Anlise de estabilidade
Princpio do argumento de Cauchy Critrio de Nyquist
Controle de Sistemas Mecnicos
Ganho de malha abertaLembrando que a FT de malha aberta definida N (s) malha aberta G ( s) = P( s) K ( s)= D( s )T ( s) =R(s)
Y (s) G ( s) N ( s) = = R( s) 1 + G ( s) D( s) + N ( s)E(s)K(s)
malha fechada
U(s)P(s)
Y(s)
-
Controle de Sistemas Mecnicos
Condio de estabilidade de T(s)Dado a FT de malha aberta e fechada N (s) N ( s) T ( s) = G(s) = D( s) + N ( s) D( s ) A equao caracterstica da malha fechada :N ( s) D( s) + N ( s) = =0 D( s) D( s)
1 + G(s) = 0Deve-se notar que:
1 + G (s) = 1 +
Um zero de 1+G(s) um plo de malha fechada T(s) Um plo de 1+G(s) tambm plo de G(s) (malha aberta)
Portanto para condio de estabilidade deseja-se que o nmero de zeros da funo F(s)=1+G(s) no SPD seja nulo
Controle de Sistemas Mecnicos
Princpio do argumento de CauchyTeorema: N (s) F (s) = F = 1+ G(s) seja F(s) a razo de dois polinmios em s DF (s) p: nmero de plos de F(s) dentro de um contorno fechado z: nmero de zeros de F(s) dentro de um contorno fechado n: nmero de envolvimentos da origem no mapeamento medida que o contorno percorrido no sentido horrio
n= z p
Prova: C. R. Wylie Jr., Advanced Engineering Mathematics, McGraw Hill, 1951.Controle de Sistemas Mecnicos
Contorno Fechado no plano SSeja o vetor s um vetor que percorre um contorno fechado qualquer em um sentido definidoIm
Im
Im
Re
Re
Re
Controle de Sistemas Mecnicos
Mapeamento de uma funo (zero)Funo mapeamento: F1 ( s ) = s s0 ( s0 complexo)
Seja o vetor s um vetor que percorre um caminho fechado, por exemplo um crculo em torno de s0 sentido horrioIm
Plano
Im
Plano
F1 ( s ) = s s01
Re
Im F1 ( s) = tan ( ) Re Re F1 ( s ) = s s0 = 0
A funo F(s) tambm percorrer um crculo fechado em torno de 0, sentido horrio, indicando que possui um zero em s0Controle de Sistemas Mecnicos
Mapeamento de uma funo (duplo zero)SejaIm Re
F2 ( s ) = ( s s0 )( s s1 )Im
Re
=> Quando s percorre a curva C: ngulo da s s0 variam ngulo dos s s1 => em -3600 => funo F2(s) 0 vetores varia em -720 amplitude dos vetores limitada (contorno fechado) dois zeros => dois envolvimentos do ponto zeroControle de Sistemas Mecnicos
Mapeamento de uma funo (plo)
Seja
1 1 F3 ( s ) = = F1 ( s ) => s s0
amplitude inversa ngulo opostoIm
continua sendo um crculo, => mas com sentido inverso um plo => um envolvimento do ponto zero dois plos => dois envolvimentos do ponto zero
Re
Controle de Sistemas Mecnicos
Caminho de Nyquist
R(s)
E(s)K(s)
U(s)P(s)
Y(s)
L(s)=P(s)K(s)
T ( s) =
G(s) 1 + G( s)
Im
Im
1 + G( s)
Seja F(s)=1+G(s), a funo caracterstica em malha fechada
1 + G(s)
s = j
Re
Re
(contorno fechado)
Controle de Sistemas Mecnicos
Caminho de Nyquist deslocadoSe ao invs de representar 1+G(s), representar-se G(s), ocorrer um deslocamento unitrio para esquerda (origem em -1+0j)Im
Im
1 + G( s)
Im
Im
G (s)
1 + G(s)Re Re
G (s )Re Re
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Critrio de NyquistUm sistema de malha fechada estvel se e s se o nmero de voltas no sentido anti-horrio do diagrama de Nyquist do ganho de malha aberta G(s)=P(s)K(s) em torno do ponto 1+j0 for igual ao nmero de plos instveis de G(s).R(s) E(s)K(s)
U(s)P(s)
Y(s)
R(s)
U(s)P(s)
Y(s)
G ( s) = P( s) K ( s) L(s)=P(s)K(s)
L(s)=K(s)P(s) G(s) = P(s)K(s)K(s)
Controle de Sistemas Mecnicos
Lembrando do Princpio do Argumento de CauchyDefinindo como z: o nmero de zeros no SPD de 1+G(s) p: o nmero de plos no SPD de 1+G(s) n: o nmero de envolvimentos do ponto 0 onde: n>0 Envolvimento sentido horrio n sistema estvel
Controle de Sistemas Mecnicos
ExerccioAnalisar a estabilidade de acordo com o critrio de Nyquist do sistema ondeK ( s ) = 0,8 P( s) = 2 ( s + 1)( s + 2)( s 0,5)U(s)K(s) P(s)
R(s)
E(s)
Y(s)
-
Controle de Sistemas Mecnicos
ExerccioAnalisar a estabilidade de acordo com o critrio de Nyquist do sistema ondeK ( s ) = 20 P( s) = 10 ( s + 1)( s + 2)( s + 5)Y(s)P(s)
R(s)
E(s)K(s)
U(s)
-
Controle de Sistemas Mecnicos
ExerccioAnalisar a estabilidade de acordo com o critrio de Nyquist do sistema ondeK ( s ) = 20 P( s) = 1 ( s + 1)( s + 2)( s 0,5)Y(s)P(s)
R(s)
E(s)K(s)
U(s)
-
Controle de Sistemas Mecnicos
ExerccioAnalisar a estabilidade de acordo com o critrio de Nyquist do sistema ondeK ( s ) = 2000
P( s) =
2 s 6 + s 5 + 1,75s 4 + 8,5s 3-0,625s 2-3,125s + 4,25U(s)K(s) P(s)
R(s)
E(s)
Y(s)
-
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Diagrama Nyquist
2i 2iImaginary Axis
N yquist D iagram 500 400 300 2002 Ima gina ry Axis 5 4 3
N yquist D iagram
Plos de G(s) 0.5+2i 0.5-2i 0.5+0.5i 0.5-0.5i -1 -2
100 0 -100 -200 -300 -400 -500 -200
1 0 -1 -2 -3 -4
.5i 5i
0
200
400 R A eal xis
600
800
1000
-12
-10
-8
-6 R A eal xis
-4
-2
0
2
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RefernciaCritrio de Estabilidade de Nyquist Ogata pg 427-443
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