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Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia
Maria João Martins
P.C. Silva, J.O.Cerdeira, T. Monteiro-Henriques
I Encontro Luso-Galaico de Estatística em Ambiente e Ecologia, 6-8 novembro 2014, Vila Real
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Profundidade de Tukey | definição
Se X ℝ é um conjunto finito, a profundidade de Tukey do ponto z ℝ é m/|X| onde m é o número mínimo de elementos que é necessário remover de X para que z fiquefora do menor intervalo que contém os restantes elementos de X.
2 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
z
X={∙}, |X|=10
dz(X)=1/10∙ ∙∙∙∙∙∙∙∙ ∙
z é um quantil (empírico) de ordem m/|X| ou 1-m/|X|
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Profundidade de Tukey | definição
Se X ℝn é um conjunto finito, a profundidade de Tukey do ponto zℝn é m/|X| onde m é o número mínimo de elementos que é necessário remover de X para que z fiquefora do envolvente convexo dos restantes elementos de X.
X={∙}
n=2, k=10
zdz(X)=1/10
A profundidade de Tukey determina uma partição no envolvente convexo de X em regiões encaixadas com profundidade crescente para o interior.
3 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
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Profundidade de Tukey | dificuldades computacionais
4 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
k pontos em ℝn, a profundidade de z (com respeito a X) necessita pesquisa em
k direções se n=2
...k(k-1)(k-n+2) direções
k(k-1) direções se n=3
∙
O algoritmo exato e também uma heurística estão implementados no package depth do
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(1957)
Define formalmente o nicho de uma espécie em termos de um espaço geométrico
duas variáveis ambientais independentes
v1
v2
ba
c
da, b, c, d definem os valores limite que permitem que a espécie sobreviva e se reproduza.
“possible environmental state permitting the species to exist indefinitely”
5 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
Teoria do nicho de Hutchinson| independência
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(1957)
Define formalmente o nicho de uma espécie em termos de um espaço geométrico
falhando a independência
retângulo → outra forma
“possible environmental state permitting the species to exist indefinitely”
6 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
Teoria do nicho de Hutchinson| dependência
v1
v2
ba
c
d
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(1957)
7 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
Teoria do nicho de Hutchinson| nicho fundamental
Introduzir v3, v4, ..., vn até que todos os fatores ecológicos relativos à espécie tenham sido considerados
hypervolume n-dimensional: cada ponto corresponde a um estado ambiental que permite que a espécie exista indefinidamente.
Nicho fundamental da espécie
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(1957)
8 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
Teoria do nicho de Hutchinson| limitações
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9 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
Teoria do nicho de Hutchinson| ultrapassando limitações
Questão Teórica: Como diferenciar o nicho de acordo com a probabilidade de persistência da espécie (ou adequabilidade ambiental)?
Dados: ocorrências da espécie (no espaço geográfico) e variáveis ambientais nos pontos de ocorrência
Questão Prática: Como estimar o nicho: i) sem pressupor independência das variáveis ambientais ii) distinguindo áreas de diferente adequabilidade?
Ideia: usar a profundidade de Tukey para estimar a adequabilidade no espaço ambiental, sendo X = {ocorrências no espaço ambiental}
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10 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
BIOCLIM vs Profundidade de Tukey
Se X é um conjunto de k points de ℝn, a profundidade de z relativamente a X é m/k, onde m é o número mínimo de pontos que é necessário remover de X de modo que z
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y
fica fora do hyperretângulo fica fora do envolvente convexo
dos restantes pontos de X.
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11 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
Adequabilidade ambiental para espécies de Quercus na Península Ibérica
Dados de ocorrências: Proyecto Anthos (Anthos 2011) e Herbarium “João de Carvalho e Vasconcellos” (Lisboa, LISI)
Método: para cada célula da Península Ibérica (ca. 1 km x 1 km resolução)Calculou-se a adequabilidade ambiental através da profundidade de Tukey e normalizou-se essa profundidade pelo seu valor máximo, .
Resultados: Mapas geográficos da adequabilidade ambiental para a espécie.
Dados ambientais: do website Worldclim – isothermality, temperatura mínima do mês mais frio, precipitação anual e precipitação do quadrimestre mais seco.
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12 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
Adequabilidade ambiental para espécies de Quercus na Península Ibérica
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13 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
Adequabilidade ambiental para espécies de Quercus na Península Ibérica
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14 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
Adequabilidade ambiental para espécies de Quercus na Península Ibérica
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15 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
Versão contínua da profundidade de Tukey | definição e propriedade
HH
B
𝑑𝑧𝑐 (𝐵)=
Vol()Vol(𝐵)
z
(*)qc
(*) Rousseeuw & Ruts (1999) e Zuo & Serfling (2000)
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16 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
Versão contínua da profundidade de Tukey | valor esperado (em dados uniformes)
zℝn B é um elipsóide em ℝn
𝐸 [𝑑𝑧𝑐(𝐵)]= 1
2𝑛+1
Nota: Basta demonstrar para B n-esfera de raio 1
= V(z) Vol (calote esférica que passa por z)
Silva, P.C., Cerdeira, J.O., Martins, M.J. & Monteiro-Henriques,T. (2014). Data depth for the uniform distribution. Environmental and Ecological Statistics
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17 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
Versão contínua da profundidade de Tukey | valor esperado (em dados uniformes)
zℝn B é um elipsóide em ℝn
𝐸 [𝑑𝑧𝑐(𝐵)]= 1
2𝑛+1
n=1 z
𝑑𝑧𝑐 (𝐵 )=𝑉 (𝑧)
𝑉 𝑛
=1−|z|2
-1 z 10
𝐸 [𝑑𝑧𝑐 (𝐵)]=1
2 (∫− 1
01+𝑧2
𝑑𝑧+∫0
11−𝑧2
𝑑𝑧 )= 14
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18 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
Média de profundidades de Tukey | simulações
k=500 pontos,
𝒅𝒄=𝟎.𝟏𝟐𝟒𝟕𝑑𝑐=0.1874 𝑑𝑐=0.0582
𝒅=𝟎 .𝟏𝟐𝟎𝟒𝑑=0.1326 𝑑=0.0853
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Q. robur
19 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
Média de profundidades de Tukey | Quercus (2 variáveis ambientais)
𝑑𝑐=0.095
𝑑𝑐=0.209
𝑛=2→1
2𝑛+1=0.125
Q. canariensis
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20 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
Média de profundidades de Tukey | Quercus (4 variáveis ambientais)
𝑛=4→1
2𝑛+1=0.03125
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21 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
Resumindo
a profundidade de Tukey é uma medida de localização robusta que generaliza a noção de quantil para dimensões >1
tem a vantagem de ser invariante a transformações dos dados que não alterem as posições relativas dos pontos
pode ser aplicada à avaliação da adequabilidade do ambiente à presença de espécies. Este procedimento está em consonância com a teoria do nicho de Hutchinson
o valor esperado da versão contínua da profundidade para a distribuição uniforme num n-elipsóide é 1/2n+1
a comparação entre a média dos valores da profundidade de Tukey, para todos os pontos de ocorrência de uma espécie, e o valor 1/2n+1 fornece informação adicional sobre a estrutura do nicho.
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22 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real
OBRIGADOS PELA VOSSA ATENÇÃO!
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References
Busby, J.R. (1991). BIOCLIM - A Bioclimate Analysis and Prediction System. In: Nature Conservation: Cost Effective Biological Surveys and Data Analysis, eds. C.R. Margules & M.P. Austin, 64–68. CSIRO.
Hutchinson, G.E. (1957). Concluding remarks. Cold Spring Harbor Symposia on Quantitative Biology 22: 415–427.
Rousseeuw, P.J. & Ruts, I. (1999). The depth function of a population distribution. Metrika 49: 213–244
Silva, P.C., Cerdeira, J.O., Martins, M.J. & Monteiro-Henriques, T. (2014). Data depth for the uniform distribution. Environmental and Ecological Statistics 21: 27–39.
Tukey, J. (1975). Mathematics and the picturing of data. Proc. 1975 Inter. Cong. Math., Vancouver, 523-531.
Zuo, R. & Serfling, Y. (2000). Structural properties and convergence results for contours of sample statistical depth functions. Ann Stat 28:483–499.
23 Assessing environmental suitability for species based on Tukey's depth. IAVS 2013, Tartu, Estonia