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θ
Lic: Evaristo Huamaní Velásquez Lic: Evaristo Huamaní Velásquez
HOLA CHICAS
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ÁNGULO
Vértice
θ
Es la figura geométrica formada por dos rayos que forman una amplitud o abertura y tienen un mismo origen llamado vértice.
Es la figura geométrica formada por dos rayos que forman una amplitud o abertura y tienen un mismo origen llamado vértice.
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ELMENTOS DE UN ÁNGULO
O A
B
Lado OA
Lad
o O
B
Amplitud
Vértice
Son:•Lados OA y OB•Amplitud o ángulo•Vértice
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SISTEMA DE MEDIDA DE LOS ÁNGULOS
Los ángulos se miden con un instrumento llamado TRANSPORTADOR y utilizan el sistema sexagesimal. Cuyas notaciones es el siguiente
SISTEMA DE MEDIDA DE LOS ÁNGULOS
Los ángulos se miden con un instrumento llamado TRANSPORTADOR y utilizan el sistema sexagesimal. Cuyas notaciones es el siguiente
TRANPORTADOR
110
1º Se llama grado sexagesimal 1` Se llama minuto sexagesimal
1``Se llama segundo sexagesimal
EQUIVALENCIAS
1º = 60` 1`= 60`` 1º = 3600``
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Los ángulos en los murales y construcciones Los ángulos en los murales y construcciones
MURAL DENTRO DE LA HUACA DE LA LUNA
Trujillo
MURAL DENTRO DE LA HUACA DE LA LUNA
TrujilloCONSTRUCCIÓN EN SACSAYHUAMAN
CONSTRUCCIÓN EN SACSAYHUAMAN
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CLASIFICACIÓN
DE LOS
ÁNGULOS
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ÁNGULO AGUDO
Son aquellos ángulos que miden más de 0º y menos de 90º
EjemplosEjemplos
θθ θ
0º 0º 0º
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ÁNGULO RECTOSon aquellos ángulos que mide 90º. Se simboliza en la figura, con un pequeño cuadrado lo que indica un ángulo recto.
Se dice que las líneas o rectas son perpendiculares entre si.
θ
θ
Forman ángulos de 90º
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ÁNGULO OBTUSO
Son aquellos ángulos que mide más de 90º y menor de 180º
θ
θ
θ
θ
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ÁNGULO EXTENDIDO O LLANO
Son aquellos ángulos que mide 180º y son dos rayos opuestos
θ
180º 180º
θ
180º
180º 180º
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ÁNGULO CÓNCAVO
Son aquellos que miden más de 180º y menos de 360º
180º 360º
180º 360º
180º 360º
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ÁNGULO COMPLETO
Es aquel ángulo que mide 360º. Es decir una vuelta completa
180º
180º
360º
La tierra vista del espacio
360º
Los tres ángulos forman un ángulo completo en las piedras
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RELACIONES
ENTRE
ÁNGULOS
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ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Son los ángulos consecutivos que suma 90º
ab
a + b = 90º
90
90
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ÁNGULOS SUPLEMENTARIOSSon aquellos ángulos consecutivo que suma 180º
ab
a + b = 180º
180º
El candelabro de pisco
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ÁNGULOS ADYACENTES O CONSECUTIVOS
Son aquellos ángulos que tiene un lado común
cSon conse utivos
secSon con utivos
Lado
com
ún Lad
o co
mún
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ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
a
b
Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida
a = b
Estos ángulos son opuestos por
el vértice
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BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es aquel rayo que divide a un ángulo en dos ángulos iguales
BisectrizBisectrices
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EJERCICIOS RESUELTOS
1.En la figura hallar x, si OM es bisectriz
O
M
A
B
x +10º
2x
Solución
Observando la figura, si OM es bisectriz, entonces los ángulos BOM = MOA
Luego: x +10º = 2x
Pasamos x al 2do Miembro
10º = 2x – x
10º = x
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2. En los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD se cumple que AOB = 20º, BOC = 50º y COD = 30º .Hallar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.
Solución Según el enunciado se tiene la siguiente figura
D
C
B
O A
N
M
Observando la figura y hallando el ángulo pedido se tiene:
20º
50º30º
Bisectriz del ángulo AOB
Bisectriz del
ángulo COD
10º
15º
x
10º
15º
15º 50º 10ºx 75ºx
x es el ángulo formado por las bisectrices
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3. En la figura hallar el valor de “x”
65
2 75x
652 75x
SoluciónObservando la figura se tiene dos ángulos suplementarios
2 75 65 180
2 10 180
x
x
2 180 10
1902 190
2
x
x x
95x
Los ángulos forman una
semicircunferenciaLo cual mide 180°
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4. En la figura hallar el valor de “x”
x5x
2 19x
x5x
2 19x
Analizando el gráfico se tiene 3 ángulo que forman un ángulo recto de 90°
Solución
90
2 19 5 90
4 14 90
x x x
x
Sumando los ángulos se tiene:
El cuadrado rojo nos indica que se trata de un ángulo de 90°
4 90 14
4 104
x
x
104
4x
26x
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5.Se tiene dos ángulos consecutivos AOB=30° y BOC=110° de modo que se traza una bisectriz OM del ángulo AOC, hallar el ángulo formado por OMB
Analizando la lectura y graficando se tiene:
C
B
O A
M
x55º
30º55º
Bisectriz
30 55x
55 30x
25x
Observando el grafico se tiene:
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6.Se tiene tres ángulos consecutivos en una recta AOB,BOC y COD cuyas medidas son x+8°, 2x+4° y 3x-24° hallar el ángulo BOC
SoluciónHaciendo la gráfica según el enunciado se tiene:
A
BC
D O8x
2 4x 3 24x
Observando la gráfica se formo un ángulo llano 3 24 2 4 8 180
3 2 24 4 8 180
x x x
x x x
6 24 12 180
6 12 180
x
x
6 180 12
6 192
x
x
192
6x
32x
:
2 4
2 32 4
64 4
68
Luego
BOC x
BOC