Download - Aplicacion Funcion Vectorial
NOLAN JARA JARA
1
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Probar que la curva C: f
(t) = (t² + t + 1,t²-1,t + 2) se encuentra sobre el plano z = x-y.
Solucion.
C : x = t² + t + 1 ; y = t²-1 ; z = t + 2 x-y = ( t² + t + 1 ) - (t²-1) = t + 2 = z.
:C x y z
2) Probar que la curva C: f
(t) = (acos2t,
2
1bsen
2t,
2
1csen
2t) se encuentra sobre el plano
x
a
y
b
z
c 1.
Solución.
C: x = acos2t; y =
2
1bsen
2t; z =
2
1csen
2t 2 2cos 1
x y zt sen t
a b c
: 1x y z
Ca b c
3) Halle la forma más general de la función Ø para que la curva definida por:
f
(u) = (a cos u, a sen u, Ø(u)) sea plana
Solución.
La curva C es plana si está contenida en un plano P
C: x = acosu; y = asenu; z = Ø(u) =Acosu+Bsenu+K
Entonces z =x y
A B ka a z =
A Bx y k
a a …P
: z = A B
C x y ka a
4) La curva C es la intersección del cilindro x² + y² + 2(y-x) = 2 con el plano x-y-2z =2.
Hallar la ecuación de la recta tangente a C en el punto P0(3,-1,1).
Solucion. 2 2( 1) ( 1) 4
: 1( 2)
2
x y a
Cz x y b
En a: x-1=2cost ; y+1=2sent x = 1+2cost ; y = -1+2sent ; en b: z = cost-sent
C: f
(t)= (2cost+1,2sent-1,cost-sent)
( )f t
= (-2sent,2cost,-sent-cost)
P0 = (3,-1,1) = f
(0) ; (0)f
= (0,2,-1)
: (0) (0) ;
(3, 1,1) (0,2, 1) ;
TL P f rf r
P r r
5) Hallar la parametrización con respecto a la longitud de arco s y utilizarla para calcular
los vectores unitarios: tangente, normal y la curvatura de la hélice circular
( )f t
= (a cos t, a sen t, bt) con t [0, c], siendo a, b y c constantes.
Solución.
NOLAN JARA JARA
2
0
(u)
t
s f du
( )f t
= (-asen t, a cos t, bt) 2 2 (u) f a b
2 2
0
(u)
t
s f du a b t
t = 2 2
s
a b
C:2 2 2 2 2 2
( ) cos , ,s s s
g s a asen ba b a b a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) , cos ,
a s a s bg s sen
a b a b a b a b a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) , cos ,
a s a s bT s g s sen
a b a b a b a b a b
2 2 2 22 2 2 2
2 2
2 2 2 2
( ) cos , ,0
( ) ( )
( ) cos , ,0
a s a sg s sen
a b a ba b a b
ak s g s
a b
s sN s sen
a b a b
6) Demostrar que si una curva plana viene dada por y = y(x) entonces su
Curvatura es
3
2 21
yk
y
Aplicar esta fórmula para hallar la curvatura de una elipse de semiejes a y b.
Solución.
NOLAN JARA JARA
3
1
2
2
3 32 2 22 2
2
... ( ): : ( ) , ( )
( )... ( )
( )( ) ( )
( )
( ) 1, ; ( ) 1 ( )
1, ( )( ) ( ) ,
1 ( ) 1 1
( )1
x t f tC C f t t y t
y y t f t
T tk t a
f t
f t y f t y b
yf t y y yT t T t
yf t y y
yT t
y
32 2
( )
y b en a: (1 )
c
yc k
y
2 2
2 2
2 4
2 2 3
4
3 32 4 2 2 22 2
C: 1 ; derivando con respecto a x.
1( ) ( )
(1 ) ( )
x ySi
a b
b x by x y x
a y a y
y a bk
y a b a x
7) Calcular la longitud de la siguiente curva parametrizada por
( )f t
= ( te cos t, te sen t, te ) con t [0, a].(a constante positiva)
Parametrizarla con respecto a la longitud de arco s y utilizarla para calcular el vector
tangente Unitario.
Solución.
00 0
( ) (cos ), ( cos ), ; 0,
( ) 3 ( ) 3 3
33 -1 ln( )
3
3 3 3 3 3: ( ) cos(ln ), (ln ),
3 3 3 3 3
1 3 3 ( ) cos(ln ) (ln ), (l
3 3 3
t t t
t ct
t u u
t
f t e t sent e sent t e t a
f t e s f u du e du e
ss e t
s s s s sC g s sen
s sg s sen sen
3 3n ) cos(ln ),1
3 3
( ) ( )
s s
T s g s
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4
8) Viajamos por el plano, partiendo del origen (0, 0), siguiendo la traza de la curva
( )f t
=(t,t2) , donde el parámetro t ≥ 0 es el tiempo (en segundos). Tras dos segundos,
cambiamos la trayectoria y nos vamos por la circunferencia tangente (“por dentro”) a
(2)f
y que tiene radio 1
(2)k. Recorremos (en sentido horario) media circunferencia.
¿En qué punto del plano nos encontraremos? ¿y si solo recorremos un cuarto de
circunferencia?
Solución.
C: x = t ; y = t2
Tras 2 segundos, estamos en el punto (2)f
= (2, 4). Para calcular la curvatura k(2) en ese
punto, evaluamos primero
( ) 2 (2) 2
( ) 2 (2) 2
y t t y
y t y
De donde deducimos que
3 3 3
2 22 2 2
2 2 2( ) (2)
17 17(1 ) (1 4 ) (17)
yk t k
y t
De forma que el radio de la circunferencia por la que seguimos nuestro camino es 17√17/2.
En el punto t = 2, los vectores tangente y normal a la curva C son:
(1,4) ( 4,1)(2) ; (2)
17 17
17 17 ( 4,1) 25(2,4) ( 32, )
2 217
T N
c
Pues llegaremos a ese centro partiendo de (2)f
y luego recorriendo,
en la dirección de ( 4,1)
(2)17
N
, todo el radio de la circunferencia de curvatura.
Si recorremos en sentido horario media circunferencia, estaremos en el punto
17 17 ( 4,1)(2,4) 2 ( 66,21)
2 17
Pues llegaremos a ese centro partiendo de (2)f
y luego recorriendo, un diámetro en la
dirección de ( 4,1)
(2)17
N
.
Finalmente, si sólo recorremos un cuarto de circunferencia, entonces nos hallaremos en el
punto
17 17 ( 4,1) 17 17 (1,4) 81 43(2,4) ( , )
2 2 2 217 17
Pues llegaremos a ese centro partiendo de (2)f
, luego hasta el centro de la circunferencia,
y luego “bajar” el radio en la dirección de (2)T
.
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5
EJERCICIOS
1)Trace la gráfica de las curvas determinadas por las siguientes funciones vectoriales:
A) f
(t)=(t³-t,t²-1) B) f
(t)=(rcost,rsent,t) C) f
(t)=(t²+1,t²-1)
D) f
(t)=(cost,sent,2|sent|) E) f
(t) = (et, e
2t) ; F) ( ) (cos ,1 ,2 )f t t sen t sen t
2) Esbozar la gráfica de la curva C representada por la intersección del semielipsoide
y el cilindro parabólico y = x2. Hallar una función vectorial que represente esa gráfica
Solución.
3) La curva de Gergome es la curva determinada por la intersección de dos cilindros
perpendiculares. Sean los cilindros x² + (z − 1)² = 1 y y² + z² = 1. Parametrice la curva de
Gergome de los dos cilindros anteriores, tal que su traza contenga al punto (1, 0, 1).
Encuentre otra parametrizacion tal que su traza contenga al punto (0, 1, 0).
4) Una curva no es necesariamente inyectiva, es decir, puede tener auto intersecciones
como la curva ( )f t
= (t³ − 4t, t² − 4)
5) Sin embargo hay curvas diferenciables, cuya traza tiene “picos”; por ejemplo
( )f t
= (t³, t²).
6) ¿Qué funciones diferenciables ( )g t hacen que f
(t) = (cosh(t), senh(t), g(t)), para t ∈
R, sea una curva plana?
0
2
0 0
1/ 2
-1/2
7) es continua en t lim f(t) f(t )
1(cos ) , ( ), ; t 0
f(t)=
e , 0 , 0 ; si t=0
t t
t t
f
t tsen t sitSea
¿ f
es continua en t = 0 ;justifique su respuesta?
8) Sea 32 2cos( ) 2cos( ) 2( ) ( , 1, )
t tf t t
t t
; bosquejar el grafico del rango de f
9) Sea f
(t) = (cos2 t,sen
2 t,2|sent|) Hallar f
'(0)si existe
22 2
1 ; 12 24 4
yx z 0z
2 42 24 2
: ( ) , ,6
t tC f t t t
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6
10) Una partícula se desplaza sobre la curva
3
22
: ( ) 2 4 ,4 2 , ² 43
C h x x x x x
con una rapidez constante de 4m/seg. Si la
partícula parte del reposo del punto (0,8,-4) Hallar el vector velocidad en el instante en que
cruza a la curva C2 descrita por: 4
( ) ²,2 ,20 103
g x x x x
.Desde que la
partícula parte del reposo ¿cuánto demora hasta cruzar C2?
2
2
1
1
( ,0, ) ;si 0
11) C : ( ) ( , ,0) ;si 0
(0,0,0) ;si t=0
¿ es una curva regular t ?
t
t
t e t
Sea f t t e t
C R
1
1
( ,0, ) ;si 0
12)Sea C : ( ) ( , ,0) ;si 0
(0,0,0) ;si t=0
¿ es una curva regular t ?
t
t
t e t
f t t e t
C R
13) Dos móviles siguen por un plano trayectorias elípticas de ecuaciones
M1:
senty
tx
2
cos4
1
1 y M2:
)2cos(3
)2(2
2
2
ty
tsenx respectivamente
Sabemos que en cada instante t la distancia entre ellos viene dada por la función
S= 2212
21 yyxx
¿Cuál es la variación de dicha distancia en el instante t= ?
14) Una partícula se mueve sobre una curva con velocidad no nula y paralela a la
aceleración. Si su rapidez en el instante t es ,1
12
t
t halle el vector posición de la partícula.
15) Hallar el vector
22 2 2 2 2
0 0 0
1 1 ln, ,
2 4 2 4 2 4 2 1 1
t tdt dt dt
t t t t t t t
16) Hallar el vector 1 1 12
22 41 0 0
2
( 1) ln( 1) ln, ,
1 1( 1) 1
t dt t dt tdt
t tt t
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7
17) Una partícula se mueve sobre la circunferencia cuya ecuación en coordenadas polares
es r = 4sen en sentido anti horario, con rapidez constante e igual a 8 unidades. Parte en el
instante t = 0 desde el punto (0,4).Defina una función vectorial de R en R² en términos del
tiempo t, que describa el movimiento de la partícula.
18) La longitud del arco de la curva C definida por la función vectorial
f
(t)= 2 2
2 2
3 , ln medida desde f(0) hasta f( )
2
b t bb t b t
b t
es bln(k), hallar el
valor de k.
19) Encontrar la longitud de la curva definida por:
Entre t = 1 y t = t1, sabiendo que es el punto donde es paralelo al plano YZ
(1< t1 <2).
20) Hallar La longitud del arco de la curva C definida por la función vectorial
3 3( ) cos , ,cos2 desde el punto f(0) hasta f(2 )f t t sen t t
21) Viajamos por el plano partiendo del origen (0, 0). Y lo hacemos siguiendo la traza de
la curva : [0, 1) → R ² (parametrizada por la función longitud de arco) que cumple con
las condiciones siguientes:
Su curvatura es para cada s
Tras recorrer una unidad de longitud (en metros), abandonamos la curva para Seguir la
Dirección de la tangente a la curva en el punto de escape. Recorremos así otros 3 metros.
¿A qué distancia (en metros) del punto original (0, 0) nos encontraremos?
22) Hallar la ecuación del plano osculador, la curvatura y la circunferencia de curvatura de
la curva C: ( ) ln 1 ² , , ln 11
tf t t t t
t
en un punto donde el vector tangente
tiene la dirección la recta: x-1=y-2=z-5.
23) Sea C: ( ) cosh , ,f t t senht t
.Hallar la ecuación del plano osculador en el punto
donde el radio de curvatura es mínimo.
3
1
² 2 1 124) : ( ) 1, , ln y : ( ) ,4 1, ln
4
t t tSea C f t t e C g t t t
t
Hallar la torsión de la curva C en el punto de intersección de estas curvas.
PROBLEMAS DE FUNCIONES VECTORIALES
1) Una función vectorial f
satisface la ecuación t f
(t) = f
(t) + t A
;0t A
: vector
fijo calcular (1)f
y (3)f
en función de A
, si (1) 2f A
.
2) Hallar una función vectorial f
, continua en <o,> tal que
0 0
cos( ) , , 4
t tu senu
f t du du tu u
1( ) f t
1( )f t
g
(0) (0,0) ; (0) (1,0)g g
1( )
1 ²k s
s
0,1
NOLAN JARA JARA
8
f
(x)= xex
A
+1
1( )
x
f t dtx
x >0, siendo A
un vector fijo.
3) Una partícula parte del punto (2,0) en el instante t=1 y se mueve sobre la curva
0²²²² xyxyx en sentido antihorario, volviendo a su
posición inicial. Si su rapidez es constante e igual a 4, definir una función vectorial que
describa el movimiento.
4) Una partícula se desplaza sobre la curva C: 3
22
( ) 2 4 ,4 2 , ² 43
h x x x x x
con
una rapidez constante de 4m/seg. Si la partícula parte del reposo del punto (0, 8,-4) Hallar
el vector velocidad y las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante
en que cruza a la curva C2 descrita por: 4
( ) ²,2 ,20 103
g x x x x
.Desde que la
partícula parte del reposo ¿cuánto demora hasta cruzar C2? ¿ ( )f t
?
5) Una partícula parte en un instante t = 0 del punto )2ln2,2
1,2( y se desplaza sobre la
curva C: f
(u) = ( , , 2 u ue e u ) de manera que en cada instante t, la distancia recorrida
sobre la curva es 2t. Hallar una función vectorial en términos de t que describa el
movimiento.
6) Una partícula se mueve en el espacio R3 partiendo en el instante t = 0 del punto
(1, 0,2e-2
). En cada instante t >_ 0 la velocidad de la partícula es v
(t) = (-2, 2t, 4e2 (t-1)
).
i) ¿En qué instante el vector velocidad es paralelo al vector posición de la partícula? ¿La
partícula cruza el plano x + y = 0 en algún instante?
ii) Parametrice la curva C descrita por la función x
= v
(t); t t 0 mediante el parámetro
longitud de arco S.
7) Sea C una curva en R³ descrita por la función vectorial x
= f
(t), t>0 si
1 1 1
( ) , ( ) 1, 1,1 1 ² 2
tf t B t
t t t
para t>0, y la torsión )(t en cada punto
f
(t)C es positiva, determinar )(t . A medida que t crece, ¿la curva C se tuerce más o
menos? Justifique su respuesta.
8) Ver si el punto )0,52,2(Q pertenece a la circunferencia de curvatura de la curva
C 3R descrita por x
= f
(t), en el punto f
(0)= (1, 2, 0), si se sabe que f
(0) = (0, 3, 0)
y que f
(t) = 3tT
(t) -)2(
32t
R
(t), donde R
(t)=(t2–2, 2t,-2t) es un vector paralelo para
cada t al vector normal principal ( )N t
9) Sea la curva C1: f
(t) = punto cadapor 2, t o );,,( 2 ttt f
(t) se traza una recta en la
dirección del vector binormal B
(t):
i) Encontrar las ecuaciones paramétricas de la curva C2 que se forma al interceptar cada
recta con el plano YZ.
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9
ii) Calcular los vectores , ,T N B
y la curvatura de C2 en el punto ).6
7,
3
7,0(
10) ¿Es plana la curva con ecuaciones paramétricas?
1
1 ;
)1(
1 ;
)1( 22
2
tz
t
ty
t
tx
11) Una partícula se mueve sobre una curva con velocidad no nula y paralela a la
aceleración. Si su rapidez en el instante t es ,1
12
t
t halle el vector posición de la partícula.
12) Sea C: f
(t) = plano el Qy R t);,3,3( 32 ttt osculador de C en el punto (3, 3, 1) las
rectas tangentes a C para t >1 cortan a Q determinando una curva C1.En cualquier punto de
ella, hallar la curvatura de C.
13)
Sea C: 3
1
2 ln
0; 0; C R
xy
z x
x z
Si una partícula se desplaza sobre la curva C con una rapidez de “t” en el tiempo t, en t = 0
la partícula se encuentra en el punto (1, a, b) y además la partícula se desplaza por debajo
del plano z = 0.
i) Halle la función vectorial que describe la trayectoria de la partícula en función del tiempo
t.
ii) Halle la velocidad de la partícula en el tiempo t = 1 y la distancia que ha recorrido la
partícula desde t = 0 hasta t = 2.
14) Sea C: 3 ² 2 1( ) 1, , ln
4
t t tf t t e
y C1:
1( ) ,4 1, lng t t t
t
. Hallar la
torsión de la curva C en el punto de intersección de estas curvas.
15) Hallar los puntos en que la recta tangente a la curva C: f
(t) = (3t-t³,3t²,3t+t³) es
paralela al plano 3x + y + z = 5.
16) Sea C una curva en R³ que se obtiene como intersección de las superficies y = x² y
z =3
2(xy). Calcular la longitud de esta desde el origen hasta el punto (1,1,2/3).
17) Hallar la ecuación del plano osculador y la curvatura de C:
( ) ln 1 ² , , ln 11
tf t t t t
t
en un punto donde el vector tangente tiene la
dirección la recta: x-1= y-2 = z-5.
18) La curva C es la intersección del cilindro x² + y² + 2(y-x) = 2 con el plano
x-y-2z = 2.Determinar la curvatura y torsión, así como el plano osculador en el punto
(3,-1,1).
19) Sea C: ( ) cosh , ,f t t senht t
.Hallar la ecuación del plano osculador en el punto donde
el radio de curvatura es mínimo.
NOLAN JARA JARA
10
20) Dada la curva C en términos de la longitud de arco s;
1( ) sen ,1 cos ,4sen ; 0
2 2
sg s s s s s
. Hallar la torsión en un punto en donde la
longitud de arco sea 2 .
21) Calcule la longitud del arco de la curva f
:[0,1]R3, f
(t)=(cosht,senht,t)
22) Demuestre que las rectas tangentes,normal y binormal a la curva
f
(t) = (etcost,e
tsent,e
t) forman angulos constantes con el eje Z.
23) Demuestre que la curva f
(t) = (acosht,asenht,bt) tiene curvatura y torsion iguales en
todos sus puntos cuando a = b.
24) Consideremos el cilindro eliptico 2x² + 3y² = 1 y el plano z = 2y. Estas dos superficies
se intersectan en una elipse C. calcular la curvatura de esta en el punto (0,1
3
2
3, ).
25) Hallar la ecuación del plano osculador de la curva C que resulta de la intersección de la
esfera x² + y² + z² = 6 con el paraboloide Z = x² + y² en el punto (1,1,2).
26) Reparametrizar la curva C : f
3 3( ) (cos ;sen ;cos2 )t t t t con respecto a la longitud de
arco medida desde el punto donde t = 0 en la dirección en que se incrementa t. Considerar
los valores de t ubicados entre 0 y /2, ambos incluidos. Hallar k (5/4).
27) Una particula se mueve sobre la circumferencia cuya ecuacion en coordenadas polares
es r = 4sen en sentido antihorario, con rapidez constante e igual a 8 unidades. Parte en el
instante t = 0 desde el punto (0,4).Defina una funcion vectorial de R en R² en terminos del
tiempo t , que describa el movimiento de la particula.
28) Encontrar la longitud de la curva definida por :
0 0
cos( ) , , 4
t tu senu
f t du du tu u
entre t=1 y t = t1 , sabiendo que 1( ) f t
es el punto donde
1( )f t
es paralelo al plano YZ (1 < t1 < 2).
29) Calcular la longitud de la poligonal ( ) f t
= (|t| , |t − 2|) para t [−1, 4].
30) Hallar la parametrización con respecto a la longitud de arco y utilizarla
Para calcular los vectores unitarios: tangente, normal, binormal y la curvatura de
La hélice circular ( ) f t
= (a cos t, a sen t, bt) con t [0, c], siendo a, b y c
Constantes.
31) Si C es la curva con representación paramétrica 1²,,2)( ttttf
Hallar su torsión en el punto de intersección de la curva con el plano x + y + z = 5.
32) Dibuje la curva C: ( ) (1 cos )(cos , ); 0,2f t t t sent t
.Y calcule su longitud.
33) Calcular las longitudes de las siguientes curvas o arcos de curvas (suponemos que todas
las constantes que aparecen son positivas):
i) La hélice circular, dada por ( )f t
= (a cos t, a sen t, bt) con t [0, c].
ii) La curva parametrizada por ( )f t
= ( te cos t, te sen t, te ) con t [0, a].
34) Sea C la curva determinada por la función vectorial
( ) (cos ), ( cos ),t t tf t e t sent e t sent e
NOLAN JARA JARA
11
Hallar la longitud del arco de la curva C desde el punto A(1,-1,1) hasta el punto
B(- e , e , e ).
35) hallar la longitud del arco de la curva C: ( ) f t
= (t,ln(sect),ln(sect+tgt)), t [0,
4].
36) Dada la curva C:1
( ) sen ,1 cos ,4sen ; 02 2
sg s s s s s
. En términos de la longitud
de arco s. Hallar la torsión en un punto en donde la longitud de arco sea 2 .
37) Sean C1 y C2 las curvas descritas por las funciones vectoriales siguientes:
2 25 5 5( ) ln( 2), 1, ; ( ) ln 2 ,3 1,
1 2
t tf t t e g t t t
t
Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a cada una de estas curvas en el punto de
interseccion.
38) Hallar La longitud del arco de la curva C definida por la función vectorial
3 3( ) cos , ,cos2 desde el punto f(0) hasta f(2 )f t t sen t t
39) Reparametrice la curva 3
22
( ) (cos , , ); 03
f t t sent t t
por la función longitud de arco.
40) Dada la curva C determinada por la función vectorial
( ) (2 cos , 2cos , ); 0 ( ) (t)f t sent t t t tsent t t Hallar k t y
41) Viajamos por el plano partiendo del origen (0, 0). Y lo hacemos siguiendo la traza de la
curva g
: [0, 1) → R ² (parametrizada por la función longitud de arco) que cumple con las
condiciones siguientes:
g
(0) = (0, 0);
g
(0) = (1, 0);
Su curvatura es κ(s) =1
1 ²s para cada s [0, 1).
Tras recorrer una unidad de longitud (en metros), abandonamos la curva para seguir la
Dirección de la tangente a la curva en el punto de escape. Recorremos así otros 3 metros.
¿A qué distancia (en metros) del punto original (0, 0) nos encontraremos?
42) ¿Qué funciones diferenciables g(t) hacen que f
(t) = (cosh(t), senh(t), g(t)), para t ∈ R,
sea una curva plana?
43) Hallar la ecuación del plano osculador, la curvatura y la circunferencia de curvatura de
la curva C: ( ) ln 1 ² , , ln 11
tf t t t t
t
en un punto donde el vector tangente
tiene la dirección la recta: x-1= y-2=z-5.
SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS DE FUNCIONES VECTORIALES
1) ¿Es plana la curva C con ecuaciones paramétricas?
NOLAN JARA JARA
12
1
1 ;
)1(
1 ;
)1( 22
2
tz
t
ty
t
tx
Solución.
La curva C es plana si está contenida en un plano P 2
2( 1)
tx
t
=
2
2 2 2 2
1 1 1 1 ( 1) 2 1 2 11
( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
t t t
t t t t t t t
2 2 2
1 ( 1) 2 1 2
( 1) ( 1) 1 ( 1)
t ty
t t t t
1
1z
t
32 2 3 2 2 3 2 0
1y x z x y z
t
C
2) Hallar las ecuaciones parametricas del Cicloide: curva descrita por un punto P de una
circunferencia de radio r que rueda, sin resbalar sobre una recta.
Solución.
Sea el ángulo PCA = t
Longitud del arco PM = longitud del segmento OM = r t
Entonces P tocara al origen de coordenadas O si la circunferencia se hace rodar hacia la
izquierda.
Entonces NM = PA = rsent
Como: P(x,y) ; O(0,0)
O
N M
A C
P
B
r t
NOLAN JARA JARA
13
1
2
( ) ( )
cos (1 cos ) ( )
x ON OM NM rt rsent r t sent f t
y NP MC AC r r t r t f t
3) Dada la curva
1
1
( ,0, ) ; t > 0
: f ( ) (t, ,0) ; t < 0
(0,0,0) ; t = 0
t
t
t e
C t e
¿C Es una curva regular para todo número real t ? Justifique su respuesta.
Solución.
La curva C es regular para todo número real t diferente de cero ( 0 ).
La curva C será regular para todo número real t si f
(0) 0
f
´ (0) = 0
( ) (0)limt
f t f
t
= 0
limt
( )f t
t
f
´ ( 0+) =
0limt
( )f t
t = (1,0,
0limt
1
1
t
t
e) = (1,0,0)
f
´ ( 0-) =
0limt
( )f t
t
= (1, 0
limt
1
1
t
t
e,0) = (1, - ,0) no existe.
Entonces la curva C no es regular para todo número real t.
4) Sea C la curva de intersección de la esfera x²+y²+z²=1 y el plano z=y. Entonces C es una
circunferencia en el espacio. Hallar la ecuación de la recta tangente a C en P02 1 1
( , , )2 2 2
.
Solución. C: x²+y²+z²=1 a
z=y b
b en a : x² + 2y² =1…d
en d: x = cost ; y = 1
2sent ; en b: z =
1
2sent
C: f
(t) = (cost, 1
2sent ,
1
2sent )
f
(t) = (-sent, 1
2cost,
1
2cost)
P02 1 1
( , , )2 2 2
= f
(4
) ; f
(
4
)=
2 1 1( , , ) ( 2,1,1)
2 2 2
NOLAN JARA JARA
14
: ( ) ( ) ;4 4
2 1 1( , , ) ( 2,1,1) ;
2 2 2
TL P f rf r R
P r r R
5) La curva C es la intersección del cilindro x²+y²+2(y-x)=2 con el plano x-y-2z = 2. Hallar
la ecuación de la recta tangente a C en el punto P0(3,-1,1).
Solución. 2 2( 1) ( 1) 4
: 1( 2)
2
x y a
Cz x y b
En a: x-1=2cost ; y+1=2sent x = 1+2cost ; y = -1+2sent ; en b: z = cost-sent
C: f
(t)= (2cost+1,2sent-1,cost-sent)
f
’(t)=(-2sent,2cost,-sent-cost)
P0 = ( 3,-1,1) = f
(0) ; f
’(0) = (0,2,-1)
: (0) (0) ;
(3, 1,1) (0,2, 1) ;
TL P f rf r R
P r r R
6) Consideremos el cilindro eliptico 2x² + 3y² =1 y el plano z = 2y. Estas dos superficies
se intersectan en una elipse C. Hallar la ecuación de la recta tangente a C en el punto
P0(0,1
3
2
3, ).
Solución. 2 22 3 1
:2
x y aC
z y b
En a: 1 1 2
cos ; ; en b: z=2 3 3
x t y sent sent
C: f
(t)=(1 1 2
cos , , )2 3 3
t sent sent ; f
’(t)=(1 1 2
, cos , cos )2 3 3
sent t t
P0(0,1
3
2
3, )= f
(
2
) , f
’(
2
)=(
1,0,0
2
)
7) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva C que resulta de la intersección de la
superficie x² + y² + 2z² = 10 con el paraboloide Z = x² + y² en el punto (1,1,2).
Solucion.
by²........x²Z
...a 102z²y²x²
: ( ) ( ) ;2 2
1 2 1(0, , ) ( ,0,0) ;
3 3 2
TL P f rf r R
P r r R
NOLAN JARA JARA
15
b en a: x²+y²+2(x²+y²)² -10= 0 x² + y² = 2 …d
en d: sentytx 2;cos2 ; en b: z=2
Luego C: )0,cos2,2()()2,2,cos2()( tsenttfsentttf
(1,1,2)= f
( )4
; f
( )
4
=(-1,1,0)
L: P = (1,1,2) + r (-1,1,0) ; r pertenece a los reales.
8)i) Una función vectorial f
satisface la ecuación t ( )f t
= ( )f t
+ t A
0;t A : vector
fijo calcular (3)f
y (3)f
en función de A
, si (1)f
= 2 A
.
Solución.
2
( ) ( ) ( ) ( )ln( )
( ) ln( ) ; 2 (1) ( ) ln( ) 2
( ) ln( ) 3 ( )
(3) 3ln(3) 6 ; (3)3
tf t f t A f t dt f td A A t C
t t t t t
f t At t Ct A f C f t At t At
Af t A t A f t
t
Af A A f
ii) Hallar una función vectorial f
, continua en <o,> tal que
( )f x
= xex
A
+1
1( )
x
f t dtx
x >0, siendo A
un vector fijo. Solución.
2 1
2 1 1
1 1( ) 1 ( ) ( )
1 1 1( ) 1 ( ) ( )
( ) 2 ( ) 1 ...*
(1) 2 , en *
( ) 1
xx
x xx x
x x
x
f x x e A f t dt f xx x
f x x e A f t dt xe A f t dtx x x
f x x e A f x x e A cA
f eA cA eA c e
f x x e A eA
9) a) Encontrar la longitud de la curva definida por :
0 0
cos( ) , , 4
t tu senu
f t du du tu u
entre t=1 y t = t1 , sabiendo que 1( ) f t
es el punto donde
1( )f t
es paralelo al plano YZ (1<t1<2).
Solución.
NOLAN JARA JARA
16
2 2
1
1 1
cos 2 5( ) , , ( )
cos 2( ) , , es paralelo al plano YZ:x = 0
cos 50 ( ) 2 5 1
2 2
t sentf t f t
t t t t
t sentf t
t t t
tt t L f t dt dt
t t
b) Calcular la longitud de la poligonal ( ) f t
= (|t|, |t − 2|) para t [−1, 4].
Solución.
4 4
1 1
, 2 ; 1 0 1, 1 ; 1 0
( ) ,2 ;0 2 ( ) 1, 1 ;0 2
, 2 ;2 4 1,1 ;2 4
( ) 2 ( ) 2 5 2
t t t t
f t t t t f t t
t t t t
f t L f t dt dt
c) calcular la longitud del arco de la curva descrita por
( ) ( ),1 cos( ) ; 0,2f t t sen t t t
.
Solución.
.8)2
cos(8)2
(4)2
(2
,02
;2
22
2cos22)(),cos1()(
00
2
0
ut
dtt
sendtt
senL
ttsen
tsenttfsentttf
t
C
10 Una particula se mueve sobre la circumferencia cuya ecuacion en coordenadas polares
es r = 4sen en sentido antihorario, con rapidez constante e igual a 8 unidades. Parte en el
instante t = 0 desde el punto (0,4).Defina una funcion vectorial de R en R² en terminos del
tiempo t , que describa el movimiento de la particula.Solucion.
C: r = 4sen r ² = 4rsen de donde en coordenadas cartesianas la ecuacion de la
circumferencia C es x² + y² = 4y ;de donde obtenemos: x² + ( y – 2 )² = 4. Ecuacion de la
circumferencia C de centro ( 0 , 2 ) y radio 2.
NOLAN JARA JARA
17
Recordar:
2 2 ; 0cos
r x y rx r
yy rsen arcotg
x
Como C: r = 4sen
1
2
2
2
2
4 cos ( ): ; 0,
4 ( )
Entonces podemos considerar que
: (4 cos ,4 ); 0,
: (2 2 ,4 ); 0, ...(*)
x sen gC
y sen g
C g sen sen
C g sen sen
Como la particula se mueve con rapidez constante e igual a 8 unidades
entonces:
0 0
8 8 8 8 ...( )
t
t
dss du t s t i
dt
en el instante t0 = 0 ; (0,4)= 0( )2 2
g
0 0
0
2 2
2
( ) 4cos 2 ,4 2
4 4 4 ...( )2 2
(i) y (ii): 8 4 2 ; en ( * )2 2
s g d sen d
d s ii
de t t
NOLAN JARA JARA
18
2 2
2
: (2 2 ,4 ) 2 (4 ),4 (2 )2
: ( ) 2 (4 ),4cos (2 )
C g sen sen sen t sen t
C f t sen t t
11) Una partícula se mueve en el espacio R3 partiendo en el instante t = 0 del punto
(1, 0, 2e-2
). En cada instante t >_ 0 la velocidad de la partícula es v
(t) = (-2, 2t, 4e2(t-1)
).
i)¿En qué instante el vector velocidad es paralelo al vector posición de la partícula?¿La
partícula cruza el plano x + y = 0 en algún instante?
ii) Parametrice la curva C descrita por la función x
= ( )v t
; t t 0 mediante el
parámetro longitud de arco S.
Solución.
(0)f
=(1,0,2e-2
) ; )2,²,2()(1))-4e2(t 2t, (-2,)()( 3
)1(2
21 cectcttftVtf t
(0)f
= (1, 0, 2e-2
) = 1)2,,( 13
2
21 ccecc 2( 1)( ) ( 2 1, ²,2 )tf t t t e
i) ( ) / / ( ) 1 ; 0 x y -2t 1 t² t 1f t f t t
: instante en que la partícula cruza el
plano x + y = 0.
ii) ( )x t
= (0,2,8e ))1(2 t S =
0 0
2( 1)( ) 16
t t
u
t t
x u du e du
= 8e2(t-1)
) - 8e2(t
0-1)
)
C: ( )y s
= (0, 2, S + 8e2(t
0-1)
)
12) Si C : ( )g s
; g
: R R³ ; s: parámetro longitud de arco, demostrar que ( )g s
es
ortogonal a ( )g s
Solución
0
0 C:f(t);t t ( ) ( ) ( )
: ( ) ( )( ) ( ( )) ( )
( ) ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
t
t
Si s f u du l t t s
C g s f s f s f t
f t f tg s f s s f t t s
s t f t
g s g s
13) Si f
: R R³ demostrar que
3
f (t)xf (t)( )
( )k t
f t
14) Si f
: R R³ demostrar que 2
(f (t)xf (t)). ( )( )
f (t)xf (t)
f tt
Solución
NOLAN JARA JARA
19
3
2
: ( ) ; C ( ; B =- )
-
( )
f (t)= ( ) ( ) ; f (t)= ( ) ( ) ( )( ( )) ( )
( ) [ (
Si C f t T kl N l N
N BxT N B xT BxT l NxT Bxkl N l B kl T
N l B kl T
l t T t l t T t k t l t N t
f t l t
3
2
) ( ( ))²( ( )) ] ( ) [3 ( ) ( ) ( ) ( )( ( ))²] ( ) +
( ) ( )( ( ))³ ( )
(f (t)xf (t)). ( ) ( ) ( )( ( ))³ ( ) ( ) f (t)xf (t)
k t l t T t k t l t l t k t l t N t
k t t l t B t
f t k t t l t B t t
2
(f (t)xf (t)). ( ) ( )
f (t)xf (t)
f tt
15) Hallar la parametrización con respecto a la longitud de arco y utilizarla Para calcular
los vectores unitarios: tangente y normal y la curvatura de La hélice circular
( ) f t
= (acost, asent, bt) con t [0, c], siendo a, b y c
Constantes.
Solución.
0 0
2 2
0 0
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ( , cos , )
: ( ) cos , ,
( ) , cos ,
( ) cos ,
t t
t t
S f u du asenu a u b du a b t
ss a b t t
a b
s s sC g s a asen b
a b a b a b
a s a s bg s sen
a b a b a b a b a b
a s ag s
a b aa b
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
,0
( ) 1 ( ) ( )
( ) ( ) ; ( ) cos , ,0
ssen
b a b
g s T s g s
a s sg s k s N s sen
a b a b a b
16) Hallar y ,k,, B , ,
NT de la curva C que resulta de la intersección de las superficies
xy + z = 0, x2
+ y2 + z
2 = 9, en el punto P0 = (2,1,-2).
Solución.
NOLAN JARA JARA
20
C:
)...(0
)...(9²²²
iizxy
izyx Po=(2,1,-2)
Z= - xy en (i) x² + y² + x²y² = 9 11²
10
xy ; z = -x 1
1²
10
x
C:
11²
10
....11²
10
.................
ttz
ty
tx
Po ; t = 2
110
1²
10
rtr
t
C: ()( rg 110
r
, )10
11,1r
rr ; Po= g(2) ; r = 2
2/13542/12
143 )1011)(10²(
2
1,)1(
2
1,)10(5)( rrrrrrrrg
3,4,58
1)2( g
2/335443
2/13542/323
433
)1011²)(30544)(10²(4
1
)1011)(2(2
1,)1(
4
1,)10)(4²30(
2
5
)(
rrrrrrr
rrrrrrrrr
rg
)89,32,55(128
1)2( g
25
187K(2) ;
5995
)(-15,27,71N(2) ;
374
)(-13,-14,3B(2) ;
25
)3,4,5()2(
T
17) Ver si el punto A(2, 2 5,0) pertenece a la circunferencia de curvatura de la curva
C 3R descrita por X
= f
(t), en el punto f
(0)= (1, 2, 0), si se sabe que f
(0) = (0, 3, 0)
y que t f
= 3tT
(t) -)2(
32t
R
(t), donde R
(t)=(t2–2, 2t,-2t) es un vector paralelo
para cada t al vector normal principal N
(t).
Solución.
f
´´ (0) = (3,0,0)
f
´ (0) x f
´´ (0) = 9(0,0,-1) ; B
(0) = (0,0,-1) ; N
(0) = (1,0,0) ; k(0) = 1/ 3 ; 3)0(
: z = 0 … Plano osculador
c = ( 1,2,0 ) + 3 ( 1,0,0) = ( 4,2,0 ) … centro de la circunferencia de curvatura
d(A,c) 3 … A no pertenece a la circunferencia de curvatura.
NOLAN JARA JARA
21
18) Reparametrizar la curva C : 3 3( ) (cos ;sen ;cos2 )f t t t t
con respecto a la longitud de
arco medida desde el punto donde t = 0 en la dirección en que se incrementa t. Considerar
los valores de t ubicados entre 0 y /2, ambos incluidos. Hallar k (5/2) si existe.
Solución.
Para un cierto valor t, la longitud de arco medida desde el 0 será:
2 2 2 2 2
0 0
4 2 4 2 2
0
2 2 2 2 2 2
0
2 2 2 15 22 50 0
( ) ( ) (3cos sen ) (3sen cos ) (2sen 2 )
9cos sen 9sen cos (4sen cos )
9cos sen (cos sen ) 16cos sen
25cos sen 5cos sen sen sen
t t
t
t
t t
s l t f r dr r r r r r dr
r r r r r r dr
r r r r r rdr
r rdr r rdr t t s
De esta manera, podemos expresar la trayectoria en términos de s, la longitud de arco,
reemplazando t por su expresión en términos de s:
3 1 3 1 12 2 25 5 5
3/2 3/22 2 45 5 5
( ) cos sen ,sen sen ,cos 2 sen
( ) 1 , ,1
f t s s s
g s s s s
1/2 1/2 1/2 1/22 2 4 2 2 45 5 5 5 5 5
1/2 1/22 25 5
25
3 2 3 2 3 3( ) 1 ( ), ( ), 1 , ,
2 5 2 5 5 5
1 3 2 1 3 2( ) ( ) 1 ( ), ( ),0
2 5 5 2 5 5
3 1 3 5( ) , ,0 ( )
25 25 21
5( ) no existe.2
g s s s s s
g s s s
g s k sss
k
19) Sea C : ( )f t
= plano el Qy R t);,3,3( 32 ttt osculador de C en el punto (3, 3, 1) las
rectas tangentes a C para t >1 cortan a Q determinando una curva C1. Hallar la curvatura de
C1, en cualquier punto de ella.
Solución.
NOLAN JARA JARA
22
( ) 3(1,2 , ²) (1,2 , ²) ; (t)=6(0,1,t) ( ) (t)=18(t²,-t,1) B(t)
(3,3,1)= (1) B(1) (1, 1,1) :
: ( 3, 3, 1)(1, 1,1) 0 : 1 0
: (3 ,3 ², ³) (1,2 , ²) (3 ,3T
f t t t t t f f t xf
f plano osculador
x y z x y z
L P t t t r t t t r t
1
² 2 , ³ ²); ...
: (3 ) (3 ² 2 ) ( ³ ²) 1 0 ( 1 ; 1); en
: ( ) (2 1, ² 2 , ²) ; ( ) (2,2 2,2 ) ; ( ) (0,2,2)
( ) ( ) (4, 4,4) ( ) ( ) = 4 3 ; g (t) =2 2t²+2t+2
T
rt t rt r
L t r t rt t rt r t t
C g t t t t t g t t t g t
g t xg t g t xg t
32
( ) ( ) 6k(t)= =
g (t) ³ 8(t²+t+1)
g t xg t
20) Si C es la curva con representación paramétrica 2( ) 2 , , 1f t t t t
.Hallar los
vectores unitarios , y T N B
en el punto de intersección de la curva con el plano x+y+z=5.
Solución.
2
2
: 2 ; : ( ) (2 , , 1); 0
: 2 1 2 1
(1) (1,1,0)
1 1 1 1 1( ) ( , , 2 ) (1) ( , , 2) 1,1,4
2 2 22 2
1 1 1 1 1( ) ( , , 2) (1) ( , , 2) 1, 1,8
4 4 44 4
1 3(1) (1) 12,12,0 1,
8 2
x y z f t t t t t
I t t t t
I f
f t t ft t
f t ft t t t
f xf
1,0
1,1,4 1,1,0(1) (1) (1)(1) ; (1)
3 2 2(1) (1) (1)
2, 2,1(1) (1) (1)
3
f f xfT B
f f xf
N B xT
21) Sea C una curva en R³ que se obtiene como intersección de las superficies y=x² ;
z=3
2(xy). Hallar la ecuación de la recta: tangente, normal, binormal y la ecuación del plano
osculador en el punto (1,1,2/3) de la curva C.
Solución.
NOLAN JARA JARA
23
2 3
2
2 2: ( ) , , 1,1, (1)
3 3
2( ) 1,2 ,2 (1) 1,2,2 : 1,1, 1,2,2 ;
3
( ) 0,2,4 (1) 0,2,4 2(0,1,2)
2(1) (1) 2 2, 2,1 : 1,1, 2, 2,1 ;
3
( (1) (1))
T
B
C f t t t t f
f t t t f L r r
f t t f
f xf L r r
f xf
2(1) 6( 2, 1,2) : 1,1, ( 2, 1,2);
3
2: ( , , 1,1, ). 2, 2,1 0
3
: 6 6 3 2 0
Nxf L r r
Q x y z
Q x y z
22) Sea C la curva de intersección de la esfera x²+y²+z²=1 y el plano z=y. Entonces C es
una circunferencia en el espacio. Hallar la curvatura, radio de curvatura y torsión de la
curva C en el punto P2 1 1
( , , )2 2 2
.
Solución.
C: x²+y²+z²=1 a
z=y b
b en a : x² + 2y² =1…d
en d: x = cost ; y = 1
2sent ; en b: z =
1
2sent
C: f
(t)=(cost, 1
2sent,
1
2sent )
2 1 1( , , )
2 2 2 = f
(
4
) ;t =
4
f
(t)=(-sent, 1
2cost,
1
2cost) f
(
4
)=
2 1 1 1( , , ) ( 2,1,1)
2 2 2 2
( )f t
(-cost,-1
2sent,-
1
2sent) f
(
4
)=
2 1 1 1( , , ) ( 2,1,1)
2 2 2 2
f
(4
)x f
(
4
)=
2(0,1, 1)
2 .
K(4
) =
3
f ( )xf ( ) 4 4
1
f ( )4
( ) 1
4
( )f t
(sent, -1
2cost, -
1
2cost)
NOLAN JARA JARA
24
2
(f ( )xf ( )).f ( ) 4 4 4( ) 0
4f ( )xf ( )
4 4
23) Viajamos por el plano, partiendo del origen (0, 0), siguiendo la traza de la curva
( )f t
=(t,t2) , donde el parámetro t ≥ 0 es el tiempo (en segundos). Tras dos segundos,
cambiamos la trayectoria y nos vamos por la circunferencia tangente (“por dentro”) a (2)f
y que tiene radio 1/κ(2). Recorremos (en sentido horario) media circunferencia. ¿En qué
punto del plano nos encontraremos? ¿y si solo recorremos un cuarto de circunferencia?
Solución.
C: x = t ; y = t2
Tras 2 segundos, estamos en el punto (2)f
= (2, 4). Para calcular la curvatura k(2) en ese
punto, Evaluamos primero
( ) 2 (2) 2
( ) 2 (2) 2
y t t y
y t y
De donde deducimos que
3 3 3
2 22 2 2
2 2 2( ) (2)
17 17(1 ) (1 4 ) (17)
yk t k
y t
De forma que el radio de la circunferencia por la que seguimos nuestro camino es 17√17/2.
En el punto t = 2, los vectores tangente y normal a la curva C son:
(1,4) ( 4,1)(2) ; (2)
17 17
17 17 ( 4,1) 25(2,4) ( 32, )
2 217
T N
c
Pues llegaremos a ese centro partiendo de (2)f
y luego recorriendo,
En la dirección de ( 4,1)
(2)17
N
, todo el radio de la circunferencia de curvatura.
Si recorremos en sentido horario media circunferencia, estaremos en el punto
17 17 ( 4,1)(2,4) 2 ( 66,21)
2 17
Pues llegaremos a ese centro partiendo de (2)f
y luego recorriendo, un diámetro en la
dirección de ( 4,1)
(2)17
N
.
Finalmente, si sólo recorremos un cuarto de circunferencia, entonces nos hallaremos en el
punto
17 17 ( 4,1) 17 17 (1,4) 81 43(2,4) ( , )
2 2 2 217 17
Pues llegaremos a ese centro partiendo de (2)f
, luego hasta el centro de la circunferencia,
y luego “bajar” el radio en la dirección de (2)T
.
NOLAN JARA JARA
25
24) Demostrar que si una curva plana viene dada por y = y(x) entonces su
Curvatura es
3
2 21
yk
y
Aplicar esta fórmula para hallar la curvatura de una elipse de semiejes a y b.
Solución.
1
2
2
3 32 2 22 2
2
... ( ): : ( ) , ( )
( )... ( )
( )( ) ( )
( )
( ) 1, ; ( ) 1 ( )
1, ( )( ) ( ) ,
1 ( ) 1 1
( )1
x t f tC C f t t y t
y y t f t
T tk t a
f t
f t y f t y b
yf t y y yT t T t
yf t y y
yT t
y
32 2
( )
y b en a: (1 )
c
yc k
y
2 2
2 2
2 4
2 2 3
4
3 32 4 2 2 22 2
C: 1 ; derivando con respecto a x.
1( ) ( )
(1 ) ( )
x ySi
a b
b x by x y x
a y a y
y a bk
y a b a x
25) Calcular la longitud del arco de la curva C determinada por la función vectorial
( )f t
= ( te cos t, te sen t, te ) con t [0, a] (a constante positiva)
Parametrizarla con respecto a la longitud de arco s y utilizarla para calcular el vector
tangente Unitario.
Solución.
NOLAN JARA JARA
26
00 0
( ) (cos ), ( cos ), ; 0,
( ) 3 ( ) 3 3
33 -1 ln( )
3
3 3 3 3 3: ( ) cos(ln ), (ln ),
3 3 3 3 3
1 3 3 ( ) cos(ln ) (ln ), (l
3 3 3
t t t
t ct
t u u
t
f t e t sent e sent t e t a
f t e s f u du e du e
ss e t
s s s s sC g s sen
s sg s sen sen
3 3n ) cos(ln ),1
3 3
( ) ( )
s s
T s g s
26) Sea 3 3: 3C x y xy hallar una función vectorial
2:f R R
que
determine a la curva C y graficar la curva C.
Solución. 3 3 3 3 3 3 3 2
3 3 2 3
3
2
3
13
2
23
2
3 3
: ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3
3(1 ) 3 (1 ) 3 ( )
1
3( ) en ( ) : ( ) ; 1
1
3( )
1 ( ) y ( ) :
3( )
1
3 3: ( ) ,
1
Sea y tx a x y xy x tx x tx x t x tx
tx t tx x t t x b
t
tb a y c t
t
tx f t
tde b c C
ty f t
t
t tC f t
t t
; 1
1t
Para graficar procedemos de la siguiente manera.
Determinamos los puntos donde la curva corta a los ejes coordenados 2
0
3
0
3
31 Al eje X: hacemos 0 0 ( , ) (0,0)
1
32 Al eje Y: hacemos 0 0 ( , ) (0,0)
1
ty t x y
t
tx t x y
t
Determinamos los puntos donde la curva tiene asíntotas y la ecuación de su asíntota
oblicua.
NOLAN JARA JARA
27
30 3
3 2
3 3 3
30
3 2 3
3 (2 )1 Tangente Horizontales: hacemos y ( ) 0 0, 2
( 1)
tiene tangentes horizontales en (0) (0,0) y en ( 2) 2, 4
3(1 2 ) 12 Tangente Vertical: hacemos x ( ) 0
( 1) 2
tiene t
t tt t
t
C f f
tt t
t
C
3 3
3
1angente vertical en ( ) 4, 2
2f
0
1
2
1 3 3
2
1 3
3 Asintotas Oblicuas:
lim lim 1 1
3 3lim ( ) lim ( )
1 1
3 3lim 1 1
1
1 es la ecuacion de la recta asintota oblicua.
x t
x t
t
y mx k
ym t m
x
t tk y mx
t t
t tk
t
y x
27) Sean las curvas C1: 2( ) ( cos , , ); C2: ( ) ( 1, , 1)t t tf t e t e sent e g t t t t
En cuanto debe incrementarse t para que la longitud de arco de C1 se incremente en
1 3e desde el instante en que C2 intercepta a C1.
NOLAN JARA JARA
28
Solución.
1 2 1 2( ) ( ) 0f t g t t t
1 10 0
1 3 ( ) 3 3 1
1
t t
u t
t t
e f u du e du e
t
28) Sea la curva C1: f
(t) = (t, t , 2t ); 0 < t ≤ 2, por cada punto f
(t) se traza una recta en
la dirección del vector Binormal B
(t). Encontrar las ecuaciones paramétricas de la curva C2
que se forma al interceptar cada Recta Binormal con el plano YZ.
Calcular la curvatura y torsión de C2 en el punto
6
7,
3
7,0
Solución.
f
(t) = (1, t2
1, 2t) ; f
(t) = (0,
32
4
t
, 2)
//B
f
(t) x f
(t) = (2
3
21
4,2,
2
3
tt )
Rectas que pasan por f
(t) y sirve la dirección de
B (t)
g
(t) = (t, t , t2) + r(
23
21
4,2,
2
3
tt )
Al interceptor con el plano YZ (x = 0)
Reemplazando
t + r 21
2
3
t = 0 r = - 23
3
2t
Reemplazando
C2: g
(t) = 31
22 24 1
0, ,3 6
t t t
7 70, , (1)
3 6g
NOLAN JARA JARA
29
g
(t) =
1 / 2
1/ 210, 2 ,2
2
t
t t
; g
(1) = 5
0, , 22
g
(t) =
3 12 2
10, ,2
4t t
; g
(1) =
2,
4
3,0
2
28 41(1) ; (1) 0
(41)k
29) Una partícula parte del punto (2,0) en el instante t=1 y se mueve sobre la curva
02222 xyxyx , en el sentido anti-horario, volviendo a su posición inicial, si su
rapidez es constante e igual a 4, definir una función vectorial que describa el movimiento.
Solución:
Sea cos
(1)x r
y r sen
Reemplazando en la ecuación 2 2 2 2 2 2 2 2
2
(cos ) ( ) cos cos 0
cos 0
1 cos
r r sen r r sen r
r r r
r
Reemplazando 1 cosr en la ecuación (1)
(1 cos )cos
(1 cos ) ; 0,2
x
y sen
(1 1).1 20
(1 1).0 0
x
y
Cumple con la condición inicial del punto (2,0)
Sea:
( ) (1 cos ).cos ;(1 cos ). ; 0,2f sen
…. (1)
Aprovechando el dato de rapidez constante = 4
4 4ds
S t cdt
Cuando t = 1 ; s = 0 c = - 4
Luego
4 4S t
Sabemos que : S =0
( ) f u du
( ) 2 ;cos cos2f sen sen
2 ( ) 2 1 cos 2 2cos 2 cos2 2
f
NOLAN JARA JARA
30
S = 0
2 cos2
udu
4t- 4 = 0 0
2 cos 2 cos2 2
u udu du
4t - 4 = 0
0
4 cos 8 82 2 2
u udu sen sen
4t - 4 = 1
8 1 22 2 2 2
tsen t sen sen
Reemplazando en (1)
3
2 2 2 2(3 2 )(1 2 ) (3 2 ) ( 1)( ) ,
2 2
t t t t t t tF t
30) Sean las curvas C1: 2( ) ( cos , , ); C2: ( ) ( 1, , 1)t t tf t e t e sent e g t t t t
En cuanto debe incrementarse t para que la longitud de arco de C1 se incremente en
1 3e desde el instante en que C2 intercepta a C1.
Solución.
1 2 1 2( ) ( ) 0f t g t t t
1 10 0
1 3 ( ) 3 3 1
1
t t
u t
t t
e f u du e du e
t
31) Sea C una curva descrita por la función
3: 0,1 ; si (0) 1,0,0 y ( ) es de la forma ( ) 2 ( ) ( ) ( )f R f f t f t t T t t N t
Calcular la longitud de la curva.
Solución.
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( )f t l t T t t N t l t t l t t f t
Lc= 1 1
2
0 0
4 ( ) 1
3f t dt t dt
32) Sean C:3 ² 2 1
( ) 1, , ln4
t t tf t t e
y C1:
tt
ttg ln,14,
1)( .
Hallar la torsión de la curva C en el punto de intersección de estas curvas.
Solución.
NOLAN JARA JARA
31
3
3
2
2 1 1( ) 1, , (3) 1, 1, 2, 2,1
1 2 2
2 1 1( ) 0, , (3) 0,1, 0,8, 1
8 8( 1)
1(3) (3) 6,2,16
16
1(3) (3) . (3) 6,2,16
16
(3
(3)
t
t
f t e ft
f t e ft
f x f
f x f f
f
2
) (3) . (3)2
37(3) (3)
x f f
f x f
33) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva C que resulta de la intersección de las
superficies xy + z = 0, x2
+ y2 + z
2 = 9, en el punto P0 = (2,1,-2).
Solución.
C:
)...(0
)...(9²²²
iizxy
izyx Po= (2, 1,-2)
Z= - xy en (i) x² + y² + x²y² = 9 11²
10
xy ; z = -x 1
1²
10
x
C:
11²
10
....11²
10
.................
ttz
ty
tx
Po= (2, 1,-2); t = 2; 110
1²
10
rtr
t
C: ()( rg 110
r
, )10
11,1r
rr ; Po= g(2) ; r = 2
13 4 1/2 4 5 3 1/22
1 1 ( ) 5(10 ) , ( 1) , ( ² 10)(11 10 )
2 2g r r r r r r r r
1
(2) 5, 4,38
g ;LT: P= (2, 1,-2)+s(5,-4,3); sR
34) Dibuje la curva C: ( ) (1 cos )(cos , ); 0,2f t t t sent t
.
Y calcule su longitud.
Solución.
NOLAN JARA JARA
32
2
2 2
2
( ) (cos cos , cos ) ; 0,2
( ) ( 2 cos ,cos os )
( ) ( 2 ,cos os 2 )
( ) 2 2 2 2cos cos 2 2 2cos 4 22 2
( ) 22
f t t t sent sent t t
f t sent sent t t c t sen t
f t sent sen t t c t
t tf t sentsen t t t t sen sen
tf t sen
2 2 2
00 0 0 0
( ) 2 2 2(2) 4 2cos2 2 2 2
8 0 1 8
C
C
t t t tL f t dt sen dt sen dt sen dt
L u
35) Sea C: 3
1
2 ln
0; 0; C R
xy
z x
x z
Si una partícula se desplaza sobre la curva C con una rapidez de “t” en el tiempo t, en t = 0
la partícula se encuentra en el punto (1, a, b) y además la partícula se desplaza por debajo
del plano z = 0.
i) Halle la función vectorial que describe la trayectoria de la partícula en función del
tiempo t.
Solución.
NOLAN JARA JARA
33
0 0
2 2
1 ; 0
1: ( ) , , 2 ln( ) ;0 1
1, , 1,1,0 (1) (0); 1; 0
1 2 1 ( ) 1, , ( ) 1
y x ux
C h u u u uu
a b h f u t
h u h uuu u
2
1
2 2
2 42 2
2 4 2 4
2 4
1 11 ...( )
( ) ; 0 ...( )2 2
16 (a) y (b):2 2 0
4
16 4 16: ( ) , , 2 ln( )
4 416
u
s dv u auv
t ts t t s c c s b
t tde u t u u
t t t tC f t
t t
ii) Halle la velocidad de la partícula en el tiempo t = 1 y la distancia que ha recorrido la
partícula desde t = 0 hasta t = 2.
Solución.
2 4 2 4
4 4 4
16 162 2
( ) , ,2 16 2 16 16
1 17 1 17 2 2 (1) , ,
2 17 2 17 17
t t t t t tt
f tt t t
f
LC = 2u.
36) Dada la curva C : 3 3( ) (cos ;sen ;cos2 )f t t t t
Hallar el centro de la
circunferencia de curvatura cuando t = /4 y el valor de la torsión cuando t
= /4
Solución.
NOLAN JARA JARA
34
Despejamos: cost y cos2t:
Reemplazando en la función obtendremos :
Ahora se determina K(s):
=
τ
NOLAN JARA JARA
35
37) Sea la curva C1: f
(t) = (t, t , 2t ); 0 < t ≤ 2, por cada punto f
(t)
se traza una recta en la dirección del vector Binormal B
(t). Encontrar
las ecuaciones paramétricas de la curva C2 que se forma al interceptar cada
Recta Binormal con el plano YZ.
Calcular la curvatura y torsión de C2 en el punto
6
7,
3
7,0
Solución.
f
(t) = (1, t2
1, 2t) ; f
(t) = (0,
32
4
t
, 2)
//B
f
(t) x f
(t) = (2
3
21
4,2,
2
3
tt )
Rectas que pasan por f
(t) y sirve la dirección de
B (t)
g
(t) = (t, t , t2) + r(
23
21
4,2,
2
3
tt )
Al interceptor con el plano YZ (x = 0)
Reemplazando
NOLAN JARA JARA
36
t + r 21
2
3
t = 0 r = - 23
3
2t
Reemplazando
C2: g
(t) = 31
22 24 1
0, ,3 6
t t t
7 7
0, , (1)3 6
g
g
(t) =
1 / 2
1/ 210, 2 ,2
2
t
t t
; g
(1) = 5
0, , 22
g
(t) =
3 12 2
10, ,2
4t t
; g
(1) =
2,
4
3,0
2
28 41(1) ; (1) 0
(41)k
38) Viajamos por el plano partiendo del origen (0, 0). Y lo hacemos siguiendo la traza de
la curva g
: [0, 1) → R ² (parametrizada por la función longitud de arco) que cumple con
las condiciones siguientes:
g
(0) = (0, 0);
g
(0) = (1, 0);
Su curvatura es κ(s) =1
1 ²s para cada s [0, 1).
Tras recorrer una unidad de longitud (en metros), abandonamos la curva para seguir la
Dirección de la tangente a la curva en el punto de escape. Recorremos así otros 3 metros.
¿A qué distancia (en metros) del punto original (0, 0) nos encontraremos?
39) ¿Qué funciones diferenciables g(t) hacen que f
(t) = (cosh(t), sinh(t), g(t)), para t ∈ R,
sea una curva plana?
40) Hallar la ecuación del plano osculador, la curvatura y la circunferencia de curvatura de
la curva C: ( ) ln 1 ² , , ln 11
tf t t t t
t
en un punto donde el vector tangente
tiene la dirección la recta: x-1=y-2=z-5.
NOLAN JARA JARA
37