Download - aplikasi logika pada teori himpunan
![Page 1: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/1.jpg)
3.4 APLIKASI LOGIKA PADA TEORI HIMPUNAN: BEBERAPA BUKTI
![Page 2: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/2.jpg)
Defenisi 1:Misalkan and himpunan:a. Misalkan A & B himpunan, A
dikatakan sama dengan B (disimbolkan A=B) jika dan hanya jika pernyataan adalah benar.
b. A dikata subset dari B jika dan hanya jika pernyataan adalah benar.
![Page 3: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/3.jpg)
Defenisi
![Page 4: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/4.jpg)
B u
Contoh 1
Solusi : misalkan A sebarang himpunan. berdasarkan defenisi Adit : benar
Oleh karena salah untuk suatu objek , maka kondisi adalah benar untuk suatu . Terlepas dari nilai kebenaran . sehingga pernyataan benar, jadi, terbukti bahwa
![Page 5: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh 2: buktikan bahwa untuk suatu himpunan A
Solusi: misalkan sebarang himpunan BenarAdit :Benar
Solusi Oleh karena predikat memiliki bentuk dan merupakan tautoligi sehingga ] BenarTerbukti
![Page 6: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/6.jpg)
Contoh 4 : : buktikan bahwa, untuk suatu himpunan A dan B, dan
• Membuktikan Misalkan Adit:
mAdit
Solusi : Karena s karena diketahui maka terbukti bahwa
Solusi :Karena (diket)Maka apapun nilai kebenaran dari pastilah benar untuk atau Terbukti
![Page 7: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/7.jpg)
Contoh 7 buktikan bahwa untuk suatu himpunan , dan jika dan maka
Solusi : Diketahui : berarti B berarti Adit :
Bukti :Ambil sebarang Karena maka Karena maka Sehingga Dengan modus ponen ----------
![Page 8: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/8.jpg)
Membuktikan kesamaan himpunan
Contoh 8Dengan teorema asumsikan “ untuk semua bilangan real dan , jika , maka atau , buktikan bahwa himpunan sama denga himpunan B .
![Page 9: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/9.jpg)
Solusi . untuk membuktikan kita membuktikan saling inklusi; yaitu kita membuktikan dan .
![Page 10: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/10.jpg)
Untuk membuktikan , misalkan Adit :
• kita harus membuktikan adalah bilangan Real yang memenuhi . karena maka salah satunya atau
untuk
Jadi untuk a=(5,-7) memenuhi
![Page 11: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/11.jpg)
• kita harus membuktikan adalah bilangan real yang memenuhi
, seehingga menurut teorema diasumsikan ,salah satunya atau maka , terbukti
Sebaliknya untuk membuktikan , misalkan Adit :
![Page 12: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/12.jpg)
Buktikan bahwa, untuk suatu himpunan A, B, dan C,
CONTOH 10
Membuktikan (i) (ii)
![Page 13: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/13.jpg)
Bukti(i) Misalkan Adit:
Karena berarti
dengan kata lain
Sehingga
Akibatnya
Dengan demikian
Karena mengakibatkan
Sehingga terbukti bahwa
![Page 14: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/14.jpg)
Bukti(ii) Misalkan Adit:
Karena berarti
dengan kata lain
Sehingga
Akibatnya
Dengan demikian
Karena mengakibatkan Sehingga terbukti bahwa
![Page 15: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/15.jpg)
Buktikan bahwa, untuk suatu himpunan A,
CONTOH 11
Andaikan Adit: terjadi kontradiksi
Karena maka terdapat
Sehingga dan .
Dengan kata lain dan
Karena bentuk pernyataan merupakan suatu kontradiksi maka
berlaku juga bahwa dan merupakan suatu kontradiksi,
sehingga pengandaian salah.
Dengan demikian haruslah
![Page 16: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/16.jpg)
INFINITE UNIONS AND INTERSECTION
![Page 17: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/17.jpg)
Definisi 1
Koleksi dari himpunan-himpunan , memuat himpunan yang
berkorespodensi dengan setiap bilangan bulat positif (dimana
suatu semesta himpunan memuat setiap himpunan pada
koleksi) disebut family (atau koleksi) dari himpunan berindeks
dengan himpunan dari semua bilangan bulat positif. Bilangan
bulat positif digunakan untuk label himpunan pada koleksi
disebut indeks.
![Page 18: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh 1
Misalkan untuk setiap sehingga merupakan koleksi dari himpunan-himpunan singleton.
Perhatikan bahwa bilangan bulat positif dan merupakan bilangan yang berbeda, sehingga . Untuk alasan ini kita mengatakan bahwa famili dari himpunan-himpunan ini adalah saling terpisah (saling lepas).
![Page 19: aplikasi logika pada teori himpunan](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012304/5568d3b0d8b42a173c8b4f89/html5/thumbnails/19.jpg)
Definisi 2
Misalkan koleksi dari himpunan-himpunan berindeks . Kita definisikan:
a. Gabungan dari koleksi , dinyatakan ( juga dinyatakan dan ) menjadi himpunan untuk suatu demikian sehingga
b. Irisan dari koleksi , dinyatakan ( juga dinyatakan dan ) menjadi himpunan untuk setiap .