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Cramed Cramed Cramed
Problemas De Reforzamiento Sobre ÁngulosNIVEL I
PROBLEMA 1 Si, S es el suplemento y C es el complemento, calcular:
SC50 º−SS139 ºCCC 89 º
A) 0,5 B) 1 C)1,5 D) 2 E) 3
Resolución:
SC50 º−SS139 ºCCC 89 º =
180 º−(90º−50 º )−13990 º−89º
=1 Rpta. B
PROBLEMA 2
En un ángulo AOC se traza su bisectriz OB tal que m AOB=x+40º y
m BOC=2x+10º. Calcular m AOC
A) 150º B) 100º C) 120º D) 130º E) 140º
Resolución:
Luego:
m AOC = 3x+50º = 3 . 30º+50º
m OAC = 140 Rpta. E
PROBLEMA 3 En la figura calcular x
A) 124º B) 132º C) 136º D) 126º E) 120º
2 x+10 º=x+40 ºx=30 º
C B
2 x+10 º
x+40 º AO
8φ
φ x
Cramed Cramed Cramed
Resolución:
5φ=90 º⇒φ=18 ºPero:
3φ+x=180º⇒3 .18 º+ x=180 ºx=126 º Rpta. D
PROBLEMA 4 EN los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, se cumple que m
AOC + m BOD=140º, además m AOD=114º. Encontrar m BOC.A) 24º B) 26º C) 30º D) 32º E) 42ºResolución:
PROBLEMA 5
En los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, se cumple que m COD = 3 . m AOC, además mbod-3, m AOB = 60º . Calcular la medida del ángulo BOCA) 14º B) 18º C) 15º D) 24º E) 42º
Resolución:
m AOC + m BOD = 140º
+ x + x + = 140º
+ x + x + = 140º
+ x + + x = 140º
140º + x = 140º
X = 20º Rpta. B
m BOD – 3 mAOB=60º
x+3-3(-x)=60º
x+3-3+3x=60º
X = 15º Rpta. C
x
5φ3φ
3φ
BA
C
114 ºxφ
O Dβ
CBA
φ
x
3φO
D
Cramed Cramed Cramed
PROBLEMA 6 Calcular “x”
A) 130º B) 150º C) 145º D) 120º E) 135º
Resolución:
PROBLEMA 7 En los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD se cumple que m
AOB= mBOD y mAOC - m COD = 54º. Encontrar m BOC.
A) 28º B) 30º C) 24º D) 27º E) 32º
Resolución:
PROBLEMA 8 Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC en los cuales se traza OF
bisectriz del ángulo BOC tal que m AOC + m AOB = 140º, además m AOB- mBOF=20º. Calcular m AOCA) 85º B) 95º C) 75º D) 70º E) 80º
2α + = 180º
+ 2 = 90º
2 α + 2 + 2 = 270º
α + + = 135
X = 135º Rpta. E
m AOC - m COD = 54º
2x+ - = 54º
= 27 Rpta. D
8φxnn
xφa
θa
θ
x
O D
C
BA
φ
x−φ
Cramed Cramed Cramed
Resolución:
De 1 y 2:
= 45º; α = 25º
Luego
m AOC = + 2α
m AOC = 45 +2 . 25º
m AOC = 95 Rpta. B
PROBLEMA 9 Los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD forman un ángulo que mide
126º. Hallar la medida del ángulo BOC.
A) 72º B) 62º C) 52º D) 50º E) 70º
Resolución:
PROBLEMA 10 Calcular “x”, si el complemento de más el suplemento de es igual a
70º
A) 140º B) 150º C) 160º D) 120º E) 130º
m AOC + m AOB = 140º
+ 2α+=140º
+α=70º…… (1)
m AOB . m BOF = 20º
-α=20º………(2)
120º = α++x…….(1)
180º=α++120º
54º=α+
En (1)
120º = 54º + x
x=72º Rpta. A
O C
BA
φF
αα
B C
1260Mββ
xα Nα
DOA
φθ
x
Cramed Cramed Cramed
Resolución:
PROBLEMA 11 Calcular “x”, si L // L1 y + x = 80º
A) 10º B) 15º C) 20 D) 25º E) 30ºResolución:
PROBLEMA 12 Encontrar “x”, si L // L1
90º -+180º-=70º
+=200º…….(1)
x++=360º….(2)
Reemplazando (1) en (2)
X+200º=360º
x=160º Rpta. C
5x + = 180º
4x+x+=180º
4x+80º=180º
x=25º Rpta. D
x
φθ
φ L
4 x
L1x
5 x
L1
φL
xφ
4 x L
60 º
30 º
x
20 º L1
Cramed Cramed Cramed
A) 10º B) 12º C) 14º D) 20º E) 18º
Resolución:
PROBLEMA 13 Calcular “x”, si L // L1
A) 144º B) 145º C) 135º D) 140º E) 150º
Resolución:
PROBLEMA 14 Encontrar “x”, si ==70º y L // L1
A) 45º B) 60º C) 70º D) 50º E) 80º
Resolución:
20º+x+30º+60º+4x=180º
5x=70º
x=14º Rpta. C
5α + 5 = 180º
α + = 36º
+ x = 180º 36º + x = 180º
x=144º Rpta. A
70º = +2…….(1)180º-2+β=+180º=2+β--β…..(2)Sumando (1) y (2)250º=3(+)+70º180º=3(x)x=60º Rpta. B
4 x
20 º
30 º
60 º
L1
L4 x
x
L1
Lβ4 α x
α4 β
L1
Lβ4 α
α4 β
φx
Lβ
α
x
70 º
L1
θθ
α
L1
L
70 º
x
β
φφ
Cramed Cramed Cramed
PROBLEMA 15 Calcula “x”, si L // L1
A) 80º B) 74º C) 70º D) 82º E) 64º
Resolución:
NIVEL II
PROBLEMA 1 EN los ángulos consecutivos AOB y BOC se trazan OM bisectriz del
ángulo AOB y ON bisectriz del ángulo AOC. Hallar la medida del ángulo MON, si m = 90º
A) 30º B) 60º C) 15º D) 45º E) 37º
100º=2 =50º2 + 5β=180º250º+5β=180º β=16ºLuegox=+2βx=50º+2.16ºx=82º Rpta. D
2 βL
3 β
x
100 º φφ L1
φ
2 β
x
L1
L
φ
3 β
100 º
Cramed Cramed Cramed
Resolución:
PROBLEMA 2 En los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOE, se cumple que
m AOC + m BOD + m COE = 130º, m BOD=
67 , m AOE, encontrar m AOE
A) 65º B) 50º C) 80º D) 60º E) 70º
Resolución:
PROBLEMA 3 La suma de las medidas de los ángulos es igual a 80º, el complemento
del primer ángulo es el doble del segundo. Halla la diferencia de las medidas de dichos
ángulos.
A) 30º B) 35º C) 45º D) 60º E) 90º
Resolución:
+ = 80º……..(1)
x=+β..(1)mBOC = 90º2+2β=90º+β=45En (1)x=45º Rpta. D
mAOC+ mBOD+ mCOE=130º+++++=130ºmAOC+ mBOD=130º
x+
67 , x=130º
x=70º Rpta. E
A B
O
α
C
M
N
CBA
O
Dx
γβα
δ
E
Cramed Cramed Cramed
90º-=2……….(2)
De (1) y (2)
=70º ; =10º
-=60º Rpta. D
PROBLEMA 4 Tres rectas se cortan en un solo punto, encontrar la suma de la medida
de tres ángulos consecutivos que se forman.
A) 90º B) 135º C) 140º D) 160º E) 180º
Resolución:
PROBLEMA 5 Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD siendo m
OAD=150º y la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD es
110º. Hallar m BOC
A) 65º B) 70º C) 80º D) 85º E) 90º
Resolución:
++=180º Rpta. E
110º++=150º+=40º++x=110º40º+x=110X=70 Rpta. B
γαβ
B
CM
DO
A
Cramed Cramed Cramed
PROBLEMA 6 Por un punto de una recta a un mismo lado, se trazan cuatro rayos
formándose cinco ángulos consecutivos que se encuentran e progresión aritmética. Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices del menor y del mayor de los cinco ángulos.A) 135º B) 144º C) 145º D) 130º E) 150º
Resolución:
-2r+-r+++r++2r=180º
=36º
α2−r+α−r+α+α+r+ α
2+r=x
4=x 4 . 36º =x
x=144º Rpta. B
PROBLEMA 7 En la figura se cumple que el suplemento del complemento de es
igual al complemento del suplemento de . Calcular .
A) 220º B) 200º C) 240º D) 190º E) 230º
Resolución:180º-(90º-)=90-(180º-)90º+=-90º180º=-360º=-+180º=190º Rpta. D
180 ºN110 º
xαα
x
φ
a2−r
a2−r
α−r α+rn2+r
α−2 rα
α+2 r
φ
1600 α
α
φ
1600
Cramed Cramed Cramed
PROBLEMA 8 En el complemento de un ángulo que mide , más el suplemento del
doble de , es igual a
32 del complemento de un ángulo que mide , de modo que, - = 24º.
Hallar el complemento de .A) 65º B) 66º C) 64º D) 124º E) 60º
Resolución:
(90º-)+(180º-2)=
32 (90º-)
90º=2-
24º=- =66º
Luego
90º - 66º = 24 Rpta. B
PROBLEMA 9 En los ángulos adyacentes suplementarios AOB y BOC se cumple que
m AOB - m BOC = 30º, se trazan OM y ON bisectrices de dichos ángulos, luego se traza
OF bisectriz del ángulo MON. Calcular la medida del ángulo FOB
A) 7º 3’ B) 7º C) 8º D) 16º E) 15º
Resolución:
mAOB- mBOC=30º
2+4x-2=30º
X=7º 30’ Rpta. A
BFM
xα+x N
αα
α+2x
O CA
Cramed Cramed Cramed
PROBLEMA 10 El complemento del suplemento de la medida de un ángulo, más el
suplemento del complemento del ángulo, es igual al suplemento del doble de la medida del
ángulo. Hallar la medida del ángulo.
A) 45º B) 15º C) 30º D) 60º E) 90º
Resolución:
90º-(180º-)+180º-(90º-)=180º-2
90º-180º++180º-90º+=180º-2
=45 Rpta. A
PROBLEMA 11 Calcular “x”, si m AOC = 144º y m BOD=120º
A) 84º B) 104º C) 96º D) 86º E) 80º
Resolución:
PROBLEMA 12 Encontrar “x”, si L // L1 y L2 // L3
A) 37º B) 27º C) 54º D) 45º E) 60º
x+84º=180º
x=96º Rpta. C
x CB
DOA
x CB
DOA
84 º36 º
4 β L
L1
4 αα
x L2
βL3
Cramed Cramed Cramed
Resolución:
PROBLEMA 13 Calcular “x”, si L // L1
A) 250º B) 210º C) 220º D) 230º E) 240º
Resolución:
PROBLEMA 14 Calcular “x”, si L // L1 y +=100º
A) 80º B) 100º C) 120º D) 130º E) 135º
Resolución:
x=+…..(1)4=90º =22º 30’En (1)x=+220 30’=x-22º 30’….(2)Perox+4=180º…..(3)Reemplazando (2) en (3)x+4(x-22º 30’)=180ºx=54 Rpta. C
360º-x=70º+50º
x=240 Rpta. E
L3
L2
4 αα
L1
L4 β
x
β
L
x
L1
290 º
310 º
70 º
310 º
290 º
L1
L
x360 º
50 º
α L
x
L1β
Cramed Cramed Cramed
PROBLEMA 15 Calcular “x”, si L // L1
A) 100º B) 105º C) 110º D) 120º E) 130º
Resolución:
Como L // L1 :
30º+40º=5+2
= 10º
+30º+40º=2p+5
180º-2+30º+40=2p+5 . 10º
+p=100º
X=100º Rpta. A
NIVEL PREUNIVERSITARIO
+x=180º….(1)
2=+=100º
=50º
En (1): 50º+x=180º
X=130º Rpta. DL1
L
xα
φφβ
L1
Lφ
2θ
40 ºx
30 º50 º4 α
φ
φ+30º
pp
φ
30 º50 º
40 º4 α
φ
L1
L2θ
x
Cramed Cramed Cramed
PROBLEMA 1 Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC de modo que m
AOB+ mAOC=110º, se traza la bisectriz OF del ángulo BOC. Hallar m AOF.A) 35º B) 45º C) 50º D) 60º E) 55ºResolución:
PROBLEMA 2 Se tienen cuatro ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOA, cuyas
medidas son proporcionales a 2; 3; 5 y o. Determinar la medida del ángulo formado por las bisectrices del menor y del mayor de los cuatro ángulos.A) 90º B) 80º C) 50º D) 100º E) 180ºResolución:
PROBLEMA 3 El complemento del suplemento de la diferencia entre el suplemento y
el complemento de la medida de un ángulo es igual a 13 000 veces el complemento del triple
de la medida de dicho ángulo. Hallar la medida del ángulo.
A) 30º B) 35º C) 45º D) 60º E) 90º
Resolución:
90 '−{180 º− [ (180 º−α )−(90 º−α ) ] }=13000 (90 º−3α )
90 '−{180 º−[180 º−α−90 º+α ]}=13000 (90 º−3α )
90 '−{180 º−90 º }=13000 (90º−3α )
90 '−90=13000 (90 º−3α )
0=13000 (90 º−3α )
mAOB+ mAOC=110º
x-+x+=110º
x=55º Rpta. E
m∠ AOB2
=m∠BOC3
=m∠COD5
=m∠DOA8
=α
mAOB=2, mBOC=3, mCOD=5,mDOA=8x=+4x=5….(1)Pero:18=360º =20ºReemplazando en (1)X=5.20ºx=100º Rpta. D
O C
F
φ
BA
x
φ
M BA
Cx
4 α 3αα α
5α4 αN
O
D
Cramed Cramed Cramed
0=90 º−3α
α=30 º Rpta. A
PROBLEMA 4 Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOOE, se traza
OM bisectriz del ángulo AOB, además OD es la bisectriz del ángulo BOE. Hallar la medida del
ángulo BOD, si m MOD=90 y además m MOE=160º.
A) 75º B) 80º C) 70º D) 60º E) 65º
Resolución:
PROBLEMA 5 Los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD son proporcionales a 4,
5,6, se trazan OM bisectriz del ángulo AOB y ON bisectriz del ángulo COD. Calcular m
MON si m AOD=150º
A) 130º B) 120º C) 110º D) 90º E) 100º
Resolución:
+x=90º…….(1)
+x+x=160º……(2)
De (1) y (2)
90º+x=160º
x=70º Rpta. C
mAOB=4; mBOC=5;vCOD=6
mAOD=150º 15 = 150º
=10º
Pero:
X=10=10 . 10º
x=100º Rpta. E
BMA
C
φ φ180 º
x
xO D
E
B
NO
C
MA
x
2φ2φ5α
3α3α
Cramed Cramed Cramed
PROBLEMA 6 En los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD se cumple que AOB=
COD, además mAOC+2 . mCOD+ mBOD=150º. Hallar mAOD
A) 60º B) 65º C) 70º D) 75º E) 90º
Resolución:
PROBLEMA 7 Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOE, EOF, si
mAOC+ mBOD+ mCOE+ mDOF=130º, además mBOE=
58 m AOF.
Encontrar m AOF.
A) 70º B) 80º C) 60º D) 100º E) 120º
Resolución:
mAOC+ m BOD +
mCOE + m DOF=130º
++++++++130º
mAOF+ mBOE=130º
mAOF+
58 . mAOF=130º
mAOF=80º Rpta. B
x=2+…(1)
mAOC+ 2 . mCOD=150º
++2++=150º
2(2+)=150º…….(2)
Reemplazando (1) en (2)
2x=150º
x=75º Rpta. D
D
x
B
DO
C
A
φθ
φ
CB
β
γ
φα
φ
A
φ
D
δ
Cramed Cramed Cramed
PROBLEMA 8 En los ángulos consecutivos AOb, BOC, COD se cumple que m AOB
. m COD = mAOD . m BOC, mAOB=30º y m AOD=120º. Calcular mAOC
A) 50º B) 45º C) 36º D) 48º E) 30º
Resolución:
PROBLEMA 9 En los ángulos adyacentes suplementarios AOB y BOC se traza sus
bisectrices OM y ON, luego se trazan OP bisectriz del ángulo AON y OQ bisectriz del ángulo
MOC. Calcular mPOQ
A) 30º B) 45º C) 60º D) 50º E) 35º
Resolución:
mAOB. mCOD =
mAOD . mBOD
30º(120º-x)=120º(x-30º)
120º-x=4x-120º
240º=5x
x=48º Rpta. D
+=90º……..(1)
x=θ2+45 º−[α2 +45 º−α ]
x=α+θ2. .. .. . .. .(2)
Reemplazando (1) en (2)
x=90 º2
X=45º Rpta. B
F
B
O
C
A
120 ºx
30 º
D
O CA
B FPM
x Q
N
θ2+45 º
α2+45 º
θθ
αα
Cramed Cramed Cramed
PROBLEMA 10 En los ángulos AOB y BOC se trazan sus bisectrices OM y ON, la
medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AON y MOC es 35º, además
mAOB=64º. Hallar mBOC
A) 70º B) 84º C) 86º D) 72º E) 76º
Resolución:
PROBLEMA 11 Calcular
x+ yz , si L // L1
A) 4 B) 5 C) 2 D) 1 E) 3
Resolución:
mAOB=64º 2=64º = 32º
5º=+θ+ α2−(α+ θ
2−α)
35 º=θ2+ α2
θ=2(35 º−32 º2 )⇒θ=38 º
mBOC=28 = 76º Rpta. E
x=3+3
y=2+2
z=+
x+ yz
=3α+3φ+2α+2φα+φ
x+ yz
=5 Rpta. B
MP
φ
A
36 ºαβ
αα
Qθ
φ
B
N
C
zyx
L1
L
yx
L1
L
z
Cramed Cramed Cramed
PROBLEMA 12 Calcular “x”, si L // L1
A) 30º B) 40º C) 20º D) 50º E) 60º
Resolución:
PROBLEMA 13 Calcular “x”, si L // L1
A) 5º B) 15º C) 10º D) 20º E) 18º
Resolución:
=+10º=x+
x=10º Rpta. C
22º+x+72º=56º+88º
X=50º Rpta. D
22 º
56 ºL
x272 º
L1108 º
56 º
L1
L
x
22 º
88 º72 º
10 º
β
φ
L1
L
x
β 10 º
φx
x10 º
ββφ
L1
L
x
Cramed Cramed Cramed
PROBLEMA 14 Calcular “x”, si L // L1
A) 16º B) 32º C) 18º D) 24º E) 12º
Resolución:
=x+=2+32º-
x=32º Rpta. B
L
L1
x 32−β
φ
φββ
32−β
φ
ββφ
L1
Lx