Aplikasi Turunan
Menggambar Grafik Fungsi
Informasi yang dibutuhkan:A. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu yB. Asimtot fungsi
Definisi: Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni
(i) Asimtot Tegak
(ii) Asimtot Datar
(iii) Asimtot MiringGaris y = ax + b disebut asimtot miring jika
Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika f ( x) =
Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika
danx
f (x)= alim
x→
lim f ( x) − ax = bx→
limx→c
limx→
f ( x) = b
2
Asimtot Tegak
3
a
lim f (x) = x→a +
x=a asimtot tegak
Dalam kasus
lim f (x) = x→a−
dan
x=a asimtot tegak
Dalam kasus
lim f (x) = x→a+
lim f (x) = −x→a −
dan
a
Asimtot Datar
4
y= b
Garis y = b asimtot datar karena
Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hinggaTapi, jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri olehGrafik fungsi(tidak dipotong lagi)
x→+lim f (x) = b
Asimtot Miring
5
y = ax +b
y=f(x)
Garis y = ax + b asimtot miring
Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai x hingga.Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datardan asimtot miring
Contoh
6
Tentukan semua asimtot dari
Jawab :
(i) Asimtot tegak : x = 2, karena
dan
(ii) Asimtot datar :
= x −2
− 2x+ 4x2
limx→2+
Maka asimtot datar tidak ada
2
x −2
− 2x+ 4f (x) =
x
2
x −2
− 2x + 4= −lim
x
x→2−
2
2
1 22
422
xx
x
2x
x ( − )
+ )x (1−
x −2
x − 2x + 4= lim
x→
lim f (x) = limx→ x→
= − )(
)(1− +
2
2
2
x
1x
x
2 4x= lim
x→
Contoh
7
x
2 − 2x + 4.1
a = limf (x)
= limx
x→x→
2
x2 −2x
−2x + 4= lim
xx→
22
(1− 2)
(1− 2 + 4 )
x − 2 x
= lim =1= limx
xx
x→x
xx
x→ x2(1− 2)
x2 (1− 2 + 4 )
(iii) Asimtot miring
4= lim
x→ x −2
2 − 2x + 4− x(x − 2)
x→
x −2
− 2x+ 4 − x= lim
x
x→
x −22
b = lim f (x) − ax = limx
Asimtot miring y = x
2 2
x −2
= 0
− 2x + 4− x +2x
x→
= limx
x→
Soal Latihan
8
1
x −1f (x) =
1
x −3f (x) = x +
2 + 2xf (x) =
x
x −3
x2 −1
2x
Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut :
2
x2+1
+ 2xf (x) =
x
1.
2.
3.
4. f (x) =
5.
Kemonotonan Fungsi
9
Definisi Fungsi f(x) dikatakan
monoton naik pada interval I jika untuk
x1 x2 f (x1) f (x2), x1, x2 I
x1 x2
f(x2)
f(x1)
I
Fungsi f(x) monoton naik pada selang I
Kemonotonan Fungsi
10
f(x1)
f(x2)
x1 x2
monoton turun pada interval I jika untuk
x1 x2 f (x1) f (x2) , x1, x2I
I
Fungsi f monoton turun pada selang I
10
Kemonotonan Fungsi
11
Teorema: Andaikan f diferensiabel di selang I, maka
□ Fungsi f(x) monoton naik pada I jika
□ Fungsi f(x) monoton turun pada I jika
Tentukan selang kemonotonan dariContoh
Jawab:
f(x) monoton naik
f(x) monoton turun
f '( x) 0 x I
f '( x) 0 x I
2
x −2
− 2x+ 4f (x) =
x
(x −2)2
(2x − 2)(x − 2) −1(x 2 − 2x + 4)f '(x) = 2
22
(x −2)
+ 2x− 4=
2x − 6x + 4 − x
==(x −2)2
x(x −4)
(x −2)2
x2 − 4x
0 2
pada (−,0) dan (4,+)
pada (0,2) dan (2,4).
4
++++++---------------------+++++++
Ekstrim Fungsi
12
Definisi Misalkan f(x) kontinu pada selang I yang memuat c,
f(c) disebut nilai global dari f pada I jika
lokal dari f pada I jika terdapat selang
buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada
minimum
maksimum x I
f (c) f (x)
f (c) f (x)
f(c) disebut nilai maksimum
min imum
f (c) f (x)
f (c) f (x)
selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim
Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis.
Ekstrim Fungsi
13
Max lokal
Min lokal
Max global
Min global Max
lokalMin lokal
a b c d e f
Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]
Ekstrim Fungsi
14
Ada tiga jenis titik kritis :
□ Titik singulir ( x = c dimana tidak ada ),
secara geometris: terjadi patahan pada grafik f di titik
(c,f(c))
□ Titik ujung selang I
□ Titik stasioner ( yaitu x = c dimana f ' (c) = 0 ) ,
secara geometris : garis singgung mendatar dititik
(c,f(c))
f ' (c)
Ekstrim Fungsi
15
Teorema: Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal
Jikaf '(x) 0
f '(x) 0(c − ,c)
f '(x) 0
f '(x) 0pada dan pada
(c,c + ) Maka f(c) merupakan nilai maksimumlokal
c
Disebelah kiri c monoton naik(f ’>0) dan disebelah kanan cmonoton turun (f’<0)
f(c) nilai maks lokal
c
f(c) nilai min lokal
Disebelah kiri c monoton turun (f ’<0) dan disebelah kanan c monoton naik (f’>0)
minimum
f(c)
f(c)
Ekstrim Fungsi
16
Teorema: Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal
nilai
. Jika
lokal f
Misalkan f ' (c) = 0f ' ' (c) 0
f ' ' (c) 0
minimum
maksimum
2
x −2
− 2x+ 4Contoh: Tentukan nilai ekstrim dari f (x) =
x
f (0) = −2
f (4) =6
(x− 2)2Jawab: f '(x) =
x(x − 4)
++++++---------------------+++++++
0 2 4
Dengan menggunakan uji turunan pertama :
di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai
di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai
Soal Latihan
17
f (x) = 2x5 −15x4 + 30x3− 6
2 −3x +1f (x) =
x
2
x −2
x −3
− 2x +1f (x) =
x
x
(x +1)2
f (x) =
Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut :
1.
2.
3.
4.
Kecekungan Fungsi
18
turuninterval I, dan f(x) dikatakan cekung kebawah pada interval I bila
pada interval I.
Teorema: Uji turunan kedua untuk kecekungan
1.
2.
Jika
Jika, maka f cekung ke atas pada I.
, maka f cekung ke bawah pada I.
f '(x)
f "( x) 0 , xIf "(x) 0, xI
Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila f '(x) naik pada
x
y
x
y
Contoh
19
2
x −2Tentukan selang kecekungan dari f (x) =
(x− 2)2
x2 −4xJawab:
f '(x) =
(2x − 4)(x − 2)2 − 2(x − 2)(x 2 − 4x)f ''(x) =
=
(x −2)4
(x − 2)((2x − 4)(x − 2) − 2(x 2 − 4x))
=(x −2)3
(x −2)4
2x 2 −8x + 8 − 2x 2 + 8x 8=(x −2)3
Grafik f cekung keatas pada (2,) dan cekung kebawah pada
selang (−,2)
x − 2x+ 4
Titik Belok
20
■ Definisi Misal f(x) kontinu di x = b. Maka (b,f(b))
disebut titik belok dari kurva f(x) jika :
terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah
kiri dari x =b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelah
kanan dari x =b fungsi f cekung ke bawah atau
sebaliknya
x = b adalah absis titik belok, jika f "(b) = 0 atau f "(b) tidak
ada.
Titik Belok
21
f(c) f(c)
c
(c,f(c)) titik belok
Karena disebelah kiri c cekung keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah
c
(c,f(c)) titik belok
Karena disebelah kiri c cekung kebawah dan disebelah kanan c cekung keatas
Titik Belok
22
c
f(c)
(c,f(c)) bukan titik belok Karena disekitar c tidak Terjadi perubahan kecekungan
c
Walaupun di sekitar c Terjadi perubahan Kecekungan tapi tidak ada Titik belok karena f tidak terdefinisi di c
Contoh
23
Tentukan titik belok (jika ada) dari
1. f (x) =2x3 −1
f '(x) = 6x2 , f ' ' (x) =12x
●------------- +++++++
0
Di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0)= -1 maka (0,-1) merupakan titik belok
2. f ( x) = x4
f ''(x) =12x 2
+++++++ ● +++++++0
Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahan kecekungan
Contoh
24
2−2x +43. f (x) =
x
x −2
8f ''(x) =
●2
+++++++
(x− 2)3
--------------
Walaupun di x = 2, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada titik belok karena fungsi f(x) tidak terdefinisi di x = 2
Soal Latihan
25
f (x) = 2x5 −15x4 + 30x3− 6
2 −3x +1f (x) =
x
2
x −2
x −3
− 2x +1f (x) =
x
x
(x +1)2
f (x) =
Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut :
1.
2.
3.
4.
f (x)= x1 / 35.
Contoh
26
2 − 2x+ 4f (x) =
xDiketahui
x −2a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsib. Tentukan selang kecekungan dan titik belokc. Tentukan semua asimtotd. Gambarkan grafik f(x)
a. Fungsi f(x) monoton naik pada selang (−,0) , (4,+)
monoton turun pada selang (0,2) dan (2,4).
f (0) = −2
f (4) =6
di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai
di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai
b. Grafik f cekung keatas pada (2, ) dan cekung kebawah pada
selang (−,2) , tidak ada titik belok
c. Asimtot tegak x = 2, asimtot miring y = x, tidak ada asimtot datar
Contoh
27
d. Grafik f(x)
2
y=x
----- ++++++ 4
++++++ -----
0 2f '
--------------------- +++++++++++2
f ''
-24
6
Soal Latihan
28
2x
1 +x2f (x) =
f (x) = x +1
x
4 3
34
− x2 +1− x
xf (x) =
x2 −4
x +1
x2
A. Gambarkan grafik fungsi berikut dengan mencari terlebih dahulu selang kemonotonan,ekstrim fungsi, kecekungan, titik belok, dan asimtot
1.
2.
3. f (x) =x
4.
5. f (x) =
Soal Latihan
29
y = f '(x)
B. Misalkan f suatu fungsi kontinu dan f(-3)=f(0)=2. Jika grafik
seperti gambar berikut :
a. Tentukan selang kemonotonan fungsi fb. Tentukan selang kecekungan fungsi fc. Sketsa grafik fungsi f(x).
Menghitung Limit Fungsi denganAturan L’Hôpital
30
Bentuk tak tentu dalam limit :
1. Aturan L’Hôpital untuk bentuk
Andaikan lim f(x) = lim g(x) = 0. Jika
Maka
0 ,
, 0. , −0
0
0
g '( x)lim
f ' ( x) = L, +, atau −
limf (x )
g (x )
f ' (x )
g ' (x )= lim
Menghitung Limit Fungsi denganAturan L’Hôpital
31
x2
1− cos2xlimx→0
x2= lim
x→0= lim
x→0
1− cos2x 2 sin2x
2x
4cos2x
2= 2
Contoh: Hitung
Jawab:
limx→0
bentuk (0/0)
Ctt : aturan L’hopital bisa digunakan beberapa kali asalkan syaratnya dipenuhi
2. Aturan L’Hôpital untuk bentuk
g '(x)Andaikan lim f(x) = lim g(x) = . Jika lim
f '(x) = L, + , atau −
limf ( x)
= lim f ' ( x)
g (x) g ' (x)maka
Menghitung Limit Fungsi denganAturan L’Hôpital
32
2+ x +1lim
x
x→ x 2 + 3x + 5
= lim 2x +1
x→ 2x + 3= lim
2 =1
x→2
2
+ 3x + 5lim
x + x +1
x→ x2
+ 2x+ 3
x +1limx→ x2
(bentuk )Contoh: Hitung
Jawab
Ctt: walaupun syarat di penuhi, belum tentu limit dapat dihitung dengan menggunakan dalilL’Hopital
x 2 + 2x + 3
x +1Contoh Hitung lim
x→
1
2
1
2
= lim−
+ 2x + 3) (2x +2)x→ 1 (x 2
2x + 2x + 3= lim
x→
1
2
1
= lim 2
−1 (x2 + 2x + 3) (2x +2)
x→2x + 2x + 3
x +1
x+1= lim
x→
Jawab
(
)
Menghitung Limit Fungsi denganAturan L’Hôpital
33
Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb
x2xx2 1+ 2 + 3
x(1+ 1)= lim x
x→
x2x1 + 2 + 3
x(1 + 1)= lim x
x→ | x |2
2 3
xxx 1+ +
x(1+ 1)= lim x
x→
2
321+ +
(1 + 1 )
xx
= lim x = 1x→
x2 + 2x +3limx→
x2xx 2 (1 + 2 + 3 )
x +1 x(1+ 1 )= lim x
x→
Menghitung Limit Fungsi denganAturan L’Hôpital
34
3. Bentuk 0 .
Untuk menyelesaikannya rubah kedalam bentuk
atau
Contoh: Hitung
Jawab :
0
0
lim x2 csc xx→0
2
= 0= lim2xx
lim x 2 csc x = limx→ 0cos xx→ 0sin xx→ 0
Menghitung Limit Fungsi denganAturan L’Hôpital
35
4. Bentuk -
Misalkan lim f(x)=lim g(x) = . Untuk menghitung
lim [ f(x) - g(x) ] dilakukan dengan menyederhanakan
bentuk [ f(x)- g(x) ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan
cara yang telah dikenal sebelumnya
Contoh : Hitung lim (csc x − cot x)x→0
sin x
lim
sin x
Jawab :
lim (csc x − cot x) =x→0 x→ 0 sin
xx→0 x→ 0 cos x
1 cos x− =
1 − cos xlim =
sin xlim = 0
Soal Latihan
36
limx
x
x→+
+
−
2 1
2 5
lim cscx
x x→0
2
limx
x x x→+
+ −
2
limsin
cosx
x
x→ −01
( )lim cot cosx
x x→
−0
2 1 2
limx
x x x→−
− − −
2 23 3
Hitung limit berikut (bila ada)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Teorema Nilai Rata-rata
37
Teorema Misalkan f kontinu pada [a,b] dan diferensiabel pada (a,b), maka
terdapat paling sedikit
satub − a
f (b) − f (a)c (a, b) f ' (c) =
atau f (b) − f (a) = f ' (c)(b− a).
Masalah maksimum minimum lainnyaTurunan dapat juga dipergunakan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan masalah memaksimumkan/ meminimumkan fungsi. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memodelkan masalah tersebut menjadi fungsi satu peubah. Setelah itu gunakan aturan-aturan turunan untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum
Contoh
38
1. Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuat dari kawat sepanjang 100 cm agar luasnya maksimum
Jawab:
Misal panjang y, lebar xy
x
Luas= L = x y, karena 2x + 2y = 100 → y = 50 - x
Sehingga Luas = L(x) = x(50-x) ,50 2xx −= 500 x
xxL 250)(' −= → x = 25
02)25('' −=LKarena maka di x = 25 terjadi maks lokal.
Karena L(0) = 0, L(25) = 625, L(50) = 0 → agar luas maks haruslah
x = 25 dan y = 25
Contoh
39
2. Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa bujur sangkar dan melipatnya.Tentukan ukuran kotak agar volume kotak maksimum.
x
x
x
x
45-2x
24-2x
Misal, panjang sisi potongan di pojokpersegi panjang x, sehingga
45-2x
24-2x
x
V(x) = (45-2x) (24-2x) x
,10801384)( 23 xxxxV +−= 120 x
)9023(12)(' 2 +−= xxxV
)5)(18(12 −−= xx
Sehingga diperoleh titik stasioner x = 18 dan x = 5
Contoh
40
27624)('' −= xxV
Sehingga
0156)18('' =V
0156)5('' −=V
di x =18 terjadi min lokal
di x = 5 terjadi maks lokal
Untuk menentukan volume maksimum bandingkan nilaiVolume jika x = 5 dan x = 0, x = 12 (batas Df)
V(0) = 0
V(12)= 0
V(5) =2450
Agar volume kotak maksimum maka ukuran kotak : panjang 35 cm lebar 14 cm tinggi 5 cm
Contoh
41
Bisa saja masalah yang dihadapi harus dimodelkan kedalam bentukfungsi implisit, seperti contoh berikut
Sebuah roket yang diluncurkan vertikal diamati dari menara kontrolyang berjarak 3 km dari tempat peluncuran. Tentukan kecepatanvertikal roket pada saat jaraknya dari menara kontrol 5 km dandan jarak ini bertambah dengan kecepatan 5000 km/jam
Menarakontrol
3 km
Misal ketinggian roket y dan jarak dari menara z
yz Diketahui
5000=dt
dzSaat z = 5
Contoh
42
Dengan menggunakan dalil pythgoras diperoleh
22 9 zy =+
Pada saat z = 5 → y = 4
Dengan menggunakan turunan fungsi implisit didapatkan
dt
dzz
dt
dyy 22 =
Jika data y = 4, z = 5, dan 5000=dt
dzdisubstitusikan diperoleh
62505000.4
5==
dt
dyKecepatan vertikal roket = km/jam
Soal Latihan
43
1. Tentukan dua buah bilangan yang selisihya 100 dan hasilkalinya minimum
2. Tentukan ukuran persegi panjang dengan luas 1000 dankelilingnya minimum
2cm
3. Tentukan titik pada garis 6x + y = 9 yang terdekat ke titik (-3,1)
4. Tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki luas terbesar dengan alas pada sumbu x serta dua titik sudutnya di atas sumbu xserta terletak pada parabola
28 xy −=
5. Tentukan ukuran segitiga samakaki yang memiliki luas terbesar sehingga dapat diletakkan dalam lingkaran berjari-jari r
Soal Latihan
44
6. Kota A terletak 3 km dari garis pantai yang lurus dan kota B terletak 4 km darititik di pantai yang terdekat dari A. Pemerintah Daerah setempat akanmemasang kabel telepon dari kota A ke kota B. Jika biaya pemasangan kabel dariA ke B untuk setiap kilometer melewati jalan laut dua kali besarnyadibandingkan biaya pasang kabel lewat darat. Tentukan letak titik di pantai agarbiaya pemasangan kabel telepon dari A ke B semurah mungkin.