças finitas, etc, são utilizadas para a modelagem de
tais estruturas, porém, requerem muito conhecimento da teoria eletromagnética e
também muito esforço e recurso computacional.
Conclusão do Capítulo
Foram apresentadas a teoria dos cristais fotônicos, juntamente com a modelagem
em elementos finitos 2D utilizada, os conceitos de material isotrópico e anisotrópico,
que serão utilizados nas estruturas otimizadas. Apresentaram-se também as
características dos guias segmentados, as estruturas de tapers contínuo e segmentados
propostos, juntamente, com a modelagem em elementos finitos 2D utilizada para o
calculo da potência, as principais justificativas da aplicação dos mesmos e as principais
vantagens e desvantagens.
42
Capítulo 3
3. Computação Bio-Inspirada
Antes de discorrer a respeito da computação bio-inspirada é importante abordar
os conceitos de heurísticas e meta-heurísticas, pois é a partir deles que se pode justificar
a utilização de algoritmos, visando otimizar problemas nas mais diversas áreas. Nas
telecomunicações, por exemplo, existe uma variedade muito grande de tipos de
problemas que podem ser otimizados utilizando meta-heurísticas como: otimização de
acopladores de guias de ondas, otimização da banda fotônica proibida de cristais
fotônicos, otimização de fibras ópticas, guias de ondas contínuos e segmentados, etc.
Algoritmos com componentes estocásticos foram muitas vezes referidos como
heurística no passado, embora a literatura recente tenda a se referir a eles como meta-
heurísticas. É considerada a convenção proposta por Glover [46, 47], a qual permite
considerar que todos os algoritmos modernos inspirados na natureza são meta-
heurísticas. Em geral, heurística significa encontrar ou descobrir por tentativa e erro.
Aqui meta significa além ou nível mais alto e o termo meta-heurísticas, como "simples
de executar". A palavra "meta-heurística" foi definida por Fred Glover em seu trabalho
[46], no qual, segundo o autor, uma meta-heurística pode ser considerada como uma
"estratégia de mestre que orienta e modifica outras heurísticas para produzir soluções
além das que são normalmente geradas em busca locais de otimização".
Além disso, as meta-heurísticas usam certa compensação de aleatorização e de
busca local. Soluções de qualidade e difíceis para os problemas de otimização podem
ser encontradas em uma quantidade razoável de tempo, mas, não há garantia de que as
melhores soluções possam ser alcançadas [47].
Dois componentes principais de qualquer algoritmo meta-heurístico são a
diversificação e a intensificação [48]. Diversificação significa gerar diversas soluções
aleatoriamente a fim de se explorar o espaço de busca em uma escala global, enquanto
que intensificação significa concentrar a pesquisa em uma região local sabendo que
pode ser encontrada uma boa solução atual nessa região. É necessário ter um bom
equilíbrio entre a intensificação e a diversificação para que possibilite, durante a
seleção, encontrar melhores soluções e melhorar a taxa de convergência do algoritmo. A
43
seleção do melhor pode assegurar que as soluções irão convergir para um valor ótimo,
enquanto que através da diversificação aleatória permitirá uma busca do mínimo ou
máximo local e, paralelo a isso, aumentar a diversidade de soluções. Portanto, uma boa
combinação desses dois componentes principais, geralmente, assegura que a otimização
global seja realizável [46, 49].
Assim, uma meta-heurística é um conjunto de mecanismos de gerenciamento
que atua sobre métodos heurísticos aplicáveis a um extenso conjunto de diferentes
problemas [47]. Em outras palavras, uma meta-heurística pode ser vista como uma
estrutura algorítmica geral que pode ser aplicada a diferentes problemas de otimização,
com poucas modificações, relativamente, que permitam a sua adaptação a um problema
específico.
Porém, existem algumas características indesejáveis que precisam ser verificadas
a fim de evitá-las e, dessa forma possibilitar ao algoritmo um bom funcionamento.
Dentre elas podem ser citadas:
Não possuir garantia de solução ótima;
Não possuir garantia de convergência;
Elevado custo computacional para se chegar a uma solução ótima.
O grande atrativo desse mecanismo de otimização e que em diversas aplicações
ainda não foram concebidos algoritmos exatos de solução ou mesmo heurísticas
específicas. Além disso, os métodos clássicos que garantem a localização da melhor
solução são muitas vezes impraticáveis. Nessas situações, as meta-heurísticas se tornam
candidatas interessantes, portanto, essa seria uma das justificativas para a utilização dos
algoritmos bio-inspirados na otimização de problemas nas mais diversas áreas, inclusive
na Fotônica.
A computação bio-inspirada é uma categoria de algoritmos, cujo funcionamento
é inspirado na natureza, podendo ser definida como sendo a convergência da Ciência da
Computação, Biologia e Matemática para representar processos observados na natureza
[7-12]. A denominação de computação evolutiva, uma das classes existentes na
computação bio-inspirada, foi proposta com o intuito de representar pesquisas sobre
aspectos específicos do processo evolutivo propostas a partir dos anos 50 [7, 8, 11, 72].
No problema da análise e síntese de dispositivos fotônicos e/ou microondas são
necessários conhecimentos avançados de eletromagnetismo, métodos numéricos e
programação, assim como recursos computacionais de grande porte e softwares
comerciais “caros”, tornando-se uma tarefa complexa que pode ser efetuada apenas por
44
especialistas na área. Entretanto, é possível usar outros métodos para tratar o problema,
como, por exemplo, a computação bio-inspirada.
A teoria e estruturas básicas dos algoritmos bio-inspirados clássicos, que
norteiam os algoritmos desenvolvidos nesse trabalho são apresentados e nota-se que
possuem uma mesma estrutura básica, pois realizam reprodução ou clonagem;
promovem competição entre indivíduos de uma dada população através da seleção;
realizam mudanças nos indivíduos através da mutação; e conservam-se os melhores
para as próximas gerações. Esses algoritmos também podem gerar aleatoriamente
populações iniciais de soluções candidatas. No entanto, enquanto o critério de parada
não for satisfeito, o algoritmo realiza os seguintes processos:
1. Recombina alguns indivíduos da população
2. Muta alguns indivíduos da população
3. Avalia todo o repertório de soluções candidatas
4. Seleciona as melhores soluções que irão para a próxima geração, seguindo
algum critério.
Esses processos resultarão em evolução sempre que estiverem presentes em uma
simulação computacional ou na natureza [7, 11, 50].
Nesse trabalho, é utilizada computação bio-inspirada, em particular as técnicas
de Algoritmos Genéticos (AG), Sistemas Imunológicos Artificiais (SIA) e Evolução
Diferencial (ED), no desenvolvimento e implementação de algoritmos para a otimização
de dispositivos e estruturas fotônicas e/ou de microondas. Sendo assim, com o uso da
computação bio-inspirada, o problema a ser resolvido é o ambiente e cada indivíduo da
população é associado a uma solução-candidata, ou seja, o indivíduo mais adaptado ao
ambiente corresponderá a uma possível solução para o problema proposto [7, 11]. Sabe-
se que ao final do processo evolutivo dos algoritmos não se chegará a uma solução
global do problema proposto, mas com a evolução a cada geração obtêm-se soluções
candidatas locais, ótimas e eficazes.
Os algoritmos bio-inspirados, em particular os evolutivos, são um elenco de
procedimentos gerais que podem ser adaptados a cada contexto de aplicação [8, 51].
Basicamente, são modelos computacionais que possuem:
a- uma população de indivíduos (geração inicial), que corresponde a possíveis
soluções candidatas;
b- uma função que mede a aptidão relativa de cada indivíduo frente aos demais
(função de fitness).
45
Os indivíduos são inicializados aleatoriamente em um espaço D-dimensional. O
valor da função objetivo de cada indivíduo é calculado e o melhor indivíduo é, então,
encontrado. Quando o objetivo do problema de otimização é a maximização de uma
função, significa que quanto maior for o valor da função objetivo, melhor é o indivíduo.
Quando o objetivo do problema de otimização é a minimização de uma função, significa
que quanto menor o valor da função objetivo, melhor é o indivíduo.
Portanto, é possível resolver o problema de análise e síntese dos dispositivos e
estruturas fotônicas e/ou microondas pela descrição do funcionamento dos mesmos,
considerando apenas as relações entre suas variáveis de entrada e saída sem explicitar os
fenômenos físicos que regem essas variáveis [73].
Devido a essas características, a computação bio-inspirada tornou-se uma
ferramenta bem disseminada na solução de problemas de Telecomunicações, como por
exemplo, o uso de redes neurais artificiais na análise e projeto de antenas de microfita
[74]; no uso de algoritmos bio-inspirados na síntese de dispositivos e estruturas
fotônicas e/ou microondas como análise de estruturas metamateriais [10, 12, 13]; banda
fotônica proibida de cristais fotônicos [14-16, 19]; fibras ópticas [18, 46, 75],
multiplexadores e demultiplexadores [25], entre outros [17, 22-24, 76-82].
3.1. Algoritmos Genéticos (AG)
Nesta seção é apresentada a teoria sobre AG, suas principais características e os
procedimentos necessários para a sua utilização, sendo que os AG’s constituem uma
técnica muito utilizada em problemas de otimização, pois se baseiam na teoria da
seleção natural proposta por Charles Darwin [7], [11]. As respostas possíveis geradas
para o problema são definidas como indivíduos que competem entre si para se
reproduzir e os mais aptos, que representam melhores soluções, têm a maior chance de
perpetuar algumas de suas características, aumentando a probabilidade de adaptação da
população em geral.
As possíveis soluções para o problema são codificadas em genomas, uma
estrutura composta por uma cadeia finita de elementos (genes), o que justifica o termo
"genético" do AG. Ainda com analogia a natureza, há autores que classificam os
indivíduos da população como genótipos e a resposta de sua codificação como fenótipo
[7, 10, 11, 49-51, 83-86].
Os AG’s são muito utilizados como otimizadores de funções nos casos em que
46
os métodos de busca exaustiva falham e, por isso, é necessário o uso da busca
controlada em um determinado espaço. A sua vantagem nesse aspecto é o seu alto grau
de adaptabilidade, robustez e paralelismo [81, 83-86].
Em AG’s um cromossomo (Figura 3.1) é uma estrutura de dados que representa
uma das possíveis soluções contidas no espaço de busca do problema. Os cromossomos
são submetidos a um processo de evolução através de etapas como avaliação, seleção,
recombinação/cruzamento (crossover) e mutação. A população deverá conter, ao final
de vários ciclos evolutivos, indivíduos mais aptos [7, 11, 83].
Figura 3.1. Representação de um cromossomo [7]
Tabela 3.1. Similaridade Sistema Natural × AG [7, 83]
Natureza Algoritmos Genéticos
Cromossomo Palavra binária, vetor, etc.
Gene Característica do problema
Alelo Valor da característica
Locus Posição da palavra, vetor.
Genótipo Estrutura
Fenótipo Estrutura submetida ao problema
Indivíduo Solução
Geração Ciclo
Na literatura, [7, 11, 83], apresenta-se uma analogia entre Algoritmos Genéticos
e o sistema natural biológico, o qual pode ser observado através da Tabela 3.1.
A maioria dos AG’s são determinados através dos seguintes itens [7, 11, 83]:
O problema a ser otimizado;
Representação das possíveis soluções;
Decodificação do cromossomo;
47
Avaliação das possíveis soluções;
Seleção dos mais aptos;
Operadores genéticos (cruzamento, mutação);
Inicialização da população.
3.1.1. O problema a ser otimizado
O AG é uma técnica de otimização frequentemente utilizada em problemas
complexos, problemas esses com muitas restrições que não podem ser representadas
matematicamente, possuindo vários parâmetros que precisam ser combinados para
encontrar a melhor solução e com grandes espaços de buscas. É uma técnica aplicada
em problemas como otimização de funções matemáticas [87, 88]; combinatórias [89,
90]; otimização de planejamento [91]; problema do caixeiro viajante [92]; otimização
de rotas de veículos [93]; layout de circuitos e síntese de circuitos eletrônicos e óptico-
eletrônicos [94, 95].
O problema precisa estar bem definido, variáveis, parâmetros, etc., para que o
mesmo permita sua implementação via AG e outros tipos de algoritmos de otimização.
3.1.2. Representação das possíveis soluções
A estrutura do cromossomo que vai ser trabalhada pelo algoritmo depende da
representação adequada e utilizada nas possíveis soluções candidatas e do espaço de
busca, ou seja, esta representação depende do tipo de problema analisado, do tamanho
da população e do tipo de resposta a que se deseja encontrar.
As principais representações utilizadas em AG’s são apresentadas na Tabela 3.2.
Tabela 3.2. Representações de cromossomos [7, 83]
Tipo de cromossomo Problemas
Binário, Real Numérico
Vetor, Símbolos Repetidos Grupo
Permutação de Símbolos Baseados em ordem
A codificação do tipo binária é a mais simples e utilizada [83]. A manipulação
dos cromossomos desse tipo é mais simples ao longo do algoritmo, ou seja, através
desse tipo de codificação pode-se transformar com maior facilidade em inteiro ou real,
simplificando também a prova de alguns teoremas [83] e aplicações em problemas
48
combinatórios, mas esse tipo de representação tem dificuldades com múltiplas
dimensões de variáveis contínuas, especialmente quando uma grande precisão é
requerida, pois um grande número de bits será necessário para atingir tal precisão
tornando o cromossomo muito grande podendo assim dificultar as operações no AG
[96]. Logo, a representação por números reais, a depender do tipo de problema, oferece
o melhor desempenho do AG [7-12, 14-16, 83].
O tipo de representação pode variar, a depender da quantidade de símbolos que
se quer trabalhar. Portanto, o mais importante de uma representação aplicada é que ela
seja capaz de representar todo o espaço de busca a ser investigado com precisão
adequada.
3.1.3. Decodificação do cromossomo
A construção da solução do problema através do cromossomo é o que chamamos
de decodificar um cromossomo. A facilidade de se transformar binário em inteiro ou
real é a principal vantagem da sua utilização e esse processo constrói de maneira mais
simples a solução para ser avaliada pelo problema.
Logo, uma forma utilizada para decodificar números binários para números reais
é apresentada na Equação 3.1. Nela, deve-se considerar o intervalo de valores (C) dos
reais de tal forma que:
min2 1
R b n
Cx x x
(3.1)
Na qual min max,Rx x x ; bx é o inteiro correspondente ao binário; n é o numero de
bits do cromossomo; e C é o intervalo de valores dos reais da variável x , dado por
max minC x x .
Existem outras formas de decodificação, mas esta é a mais usual. Nesse estudo
utiliza-se esse tipo de decodificação também nos outros algoritmos bio-inspirados [83].
3.1.4. Avaliação
Esta etapa deverá conter a função que representa o elo entre o AG e o problema,
ou seja, da mesma forma que o meio ambiente é para os seres vivos, esta função é para
um AG. Ela tem como objetivo fornecer a medida de aptidão, ou seja, a capacidade de
que cada indivíduo da população irá direcionar o processo de busca, sendo realizada
49
através de uma função que melhor represente o problema a ser otimizado. Cada
problema possui ao menos uma função de avaliação (fitness) específica, ou seja, uma
função objetivo.
Na Tabela 3.3, é apresentado um exemplo com a função matemática 2f x x ,
a qual mede a aptidão de cada indivíduo. O indivíduo C1 é mais apto (possui maior
valor na função) que C2, se o objetivo do problema for a maximização, Tabela 2.3.
Tabela 3.3. Comparação de aptidões [83]
Indivíduo Cromossomo x f x
C1 0 0 1 0 0 1 9 81
C2 0 0 0 1 0 0 4 16
3.1.5. Seleção
Seleção é o processo de escolha dos indivíduos mais aptos para a etapa de
reprodução, ou cruzamento, em algoritmos genéticos e baseia-se na aptidão de cada um,
ou seja, os mais aptos têm maior probabilidade de serem escolhidos para a próxima
etapa.
Os principais mecanismos de seleção utilizados em algoritmos genéticos são:
proporcional, torneios, com truncamento, normalização linear ou por normalização
exponencial [7, 10, 83].
Figura 3.2. Seleção por Roleta (amostragem estocástica universal) [97].
Na seleção proporcional à aptidão (seleção por roleta) é considerado um círculo
dividido em n regiões (n = tamanho da população), na qual a área de cada região é
proporcional à aptidão de cada indivíduo da população conforme a Figura 3.2. Sobre
esse círculo é posicionada uma "roleta" com n cursores, igualmente espaçados, após um
50
giro da roleta a posição dos cursores indica os indivíduos selecionados. Esse processo é
intitulado amostragem universal estocástica [7, 83, 85, 86, 97], pois os indivíduos que
possuírem maior área na roleta terão chances de serem selecionados por mais vezes.
Logo, esse tipo de seleção pode conter muitas cópias de um mesmo indivíduo, o que
também pode causar o desaparecimento de outros
Portanto, nesse tipo de seleção, a probabilidade de seleção de um indivíduo é
proporcional ao seu valor de aptidão [83], conforme a Equação (3.2).
i
i
fp
NM
(3.2)
A variável ip é a probabilidade de seleção de um indivíduo i , if é a aptidão do
mesmo, N é o tamanho da população e M é a aptidão média da população. A
intensidade de seleção é dada pela Equação (3.3).
I
M
(3.3)
Isso indica que a pressão seletiva é dada pela razão entre o desvio padrão e a média das
aptidões [83].
Dois problemas podem acontecer na utilização desse método, o primeiro está
relacionado ao aparecimento de super indivíduos e o outro a competição próxima. O
primeiro ocorre quando um indivíduo possui uma aptidão muito maior que a dos
demais, podendo determinar uma convergência prematura do algoritmo. O segundo
problema ocorre quando indivíduos apresentam aptidões próximas diferentes,
resultando em uma intensidade de seleção bem menor do que a desejável [83] e
prejudicando a evolução e a convergência do algoritmo.
Na seleção por torneio é escolhido um grupo de t indivíduos (soluções)
aleatoriamente (geralmente 2 indivíduos) da população e o melhor é selecionado, Figura
3.3 [83].
51
Figura 3.3. Seleção por Torneios
No método de seleção por truncamento, seja T um limiar (entre 0 e 1), serão
selecionados apenas os T melhores indivíduos ambos com a mesma probabilidade de
seleção, [7, 11, 83] e os demais indivíduos serão descartados. Por exemplo, seja T=0,5,
isto implica que a seleção será realizada entre os 50% dos cromossomos e os outros
50% serão descartados.
No mecanismo de seleção por normalização linear (ranking), os indivíduos são
ordenados de acordo com sua aptidão, esses valores são alterados de acordo com a
posição relativa de cada indivíduo e ao melhor indivíduo é denominado como aptidão
máx e ao pior como min. Esses valores são determinados pelo usuário, mas o método
prevê que as condições máx=2-min e min 0, devem ser atendidas, o restante dos
indivíduos serão distribuídos linearmente entre o min e máx de acordo com a sua
posição relativa na ordenação, [83], ou seja, em ordem crescente ou decrescente de
acordo com o problema a ser resolvido.
A avaliação de cada indivíduo, nesse tipo de seleção, é determinada pela
Equação 3.4, onde o pior elemento acontece quando i=1.
1
1i
max minA min i
n
(3.4)
O método da seleção por normalização exponencial possui uma função de
mapeamento exponencial, o que difere do linear, aumentando a pressão seletiva (o
método tende a uma maior exploração das soluções já existentes, aumentando assim a
Indivíduos Aptidão (Fitness)
C1 9
C2 4
C3 1
C4 25
Torneio
C1 C3
C2 C1
C1 C4
C4 C4
Selecionados
C1
C1
C4
C4
Os indivíduos são selecionados coma mesma probabilidade para ostorneios.
52
velocidade de convergência) e reduzindo a diversidade da população resultante [83],
Equação (3.5).
11
1
N
i N
cp c
c
; 1i ,...,N
(3.5)
na qual c determina o grau de “exponencialidade” da função e varia de 0 a 1. À medida
que vai se aproximando de 1 a “exponencialidade” vai diminuindo [83].
O tipo de seleção sempre vai depender do tipo de problema a ser otimizado,
porém pode-se trabalhar não apenas com um tipo de seleção do início ao fim do
algoritmo. Pode-se variar o método escolhido aproveitando algumas características
presentes nos demais, desde que essa variação ajude na convergência e diversidade da
população.
3.1.6. Operadores Genéticos
São funções aplicadas às populações com o intuito de obter novas populações,
esses operadores, geralmente, são aplicados após a etapa de seleção. Realiza-se a
recombinação/cruzamento (crossover) dos indivíduos da população e depois aplica-se a
mutação nos mesmos, obtendo, assim, uma nova população com melhores indivíduos
ou não. Através de sucessivas gerações essas etapas são repetidas até que o resultado
seja satisfatório, ou seja, até que a população se diversifique e mantenha características
de adaptação adquiridas pelas gerações anteriores.
Figura 3.4. Crossover de um ponto
O operador de crossover (cruzamento) é a característica fundamental dos
algoritmos genéticos [7, 10, 11, 83-86]. Pares de indivíduos pais são escolhidos
aleatoriamente da população, através da aptidão, e novos indivíduos são criados depois
53
da troca e/ou mistura do material genético proveniente dos pais. Os descendentes
gerados (novos indivíduos) são diferentes dos pais, mas com características genéticas de
ambos.
A forma mais simples de crossover é com um ponto de corte, ou seja, dois
indivíduos pais são cortados em uma posição aleatória, criando dois possíveis
descendentes, Figura 3.4.
O cruzamento de dois pontos ocorre com o corte de dois indivíduos pais em duas
posições aleatórias e, assim como o de um ponto, cria descendentes a partir das
recombinações de suas partes, como apresentado na Figura 3.5.
Figura 3.5. Crossover com 2 pontos de corte
O crossover do tipo uniforme gera uma máscara binária de forma aleatória e essa
determinará de qual dos pais será selecionado o gene a ser preenchido nos cromossomos
filhos. Na Figura 3.6, a máscara utilizada no cruzamento uniforme foi [0,1,0,1,0,1].
Quando o valor da máscara é zero, o gene a ser herdado (utilizado) pelo filho será do
segundo pai, e caso esse valor seja um, herdará o gene do primeiro pai, ou vice-versa.
Devido ao fato de fazer um sorteio para cada posição, o cruzamento uniforme, em
média, tem o seu desempenho superior em relação a outros tipos de cruzamento, pois
garante maior diversidade a população e, portanto, amplia a varredura sobre o espaço de
busca. Esse tipo de cruzamento auxilia na convergência do algoritmo, porém pode
causar “destruição” ou perda de um indivíduo ótimo, mas isso pode ser evitado através
da utilização do elitismo.
54
Figura 3.6. Crossover do tipo uniforme
Após essa etapa os cromossomos criados são modificados através da mutação, a
qual torna a população mais diversificada, já que se trata de um operador exploratório.
O operador de mutação altera o conteúdo de uma ou mais posições do
cromossomo (alelo, símbolo, valor do gene), com uma probabilidade determinada
(geralmente ≤10%), [7, 10-12, 14-16, 18, 19, 51, 83-86], Figura 3.7.
Figura 3.7. Operador de mutação [48]
Para se realizar a mutação existem outras formas, como, por exemplo, a inversão
que permite a troca de posição de dois genes aleatoriamente, no entanto, esta é restrita a
problemas baseados em ordem [83-85].
3.1.7. Inicialização da População
Esta etapa determina o processo de criação dos indivíduos para o primeiro ciclo
do algoritmo, no qual a população inicial é, tipicamente, formada a partir de indivíduos
criados aleatoriamente. Nessas populações podem conter bons cromossomos, ocorrendo
assim uma evolução mais rápida.
55
Podem-se utilizar métodos de geração de números aleatórios, distribuição
uniforme, distribuição gaussiana e distribuição exponencial, para a criação das
populações iniciais de forma aleatória.
Executar evoluções (rodadas) sucessivas, conservando na população inicial da
evolução seguinte as melhores soluções encontradas na população anterior se torna uma
técnica eficiente para encontrar boas soluções em um problema, denominada elitismo.
3.1.8. Parâmetros e Critérios de Parada
São os parâmetros que controlam o processo evolucionário em um AG. Os dois
últimos geralmente são utilizados como critério de parada, [7, 10-12, 14-16, 18, 19, 51,
83-86]:
Tamanho da população: determina a quantidade de pontos do espaço de busca;
Taxa de cruzamento: parâmetro que determina a probabilidade de um indivíduo
recombinar com outro;
Taxa de mutação: determina qual a probabilidade do material genético de uma
determinada posição do cromossomo ser alterado;
Número de gerações: quantidade total de ciclos da evolução de um AG;
Total de indivíduos: total de tentativas em um experimento (tamanho da
população X número de gerações).
O número máximo de gerações é o critério de parada comumente utilizado
quando se aplica AG ou outro tipo de algoritmo bio-inspirado, a depender do tipo de
problema que se quer otimizar, pois oferece a vantagem de não interferir diretamente no
desempenho do algoritmo [83]. Ele pode ser alterado caso o seu valor seja inadequado a
resolução do problema, quando se é necessário mais iterações. Essa liberdade de
alteração do número máximo, em que o algoritmo vai funcionar, facilita o processo de
adaptação de cada ferramenta em que ele é empregado, pois as possíveis falhas de
desempenho estão mais ligadas ao conjunto de parâmetros e operadores escolhidos do
que ao critério de parada.
56
Figura 3.8. Ciclo básico de funcionamento de um AG.
Um AG pode ser descrito como um processo contínuo que repete ciclos de
evolução controlados por um critério de parada, conforme apresentado na Figura 3.8. As
aplicações de algoritmos genéticos são muito amplas e em diversas áreas, assim como
mencionado anteriormente. Na literatura, especificamente para as áreas de fotônica e
microondas, é possível encontrar trabalhos relacionados ao tema [14-16, 18, 19, 22-25,
51, 75, 78-82, 86].
3.2. Sistema Imunológico (SI)
3.2.1. Sistemas Imunológicos Biológicos
O ser vivo apresenta uma resistência frente aos agentes causadores de doenças,
conhecidos como patógenos, incluem-se os vírus, bactérias e outros parasitas. O tipo de
resistência vai depender do tipo de cada patógeno, o qual varia muito de uma espécie
para outra de ser vivo. Os seres humanos são grandes exemplos disso, porque possuem
um sistema imunológico de alta complexidade que, em conjunto com outros sistemas,
protege o corpo contra os agentes patogênicos, mantendo-se também o equilíbrio do
organismo [7, 11]. O sistema imune dos vertebrados é composto por uma grande
variedade de moléculas, células e órgãos espalhados por todo o corpo. Não há nenhum
órgão central controlando o funcionamento do sistema imunológico e existem vários
INÍCIO
FIM
POPULAÇÃO INICIAL
FITNESS
MUTAÇÃO
CRUZAMENTO
SELEÇÃO
NOVA POPULAÇÃO
CRITÉRIO DE PARADA SATISFEITO?
SIM
NÃO
FITNESS
57
elementos em movimento e em diferentes partes do corpo realizando papéis
complementares [98].
Esse controle distribuído significa que não há nenhum controlador central, ao
invés disso, o sistema imunológico é regulado por interações locais entre células imunes
e antígenos. As células mais importantes nesse processo são as células brancas do
sangue, chamadas células T e células B. Ambas têm origem na medula óssea, mas as
células T passam pela maturação, antes de percorrer o corpo através dos vasos
sanguíneos e linfáticos. Sendo assim, a principal tarefa do sistema imunológico é fazer
uma verificação no organismo em busca de células “defeituosas” (células cancerígenas,
tumores, etc) presentes no próprio corpo e doenças exteriores causadas por elementos
estranhos (vírus e bactérias). Cada elemento que pode ser reconhecido pelo SI é
chamado antígeno (Ag).
As células que originalmente pertencem ao nosso corpo e são inofensivas para o
seu funcionamento são chamadas próprias (ou autos antígenos), enquanto os elementos
externos que causam doenças são denominados de não próprios. O SI, então, tem que
ser capaz de distinguir entre o que é próprio e não próprio; para isso, um processo
chamado de discriminação é realizado, basicamente, através de reconhecimento de
padrões. A partir de uma perspectiva de reconhecimento de padrões, a característica
mais interessante do SI é a presença de moléculas receptoras na superfície das células
do sistema imunológico, capazes de reconhecer uma quantidade quase ilimitada de
padrões antigênicos [7, 11, 72, 99, 100].
As teorias encontradas sobre o assunto tentam de alguma forma explicar como
esse complexo sistema funciona. Através dessas teorias, algumas características dos
sistemas imunológicos podem ser destacadas como importantes fontes de inspiração
para o desenvolvimento dos Sistemas Imunológicos Artificiais (SIA) [17, 72, 99, 100]:
Diversificação: As células e moléculas que compõem o sistema imunológico
possuem ampla diversidade, sendo capazes de reconhecer uma vasta quantidade
de patógenos;
Distributividade: O sistema imunológico não possui um sistema de controle
central, ele está distribuído por diversas células e moléculas que se espalham por
todo o organismo;
Memória: Os SI’s possuem uma memória auto-organizada e dinâmica que
permite armazenar informações sobre os patógenos para combatê-los mais
58
eficientemente em casos de futuras invasões por patógenos já conhecidos
(exemplo: vacinas).
Baseado nessas teorias e características, os sistemas imunológicos biológicos
estão sendo utilizados como base no desenvolvimento de algoritmos computacionais
para a solução de problemas complexos, demonstrando que o SI é escalável, robusto e
flexível.
Na Figura 3.9, baseada na literatura [99], observa-se a ilustração da arquitetura
de um sistema imunológico biológico com várias camadas de defesa.
Figura 3.9. Camadas de defesa do sistema imunológico [99].
A pele é a primeira barreira contra agentes infecciosos, a segunda barreira é
fisiológica, onde a temperatura e o pH não são ideais para a sobrevivência de
organismos estranhos (nocivos). Se os agentes patogênicos conseguem entrar no corpo,
são combatidos pelo sistema imunológico inato e também pelo adquirido, Figura 3.9. O
inato consiste de células capazes de digerir alguns tipos de materiais, limpando o
organismo. O sistema imunológico adquirido ou adaptativo é mais complexo, pois é o
principal responsável por uma imunidade que é assimilada de modo adaptativo durante
toda a vida do organismo. Nele é que se concentram os maiores estudos, pois o poder de
adaptação é o que pode fornecer melhores soluções para os mais diversos problemas,
através da sua utilização na computação.
Pele
Barreiras Bioquímicas
Resposta Imune Inata
Fagócito
Resposta Imune
Adaptativa
Linfócitos
Patógenos
59
Algumas das principais ideias que fazem parte do sistema imunológico
adaptativo têm sido exploradas com frequência, entre elas, a teoria da seleção clonal e
maturação da afinidade e a teoria das redes imunológicas [7, 11, 17, 72, 99, 100].
3.2.1.1. Seleção Clonal e Maturação por Afinidade
O principio da seleção clonal, Figura 3.10, descreve as características básicas de
uma resposta imunológica (de algumas células do corpo) a um estímulo antigênico.
Essas células possuem receptores capazes de reagir, utilizando partes desse patógeno
chamadas de antígenos. Com essa estimulação as células imunológicas se proliferam
(expansão clonal), algumas liberam também altas taxas de anticorpos (moléculas
receptoras de antígenos), os quais podem ou não se combinar aos antígenos. Essa união
antígeno-anticorpo é posteriormente eliminada (destruída) por outras células imunes
[100].
Algumas das células que produzem anticorpos se tornam células de memória, ou
seja, células que possuem períodos prolongados de vida e que fazem com que os corpos
se tornem imunes aos patógenos que já desafiaram o sistema imune.
No momento da expansão clonal a mutação pode acontecer. Logo, uma
característica importante que deve ser destacada é a taxa inversamente proporcional ao
grau de reconhecimento (afinidade) que ocorre do anticorpo com o antígeno. Se a
afinidade entre o antígeno e o anticorpo for alta, a mutação deve ocorrer com uma taxa
menor e se a afinidade for baixa, implica numa taxa maior de mutação. Portanto, a
mutação varia no sistema imunológico dependendo da afinidade entre antígeno e
anticorpo [99]. Sendo conhecido como maturação da afinidade, o processo de mutação
controlada, seguido pela seleção e armazenamento em memória, das células com maior
afinidade ao antígeno.
Considerando que o sistema imunológico é um sistema distribuído por todo o
corpo, apenas as células que se encontram próximas ao antígeno serão estimuladas.
Outras células podem começar a interação com o antígeno, mas nem todas sofrerão o
estímulo [7, 99].
60
Figura 3.10. Princípio da Seleção Clonal [99].
A teoria da seleção clonal e maturação da afinidade forma um importante núcleo
da resposta imunológica adaptativa e vem sendo muito estudada e utilizada nos SIA’s
para o desenvolvimento de sistemas adaptativos para solução de problemas [7, 99].
3.2.1.2. Redes Imunológicas (RI)
A teoria de rede imune de Jerne [101] propõe que o SI possui um
comportamento dinâmico, mesmo na ausência de estímulos externos. Sugere que as
células e as moléculas do sistema imunológico são capazes de reconhecer umas as
outras, o que permite ao sistema possuir comportamento próprio que não depende da
estimulação externa. Apesar dos imunologistas, nos meados dos anos 70, não
confirmarem essa teoria, os seus aspectos computacionais são relevantes e Jerne [101]
afirma ser um modelo poderoso para sistemas computacionais.
De acordo com a teoria de rede imune, as moléculas receptoras contidas na
superfície das células imunes apresentam marcadores, denominados idiotopos, que
podem ser reconhecidos por receptores de outras células do sistema imunológico. Esses
idiotopos são encontrados ao redor e/ou nas mesmas quantidades dos receptores que
reconhecem antígenos não próprios [101]. O reconhecimento de idiotopos nas células
receptoras por outras células similares conduz a um crescimento de grupos de moléculas
e de células receptoras conectadas. Como resultado dos eventos de reconhecimento da
rede, sugere-se o reconhecimento de uma célula receptora por outra célula receptora, o
que resulta na rede de supressão (eliminação das células), enquanto que o
61
reconhecimento de um antígeno por uma célula receptora resulta numa rede de ativação
e proliferação celular [101-103].
Portanto, a dinâmica do SI está na regulação (geração de novas células
estimuladas e morte de células não estimuladas) e no reconhecimento entre as células do
sistema imunológico e de outras células, moléculas e antígenos [101-103].
3.2.2. Sistema Imunológico Artificial (SIA)
A computação evolutiva (CE) é a técnica computacional genérica adotada a
partir da progressão da vida biológica na natureza. Inicialmente, a CE, foi proposta
como uma abordagem para a inteligência artificial (IA) [8, 50, 104], mas que é utilizada
para resolver vários problemas numéricos e de otimização combinatória. Alguns
exemplos de algoritmos que derivam das técnicas de CE são a programação genética,
programação evolutiva e os algoritmos genéticos (AG) [8, 104, 105]. No entanto, todas
as técnicas de CE são de alguma forma, relacionadas entre si, ou seja, todos os
algoritmos necessitam de uma população de indivíduos para a inicialização dos
mesmos. Para avaliar necessita-se do valor de aptidão desses indivíduos, de forma a se
adequarem ao processo de seleção.
Os operadores de recombinação trocam materiais genéricos no intuito de ampliar
a variação nas sequências de soluções. Logo, esse procedimento é iterativo e não
termina até que uma solução que atenda as necessidades seja obtida [8, 104]. Uma
grande parte dos algoritmos evolutivos segue esse procedimento geral, mas difere
apenas na forma em que são apresentados tais aspectos.
Algoritmo imunológico (AI) ou Sistema Imunológico Artificial (SIA) é uma das
técnicas evolucionárias recentemente desenvolvidas e inspiradas pela teoria da
imunologia ou sistema imunológico (SI) [72]. Imunologia é a disciplina científica que
estuda a resposta dos SI’s, quando um padrão não próprio é reconhecido através dos
anticorpos [104]. As características gerais do SI são a memória imunológica (usada para
armazenar as soluções viáveis), hipermutação (usada para diversificar o processo de
busca) e receptor de edição (ajuda a escapar de ótimos locais) [104].
Em geral, o princípio de seleção clonal [7, 104] é utilizado para projetar os AI’s,
devido à sua organização e capacidade de aprendizagem, em paralelo a resolução de
problemas de otimização combinatória. Define-se, muitas vezes, que os antígenos são
limitações e que os anticorpos são as soluções candidatas nos problemas de otimização
62
[104]. O conceito geral de algoritmo imunológico evolutivo (AI) utilizado na literatura é
apresentado pelo pseudo-algoritmo [7, 11, 104]:
Início
Inicializar população (aleatoriamente)
Indivíduos (solução candidata)
Avaliação (função de fitness) para todos os anticorpos
Enquanto (critério de parada não satisfeito)
Selecione (anticorpos superiores da população inicial)
Clonagem com base no valor de fitness
Variação dos operadores nos clones (Hipermutação)
Avaliar novos anticorpos gerados
Seleção de anticorpos superiores
Criação da população da próxima geração
Fim
Durante a elaboração e execução de um algoritmo clonal (AC), deve-se levar em
consideração a diversidade da população durante o máximo de tempo possível. Assim,
como os outros algoritmos evolutivos, os AI’s também mantêm um conjunto de
soluções candidatas (anticorpos) por concentração no espaço de busca global para obter
a solução ótima global/local (ideal/próxima). No entanto, se a população abrange apenas
uma região muito estreita, isso leva a uma convergência prematura do algoritmo sem
acertar o alvo desejado, ou seja, a não exploração adequada do espaço de busca [104-
106]. AI’s devem ser definidos de tal forma que busquem o espaço de solução de forma
eficaz e rápida com custos computacionais reduzidos e requisitos de tempo.
Alguns aspectos básicos de um AI devem ser levados em consideração, alguns
deles são indispensáveis para a concepção de um algoritmo eficiente: (1) a
representação adequada da população, (2) a expansão clonal, (3) o mecanismo de
hipermutação, (4) o esquema de geração e (5) a memória imunológica. Uma pequena
alteração em algum desses aspectos (taxas, variáveis, etc.) pode proporcionar uma
melhoria, ou não, no desempenho dos AI’s [107-109].
Para o desenvolvimento de um algoritmo imunológico eficiente devem-se levar
em consideração duas forças essenciais: a teoria da seleção clonal e o mecanismo de
hipermutação [11]. A primeira mantém a qualidade da solução através da produção de
anticorpos com alta afinidade. A segunda é a implementação da hipermutação junto
com o receptor de edição, passando a ser considerado um operador de busca local, que
63
mantém a diversidade na solução. Isso é evidente, pois é o que permite a modificação e
transformação dos AI’s para a sua adequação, adaptação e solução eficazes em
problemas diferentes.
Cutello e Nicosia [107], analisaram o conceito de seleção clonal com operador
de hipermutação para o desenvolvimento de uma ferramenta computacional
denominada CLONALG [100, 102]. O CLONALG [102] foi desenvolvido inicialmente
para tarefas de aprendizado de máquina e reconhecimento de padrões, mas
posteriormente foi adaptado para solução de problemas de otimização, com ênfase em
otimização multimodal e combinatória [107].
Para o desenvolvimento e concepção de um algoritmo do tipo CLONALG
(básico) [102, 108], os principais aspectos imunológicos utilizados são: a seleção e
clonagem das células estimuladas em relação a um antígeno; a morte das células pouco
ou não estimuladas; maturação e seleção proporcional à afinidade; e a geração e
manutenção de diversidade [108], o que se traduz nos passos apresentados no
fluxograma da Figura 3.11:
1) Um conjunto de antígenos é apresentados para a população de anticorpos;
2) A medida de afinidade dos anticorpos em relação aos antígenos é calculada;
3) Os anticorpos com afinidade mais elevada do que os antígenos são
selecionados, gerando o subconjunto de anticorpos;
4) Os anticorpos selecionados serão clonados de acordo com a sua afinidade em
relação aos antígenos (aqueles que possuírem maiores afinidades irão gerar mais
clones), produzindo assim a população de clones;
5) A população de clones é submetida a um processo de maturação de afinidade
com uma taxa inversamente proporcional à afinidade dos clones (quanto maior a
afinidade, menor a taxa de mutação) e uma nova população de clones é produzida;
6) A nova população de clones é avaliada e sua medida de afinidade em relação
aos antígenos é calculada;
7) Os anticorpos maturados com maiores afinidades são selecionados para
compor a próxima geração da população, uma vez que a sua afinidade seja maior do que
a dos seus anticorpos originais;
8) Os piores anticorpos são removidos da população e substituídos por
anticorpos novos gerados aleatoriamente.
Esse processo se repete até que uma condição de parada (que pode ser o número
de gerações) seja atingida, [102].
64
Figura 3.11. Esquema de um algoritmo de seleção clonal, CLONALG [102].
O algoritmo aiNet é um modelo baseado em redes discretas [108]. Ele foi
aplicado com sucesso em diversos problemas de compressão de dados e agrupamento.
O aiNet tem sua inicialização com a geração de um pequeno número de células que são
geradas aleatoriamente. São introduzidos os padrões antigênicos, após a geração das
células iniciais, e as afinidades desses padrões são calculadas em relação a cada célula
(anticorpo) da rede. Anticorpos com afinidade alta são selecionados e reproduzidos
(proliferação) de acordo com sua afinidade, possuindo assim um número maior de
clones. Os clones sofrem uma taxa de mutação inversamente proporcional a sua
afinidade, de forma que clones com maior afinidade tem uma taxa de mutação menor.
Os que apresentarem maior afinidade serão selecionados e mantidos na rede (memória
clonal). A afinidade entre os anticorpos restantes é calculada, aqueles anticorpos em que
a afinidade for menor que um determinado valor serão retirados da rede (supressão). A
introdução e a morte de anticorpos da rede correspondem a metadinâmica do algoritmo
[108].
Pode-se destacar, com essa metadinâmica, a presença de características de
diversidade e uma maior exploração do espaço de busca no algoritmo aiNet [108].
Manutenção de soluções com ótimos locais e a população com tamanho dinâmico
também são características presentes no algoritmo.
Um algoritmo de sistema imunológico artificial pode ser composto de etapas
e/ou passos essenciais presentes tanto nos algoritmos de rede, quanto nos de seleção
65
clonal, porém, isso dependerá da capacidade de cada um em identificar e aplicar as
similaridades entre eles e adaptá-las ao seu problema.
A maioria dos SIA’s que se baseiam nos princípios da seleção clonal e na teoria
de redes imunológicas possui a estrutura básica apresentada no pseudo-algoritmo [99,
109]:
Início
Iniciar a população de anticorpos aleatoriamente;
Enquanto condição de parada não for satisfeita faça
Avaliar a população;
Clonar anticorpos;
Aplicar mutação nos clones;
Eliminar os clones com fitness menor que um limiar;
Eliminar anticorpos semelhantes;
Inserir aleatoriamente anticorpos na população
Fim do enquanto
Fim
Nele observa-se que uma população de indivíduos (anticorpos) é criada
aleatoriamente e nessa população contém as possíveis soluções para o problema. O
critério de parada do algoritmo é verificado, porém, caso ainda não tenha sido
alcançado, o fitness (aptidão) de cada indivíduo é calculado. Cada anticorpo dá origem a
um número determinado de clones, proporcional ao seu fitness, ou seja, quanto maior,
mais clones serão gerados. Cada clone passa, então, por um processo de mutação, cuja
taxa é inversamente proporcional ao fitness do clone. Calcula-se um novo fitness e os
clones com valores menores que um determinado limiar são eliminados. Por fim, novos
anticorpos são inseridos aleatoriamente na população para manter a diversidade e o
fluxo de execução retorna para a etapa de verificação da condição de parada. Espera-se
que, atingindo o critério de parada, o algoritmo tenha encontrado boas soluções para o
problema e que o número máximo de gerações e o número de gerações em que não
ocorre aperfeiçoamento do melhor indivíduo, sejam destacados entre os principais
métodos de parada.
Dentre as características comuns encontradas nos algoritmos SIA, destacam-se:
São baseados em um repertório (população) de anticorpos;
Foram inicialmente desenvolvidos para resolver problemas de aprendizagem da
máquina e reconhecimento de padrões;
Anticorpos individuais podem sofrer variações genéticas através de um
66
mecanismo de mutação proporcional a afinidade;
Todas as células apresentam o mesmo limiar de afinidade (quando ele é
considerado).
3.3. Evolução Diferencial (ED)
Dos algoritmos Bio-Inspirados este é um dos mais recentes estudados para
resolver problemas de otimização com parâmetros reais [110, 111]. O algoritmo de
evolução diferencial foi introduzido por Storn e Price [112], em 1995, os quais são os
pioneiros e desenvolvedores do método. O ED pode ser uma boa alternativa em
problemas de otimização, dentre elas, a sua utilização em otimizações com problemas
de eletromagnetismo [76, 77]. Esse algoritmo possui grande semelhança com o AG,
pois utiliza etapas similares, mas com uma das diferenças na ordem de execução das
etapas de mutação e cruzamento [111], Figura 3.12.
Figura 3.12. Esquema de um algoritmo de evolução diferencial [76, 77, 111-113].
O ED é um algoritmo evolutivo baseado em vetores e segundo Bergamaschi
[113] pode ser considerado como um aperfeiçoamento dos algoritmos genéticos. A
evolução diferencial realiza operações sobre cada componente (ou cada dimensão da
solução), diferente dos algoritmos genéticos. Nesse tipo de algoritmo quase tudo é feito
em termos de vetores e o ED pode ser usado para uma busca auto-organizada, voltada
para o ideal, ou seja, pode-se usar uma solução encontrada por outro método como
INÍCIO
FIM
PROBLEMAPOPULAÇÃO
INICIALFITNESS
FITNESS
CRUZAMENTO
MUTAÇÃO
SELEÇÃO
CRITÉRIO DE PARADA SATISFEITO?
SIM
NÃO
67
entrada para o ED e ele vai fazer uma busca mais refinada nas proximidades dessa
solução [76, 77, 111-113].
Os ED’s, basicamente, são determinados através das seguintes etapas:
a) Inicialização: indivíduos (conjunto inicial de vetores) são gerados aleatoriamente e
cada um desses representa uma possível solução para problema. Essa população é
alterada de forma a cobrir todo o espaço de busca, no caso de se conhecer as possíveis
soluções ou regiões promissoras. Na ausência de qualquer conhecimento acerca do
espaço de busca (regiões promissoras ou mesmo soluções parciais), utiliza-se uma
distribuição uniforme para a população inicial, gerando aleatoriamente uma nova
população;
b) Avaliação: consiste em avaliar as aptidões (fitness) da população corrente a fim de se
estabelecer de que forma elas resolvem, ou não, o problema proposto;
c) Mutação: o ED gera novos indivíduos através da adição da diferença ponderada entre
dois indivíduos aleatórios em relação a um terceiro, resultando em modificações na
população e dando origem um indivíduo novo, o qual é denominado como doador;
d) Cruzamento (crossover): nessa etapa, um vetor (indivíduo) denominado alvo é
cruzado (combinado) com o indivíduo doador, esse proveniente da etapa de mutação,
resultando num novo indivíduo, o qual denomina-se como experimental. É importante
ressaltar que cada indivíduo presente na atual população deve ser utilizado uma vez
como vetor experimental;
e) Seleção: o indivíduo experimental é avaliado e comparado com o indivíduo alvo,
caso o valor do seu fitness seja maior (maximização) o indivíduo alvo é substituído na
próxima geração, caso contrário, ele é mantido;
e) Atualização: a população é atualizada com novos indivíduos ao final de cada geração;
f) Finalização: nessa etapa são verificadas se as condições de encerramento do ED
foram atingidas. Em caso positivo, a execução é concluída.
Cada solução candidata no ED é representada pelo vetor xti = [xi,j]
t, com
i=1,...,np e j=1,...,D, no qual np é o tamanho da população num espaço D-dimensional
[76, 77, 111-113]. Por exemplo, se a função a ser otimizada possuir 2 dimensões,
teremos j=1,2. E uma vez que os indivíduos sofrem alterações ao longo do tempo, usa-
se t para indicar o tempo ou geração do indivíduo.
Após sua inicialização, a população sofre um processo de evolução, através de
operadores de mutação, cruzamento e seleção, detalhados nas Subseções 3.3.1 - 3.3.3.
68
3.3.1. Mutação
Para um dado problema de otimização D-dimensional com parâmetros D, uma
população de np vetores solução xi (i = 1,2, ..., np) é inicialmente gerada. Para cada
solução xi em qualquer geração t, é utilizada a notação:
xti=(x
t1,i, x
t2,i,..., x
tD,i) (3.6)
Esse vetor será considerado como um cromossomo do ED.
A mutação, Figura 3.13, é realizada como segue. Para cada vetor xi, em qualquer
momento ou geração t, primeiro são escolhidos aleatoriamente três vetores distintos xm
(o qual representa o melhor indivíduo), xq e xr , e em seguida é gerado o vetor doador
através da seguinte Equação (esquema de mutação) dada por:
vt+1
i=xtm+F(x
tq−x
tr) (3.7)
Na qual F é o fator perturbação, mas também é conhecido como peso diferencial, que é
uma constante real pertencente ao intervalo [0,2], porém na prática, quando F∈[0,1] o
algoritmo se mostra mais eficiente e estável [76, 77]. O fator de perturbação controla a
amplitude da diferença, ou seja, determina o tamanho do passo a ser dado na direção
definida pelo vetor diferença (xtq−x
tr) [76, 77, 111-113]. O tamanho da população np
deve ser np≥6. A perturbação w=F(xq−xr) para o vetor xm (melhor indivíduo) é
utilizada para gerar o vetor doador Vi, isso torna a perturbação direcionada e auto-
organizada [113].
Figura 3.13. Operador de mutação do ED, [76, 77, 111-113].
Para populações maiores que seis indivíduos é recomendado aumentar o número
de indivíduos nas diferenças a fim de garantir maior diversidade à população [113].
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x2
x5
x7
-
x5 - x7F ×
F × x5 - x7
+ V1
xm
xq
xr
69
Portanto, escolhem-se outros 2 vetores aleatoriamente xs e xh , e reescrevendo a
Equação 3.7 obtemos:
vt+1
i=xtm+F(x
tq−x
tr + x
ts−x
th) (3.8)
Com a finalidade de aumentar a diversidade, dos vetores de parâmetros mutados,
um procedimento similar ao crossover do AG é utilizado depois da etapa de mutação.
3.3.2. Cruzamento
O cruzamento é controlado por uma probabilidade Cr∈[0,1]. Essa etapa pode ser
realizada através de dois esquemas: o binomial (utilizado nesse trabalho) e o
exponencial [111]. O esquema binomial [112], Figura 3.14, executa cruzamentos em
cada um dos d componentes ou parâmetros/variáveis. Ao gerar um número aleatório
distribuído uniformemente ri∈ [0,1], o componente j de xi é definido da seguinte forma
ut+1
j,i=vt+1
j,i se ri≤Cr,
ut+1
j,i=xtj,i se ri>Cr, (j=1,2,...,d)
(3.10)
na qual ut+1
j,i , é o gene do indivíduo experimental Ut+1
j,i, que fará parte da população na
próxima geração, vt+1
j,i é o gene do individuo doador Vt+1
j,i e xtj,i é o gene do indivíduo
Xtm, escolhido para o cruzamento, Figura 3.14. O valor da probabilidade de cruzamento
determina quanto do indivíduo experimental vai ser perturbado pelo indivíduo doador,
por exemplo, se Cr =1, todos os genes do indivíduo experimental irão compor o do
indivíduo doador.
Figura 3.14. Operador de cruzamento do tipo binomial, [76, 77, 111-113].
70
Outro tipo de cruzamento que pode ser utilizado é o cruzamento do tipo
exponencial, Figura 3.15. Esse tipo de operador é parecido com cruzamento de dois
pontos do AG, ou seja, enquanto ri ≤ Cr, o gene do indivíduo experimental será o do
vetor doador e a partir do primeiro valor ri > Cr os genes do indivíduo experimental não
sofrerão alteração, ou seja, esse cruzamento é realizado nas variáveis, enquanto o
número aleatório ri for menor ou igual que a probabilidade de cruzamento Cr.
Figura 3.15. Operador de cruzamento do tipo exponencial, [76, 77, 111-113].
Portanto, na primeira vez que esse número aleatório ultrapassar o valor de Cr,
nenhum cruzamento é executado e as variáveis restantes são deixadas intactas, ou seja:
Enquanto ri ≤ Cr , Ut+1
j,i=Vt+1
j,i ;
Se ri > Cr, Ut+1
j,i=Xtj,m com j=(i+1),..., n
(3.11)
Em geral, quanto maior a taxa de cruzamento, maior a possibilidade de se ter
mais elementos (genes) do vetor mutante no vetor teste (cruzamento). A taxa de
cruzamento é geralmente escolhida dentro do intervalo [0,8; 1] [111].
Porém, como o objetivo desse estudo é conceber e adaptar algoritmos bio-
inspirados para otimização de estruturas fotônicas, é realizada uma variação mais ampla
dessa taxa de cruzamento, visando analisar o comportamento do ED no problema
proposto.
71
3.3.3. Seleção
O operador de seleção é o responsável por escolher indivíduos melhores que irão
compor a próxima geração. Porém, a evolução diferencial não utiliza, como em outros
algoritmos evolutivos, o elitismo e a seleção proporcional. Esse operador usa o custo,
valor de fitness, do vetor experimental Ut+1
e compara com o custo do vetor alvo Xtm
,
ou seja, se o custo do vetor experimental for maior que o custo do vetor alvo, então o
vetor experimental será escolhido para a próxima geração (no caso de maximização).
Caso contrário, o vetor Xtm (geração atual) continua na próxima geração.
Através de algum critério de parada (número de gerações ou o melhor encontrou
um valor dentro de uma precisão pré-estabelecida).
Se f(Ut+1
) > f(Xtm ) então X
t+1m será substituído por U
t+1
Se f(Ut+1
) ≤ f(Xtm ) então X
t+1m será substituído por X
tm
(3.12)
O ED, para que possa ter o desempenho e eficiência esperados, depende
principalmente de quatro fatores: tamanho da população np, da região de busca, da taxa
(probabilidade) de cruzamento Cr e do fator de perturbação (taxa de mutação) F.
3.3.4. Estratégias
A fim de facilitar qual tipo configuração o ED possuirá, é necessário definir qual é o
tipo estratégia a ser adotada. Dessa forma, foram criadas algumas representações de
acordo com as principais configurações possíveis do ED, que podem ser escritas como
DE/x/y/z [113]:
x- especifica o vetor a ser mutado, que pode ser "rand", se for um indivíduo
escolhido aleatoriamente ou "best" que é o melhor indivíduo da população;
y- determina o número de vetores diferença (direções) utilizados na etapa de
mutação;
z- indica o esquema de cruzamento adotado, pode ser exp (cruzamento
exponencial) ou bin (cruzamento binomial).
ED/rand/1/bin corresponde ao algoritmo apresentado nas seções anteriores e
representa a proposta clássica da evolução diferencial [113]. A escolha da estratégia é
feita de forma empírica e depende também do tipo de problema.
A Tabela 3.4 apresenta alguns dos principais tipos de estratégias encontradas na
literatura [76, 77, 111-113].
72
Tabela 3.4. Notação das estratégias de ED [76, 77, 111-113].
Mutação Notação
vt+1
i=xtqualquer+F(x
tq−x
tr) ED/rand/1/bin
vt+1
i=xtmelhor+F(x
tq−x
tr) ED/best/1/bin
vt+1
i=xtqualquer+F(x
tq−x
tr + x
ts−x
th) ED/rand/2/bin
vt+1
i=xtmelhor+F(x
tq−x
tr + x
ts−x
th) ED/best/2/bin
vt+1
i=xtqualquer+F(x
tq−x
tr) ED/rand/1/exp
vt+1
i=xtmelhor+F(x
tq−x
tr) ED/best/1/exp
vt+1
i=xtqualquer+F(x
tq−x
tr + x
ts−x
th) ED/rand/2/exp
vt+1
i=xtmelhor+F(x
tq−x
tr + x
ts−x
th) ED/best/2/exp
Portanto, o ED refere-se a um método interessante de otimização e que pode ser
aplicado à área de fotônica e eletromagnetismo, pois satisfaz alguns requisitos
interessantes, como:
1. Pode ser utilizado para trabalhar com funções de fitness (objetivo) não-lineares,
não-diferenciáveis e multimodais;
2. Passível de paralelização;
3. Acessibilidade - poucas variáveis de controle, cujos valores são ajustados de
maneira relativamente simples;
4. Auto-ajuste do passo de adaptação - conforme a população converge, os passos
são cada vez menores;
5. Convergência.
3.4. Algoritmos Bio-Inspirados Implementados
Nesse trabalho foram desenvolvidos algoritmos baseados na teoria da
computação bio-inspirada, escritos em MATLAB®, para serem aplicados na otimização
da banda fotônica proibida de cristais fotônicos compostos de materiais isotrópicos e
anisotrópicos, ambos imersos em ar e também na otimização da eficiência de
acoplamento de tapers entre guias com diferentes larguras e entre guias convencionais
(contínuo e reto) e não convencionais (segmentado e reto).
73
As primeiras estruturas utilizadas como aplicações nesse trabalho foram os
cristais fotônicos compostos de materiais isotrópicos ou anisotrópicos imersos no ar,
cujo problema é encontrar bandas fotônicas proibidas maximizadas. Para determinar e
otimizar a PBG, os algoritmos bio-inspirados mostraram-se uma boa opção, pois o
cálculo das bandas proibidas requer um tempo de computação relativamente longo, o
que torna inviável realizar uma varredura em todo o universo de possibilidades, que
corresponde a 210x10
, sendo que a célula unitária é dividida em 200 triângulos, Figura
2.4.
Desse modo, o AG e o algoritmo evolutivo baseado em SIA são escolhidos
porque foram anteriormente utilizados [12-16, 18, 19, 22-25, 30, 51, 63, 75, 78-82, 86]
para a solução de problemas eletromagnéticos, apresentando resultados significativos.
Particularmente, no SIA existe a possibilidade de encontrar novas soluções melhores, já
que esse tipo de algoritmo pode aumentar o espaço de busca, por possibilitar através da
clonagem e afinidade uma maior diversidade na população [17, 72, 102, 104, 108].
Para o cálculo das PBG’s, uma formulação baseada no FEM [3, 60, 80] e
apresentada no Capítulo 2, é utilizada. A primeira aplicação proposta dos algoritmos
desenvolvidos (início) foi obter PBG’s em apenas uma determinada polarização (TE ou
TM) para cristais compostos por silício e ar, problema considerado simples, mas que
serviu para validação dos algoritmos implementados. Também foi proposta a aplicação
dos algoritmos bio-inspirados (atualizados) para otimizar PBG’s absolutas (ambas as
polarizações simultaneamente) em cristais compostos por material isotrópico e por
anisotrópicos, ambos imersos em ar [3, 6, 14-16, 19, 79, 80, 26-30, 55-60, 63].
Cristais fotônicos compostos por silício e ar e também compostos por telúrio e ar
em ambos os arranjos (quadrado e triangular), considerando o problema inverso para os
modos transversais magnéticos e elétricos (TM e TE), são utilizados nos algoritmos
desenvolvidos nesse estudo, com o objetivo de comparar e de validar os mesmos com os
resultados obtidos na literatura [14-16,19, 26-30, 60].
As PBG’s para um determinado modo são obtidas utilizando como material
isotrópico o silício, que possui índice de refração 3,476n . São obtidas também
PBG’s absolutas, com o silício e também com o material anisotrópico uniaxial (telúrio),
o qual possui dois valores de índice de refração, 6,2en (extraordinário) e 4,8on
(ordinário) para comprimentos de onda entre 3,5μm e 35μm, os quais dependem do
modo de propagação (TE e TM) [14-16,19, 26-30, 60].
74
Os algoritmos bio-inspirados considerados, apenas para a maximização da
PBG de cristais fotônicos compostos por silício e ar, para modos separados TE ou
TM, possuem as seguintes etapas, como podem ser observadas nos fluxogramas da
Figura 3.16:
(a) (b)
(c)
Figura 3.16. Fluxograma do (a) Algoritmo Genético (AG) e (b) Algoritmo Baseado em SIA,
implementados e (c) representação do fitness em ambos os algoritmos.
a) Inicialização: a população inicial, em ambos os algoritmos, é gerada
aleatoriamente com distribuição uniforme e cada indivíduo é representado como uma
sequência binária, pois os cristais utilizados são compostos apenas por dois materiais
justificando o uso desse tipo de codificação. Logo, se um gene é "1", o respectivo
triângulo é composto por material, caso contrário, o triângulo considerado será
composto de ar, Figura 3.17. Considera-se uma célula unitária para cada malha, como
observado na Figura 2.4, as quais são divididas em 200 elementos triangulares com 441
nós, nos quais cada triângulo representa uma determinada posição em cada indivíduo.
75
Figura 3.17. Tipo de codificação implementada e a malha de FE da célula unitária de um cristal fotônico
dividida em 200 triângulos.
Portanto, cada indivíduo é composto de 200 genes (variáveis). Os tamanhos das
populações, considerados nas simulações, foram de 20 e 50 indivíduos, escolhidos
levando em consideração a quantidade de genes dos indivíduos, sabendo que
aumentando o tamanho da população, o custo computacional aumenta e o processo de
busca se torna mais lento, porém na literatura [15, 114] alguns autores relatam que um
bom tamanho de população seria entre 20 e 100 indivíduos. Portanto, para uma
população com 20 indivíduos, a matriz de dados seria de 200x20 e cada indivíduo
representa uma possível solução do problema.
Neste trabalho, utiliza-se também o gene sendo representando com 2 triângulos
adjacentes, o que chamaremos de elemento paralelogramo.
b) Fitness: o cálculo dos modos, Figura 3.16(c), é realizado utilizando uma
formulação baseada no método dos elementos finitos (FEM) no domínio da frequência
escrita em FORTRAN [18, 60, 75, 79, 80]. A aptidão de cada indivíduo é avaliada pela
função objetivo dada por:
superior inferior
media
E EFitness .
E
(3.6)
Na qual, Esuperior é o valor da frequência superior entre os modos, Einferior o valor da
frequência mínima e Emedia o valor médio 2superior inferiorE E . Os modos TE12 e TM12
são selecionados para a comparação e validação dos resultados com a literatura.
c) Seleção (SIA): 50% dos melhores indivíduos são selecionados para clonagem
e sua probabilidade de ser selecionado é proporcional à sua aptidão, a seleção por
ranking, é considerada. E a Seleção (AG): os indivíduos são selecionados para a
76
reprodução e a probabilidade de serem selecionados é proporcional à sua aptidão, a
seleção por roleta é considerada nesse caso.
d) Clonagem (apenas SIA): selecionados, os indivíduos são clonados de modo a
ter novamente o mesmo tamanho da população inicial, formando uma população
composta dos melhores indivíduos, essa etapa possibilita a melhoria significativa da
evolução do algoritmo [7, 51]. A taxa escolhida é de 50%, obtendo assim um número de
indivíduos relativamente aceitáveis "ótimos até o momento", que serão utilizados na
etapa de mutação.
e) Crossover (cruzamento) (somente AG): nessa etapa foram implementados
dois tipos de cruzamento, o cruzamento de dois pontos e o cruzamento do tipo
uniforme, com objetivo de avaliar o impacto desse operador no algoritmo implementado
e melhorar a evolução e os resultados. No cruzamento de dois pontos, Figura 3.18(a),
são sorteados os dois pontos de corte do par selecionado (cromossomos pais) e a partir
da junção dos pedaços de cada cromossomo pai, encontram-se os novos indivíduos
(filhos). Enquanto que no cruzamento uniforme, Figura 3.18(b), se for sorteado o
número um, o primeiro filho recebe gene da posição corrente do primeiro pai e o outro,
o do segundo pai. Mas, se o valor sorteado for zero, as atribuições serão invertidas.
(a) (b)
Figura 3.18. Operadores de cruzamento implementados, (a) dois pontos, as linhas representam os
pontos de corte e (b) uniforme, máscara binária determina os genes que irão formar os novos indivíduos.
f) Mutação (em ambos os algoritmos): ocorre sobre os indivíduos da matriz
resultante do cruzamento/clonagem. A posição do gene que vai sofrer a mutação é
sorteada de forma aleatória. A mutação implementada ocorre a cada 5 gerações.
g) Afinidade (apenas no SIA): os indivíduos que resultam da mutação são
avaliados por uma afinidade (proximidade) de 0,02, em relação aos indivíduos que
foram selecionados na etapa de seleção antes da clonagem, esse valor foi obtido após a
77
diferença média entre os melhores indivíduos de uma geração em relação aos indivíduos
da geração seguinte.
h) Elitismo (em ambos os algoritmos): é de grande importância, pois garante que
o melhor cromossomo permaneça na próxima geração, evitando uma possível redução
do fitness (aptidão) de seu novo cromossomo, afetando o processo de convergência. Os
três piores indivíduos da geração atual são substituídos pelos três melhores da geração
anterior.
i) Atualização (em ambos os algoritmos): os indivíduos criados em cada geração
são inseridos na população e, em seguida, atualiza-se a mesma para a próxima geração.
j) Fim (ambos): consideram-se como critério de parada 1000 gerações em todos
os casos.
Em Malheiros-Silveira e Rodriguez-Esquerre [14], os autores utilizam o AG no
intuito de otimizar as bandas fotônicas proibidas de um cristal composto de silício e ar,
com arranjos quadrados e triangulares para os modos de polarização TM12. A banda
fotônica proibida é calculada através dos nós da primeira zona de Brillouin [33].
Nessa primeira parte, é reproduzida a mesma aplicação que foi realizada em
[14], utilizando o silício como material, com o objetivo de validar, avaliar e comparar as
propostas, aqui apresentadas, de algoritmo genético (AG) e do algoritmo baseado em
sistema imunológico artificial (SIA).
O algoritmo evolutivo baseado em SIA desenvolvido Figura 3.16(b), para o caso
da PBG em apenas uma polarização, além das etapas de seleção (por ranking) e
clonagem, etapas que não são comuns ao AG, Figura 3.16(a), possui uma etapa de
afinidade. Etapa essa, em que os melhores indivíduos provenientes da mutação são
selecionados e comparados a partir da diferença entre seus valores de PBG, com os
selecionados antes da etapa de clonagem, obedecendo à tolerância de afinidade. Se o
indivíduo anterior for melhor que o obtido, o mesmo o substitui. Se não, o obtido é
conservado, realizando assim uma supressão dos piores.
Para o problema de maximização da PBG Absoluta, ambos os modos TE e
TM simultaneamente, de cristais fotônicos compostos por materiais
isotrópicos/anisotrópicos e ar, os algoritmos implementados anteriormente, Figura
3.16, foram atualizados e aperfeiçoados. No AG explora-se uma maior variação do
tamanho da população, o operador de cruzamento utilizado é o cruzamento do tipo
uniforme, Figura 3.18(b), a função de fitness foi modificada de forma a atender as
exigências do cálculo e avaliação das PBG's absolutas entre os modos TE e TM
78
simultaneamente, Figura 3.19(c), e também foram feitas alterações para a mutação
acontecer em todas as gerações.
Foram realizadas modificações no algoritmo baseado em SIA, Figura 3.16(b),
pois o mesmo não estava conseguindo evoluir corretamente para o problema das PBG’s
absolutas em cristais compostos por materiais isotrópicos/anisotrópicos e ar. Essas
modificações resultaram no desenvolvimento e implementação de dois algoritmos
evolutivos baseados em SIA’s, diferentes, o SIA-ALV e o SIA-AV, Figura 3.19, ambos
com etapas similares (inicialização, avaliação, clonagem, elitismo e atualização) ao
algoritmo baseado em SIA anteriormente apresentado na Figura 3.16(b), mas com
alterações e implementações nas seguintes etapas:
a) Seleção: no SIA-AV, após a realização do cálculo do fitness para cada
indivíduo da população, os 50% melhores indivíduos são selecionados para clonagem e
sua probabilidade de ser selecionado é proporcional à sua aptidão, a seleção por
ranking, é considerada. Enquanto que no SIA-ALV, o que possuir maior fitness é
selecionado para ser o antígeno e os demais serão os anticorpos, em seguida, é realizado
o cálculo da afinidade entre o antígeno e os anticorpos através da distância de Hamming
[7, 72] selecionando, assim, os indivíduos com características similares ao melhor
indivíduo da população gerada naquele momento. Os 50% melhores indivíduos que
satisfazerem os critérios estabelecidos são clonados.
b) Mutação: a mutação é realizada com a variação de taxas (0,5 - 5%) para cada
indivíduo e ocorre a cada geração. São mutadas algumas características de cada um
aleatoriamente, observando que a mutação não pode “destruir” radicalmente os
indivíduos selecionados até o momento, por esse motivo é realizada uma comparação
entre diferentes taxas de mutação. Essa variação de taxas de mutação é realizada de
acordo com valores encontrados na literatura [51, 103-105, 115], com a finalidade de
verificar quão influentes e impactantes são as mesmas nos resultados finais obtidos.
c) Afinidade: os indivíduos resultantes da mutação são avaliados de acordo com
uma afinidade (proximidade/similaridade) através da distância de Hamming,
selecionando assim os indivíduos com características similares aos melhores indivíduos
gerados até o momento. Os indivíduos com menor afinidade são descartados.
e) Elitismo: os piores indivíduos são substituídos pelos melhores da geração
anterior.
79
(a) (b)
(c)
Figura 3.19. Fluxograma dos algoritmos evolutivos baseados em Sistemas Imunológicos Artificiais
implementados, (a) SIA-AV e (b) SIA-ALV, e (c) fitness utilizado, para o cálculo da PBG absoluta, pelos
algoritmos.
O SIA-AV difere do SIA-ALV na etapa de seleção, a qual é realizada por Rank
no primeiro e substituída pela distância de Hamming no segundo, respectivamente,
promovendo uma comparação nos algoritmos evolutivos baseados em SIA's
implementados. Aqui, os algoritmos SIA-AV e SIA-ALV são algoritmos evolutivos
desenvolvidos a partir de ideias e etapas desenvolvidas em algoritmos genéticos e
algoritmos de sistemas imunológicos artificiais, com a característica básica de manter
fixo o tamanho da população ao longo das gerações.
Para os problemas de maximização da eficiência de acoplamento de tapers,
contínuo e segmentado, os algoritmos implementados anteriormente, AG Figura
3.16(a) e SIA-ALV Figura 3.19(b), são utilizados. No AG além da variação do tamanho
da população é considerado o operador de cruzamento do tipo uniforme, Figura 3.18(b),
80
a função de fitness (eficiência de acoplamento), para ambos os algoritmos, foi
modificada de forma a atender as exigências do cálculo e avaliação da eficiência de
acoplamento dos tapers resultantes, Figura 3.20(b).
Saída
Entrada Saída
Entrada
PFitness , com P P
P
(3.7)
na qual o EntradaP é a potência na entrada, modo fundamental com largura de 7μm no
taper contínuo e 0,3μm para o taper segmentado, SaídaP é a potência resultante na saída.
Um algoritmo de evolução diferencial (ED) foi concebido, Figura 3.20(a), e o
mesmo possui bastante similaridade com o AG da Figura 3.16(a), porém com alteração
na ordem em que acontecem o cruzamento e a mutação. O ED não foi aplicado no
presente trabalho para otimização da PBG de cristais fotônicos, porque essa aplicação já
foi realizada [63], com comparações de ED e AG.
No presente estudo, aplica-se o ED, assim como o AG com cruzamento
uniforme e o SIA-ALV na otimização da eficiência de acoplamento de tapers contínuos
e tapers segmentados, pois ainda não há trabalhos envolvendo computação bio-
inspirada e esse tipo de problema (eficiência de acoplamento de tapers).
(a) (b)
Figura 3.20. (a) Fluxograma do Algoritmo de Evolução Diferencial, implementado e (b) fitness utilizado
para o cálculo da eficiência de acoplamento.
O tipo de estratégia aqui adotada para o ED foi escolhida de forma empírica,
testando e alterando o algoritmo até encontrar melhores resultados, ou seja, maiores
valores da eficiência de acoplamento. Desse modo, foi adotado o ED com a estratégia
81
ED/best/2/bin, isso significa que o cruzamento é do tipo binomial e o vetor doador será
da seguinte maneira:
vt+1
i=xtqualquer+F(x
tq−x
tr + x
ts−x
th) (3.8)
As etapas que compõem o ED, Figura 3.20, proposto nesse trabalho são:
1) Inicialização e Fitness: são os mesmos realizados no AG uniforme e SIA-
ALV. É gerada aleatoriamente uma população de configurações de tapers, esses são
transformados em malhas de elementos finitos através do software GiD® e depois são
calculados os campos dessas estruturas com o programa FEM-2D [20, 43, 44], que por
sua vez devolve os valores das eficiências de acoplamento da potência de cada estrutura.
Como o objetivo é maximizar essa eficiência, esses resultados são os valores de fitness
de cada indivíduo.
2) Mutação: o indivíduo doador é proveniente da perturbação do melhor
indivíduo por dois pares de diferenças ponderadas Equação (3.8), já que foram
utilizados tamanhos de população relativamente altos (maior ou igual a 10). Para
executar essa etapa, é necessário tratar com números reais a matriz população. No AG e
SIA-ALV a matriz população é binária, porém foi utilizada uma codificação de binário
para real (implementada nesse trabalho, escrita em MATLAB® e apresentada a seguir),
pois o software GiD® recebe valores reais para construção das malhas.
Npedaco=quantidade de seções do TAPER
Npedaco =tamanho da população
Preal=zeros(Npedaco,Tpopulacao);%%% inicializacao da matriz que ira
conter os valores decodificados com dimensao NpedacoXNpedaco
for j_inicial = 1:Tpopulacao
a_inicial=1;
for i_inicial = 1:Npedaco
conjunto_inicial =Pbinario(a_inicial:a_inicial+7, j_inicial);
Pdecimal(i_inicial,j_inicial) = bi2de(conjunto_inicial');
a_inicial=a_inicial+8;
end
Pdecimal;
for iLreal=1:Npedaco;
%%para o taper segmentado
Preal(iLreal,j_inicial)=((0.240/256)*Pdecimal(iLreal,j_inicial)+0.03);
%%para o taper continuo
Preal(iLreal,j_inicial)=((8/256)*Pdecimal(iLreal,j_inicial)+0.1);
end
end
Preal;
No ED, a população é gerada com números reais positivos, sem a necessidade de
utilizar transformações entre um passo e outro do algoritmo, os bons genes devem ser
mantidos;
82
3) Cruzamento: é escolhido o cruzamento binomial. A variação do valor da
probabilidade de cruzamento é apresentada e discutida no Capítulo 4.
Um outro parâmetro que foi variado do ED é o fator de perturbação, de forma a
auxiliar na obtenção da configuração mais eficaz para os problemas aplicados.
Informações complementares do AG, algoritmo evolutivo baseado em SIA e do
ED, para a aplicação dos tapers são detalhadas no Capítulo 4.
Conclusão do Capítulo
Foi apresentada a teoria dos algoritmos Bio-inspirados (AG, SIA e ED) que
fazem parte desse trabalho. Origem, suas definições, similaridade com processos
existentes na natureza, ideias de algoritmos básicos e clássicos, as principais variáveis e
parâmetros, as principais vantagens e desvantagens, os passos necessários para o
desenvolvimento e implementação dos mesmos.
Os algoritmos baseados em sistemas imunológicos artificiais, devido as suas
características, podem prover melhores soluções e convergência dos resultados, através
da variação de seus parâmetros e taxas, fato esse que será evidenciado no Capítulo 4.
Os algoritmos implementados, AG, SIA-AV, SIA-ALV e ED, foram
apresentados através dos respectivos fluxogramas, com os seus respectivos passos.
83
Capítulo 4
4. Resultados Encontrados e Publicações Associadas
Nesse capítulo, são apresentados os resultados encontrados pelos algoritmos AG
com cruzamento de dois pontos, AG com cruzamento do tipo uniforme, algoritmo
evolutivo baseado em SIA (AV e ALV) e ED, implementados, em paralelo, com a
comparação dos mesmos com os resultados encontrados na literatura e as respectivas
publicações associadas.
São consideradas simulações com estruturas compostas por material isotrópico (o
índice de refração é o mesmo em qualquer direção), silício com índice de refração
n=3,476, com o objetivo de validar e comparar os algoritmos desenvolvidos com a
literatura [14, 33]. Após a validação dos mesmos e melhorias realizadas no algoritmo
SIA, possibilitou-se a concepção de dois algoritmos evolutivos baseados em sistemas
imunológicos artificiais, o SIA-AV e o SIA-ALV, Figura 3.19, os quais se diferem em
etapas como afinidade e seleção, mencionadas, anteriormente, no Capítulo 3. O material
utilizado é o anisotrópico uniaxial (o índice de refração depende do modo de
propagação), telúrio que, devido às suas propriedades, possui dois índices de refração: o
ordinário no=4,8 e o extraordinário ne=6,2.
Também são apresentados os resultados das otimizações da eficiência de
acoplamento dos tapers contínuos e dos tapers segmentados, propostos através da
associação do software GiD®, programa FEM-2D [20, 43, 44] e dos algoritmos ED,
SIA-AV e ALV, AG com cruzamento uniforme e a comparação dos resultados obtidos
com alguns encontrados na literatura. Todos os algoritmos foram concebidos e
utilizados no MATLAB®.
4.1. Material Isotrópico (Si e ar)
No início da simulação de ambos os AG’s foram utilizadas populações
compostas por 20 e 50 indivíduos, gerados de forma aleatória com distribuição
uniforme. Existe também a possibilidade de adicionar alguns cromossomos iniciais com
banda proibida, a fim de acelerar a convergência. Além disso, é possível iniciar o
processo a partir do estado final de outra simulação. Caso a convergência apresente
84
algum problema, é possível o ajustamento de alguns parâmetros, pois o tamanho da
população continua a mesma ao longo de todas as gerações [14].
É utilizada a seleção por Roulette Wheel [7, 83, 85, 86, 97] e não se permite que
a seleção dos mesmos pais ocorra mais de uma vez na mesma geração. O crossover é
feito em posições aleatórias dos cromossomos, assim como o tamanho do pedaço do
cromossomo a ser modificado, permitindo uma população com alta diversidade.
Considera-se dois tipos de genes, o gene representado por dois triângulos adjacentes da
malha apresentada anteriormente, Figura 2.4, formando assim elementos
paralelogramos, e o gene representado por apenas um triângulo, que é chamado de
elemento triângulo.
O crossover implementado em [14] e no AG inicial desenvolvido nesse trabalho,
é denominado de “dois pontos”, devido à sua característica apresentada na Figura
3.18(a). Após estudos, implementou-se um outro tipo de crossover, denominado de
“uniforme” devido às suas características. Para cada gene é sorteado um número zero ou
um (criando uma máscara), se for sorteado o número um, o primeiro filho recebe gene
da posição corrente do primeiro pai e o outro o do segundo pai. Mas, se o valor sorteado
for zero, as atribuições serão invertidas, Figura 3.18(b).
Esse operador tende a conservar esquemas longos da mesma forma que preserva
esquemas de menor comprimento, desde que ambos tenham a mesma ordem. Devido ao
fato de fazer um sorteio para cada posição, esse crossover tem uma grande possibilidade
de estragar todo e qualquer esquema, mas em média o seu desempenho é superior ao
dos seus antecessores [7, 11, 51].
O número de características que podem ser efetivamente transferidas aos
descendentes, usando-se o crossover de dois pontos, aumenta de forma considerável.
No entanto, é observado que ele é ainda maior utilizando o operador de crossover
uniforme.
A mutação utilizada em ambos os AG’s acontece em intervalos definidos,
alterando o valor de alguns genes dentro do cromossomo. O elitismo é de grande
importância, porque o melhor cromossomo permanece na próxima geração, evitando
uma possível redução da aptidão de seu novo cromossomo, a qual afetaria o processo de
convergência.
A PBG do modo TE12 com arranjo quadrado e TM12 com o arranjo triangular foi
analisada, utilizando em cada um deles elemento do tipo paralelogramo (dois triângulos
85
adjacentes com mesmo material) e do tipo triângulo, como realizado em [14]. O critério
de parada adotado é o número de gerações igual a 1000.
As evoluções dos melhores indivíduos encontrados para todos os experimentos
com o AG, com cruzamento de dois pontos e com o uniforme, simulados, são
apresentadas nas Figuras 4.1 e 4.2. Em todos os casos o AG uniforme atingiu PBG’s
mais elevadas que os demais, alcançando o valor ótimo em menos gerações que os
demais, porém o AG de dois pontos também conseguiu valores expressivos.
(a) (b)
Figura 4.1. Evolução do melhor indivíduo do cristal com material isotrópico e arranjo quadrado para o
modo TE12: (a) população com 20 indivíduos e (b) população com 50 indivíduos.
(a) (b)
Figura 4.2. Evolução do melhor indivíduo do cristal com material isotrópico e arranjo triangular para o
modo TM12: (a) população com 20 indivíduos e (b) população com 50 indivíduos
Na Tabela 4.1, são observadas as configurações e os seus respectivos valores de
PBG’s otimizadas encontradas através do AG com cruzamento uniforme e de dois
pontos, com populações diferentes, além de possibilitar uma comparação com os
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
BA
ND
A F
OT
ÔN
ICA
PR
OIB
IDA
GERAÇÕES
dois pontos-paralelogramo
uniforme-paralelogramo
dois pontos-triângulo
uniforme-triângulo
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
BA
ND
A F
OT
ÔN
ICA
PR
OIB
IDA
GERAÇÕES
dois pontos-paralelogramo
uniforme-paralelogramo
dois pontos-triângulo
uniforme-triângulo
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
BA
ND
A F
OT
ÔN
ICA
PR
OIB
IDA
GERAÇÕES
dois pontos-paralelogramo
unforme-paralelogramo
dois pontos-triângulo
unfiorme-triângulo
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
BA
ND
A F
OT
ÔN
ICA
PR
OIB
IDA
GERAÇÕES
dois pontos-paralelogramo
unifome-paralelogramo
dois pontos-triângulo
uniforme-triângulo
86
valores encontrados em [14], que também utilizou o mesmo número de elementos, 200
triângulos, na malha da célula unitária do cristal.
Tabela 4.1. Comparação dos Valores de PBG obtidos (%)
Cristal com Arranjo Quadrado (TE12)
20 indivíduos 50 indivíduos
Elemento
Paralelogramo Elemento Triângulo
Elemento
Paralelogramo Elemento Triângulo
[14] Dois
Pontos Uniforme
Dois
Pontos Uniforme
Dois
Pontos Uniforme
Dois
Pontos Uniforme
29,80 30,95 31,67 29,20 34,32 26,49 31,37 27,06 34,25
Cristal com Arranjo Triangular (TM12)
20 indivíduos 50 indivíduos
Elemento
Paralelogramo Elemento Triângulo
Elemento
Paralelogramo Elemento Triângulo
[14]
Dois
Pontos Uniforme [14]
Dois
Pontos Uniforme
Dois
Pontos Uniforme
Dois
Pontos Uniforme
47,85 48,09 49,18 48,09 48,51 51,74 44,81 49,20 42,27 51,65
A partir da análise dos gráficos de evolução e da Tabela 4.1, foi possível validar
os AG’s concebidos, pois os valores obtidos foram maiores que os maiores valores
encontrados em [14] para o mesmo problema. Porém, esse estudo proporcionou, além
da comparação com a literatura, uma comparação entre tamanhos diferentes de
população e entre o impacto da modificação do operador de cruzamento uniforme em
relação ao de dois pontos, sendo essa etapa uma das contribuições do trabalho.
Os melhores cristais otimizados resultantes, Figuras 4.3-4.6, são similares,
porém, uma pequena alteração em suas geometrias e disposição dos materiais possibilita
o aumento ou a redução das bandas fotônicas proibidas dessas estruturas cristalinas,
como observado na Tabela 4.1.
(a) (b)
Figura 4.3. Cristais fotônicos resultantes com arranjo quadrado e elementos triângulos para o modo TE12
com população de 20 indivíduos, AG (a) dois pontos e (b) uniforme.
87
(a) (b)
Figura 4.4. Cristais fotônicos resultantes com arranjo quadrado e elementos triângulos para o modo TE12
com população de 50 indivíduos, AG (a) dois pontos e (b) uniforme.
(a) (b)
Figura 4.5. Cristais fotônicos resultantes com arranjo quadrado e elementos triângulos para o modo TM12
com população de 20 indivíduos, AG (a) dois pontos e (b) uniforme.
(a) (b)
Figura 4.6. Cristais fotônicos resultantes com arranjo quadrado e elementos triângulos para o modo TM12
com população de 50 indivíduos, AG (a) dois pontos e (b) uniforme.
Nota-se também que as estruturas com arranjo triangular e elemento triangular
possuem os maiores valores de PBG’s. Apresentam-se na Tabela 4.2, os valores de
tempo médio de simulação dos algoritmos AG uniforme e AG de dois pontos,
respectivamente. Como um dos objetivos de uso da computação bio-inspirada, além de
88
encontrar os melhores resultados, é a redução do esforço computacional. Logo, pelos
valores de tempo exibidos, o operador de cruzamento do tipo uniforme, além de obter
os melhores resultados, possui o menor tempo de processamento por geração. Todas as
simulações foram realizadas no mesmo computador e sob as mesmas condições.
Tabela 4.2. Tempo médio de processamento médio para cada geração.
Cristal com Arranjo Quadrado
Dois pontos Uniforme
20
indivíduos
50
indivíduos
20
indivíduos
50
indivíduos
Elemento
paralelogramo
1min 42s 3min 36s 1min 30s 3min 24s
Elemento triângulo 1min 12s 3min 24s 1min 18s 3min 12s
Cristal com Arranjo Triangular
Dois pontos Uniforme
20
indivíduos
50
indivíduos
20
indivíduos
50
indivíduos
Elemento
paralelogramo
2min 5min 2min 18s 5min 18s
Elemento triângulo 2min 4min 56s 2min 5min
Após esses resultados utilizando AG's, realizaram-se modificações nos códigos,
troca do método de seleção para a seleção por Ranking, a substituição do operador de
cruzamento por um operador de clonagem, uso de uma afinidade entre os indivíduos, a
mutação acontecendo em todas as gerações com taxas de variação, a fim de desenvolver
um algoritmo evolutivo com características de AG e SIA, simultaneamente. Essas
modificações transformaram o algoritmo evolutivo baseado em sistemas imunológicos
artificiais com seleção clonal (SIA-AV), anteriormente apresentado, Figura 3.19.
Após a concepção do SIA-AV, foi realizada uma comparação entre os melhores
indivíduos do AG (uniforme), AG (dois pontos) e do SIA-AV, com material isotrópico
e ar. Todos com populações iniciais de 20 indivíduos, elemento triângulo (pois
proporciona maior grau de liberdade de disposição dos materiais nas estruturas) para
arranjos quadrado e triangular, os quais são escolhidos por apresentarem os melhores
resultados anteriormente, Figuras 4.7 e 4.8. Nelas são observadas uma convergência e
evolução mais rápidas no AG (uniforme) e no SIA-AV.
89
Figura 4.7. Evolução do melhor indivíduo para o cristal com arranjo quadrado e população de 20
indivíduos, para o AG (dois pontos), AG (uniforme) e SIA-AV.
Figura 4.8. Evolução do melhor indivíduo para o cristal com arranjo triangular e população de 20
indivíduos, para o AG (dois pontos), AG (uniforme) e SIA-AV.
Os cristais obtidos com o AG, com crossover uniforme e dois pontos e com o
SIA-AV são apresentados nas Figuras 4.9 e 4.10. Em todos os casos, as estruturas finais
são semelhantes, mais uma vez, provando que uma pequena alteração na disposição de
elementos nos cristais, pode aumentar ou reduzir significativamente os valores de
PBG’s. Os respectivos resultados obtidos, com os valores de PBG’s, são apresentados
na Tabela 4.3.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
BA
ND
A F
OT
ÔN
ICA
PR
OIB
IDA
GERAÇÕES
AG cruzamento de dois pontos
AG cruzamento uniforme
SIA
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
BA
ND
A F
OT
ÔN
ICA
PR
OIB
IDA
GERAÇÕES
AG cruzamento de dois pontos
AG cruzamento uniforme
SIA
90
(a) (b) (c)
Figura 4.9. Cristais Fotônicos otimizados para o modo TE12 com arranjo quadrado com elementos
triângulos com 20 indivíduos através de (a) AG (dois pontos), (b) AG (uniforme) e (c) SIA-AV.
(a) (b) (c)
Figura 4.10. Cristais Fotônicos otimizados para o modo TM12 com arranjo triangular com elementos
triângulos com 20 indivíduos através de (a) AG (dois pontos), (b) AG (uniforme) e (c) SIA-AV.
Tabela 4.3. Comparação dos valores das Bandas Fotônicas Proibidas com elementos triângulos (%).
Cristais com Arranjo Quadrado (TE12)
Dois Pontos [14] Uniforme SIA-AV
29,2 29,8 34,32 33,64
Cristais com Arranjo Triangular (TM12)
Dois Pontos [14] Uniforme SIA-AV
48,51 48,09 51,74 51,31
Nota-se que o AG com o crossover uniforme e o SIA-AV possuem resultados
melhores do que o AG com o crossover de dois pontos. Isso pode ser atribuído a maior
diversidade dada à população através do AG (uniforme) e do SIA-AV, o que permitiu
ampliar o espaço de busca e localizar novos pontos ótimos. Os melhores resultados
ficaram evidentes para o arranjo triangular, no qual a banda fotônica proibida
apresentou ganhos mais significativos em relação ao cruzamento de dois pontos e a
literatura [14].
Após a análise anterior, apenas para o modo TM e TE, separados, foi realizada a
91
otimização da PBG absoluta, TE e TM simultâneos, problema esse que exige maior
esforço computacional que o anterior.
A maximização da PBG absoluta é explorada em Rezaei et al. [27, 28] e
Khalkhali et al. [31] com cristais fotônicos [32], utilizando o telúrio com diferentes
arranjos e considerando várias geometrias regulares no interior dos cristais, tais como,
circular, triangular, elíptico, retangular e formas quadradas. Nesses casos, o método de
expansão de ondas planas (PWE) foi utilizado. Em Rodriguez-Esquerre et al. [60] e Lin
e Jao [116], a propagação da luz no plano dos cristais fotônicos com arranjos
bidimensionais foi estudado usando o FEM no domínio da frequência, cujos resultados
mostraram concordância com a utilização do método de PWE. O FEM é uma
representação numérica flexível e uma técnica eficiente de modelagem de dispositivos
não-homogêneos e estruturas complexas. Para o cálculo da PBG, uma formulação
baseada em FEM [3, 18, 60, 74, 79, 80, 117] e apresentada no Capítulo 3 é utilizada.
Embora a estratégia proposta seja aplicada para se obter PBG absoluta em materiais
anisotrópicos uniaxiais, o método pode ser utilizado em problemas mais simples ou
mais complexos, tais como, o caso isotrópico que é apresentado nessa subseção e
também considerando apenas uma polarização [118], como apresentado para o modo
TM e TE, anteriormente.
A otimização da PBG absoluta, usando algoritmos bio-inspirados, algoritmos
evolutivos baseados em sistemas imunológicos artificiais, SIA-AV e SIA-ALV, e AG
(uniforme), para cristais fotônicos compostos de silício e ar, com índices de refração,
3,476Sin e 1,0arn , respectivamente, entre os modos TE12 e TM23, é realizada com
o arranjo triangular, pois este tipo de arranjo apresentou nas simulações resultados mais
promissores que o arranjo quadrado, seguindo a análise realizada por Joannopoulos et
al. [33]. Os algoritmos bio-inspirados, SIA-AV, SIA-ALV e AG (uniforme) foram
explicados e apresentados no Capítulo 3. Aqui, para a validação da aplicação, com
cristais fotônicos compostos de silício e do ar, o tamanho das populações utilizadas no
AG varia de 10 a 100 indivíduos, e são apresentados os resultados na Figura 4.11. Para
os SIA's AV e ALV utiliza-se em ambos uma população inicial de 20 indivíduos, com
taxas de mutação iguais de 1%, a fim de identificar o que mais se adapta a esse
problema, e os resultados são apresentados na Figura 4.12.
Na Figura 4.11 é apresentada a evolução dos melhores indivíduos do AG em
1000 gerações, variando o tamanho da população entre 10 e 100 indivíduos. Nota-se
92
que à medida que aumenta o tamanho da população o AG tende a estagnar e exigir
maior esforço computacional, já que o cálculo das bandas é realizado mais vezes e não
consegue evoluir da mesma maneira que as populações de 10, 20 e 30. Logo, a
população com 10 indivíduos para o AG é a ideal, para esse problema, pois obteve
17,05% de PBG absoluta. Isso se deve ao fato de que o desempenho do algoritmo
genético é extremamente sensível ao tamanho da população [96], ou seja, se o número
for pequeno demais, o algoritmo pode ser incapaz de encontrar boas soluções e se esse
número for muito grande, o algoritmo, além de demorar mais para concluir uma
geração, mais demorado será conseguir uma resposta, o mesmo pode ainda se aproximar
de uma busca exaustiva [96]. Logo, ficou claro que a não se deve aumentar o tamanho
da população indiscriminadamente e que o tamanho ideal da população de um algoritmo
genético depende também do problema proposto.
Figura 4.11. Evoluções dos diferentes tamanhos da população do AG em função do melhor indivíduo e do
número de gerações para o Arranjo Triangular, no problema da PBG absoluta de cristais compostos por
material isotrópico imerso em ar.
Na Fig. 4.12, pode ser observada a evolução dos algoritmos evolutivos (SIA's
AV e ALV) em 1000 gerações, como definido anteriormente. Nota-se que o SIA-ALV
atingiu maior valor de PBG absoluta que o SIA-AV, sendo que o último estagnou em um
valor máximo local por volta de 600 gerações. As respectivas células unitárias são
apresentadas como inserções na Figura 4.12 e os respectivos cristais resultantes na
Figura 4.13. As estruturas são bastante semelhantes.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
PB
G A
BS
OL
UT
A
GERAÇÕES
10 20 30
40 50 100
93
(a) (b) Figura 4.12. Evolução do fitness do melhor indivíduo encontrado e a respectiva célula unitária resultante
(como inserção na figura) para o arranjo triangular (a) SIA-AV 17,53% e (b) SIA-ALV 18,81%,
respectivamente.
(a) (b)
Figura 4.13. Estruturas cristalinas otimizadas para o arranjo triangular (a) SIA-AV e (b) SIA-ALV,
respectivamente, (PBG absoluta silício).
Na Figura 4.13, podem ser observados os cristais resultantes otimizados
encontrados pelos algoritmos bio-inspirados, SIA-AV e SIA -ALV, pois foram os que
apresentaram maiores valores de PBG absoluta. As estruturas encontradas são
semelhantes às apresentadas em Joannopoulos et al. [33], o qual utiliza cilindros
perfeitos com o fator de preenchimento r/a = 0,48. Na qual r/a significa a relação entre o
raio dos furos de ar (cilindros ou buracos) e a constante de arranjo. As regiões escuras
são silício.
É apresentada na Figura 4.14 a evolução dos melhores indivíduos obtidos pelo
SIA-ALV, com populações de 10 e 20 indivíduos, variando as taxas de mutações em
ambos os casos, em função do número de gerações. Nota-se que para 10 indivíduos,
Figura 4.14 (a), a taxa de mutação que proporcionou melhor convergência e maior valor
de PBG absoluta foi a de 0,5%, enquanto que para a população de 20 indivíduos, Figura
0 200 400 600 800 10000.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Fitn
ess
Generations
PB
G A
BS
OL
UTA
GERAÇÕES
0 200 400 600 800 10000.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Fitness
GenerationsGERAÇÕES
PB
G A
BS
OL
UTA
94
4.14 (b), o melhor valor foi obtido com a taxa de 1%.
(a)
(b)
Figura 4.14. Evoluções das diferentes taxas de mutação em função do melhor indivíduo e do número de
gerações para o Arranjo Triangular com SIA-ALV (a) 10 com 19,13% e (b) 20 indivíduos com 18,86%,
respectivamente.
Essa análise proporcionou uma comparação entre o AG e o SIA-ALV com o
resultado encontrado na literatura em Joannopoulos et al. [33], que pode ser observada
na Tabela 4.4. Essa comparação valida o método utilizado, AG e SIA-ALV, por
encontrar estruturas com valores de PBG absolutas maiores. Isso se deve ao fato de que
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
PB
G A
BS
OL
UT
A
GERAÇÕES
0,5% 1% 2% 3% 4%
5% 6% 7% 8% 9%
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
BA
ND
A F
OT
ÔN
ICA
PR
OIB
IDA
AB
SO
LU
TA
GERAÇÕES
0.5% 1% 2% 3% 4%
5% 6% 7% 8% 9%
95
em [33] foram consideradas estruturas de fácil fabricação, por se tratarem de cilindros
perfeitos de ar no silício, enquanto que as estruturas encontradas pelos algoritmos desse
trabalho apresentam um aumento ou redução da PBG absoluta à medida que se remove
ou insere triângulos de silício na malha da estrutura, indicando assim que uma pequena
alteração de material ou geometria influencia diretamente na PBG dos cristais.
Tabela 4.4. PBG Absoluta e número de canais para o Arranjo Triangular.
Cristal Composto por Silício e Ar
Joannopoulos et al. [33] AG SIA-ALV
18.00% 17,05% 19,13%
Quantidade de Canais DWDM suportados
Joannopoulos et al. [33] AG SIA-ALV
350 338 385
Na próxima subseção é realizado um estudo mais detalhado com os SIA's AV e
ALV (variando o tamanho da população e taxas de mutação em ambos), pois
apresentaram valores mais significativos para esse tipo de problema, utilizando material
anisotrópico uniaxial e ar.
Foi realizado também o cálculo do número de canais suportados pelos melhores
cristais otimizados e da estrutura encontrada em Joannopoulos et al. [33], no sistema
DWDM (espaçamento entre canais de 0,8nm), Tabela 4.4. Nota-se que a estrutura com
maior PBG absoluta encontrada pelo SIA-ALV, suporta uma maior quantidade de
canais que as demais, tornando-a uma ótima candidata para a fabricação de dispositivos
de Telecomunicações.
Na Figura 4.15, são apresentados os diagramas de dispersão das estruturas
encontradas pelo AG, pelo SIA-ALV e encontradas em Joannopoulos et al. [33]. Nota-
se que as faixas de PBG's estão aproximadamente na mesma faixa de frequência (entre
0,4 e 0,5 nos diagramas), porém a faixa encontrada com o cristal otimizado pelo SIA-
ALV possui uma faixa mais larga que as demais. Como citado no Capítulo 2, é de suma
importância a construção e comparação dos diagramas de dispersão, pois é através dos
mesmos que se pode visualizar as regiões ou faixa de frequências em que o cristal não
permite a propagação da luz.
96
(a) (b) (c)
Figura 4.15. Diagramas de dispersão para os modos TE e TM do arranjo triangular encontrados com (a) o
AG, (b) o SIA-ALV e o encontrado em (c) Joannopoulos et al. [33]. As linhas em azul representam as
bandas do modo TM e as linhas em vermelho, as bandas do modo TE.
Com o intuito de avaliar e testar se os melhores algoritmos e configurações não
estejam convergindo, evoluindo ou gerando diferentes resultados para uma mesma
configuração, o que prejudicaria a utilização dos mesmos no decorrer da pesquisa, são
realizados testes de execuções sobre os mesmos. O teste consiste em executar a melhor
configuração do AG e do SIA-ALV, para o problema da PBG absoluta de cristais
compostos de silício e ar, arranjo triangular, anteriormente apresentados, diversas vezes,
cada um deles com um número fixo de gerações, observando a curva de evolução do
fitness dos melhores indivíduos, em ambos.
(a) (b)
Figura 4.16. Desvio padrão em função de 1000 gerações fixas e curvas de repetição do fitness em função
do número de gerações, dos melhores algoritmos implementados com Arranjos Triangulares (a) AG e (b)
SIA-ALV, respectivamente.
Na Figura 4.16, observa-se a curva do desvio padrão em função do
número de gerações e as curvas de evolução do fitness em função do número de
gerações para cada repetição dos algoritmos. Todos os algoritmos apresentaram ótimas
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
PBG ABSOLUTA
FR
EQ
UÊ
NC
IA N
OR
MA
LIZ
AD
A
VETOR DE ONDA
TM
TE
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
PBG ABSOLUTA
FR
EQ
UÊ
NC
IA N
OR
MA
LIZ
AD
A
VETOR DE ONDA
TM
TE
Wave Vector
0 200 400 600 800 10000,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
AG PBG ABSOLUTA Silício (ARRANJO TRIANGULAR)
FIT
NE
SS
GERAÇÕES
REPETIÇÃO
1ª 6ª
2ª 7ª
3ª 8ª
4ª 9ª
5ª 10ª
Desvio Padrão
0 200 400 600 800 10000,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
SIA PBG ABSOLUTA Silício (ARRANJO TRIANGULAR)
FIT
NE
SS
GERAÇÕES
REPETIÇÃO
1ª 6ª
2ª 7ª
3ª 8ª
4ª 9ª
5ª 10ª
Desvio Padrão
97
evoluções nas repetidas execuções, resultado esse esperado, garantindo que os melhores
indivíduos evoluam para resultados melhores sempre que executados, caso não haja
mudanças nos parâmetros dos mesmos. Cada algoritmo é executado 10 vezes durante
1000 gerações.
Cada geração durou em média 1 minuto e 25 segundos para o AG, enquanto que
para o SIA-ALV o tempo médio foi de 2 minutos e 20 segundos. Essa diferença entre os
tempos médios pode ser atribuída às características e passos executados de cada
algoritmo.
As execuções possuem ao final de 1000 gerações um valor médio de PBG
Absoluta de 16,85% para o AG com desvio padrão de 0,538% e 17,02% de PBG
Absoluta para o SIA-ALV com desvio padrão de 5,411%, ou seja, baixos valores de
desvio padrão com valores médios altos em ambas as execuções, demonstrando assim a
eficiência e convergência dos algoritmos implementados para esse problema.
4.2. Material Anisotrópico Uniaxial (Telúrio e ar)
Devido à análise da subseção anterior, escolheu-se o algoritmo evolutivo
baseado em sistema imunológico artificial como ferramenta principal para esse tipo de
problema, pois o mesmo chamou a atenção, por se tratar de uma ferramenta utilizada em
poucos trabalhos encontrados e em problemas de fotônica e microondas. Em Malheiros-
Silveira et al. [19], Zhi-Yuan et al.[26], Rezaei et al. [27, 28], são encontrados
problemas envolvendo PBG’s absolutas de cristais fotônicos compostos por telúrio e ar,
resultando em uma grande oportunidade de testes e melhoramento dos resultados para
os SIA’s (AV e ALV), Figura 3.19, desenvolvidos, implementados e apresentados
anteriormente, de acordo com a teoria sobre algoritmos bio-inspirados e computação
evolucionária [7, 98-104]. O AG não foi utilizado para essa análise com material
anisotrópico porque já foi realizado esse estudo em [63].
Nessa subseção, é apresentado o uso dos SIA's AV e ALV no problema inverso
para a otimização da banda fotônica proibida absoluta dos cristais fotônicos, compostos
por telúrio e ar. Para isso, são considerados arranjos quadrados e triangulares e PBG's
entre os modos, TE12 e TM34. As principais vantagens de trabalhar com telúrio são: a
possibilidade de trabalhar com dois índices de refração diferentes, um para cada modo
de polarização (TE e TM); o maior grau de liberdade para ajustar e/ou sobrepor bandas
proibidas; o fato de ser transparente até 35 micrômetros para aplicações na metade e no
98
final da janela do infravermelho, permitindo grandes tamanhos de dispositivos devido
ao grande comprimento de onda de operação; e, quando comparado com o silício,
material isotrópico, exibe valores mais elevados de PBG absoluta [19, 27-29, 31, 32, 56,
118].
Uma característica importante do algoritmo de otimização bio-inspirado
(baseado em SIA) proposto, é a possibilidade de encontrar novas soluções ideais,
devido ás suas etapas de clonagem e de afinidade. Essas etapas aumentam o espaço de
busca com maior diversidade da população [7]. O SIA tem sido aplicado para a
otimização de problemas eletromagnéticos [12, 81, 118].
Realiza-se então, nessa etapa, não apenas a validação através dos resultados
encontrados na literatura [19, 26-28], mas um estudo sobre o impacto de diferentes
taxas de mutação, tamanhos das populações iniciais e afinidades no processo de
convergência, evolução e esforço computacional, com objetivo de encontrar a
configuração do algoritmo evolutivo baseado em SIA que seja mais adaptado ao
problema.
As evoluções dos fitness em função do número de gerações, juntamente com a
variação das populações iniciais e a variação das taxas de mutação são apresentadas nas
Figuras 4.17 e 4.18, respectivamente.
Ao variar o tamanho da população durante 1000 gerações, nota-se através das
curvas de evolução, Figura 4.17, que para o SIA-AV o tamanho ideal é o de uma
população com 10 indivíduos, tanto para o arranjo quadrado, quanto para o arranjo
triangular. Para o SIA-ALV o ideal é uma população com 10 indivíduos (arranjo
quadrado) e 20 indivíduos (arranjo triangular). Essa etapa é muito importante, pois
auxilia na escolha do tamanho da população ideal para a resolução do problema aqui
proposto. A taxa de mutação utilizada em todas as simulações foi de 1%.
Na Tabela 4.5, observa-se a comparação entre os valores encontrados pelo SIA-
AV e SIA-ALV para diferentes tamanhos da população, tanto para o arranjo quadrado,
quanto para o arranjo triangular. Em negrito estão os maiores valores de PBG
encontrados em função do tamanho da população, portanto, esses serão utilizados para a
variação da taxa de mutação.
99
(a) (b)
(c) (d) Figura 4.17. Evoluções dos diferentes tamanhos da população em função do melhor indivíduo e do
número de gerações para o Arranjo Quadrado (a) SIA-AV e (b) SIA-ALV; Arranjo Triangular (c) SIA-
AV e (d) SIA-ALV.
Tabela 4.5. PBG Absoluta para o Arranjo Quadrado e Arranjo Triangular com diferentes tamanhos de
população utilizando o SIA-AV e SIA-ALV.
Tamanho da População
PBG Absoluta
Cristal com Arranjo Triangular Cristal com Arranjo Quadrado
SIA-AV SIA-ALV SIA-AV SIA-ALV
10 22,34% 15,63% 14,70% 17,14%
20 20,71% 24,41% 13,30% 13,65%
30 19,47% 23,03% 12,83% 12,82%
40 21,71% 22,50% 13,66% 12,72%
50 21,39% 19,97% 12,81% 12,92%
Definidos os tamanhos das populações, realizou-se uma etapa de variação da
taxa de mutação de ambos os algoritmos com suas respectivas populações, as quais
foram otimizadas na etapa anterior. Essa variação (entre 0,5% e 5%) tem como base
0 200 400 600 800 10000.00
0.03
0.06
0.09
0.12
0.15
0.18
Fitn
ess
Gerações
10
20
30
40
50
0 200 400 600 800 10000.00
0.03
0.06
0.09
0.12
0.15
0.18
Fitne
ss
Gerações
10
20
30
40
50
0 200 400 600 800 10000.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Fitn
ess
Gerações
10
20
30
40
50
0 200 400 600 800 10000.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Fitness
Gerações
10
20
30
40
50
100
valores comumente encontrados e/ou utilizados em referências encontradas na literatura
[7, 17, 63 , 104, 106, 107, 120], observando que a análise realizada na subseção
anterior, na qual ficou evidente que uma taxa de mutação elevada não melhorava os
resultados e nem a convergência dos algoritmos nesse tipo de problema proposto.
Após 1000 gerações, nota-se que o SIA-AV com população de 10 indivíduos
(arranjo quadrado) obteve melhor valor de PBG absoluta com a taxa de 0,5% de
mutação e com população de 10 indivíduos (arranjo triangular) obteve-se também
melhor valor de PBG absoluta com taxa de 1%. No SIA-ALV com população de 10
indivíduos (arranjo quadrado) o melhor valor de PBG absoluta acontece com a taxa de
0,5% de mutação e com população de 20 indivíduos (arranjo triangular), o melhor valor
de PBG absoluta acontece com a taxa de 1%, Tabela 4.6.
Na Figura 4.18, pode ser observado que aumentando a taxa de mutação, mais
lento fica o processo de evolução (evidenciado pela curva de evolução) para encontrar
maiores PBG’s, ou seja, necessitando de mais gerações em relação às taxas menores.
Na Tabela 4.6, observa-se a comparação entre os valores das PBG’s absolutas
encontrados pelos SIA-AV e SIA-ALV para diferentes taxas de mutação, tanto para o
arranjo quadrado, quanto para o arranjo triangular, respectivamente. A mutação
utilizada permite explorar um espaço de busca maior, pois permite uma variação na
quantidade de informações que podem ser ou não modificadas. Além disso, abrange
muitas possibilidades de configurações através da variação dos valores dessas
respectivas taxas.
A convergência dos resultados confirma que os cristais (arranjo triangular),
obtidos pela otimização com os algoritmos SIA-AV e SIA-ALV, possuem valores de
PBG melhores que em [19] o qual, pela literatura, foi o que havia encontrado maiores
valores anteriormente. As PBG’s absolutas encontradas nesse trabalho pelo SIA-AV e
SIA-ALV para o arranjo quadrado, após 1000 gerações, não são superiores, mas
conseguem se igualar ao valor encontrado pelo AG em [19].
101
(a) (b)
(c) (d)
Figura 4.18. Evoluções das diferentes taxas de mutação em função do melhor indivíduo e do número de
gerações para o Arranjo Quadrado (a) SIA-AV e (b) SIA-ALV; Arranjo Triangular (c) SIA-AV e (d)
SIA-ALV.
Tabela 4.6. PBG Absoluta para o Arranjo Quadrado e Arranjo Triangular variando as taxas de Mutação.
Taxas de Mutação (%)
PBG Absoluta
Cristal com Arranjo Triangular Cristal com Arranjo Quadrado
SIA-AV (10) SIA-ALV (20) SIA-AV (10) SIA-ALV (10)
0.5 19,54% 18,78% 14,70% 17,14%
1 22,34% 24,41% 15,67% 12,62%
2 17,10% 11,06% 11,25% 10,74%
3 12,05% 10,71% 11,59% 6,36%
4 12,00% 10,91% 6,26% 5,86%
5 9,11% 8,24% 8,04% 4,21%
0 200 400 600 800 10000.00
0.03
0.06
0.09
0.12
0.15
0.18
Fitness
Gerações
0.5 1 2
3 4 5
0 200 400 600 800 10000.00
0.03
0.06
0.09
0.12
0.15
0.18
Fitne
ss
Gerações
0.5 1 2
3 4 5
0 200 400 600 800 10000.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Fitn
ess
Gerações
0.5 1 2
3 4 5
0 200 400 600 800 10000.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Fitn
ess
Gerações
0.5 1 2
3 4 5
102
As configurações das células unitárias otimizadas obtidas para o arranjo
quadrado e o arranjo triangular sobre uma malha de 10×10 paralelogramos, os quais são
divididos em 2 triângulos cada, são apresentadas como uma inserção na Figura 4.19. A
diversidade de indivíduos com diferentes fitness é também observada, o que indica que
houve uma exploração razoável de busca global, caracterizada por indivíduos de baixa
aptidão. Por outro lado, muitos indivíduos apresentam um bom valor de fitness, o que
pode ser atribuído a discretização realizada nas células unitárias para ambos os arranjos
e algoritmos.
(a) (b)
Figura 4.19. Evoluções do fitness dos melhores indivíduos e suas respectivas células unitárias (inserções
nos respectivos gráficos) encontrados para o Arranjo (a) Quadrado e (b) Triangular, respectivamente.
Os cristais otimizados são apresentados na Figura 4.20, concebidos através da
replicação da célula unitária. As áreas escuras são compostas por telúrio. As geometrias
resultantes são assimétricas. O mesmo comportamento pode ser observado em [19].
(a) (b)
Figura 4.20. Estruturas cristalinas encontradas a partir dos melhores indivíduos do Arranjo (a) quadrado e
(b) triangular, respectivamente.
0 200 400 600 800 10000,00
0,03
0,06
0,09
0,12
0,15
0,18
PB
G A
BS
OL
UT
A
GERAÇÕES0 200 400 600 800 10000.00
0.03
0.06
0.09
0.12
0.15
0.18
Fitness
Generations
0 200 400 600 800 10000,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
PB
G A
BS
OL
UT
A
GERAÇÕES0 200 400 600 800 1000
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Fitn
ess
Generations
103
(a) (b)
(c) (d)
Figura 4.21. Diagramas de dispersão para os modos TE e TM para os arranjos quadrados (a) SIA-ALV e
(b) encontrado em [19], e para os arranjos triangulares (c) SIA-ALV e (d) encontrado em [19]. As linhas
contínuas representam as bandas do modo TM e as linhas pontilhadas, as bandas do modo TE.
Na Figura 4.21, são apresentados os diagramas de dispersão das estruturas
encontradas pelo SIA-ALV arranjo quadrado e triangular e pelas encontradas em [19].
Nota-se, assim como no problema anterior, que as faixas de PBG estão
aproximadamente na mesma faixa de frequência (entre 0,22 e 0,27 arranjo quadrado; e
entre 0,22 e 0,3 arranjo triangular), porém a faixa PBG encontrada com o cristal com
arranjo triangular é mais larga que os demais com arranjo quadrado.
Ao observar a Figura 4.20(b), que apresenta o cristal resultante com arranjo
triangular e com maior PBG absoluta, foi sugerido verificar o impacto que a remoção de
alguns triângulos "soltos" (refinamento), presentes na estrutura, poderia causar no valor
da respectiva banda fotônica encontrada nas Figuras 4.22(a) e 4.23(a). Foram realizados
X M X M X M X M X0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
ABSOLUTE PBG
Fre
qu
en
cy
Wave Vector
TM
TE
Fre
quência
Norm
ali
zada
Vetor de Onda
PBG ABSOLUTA
Fre
quen
cy
Wave Vector
K M K M K M K M K M K M K0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ABSOLUTE PBG
Fre
quency
Wave Vector
TM
TE
Fre
quência
Norm
ali
zada
Vetor de Onda
PBG ABSOLUTA
Wave Vector
Fre
qu
en
cy
104
dois "refinamentos", pensando futuramente em uma possível fabricação dessa estrutura,
como podem ser observados nas Figuras 4.22(b) e 4.23(b).
(a) (b)
Figura 4.22. Estruturas cristalinas otimizadas através do SIA com Arranjo Triangular (a) cristal exibindo
os triângulos removidos e (b) "cristal refinado" com a remoção de 2 triângulos, respectivamente.
(a) (b)
Figura 4.23. Estruturas cristalinas otimizadas através do SIA com Arranjo Triangular (a) cristal exibindo
os triângulos removidos e (b) "cristal refinado" com a remoção de 4 triângulos, respectivamente.
Os respectivos valores das PBG's absolutas mudaram, houve uma redução de
aproximadamente 0,5% no cristal com remoção de 2 triângulos da sua célula unitária,
Figura 4.22, e de aproximadamente 5% com a remoção de 4 triângulos da respectiva
célula unitária, Figura 4.23, em relação a estrutura otimizada encontrada pelo SIA-ALV.
Os maiores valores de PBG’s encontrados para os cristais com arranjo quadrado e
arranjo triangular são apresentados na Tabela 4.7. Nela, porém, observa-se também a
comparação entre os valores de PBG’s encontrados na literatura, utilizando outras
técnicas e os valores encontrados utilizando o SIA-AV e SIA-ALV, desse trabalho, para
o arranjo quadrado e para o arranjo triangular. Foram realizados também o cálculo do
105
número de canais suportados pelas melhores estruturas otimizadas e para as estruturas
encontradas em Malheiros-Silveira et al. [19], Zhi-Yuan et al.[26], Rezaei et al. [28], no
sistema DWDM (0,8 nm). Fica evidente que a quantidade de canais suportados pelas
estruturas desse trabalho são maiores do que as estruturas encontradas em Malheiros-
Silveira et al. [19]. Nota-se também que o arranjo triangular obteve os melhores valores
de PBG e canais, em geral.
Apesar da alteração nas estruturas, nota-se que com a remoção de alguns
elementos (triângulos) as estruturas encontradas nesse trabalho são mais regulares e
possuem maior valor de PBG absoluta que os encontrados no estado da arte.
As geometrias resultantes são consideradas como sendo regiões de ar em telúrio
[19], ao contrário do encontrado em outros trabalhos [26-30], nos quais PBG’s absolutas
podem ser encontradas, considerando geometrias compostas por hastes dielétricas de
telúrio no ar. É adotada como estratégia de refinamento uma célula unitária dividida em
200 triângulos.
Tabela 4.7. Comparação de PBG’s Absolutas e quantidade de canais (DWDM) para os
Arranjos Quadrados e Arranjos Triangulares
Cristal com Arranjo Quadrado
[26] [28] [19] SIA-ALV SIA-ALV
15,20%
283
15,44%
303
17,14%
338
15,67%
17,14% 338 canais
Cristal com Arranjo Triangular
[26] [28] [19] SIA-AV SIA-ALV 2 triângulos 4 triângulos
18,00%
346
20,72%
365
23,49%
463
22,34%
24,41%
482
24,30%
477
23,20%
455
Diferentemente de círculos e elipses, que são as mais tradicionais analisadas, as
estruturas resultantes não são triviais, tornando o processo de fabricação complexo. No
entanto, se PBG’s em modos de ordens superiores forem utilizadas, a constante de
arranjo seria maior e a robustez e tolerância de fabricação melhorada [19]. Nesse
estudo, as PBG’s são de modos e de ordens inferiores para serem comparados e
validados com os resultados encontrados na literatura [19]. O mesmo refinamento é
considerado para o arranjo quadrado e triangular.
106
Com o intuito de avaliar e testar se os melhores algoritmos e configurações não
estejam convergindo, evoluindo ou gerando diferentes resultados para uma mesma
configuração, o que prejudicaria a utilização dos mesmos no decorrer da pesquisa, são
realizados testes de execuções sobre os mesmos.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 4.24. Evolução do fitness em função de 500 gerações fixas, dos melhores algoritmos com Arranjos
Quadrados (a) SIA-ALV e (b) SIA-AV; Arranjos Triangulares (c) SIA-ALV e (d) SIA-AV,
respectivamente.
O teste consiste em executar os melhores SIA-AV e SIA-ALV, arranjo quadrado
e triangular, diversas vezes, cada um deles com um número fixo de gerações,
observando a curva de evolução do fitness dos melhores indivíduos, em ambos.
Na Figura 4.24, observa-se que todos os algoritmos apresentaram repetibilidade
nas execuções, resultado esse esperado, garantindo que os melhores indivíduos evoluem
para resultados melhores sempre que executados, caso não haja mudanças nos
parâmetros dos mesmos. Cada algoritmo é executado 10 vezes durante 500 gerações.
Cada geração durou em média 2 minutos e 20 segundos para o arranjo
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
SIA-ALV (ARRANJO QUADRADO)
FIT
NE
SS
GERAÇÕES
REPETIÇÃO
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
9ª
10ª
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16SIA-AV (ARRANJO QUADRADO)
FIT
NE
SS
GERAÇÕES
REPETIÇÃO
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
9ª
10ª
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000,00
0,04
0,08
0,12
0,16
0,20
0,24SIA-ALV (ARRANJO TRIANGULAR)
FIT
NE
SS
GERAÇÕES
REPETIÇÃO
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
9ª
10ª
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
SIA-AV (ARRANJO TRIANGULAR)
FIT
NE
SS
GERAÇÕES
REPETIÇÃO
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
9ª
10ª
107
triangular, enquanto que para o arranjo quadrado o tempo médio dos algoritmos foi de 2
minutos.
4.3. Tapers
Dando segmento ao uso dos algoritmos bio-inspirados, adaptando os algoritmos
desenvolvidos anteriormente e a concepção do algoritmo de evolução diferencial, em
conjunto com o método dos elementos finitos (FEM), busca-se obter estruturas
otimizadas através da variação da forma do taper. Estruturas que possam minimizar a
perda de energia durante o acoplamento entre guias, pois os mesmos possuem tamanho
reduzido, o que torna o problema mais interessante e aplicável na área. Como
apresentado no Capítulo 1, o taper, ou acoplador de guias de onda, é uma estrutura que
é utilizada para conectar guias, fibras, entre outros dispositivos fotônicos, com
diferentes tamanhos e materiais, visando reduzir a perda de potência acoplada de um
guia para o outro.
Os algoritmos bio-inspirados foram utilizados com sucesso no problema com
cristais fotônicos da seção anterior, eles são ótimas ferramentas de solução também para
esse novo problema. As principais vantagens de estruturas otimizadas, através dos
algoritmos bio-inspirados, são a sua simplicidade, redução do tempo e esforço
computacional e a possibilidade de problemas de síntese.
4.3.1.Taper Contínuo
Na Figura 4.25, é apresentado o dispositivo a ser otimizado, o qual foi
denominado taper contínuo, com os respectivos parâmetros ópticos e geométricos que
serão as variáveis de entrada dos algoritmos desenvolvidos, em associação com o
software GiD® (que gera as malhas) e o programa FEM-2D [20, 43, 44], que realiza o
cálculo dos campos e da potência nas estruturas resultantes. A otimização desse tipo de
dispositivo proposto aqui, terá seus resultados comparados com alguns existentes na
literatura [21], com a utilização dos mesmos materiais, dimensões e comprimentos de
onda de operação.
Considera-se um guia de onda óptico uniforme composto de um dielétrico com
índice de refração n1=1,5, com o ar como revestimento n2=1,0 e com largura de 7µm. O
108
guia de saída é composto pelo mesmo material dielétrico, mas com largura de 0,5µm,
Figura 4.25.
Figura 4.25. Esquema da configuração do Taper Contínuo, analisado.
A região do taper foi subdividida em N=9 pontos de cortes, resultando em 10
seções. As seções em geral são de formatos trapezoidais. A eficiência ou potência
acoplada é calculada através do método dos elementos finitos descritos em Rubio-
Mercedes [44], Rubio-Mercedes et al.[20, 43] e em Tsuji e Koshiba [121], e sua
formulação pode ser vista no Capítulo 2. Cada corte possui um comprimento fixo de
0,8µm na direção x, resultando num taper de comprimento total de 8μm. Portanto, os
parâmetros usados como os indivíduos (possíveis soluções) nas populações dos
algoritmos e que são associados com a eficiência de acoplamento do taper são as alturas
dos guias de onda, na direção y, em cada partição w1, w2, . . . ,wN. É considerado
como valor máximo de w , 8,1máximo mw e o valor mínimo 0,1mínimo mw . Esses
valores são escolhidos de forma empírica [21, 36].
A malha do taper contínuo, considerada como a malha inicial dos algoritmos é
apresentada na Figura 4.26, na qual se pode observar a discretização dos FEM com
elementos triângulos quadráticos, as espessuras de cada PML e as cores de cada região
(materiais dos guias, substrato e PML's), juntamente com o valor do refinamento
adotado no software GiD® para a região do Taper (0,1µm) e para o restante da malha
Guia de Onda
de EntradaGuia de Onda
de Saída
7.0 µm
0.5 µm
8 µm
n2 = 1,0
n1 = 1,5
Wmax = 8.1 µm
Wmin = 0.1 µm
109
(0,25µm) escolhidos de forma a manter a malha eficiente com o menor número de
elementos aceitável.
Figura 4.26. Malha base com configuração do Taper Contínuo, analisado.
Essa estrutura base é considerada pela metade, pois a mesma é simétrica para a
redução do esforço computacional e a mesma possui 31509 elementos com 63506 nós,
porém para o cálculo dos campos e eficiência considera-se a estrutura "inteira".
Os algoritmos (AG uniforme, SIA-ALV e ED) utilizados seguem os passos
apresentados (inicialização, avaliação, seleção, mutação, cruzamento, elitismo, etc.) e
descritos no Capítulo 3. Os algoritmos propostos realizam nesse problema: a)
Inicialização: para o SIA-ALV é utilizada um tamanho de população inicial de 10
indivíduos, para o AG o tamanho da população varia de 10 a 50 indivíduos, enquanto
que para o ED o tamanho da população utilizada é de 10 indivíduos; b) Mutação: a taxa
de mutação varia no SIA-ALV entre 0,5 e 5% e de 1 a 9% no ED, o qual também variou
a probabilidade de cruzamento entre 1-9%. O critério de parada escolhido foi o número
de gerações.
Os dados utilizados nos algoritmos, além dos mencionados acima, para cada
variável do taper são: o comprimento de onda λ = 1,51μm; a largura de cada seção do
taper wN [0,1μm, 8,1μm]; o índice de refração do núcleo n1 = 1,5; o índice de refração
do revestimento n2 = 1,0; e o critério de parada é de 200 gerações.
O campo incidente, aqui considerado, é o modo fundamental do guia de onda de
entrada com largura de 7μm. O comprimento de onda operacional foi considerado como
1,51μm.
2µm 3µm 8µm 5µm 2µm
1,5µm
2µm16µm
4,75µm
0,25
0,1
0,25
110
A evolução dos melhores indivíduos (melhores valores da eficiência de
acoplamento) encontrados pelo SIA-ALV, variando a taxa de mutação em função do
número de gerações, é apresentada na Figura 4.27. Todas as variações utilizadas na
mutação resultaram em alta potência acoplada (eficiência de acoplamento), o que fica
evidente observando os valores encontrados na Tabela 4.8.
Figura 4.27. Evolução da eficiência de acoplamento dos melhores indivíduos pelo SIA-ALV, com taxas
de mutação de 0,5-5%.
A configuração do SIA-ALV com taxa de mutação de 5% obteve eficiência de
acoplamento superior as demais. A respectiva estrutura resultante e projetada no GiD®
é apresentada na Figura 4.28, já na Figura 4.29 é apresentada a propagação dos campos
nessa estrutura através do FEM-2D [20, 43, 44].
Tabela 4.8. Eficiência e parâmetros otimizados da região do taper em função da taxa de mutação para o
SIA-ALV.
Taxa de
Mutação (%) Valores Wi dos melhores indivíduos SIA (μm)
Eficiência (%) W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9
0,5 7,07 6,22 1,60 6,01 4,29 7,10 7,94 1,57 8,07 98,33
1 8.07 6.29 1.82 4.32 4.32 8.01 4.10 4.57 2.07 98.47
2 5.10 3.07 7.57 4.94 5.60 2.94 3.04 2.69 7.91 97.24
3 7.19 0.91 6.13 5.69 7.62 2.51 7.32 2.38 4.44 99.16
4 5.66 7.13 0.66 6.13 6.38 3.26 4.47 2.69 3.22 98.68
5 7.44 1.19 7.29 7.66 2.65 5.32 5.44 4.41 4.47 99.26
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
E
FIC
IÊN
CIA
DE
AC
OP
LA
ME
NT
O
GERAÇÕES
0,5% 1% 2%
3% 4% 5%
111
Figura 4.28. Estrutura do melhor taper otimizado encontrado através do SIA-ALV com taxa de mutação
de 5%.
Figura 4.29. Propagação dos campos da melhor configuração de taper encontrada através do SIA-ALV
com taxa de mutação de 5%.
Aplicando, agora, o AG na otimização da eficiência de acoplamento com a
variação do tamanho das populações do mesmo de 10 a 100 indivíduos, obtiveram-se as
curvas de evolução, que possibilitam a verificação do comportamento do algoritmo. A
evolução dos melhores indivíduos (melhores valores da eficiência de acoplamento)
encontrados pelo AG, variando o tamanho da população em função do número de
gerações, é apresentada na Figura 4.30. A variação no tamanho da população inicial
resultou em configurações de tapers contínuos, eficientes e com os resultados,
apresentados na Tabela 4.9.
W1
W2
W3 W4
W5
W6W7
W8 W9
z m
y(
m)
112
Figura 4.30. Evolução da eficiência de acoplamento dos melhores indivíduos pelo AG, com diferentes
populações.
Tabela 4.9. Eficiência e parâmetros otimizados da região do taper em função do tamanho da população
para o AG.
Tamanho da
População Valores Wi dos melhores indivíduos AG (μm) Eficiência
(%) W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9
10 3,57 7,97 0,60 7,57 7,80 5,69 5,35 1,51 6,79 82,78
20 6,22 5,16 2,13 7,54 5,10 2,16 7,29 4,57 6,13 92,08
30 1,88 7,22 4,66 7,19 7,33 6,19 4,85 0,51 6,82 87,94
50 1,35 2,35 7,69 5,10 4,85 2,98 6,48 0,66 4,20 92,24
100 2,41 4,73 6,22 7,22 3,54 6,69 4,47 7,54 7,04 92,56
A configuração do AG com populações iniciais de 20 e 100 indivíduos obteve
boa eficiência de acoplamento, mas não foi melhor que a pior configuração encontrada
pelo SIA-ALV anteriormente. Nesse caso, a população de 100 indivíduos possui um
valor de eficiência maior que o da população de 20 indivíduos, mas como um dos
objetivos é obter a melhor estrutura com esforço computacional reduzido, a população
de 20 indivíduos é considerada a melhor. A respectiva estrutura resultante e projetada
no GiD® é apresentada na Figura 4.31, já na Figura 4.32 é apresentada a propagação
dos campos nessa estrutura através do FEM-2D [20, 43, 44].
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
EF
ICIÊ
NC
IA D
E A
CO
PL
AM
EN
TO
GERAÇÕES
10
20
30
50
100
113
Figura 4.31. Estrutura do melhor taper otimizado encontrado através do AG com 20 indivíduos.
Figura 4.32. Propagação dos campos da melhor configuração de taper encontrada através do AG com 20
indivíduos.
O estudo com variação da taxa de mutação e da probabilidade de cruzamento do
ED é realizado. A evolução dos melhores indivíduos em função do número de gerações
encontrados pelo ED é apresentada na Figura 4.33. Nela é possível observar o
comportamento do ED ao variar a sua probabilidade de cruzamento (taxa de
cruzamento), fixando a taxa de mutação em 3%. Na Tabela 4.10 são apresentados os
valores da eficiência de acoplamento em função da probabilidade de cruzamento.
W1W2
W3
W4
W5
W6
W7
W8
W9
y (μ
m)
z (μm)
114
Figura 4.33. Evoluções das diferentes taxas de cruzamento em função do melhor indivíduo e do número
de gerações para o ED com taxa de mutação fixa em 3%.
Tabela 4.10. Eficiência de acoplamento do taper contínuo variando as probabilidades de cruzamento no
ED.
Probabilidade de Cruzamento Eficiência de Acoplamento (%)
0,1 89,52
0,2 94,15
0,3 94,16
0,4 91,97
0,5 93,64
0,6 94,25
0,7 96,18
0,8 92,45
O ED com a probabilidade de cruzamento de 0,7 apresentou menos perdas de
acoplamento da potência que os demais, fato esse evidenciado pelo valor da eficiência
de 96,18% que foi acoplada. Logo, para encontrar a configuração do ED que mais se
adapta a esse problema, fixa-se o valor da probabilidade de cruzamento (0,7) e varia-se
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
EF
ICIÊ
NC
IA D
E A
CO
PLA
ME
NT
O
GERAÇÕES
0,1 0,2 0,3 0,4
0,5 0,6 0,7 0,8
115
a taxa de mutação. Na Figura 4.34, são apresentadas as evoluções do ED variando a taxa
de cruzamento de 1 a 9%. Na Tabela 4.11, são apresentados os resultados da eficiência
encontrados a partir da variação das taxas de mutação com o valor da probabilidade de
cruzamento otimizado.
Figura 4.34. Evoluções das diferentes taxas de mutação em função do melhor indivíduo e do número de
gerações para o ED com probabilidade de cruzamento igual a 0,7.
Tabela 4.11. Eficiência de acoplamento do taper contínuo variando as taxas de mutação no ED.
Taxas de Mutação (%) Eficiência de Acoplamento (%)
1 94,40
2 96,73
3 96,18
4 93,70
5 90,01
6 92,26
7 91,84
8 89,80
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
E
FIC
IÊN
CIA
DE
AC
OP
LA
ME
NT
O
GERAÇÕES
1% 2% 3%
4% 5% 6%
7% 8% 9%
116
Fica evidente, após essa análise, que a configuração do ED que mais se adapta a
esse problema é com taxa de mutação de 2%, probabilidade de cruzamento de 0,7 e
população de 10 indivíduos, resultando numa eficiência de acoplamento de 96,73%. A
respectiva estrutura resultante e projetada no GiD® é apresentada na Figura 4.35, na
Figura 4.36 é apresentada a propagação dos campos nessa estrutura através do FEM-2D
[20, 43, 44].
Figura 4.35. Estrutura otimizada do taper encontrado através do ED com taxa de mutação 2% e
probabilidade de cruzamento 0,7, com seus respectivos valores de W=[1,10; 6,10; 5,10; 5,10; 5,10; 6,10;
4,10; 4,10; 0,13 ].
Figura 4.36. Propagação dos campos da melhor configuração de taper encontrada através do ED.
Após otimizar o taper, utilizando os algoritmos bio-inspirados (AG, SIA-ALV e
W1
W2W3W4
W5
W6
W7 W8
W9
z m
y(
m)
117
ED) para o comprimento de onda de operação λ = 1,51 μm, foram testadas as melhores
estruturas de cada método para diferentes comprimentos de onda num intervalo do
espectro óptico da banda infravermelha, pois as radiações usadas atualmente em
comunicações ópticas estão na faixa da luz infravermelha, com comprimento de onda
variando de 800nm a 1700nm, porém a faixa de 1200nm a 1700nm é mais utilizada, pois
nessa faixa estão compreendidas as janelas de transmissão (2ª e a 3ª) para médias e
longas distâncias em comunicações ópticas. Logo, a fim de verificar o comportamento e
o funcionamento de cada um dos dispositivos otimizados com esta variação de λ, é
escolhido λ entre [1,5μm 2μm], Figura 4.37.
Figura 4.37. Eficiência de Acoplamento em função do comprimento de onda (entre 1,5-2μm) para os
dispositivos otimizados pelo SIA-ALV, AG (20 e 100 indivíduos) e ED, respectivamente.
Observar-se que, apesar dessa variação do comprimento de onda, os dispositivos
concebidos mostraram muita eficiência e altas taxas de acoplamento (acima de 80%).
Nota-se também, que apesar das estruturas encontradas pelo SIA-ALV possuírem
melhores eficiências de acoplamento, nesse teste, para vários comprimentos de onda, o
taper otimizado pelo AG, com 100 indivíduos, foi o que manteve mais regularidade.
Na literatura, Felici et al. [21, 36] trabalha com mesma configuração do problema
que foi analisado (comprimento de ondas, materiais, tamanho do taper e dos guias),
porém, com eficiência de acoplamento de aproximadamente 92%.
Pode-se observar uma elevada eficiência de acoplamento de ambos os resultados
com perdas por radiação pequenas.
1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,00,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
EF
ICIÊ
NC
IA D
E A
CO
PLA
ME
NT
O
COMPRIMENTO DE ONDA (m)
SIA-ALV
AG 20
AG 100
ED
118
A otimização de tapers compostos por vidro e ar, usando o método dos
elementos finitos, em conjunção com os algoritmos de otimização AG, ED e SIA-ALV,
foi apresentada. As estruturas obtidas pelos algoritmos desenvolvidos podem ser
utilizadas para projetar acopladores de guias de onda, considerando materiais diferentes,
aumentando o número de secções e diferentes comprimentos de onda. Como no
problema dos cristais, o SIA-ALV obteve melhores resultados que os demais algoritmos
e do que os resultados encontrados na literatura [21, 36].
Com o intuito de avaliar e testar os algoritmos AG, SIA-ALV e ED, e suas
respectivas configurações, verificando a convergência, evolução e os resultados
encontrados para uma mesma configuração, são realizados testes de execuções sobre os
mesmos. O teste consiste em executar a melhor configuração do AG, do SIA-ALV e
ED, para o problema da eficiência de acoplamento de tapers contínuos compostos de
vidro e ar, anteriormente apresentados, diversas vezes, cada um deles com um número
fixo de gerações, observando a curva de evolução do fitness dos melhores indivíduos,
em ambos.
Na Figura 4.38, observa-se a curva do desvio padrão em função do número de
gerações e as curvas de evolução do fitness em função do número de gerações para cada
repetição dos algoritmos. Todos os algoritmos apresentaram ótimas evoluções nas
repetidas execuções, resultado esse esperado, garantindo que os melhores indivíduos
evoluem para resultados melhores sempre que executados, caso não haja mudanças nos
parâmetros dos mesmos cada algoritmo é executado 10 vezes durante 200 gerações.
Cada geração durou em média 6 minutos para o AG, 7 minutos para o SIA-ALV
e 4 minutos para o ED. Essa diferença entre os tempos médios pode ser atribuída às
características e passos executados de cada algoritmo.
As execuções possuem ao final de 200 gerações um valor médio de Eficiência de
Acoplamento de 91,29% para o AG com desvio padrão de 1,50%, 97,50% para o SIA-
ALV com desvio padrão de 1,02% e para o ED média de 94,49% com desvio padrão de
1,406, ou seja, valores baixos de desvio padrão com altos valores de eficiência de
acoplamento média em ambas as execuções, demonstrando assim a eficiência e
convergência dos algoritmos implementados para esse problema.
119
(a) (b)
(c)
Figura 4.38. Desvio padrão em função do número de gerações e evolução do fitness, em função de 200
gerações fixas dos melhores algoritmos com Arranjos Triangulares (a) AG, (b) SIA-ALV e (c) ED,
respectivamente.
Na próxima subseção é apresentado o problema e os resultados, com tapers
segmentados, também para a otimização da eficiência de acoplamento através do SIA-
ALV, AG e ED.
4.3.2. Taper Segmentado
Na Figura 4.39, é apresentado o dispositivo a ser otimizado, taper segmentado,
com os respectivos parâmetros ópticos e geométricos que serão as variáveis de entrada
dos algoritmos desenvolvidos em associação com o software GiD®, que gera as malhas
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0AG (TAPER CONTÍNUO)
FIT
NE
SS
GERAÇÕES
REPETIÇÃO
1ª 6ª
2ª 7ª
3ª 8ª
4ª 9ª
5ª 10ª
Desvio Padrão
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0SIA-ALV (TAPER CONTÍNUO)
FIT
NE
SS
GERAÇÕES
REPETIÇÃO
1ª 6ª
2ª 7ª
3ª 8ª
4ª 9ª
5ª 10ª
Desvio Padrão
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0ED (TAPER CONTÍNUO)
FIT
NE
SS
GERAÇÕES
REPETIÇÃO
1ª 6ª
2ª 7ª
3ª 8ª
4ª 9ª
5ª 10ª
Desvio Padrão
120
e os elementos finitos, e o programa FEM-2D [20, 43, 44], que realiza o cálculo dos
campos e da potência das estruturas resultantes. Esse problema consiste em otimizar a
eficiência de acoplamento entre um guia de onda contínuo reto (CWG) e um guia de
onda segmentado reto (PSW) através de um PSW, Figura 4.39.
Figura 4.39. Esquema da configuração do taper segmentado, analisado.
A geometria do PSW utilizado como base para o taper segmentado é
apresentado na Figura 4.39, na qual Λ é o período dos segmentos, a é o comprimento do
segmento com índice de refração maior (n1), e w é a largura do segmento. Considera-se
um guia de onda óptico segmentado composto de silício e sílica, alternadamente, com
índices de refração n1=3,476 e n2=1,444, respectivamente, com revestimento de sílica
nr=1,444 e com largura de w=0,3µm. O guia de saída é composto pelo mesmo PSW
utilizado no taper, com mesma largura e materiais do guia de entrada.
A região do taper foi subdividida em 15 segmentos. A eficiência ou potência
acoplada é calculada através do programa FEM-2D [20, 43, 44]. Os seguimentos
possuem uma largura e um período fixo de 0,3µm, portanto, os parâmetros usados como
os indivíduos nas populações dos algoritmos e que são associados com a eficiência de
acoplamento do taper segmentado são os comprimentos dos segmentos a1, a2, . . . ,aN,
na direção de propagação x.
A malha do taper segmentado, considerada como a malha inicial dos algoritmos
é apresentada na Figura 4.40, na qual se pode observar a discretização dos FEM com
elementos triângulos quadráticos, as espessuras de PML e as cores de cada região
Si
SiO2
a
Λ
w
PML’sy
x
Entrada
da luz
Saída
da luz
Plano de Incidência
Guia Contínuo de silício Guia Segmentado de Si e SiO2
Região do Taper
121
(materiais dos guias, substrato e PML's), juntamente com o valor do refinamento
adotado no software GiD®, para a região do Taper (0,02µm), para a região do
revestimento (0,04) e para o restante da malha (0,1µm) escolhidos de forma a manter a
malha eficiente com o menor número de elementos aceitável.
Figura 4.40. Malha base com configuração do taper segmentado, analisado.
Essa estrutura base é considerada pela metade, pois a mesma é simétrica para a
redução do esforço computacional e a mesma possui 44596 elementos com 90381 nós,
porém para o cálculo dos campos e eficiência considera-se a estrutura "inteira".
Os algoritmos (AG uniforme, SIA-ALV e ED) utilizados seguem os mesmos
passos (inicialização, avaliação, seleção, mutação, cruzamento, elitismo, etc.)
apresentados e descritos no Capítulo 3, e usados no problema anterior do taper
contínuo. Os algoritmos propostos seguem os seguintes passos: a) Inicialização: para o
SIA-ALV é utilizada uma população inicial de 10 indivíduos, para o AG o tamanho da
população varia de 10 a 100 indivíduos, enquanto que para o ED utilizam-se populações
de 10 e 20 indivíduos; b) Mutação: a taxa de mutação varia no SIA-ALV entre 1 e 9% e
de 1 a 8% no ED, o qual também variou a probabilidade de cruzamento entre 1-8%. O
critério de parada escolhido foi o número de gerações.
Os dados utilizados nos algoritmos, para cada variável do taper segmentado
foram: o comprimento de onda de operação λ = 1,55μm; o comprimento dos segmentos
aN [0,03μm, 0,27μm]; o índice de refração do material do guia e dos segmentos n1 =
3,476; o índice de refração do revestimento n2 = 1,444; e o critério de parada escolhido
é de 200 gerações. O campo incidente aqui considerado é o modo fundamental no guia
de onda de entrada, com largura de 0,3μm. O comprimento de onda operacional foi
considerado como 1,55μm.
4µm 3µm 4,5µm 1,425µm 4µm
1,5µm
1µm8,925µm
0,040,02
0,1
122
Figura 4.41. Evolução da eficiência de acoplamento dos melhores indivíduos pelo SIA-ALV, com taxas
de mutação de 1-9%.
A evolução dos melhores indivíduos encontrados pelo SIA-ALV, variando a
taxa de mutação em função do número de gerações, é apresentado na Figura 4.41. Nota-
se que, mesmo variando as taxas de mutação, o SIA-ALV apresenta altos valores de
eficiência de acoplamento como pode ser observado na Tabela 4.12.
Tabela 4.12. Eficiência e parâmetros otimizados da região do taper em função da taxa de mutação para o
SIA-ALV.
Taxa de Mutação (%) Eficiência de Acoplamento (%)
1 94,85
2 96,41
3 98,16
4 94,87
5 92,50
6 94,98
7 93,93
8 93,16
9 95,18
A configuração do SIA-ALV com taxa de mutação de 3% obteve eficiência de
acoplamento superior as demais. A respectiva estrutura resultante e projetada no GiD®
é apresentada na Figura 4.42, na Figura 4.43 é apresentada a propagação dos campos
nessa estrutura através do FEM-2D [20, 43, 44].
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
PO
TÊ
NC
IA A
CO
PL
AD
A
GERAÇÕES
1% 2% 3%
4% 5% 6%
7% 8% 9%
123
Figura 4.42. Estrutura otimizada do taper segmentado encontrado através do SIA-ALV, com taxa de
mutação 3% e seus respectivos valores de a =[0,2662; 0,2316; 0,1856; 0,1734; 0,1458; 0,1538; 0,1416;
0,1275; 0,1669; 0,1125; 0,1453; 0,1031; 0,1603; 0,1284; 0,1650 ].
Figura 4.43. Propagação dos campos da melhor configuração de taper encontrada através do SIA-ALV.
O algoritmo genético implementado apresenta aqui uma variação no tamanho da
população entre 10 e 100 indivíduos. As curvas de evolução dos melhores indivíduos
encontrados pelo AG, variando o tamanho da população em função do número de
gerações, são apresentadas na Figura 4.44. A variação no tamanho da população inicial
fez com que o AG encontrasse configurações de tapers segmentados com eficiências de
acoplamento acima de 90%, como pode ser observado na Tabela 4.13.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
a11 a12a13
a14a15
y (
μm
)
x (μm)
124
Figura 4.44. Evolução da eficiência de acoplamento dos melhores indivíduos pelo AG, com diferentes
populações.
Tabela 4.13. Eficiência e parâmetros otimizados da região do taper em função do tamanho da população
para o AG.
Tamanho da População Eficiência de Acoplamento (%)
10 96,00
20 97,80
30 95,84
40 93,40
50 93,00
100 92,00
A configuração do AG com população inicial de 20 indivíduos obteve eficiência
de acoplamento superior as demais configurações. Isso demonstra que apesar do
aumento da população, o que resulta em mais possibilidades de soluções, o algoritmo
demonstra eficiência com populações menores e ainda redução do esforço
computacional. A respectiva estrutura resultante e projetada no GiD® é apresentada na
Figura 4.45, na Figura 4.46 é apresentada a propagação dos campos nessa estrutura
através do FEM-2D [20, 43, 44].
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
EF
ICIÊ
NC
IA D
E A
CO
PLA
ME
NT
O
GERAÇÕES
10 20 30
40 50 100
125
Figura 4.45. Estrutura do melhor taper otimizado encontrado através do AG com 20 indivíduos e seus
respectivos valores de a =[0,2653; 0,2278; 0,1969; 0,1838; 0,1622; 0,1697; 0,1659; 0,1603; 0,1500;
0,1425; 0,1509; 0,1003; 0,1659; 0,1528; 0,1509].
Figura 4.46. Propagação dos campos da melhor configuração de taper encontrada através do AG com 20
indivíduos.
O estudo com variação da taxa de mutação e da probabilidade de cruzamento do
ED é realizado. A evolução dos melhores indivíduos em função do número de gerações
encontrados pelo ED é apresentada na Figura 4.47. Nela é possível observar o
comportamento do ED ao variar a sua probabilidade de cruzamento (taxa de
cruzamento), fixando a taxa de mutação em 7%. Na Tabela 4.14 são apresentados os
valores da eficiência de acoplamento em função da probabilidade de cruzamento.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
a11 a12a13
a14a15
y (
μm
)
x (μm)
126
Figura 4.47. Evoluções das diferentes taxas de cruzamento em função do melhor indivíduo e do número
de gerações para o ED com taxa de mutação fixa em 7%.
Tabela 4.14. Eficiência de acoplamento do taper segmentado variando as probabilidades de cruzamento
no ED.
Probabilidade de Cruzamento Eficiência de Acoplamento (%)
0,1 68,64
0,2 79,26
0,3 91,27
0,4 81,39
0,5 83,63
0,6 80,50
0,7 89,00
0,8 81,99
O ED com a probabilidade de cruzamento de 0,3 apresentou menos perdas de
acoplamento da potência que os demais, fato esse evidenciado pelo valor da eficiência
de 91,27% que foi acoplada. Logo, para encontrar a configuração do ED que mais se
adapta a esse problema, fixa-se o valor da probabilidade de cruzamento (0,3) e varia-se
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
PO
TÊ
NC
IA A
CO
PLA
DA
GERAÇÕES
0,1 0,2
0,3 0,4
0,5 0,6
0,7 0,8
127
a taxa de mutação. Na Figura 4.48, são apresentadas as evoluções do ED variando a taxa
de cruzamento de 1 a 8%. Na Tabela 4.15, são apresentados os resultados da eficiência
encontrados a partir da variação das taxas de mutação com o valor da probabilidade de
cruzamento otimizado.
Figura 4.48. Evoluções das diferentes taxas de mutação em função do melhor indivíduo e do número de
gerações para o ED com probabilidade de cruzamento igual a 0,3.
Tabela 4.15. Eficiência de acoplamento do taper segmentado variando as taxas de mutação no ED.
Taxas de Mutação (%) Eficiência de Acoplamento (%)
1 80,73
2 76,14
3 79,34
4 89,27
5 78,12
6 83,12
7 91,27
8 77,09
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
E
FIC
IÊN
CIA
DE
AC
OP
LA
ME
NT
O
GERAÇÕES
1% 2% 3%
4% 5% 6%
7% 8% 9%
128
Fica evidente, após essa análise, que a configuração do ED que mais se adapta a
esse problema é com taxa de mutação de 7%, probabilidade de cruzamento de 0,3 e
população de 10 indivíduos, resultando numa eficiência de acoplamento de 91,27%. A
respectiva estrutura resultante e projetada no GiD® é apresentada na Figura 4.49, na
Figura 4.50 é apresentada a propagação dos campos nessa estrutura através do FEM-2D
[20, 43, 44].
Figura 4.49. Estrutura otimizada do taper segmentado encontrado através do ED com taxa de mutação 2%
e probabilidade de cruzamento 0,7, com seus respectivos valores de a =[0,2662; 0,2081; 0,1444; 0,15;
0,0703; 0,1219; 0,1547; 0,0703; 0,1462; 0,1378; 0,12; 0,0862; 0,0731; 0,1631; 0,1369].
Figura 4.50. Propagação dos campos da melhor configuração de taper segmentado encontrada através do
ED.
Após otimizar o taper segmentado, utilizando os algoritmos bio-inspirados (AG,
SIA-ALV e ED) para o comprimento de onda de operação λ = 1,55μm, foram testadas
as melhores estruturas de cada método para diferentes comprimentos de onda λ [1,4μm
2μm] a fim de verificar o comportamento de cada um dos dispositivos com esta variação
de λ, Figura 4.51.
a1a2 a3a4a5a6a7a8a9a10
a11a12a13
a14a15
y (
μm
)
x (μm)
129
Figura 4.51. Eficiência de Acoplamento em função do comprimento de onda (entre 1,4-2μm) para os
dispositivos otimizados pelo SIA-ALV, AG e ED, respectivamente.
Pode-se observar uma elevada eficiência de acoplamento para os dispositivos
encontrados pelo SIA-ALV e AG com baixas perdas por radiação apesar dessa variação
do comprimento de onda (exceto para o comprimento de onda de 1,4μm). Enquanto que
o encontrado pelo ED não conseguiu bons valores de eficiência. Na literatura, em
Cheben et al. [68] as estruturas obtidas como tapers segmentados apresentaram
eficiência de acoplamento 81,4% , enquanto que no presente trabalho encontraram-se
estruturas otimizadas com os algoritmos bio-inspirados com 98,16% de eficiência de
acoplamento.
Novamente, com o intuito de avaliar e testar os algoritmos AG, SIA-ALV e ED,
e suas respectivas configurações, verificando a convergência, evolução e os resultados
encontrados para uma mesma configuração, são realizados testes de execuções sobre os
mesmos.
Na Figura 4.52, observa-se a curva do desvio padrão em função do número de
gerações e as curvas de evolução do fitness em função do número de gerações para cada
repetição dos algoritmos. Todos os algoritmos apresentaram ótimas evoluções nas
repetidas execuções, resultado esse esperado, garantindo que os melhores indivíduos
evoluem para resultados melhores sempre que executados, caso não haja mudanças nos
parâmetros dos mesmos cada algoritmo é executado 10 vezes durante 200 gerações.
1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,00,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
EF
ICIÊ
NC
IA D
E A
CO
PLA
ME
NT
O
COMPRIMENTO DE ONDA (m)
SIA-ALV
AG
ED
130
Cada geração durou em média 10 minutos para o AG, 8 minutos para o SIA-
ALV e 5 minutos para o ED. Essa diferença entre os tempos médios pode ser atribuída
as características e passos executados de cada algoritmo.
(a) (b)
(c)
Figura 4.52. Desvio padrão em função do número de gerações e evolução do fitness, em função de 200
gerações fixas, dos melhores algoritmos com Arranjos Triangulares (a) AG, (b) SIA-ALV e (c) ED,
respectivamente.
As execuções possuem ao final de 200 gerações um valor médio de Eficiência de
Acoplamento de 96,25% para o AG com desvio padrão de 0,787%, 97,12% para o SIA-
ALV com desvio padrão de 0,999% e para o ED média de 75,62% com desvio padrão
de 6,61%, ou seja, valores baixos de desvio padrão com altos valores de eficiências de
acoplamento médias em ambas as execuções, demonstrando assim a eficiência e
convergência dos algoritmos implementados para esse problema.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0AG (TAPER SEGMENTADO)
FIT
NE
SS
GERAÇÕES
REPETIÇÃO
1ª 6ª
2ª 7ª
3ª 8ª
4ª 9ª
5ª 10ª
Desvio Padrão
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0SIA-ALV (TAPER SEGMENTADO)
FIT
NE
SS
GERAÇÕES
REPETIÇÃO
1ª 6ª
2ª 7ª
3ª 8ª
4ª 9ª
5ª 10ª
Desvio Padrão
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9ED (TAPER SEGMENTADO)
FIT
NE
SS
GERAÇÕES
REPETIÇÃO
1ª 6ª
2ª 7ª
3ª 8ª
4ª 9ª
5ª 10ª
Desvio Padrão
131
A otimização de tapers segmentados, compostos por silício e sílica, usando o
método dos elementos finitos, em conjunção com os algoritmos de otimização AG, ED
e SIA-ALV foi apresentada. As estruturas obtidas pelos algoritmos desenvolvidos
podem ser utilizadas para projetar dispositivos eficientes e com baixas perdas,
considerando materiais diferentes, aumentando o número de segmentos e diferentes
comprimentos de onda. Como no problema dos cristais e do taper contínuo, o SIA-ALV
obteve melhores resultados que os demais algoritmos, fato esse evidenciado ao longo
desse trabalho.
A plataforma computacional utilizada é um computador com processador Intel®
Core™ i5 2310 (2.90 GHz, 6MB Cache L2), 8GB de RAM com o Windows 7 Home
Basic.
4.4. Publicações Associadas
Nesta seção são apresentadas as respectivas publicações, obtidas através dos
resultados encontrados nesse trabalho, em congressos nacionais e internacionais.
Dourado-Sisnando, A.; Vieira, L. F.; Rodriguez-Esquerre, V. F. ; Rubio-
Mercedes, C. E. . Taper Design and Optimization by Evolutionary
Algorithms. In: Latin American Optics an Photonics Conference, LAOP
2014, Cancún. Washington: OSA, 2014.
Resumo: Power coupling between different size waveguides have been
successfully and efficiently optimized by using an evolutionary algorithm based
on the artificial immune system in conjunction with the finite element method.
Dourado-Sisnando, A.; Teles Ruffini, Igor Maia; Rodrigues Dos Santos
Andrade, Rafael; Rodriguez-Esquerre, V. F. ; Rubio-Mercedes, C. E. . Power
Coupling Optimization by Artificial Immune System. In: Integrated
Photonics Research, Silicon and Nanophotonics, 2014, San Diego.
Advanced Photonics for Communications. Washington: OSA, 2014. p.
IT1A.2.
Resumo: Power coupling between different size waveguides has been
successfully and efficiently designed and optimized by using evolutionary
algorithms based on the artificial immune system and differential evolution in
conjunction with the finite element method.
132
A. Dourado-Sisnando; V. F. Rodríguez-Esquerre. Algoritmos Bio-
Inspirados e sua Aplicação na Otimização de Problemas Eletromagnéticos.
In: VIII Congresso de Pesquisa e Inovação da Rede Norte e Nordeste de
Educação Tecnológica (CONNEPI 2013), Salvador, Bahia, (Minicurso).
Resumo: Introdução ao uso de computação neural e evolutiva em problemas
Eletromagnéticos (Fotônicos e Microondas), apresentação de algoritmos bio-
inspirados e resultados com o uso destas ferramentas, visando demonstrar a
capacidade de aplicação e os elementos essenciais destas técnicas.
A. Dourado-Sisnando; VIEIRA, L. F.; V. F. Rodríguez-Esquerre. Artificial
Immune Systems Optimization of Absolute Bandgap of Photonic Crystals.
In: International Microwave and Optoelectronics Conference 2013, Rio
de Janeiro. 2013 SBMO | IEEE MTT-S International Microwave and
Optoelectronics Conference, 2013.
Resumo: This work consists in the optimization of the absolute photonic
bandgap (PBG) in two dimensional crystalline structures composed of air and
tellurium by using the evolutionary algorithm artificial immune system (AIS). In
order to analyze its performance, the absolute PBG for the TM12 and TE34
modes of triangular lattices have been optimized. The propagation properties of
the crystals were calculated by using an efficient frequency domain finite
element formulation. The performance of the evolutionary algorithm will be
presented as a function of several parameters which control the evolution
process (mutation ratio, number of individuals, elitism).
A. Dourado-Sisnando ; V. F. Rodríguez-Esquerre ; SANTOS, F. N. .
Otimização das Bandas Fotônicas Proibidas Absolutas de Cristais Fotônicos
Anisotrópicos Bidimensionais utilizando Sistemas Imunológicos Artificiais.
In: X Encontro Anual de Computação - EnAComp 2013, Catalão. Anais
do X Encontro Anual de Computação EnAComp 2013, p. 176-183, 2013..
Resumo: Resumo. O método dos elementos finitos (FEM) e o sistema
imunológico artificial (SIA) foram utilizados para resolver o problema inverso
envolvendo a busca e otimização da banda fotônica proibida (PBG) absoluta de
estruturas cristalinas com periodicidade em duas dimensões. Arranjos quadrados
133
e triangulares compostos por telúrio (Material Anisotrópico) e de ar foram
analisados. As PBGs foram calculadas ao longo da primeira região de Brillouin,
evitando o alto esforço computacional neste tipo de tarefa, obtendo-se a relação
da banda absoluta com seu valor médio, considerando PBGs entre os modos
TE12 e TM34, de 21,27% e 28,45% para os arranjos quadrados e triangulares,
respectivamente.
SANTOS, F. N. ; A. Dourado-Sisnando ; V. F. Rodríguez-Esquerre ;
Malheiros-Silveira, G. N. . Avaliação do Desempenho de Esquemas de
Cruzamento em Algoritmos Genéticos na Otimização de Bandas Proibidas
em Cristais Fotônicos. In: X Encontro Anual de Computação - EnAComp
2013, Catalão. Anais do X Encontro Anual de Computação EnAComp 2013,
p. 192-199, 2013.
Resumo: O objetivo deste trabalho é a avaliação de dois esquemas de
cruzamento em algoritmos genéticos aplicados na otimização da banda proibida
em estruturas de cristal fotônico com periodicidade em duas dimensões e
considerando os arranjos quadrado e triangular. Considerou-se a banda proibida
entre o primeiro e o segundo modos transversais magnéticos, denotado TM12.
As propriedades de propagação dos cristais são obtidas pelo método de elemento
finito eficiente no domínio da frequência.
SANTOS, F. N.; A. Dourado-Sisnando; V. F. Rodríguez-Esquerre;
Malheiros-Silveira, G. N. . Assessment of Crossover Schemes in Genetic
Algorithms Applied for the Optimization of Photonic Crystals Band Gap. In:
COMTEL 2012 IV Congreso Internacional de Computación y
Telecomunicaciones, 2012, Lima.
Resumo: O objetivo deste trabalho é a avaliação de dois esquemas de
cruzamento em algoritmos genéticos aplicados na otimização da banda proibida
em estruturas de cristal fotônico com periodicidade em duas dimensões e
considerando os arranjos quadrado e triangular. Considerou-se a banda proibida
entre o primeiro e o segundo modos transversais magnéticos, denotado TM12.
As propriedades de propagação dos cristais são obtidas pelo método de elemento
finito eficiente no domínio da frequência.
134
A. Dourado-Sisnando; SANTOS, F. N.; V. F. Rodríguez-Esquerre;
Malheiros-Silveira, G. N.. Comparación de Algoritmos evolutivos Aplicados
en la Optimización de Bandas Fotónicas Prohibidas en Cristales fotónicos
Bidimensionales. In: COINTEC - IV Congreso Internacional de
Tecnología, 2012, Lima. COINTEC - IV Congreso Internacional de
Tecnología - UPAO 2012, 2012.
Resumo: Este trabajo consiste en comparar los resultados de la optimización de
las bandas fotónicas prohibidas (PBG) estructuras de cristal fotónico 2D de
matrices cuadradas, compuestos de silicio y el aire, en la literatura obtenida a
través de algoritmos genéticos (GA), con los resultados obtenidos por un
algoritmo evolutivo (EA) desarrollado aquí. Se considera el espacio de banda
entre los dos Primeros modos transversales magnéticos llamados TM12. Las
propiedades de los cristales se calculó utilizando elementos finitos (FEM) en el
dominio de la frecuencia. Como conclusión, el rendimiento de la EA fue mejor
que el GA en todos los casos para la optimización del espacio de banda
prohibida de dos cristales fotónicos dimensionales relacionados con la brecha
de banda TM12.
Conclusão do Capítulo
Foram apresentadas, ao longo desse capítulo, a otimização de bandas fotônicas
proibidas de cristais fotônicos compostos de silício e ar para o modo TM e TE, e as
bandas fotônicas proibidas absolutas para cristais compostos de telúrio e ar e compostos
de silício e ar, utilizando o método dos elementos finitos em conjunto com os algoritmos
bio-inspirados (Algoritmo Genético e algoritmo evolutivo baseado em Sistema
Imunológico Artificial). Os arranjos cristalinos utilizados foram quadrados e
triangulares e as geometrias resultantes são consideradas como sendo buracos de ar no
silício e buracos de ar no telúrio. O arranjo triangular, assim como comentado na
literatura, apresenta uma maior faixa de PBG do que o arranjo quadrado, tanto para o
problema com material isotrópico, quanto para o problema com material anisotrópico.
Existem limitações na fabricação das geometrias encontradas por serem
complexas e não triviais. Mas, essas limitações podem ser superadas se as PBG’s são
projetadas para operar em frequências menores, nas quais a constante de arranjo é
135
aumentada.
Apresenta-se uma comparação entre os algoritmos genéticos e também entre o
algoritmo evolutivo, baseado em sistemas imunológicos, desenvolvido e implementado,
com a literatura [14], para o caso isotrópico, o que demonstrou que o AG uniforme e o
SIA obtiveram melhores resultados, validando os algoritmos desenvolvidos.
A partir desse resultado, conceberam-se dois algoritmos evolutivos baseados em
sistemas imunológicos artificiais, SIA-AV e SIA-ALV, possibilitando comparação com a
literatura [19, 33]. Um estudo do impacto, diferentes tamanhos de populações e
diferentes taxas de mutações poderiam causar nos resultados e convergência dos
mesmos, para o material anisotrópico e isotrópico, é apresentado. Nesse caso, nota-se
que aumentando o tamanho da população aumenta-se o esforço computacional e reduz-
se, com isso, o processo de evolução. Nota-se também que aumentando a taxa de
mutação, consequentemente, ocorre uma destruição de algumas características dos
indivíduos encontrados, reduzindo o valor das respectivas PBG’s absolutas, piorando os
resultados em comparativo com os encontrados na literatura. É apresentada também a
quantidade de canais suportados em telecomunicação, das melhores estruturas
encontradas nesse trabalho e da melhor encontrada na literatura [19, 33].
Realizou-se um teste de repetitividade com os melhores SIA-AV, SIA-ALV e
AG, o qual demonstrou que os algoritmos possuem bom funcionamento para o
problema das PBG's absolutas de cristais compostos de material isotrópico e de
materiais anisotrópicos, caso não sofram alterações.
Foi concebido também um algoritmo de evolução diferencial, o qual não foi
aplicado no problema dos cristais fotônicos porque já foi realizado em [63].
A otimização de tapers contínuos e segmentados, compostos de vidro e ar e
compostos por silício e sílica, respectivamente, usando o método dos elementos finitos,
em conjunção com os algoritmos de otimização AG, ED e SIA-ALV foram
apresentados.
Um estudo do impacto de diferentes taxas de mutação, tamanho da população
inicial e probabilidade de cruzamento também foi realizado, visando verificar os
impactos da variação desses parâmetros na otimização da eficiência de acoplamento dos
tapers propostos. Os resultados foram melhores que alguns encontrados na literatura
sendo promissores as aplicações dos mesmos. As estruturas obtidas pelos algoritmos
136
desenvolvidos podem ser utilizadas para projetar acopladores de guias de onda, filtros,
divisores de potência, transformadores de modo, etc., considerando materiais diferentes,
aumentando o número de segmentos e diferentes comprimentos de onda.
As estruturas otimizadas encontradas para o taper contínuo e o taper
segmentado, demonstraram em geral, bons resultados de eficiência de acoplamento,
99,26% e 98,16%, respectivamente, o que possibilita a utilização das mesmas em
projetos de circuitos ópticos com perdas reduzidas.
O SIA-ALV, assim como evidenciado no problema dos cristais, foi o algoritmo
que mais se adaptou com eficiência aos problemas propostos, exibindo boa
convergência, flexibilidade e menor esforço computacional.
Os resultados encontrados foram publicados na forma de artigo, em congressos
nacionais e internacionais, e seus respectivos títulos e nomes dos eventos foram
apresentados na Seção 4.4. Foi também encaminhado um artigo para o periódico IET
Optoelectronics, com os resultados das análises dos cristais fotônicos apresentados.
Foram submetidos também ao periódico PTL - Photonics Technology Letters os
resultados obtidos com a otimização da eficiência de acoplamento dos tapers
segmentados.
137
Capítulo 5
Conclusões
Ao longo dessa tese realizou-se um estudo teórico e simulações da banda
fotônica proibida de cristais fotônicos compostos de materiais isotrópico e anisotrópico
uniaxial através de algoritmos bio-inspirados. O mesmo estudo também foi realizado
com acopladores de guias de onda (tapers) com duas configurações diferentes, do tipo
contínuo e do tipo segmentado, especificamente, suas características de transmissão, as
diferentes geometrias e otimização da eficiência de acoplamento através de algoritmos
bio-inspirados.
Outro dos objetivos traçados foi desenvolver e conceber algoritmos bio-
inspirados eficientes e flexíveis, em associação com o método dos elementos finitos no
domínio da frequência em duas dimensões, para análise e otimização de estruturas
fotônicas.
A teoria a cerca das estruturas fotônicas otimizadas nesse trabalho foi
apresentada no Capítulo 2. Os cristais fotônicos bidimensionais compostos de material
isotrópico/anisotrópico, os conceitos de material isotrópico e anisotrópico. Apresenta-se
também as características dos guias segmentados e as estruturas de tapers contínuo e
segmentados propostos. As modelagens em elementos finitos 2D utilizadas para o
cálculo da banda fotônica proibida de cristais fotônicos e a modelagem para o calculo da
potência dos tapers, foram apresentadas, sendo essas modelagens prontas feitas em
outros trabalhos.
A teoria a cerca dos algoritmos bio-inspirados (algoritmo genético, sistema
imunológicos artificial e evolução diferencial), que fazem parte desse trabalho, foi
apresentada, juntamente com os conceitos básicos, analogia com processos existentes na
natureza e algoritmos clássicos encontrados na literatura. A partir desses algoritmos
clássicos, observando as ideias básicas, as principais variáveis e parâmetros, vantagens e
desvantagens, os passos necessários para o desenvolvimento e implementação, pôde-se
implementar algoritmos evolutivos para serem utilizados na otimização das estruturas
propostas nessa pesquisa.
A evolução diferencial constitui uma vertente interessante dentro da computação
138
evolutiva. Tal abordagem, segundo a literatura, se mostra bastante simples e eficiente
em diversos contextos, desde que atrelada a outro método (RNA, AG, SIA, etc.).
Porém, os algoritmos genéticos e o algoritmo baseado em SIA podem prover bons
resultados sem a necessidade do uso com outro método, sendo esta uma vantagem em
relação ao ED.
Para cada tipo de problema proposto aqui, o AG e o algoritmo evolutivo baseado
em SIA implementados possuem a flexibilidade de se ajustar, tamanho da população,
tipo de codificação dos cromossomos/anticorpos utilizados (binário ou real), tipo de
operador de cruzamento (um ponto, dois pontos, uniforme) para o AG, mutação pontual
que pode acontecer em todas as gerações ou em intervalos definidos pelo usuário (AG)
e, no caso do algoritmo evolutivo baseado em SIA, uma mutação que pode variar de
acordo com uma taxa escolhida pelo usuário e também se pode variar a taxa de clones a
serem criados pelo algoritmo e, para ambos, a quantidade de indivíduos que serão
utilizados no elitismo.
Para avaliar a metodologia proposta, realizou-se uma comparação dos
resultados obtidos com os encontrados na literatura e simulações eletromagnéticas
(obtenção das estruturas de bandas dos melhores cristais obtidos).
Os resultados da maximização das bandas fotônicas proibidas de cristais
fotônicos compostos de silício e ar para o modo TM e TE, e as PBG's absolutas para
cristais compostos de telúrio/silício e ar, utilizando o método dos elementos finitos em
conjunto com os algoritmos bio-inspirados (algoritmo genético e algoritmo evolutivo
baseado em sistema imunológico artificial), considerando arranjos cristalinos quadrados
e triangulares foram comparados com os resultados previamente publicados na
literatura.
Essa comparação entre os algoritmos desenvolvidos e implementados, com a
literatura [14], para o caso isotrópico, demonstrou que o AG uniforme (com PBG mais
alta arranjo triangular 51,74%), o algoritmo evolutivo baseado em SIA (com arranjo
triangular 51,31%) e o AG de dois pontos (com 48,51%), obtiveram melhores resultados
em relação a literatura para o mesmo problema, validando os algoritmos desenvolvidos.
A partir desse resultado, conceberam-se dois algoritmos evolutivos baseados em
sistemas imunológicos artificiais, SIA-AV e SIA-ALV, os quais inicialmente foram
aplicados no problema da PBG absoluta de cristais fotônicos, possibilitando
comparação com a literatura [19, 33]. Além disso, um estudo do impacto que, diferentes
139
tamanhos de populações e diferentes taxas de mutações, poderiam causar nos resultados
e convergência dos mesmos, para o material anisotrópico e isotrópico, é apresentado.
Nesse caso, nota-se que aumentando o tamanho da população aumenta-se o esforço
computacional e reduz-se, com isso, o processo de evolução. Nota-se também que
aumentando a taxa de mutação, consequentemente, ocorre uma destruição de algumas
características dos indivíduos encontrados, reduzindo o valor das respectivas PBG’s
absolutas, piorando os resultados em comparativo com os encontrados na literatura.
Para os cristais compostos de telúrio e ar, foi apresentado também um
refinamento, através da remoção de triângulos de materiais da célula unitária otimizada.
Notou-se que as estruturas são sensíveis a pequenas diferenças de materiais em sua
geometria, ou seja, removendo 2 elementos o valor da PBG absoluta é reduzido nesse
caso em 0,5% e removendo 4 elementos o valor é reduzido em 5%, aproximadamente,
porém as resultantes desse refinamento continuaram com valores elevados.
O arranjo triangular, assim como comentado na literatura, apresenta uma maior
faixa de PBG absoluta (24,41% material anisotrópico) do que o arranjo quadrado
(17,14% material anisotrópico), sendo que o mesmo pode ser observado para o
problema com material isotrópico, para PBG em modos separados. É apresentado em
paralelo a isso o valor da quantidade de canais suportados em telecomunicação, das
melhores estruturas encontradas nesse trabalho e da melhor encontrada na literatura [19,
33]. Comparação essa, que demonstrou que aumentando a PBG aumenta-se a
quantidade de canais nas mesmas, afirmando assim que as estruturas otimizadas pelos
algoritmos desse trabalho são eficientes e promissoras, mesmo sabendo que não são
estruturas triviais e com fabricação complexa.
Foi concebido também um algoritmo de evolução diferencial, o qual não foi
aplicado no problema dos cristais fotônicos porque já foi realizado em [63], mas que foi
aplicado na otimização da eficiência de acoplamento de tapers.
Os resultados da maximização da eficiência de acoplamento de tapers contínuos
e segmentados, compostos de vidro e ar e compostos por silício e sílica,
respectivamente, usando o método dos elementos finitos, em conjunção com os
algoritmos de otimização AG, ED e SIA-ALV, juntamente com o estudo do impacto que
diferentes taxas de mutação, tamanho da população inicial e probabilidade de
cruzamento, visando encontrar a configuração que mais se adapta aos problemas
propostos, foram apresentados.
140
Os algoritmos implementados mostraram-se bastante flexíveis, pois
demonstraram ótimos resultados mesmo mudando o problema (de cristais para tapers).
As estruturas otimizadas obtidas pelos algoritmos podem ser utilizadas para projetar
acopladores de guias de onda, filtros, divisores de potência, transformadores de modo,
etc., considerando materiais diferentes, aumentando o número de segmentos e diferentes
comprimentos de onda.
Os tapers contínuos e os tapers segmentados otimizados pelos algoritmos bio-
inspirados demonstraram, em geral, bons resultados de eficiência de acoplamento,
99,26% e 98,16%, respectivamente. Eficiência essa maior que as encontradas na
literatura com 92% [21, 36] e 81,4% [68], para o taper contínuo e para o taper
segmentado, respectivamente, o que possibilita a utilização das mesmas em projetos de
circuitos ópticos com perdas reduzidas.
O SIA-ALV, assim como evidenciado no problema dos cristais, foi o algoritmo
que mais se adaptou com eficiência aos problemas propostos, exibindo boa
convergência, flexibilidade e menor esforço computacional.
Foi realizado um teste de repetitividade com os algoritmos propostos com as
melhores configurações obtidas para cada problema, o qual demonstrou que os
algoritmos possuem bom funcionamento para cada problema aplicado, caso não sofram
alterações em seus parâmetros e variáveis.
Os resultados encontrados foram publicados, em congressos nacionais e
internacionais, e seus respectivos títulos e nomes dos eventos foram apresentados na
Seção 4.4. Foi também encaminhado um artigo para o periódico IET Optoelectronics,
com os resultados das análises dos cristais fotônicos apresentados e os resultados
obtidos com a otimização da eficiência de acoplamento dos Tapers segmentados foram
submetidos ao periódico PTL - Photonics Technology Letters.
Como sugestão para trabalhos futuros e continuação dessa pesquisa, propõe-se:
Trabalhar com os algoritmos aqui desenvolvidos, para otimizar outros
dispositivos fotônicos e/ou microondas com diferentes aplicações, tais como:
células solares, antenas, cavidades, filtros e ligações entre guias de ondas dentro
de chips óticos, crossings, guias com curvaturas, estruturas absorvedoras;
A fabricação das estruturas resultantes nesse trabalho e comprar com os
resultados obtidos nas simulações.
141
Referências
[1] J. R. de A. Amazonas, Projeto de sistemas de comucações ópticas, Manole, Barueri,
SP, 2005.
[2] H. Kogelnik, “An Introduction to Integrated Optics,” Transactions on microwave
theory and techniques-IEEE, Vol. MTT-23, n°1, Janeiro 1975.
[3] Vitaly Félix Rodríguez Esquerre, “Modelagem de Estruturas Fotônicas por
Elementos Finitos 2D no domínio do Tempo”, Tese de Doutorado, Universidade
Estadual de Campinas – Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação, Campinas,
São Paulo, Abril 2003.
[4] G. Keiser, Optical Fiber Communications, 2ª edição, McGraw Hill, New York, pp
97-113, 1991.
[5] G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, 2ª edição, Inc. Academic Press, pp 7-15,
1989.
[6] K. Saitoh e M. Koshiba, “Empirical Relations for Simple Design of Photonic Crystal
Fibers,” Opt. Express, n. 13, pp. 267–274, 2005. doi:10.1364/OPEX.13.000267.
[7] L. N. de Castro, Fundamentals of Natural Computing: Basic Concepts, Algorithms,
and Applications, Chapman & Hall/CRC, 2006.
[8] F. J. V. Zuben, Computação Evolutiva: Uma Abordagem Pragmática, Tutorial,
Unicamp, 2007, Disponível em: ftp://ftp.dca.fee.unicamp.br/pub/docs/vonzuben/
ia013_1s07/tutorialEC.pdf, acesso em 02 de abril de 2011, às 16:33h.
[9] G. L. Pappa, “ Algoritmos Bio-Inspirados: Conceitos e Aplicações em Aprendizado
de Máquina,” Notas de aula, http://homepages.dcc.ufmg.br/~glpappa/cverao/
CursoVerao-Parte1.pdf (acessado em 21 de Março de 2013).
[10] Carlos Henrique da Silva Santos, “Computação Bio-Inspirada e Paralela para a
Análise de Estruturas Metamateriais em Microondas e Fotônica”, Tese de
Doutorado, Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, Campinas, SP, 2010.
[11] L. N. de Castro, F. J. V. Zuben, Recent Developments in Biologically Inspired
Algorithms, Idea Group Publishing, Miami, 2005.
[12] C. H. Silva-Santos, K. Claudio, M. S. Gonçalves, H. E. Hernández-Figueroa,
“Design of Photonic Devices Using Bio-Inspired Algorithms”, In: International
Conference on Microwave and Optoelectronics, SBMO/IEEE MTT-S International
Microwave and Optoelectronics Conference (IMOC), Belém-Pará, 2009.
142
[13] C. H. Silva-Santos e H. E. Hernández-Figueroa, “Benchmarking Parallel Natural
Algorithms for Telecommunications Devices Design,” International Journal of
Advanced Research in Computer Science, vol. 4, n. 3, pp. 69, 2013.
[14] G. N. Malheiros-Silveira e V. F. Rodriguez-Esquerre . “Photonic Crystal Band Gap
Optimization by Genetic Algorithms”. In: IMOC2007- International Microwave and
Optoelectronics Conference, 2007, Salvador-BA. Proceedings of 2007 SBMO/IEEE
MTT-S International Microwave & Optoelectronics Conference, 2007. v. CD-ROM.
p. 734-737.
[15] G. N. Malheiros-Silveira, V. F. Rodríguez-Esquerre e H. E. Hernández-Figueroa,
“Genetic Algorithm Search os absolute Photonic Band Gap in 2D Anisotropic
Tellurium Photonic Crystals,” in Latin America Optics and Photonics Conference,
OSA Technical Digest, paper ThB4, 2010.
[16] G. N. Malheiros-Silveira, V. F. Rodríguez-Esquerre e H. E. Hernández-Figueroa,
“Problema Inverso de PBG Absoluta em Dielétrico anisotrópico via Computação
Bio-Inspirada,” Anais do MOMAG 2010 - 14º SBMO Simpósio Brasileiro de
Microondas e Optoeletrônica e o 9º CBMag Congresso Brasileiro de
Eletromagnetismo, Vila Velha, ES, 2010.
[17] J. Hunt, J. Timmis, D. Cooke, M. Neal e C. King, “ Jisys: The Development of an
Artificial Immune System for Real World Applications,” Artificial Immune System
and Their Applications, pp.157-186, 1998.
[18] D. Correia, V. F. Rodríguez-Esquerre e H. E. Hernández-Figueroa, “Genetic
Algorithm and Finite Elements for Dispersion-Flattened Fiber Synthesis,” In:
IPR2001 - OSA, pp. IWC2-1, 2001.
[19] G. N. Malheiros-Silveira, V. F. Rodríguez-Esquerre and H. E. Hernández-
Figueroa, “A Strategy of Search e Refinement by GA in 2D Photonic Crystals with
Absolute PBG,” IEEE Journal of Quantum Electronics, pp.431- 437 , Id: JQE-
132416-2010, April 2011.
[20] C. E. Rubio-Mercedes, V. F. Rodríguez-Esquerre, I.T. Lima, H. E. Hernández-
Figueroa, "Analysis of Straight Periodic Segmented Waveguide Using the 2-D Finite
Element Method," Journal of Lightwave Technology, vol. 32, Issue 11, pp. 2163-
2169, May 2014.
143
[21] T. Felici, R. Black and D. Gallagher, “Recent advances and results in waveguide
shape optimisation techniques,” Lasers and Electro-Optics Society, vol. 2, pp. 831-
832 , 2002, doi:10.1109/LEOS.2002.1159565.
[22] M. S. Gonçalves, C. H. Silva-Santos, H. E. Hernández-Figueroa e A. C.
Bordonalli, “Parallel three-dimensional full-time domain applied to photonic
structures,” IET Optoelectronics, vol. 5, n. 1, pp. 40-45 , Fevereiro 2011, doi:
10.1049/iet-opt.2009.0086.
[23] C. H. Silva-Santos, M. S. Gonçalves e H. E. Hernández-Figueroa, “Evolutionary
strategy algorithm applied to optimize micro-to-nano coupler devices”, In:
International Conference on Microwave and Optoelectronics, SBMO/IEEE MTT-S
International Microwave and Optoelectronics Conference (IMOC), Natal-RN, 2011,
doi: 10.1109/IMOC.2011.6169290.
[24] C. H. Silva-Santos e H. E. Hernández-Figueroa, “Parallel bio-inspired algorithms
in computational electromagnetics applications”, In: International Conference on
Microwave and Optoelectronics, SBMO/IEEE MTT-S International Microwave and
Optoelectronics Conference (IMOC), Natal-RN, 2011, doi:
10.1109/IMOC.2011.6169291
[25] C. H. Silva-Santos, V. F. Rodríguez-Esquerre e H. E. Hernández-Figueroa, “An
Artificial Immune System for Optical Fiber Based Directional Couplers
Multiplexer/Demultiplexers Design”, In: Latin America Optics and Photonics
Conference (LAOP), Recife-PE, 2010, doi: 10.1364/LAOP.2010.PDPTuJ5.
[26] L. Zhi-Yuan, G. Bem-Yuan e Y. Guo-Zhen, “Improvement of absolute band gaps
in 2D photonic crystals by anisotropy in dielectricity,” European Physical Journal B,
vol. 11, pp. 65-73, 1999.
[27] B. Rezaei, T. Fathollahi, A. Khalkhali, M. Soltani Vala e Kalafi, “Absolute band
gap properties in two-dimensional photonic crystals composed of air rings in
anisotropic tellurium background”, Optics Communications, vol. 282, pp. 2861-
2869, Julho 2009.
[28] B. Rezaei e M. Kalafi, “Absolute band gap engineering of anisotropic square and
triangular photonic crystals,” Materials Science in Semiconductor Processing, vol.
10, n. 4-5, pp. 159–166, 2007.
[29] Z.-Y. Li, B.-Y Gu e G.-Z. Yang, “Large absolute band gap in 2-D anisotropic
photonic crystals,” Phys. Rev. Lett., vol. 81, n. 12, pp. 2574–2577, Setembror 1998.
144
[30] S. Preble, M. Lipson e H. Lipson. “Two-dimensional photonic crystals designed by
evolutionary algorithms”. Applied Physics Letters, vol. 86, pp. 061111(3), 2005.
[31] T. F. Khalkhali, B. Rezaei e M. Kalafi, "Enlargement of absolute photonic band
gap in modified 2D anisotropic annular photonic crystals," Optics Communications,
vol. 284, n. 13, pp. 3315–3322, 2011. [75]. Z. Han e S. He, “Two-dimensional model
for three-dimensional indexguided multimode plasmonic waveguides and the design
of ultrasmall multimode interference splitters,” Appl. Opt., vol. 46, n. 25, pp. 6223–
6227, 2007.
[32] H. Kurt eD. S. Citrin, "Annular photonic crystals", Optics Express, vol. 13, n. 25,
pp. 10316–10326, 2005.
[33] J. D. Joannopoulos, R. D. Meade e J. N. Winn, Photonic Crystals, Molding the
Flow of Light, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 2007.
[34] P. J. Bock, P. Cheben, J. H. Schmid, J. Lapointe, A. Delâge, S. Janz, G. C. Aers,
D.-X. Xu, A. Densmore e T. J. Hall, “Subwavelength grating periodic structures in
silicon-on-insulator: A new type of microphotonic waveguide,” Opt. Exp., vol. 18, n.
19, pp. 20251–20262, Setembro 2010.
[35] P. J. Bock, P. Cheben, J. H. Schmid, J. Lapointe, A. Delâge, D.-X. Xu, S. Janz, A.
Densmore, e T. J. Hall, “Subwavelength grating crossing for silicon wire
waveguides,” Opt. Exp., vol. 18, n. 15, pp. 16146–16155, Julho 2010.
[36] T. Felici e H. W. Engl, "On shape optimization of optical waveguides using inverse
problem techniques," IOPScience Inverse Problems, vol. 17, pp. 1141, 2001,
doi:10.1088/0266-5611/17/4/338.
[37] R. de Ridder, R. A. Wijbrans, H. Albers, J. S. Aukema, P. V. Lambeck, H. J. W. M.
Hoekstra e A. Driessen, “A spot-size transformer for fiber-chip coupling in sensor
applications at 633nm in silicon oxynitride”, In: Lasers and Electro-Optics Society
Annual Meeting, 8th Annual Meeting Conference Proceedings, vol. 2, pp. 86–87,
Outubro 1995.
[38] Z. Weissman e A. Hardy, “2-d mode tapering via tapered channel waveguide
segmentation, ” Electronics Letters, vol. 28, n. 16, pp. 1514–1516, Julho 1992.
[39] Z. Weissman e A. Hardy, “Modes of periodically segmented waveguides,” Journal
of Lightwave Technology, vol. 11, n. 11, pp. 1831–1838, Novembro 1993.
[40] Z. Weissman e I. Hendel, “Analysis of periodically segmented waveguide mode
expanders,” Journal of Lightwave Technology, vol. 13, n. 10, pp. 2053–2058,
Outubro 1995.
145
[41] Ruth Esther Rubio Noriega, “Estudo de Guias Periodicamente Segmentados
Usando o Método dos Elementos Finitos”, Dissertação de Mestrado, Universidade
Estadual de Campinas– Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação, Campinas,
São Paulo, Julho 2012.
[42] R. Baets e P. E. Lagasse, “Calculation of radiation loss in integrated-optic tapers
and y-junctions,” Appl. Opt., OSA, vol. 21, n. 11, pp. 1972-1978, Junho 1982.
[43] C. E. Rubio-Mercedes e H. E. Hernández-Figueroa, “Padé boundary conditions for
the finite-element solution of arbitrary planar junctions,” J. Lightw. Technol., vol. 22,
n. 2, pp. 669–676, Fevereiro 2004.
[44] Cosme Eustaquio Rubio Mercedes, “Análise de Estruturas Fotônicas por
Elementos Finitos no Domínio da Frequência”, Tese de Doutorado, Universidade
Estadual de Campinas– Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação, Campinas,
São Paulo, Junho 2002.
[45] Software GiD, "The personal pre and post processor", http://www.gidhome.com/.
[46] F. Glover, "Future paths for integer programming and links to artificial
intelligence," Computers and Operations Research, vol. 13, pp. 533-549, 1986.
[47] F. Glover e G. A. Kochenberger, Handbook of Metaheuristics, Kluwer Academic
Publishers, Massachusetts-USA, Springer, 2003.
[48] C. Blum e A. Roli, "Metaheuristics in combinatorial optimization: Overview and
conceptual comparison," ACM Comput. Surv., vol. 35, pp. 268-308, 2003.
[49] V. S. M. Campos, A. G. C. Pereira, L. A. Carlos e I. A. S. de Assis, “Algoritmo
Genético por Cadeia de Markov Homogênea versus Não-Homogênea: Um Estudo
Comparativo,” Revista del Instituto Chileno de Investigación Operativa, vol. 2, pp.
30-35, 2002.
[50] T. Back, D. Fozel, Z. Michalwicz, Handbook on Evolutionary Computation, 1998.
[51] R. L. Haupt e D. H. Werner, Genetic Algorithms In Electromagnetics, John Wiley
& Sons, New Jersey, 2007.
[52] K. Busch, S. Lölkes, R. B. Wehrspohn e H. Föll, Photonic Crystals: Advances in
Design, Fabrication, and Characterization, Wiley-VCH, Weinheim, Germany, 2006.
[53] R. B. Wehrspohn, H.-S. Kitzerow e Kurt Busch, Nanophotonic Materials:Photonic
Crystals, Plasmonics, and Metamaterials, Wiley-VCH, Weinheim, Germany, 2008.
[54] S. Robinson e R. Nakkeeran, "Photonic Crystal Ring Resonator Based Optical
Filters", In: "Advances in Photonic Crystals", Croácia: InTech, Capítulo 1, 2013.
146
[55] Y. Shi, “A compact polarization beam splitter based on a multimode photonic
crystal waveguide with an internal photonic crystal section,” Progress In
Electromagnetics Research, 103, pp. 393-401, 2010.doi:10.2528/PIER10040402.
[56] R. Selim, D. Pinto e S. S. A. Obayya, “Improved design of photonic crystal-based
multiplexer/demultiplexer devices,” IET Optoelectron., vol. 4, n. 4, pp. 165–173,
2010.
[57] R. Bchir, A. Bardaoui e H. Ezzaouia, “Design of silicon-based two-dimensional
photonic integrated circuits: XOR gate,” IET Optoelectron., vol. 7, n. 1, pp. 25–29,
2013.
[58] D. Pinto e S. S. A. Obayya, “Nonlinear finite-volume time-domain analysis of
photonic crystal-based resonant cavities,” IET Optoelectron., vol. 2, n. 6, pp. 254–
261, 2008.
[59] W. Aroua, F. Ouerghi, S. Haxha, F. AbdelMalek, M. Mejatty, H. Bouchriha e V.
Haxha, “Analysis and optimisation of high-density photonic crystal devices in a
subsystem by use of finite difference time domain,” IET Optoelectron., vol. 2, n. 1,
pp. 10–15, 2008.
[60] V. F. Rodriguez-Esquerre, H. E. Hernández-Figueroa e M. Koshiba, “Modeling of
complex structures devices and applications”, in Cavalcante, et al, (Ed):
‘Telecommunications: Advances and Trends in Transmission, Networking and
Applications’, (Univ. Fortaleza Press, 2006), pp. 173–187.
[61] B. E. A. Saleh e M. C. Teich, Fundamentals of Photonics,2nd
edition, Wiley, 2007.
[62] Janaine Maria Sereguetti, “Efeitos da Geometria e da Composição no Espectro de
Cristais Fotônicos 2D”, Dissertação de Mestrado, Faculdade de Ciências,
Universidade Estadual Paulista, Bauru, 2012.
[63] Francismari Noronha dos Santos, Otimização de Cristais Fotônicos por meio de
Algoritmos Evolutivos, Dissertação de Mestrado, Universidade Federal da Bahia-
UFBA, Salvador, BA, 2014.
[64] Daniel Varela Magalhães, “Caracterização Eletro-óptica de Cristais Orgânicos”,
Dissertação de Mestrado, Instituto de Física de São Carlos - USP, São Carlos, SP,
1998.
[65] C. Rubio-Mercedes, I. T. Lima Jr., H. E. Hernandez-Figueroa e V. F. Rodriguez-
Esquerre, "Periodic segmented waveguide analysis by using the 2d finite element
147
method", In: Microwave & Optoelectronics Conference (IMOC), 2011 SBMO/IEEE
MTT-S International, Natal, RN, pp. 876 - 880, 2011.
[66] S. C. Zilio, Óptica Moderna Fundamentos e Aplicações, Instituto de Fisica de São
Carlos, IFSC-USP Fotônica, 2009.
[67] D. Nir, Z. Weissman, S. Ruschin, e A. Hardy, “Periodically segmented waveguide
in TiLiNbO3 ,” Opt. Lett., vol. 19, n. 21, Novembro 1994.
[68] P. Cheben, D-X. Xu, S. Janz e A. Densmore, "Subwavelength waveguide grating
for mode conversion and light coupling in integrated optics," Optics Express, vol. 14,
n. 11, pp. 4695 – 4702, Maio 2006.
[69] D. Ortega, R. M. De la Rue e J. S. Aitchison, “Cutoff wavelength of periodically
segmented waveguides in TiLiNbO3 ,” J. Ligthw. Technol., vol. 16, n. 2, pp. 284–
291, Fevereiro 1998.
[70] D. Ortega, J. M. Aldariz, J. M. Arnold e J. S. Aitchison, “Analysis of “Quasi-
Modes” in periodic segmented waveguides,” J. Lightw. Technol., vol. 17, n. 2, pp.
369–375, Fevereiro 1999
[71] Y. Tsuji e M. Koshiba, “Finite element method using port truncation by perfectly
matched layer boundary condition for optical waveguide discontinuity problems, ”
Journal of Lightwave Technology, vol. 20, n. 3, pp. 463-468, 2002.
[72] Leandro Nunes de Castro, “Engenharia Imunológica: Desenvolvimento e
Aplicação de Ferramentas Computacionais Inspiradas em Sistemas Imunológicos
Artificiais”, Tese de Doutorado, UNICAMP, Campinas, SP, 2001.
[73] J. Lu e J. Vučković, “ Nanophotonic computational design,” Optics Express, vol.
21, n. 11, pp. 13351-13367, Maio 2013, DOI:10.1364/OE.21.013351.
[74] F. N. Santos, S. S. Nascimento, V. F. Rodriguez-Esquerre, e F. G. S. Silva,
“Analysis and Design of Microstrip Antennas by Artificial Neural Networks,” IMOC
2011, Natal, 2011.
[75] W. Zhang, C. Wang, J. Shu, C. Jiang e W. Hu, “Design of Fiber-optical Parametric
Amplifiers by Genetic Algorithm,” IEEE Photonics Technology Letters, vol. 16, n. 7,
Julho 2004.
[76] P. Rocca, G. Oliveri e A. Massa, "Differential Evolution as Aplied to
Electromagnetics," IEEE antennas and Propagtion Magazine, vol. 53, n. 1, pp. 38-
49, 2011.
[77] A. Qing e C. K. Lee, Differential Evolution in Eletromagnetics, Adaptation,
Learning and Optimization, Springer, 2010.
148
[78] F. Prudenzano, L. Mescia, A. D’Orazio, M. de Sario, V. Petruzzelli, A. Chiasera e
M. Ferrari, “Optimization and Characterization of Rare-Earth-Doped Photonic-
Crystal-Fiber Amplifier Using Genetic Algorithm,” Journal of Lightwave
Technology, vol. 25, n. 8, Agosto 2007.
[79] W. Jia, L. Jiang, H. Li, G. Zheng, X. Li e Y. Jun. “Genetic Algorithm for Band Gap
Optimization under light line in Two-Dimensional Photonic Crystals,” CLEO Pacific
RIM2009, Setembro 2009.
[80] J. Xu, “Optimization of Construction of Multiple One-Dimensional Photonic
Crystals to Extend Bandgap by Genetic Algorithm,” Journal of Lightwave
Technology, vol. 28, n. 7, Abril 2010.
[81] C. H. Silva-Santos, M. S. Gonçalves e H. E. Hernández-Figueroa, “Designing
Novel Photonic Devices by Bio-Inspired Computing,” IEEE Photonics Technology
Letters, vol. 22, pp. 1777-1779, 2010.
[82] G. Tremblay, J. N. Gillet, Y. Sheng, M. Bernier e G. Paul-Hus, “Optimizing Fiber
Bragg Gratings Using a Genetic Algorithm With Fabrication-Constraint Encoding,”
Journal of Lightwave Technology, vol. 23, n. 12, December 2005.
[83] M. A. C. Pacheco, “Algoritmos Genéticos: Princípios e Aplicações,” Notas de aula,
Disponível em: www.ica.ele.puc-rio.br, acesso em 02 de abril de 2011.
[84] Z. Michalewicz, Genetic Algorithms+Data Structures=Evolution Programs,
Springer, Verlag, 1994.
[85] D. Goldberg, Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning,
Addison, Wesley, 1989.
[86] Gilliard Nardel Malheiros Silveira, “Modelagem por Elementos Finitos de
Dispositivos fotônicos e de Rf”, Dissertação de Mestrado, Universidade Estadual de
Campinas– Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação, Campinas, São Paulo,
Junho 2010.
[87] M. A. F. Nantes, C. C. de Souza e J. F. R. Neto, “Otimização de funções utilizando
algoritmos genéticos no aplicativo MS Excel”, Em: XXXIII Congresso Nacional de
Matemática Aplicada e Computacional, CNMAC 2010, pp. 1103-1105, 2010.
[88] F. A. do Nascimento e K. C. Souto, “Modelo de Algoritmos Genéticos para a
Otimização de Funções Matemáticas (Fase II)”, Em: Sociedade Brasileira de
Educação Matemática - Regional Rio de Janeiro, VI EEMAT, 2014.
[89] M. C. Goldbarg e H. L. L. PACCA, Otimização Combinatória e Programação
Linear: Modelos e Algoritmos, Rio de Janeiro: Editora Campus, 2000.
149
[90] G. V. R. Viana, Metas-heuristicas e programação paralela em otimização
combinatória, Fortaleza: EUFC, 1998.
[91] Osmar de Oliveira Braz Júnior, “Otimização de Horários em Instituições de ensino
Superior através de Algoritmos Genéticos”, Dissertação de Mestrado, Universidade
Federal de Santa Catarina, Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção,
Florianópolis, Fevereiro 2000.
[92] F. V. Costa, F. S. Vidal e C. M. G. André, “SLAG – Resolvendo o problema do
caixeiro viajante utilizando algoritmos genéticos”, Em: V Encontro dos Estudantes
de Informática do Estado do Tocantins, Palmas. Anais EIN/EncoInfo, 2003.
Disponível em: <http://www.de9.ime.eb.br/~fsvidal/trabpub/slag.pdf>. Acesso em 13
de abril de 2010.
[93] Caio Domingues Reina, “Roteirização de veículos com janelas de tempo utilizando
algoritmo genético”, Dissertação de Mestrado, Escola Politécnica de São Paulo,
Engenharia de Transportes, São Paulo, Junho 2012.
[94] L. F. V. Caires, T. F. Noronha e O. P. V. Neto, “Algoritmo Evolutivo Aplicado à
Síntese e Otimização de Circuitos Baseados em Qca”, Em: CLAIO/SBPO Congreso
Latino-Iberoamericano de Investigacion Operativa, Rio de Janeiro, 2012.
[95] Edilton Furquim Goulart Sobrinho, “Uma Ferramenta Alternativa para Síntese de
Circuitos Lógicos Usando a Técnica de Circuito Evolutivo”, Dissertação de
Mestrado, Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira,
Ilha Solteira, Junho 2007.
[96] R. Linden, Algoritmos Genéticos, Editora: Ciência Moderna- 3a. Edição, Brasil,
2012.
[97] H. Affenzeller, S. Wagner, S. Winkler e A. Beham, Genetic Algorithms and
Genetic Programming: Modern Concepts and Practical Applications, Editora: CRC
Press, Nova York-NY, pp. 6-7, 2009.
[98] S. Forrest, S. Hofmeyr e A. Somayaji, “Computer immunology,” Communications
of the ACM, vol. 40, n. 10, pp. 88-96, 1997.
[99] L. N. de Castro e F. J. V. Zuben, “Artificial Immune Systems: Part I - Basic Theory
and Applications,” Technical Report TR-DCA 01/99, 1999.
[100] Jorge Luís Machado do Amaral, “Sistemas Imunológicos Artificiais Aplicados à
Detecção de Falhas”, Tese de Doutorado, Pontifícia Universidade Católica do Rio de
Janeiro – PUC-Rio, Rio de Janeiro, Março 2006.
150
[101] N. K. Jerne, “Clonal Selection in a Lymphocyte Network,” Cellular Selection and
Regulation in the Immune Response, G. M. Edelman (Ed.), Raven Press, N. Y., p.
39, 1974.
[102] L. N. de Castro e F. J. V. Zuben, “The clone selection algorithm with engineering
applications,” Proc. of GECCO, pp. 36-37, 2000.
[103] D. Dasgupta e F. González, “Artificial Immune System (AIS) Research in the last
five years,” Congress on Evolutionary Computation, Camberra, Austrália, pp. 123-
130, 2003.
[104] N. Khilwani, A. Prakash, R. Shankar e M. K. Tiwari, “Fast clonal algorithm,”
Engineering Applications of Artificial Intelligence, vol. 21, n. 1, pp. 106–128,
Fevereiro 2008. http://dx.doi.org/10.1016/j.engappai.2007.01.004
[105] G. B. Fozel e D. W. Corne, Evolutionary Computing in Bioinformatics, Morgan
Kaufmann, San Francisco, CA, 2003.
[106] V. Cutello e G. Nicosia, “Multiple learning using immune algorithms” In: Paper
Presented at the Fourth International Conference on Recent Advances in Soft
Computing, Nottingham, UK, 2002.
[107] V. Cutello e G. Nicosia, “An immunological approach to combinatorial
optimization problems’, Lecture Notes in Computer Science, n. 2527, pp. 361–370,
2002.
[108] L. N. de Castro e F. J. V. Zuben, “aiNet: An Artificial Immune Network for Data
Analysis,” In: H. A. ABBASS, R. A. SARKER, C. S. NEWTON, Data Mining: A
Heuristic Approach. Idea Group Publishing, USA, Cap. 12, pp. 231-239, 2001.
[109] L. N. de Castro e J. Timmis, “Artificial Immune Systems: A Novel Paradigm to
Pattern Recognition,” Artificial Neural Network in Pattern Recognition, University
of Paisley, UK, 2002.
[110] A. W. Mohamed, H. Z. Sabry e M. Khorshid, “An alternative differential
evolution algorithm for global optimization,” Journal of Advanced Research, vol. 3,
n. 2, pp. 149-165, Abril 2012.
[111] R. Storn e K.Price, "Differential Evolution - A Simple and Efficient Heuristic for
Global Optimization over Continuous Spaces," Journal of Global Optimization,
vol.11, pp. 341-359, 1997.
[112] R. Storn e K. Price , "Differential Evolution: a simple and efficient adaptive
scheme for global optimization over continuous spaces," Technical Report TR-95-
012, International Computer Science Institute, Berkeley, 1995.
151
[113] P. R. Bergamaschi e I. P. Bonfim, "O Método de Otimização Evolução
Diferencial: uma análise dos parâmetros - fator de perturbação e probabilidade de
cruzamento," II Simpósio de Matemática e Matemática Industrial - SIMMI, vol. 1,
ISSN 2175-7828, 2010.
[114] Y. R. Samii e E. Michelssen, Electromagnetic Optimization by Genetic
Algorithm, John Wiley, 1999.
[115] X. Yao, Y. Liu e G. Lin, "Evolutionary programming made faster," IEEE
Transactions on Evolutionary Computation, vol. 3, n. 2, pp.82-102, 1999.
[116] M.-C. Lin e R.-F. Jao, "Finite element analysis of photon density of states for 2-D
photonic crystals with in-plane light propagation", Optics Express, vol. 15, n.1, pp.
207–218, 2007.
[117] F. Quiñónez, J. W. Menezes, L. Cescato, V. F. Rodríguez-Esquerre, H.
Hernández-Figueroa e R. D. Mansano, "Band gap of hexagonal 2-D photonic crystals
with elliptical holes recorded by interference lithography", Optics Express, vol. 14, n.
11, pp. 4873 – 4879, 2006.
[118] A. Dourado-Sisnando, F. N. Santos, V. F. Rodríguez-Esquerre e G. N. S.
Malheiros, "Comparación de Algoritmos Evolutivos Aplicados en La Optimización
de Bandas Fotónicas Prohibidas en Cristales Fotónicos Bidimensionales", In: IV
Congreso Internacional de Tecnología, Lima, Peru, 2012.
[119] Z.-Y. Li, B.-Y. Gu e G.-Z. Yang, "Improvement of absolute band gaps in 2-D
photonic crystals by anisotropy in dielectricity", Eur. Phys. J. B., vol. 11, n. 1, pp.
65-73, 1999.
[120] M.W. Yaw, S. P. Koh e K. H. Chong, "The Effect of Mutation Rate to Artificial
Immune System Algorithm Optimization in Solving Engineering Gear Train
Problem", in: IEEE Conference on Open Systems (ICOS2011), Langkawi, Malaysia,
2011.
[121] Y. Tsuji e M. Koshiba, “Finite element method using port truncation by perfectly
matched layer boundary conditions for optical waveguide discontinuity problems,” J.
Lightw. Technol, vol. 20, n. 3, pp. 463–470, Março 2002.