Download - Antologia de Matematicas IV
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OBJETIVO GENERALConocerá el concepto del número complejo así como sus propiedades y diferencias representaciones y los aplicara a la resolución de problemas.
SISTEMA NUMÉRICO REAL
Matemáticas IV Página 1
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El sistema numérico es el resultado de una evolución gradual, tal como lo indica la Sig. Descripción:
1.- Números Naturales… 1, 2,3,…
2.- Los enteros Negativos y el Cero… 0,-1,-2,-3,….
3.- Los Números Racionales…. ½, ¾,11/6, 1/9,-3/2,…
4.- Los Números Racionales.. √2, π,e
SISTEMA DE NÚMEROS COMPLEJOS
No existen un numero real “X” que satisfaga la ecuación poli nómicax2+ 1=0. Para resolver este tipo de ecuación, es necesaria introducir los números complejos.
Podemos considerar un numero complejo como una expresión de la forma a + bi, donde a y b son números R, ei denominada la unidad imaginaria, con la propiedad de que i2=−1. Si Z=a+bi, a se llama la parte real de Z y b la parte imaginaria de Z y se denota x Re {Z} y Tm {Z}.
El conjugado complejo o conjugado simple de un numero complejo 𝑎+𝑏𝑖 𝑎 es a−bi. El conjugado complejo de un numero complejo Z se indica frecuentemente Z o Z
OPERACIONES FUNDAMENTALES DE NUMEROS COMPLEJOS
Matemáticas IV Página 2
1.−adiccion
(a+bi )+ (c+di )=a+bi+c+di=(a+c )+ (b+di )
2.−sustraccion
(a+bi )−(c+di )=a+bi−c−di=(a−c )+(b−d ) i
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a¿ (3+2 i )+(−7−i )=3+2 i−7−i=−4+i
b¿ (8−6 i )−(2 i−7 )=8−6 i−2i+7=15−8 i
c ¿ (5+3 i )+ (−1+2i )+(7−5i )=¿
Matemáticas IV Página 3
1.−adiccion
(a+bi )+ (c+di )=a+bi+c+di=(a+c )+ (b+di )
2.−sustraccion
(a+bi )−(c+di )=a+bi−c−di=(a−c )+(b−d ) i
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(5+3 i−1+2 i )+ (7−5 i )
¿4+5 i+7−5 i=11
d ¿ (2−3 i ) (4+2 i )=8+4 i−12 i−6 i2=¿
8−8 i−6 (−1 )=8+6−8 i=14−8 i
e ¿ (4+2i ) (2−3 i )=8+12 i−4 i−6 i2=¿
8−8 i−6 (−1 )=14−8 i
f ¿ (2 i ) (−3+2i ) (5−4 i )=(2 i ) (−3+2i+5−4 i )=¿
(2 i ) (2−2i )=2 i+2+2i=−2
g¿ 3−2 i−1+i
=3−2i−1+i
=−1−i−1−i
=−3+3i+2 i+2i2
1+ i−i−i2=
−3−i+2 (−1 )1−i2
¿ −3−i−21−(−1 )
=−5−i2
h¿ 5+5 i3−4 i
+ 204+3 i
= 5+5i3−4 i
(3+4 i)(3+4 i)
=15+20 i+15i+20 i2
9−16−i2=−5+35i
25
204+3i
4−3 i4−3 i
=80−60 i
16−9 i2=80−60 i
25
(−525
+ 3525i)+(80
25−60
25i)
¿(−525
8025 )+( 35
25i−60
25i)=3i
Matemáticas IV Página 4
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i ¿(3 i30−i19)
2 i−1=
3 (i2 )15−(i2 )2
2 i−1i=
3 (1 )−i2i−1
=3−i
2 i−1
3−i2i−1
−(2 i+1 )(2 i+1 )
=6 i+3−3 i2−i4 i−1
=5 i+3−2 (−1 )
4 i−1
−5i−3−24 (−1 )−1
=−5 i+54 (−1)
=−5 i−5−5
=1+i
Matemáticas IV Página 5
a¿ (2−i) {(−3+2i ) (5−14 i ) }
(2−i ) (−15+2 i+10i−28 i2 )
(2−i ) ¿
(2−i ) (−15+22 i−28 )
¿ (2−i ) (−13+22 i )
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VALOR ABSOLUTO
Matemáticas IV Página 6
a¿ (2−i) {(−3+2i ) (5−14 i ) }
(2−i ) (−15+2 i+10i−28 i2 )
(2−i ) ¿
(2−i ) (−15+22 i−28 )
¿ (2−i ) (−13+22 i )
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El valor absoluto con modulo de un numero complejo a+bi que está definida como
|a+bi|=√a2+b2
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Matemáticas IV Página 7
|−4+2 i|=√(−4 )2+¿¿
ejercicio :
z1=2+i , z2=3−2 i y z3=−12
+ √32i
Hallar el numero el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones
a¿|3 z1−3 z2|=3 (2+i )−4 (3−2i )=6+3 i−12=12+8 i=|−6−11 i|
¿|−6−11 i|=√(−6 )2+ (−11)
b¿ z13−3 z1
2+4 z1−8=¿
(8+12i+6 i2+i3 )−3 (4+4 i+i2 )+8+4 i−8
¿8+12 i−6−i−12−12 i+3+8+4 i−8=−7+3 i
c ¿ ( z3 )=(−12
−√32i)
2
a¿|2 z2+z1−5−i2 z1−z2+3−i|
2
=|2 (3−2i )+(2+i )−5−i2 (2+i )−(3−2i )+3−i|
3
| 6−4 i+2+i−5−i4+2 i−3−2 i+3−i|
23−4 i4+3 i
=4−3 i4−3 i
=12−9i−16 i+12 i2
16−9 i3=25 i
25=−i
b¿ z1+z2=z1+z2=2−i+3+2i=5+ i
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Efectuar las operaciones indicadas en forma analítica y gráficamente
a¿ (3+4 i )+(5+2 i )=8+6 i
b¿ (6−2 i )−(2−5 i )=4+3 i
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c ¿ (−3+5 i )+ (4+2i )+(5−3i )+(−4−6 i)
FORMA POLAR
Si P es un punto en el plano complejo correspondiente al número complejo ( x , y ) ó x+i y, entonces x=r cosθ
, y=r senθ. Entonces:
r=√x2+ y2=|x+i y|.
Se llama el modulo o valor absoluto.
z=x+i y ,
z=x+i y=r (cos θ+i senθ)
Llamada la forma polar del número complejo, y r y θ se llaman coordenadas polares.
Ejemplo: expresar cada una de las siguientes complejos en forma polar
a¿2+2√3i
Modulo del valor absoluto ¿|2+2√3i|=√(2)2+(2√3)2=√4+12=√16=4
senθ=2√34
Argumento θ=sen−1( 2√34 )
θ=60 °=π3
z=r (cosθ+i sen θ)
z=4(cosπ3
+i sen π3
)
Matemáticas IV Página 9
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b) −5+5 i
r=|−5+5 i|=√(−5)2+(5)2=√25+25=√50
senθ=( 5
√50 ) θ=sen−1( 5
√50 ) θ=45 °= π4
z=r (cosθ+i sen θ) z=√50(cosπ4
+i sen π4
)
c) −√6−√2 i
r=|−√6−√2 i|=√(−√6)2+(−√2i)
2=√6+2=√8
senθ=(−√2√8 ) θ=sen−1(−√2
√8 )=30 °= π6
z=r (cosθ+i sen θ) z=√8(cosπ6
+i sen π6
)
Matemáticas IV Página 10
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EXPRESAR EN FORMA POLAR
a) −3 i
r=|−3 i|=√−32=√9=3
senθ=−33
=90 °=π2
z=r (cosθ+i sen θ)
z=3(cosπ2+i sen π
2)
b) 2+5 i
r=|2+5 i|=√ (2 )2+ (5 )2=√4+25=√29
senθ= 5
√29=θ sin−1 5
√29=68.19
√29( cos π2.6
+ i sen π2.6
)
Matemáticas IV Página 11
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Un hombre viajas 12 km en dirección noreste, 20 km en dirección 30° al noroeste y luego, 18 km en dirección 60° al sureste. Determinar:
a) Analíticamenteb) Gráficamente a que distancia y en que dirección esta el de su punto de
partida.
OA=12(cos 45+i sen45) AB=20(cos (30+90 )+i sen (30+90 ))BC=18 (cos (60+180 )+ i sen (60+180 ))
OC=(12cos 45+20 cos120+18 cos240 )+i(12 sen 45+20 sen120+18 sen240)
OC=−10.5147+i10.2173
r=√(−10.5147)2+(10.2173)2=14.6612
∡conrespecto a x ∡conrespecto a y
θ=sen−1( 10.217314.6612 )=44.17 °
θ=cos−1(−10.514714.6612 )=135.82 °
∡=
−135.82 °90 °
45.82 ° ∡=45.82 ° condireccionnoroeste
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TEOREMA DE MOIVRE
si z=x1+i y1=r1 ( cosθ1+i senθ1 ) Y z=x2+i y2=r2 (cos θ2+i senθ2 ), demostrar que
1) z=x+i y=r (cosθ+i senθ )
2) z z2=r1r2 {cos (θ1+θ2 )+i sen(θ1+θ2)}
3)z1
z2
=r1
r2{cos (θ1−θ2 )+i sen(θ1−θ2)}
Una generalización de (2) conduce a:
Z1Z2…Zn=Z1Z2…Zn {cos (θ1+θ2+…θn )+i sen (θ1+θ2+…θn )} y si
( z1=zn=…zn=z1 ) la expresión anterior queda.
zn= {r (cos θ+i senθ ) }n=rn (cosnθ+i sen nθ ) se llama teorema de moivre.
Ejemplo: hallar el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones.
a) [3(cos40 °+i sen40 ° )]¿
¿ (3 )(4)¿
Matemáticas IV Página 13
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¿12¿
¿−6+6√3 i
b)(2cos15 ° )7
(4cos 45 ° )3=
27 cos7 (15 )43 cos3 ( 45 )
=128cos10564 cos135
=12864
[cos (105−135 )+i sen (105−135 ) ]
2 [cos (−30 )+i sen (−30 ) ]¿√3−i
c) ( 1+√3 i1−√3 i )
10
Z1=1+√3 i Z2=1−√3 i
Modulo: |1+√3|=√(1)2+(√3)2=2
|1−√3|=√(1)2+(−√3)2=2
∡=θ=sen−1(√32 )=60 ° ∡=θ=sen−1(√3
2 )=60 °
Z1=2(cos60 °+i sen60 °) Z2=2(cos60 °+i sen60 ° )
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Z1
Z2
=22= [cos(60−(−60 ))+i sen(60−(−60 )) ]
¿ {1 [cos (120 )+i sen(120)] }10
¿110 [cos 10 (120 )+ i sen(10 (120 ))]
¿1(cos1200+ i sen120)
¿−12+ √3
2i
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ECUACIONES POLINÓMICAS
A menudo en la práctica necesitamos resolver ecuaciones polinómicas de la forma:
a0 zn+a1 z
n+a2 zn−2+…+an−1 z+an=0
Donde: a0≠0 , a1 ,…,an
Son números complejos dados y n es un entero positivo llamado el grado de la ecuación. Tales soluciones se llaman ceros del polinomio de la izquierda de (9) o raíces de la ecuación.
Un teorema muy importante llamado el teorema fundamental del algebra (que será probado en el capitulo 5) establece que cada ecuación polinómica de la forma (9) tiene por lo menos una raíz compleja. Según esto podemos demostrar que tienen realidad n raíces complejas, algunas de las cuales o todas podrían ser idénticas.
Si Z1Z2…Zn son las raíces, (9)
Se pueden escribir como.
a0 ( z−z1 ) ( z−z2 ) ... ( z−zn)=0
Llamado la forma factorizado de la ecuación polinómica.
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I
Objetivo: conocerá y aplicara métodos más generales para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Se considera un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas x, y.
sistema{a11 x a12 y=¿b1
a21 x a22 y=¿b2}
Donde:
a11 , a12 , a21 , a22 , b1 , b2 Son números dados.
Cada una de estas expresiones es la ecuación de una línea recta. Una solución al sistema es un par de números, denotados por (x, y).
Hecho A si a=b y c=d, entonces a+c=b+d
Hecho B si a=b y ces cualquier número real entonces ca = cb
El hecho A establece que si se suman dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuación correcta.
El hecho B establece que si se multiplican ambos lados de una ecuación por una constante se obtiene una segunda ecuación valida.
Matemáticas IV Página 17
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Ejemplo:
Sistema con una única solución:
Considere el sistema:
Ejemplo 2:
Sistema con un número infinito de soluciones.
Es claro que estas dos ecuaciones son equivalentes esto es. Cualesquiera dos números x, y que satisfacen la primera ecuación también satisfacen la segunda y viceversa.
Ejemplo 3:Un sistema sin solución. Considere el siguiente sistema:
Matemáticas IV Página 18
X - Y=7X+Y=52x =12
X=122
=6X+Y=5
Y=5-X=5-6=-1
2(X-Y=7)2X-2Y=14
2X-2Y +142X-2Y=14
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Y=mx+b
Sus pendientes deben ser iguales
Un sistema que no tiene solución se dice que es inconsistente.
Solución única
a11x+a12 y+b1
a21 x+a22 y+b2
a) rectas no paralelas un punto de intersección
Sin solución
Matemáticas IV Página 19
X-Y=72X-2Y=13
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a11x+a12 y+b1
a21 x+a22 y+b2
b) rectas paralelas, sin puntos de intersección
a11x+a12 y+b1
a21 x+a22 y+b2
d) rectas que coinciden, número infinito de puntos de intersección
Método de ecuaciones con n incógnitas. Eliminación de Gauss – Jordán y gaussiana.
Ejemplo. Solución de un sistema de ecuación con 3 incógnitas; solución única.
Matemáticas IV Página 20
2 x1+4 x2+6 x3=18
4 x1+5 x2+6 x3=24
3 x1+x2−2 x3=4
Se multiplica ecu 1 por 12
.
12
(2 x1+4 x2+6 x3=18 )
x1+2x2+3 x3=9
4 x1+5 x2+6 x3=24
3 x1+x2−2 x3=4
Se multiplica ecu. 1 x (-4) y se suma ecu.2
−4 x1−8 x2−12x3=−36
4 x1+5 x2+6 x3=24
x1+2x2+3 x3=9
x2+2x3=4
3 x1+x2−2 x3=4
Se multiplica la ecu. 1x (-3) y se suma a la ecu. 3
−3 x1−6 x2−9 x3=−27
3 x1+x2−2 x3=4
−5 x2−11 x3=−23
x1+2x2+3 x3=9
x2+2x3=4
−5 x2−11 x3=−23
Se multiplica ecu. 2 x (-2) y se suma con ecu 1.
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Se multiplica ecu 1 por 12
.
12
(2 x1+4 x2+6 x3=18 )
x1+2x2+3 x3=9
4 x1+5 x2+6 x3=24
3 x1+x2−2 x3=4
Se multiplica ecu. 1 x (-4) y se suma ecu.2
−4 x1−8 x2−12x3=−36
4 x1+5 x2+6 x3=24
x1+2x2+3 x3=9
x2+2x3=4
3 x1+x2−2 x3=4
Se multiplica la ecu. 1x (-3) y se suma a la ecu. 3
−3 x1−6 x2−9 x3=−27
3 x1+x2−2 x3=4
−5 x2−11 x3=−23
x1+2x2+3 x3=9
x2+2x3=4
−5 x2−11 x3=−23
Se multiplica ecu. 2 x (-2) y se suma con ecu 1.
Se multiplica ecu. 2 (5) y se suma a ecu. 3
5 x1+10 x3=20
−5 x2−11 x3=−23
−x3=−3
x1−x3=1
x2+2x3=4
−x3=−3
Se multiplica la ecu. 3x (-3)
−1(−x3=3)
x3=3
x1−x3=1
x2+2x3=4
x3=3
x1=4
x2+2x3=4
x3=3
La ecu. 3 se multiplica con (-2) y se le suma ala ecu. 2
−2 x3=−6
x2+2x3=4
x1=4
x2=−2
x3=3
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MATRIZ
Una matriz es un arreglo rectangular de números.
A=[ 2 4 64 5 6
3 1−2]Matriz acumulada
A=[2 4 6 184 56 243 1 6 4 ]
Resuelva el sistema
2 x1+4 x2+6 x3=18
4 x1+5 x2+6 x3=24
2 x1+7 x2+12x3=30
[2 4 64 5 62 7 12
182430 ]R1¿R1 [1 2 3
4 5 62 7 12
92430] R2=−4 R1+R2
R3=−2 R1+R3 [1 2 30 −3 −60 3 6
91212]R2=
−13R2
[1 2 30 1 20 3 6
94
12] R1=−2R2+R1
R3=−3 R2+R3 [1 0 −1
0 1 20 0 0
140 ]
X1−X3=1
Matemáticas IV Página 22
Se multiplica ecu. 2 (5) y se suma a ecu. 3
5 x1+10 x3=20
−5 x2−11 x3=−23
−x3=−3
x1−x3=1
x2+2x3=4
−x3=−3
Se multiplica la ecu. 3x (-3)
−1(−x3=3)
x3=3
x1−x3=1
x2+2x3=4
x3=3
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X2+2 X3=4
Se despeja X1
X1=1+X3
Se despeja X2
X2=4−2 X3
X1=4 (4,-2,3)
X2=−2
X3=3 (1+X3 ,4−2 X3 , X3 ¿
Resuelva el sistema
2 x2+3 x3=4
2 x1−6 x2+7 x3=15
x1−2 x2+5 x3=10
[0 2 32 −6 71 −2 5
41510 ]R1R3 [1 −2 5
2 1 70 2 3
10154 ]R1=−2 R1 +R2
[1 −2 50 −2 −30 3 3
10−55 ]R2=
12R2[1 −2 5
0 132
0 2 3
10524
] R1=2 R2+R1
R3=−2R2+R3 [1 0 8
0 132
0 0 0
1552
−1]
0 X1+0 X 2+0 X3=−1
X3=0≠−1
Matemáticas IV Página 23
INSTITUTO TECNOLÓGICO
Use el metodo de Gauss – Jordán para encontrar todas las soluciones si existen para los sistemas dadas
x1−2 x2+3 x3=11
4 x1+x2−x3=4
2 x1−x2+3 x3=10
[1 −2 34 1 −12 −1 3
1140 ] R2=−4 R1+R2
R3=−2R1+R3 [1 −2 30 9 −130 3 −3
11−40−12 ]R2=
19R3
[1 −2 3
0 1−13
90 3 −3
11−40
9−12
] R1=2 R2+R1
R3=−3 R2+R3 [1 019
0 0−13
9
0 143
199
−40943
]R3=34R3
Matemáticas IV Página 24
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[1 019
0 0−13
90 1 1
199
−4091
] R1=−19R
3
+R1
R2=139R3+R2
[1 0 00 1 00 0 1
2−31 ]
X1=¿ 2
X2=−3 (2,-3,1)
X3
3 x1+6x2−6x3=9
2 x1−5x2+4 x3=6
−x1+16 x2−14 x3=−3
[ 3 6 −62 −5 4
−1 16 −14
96
−3]R1 R3[−1 16 −142 −5 43 6 −6
−369 ] R2=2R1+R2
R3=3 R1 +R3 [−1 16 −140 27 −240 54 −48
−300 ]
R2=−127R2 [−1 16 −14
0 1−8
90 54 −48
−300 ] R1=−16 R2+R1
R3=−54 R2+R3 [−1 0
29
0 1−89
0 0 0
−300 ]
−X1+29X3=−3−(−X1=−3−2
9X3)
X2+89X3=¿0 X2=
89X3
(3+ 29X3 ,
89X3 , X3 ¿
Las matrices 1 y 2 tienen 3 pivotes; las otras tres matrices tienen 2 pivotes.
Matemáticas IV Página 25
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Ejemplo: solución de un sistema mediante eliminación gaussiana
[2 4 6 184 5 6 243 1 −24]R1=1
2R1
→[1 2 3 94 5 6243 2 −2 4 ]R2=−4 R1+R2
→
R3=−3 R1−R3[1 2 390 −3 −6−120 −5 −11−23]R2=−1
3R2
→
[1 2 3 90 1 240 −5 −11−23]R3=5 R2+R3
→ [1 2 3 90 1 2 40 0 −1−3]R3=−R3
→ [1 2 3 90 1 2 40 0 1 3 ]
Solución de un sistema de 2 ecuaciones con 4 incógnitas. Resuelve el sistema
x1+ x2−5x3+x4=4
2 x1+5 x2−2 x3+4 x4=6
[1 3 −52 5 −2
1 44 6 ]R2=−2 R1+R2
→ [1 3 −50 −1 8
1 42 −2]R2=−R2
→ [1 3 −50 1 −8
1 4−2 2]
R1=−3 R2+R2→ [1 0 19
0 1 −87 −2
−2 2 ]X1+19 X3+7 X4=−2
X2−8 X3−2 x4=2
x1=−2−19 x3−7 x4
Matemáticas IV Página 26
X1+2 (−2 )+3 (3 )=9
X1−4+9=9
X1=4
X3=3
X2+2 X3=4
X1+2 X2+3 X3=9
X2+2 (3 )=4
X2+6=4
X2=4−6
X2=−2
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x2=2+8 x3+2x4
APLICACIONES
Un departamento de pesca caza del estado proporciona 3 tipos de comida a un lago que alberga a 3 especies de pesca.
Cada vez que la especie X1consume un promedio de 1 unidad de alimento tipo 1, 1 unidad de alimento tipo 2 y 2 unidades del alimento tipo 3.
Cada pez de la especie X2consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento tipo 1, 4 unidades del alimento tipo 2 y 5 unidades del alimento tipo 3.
Cada pez de la especie X3el promedio semanal es de 2 unidades del alimento tipo 1, 1 unidad del alimento tipo 2 y 5 unidades del alimento tipo 3.
Cada semana se proporcionan al lago:
25,000 unidades de alimento tipo 1
20,000 unidades de alimento tipo 2
55,000 unidades de alimento tipo 3
Si se supone que los peces comen todo el alimento ¿Cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?
A1A2A3
¿
R1R2R3 [1 3 2
1 4 12 5 5 |25000
2000055000 ] R2→−R1+R2
→
R3→−2 R1+R3[1 3 20 1 −10 −1 1 |25000
−50005000 ]
R1→−3R2+R1→
R3→R2+R3 [1 0 50 1 −10 0 0 |40000
−50000 ]
x1+5x3=40000
x2−x3=−5000
x1=40000−5 x3
Matemáticas IV Página 27
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x2=−5000+x3
(x1 , x2 , x3 )=(40000−5 x3 ,−5000+x3 , x3)
Un viajero que acaba de regresar de Europa gasto $30.00 diarios en Inglaterra, $20.00 diarios en Francia y $20.00 en España por concepto de hospedaje.
En comida gasto $20.00 en Inglaterra, $30.00 diarios en Francia y $20.00 diarios en España.
Sus gastos adicionales fueron de $10.00 diarios en cada país.
Los registros del viajero indican que gasto un total de $340.00 en hospedaje, $320.00 en comida y $140.00 en gastos adicionales durante un viaje por esos 3 países.
Calcule el numero de días que paso el viajero en cada país o muestra que los registros deben estar incorrectos debido a que las cantidades gastadas no son compatibles unos con los otros.
[10 10 1020 30 2030 20 20 |140
320340 ]R2→−2R1+R2
→
R3→−3R1+R3 [10 10 100 10 00 −10 −10 |140
40−30 ]
R3→R2+R3→ [10 10 10
0 10 00 0 −10 |140
40−40 ]R3→−R3
→ [1 1 10 1 00 0 1 |14
44 ]
x3=4 x2=4
x1+ x2+x3=14
x1=14−8
x1=6
x2=4
x3=4
Por lo tanto x1 representa Inglaterra el calculo indica que el viajero paso 6 dias
ahí, x2 representa a Francia y el viajero paso 4 dias ahí y por ultimo x3
Matemáticas IV Página 28
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representa a España donde paso 4 dias. No existió inconsistencia debido a las cantidades gastadas. Son compatibles.
UNIDAD III MATRICES Y DETERMINANTES
OBJETIVO:
Utilizará las matrices para organizar datos numéricos y resolverá problemas.
DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ:
Matemáticas IV Página 29
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Una matriz A de m xn es un arreglo rectangular de mn, números dispuestos en m reglones y n columnas.
A=[a11 a12⋯ a1 j⋯ a1n
a21a22⋯ a2 j⋯ a2n
⋮ ⋮ ¿a i1ai2⋯ aij⋯ a¿
⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1am2⋯ amj⋯ amn
]El símbolo m xn se lee m por n.
m=¿ Numero de reglones.
n=¿ Numero de columnas.
El vector reglón (a i1 , ai2 ,⋯ a¿) se llama reglón j.
Y el vector columna [a1 j
a2 j
⋮amj
] se llama columna j.
La componente o elemento ij de A, denotado por a ij, es el numero que aparece en el reglón i y la columna j de A. En ocasiones se escribirá la matriz A como A=(aij ) .
Por lo general, las matrices se denotarán con letras mayúsculas.
Si A es una matriz m xn con m=n, entonces A se llama matriz cuadrada. Una matriz m xn con todos los elementos iguales a cero se llama matriz cero de m xn. Se dice que una matriz m xn tiene tamaño m xn.
LOCALIZACIÓN DE LOS COMPONENTES DE UNA MATRIZ
Encuentre los componentes 1,2 ;3,1 y 2,2 de la matriz.
Matemáticas IV Página 30
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A=[1 6 42 −3 57 4 0] 1,2=6
3,1=72,2=−3
IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices A=(ai j) y B=(b i j) son iguales si son del mismo tamaño y las componentes correspondientes son iguales:
1) [4 1 52 −3 0] y [1+3 1 2+3
1+1 1−4 6−6] si
2) [−2 01 3 ] y [0 −2
1 3 ] no
3) [1 00 1] y [1 0 0
0 1 0 ]
SUMA DE MATRICES
Sean A=(aij) y B=(bij) dos matrices m xn. Entonces la suma de A y B es la matriz de m xn, A+B dada por.
A+B= (aij+bij )=[ a11+b11
a21+b21
a12+b12⋯ a1n+b1n
a22+b22⋯ a2n+b2n
⋮ ⋮ ⋮am1+bm2 am2+bm2⋯ amn+bmn
] Es decir, A+B es la matriz m xn que se obtiene al sumarlas componentes correspondientes de A y B. “la suma de dos matrices esta definida solo cuando las matrices son del mismo tamaño.
Matemáticas IV Página 31
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MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR:
∝=Escalar o número.
Si A=(aij ) es una matriz dem xn y si α es un escalar, entonces la matriz mxn ,α A, esta dada por:
En otras palabras α A=(α aij) es la matriz obtenida al multiplicar cada componente de A por α .si α A=B=(bij) entonces bij=α aij para i=1,2….m y j=1,2….n
MÚLTIPLES ESCALARES DE MATRICES
Matemáticas IV Página 32
α=(α aij )=|α a11 α 12 α 1n
α a21 α a22 α a2n
α am1 α am2 α amn|
sea A=[1 −3 43 1 42 −3 5
267]Entonces 2 A=[ 2 −6 8
6 2 8−4 6 10
41214 ] 1
3A=[
−13
1−43
−1−13
−43
−23
−1−53
−23
−2−23 ]
OA=[0 0 00 0 00 0 0
000]
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SUMA MULTILPLE ESCALARES DE 2 VECTORES
TEOREMA:
Sean A, B, y C tres matrices de m xn y sean α y β dos escalares. Entonces
NOTA: El cero en la parte 1) del teorema es la matriz cero dem xn .
En la parte 2) el cero a la izquierda es un escalar mientras que el cero a la derecha es la matriz cero de m xn
Ejemplo. Ley asignativa
Matemáticas IV Página 33
Seaa=[4613] yb=[−2
430
] calcule 2a−3b
2a−3b=2 [4613]−3[−2
430
]=[ 81236
]+[ 6−12−90
]=[ 140
−76
]
1) A+0=A2) 0 A=03) A+B=B+A4) ( A+B )+C=A+ (B+C )5) α (A+B )=αA+αB6) 1 A=A7) (α+β ) A=αA+βA
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PRODUCTOS VECTORIALES Y MATRICIAL
Ejemplo: Producto de un escalar de demanda y un vector de precios. Supóngase que un fabricante produce 4 artículos. Su demanda está dada por el vector de demanda d= [30 20 4010 ] (una matriz de 1×4 ¿ . El precio por unidad que recibe el fabricante por los artículos está dada por el vector de precios
p=[$ 20$15$18$ 40
](Una matriz de 4×1¿ . Si se cumple la demanda, ¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?
Matemáticas IV Página 34
([1 4 −23 −1 0 ]+[2 −2 3
1 −1 5])+[3 −1 20 1 4 ]=¿
[3 2 14 −2 5]+[3 −1 2
0 1 4 ]=[6 1 34 −1 9]
[1 4 23 −1 0]+([2 −2 3
1 −1 5]+[3 −1 20 1 4])=¿
[1 4 23 −1 0]+[5 −3 5
1 0 9]=[ 6 1 34 1 −9]
[ 302040 10 ] [$ 20$15$18$ 40
](30 ) ($ 20 )+(20 ) ($ 15 )+(40 ) ($18 )+(10 ) ($ 40 )=$2020.00
[ 302040 10 ] [$ 20$15$18$ 40
]=[ 2020 ]
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PRODUCTO DE DOS MATRICES.
Sea A=(aij) una matriz de mxn, y sea B=(bij ) una matriz de nxp. Entonces el
producto de A y B es una matriz mxp, C=(cij ) ,en donde:
Cij=(renglon de i de A ) . (columnaj deB )
Es decir el elemento ij de AB es el producto punto del renglón i de A y la columna j de B si esto se extiende se obtiene:
Cij=ai1b1 j+ai2b2 j+⋯+a¿bnj
Si el numero de columnas de A= al número de renglones de B, entonces se dice que A y B son compatibles bajo la multiplicación.
Ejemplo:
Si A=[ 1 3−2 4 ]Y B=[3 −2
5 6 ], calcule AB y BA .
AB=[ 1 3−2 4 ][3 −2
5 6 ]=[18 1614 28]
C11=(1 ) (3 )+(3 ) (5 )=18
C12=(1 ) (−2 )+(3 ) (6 )=16
C21=(−2 ) (3 )+ (4 ) (5 )=14
C22=(−2 ) (−2 )+ (4 ) (6 )=28
BA=[3 −25 6 ] [ 1 3
−2 4]=[ 7 1−7 39]
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Calcule AB y BA.
A=[ 2 0 −34 1 5 ] y B=[ 7 −1 4
2 5 0−3 1 2
7−43 ]=[23 −5 2
15 6 265
39]
(2x7) + (0x2) + (-3x3) = 23
(2x-1) + (0x5) + (-3x1) = -5
(2x4) + (0x0) + (-3x2) = 2
(2x7) + (0x-4) + (-3x3) = 5
(4x7) + (1x2) + (5x-3) = 15
(4x-1) + (1x5) + (5x1) = 6
(4x4) + (1x0) + (5x2) =26
(4x7) + (1x-4) + (5x3) =39
Ejercicio
[ 2 3−1 2] [4 1
0 6]=[ 8 2−4 1]
(2x4) + (3x0) = 8
(2x1) + (3x6) = 2
(-1x4) + (2x0) = -4
(-1x1) + (2x6) = 1
Ejercicio
[ 1 60 4
−2 3] [7 1 42 −3 5 ]=[ 19 −17 34
8 −12 20−8 −11 7 ]
Matemáticas IV Página 36
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[ 1 4 0 2 ] [3−62410
−23]=[ 7 16 ]
Encuentre una matriz A=[a bc a] tal que:
A=[2 31 2]=[1 0
0 1 ]
[ 2 −3−1 2 ] [2 3
1 2]=[1 00 1]
(2x2) + (-3x1) = 1
(2x3) + (-3x2) = 0
(-1x2) + (2x1) = 0
(-1x3) + (2x2) = 1
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INVERSA DE UNA MATRIZ
Sea A una matriz de n x n si se puede encontrar una matriz B tal que AB=BA=In entonces se dice que A es invertible, y AB se le llama la inversa de A. si no existe esta matriz B entonces A no tiene inversa. Ejemplo demuestre
que la matriz A=[1 23 4 ] tiene como inversa la matriz B=[−2 1
32
−12 ]
AB=[1 23 4 ][−2 1
32
−12 ]=[1 0
0 1]=I 2
BA=[−2 13/2 −1 /2] [1 2
3 4]=[1 00 1]
Sea A una matriz invertible su inversa esta denotada por A-1
Eliminación de gauss-Jordán para encontrar una inversa de una matriz.
Sea A una matriz de n x n:
1.- se adjunta a A la matriz de identidad de n x n, para formar la matriz [A: In].
2.- se calcula de forma escalonada reducida de [A: In].
- si la forma escalonada reducida es de la forma [In: B] entonces B es la forma inversa de A.
- si la forma escalonada reducida no es de la forma [In: B], debido a que la primera submatriz de n x n no es In, entonces A no tiene inversa.
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Ejemplo:
Determine la inversa de la matriz.
A=[ 1 −1 −22 −3 −5
−1 3 5 ]=[a : I 3 ][ 1 −2 −22 −3 −5
−1 3 5
1 0 00 1 00 0 1]=¿
(R2→R1+R2 )(R3→R1+R3 )
=[1 −1 20 −1 −90 2 7
1 0 0−2 1 01 0 1]=¿
(R2→−R2 )=[1 −1 20 1 90 2 7
1 0 02 −1 01 0 1]= (R1→R2+R1 ) ,
(R3→2 R+R3 )=¿
[1 0 110 1 90 0 −11
3 −1 02 −1 0
−3 2 1]=(R3→1
−11)R3
[1 0 110 1 90 0 1
3 −1 12 −1 0311
−211
−111
]= (R1→−11R3+R1 )(R 2→−9R3+R2 )
,
[1 0 00 1 00 0 1
0 1 1−5 /11 7 /11 9/113 /11 −2 /11 −1/11]
A−1=[ 0 1 1−5/11 7/11 9/113/11 −2/11 −1/11]
A-1=[ 0 1 1−5/11 7/11 9/113/11 −2/11 −1/11 ][ 1 −1 2
2 −3 −5−1 3 5 ]=[1 0 0
0 1 00 0 1]
Matemáticas IV Página 39
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TEOREMA
Una matriz de A de n x n invertible si y solo si su forma escalonada reducido es In
TEOREMA
Sea AX=B un sistema de n ecuaciones lineales con n variables. Si A-1 existe, la solución es única y esta dado por X=A-1B.
Demostración: primero se prueba que X=A-1B es una solución.
Sustituyo X=A-1B en la ecuación matricial. Al usar las propiedades de las matrices se obtiene.
AX = A (A-1 B) = (AA-1) B = InB = B
X=A-1B satisface la ecuación, por lo que es una solución.
Ahora se prueba la unidad de la solución. Sea X, una solución. Por lo tanto AX1=B multiplicando ambos lados de esta ecuación por A-1 se obtiene
A-1AX1=A-1B
InX1=A-1B
X1=A-1B
De manera que hay una única solución X1=A-1B
Resuelva el sistema de ecuaciones
X1 -X2 +2X3=1
2X1 -3X2 -5X3=3
-X1 +3X2+5X3=-2
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[ 1 −1 22 −3 −5
−1 3 5 ] [X1
X2
X 3]=[ 1
3−2]
[ 0 1 1−511
711
911
311
−211
−111
] [ 1 −1 22 −3 −5
−1 3 5 ][X 1
X 2
X 3]=[ 0 1 1
−5 /11 7 /11 9 /113 /11 −2 /11 −1/11] [
13
−2]
[1 0 00 1 00 0 1 ][X1
X2
X3]=[ 0 1 1
−5/11 7/11 9/113/11 −2/11 −1/11][
13
−2]
[X1
X2
X3]=[ 0 1 1
−5/11 7/11 9/113/11 −2/11 −1/11][
13
−2] X1=0+3−2=1
X2=−511
+ 2111
−1811
=−211
X3=3
11− 6
11+ 2
11=−1
11
COMPROBACION:
X1−X2+2 X3=1
1−(−211 )+2(−1
11 )=1∨¿
1=1
2 X1−3 X 2−5 X3=3
2 (1 )−3(−211 )−5(−1
11 )=3
2+ 1111
=3
3=3
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TEOREMA DE CRAMER
Es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes.
La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación Gasussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.
Si Ax=bes un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, x=(x1 ,……………, xn )es el vector columna de las incógnitas y es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:
x j=det ( A j )
(A )
Donde A j es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz A ha de ser no nulo.
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EJEMPLO:
Solución de un sistema de 3x3 usando la regla de cramer.
Resuelva el siguiente sistema usando la regla de cramer.
2 x1+4 x2+6 x3=18
4 x1+5 x2+6 x3=24
3 x1+x2−2 x3=4
D=|2 4 64 5 63 1 −2|=(20+24 ¡32 )−(90+12−32 )=6≠0
D1=|18 4 624 5 64 1 −2|=(−180+144+96 )− (120+108−192 )=24 X1=
246
=4
D2=|2 18 64 24 63 4 −2|=(−96+96+324 )−( 432+48−144 )=−12 X2=
−126
=−2
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D3=|2 4 184 5 243 1 4 |=(40+72+288 )−(270+64+48 )=18 X3=
186
=3
x1=Dx1
D=24
6=4
x2=Dx2
D=−12
6=−2
x3=Dx3
D=18
6=3
AUTOEVALUACION
1.- ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es cierta para la matriz (1 2 37 −1 0) ?
a) es una matriz cuadrada.
b) Si se multiplica por el escalar -1, el producto es. (−1 −2 −3−7 1 0 )
c) Es una matriz de 3x2.
d) Es la suma de (3 1 47 2 0) y (−2 1 1
0 1 0)e) 2.- ¿Cuál de los dos incisos es 2 A−4 Bsi A= (2 00 ) y B=(31)?a) (−8−4 )b) (50 1)c) (16−4 0)d) Esta operación no se puede realizar.
3.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta cuando se encuentra la diferencia de dos matrices?
a) Las matrices deben ser del mismo tamaño b) Las matrices deben ser cuadradas.c) Las matrices deben ser ambas vectores reglón o vectores columna.d) Una matriz debe ser un vector reglón y la otra un vector columna.
4.- ¿Cuáles serian los elementos de la segunda columna de la matriz B si.
(3 −4 02 8 −1)+B=(0 0 0
0 0 0) ?a) −2 ,−8 ,1b) 4 ,−¿8
Matemáticas IV Página 44
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c) 2 ,8 ,−1d) −4 ,8
5.- ¿Cuál de las siguientes debe ser el segundo reglón de la matriz
Bsi3 A−B=2C para A=(1 −1 10 0 34 2 0)+C=(1 0 0
0 1 00 0 1)?
a) −3 ,2 ,6b) 0 ,−2 ,9c) 3 ,−2,6d) 0 ,2 ,−9
UNIDAD IV
Objetivo:
Conocerá y aplicara las definiciones de espacio y subes pació vectorial en la solución de problemas.
Definición:
Un espacio vectorial es un conjunto V de elementos llamados vectores, cuyas operaciones de adición y multiplicación por un escalar se encuentran definidas en él y satisfacen las siguientes condiciones:(U ,V Y W ) son elementos cualesquiera de v , c y d son escalares.
Axiomas de cerradura.
Matemáticas IV Página 45
ESPACIOS VECTORIALES.
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1.-La suma U+V existe y es un elemento V (V es cerrado bajo la adicion).
2.-CU es un elemento de V (V es cerrado bajo la multiplicación por un escalar).
AXIOMAS DE LA ADICIÓN.
3.-U+V=V +U (propiedad conmutativa).
4.-U+(V +W )=(U+V )+W (propiedad asociativa).
5.-Existe un elemento de V , denominado vector cero, que se denota cero, tal que U+O=U .
6.-Para todo elemento UdeV , existe un elemento llamado el negativo de U , que se denota –U , tal que U+(−U )=O.
7.-C (U+U )=CU+CV .
8.-(c+d )U=C U+d U .
9.-c (dU )=(cd )U .
10.-1U=U
Considere el conjunto de matrices reales de 2 x2. Denote que este conjunto con M 22. Este conjunto forma un espacio vectorial.
U=[a bc d ] V=[ e f
g h]U+V=[ a+e b+ f
c+g d+h]
U+V=¿ Es una matriz de 2 x2 por consiguiente M 22 es cerrada bajo la adición.
U=[a bc d ] U=[0 0
0 0] U+0=[a bc d ]=U
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Axiomas de cerradura.
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U=[a bc d ] −U=[−a −b
−c −d ] U+(−U )=[a−a b−bc−c d−d ]=[0 0
0 0]=0
El conjunto de matrices de M 22 de 2 x2 constituye un espacio vectorial. Las
propiedades algebraicas de M 22 son similares a la Rn. Asimismo se tiene que Mmn, el conjunto de matrices de mxn es un conjunto espacio vectorial.
TEOREMA
Sea V es un espacio vectorial V es u vector V , 0 el vector 0 de V , c un escalar y 0 es un escalar 0, entonces.
a) 0V=0b) c 0=0
c) (−1 )V=−Vd) Si c V=0, entonces c=0 a V=0.
DEMOSTRACIÓN
a) 0V +0V=(0+0)V (axioma 8)¿0V (Propiedad del escalar)
Sume el negativo de 0V , es decir −0V a ambos lados de ese ecuación.
b) (0V +0V )+(−0V )=0V +(−0V ) 0V +[(0V+(0V )) ]=0 (Axioma 4y 6)
0V +0=0 (Axioma 6) 0V=0 (Axioma 5)
c) (−1 )V +V=(−1 )V +1V (Axioma 10)
¿ [ (−1 )+1 ]V (Axioma 8)¿0V (Propiedad del escalar)¿0
Por lo tanto, (−1)V es el negativo de V (axioma 6)
Matemáticas IV Página 47
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SUBESPACIOS
Ciertos subconjuntos de espacios vectoriales forman espacios vectoriales ellos
mismos. Para motivar los conceptos, observe de nuevo el espacio vectorial Rn .
El espacio Rn es un conjunto de vectores en el que se han definido las
operaciones de adicion y multiplicación por un escalar Rn es cerrado bajo
estas operaciones. Si se suma dos vectores en Rn obtiene un elemento de Rn
por un escalar obtiene un elemento de Rn , por ejemplo en Rn
(1,2,5 )+(3,1,7 )=(4,3,12 ) y 3 (1,−2 ,5 )(3 ,−6,15)
Matemáticas IV Página 48
Elemento de R3
Elemento de R3
Elemento de R3
Elemento de R3
Elemento de R3
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Considere ahora a ciertos subconjuntos de Rn que tienen las mismas características de cerradura.
Considere el sub conjunto V de R3 ,
que consta de los vectores de la forma (a, a, b).V consta de todos los elementos de R3 que tienen las primeras dos componentes iguales. Por ejemplo(2,2,3) y (1,2,3) no pertenece a V observe que si multiplica un elemento de V por
un escalar , obtiene un elemento de V. sean (a,a,b) y (c,c,d) elementos de V y sea K un escalar. Así
(a ,a ,b )+ (c , c , d )=(a+c ,a+c ,b+d )∑V
K (a ,a ,b )=¿
En V se definen las operaciones de adicción y multiplicación por un escalar V también es cerrado bajo estas operaciones y posee las características algebraicas del espacio vectorial R3 ,
Matemáticas IV Página 49
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BASES Y DIMENSIONES
DEFINICION: UN Conjunto finito de vectores {v1 ,…. , vm } recibe el nombre de bases de un
espacio vectorial V si el conjunto genera V y es linealmente independiente.
Una base es un conjunto eficiente para representar un espacio vectorial, en el sentido de cualquier vector se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la base; además los vectores de la base son independientes unos de otros.
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Definición: el conjunto de n vectores ¿ es una base para Rn . esta base recibe el nombre de
base canonica para Rn .
Se tiene que demostrar que el conjunto genera a Rn . y que es linealmente independiente.
Sea (x1 , x2 ,…. , xn) un elemento cualquiera de Rn . puede escribir
(x1 , x2 ,…., xn )=x1 (1,0 ,…0 ) , x2( 0,1..0 ) xn(0 ,.. ,1)
Entonces el conjunto genera a Rn además, cuando se analiza este conjunto para establecer la independencia lineal se obtiene que
C1 ( (1,0 ,…0 ) )+C2 ( (0,1..0 ) )+…Cn¿
(C ¿¿1 ,0 ,…,0)+(0 ,C2…,0 )+….+ (0 ,…,Cn )=(0,0 ,…0)¿
C1,C2…,Cn=(0,0 ,…,0 )
Por lo que C1=0 ,C2=0 ,….. ,Cn =0. El conjunto es linealmente independiente:
Por lo tanto, el conjunto ¿ es una base para Rn .encontara que hay muchas bases para Rn . sin embargo, la base canonica es la mas importante.
Demuestre que el conjunto{(1,0 ,−1 ) , (1,1,1 ) , (1,2,4 ) } es una base para R3.
Sea (x1 , x2 , x3 ) un elemento cualquiera en R3 .
Seaa1 , a2 , a3 escalares en R3 .
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(x1 , x2 , x3 )={a1 (1,0 ,−1 ) , a2 (1,1,1 ) , a3 (1,2,4 ) }
a1+a2+a3=x1
a2+a3=x2
−a1+a2+a3=x3
| 1 1 10 1 2
−1 1 4|=(4−2 )— (1+2 )=4−2+1−2=1
|x1 1 1x2 1 2x3 1 4|=( 4 x1+x2+2 x3 )−(x3+2 x1+x2 )=¿
4 x1+x2+2x3−x3−2x1−x2=a1=2 x1−3x2+x3
| 1 x1 10 x1 2
−1 x1 4|=( 4 x2−x1 )−(−x2+2 x3 )=¿
4 x2−2x2+x2−2 x3=a2=−2x1+5 x2−2x3
| 1 1 x1
0 1 x2
−1 1 x3|=(x3+x2 )−(−x1+x2 )=¿
x3−x2+ x1−x2=a3=x1−2 x2+ x3
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Demuestre que los conjuntos son bases para R3
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a¿ . {(1,1,1 , ) , (0,1,2 ) , (3,0,1 ) }
|1 0 31 1 01 2 1|=(1+6 )−(3 )?7−3=4
|x1 0 3x2 1 0x3 2 1|=(x1+6 x2 )−(3x¿¿3)=x1+6 x2−3 x3 ¿
¿ x1+6 x2−3x2
|1 x1 31 x2 01 x3 1|=(x2+3 x3 )−(3 x¿¿2+ x1)¿
x2+3x3−3x2+x1
¿−x−3 x2+3 x3
|1 0 x1
1 1 x2
1 2 x3|=(x3+2x1 )−(x¿¿1+2x2)¿
¿ x3+2x1−x1−2 x2
¿ x1−2 x2+x3
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D E M O G R A F I A Y P R E D I C C I O N D E L T I E M P O
La población que podría describir mediante una sucesión de vectores
x0 , x1(¿ px¿¿0), x2 (¿ px1 ) , x3( px¿¿2) ,…. , p¿¿es la matriz de probabilidad de
transición que nos lleva de un vector a otro de la sucesión. A estas sucesiones
(o cadenas) de vectores se les llama cadena de Markov. Las cadenas de
Markov son de interés especial en las que la sucesión x0 , x1 , x2 ,… converge
algún vector fijo x . Para el que Px=x . El movimiento de población estaría en un
estado estable en el que según esto las poblaciones de la ciudad y de los
alrededores permanecerían constantes. Se escribe x0 , x1 , x2 ,…..→x como este
vector x satisface px=x ,esta seria un vector propio de P correspondiente al
valor propio 1.
DEFINICIÓN
Se dice que la matriz de transición P y una cadena de Markov es regular si
existe alguna potencia de P en la que todos sus componentes son positivos. En
este caso se dice que la cadena de Markov es una cadena de Markov regular.
Ejemplo
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Determine si las siguientes matrices de transición son regulares.
Teorema
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a¿ A=[0.3 0.60.7 0.4 ] La matriz es regular por que todos los elementos son positivos
B=[0.7 10.3 0]B2=[0.79 0.7
0.21 0.3] [0.7 10.3 0 ][0.7 1
0.3 0]=[0.79 0.70.21 0.3]
C=[0.4 00.6 1]B2=[0.16 0
0.84 1] [0.4 00.6 1] [0.4 0
0.6 1][0.16 00.84 1]
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Considere con una cadena de Markov regular que tiene vector inicial x0 y una
matriz de transición P entonces.
Determine la tendencia, a largo plazo en los movimientos de población que hay entre las ciudades y los alrededores en estados unidos.
Se estima que el número de personas que vivían en las ciudades de estados unidos en el año 2000 era 58 millones y el número de personas que vivían en los alrededores de las ciudades era 142 millones. Durante el año 2000, la probabilidad de que una persona se quedara en la cuidad era 0.96, por lo que la probabilidad de quede se desplazara en los alrededores era 0.04 la probabilidad de que una persona se cambiara a la cuidad era de 0.01, la probabilidad de que se quedara a los alrededores 0.99.
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1. x0 x1 x2 ,……→x ,donde x satisface Px=x
2. P ,P2 ,P3,…→Q ,donde esunamatriz estadistica : todas las columnasdeQ sonidenticas
y cadaunaesun vector propiode Pcorrespondiente aγ=1
x0=[ 58142]
Población en la cuidad para el año 2001 ¿ (96×58 )+(0.01×142 )=57.1
Población en la alrededores para el año 2001 ¿ (0.04×58 )+(0.99×142 )=142.9
Cuidad alrededores
P=[0.96 0.010.04 0.99]
P2=[0.96 0.010.04 0.99][0.96 0.01
0.04 0.99 ]=[0.922 0.01950.078 0.9805 ]
P2 X1=[0.922 0.01950.078 0.9805]
POB. (2002 )CUIDAD=55.43275
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Por los vectores propios de P correspondiente a γ=1 son vectores distintos de cero de la forma.
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P2=[0.96 0.010.04 0.99][0.96 0.01
0.04 0.99 ]=[0.922 0.01950.078 0.9805 ]
P2 X1=[0.922 0.01950.078 0.9805]
POB. (2002 )CUIDAD=55.43275
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UNIDAD V
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r [ 14]
r+4 r=58+142
5 r=200
r=2005
r=40
4 r=160
x=[ 40160 ]
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5.1 DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES.
Transformaciones lineales.
OBJETIVO DE LA UNIDAD
Conocerá el concepto de la transformación lineal para aplicarlo en
problemas geométricos y de física.
En un espacio vectorial se definen dos operaciones: la adicción y la
multiplicación con un escalar las transformaciones lineales entre espacios
vectoriales observase estas estructuras lineales.
Definición
Sea U, V espacios vectoriales. Sean U, V vectores en U y sea C un escalar.
Una transformación T: U→V es lineal si,
T (U+V )=T (U )+T (V )
T (CU )=cT (U )
La primera condición implica que T convierte la suma de los vectores en la
suma de los imágenes de los vectores la segunda condición implica que T
convierte el múltiplo escalar de un vector en el múltiplo escalar de la imagen.
De esta manera, las operaciones de la adición y multiplicación por un escalar
se conserva bajo una transformación lineal.
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TRANSFORMACIÓN DE UN VECTOR DE PRODUCCIÓN DE UN VECTOR
DE MATERIA PRIMA
Un fabricante hace 4 tipos diferente de productos, cada uno requiere 3 tipos de
materiales. Se denota los 4 productos por P1 ,P2 , P3 ,P4 ya los materiales por
R1 ,R2 y R3. En la tabla siguiente da el número de unidades de cada materia
prima para fabricar una unidad de cada producto.
P1 P2 P3 P4
R1 2 1 3 4
R2 4 2 2 1
R3 3 3 1 2
Si se produce cierto número de los 4 productos ¿Cuántas unidades de cad
material se necesitan? Sean P1 ,P2 , P3 ,P4 el número de artículos fabricados de
los 4 productos sean R1 ,R2 y R3 el número de unidades del usuario de los 3
artículos.
P=[P1
P2
P3
P4]r=[r1
r2
r3]A=[2 1 3
4 2 23 3 1
412 ]
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Necesarios para producir 1 unidad de
Número de unidades de m.p
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Definición. Una transformación lineal de un espacio vectorial V en un espacio
vectorial W es una función de V en W, T: V ® W, que es lineal, esto es para
todo u, v Î V y todo a, b Î R verifica: T (a u + b v) = a Tu + b T v.
Es claro que esa condición es equivalente a que se verifiquen, para todo a Î R
y todo u, v Î V, las dos condiciones: T (a u) = a Tu y T (u + v) = Tu + T v.
En algunos textos se llaman transformaciones lineales las funciones lineales
de un espacio vectorial V en sí mismo. Para distinguir el vector cero de V del
vector cero de W y del número 0, se indicará con 0V el vector cero de V, y con
0W el vector cero de W.
Se observa que para toda transformación lineal de V en W, la imagen de 0V es
0W, pues:
T0V = T (00V) = 0T0V = 0W.
Para todo espacio V, la función identidad, I: V ® V, que a todo vector v Î V
le asocia el mismo vector v, es una transformación lineal de V en V. Se indicará
esta transformación con la notación IV cuando sea necesario distinguirla de la
función identidad en otro espacio vectorial.
Dados dos espacios V y W, la función cero, 0: V ® W, en la que todo vector v
Î V tiene por imagen el vector 0W, también es lineal.
5.2 EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES
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Siguen algunos ejemplos de transformaciones lineales.
1. Sea V un espacio de dimensión finita y sea { v1,...,vm } una base de V sobre
R. Se define una función T: V ® R, asignando como imagen a cada vector v
= a1v1 +...+ am vm el número a1. Esta es una transformación lineal porque si
v¢ = b1v1 +...+ bmvm, entonces:
2. Usando la misma notación del ejemplo anterior, la función T: V ® Rm
definida por:
T(a1v1 +...+ amvm) = (a1,...,am), es lineal.
3. La derivación de polinomios, D: R [X] ® R [ X], es lineal.
4. Sea V el espacio de los vectores de un plano y sea w Î V un vector de
norma 1. La función T: V ® V que a cada v Î V le asocia la proyección
ortogonal de v sobre w es lineal, porque la proyección de v es Tv = (v.w)w y
T(au + b v) = [(au + b v). w] w = a (u. w) w + b(v. w) w = a Tu +b Tv.
5. Si V = V1 Å V2, todo v Î V se escribe en la forma v = v1 + v2, con v1 Î V1
y v2 Î V2 únicos. Se define entonces la proyección de V sobre V1 según V2,
como la función T: V ® V dada por Tv = v1 para todo v Î V.
Es simple verificar que con estas operaciones de suma de transformaciones y
producto de números por transformaciones el conjunto de todas las
transformaciones lineales de V en W es un espacio vectorial.
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T(av + bv¢) = T[(aa1 + bb1)v1 +...+ (aam + bbm)vm]
= aa1 + bb1 = aTv + bTv¢.
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Dadas dos transformaciones lineales, S: V ® U y T: U ® W, tales que el
conjunto de llegada de S coincide con el conjunto de partida de T, está definida
la composición de las transformaciones, que está dada por (TS) v = T (Sv)
para todo v Î V. Es fácil demostrar que si S y T son lineales, la composición
de S con T también es lineal.
En particular, está definida la composición de cualquier par de
transformaciones lineales de un espacio vectorial V en sí mismo. La
composición es en este caso una operación en el espacio vectorial de todas las
transformaciones lineales de V en V. Este es un producto asociativo porque la
composición de funciones siempre lo es.
Un espacio vectorial con un producto asociativo con estas propiedades, se
dice que es un álgebra sobre R.
En la próxima sección se introducirá el álgebra Mn(R) de las matrices de n filas
y n columnas de números reales.
A toda transformación lineal T: V ® W, se le asocian un subespacio del
dominio V y un subespacio del con dominio W.
Definición. Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una
transformación lineal de V en W, es una función
tal que:
i)
ii)
En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las
operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca
escalares”.
Matemáticas IV Página 63
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Transformaciones lineales:
Notación standard de la transformada lineal es: V se denomina de T. Si v
pertenece a V y w esta en W, T (v) = w donde w será la imagen de v bajo T, el
conjunto de todas las imágenes se llama contra dominio de T y el conjunto de v
de V tales que T (v) = w se llama pre imagen de w.
La definición de transformación lineal es que todo espacio vectorial en V y W se
puede hacer transformación lineal si cumplen con los axiomas de la distribución
bajo la suma (T(U + V) = T( U ) + T ( v )) y la multiplicación por un escalar (T(c
U)= c T(u)). Cumpliendo con lo anterior la transformada lineal tiene sus
propiedades que son :
T(0) = 0
T(-v) = - T(v)
T(v-u) = T(v)-T(u)
Sí v = c1v1 + c2v2 + .. + cnvn entonces v = c1 T(v1)+ c2 T(v2)+ ...
+ cn T(vn).
Para definir una transformación lineal por una matriz esta se notara así: siendo
a la matriz m x n la función T se definirá T(v) = Av que suma transformación
lineal de Rn en Rm.
El núcleo se puede encontrar definiendo la transformada así. T(v) = 0 esto
también se denomina como Kernel de T y se denota Ker (T) para que sea
núcleo esta debe cumplir que Ax = 0.
La dimensión del núcleo se llama nulidad y la dimensión del contradominio de T
se llama rango (si A = matriz entonces el rango de T va ser = rango de A).
Dimensión del dominio = dimensión del rango + dimensión del núcleo.
Las transformaciones lineales puede ser uno a uno que son aquellas que la
preimagen de W consta de un solo vector, o sea, será uno a uno para toda u y
v en V, T (u) = T (v), también hay que tomar en cuenta que kernel (T) = 0.
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También las transformadas lineales puede ser sobre si y solo si el rango de T
es igual a la dimensión de W. Y un transformación lineal es directa si es uno a
uno y sobre.
Existencia de una transformación inversa:
Sea T: Rn! Rn una transformada de una matriz standard. Debe cumplir las
siguientes condiciones:
T es invertible
T es un isomorfismo
A es invertible
Si T es invertible con matriz standard A, entonces la matriz standard de T-1 es
A-1.
Un caso especial seria cuando V 0 W y B = B', don de la matriz A que se
denomina matriz de T con respecto a la base B. En este caso la matriz de la
transformación identidad es simplemente In.
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6.3 DEFINICIÓN DEL NÚCLEO O KERNEL, E IMAGEN DE UNA
TRANSFORMACIÓN LINEAL
Definición Sea una transformación lineal. Se define el Kernel o
Núcleo de la transformación lineal , denotado por al conjunto de las
pre imágenes del vector nulo, es decir
Ejemplo Hallar el conjunto de as pre imágenes del vector nulo para la
transformación lineal
Solución: Necesitamos determinar los vectores de tales que:
Luego, utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos
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Evaluado t 1¿
Es decir ¿
[2 3 11 −3 −1]→[1 0 0
0 1 1/3]Por lo tanto x=0 y+ 1
3 γ=0
lo cual ( x . y , z )=¿
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6.4 LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Y
REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Representación matricial de una transformación lineal.
Sea T :V !"! W una T.L con dim V = n, dim W = m si {e1,...,en} es una base de V
y {w1,...,wm} es una base de W, cada elemento t (ek) puede expresarse con
unicidad, como una combinación lineal de los elementos de la base es decir
T(ek) =m"i=1tikwi donde tik ,...,t mk son los componentes de t (ek) respecto a la
base ordenada {w1,... ,wm}.
Los tik forman un vector columna o matriz columna. Tenemos una
columna para cada uno de los n-elementos t(e1),..., t(en), formando así
una matriz de orden m × n.
Así toda T.L de un espacio n-dimensional V, en un espacio m dimensional W
da origen a una matriz m × n t(eik), cuyas columnas son los componentes de
t(ei),...,t(en), relativos a la base (w1,...,wn), la llamamos representación
matricial de T relativa a unas bases ordenadas {e1,...,en}, de V y {w1,...,wm},
para w.
Definición Sean U,V dos espacios vectoriales sobre , además B= {U 1 ,U 2 ,… ..U N } , C=V 1 ,V 2 ,… ..V M }
bases ordenadas de U,V respectivamente y Tuna transformación lineal de U en
Se define la matriz asociada a en las bases B,C
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Denotada por
Donde
Además si la base C del espacio de partida es igual al del espacio de
llegada, la matriz asociada a la transformación lineal se denota por
6.5 TRANSFORMACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices.
Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de
un sistema equivalente si:
Se intercambian dos renglones. Símbolo Ri Rj.
Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero.
Símbolo: kRiRi.
Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón.
Símbolo: kRi+Ri
Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Ejemplo.
Resuelve el sistema:
x + 2y + 3z = 9
4x + 5y + 6z = 24
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3x + y - 2z = 4
Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz aumentada:
Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra
matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. Pondremos
símbolos adecuados entre matrices equivalentes.
Con la matriz final regresamos al sistema de ecuaciones:
Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = -2, z = 3 se puede
encontrar ahora por sustitución.
La matriz final de la solución es una forma escalonada.
En general, una matriz esta en forma escalonada si satisface estas
condiciones:
El primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo de izquierda a derecha, es 1.
La columna que contenga el primer número diferente de cero en cualquier renglón está a la izquierda de la columna con el primer número distinto de cero del renglón de abajo.
Los renglones formados enteramente de ceros pueden aparecer en la parte inferior de la matriz
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Ejemplo:
Sea la matriz:
es "una matriz escalonada"
Guías para hallar la forma escalonada de una matriz.
Localizar la primera columna que contenga elementos diferentes de
cero y aplicar transformaciones elementales de renglón a fin de obtener
1 en el primer reglón de esa columna.
Aplicar transformaciones elementales de renglón del tipo kR1 + Rj
Rj. para j > 1 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (a) en
cada uno de los reglones restantes .
Hacer caso omiso del primer renglón. Localizar la próxima columna que
contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones
elementales de renglón con objeto de obtener el número 1 en el
segundo renglón de esa columna.
Aplicar transformaciones elementales del tipo kR2 + Rj
Rj. para j >2 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (c) en
cada uno de los renglones restantes.
Hacer caso omiso del primer y segundo renglones. Localizar la
siguiente columna que contenga elementos diferentes de cero y repetir
el procedimiento .
Continuar el proceso hasta alcanzar la forma escalonada.
Uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones
lineales.
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Ejemplo:
Resuelve el sistema:
La matriz final está en forma escalonada y corresponde a un sistema de
ecuaciones:
Ahora usamos sustitución a fin de hallar la solución. De la última ecuación
vemos que w = -1; de la tercera ecuación vemos que z = -2 . Sustituimos en
la segunda ecuación, y obtenemos:
y - 2z - w = 6
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y - 2(-2) - (-1) = 6
y + 4 + 1 = 6
y = 1
Sustituimos los valores encontrados en la primera ecuación:
x + z + 2w = -3
x + (-2) + 2(-1) = -3
x - 2 - 2 = -3
x = 1
Por lo tanto, el sistema tiene una solución: x = 1, y = 1, z = -2, w = -1.
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5.6 ALGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Sean F ,G∈L(U ,V ) podemos definir la suma de transformaciones lineales,
dada por:
También podemos definir la multiplicación por escalar.
Sean F ,G∈L (U ,V )σ∈K definamos la multiplicación por escalar de una
transformación lineal, dada por
Definición. Un álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre F en
el que se tiene definida una operación producto que satisface para todos los
elementos T1, T2, T3 A y F:
T1 (T2+T3)=T1T2+T1T3
(T2+T3)T1=T2T1+T3T1
(T1T2)= (T1) T2=T1(T2)
Si además se cumple que (T1T2)T3=T1 (T2T3) entonces A es un álgebra
asociativa
Definición. Sean V, U y W espacios vectoriales sobre el mismo campo F.
Sean T1: VU y T2: UW dos transformaciones lineales.
Se define la composición de T2 seguida de T1 T2T1 como la función de V a
W (T2T1) : VW tal que (T2T1)(v)=T2(T1(v))
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5.7 APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.
Se aplican en sistemas de ecuaciones lineales, en matrices y en un sin número
de problemas, gracias a las transformaciones lineales sabemos el dominio e
imagen y teniendo esto saber si es un espacio vectorial.
Ejemplo
Dada la transformación lineal
Determinar todos los espacios propios asociados a F, sabiendo que 2,-2
son los únicos valores propios. Solución: Determinemos el espacio propio
asociado al valor propio 2.
V2 = {(x; y) / T(x; y)=2(x; y)}
= {(x; y) / (x+y;3x- y)=2(x; y)}
= {(x; y) / (-x+y;3x-3y)=(0;0)}
= {(x; y) /-x+ y=0
= < (1;1) >
Para el otro valor propio procedemos de manera similar
V-2 = {(x; y) /T(x; y)=-2(x; y)}
= {(x; y) / (x+ y; 3x- y)=-2(x; y)}
= {(x; y) / (3x+y; 3x+y)=(0;0)}
= {(x; y) / 3x+ y= 0} = < (1;-3) >
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Ejemplos de Aplicaciones de las Transformaciones Lineales
1. Una casa editora publica un libro en tres ediciones diferentes: cubierta
dura, cubierta blanda y cubierta de lujo. Cada libro requiere cierta
cantidad de papel y de material para la cubierta. Los requisitos están
dados en gramos por la siguiente matriz:
Deja que
represente el vector producción, donde x1, x2, x3 representan el
número de libros con cubierta dura, cubierta blanda y cubierta de lujo
respectivamente, que se publican. La transformación lineal T: R3 → R2 definida
por T(x) = Ax nos da el vector , donde y1 representa la cantidad total de
papel requerido y y2 la cantidad de material para la cubierta. Suponga que
,
Entonces
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Cubierta
dura
Cubierta
blanda
Cubierta
de Lujo
Papel 300 500 800
Material para la cubierta 40 50 60
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Por lo que se requiere 810,000 gramos en papel y 87,000 gramos en
material para la cubierta.
2. ¿Puede una transformación lineal cambiar un dibujo por otro? Observa
como la transformación T; R2 → R2 definida por T(x, y) = (x, x+ y) cambia
los siguientes dibujos:
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UNIDAD VI
6.1.- DEFINICIÓN DE VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS DE UNA
MATRÍZ CUADRADA.
Sea t: v → v una transformación lineal. en una gran variedad de aplicaciones,
resulta útil encontrar un vector v en v tal que tv y v sean paralelos. esto es,
buscamos un vector v y un escalar λ tal que
T v = λv (1)
Si v ≠ 0 y λ satisface (1) entonces λ se denomina valor característico de t y v se
llama vector característico de t correspondiente al valor característico de λ. si v
es de dimensión finita, entonces t puede representarse por una matriz at. Por
esta razón discutiremos valores y vectores característicos de matrices de n x n.
Definición. Valor característico y vector característico.
Sea a una matriz de n x n con componentes reales. El número λ (real o
complejo) se llama valor característico de a si hay un vector v distinto de cero
en c n tal que
A v = λ v (2)
El vector v ≠ 0 se llama vector característico de a correspondiente al valor
característico λ.
Nota la palabra eigen significa "propio" o "apropiado" en alemán. Los valores
característicos se llaman también valores propios o auto valores, y los vectores
característicos, vectores propios o auto vectores.
Teorema 1. Sea a una matriz de n x n. entonces λ es un valor característico de
a si y sólo si
P (λ) = det (a - λi) = 0
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Definición. Ecuación característica y polinomio característico.
La ecuación p (λ) = det (a - λi) = 0 se conoce como la ecuación característica
de a; p(λ) se conoce como el polinomio característico de a.
p(λ) es un polinomio de grado n en λ.
Por el teorema fundamental del álgebra, todo polinomio de grado n con
coeficientes reales o complejos tiene n raíces exactamente (contando
multiplicidades).con esto queremos decir que, por ejemplo el polinomio (λ -1)5
tiene cinco raíces, todas iguales al número 1. Puesto que todo valor
característico de a es una raíz de la ecuación característica de a, concluimos
que:
Si se consideran multiplicidades, cada matriz de n x n tiene exactamente n
valores característicos.
Teorema 1 sea λ un valor característico de la matriz de a de n x n y sea eλ =
{v:av = λv}. Entonces eλ es un subespacio de cn
Teorema 2 sea a una matriz de n x n y sean λ1, λ2,...,λm valores característicos
diferentes de a con sus correspondientes vectores característicos de v1, v2, ...,
vm. Entonces v1, v2,..., vm son linealmente independientes. Esto es: los vectores
característicos correspondientes a valores característicos diferentes son
linealmente independientes.
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6.3 DETERMINACIÓN DE LOS VALORES DE LOS VECTORES DE UNA
MATRIZ
Los valores y vectores característicos también son conocidos como valores y
vectores propios, son valores especiales que se calculan a una matriz en el que
intervine los términos como determinante, polinomio característico y
ecuaciones de infinitas soluciones.
La definición implica que para un vector propio el efecto de aplicarle la
transformación lineal que amplificarlo por el escalar . esto implica que un
vector y el vector transformado son colineales o paralelos y por lo tanto
linealmente dependientes.
Procedimiento para calcular propios y vectores propios
Halle p(λ) = det (a - λi).
Halle las raíces λ1, λ2, ..., λm de p(λ) = 0.
Resuelva el sistema homogéneo (a -λi i) v = 0 correspondiente a cada valor
característico de λi.
Ejemplo.
De esta manera los valores característicos de a son λ1= 1, λ2 = -2 y λ3 = 3. Para
λ1= 1 tenemos
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Si resolvemos reduciendo por renglones, obtenemos, sucesivamente,
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6.4 DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES, POTENCIAS Y RAÍCES DE
MATRICES.
Potencia de una matriz
Si a es una matriz de n x n y si k es un entero positivo, entonces ak denota el
producto de k copias de a:
ak= a·a···a
Ejemplo:
a=
k= 2.
Multiplicación de matrices.
a2 =
Diagonalizar una matriz a es precisamente eso: escribirla de manera simple
encontrando una matriz invertible p y una diagonal d (si se puede) tales que
a = p d p-1
La matriz p se llama matriz de paso.
Puede que esto, al principio, no parezca más simple de lo que ya era a
directamente. Sin embargo, lo es desde muchos puntos de vista. dado que las
matrices suelen usarse para representar aplicaciones lineales, la expresión
anterior puede verse como un cambio de base de la aplicación representada
por a; entonces, esta forma de escribirlo dice: hay una base en la que la
aplicación lineal a tiene una forma muy simple (diagonal).
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Esto es útil, por ejemplo, para clasificar una aplicación lineal y estudiar sus
propiedades. Las matrices se usan para representar otras cosas como cónicas,
cuadráticas o formas bilineales, y en estos casos también resulta útil esta forma
de expresarlas.
La relación anterior entre las matrices a y d es importante y aparece en muchos
contextos, así que tiene nombre propio:
Cuando dos matrices cuadradas a y b verifican que a = p b p-1 para cierta
matriz cuadrada p (invertible, claro) decimos que a y b son semejantes.
Una matriz es diagonalizable cuando se puede diagonalizar; es decir, cuando
podemos encontrar una matriz diagonal y una invertible de forma que la matriz
se escriba como dijimos antes. Dicho de otra forma: una matriz es
diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal. Entonces, más
exactamente: una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz
diagonal real.
¿Cuándo y cómo podemos diagonalizar una matriz?
Si conseguimos escribir una matriz a como a = p d p-1 entonces podemos poner
también a p = p d. si d es diagonal y nos fijamos en la columna i de esta última
igualdad lo que tenemos es que a xi = λi xi (donde xi es la columna i de a y λi es
el número en el lugar i de la diagonal de d). Esto nos dice que para diagonalizar
una matriz nos hace falta conocer los vectores a los que les pase algo así.
Estos vectores también tienen nombre:
Si un número λ y un vector no nulo x verifican la relación a x = λ x diremos que
λ es un valor propio o autovalor de la matriz a y que x es un vector propio o
autovector de a asociado al valor propio λ.
Es fácil ver que diagonalizar una matriz a de tamaño n × n es lo mismo que
encontrar n vectores propios linealmente independientes asociados a valores
propios reales, ya que entonces podemos ponerlos por columnas y conseguir
así la matriz p (puedes comprobar que entonces se cumple la relación que
buscamos).
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Entonces, para diagonalizar una matriz lo que tenemos que hacer es
buscar n vectores propios suyos linealmente independientes asociados a
valores propios reales.
¿Cómo encontrar valores y vectores propios de una matriz?
Es fundamental, pues, hallar los valores propios de a y los vectores propios
asociados. Como un vector propio l hace que el sistema ax = λx tenga solución
x distinta de cero, la matriz de coeficientes a −λi (donde i denota la matriz
identidad de orden n) debe tener determinante no nulo. Este determinante det
(a−λi) es un polinomio en λ de grado n y se denomina polinomio
característico de a.
Por otro lado, el conjunto de vectores propios de a asociados a un mismo valor
propio λ forman un subespacio vectorial de rn que se llama subespacio propio
asociado al valor propio λ, y es el núcleo de la matriz a −λi. Para concluir si
una matriz a es o no diagonalizable bastará pues averiguar si hay "suficientes"
valores propios reales para construir d y si hay “suficientes" vectores propios
linealmente independientes asociados; esta información nos la dará la
dimensión de los subespacios propios y queda recogida en el siguiente
resultado:
Una matriz real cuadrada de orden n es diagonalizable si y sólo si tiene n
vectores propios linealmente independientes asociados a valores propios
reales.
Además, el teorema espectral nos confirma un caso en el que siempre es
posible diagonalizar:
Toda matriz real simétrica es diagonalizable.
En este caso, se puede conseguir además que las columnas de la matriz de
paso p sean una base orto normal y por lo tanto que p sea una matriz
ortogonal.
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6.5 DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS, DIAGONALIZACIÓN
ORTOGONAL
Teorema 1. Sea a una matriz simétrica real de n x n. entonces los valores
característicos de a son reales.
Teorema 2. Sea a una matriz simétrica real de n x n. si λ1 y λ2 son valores
característicos distintos con correspondientes vectores característicos reales v1
y v2, entonces v1 y v2 son ortogonales.
Teorema 3. Sea a una matriz simétrica real de n x n. resulta entonces que a
tiene n vectores característicos reales ortonormales.
Observación. Se concluye de este teorema que la multiplicidad geométrica de
cada valor característico de a es igual a su multiplicidad algebraica.
El teorema 3 nos dice que si a es simétrica entonces rn tiene una base b = {u1,
u2, ... un} que consiste de vectores característicos ortonormales de a. sea q la
matriz cuyas columnas u1, u2, ... un. Entonces q es una matriz ortogonal. Esto
nos conduce hacia la siguiente definición.
Definición. Matriz ortogonalmente diagonizable.
Una matriz a de n x n se dice que es diagonalizable ortogonalmente si existe
una matriz ortogonal q tal que
q'aq = d (1)
Donde d = diag. (λ1, λ2,..., λn) y λ1, λ2,..., λn son los valores característicos de a.
Nota. Recuerde que q es ortogonal si q' = q-1; por lo tanto (1) podría ser escrita
como q-1aq = d.
Teorema 4. Sea a una matriz real de n x n. entonces a es diagonalizable
ortogonalmente si y sólo si a es simétrica.
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Procedimiento para encontrar una matriz diagonalizante q:
Encuentre una base para cada espacio característico de a.
Encuentre una base ortonormal para cada espacio característico de a, usando
el procedimiento gram- schmidt.
Establezca a q como la matriz cuyas columnas son los vectores característicos
ortonormales obtenidos en el paso (ii).
Ejemplo
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6.6 FORMAS CUADRÁTICAS
La expresión algebraica
ax2 + bxy + cy2
En donde a, b y c son constantes es una forma cuadrática. Las formas
cuadráticas juegan un papel importante en la geometría. Mediante la
multiplicación de las matrices siguientes, esta forma cuadrática se escribe
como
A la matriz simétrica A asociada a esta forma cuadrática se le llama matriz de
la forma cuadrática.
Ejemplo Escriba la siguiente forma cuadrática en términos de matrices.
5x2 + 6xy - 4y2
Solución. Por comparación con la forma estándar ax2 + bxy + cy2, se tiene
a = 5, b = 6, c = -4
Entonces, la forma matricial de la forma cuadrática es
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6.7.- TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON
En álgebra lineal, el teorema de Cayley-Hamilton (que lleva los nombres de
los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton) asegura que todo
endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo
cualquiera anula su propio polinomio característico.
En términos matriciales, eso significa que :
Si A es una matriz cuadrada de orden n y si
Es su polinomio característico (polinomio de indeterminada X), entonces al
sustituir formalmente X por la matriz A en el polinomio, el resultado es la matriz
nula:
El teorema de Cayley-Hamilton se aplica también a matrices cuadradas de
coeficientes en un anillo conmutativo cualquiera.
Un corolario importante del teorema de Cayley-Hamilton afirma que el
polinomio mínimo de una matriz dada es un divisor de su polinomio
característico, y no solo eso, el polinomio mínimo tiene los mismos factores
irreducibles que el polinomio característico.
Demostración.
Efectuamos la demostración sobre la matriz A. Definamos la matriz B(X) = tcom(XI − A). Sabemos que
Podemos interpretar los miembros y factores de esta igualdad como polinomios
en X con coeficientes en el anillo de las matrices cuadradas n x n con
coeficientes en K y esa igualdad implica que P(X).
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I es divisible por la izquierda por XI − A. Esto implica entonces que el valor a la
derecha (igual en realidad aquí también a su valor a la izquierda, ya que se
obtiene B(X).(XI − A) = det(XI − A). I) del polinomio P(X).I para X = A es nula.
Este valor sólo es P(A), lo que termina la demostración.
Ejemplo
Consideremos por ejemplo la matriz
El polinomio característico se escribe
El teorema de Cayley-Hamilton afirma que
A2 − 5A − 2I2 = 0
Y esta relación puede verificarse inmediatamente en ese caso. Además el
teorema de Cayley-Hamilton permite calcular las potencias de una matriz de
modo más sencillo que por un cálculo directo. Tomemos la relación anterior
A2 − 5A − 2I2 = 0
A2 = 5A + 2I2
Así, por ejemplo, para calcular A4, podemos escribir
A3 = (5A + 2I2)A = 5A2 + 2A = 5(5A + 2I2) + 2A = 27A + 10I2
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y llegamos a
A4 = A3A = (27A + 10I2)A = 27A2 + 10A = 27(5A + 2I2) + 10A
A4 = 145A + 54I2.
Podemos utilizar también la relación polinomio inicial A2 − 5A − 2I2 = 0 para
probar la invisibilidad de A y calcular su inverso. En efecto, basta con factorizar
una potencia de A donde sea posible y
A(A − 5I) = 2I2
Lo que demuestra que A admite como inverso
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6.8 APLICACIONES
En este capítulo se mostrará cómo se pueden usar la teoría de los valores y
vectores característicos para analizar ciertos modelos de crecimiento de
población.
Supóngase que para cierta especie, la población en un periodo (que puede ser
de una hora, una semana, un año, etc.) es un múltiplo constante de la
población en el periodo anterior. Esto podría suceder, por ejemplo, si las
generaciones son distintas y cada organismo produce μ descendientes y
después muere.
Un ejemplo son las bacterias, que se dividen en dos a intervalos regulares.
Entonces μ = 2. Sea pn la población al final del periodo n-ésimo. Entonces, bajo
las suposiciones anteriores, tenemos que
pn = μpn-1.
Así, si p0 denota la población inicial, se tiene que p1= μp0, p2= μp1 = μ(μp0) =
μ2p0, etcétera, por lo que
pn = μnp0. (1)
Si μ = 1, la población permanece constante. Si μ < 1, la población disminuye, y
si μ > 1, aumenta.
Este modelo es obviamente demasiado simplista para que sea de mucha
utilidad. El número de descendientes producidos no es sólo función del número
de adultos sino también de la edad de los adultos. Por ejemplo, una población
humana en la que todas las mujeres tuvieran más de 50 años de edad, tendría
una tasa de multiplicación muy distinta que otra población en la que las mujeres
tuvieran todas edades entre 20 y 30 años. Para desarrollar una descripción
más exacta de la realidad, usamos un modelo matricial que permite aplicar
distintas tasas de multiplicación a los grupos de distintas edades.
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Observamos ahora un modelo de crecimiento de la población para una cierta
especie de aves. En esta población de aves, suponemos que el número de
hembras es igual al número de machos. Sea pj,n-1 la población de hembras
jóvenes (inmaduras) en el año n -1, y sea pa,n-1 el número de hembras adultas
en el año n-1. Algunos de los pájaros jóvenes sobreviven para llegar a ser
adultos en la primavera del año n. Cada pájaro hembra sobreviviente produce
huevos más tarde en la primavera, que empollados, producen en promedio, k
hembras jóvenes en la siguiente estación primaveral. Los adultos también
mueren, y la proporción de adultos que sobreviven de una primavera a la otra
es β.
Es un hecho interesante y notable que no resulta demasiado simplista suponer
que la proporción de los animales que sobreviven es constante. Esto se
observa como el caso más natural en las poblaciones naturales de las aves
que han sido estudiadas. La tasa de supervivencia de los adultos de muchas
especies de aves es independiente de la edad. Tal vez pocos pájaros en
libertad sobrevivan lo suficiente como para exhibir los efectos de la vejez.
Además, para muchas de las especies, el número de descendientes parece
que no recibe la influencia de la edad de la madre.
En la notación introducida anteriormente, pj,n-1 y pa,n-1 representan,
respectivamente, las poblaciones de hembras jóvenes y adultas en el año n.
Juntando toda la información dada, llegamos al siguiente sistema 2 x 2:
pj,n = kpa,n-1 (2)
pa,n = αpj,n-1 + βpa,n-1
o
pn = Apn-1 (3)
Donde
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Está claro de (3) que p1 = Ap0, p2 = Ap1 = A(Ap0) = A2p0, ..., y así
sucesivamente, por lo que
pn = Anp0 (4)
Donde p0 es el vector de las poblaciones iniciales de hembras jóvenes y
adultas
La Ecuación (4) es como la Ecuación (1), excepto que se ha podido distinguir
entre las tasas de supervivencia de los pájaros jóvenes y adultos.
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