Download - Aplicaciones chi cuadrado completo v4
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Aplicaciones Chi-Cuadrado
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χ2
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Caso: Bernoulli
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cinco
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Caso: Multinomial
Mientras que en el contraste de independencia se medían dos características de una misma muestra, ahora se elijen k muestras de tamaños predeterminados (y no necesariamente iguales) y se quiere comprobar si todas ellas pueden provenir de la misma población. Es decir, el objetivo es contrastar si la variable X se distribuye de igual manera dentro de cada muestra.
La hipótesis nula H0 es entonces que las k muestras son homogéneas y la forma de operar es la misma que la vista para el contraste de la independencia.
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Es decir se puede construir una tabla de contingencia y definir un estadístico χ2 como el dado en el test de independencia. Ahora k es el número de muestras y m el número de valores posibles, o intervalos, de la variable.
Entonces, la hipótesis H0 de homogeneidad se acepta con un nivel de significación α cuando
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Ejemplo
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Solución
Podemos calcular las frecuencias esperadas utilizando
Hipótesis
Ho: Existe homogeneidad en las muestras
De tal forma que podemos añadir a la tabla las frecuencias esperadas asícalculadas (números entre paréntesis):
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El estadístico para el contraste se calcula mediante
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Ejemplo
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Primero estimaremos por el método de máxima verosimilitud el valor del parámetro θ:
( )
∑
∏
=
=
−
−−=
∑==
n
iin
n
i
x
nin
xnLn, θ,...,xL(xLn
exf, θ,...,xL(x i
11
1
1
1
1)
1,)
θθ
θθ θ
Solución
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67.220ˆ ==∑∑
i
ii
nxn
θ
Duración 0-200 200-300 300-400 400-500 500-600# bombillas ni 40 15 8 6 6
xi 100 250 350 450 550
El valor estimado de θ será:
Ahora calculamos las probabilidades esperadas:
59.067.220
1)2000(ˆ
:ˆ1)(ˆ
67.220/20067.220/0
67.220/200
01
ˆ/ˆ/ˆ/
=−
==<<=
−==<<=
−−
−
−−−
∫
∫
ee
dxexPp
ejemploPor
eedxebxaPp
x
baxb
aiθθθ
θ
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Duración 0-200 200-300 300-400 400-500 500-600# bombillas ni 40 15 8 6 6
xi 100 150 350 450 5500.59 0.15 0.09 0.06 0.04 ip̂
Aquí la probabilidad será de 500 a infinito.
Y a partir de ellas podemos calcular los valores esperados de las muestras:
70.4459.0)6681540(ˆˆ:ˆˆ
11 =⋅++++==
=
pnE
ejemploPorpnE ii
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Duración 0-200 200-300 300-400 400-500 500-600# bombillas ni 40 15 8 6 6
xi 100 150 350 450 5500.59 0.15 0.09 0.06 0.0444.70 11.04 7.02 4.46 2.84
ip̂
ii pnE ˆˆ =
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0.59 0.15 0.09 0.06 0.04
100 150 350 450 550xi
44.70 11.04 7.02 4.46 2.84
40 15 8 6 6# bombillas ni
0-200 200-300 300-400 400-500 500-600Duración
ip̂
ii pnE ˆˆ =
7.30
08.530.7
)30.712(...70.44
)70.4440(ˆ
)ˆ( 224
1
22 =
−++
−=
−=∑
=i i
ii
EEnχ
12
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08.52 =χNuestro estimador chi-cuadrado vale:
El estimador se distribuye como:
0.05
99.5205.0,2 =χ
22
2114
21 χχχ ν == −−−−k
02 99.508.5 HrechazarpodemosNo⇒<=χ
Esta es la diferenciafundamental con el caso anterior. Al número de clases k hay que restarle 1 y el número de parámetros que previamente hemos estimado. En este caso:ν = 1.